Desigualdades trigonométricas ctg. Desigualdades trigonométricas simples y complejas

A la mayoría de los estudiantes no les gustan las desigualdades trigonométricas. Pero en vano. Como solía decir un personaje,

“Simplemente no sabes cocinarlos”

Entonces, cómo “cocinar” y con qué representar la desigualdad con el seno, lo descubriremos en este artículo. decidiremos de una manera sencilla– utilizando un círculo unitario.

Entonces, antes que nada, necesitamos el siguiente algoritmo.

Algoritmo para resolver desigualdades con seno:

1. en el eje seno trazamos el número $a$ y trazamos una línea recta paralela al eje coseno hasta que se cruza con el círculo;
2. los puntos de intersección de esta línea con el círculo estarán sombreados si la desigualdad no es estricta y no sombreados si la desigualdad es estricta;
3. el área solución de la desigualdad estará ubicada encima de la recta y hasta el círculo si la desigualdad contiene el signo “$>$”, y debajo de la recta y hasta el círculo si la desigualdad contiene el signo “$<$”;
4. para encontrar los puntos de intersección, resolvemos la ecuación trigonométrica $\sin(x)=a$, obtenemos $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. estableciendo $n=0$, encontramos el primer punto de intersección (está ubicado en el primer o cuarto trimestre);
6. Para encontrar el segundo punto, miramos en qué dirección vamos a través del área hasta el segundo punto de intersección: si es en dirección positiva, entonces debemos tomar $n=1$, y si es en dirección negativa, entonces $n=- 1$;
7. en respuesta, el intervalo se escribe desde el punto de intersección más pequeño $+ 2\pi n$ hasta el más grande $+ 2\pi n$.

Limitación del algoritmo

Importante: d algoritmo dado no funciona para desigualdades de la forma $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Casos especiales al resolver desigualdades con seno.

También es importante señalar siguientes casos, que son mucho más convenientes de resolver lógicamente sin utilizar el algoritmo anterior.

Caso especial 1. Resolver desigualdad:

$\pecado(x)\leq 1.$

Debido a que el rango de valores de la función trigonométrica $y=\sin(x)$ no es mayor que el módulo $1$, entonces lado izquierdo desigualdades en cualquier$x$ del dominio de definición (y el dominio de definición del seno son todos los números reales) no es más de $1$. Esto significa que anotamos la respuesta: $x \in R$.

Consecuencia:

$\sin(x)\geq -1.$

Caso especial 2. Resolver desigualdad:

$\pecado(x)< 1.$

Aplicando un razonamiento similar al caso especial 1, encontramos que el lado izquierdo de la desigualdad es menor que $1$ para todo $x \in R$, excepto para los puntos que son soluciones de la ecuación $\sin(x) = 1$. Resolviendo esta ecuación tendremos:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Y, por lo tanto, en la respuesta escribimos: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Consecuencia: la desigualdad se resuelve de manera similar

$\pecado(x) > -1.$

Ejemplos de resolución de desigualdades mediante un algoritmo.

Ejemplo 1: Resolver desigualdad:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Marquemos la coordenada $\frac(1)(2)$ en el eje seno.
2. Dibujemos una línea recta paralela al eje del coseno y que pase por este punto.
3. Marquemos los puntos de intersección. Estarán sombreados porque la desigualdad no es estricta.
4. El signo de desigualdad es $\geq$, lo que significa que pintamos el área encima de la línea, es decir, semicírculo más pequeño.
5. Encontramos el primer punto de intersección. Para hacer esto, convertimos la desigualdad en igualdad y la resolvemos: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Además, establecemos $n=0$ y encontramos el primer punto de intersección: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Encontramos el segundo punto. Nuestra área va en la dirección positiva desde el primer punto, lo que significa que establecemos $n$ igual a $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Por tanto, la solución tomará la forma:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Ejemplo 2: Resolver desigualdad:

$\pecado(x)< -\frac{1}{2}$

Marquemos la coordenada $-\frac(1)(2)$ en el eje seno y dibujemos una línea recta paralela al eje coseno y que pase por este punto. Marquemos los puntos de intersección. No estarán sombreados, ya que la desigualdad es estricta. El signo de desigualdad $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Suponiendo además $n=0$, encontramos el primer punto de intersección: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Nuestra área va en la dirección negativa desde el primer punto, lo que significa que establecemos $n$ igual a $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Entonces, la solución a esta desigualdad será el intervalo:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Ejemplo 3: Resolver desigualdad:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Este ejemplo no se puede resolver inmediatamente utilizando un algoritmo. Primero necesitas transformarlo. Hacemos exactamente lo que haríamos con una ecuación, pero no nos olvidemos del signo. ¡Dividir o multiplicar por un número negativo lo revierte!

