La ecuación diferencial de Bernoulli es ecuación de la forma

donde n≠0,n≠1.

Esta ecuación se puede reordenar mediante sustitución.

en una ecuación lineal

En la práctica, la ecuación diferencial de Bernoulli generalmente no se reduce a lineal, sino que se resuelve inmediatamente utilizando los mismos métodos que una ecuación lineal: ya sea el método de Bernoulli o el método de variación de una constante arbitraria.

Veamos cómo resolver la ecuación diferencial de Bernoulli usando la sustitución y=uv (método de Bernoulli). El esquema de solución es el mismo que para .

Ejemplos. Resolver ecuaciones:

1) y'x+y=-xy².

Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli. Llevémoslo a la forma estándar. Para ello, divide ambas partes por x: y’+y/x=-y². Aquí p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Pero no lo necesitamos para resolver vista estándar. Trabajaremos con el formulario de grabación proporcionado en las condiciones.

1) Reemplazo y=uv, donde u=u(x) y v=v(x) son algunas funciones nuevas de x. Entonces y'=(uv)'=u'v+v'u. Sustituimos las expresiones resultantes en la condición: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Abramos los corchetes: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Ahora agrupemos los términos con v: v+v’ux=-xu²v² (I) (no tocamos el término de grado v, que está en el lado derecho de la ecuación). Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: u’x+u=0. Y esta es una ecuación con variables separables u y x. Una vez solucionado, os encontraremos. Sustituimos u=du/dx y separamos las variables: x·du/dx=-u. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por xu≠0:

(al encontrar u C lo tomamos igual a cero).

3) En la ecuación (I) sustituimos =0 y la función encontrada u=1/x. Tenemos la ecuación: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Después de la simplificación: v’=-(1/x)·v². Esta es una ecuación con variables separables v y x. Reemplazamos v’=dv/dx y separamos las variables: dv/dx=-(1/x)·v². Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por v²≠0:

(Tomamos -C para que, al multiplicar ambos lados por -1, pudiéramos deshacernos del menos). Entonces, multiplica por (-1):

(se podría tomar no C, sino ln│C│, y en este caso sería v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Asegurémonos de que esta sea la ecuación de Bernoulli. Dividiendo ambas partes por 2, obtenemos y’+y=(x/2) y². Aquí p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Resolvemos la ecuación usando el método de Bernoulli.

1) Reemplazo y=uv, y’=u’v+v’u. Sustituimos estas expresiones en la condición original: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Abrir los corchetes: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Ahora agrupemos los términos que contienen v: +2v’u=xu²v² (II). Requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: 2u’+2u=0, por lo tanto u’+u=0. Esta es una ecuación separable para u y x. Resolvámoslo y encontremoste. Sustituimos u’=du/dx, de donde du/dx=-u. Multiplicando ambos lados de la ecuación por dx y dividiendo por u≠0, obtenemos: du/u=-dx. Integramos:

3) Sustituir en (II) =0 y

Ahora sustituimos v’=dv/dx y separamos las variables:

Integramos:

El lado izquierdo de la igualdad es una integral de tabla, la integral del lado derecho se encuentra usando la fórmula de integración por partes:

Sustituyendo v y du encontrados usando la fórmula de integración por partes tenemos:

Y desde

Hagamos C=-C:

4) Como y=uv, sustituimos las funciones encontradas u y v:

3) Integrar la ecuación x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Dividamos ambos lados de la ecuación por x²(x-1)≠0 y muevamos el término con y² hacia el lado derecho:

Esta es la ecuación de Bernoulli.

1) Reemplazo y=uv, y’=u’v+v’u. Como es habitual, sustituimos estas expresiones en la condición original: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Por lo tanto x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Agrupamos términos que contienen v (v² - no tocar):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, por lo tanto x²(x-1)u’=x(x-2)u. En la ecuación separamos las variables u y x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por x²(x-1)u≠0:

En el lado izquierdo de la ecuación hay una integral tabular. fracción racional en el lado derecho debes descomponerlo en fracciones simples:

En x=1: 1-2=A·0+B·1, de donde B=-1.

En x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, de donde A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Según las propiedades de los logaritmos: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, de donde u=x²/(x-1).

3) En la igualdad (III) sustituimos =0 y u=x²/(x-1). Obtenemos: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, sustituir:

En lugar de C, tomamos - C, de modo que, al multiplicar ambas partes por (-1), nos deshacemos de los inconvenientes:

Ahora reduzcamos las expresiones del lado derecho a un denominador común y encontremos v:

4) Como y=uv, sustituyendo las funciones encontradas u y v, obtenemos:

Ejemplos de autoevaluación:

1) Asegurémonos de que esta sea la ecuación de Bernoulli. Dividiendo ambos lados por x, tenemos:

1) Reemplazo y=uv, de donde y’=u’v+v’u. Sustituimos estos y y y’ en la condición original:

2) Agrupa los términos con v:

Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero y encontrar u a partir de esta condición:

Integramos ambos lados de la ecuación:

3) En la ecuación (*) sustituimos =0 y u=1/x²:

Integramos ambos lados de la ecuación resultante.

Lineal ecuaciones diferenciales 1er pedido
y la ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación que es lineal con respecto a una función desconocida y su derivada. parece

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

donde p(x) y q(x) son funciones dadas de x, continuas en la región en la que se debe integrar la ecuación (1).

Si q(x)\equiv0 , entonces la ecuación (1) se llama lineal homogéneo. Es una ecuación separable y tiene solución general

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

solución general No ecuación homogénea se puede encontrar método de variación de una constante arbitraria, que consiste en que la solución a la ecuación (1) se busca en la forma

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), donde C