Entonces, muevamos todo lo que no contenga una función trigonométrica hacia el lado derecho. Obtenemos:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Dividamos los lados izquierdo y derecho por $-2$ (¡no te olvides del letrero!). Tendremos:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Nuevamente tenemos una desigualdad que no podemos resolver usando un algoritmo. Pero aquí basta con cambiar la variable:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Obtenemos una desigualdad trigonométrica que se puede resolver mediante el algoritmo:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Esta desigualdad se resolvió en el Ejemplo 1, así que tomemos prestada la respuesta de ahí:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Sin embargo, la decisión aún no ha terminado. Necesitamos volver a la variable original.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Imaginemos el intervalo como un sistema:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$

En el lado izquierdo del sistema hay una expresión ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), que pertenece al intervalo. El límite izquierdo del intervalo es responsable de la primera desigualdad y el límite derecho es responsable de la segunda. Además, los corchetes juegan un papel importante: si el corchete es cuadrado, entonces la desigualdad se relajará, y si es redonda, será estricta. nuestra tarea es obtener $x$ desde la izquierda en ambas desigualdades.

Movamos $\frac(\pi)(6)$ del lado izquierdo al lado derecho, obtenemos:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

Simplificando tenemos:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Multiplicando los lados izquierdo y derecho por $4$, obtenemos:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Al ensamblar el sistema en el intervalo, obtenemos la respuesta:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

Al resolver desigualdades que contienen funciones trigonométricas, se reducen a las desigualdades más simples de la forma cos(t)>a, sint(t)=a y similares. Y ya se resuelven las desigualdades más simples. Veamos varios ejemplos de formas de resolver desigualdades trigonométricas simples.

Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad sin(t) > = -1/2.

Dibuja un círculo unitario. Dado que sin(t) por definición es la coordenada y, marcamos el punto y = -1/2 en el eje Oy. Dibujamos una línea recta que lo atraviesa paralela al eje Ox. En la intersección de la recta con la gráfica del círculo unitario, marque los puntos Pt1 y Pt2. Conectamos el origen de coordenadas con los puntos Pt1 y Pt2 mediante dos segmentos.

La solución a esta desigualdad serán todos los puntos del círculo unitario ubicados sobre estos puntos. En otras palabras, la solución será el arco l. Ahora es necesario indicar las condiciones bajo las cuales un punto arbitrario pertenecerá al arco l.

Pt1 se encuentra en el semicírculo derecho, su ordenada es -1/2, entonces t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Para describir el punto Pt1, puedes escribir la siguiente fórmula:
t2 = pi - arcosen(-1/2) = 7*pi/6. Como resultado, obtenemos la siguiente desigualdad para t:

Preservamos las desigualdades. Y como la función seno es periódica, significa que las soluciones se repetirán cada 2*pi. Sumamos esta condición a la desigualdad resultante para t y escribimos la respuesta.

Respuesta: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Ejemplo 2. Resolver la desigualdad cos(t)<1/2.

Dibujemos un círculo unitario. Dado que, según la definición, cos(t) es la coordenada x, marcamos el punto x = 1/2 en la gráfica sobre el eje Ox.
Trazamos una línea recta que pasa por este punto paralela al eje Oy. En la intersección de la recta con la gráfica del círculo unitario, marque los puntos Pt1 y Pt2. Conectamos el origen de coordenadas con los puntos Pt1 y Pt2 mediante dos segmentos.

Las soluciones serán todos los puntos del círculo unitario que pertenecen al arco l. Encontremos los puntos t1 y t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Obtenemos la desigualdad para t: pi/3

Dado que el coseno es una función periódica, las soluciones se repetirán cada 2*pi. Sumamos esta condición a la desigualdad resultante para t y escribimos la respuesta.

Respuesta: pi/3+2*pi*n

Ejemplo 3. Resolver la desigualdad tg(t)< = 1.

El período tangente es igual a pi. Encontremos soluciones que pertenezcan al semicírculo derecho del intervalo (-pi/2;pi/2). A continuación, utilizando la periodicidad de la tangente, anotamos todas las soluciones de esta desigualdad. Dibujemos un círculo unitario y marquemos una línea de tangentes en él.

Si t es una solución a la desigualdad, entonces la ordenada del punto T = tg(t) debe ser menor o igual a 1. El conjunto de dichos puntos formará el rayo AT. El conjunto de puntos Pt que corresponderán a los puntos de este rayo es el arco l. Además, el punto P(-pi/2) no pertenece a este arco.

Resolveremos desigualdades con tangente usando el círculo unitario.

Algoritmo para resolver desigualdades con tangente:

1. vuelva a dibujar el cliché que se muestra en la figura anterior;
2. en la recta tangente marcamos $a$ y trazamos una línea recta desde el origen hasta este punto;
3. el punto de intersección de esta recta con el semicírculo quedará sombreado si la desigualdad no es estricta y no sombreado si es estricta;
4. el área se ubicará debajo de la recta y hasta el círculo si la desigualdad contiene el signo “$>$”, y debajo de la recta y hasta el círculo si la desigualdad contiene el signo “$<$”;
5. para encontrar el punto de intersección, basta con encontrar el arcotangente $a$, es decir $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. en respuesta, se escribe el intervalo resultante, añadiendo $+ \pi n$ a los extremos.

Ejemplos de resolución de desigualdades mediante un algoritmo.

Ejemplo 1: Resolver desigualdad:

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

Por tanto, la solución tomará la forma:

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$

¡Importante! Puntos $-\frac(\pi)(2)$ y $\frac(\pi)(2)$ en la tangente siempre (independientemente del signo de desigualdad) arrancado!

Ejemplo 2: Resolver desigualdad:

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

Marcamos el punto $- \sqrt(3)$ en la recta tangente y trazamos una línea recta desde el origen hasta él. El punto de intersección de esta recta con el semicírculo no quedará sombreado, ya que la desigualdad es estricta. El área se ubicará por encima de la recta y hasta el círculo, ya que el signo de desigualdad es $>$. busquemos el punto de intersección:

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$

Volvamos a la variable original:

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\derecha).$

Este último equivale al sistema de desigualdades.

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

habiendo resuelto cuál obtendremos la respuesta. En realidad,

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

Y finalmente obtenemos:

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$

Resolver desigualdades trigonométricas usando el círculo unitario

Al resolver desigualdades trigonométricas de la forma donde --- una de las funciones trigonométricas, es conveniente utilizar el círculo trigonométrico para representar más claramente las soluciones a la desigualdad y anotar la respuesta. El método principal para resolver desigualdades trigonométricas es reducirlas al tipo más simple de desigualdades. Veamos un ejemplo de cómo resolver tales desigualdades.

Ejemplo Resuelve la desigualdad.

Solución. Dibujemos un círculo trigonométrico y marquemos en él los puntos para los cuales la ordenada es superior.

Para resolver esta desigualdad habrá. También está claro que si un determinado número difiere de cualquier número del intervalo especificado en, tampoco será menor. Por lo tanto, sólo necesita agregar soluciones a los extremos del segmento encontrado. Finalmente, encontramos que todos serán una solución a la desigualdad original.

Para resolver desigualdades con tangente y cotangente, es útil el concepto de recta de tangentes y cotangentes. Estas son las líneas rectas y, respectivamente (en las Figuras (1) y (2)), tangentes al círculo trigonométrico.

Es fácil ver que si construimos un rayo con su origen en el origen de coordenadas, formando un ángulo con la dirección positiva del eje de abscisas, entonces la longitud del segmento desde el punto hasta el punto de intersección de este rayo con la recta tangente es exactamente igual a la tangente del ángulo que forma este rayo con el eje de abscisas. Una observación similar ocurre con la cotangente.

Ejemplo Resuelve la desigualdad.

Solución. Denotemos, entonces la desigualdad tomará la forma más simple: . Consideremos un intervalo de longitud igual al período positivo más pequeño (LPP) de la tangente. Sobre este segmento, usando la recta de tangentes, establecemos que. Recordemos ahora lo que hay que añadir desde que funciona la central nuclear. Entonces, . Volviendo a la variable, obtenemos que

Es conveniente resolver desigualdades con funciones trigonométricas inversas utilizando gráficas de funciones trigonométricas inversas. Demostremos cómo se hace esto con un ejemplo.

Resolver desigualdades trigonométricas gráficamente

Tenga en cuenta que si --- función periódica, entonces para resolver la desigualdad es necesario encontrar su solución en un segmento cuya longitud sea igual al período de la función. Todas las soluciones a la desigualdad original consistirán en los valores encontrados, así como en todos aquellos que difieran de los encontrados por cualquier número entero de períodos de la función.

Consideremos la solución a la desigualdad ().

Desde entonces la desigualdad no tiene soluciones. Si, entonces el conjunto de soluciones a la desigualdad --- colocar todos los números reales.

Déjalo ser. La función seno tiene el período positivo más pequeño, por lo que la desigualdad se puede resolver primero en un segmento de longitud, p.e. Construimos gráficas de funciones y ().

En el segmento, la función seno aumenta y la ecuación donde tiene una raíz. En el segmento, la función seno disminuye y la ecuación tiene raíz. En un intervalo numérico, la gráfica de una función se ubica encima de la gráfica de la función. Por lo tanto, para todos los del intervalo) la desigualdad se cumple si. Debido a la periodicidad de la función seno, todas las soluciones a la desigualdad vienen dadas por desigualdades de la forma: .

Las desigualdades son relaciones de la forma a › b, donde a y b son expresiones que contienen al menos una variable. Las desigualdades pueden ser estrictas - ‹, › y no estrictas - ≥, ≤.

Las desigualdades trigonométricas son expresiones de la forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, en las que F(x) está representada por una o más funciones trigonométricas .

Un ejemplo de la desigualdad trigonométrica más simple es: sen x ‹ 1/2. Es habitual resolver este tipo de problemas gráficamente; para ello se han desarrollado dos métodos.

Método 1: resolver desigualdades graficando una función

Para encontrar un intervalo que satisfaga las condiciones de la desigualdad sen x ‹ 1/2, debes realizar los siguientes pasos:

1. En el eje de coordenadas, construya una sinusoide y = sen x.
2. En el mismo eje, dibuja una gráfica del argumento numérico de la desigualdad, es decir, una línea recta que pasa por el punto ½ de la ordenada OY.
3. Marque los puntos de intersección de las dos gráficas.
4. Sombrea el segmento que es la solución del ejemplo.

Cuando hay signos estrictos en una expresión, los puntos de intersección no son soluciones. Como el período positivo más pequeño de una sinusoide es 2π, escribimos la respuesta de la siguiente manera:

Si los signos de la expresión no son estrictos, entonces el intervalo de solución debe estar entre corchetes - . La respuesta al problema también se puede escribir como la siguiente desigualdad:

Método 2: resolver desigualdades trigonométricas usando el círculo unitario

Problemas similares se pueden resolver fácilmente utilizando un círculo trigonométrico. El algoritmo para encontrar respuestas es muy simple:

1. Primero necesitas dibujar un círculo unitario.
2. Luego debes anotar el valor de la función arco del argumento del lado derecho de la desigualdad en el arco del círculo.
3. Es necesario trazar una línea recta que pase por el valor de la función arco paralela al eje de abscisas (OX).
4. Después de eso, solo queda seleccionar el arco de un círculo, que es el conjunto de soluciones de la desigualdad trigonométrica.
5. Escriba la respuesta en la forma requerida.

Analicemos las etapas de la solución usando el ejemplo de la desigualdad sen x › 1/2. Los puntos α y β están marcados en el círculo - valores

Los puntos del arco ubicados encima de α y β son el intervalo para resolver la desigualdad dada.

Si necesita resolver un ejemplo de cos, entonces el arco de respuesta estará ubicado simétricamente al eje OX, no a OY. Puedes considerar la diferencia entre los intervalos de solución para sen y cos en los diagramas a continuación en el texto.

Las soluciones gráficas para desigualdades tangentes y cotangentes diferirán tanto del seno como del coseno. Esto se debe a las propiedades de las funciones.

Arctangente y arcocotangente son tangentes a un círculo trigonométrico y el período positivo mínimo para ambas funciones es π. Para utilizar rápida y correctamente el segundo método, debe recordar en qué eje se trazan los valores de sin, cos, tg y ctg.

La tangente tangente corre paralela al eje OY. Si trazamos el valor de arctan a en el círculo unitario, entonces el segundo punto requerido estará ubicado en el cuarto diagonal. Anglos

Son puntos de quiebre de la función, ya que la gráfica tiende a ellos, pero nunca los alcanza.

En el caso de la cotangente, la tangente corre paralela al eje OX y la función se interrumpe en los puntos π y 2π.

Desigualdades trigonométricas complejas

Si el argumento de la función de desigualdad está representado no solo por una variable, sino por una expresión completa que contiene una incógnita, entonces ya estamos hablando de desigualdad compleja. El proceso y procedimiento para solucionarlo son algo diferentes a los métodos descritos anteriormente. Supongamos que necesitamos encontrar una solución a la siguiente desigualdad:

La solución gráfica implica construir una sinusoide ordinaria y = sen x utilizando valores de x seleccionados arbitrariamente. Calculemos una tabla con coordenadas para los puntos de control del gráfico:

El resultado debería ser una hermosa curva.

Para facilitar la búsqueda de una solución, reemplacemos el argumento de la función compleja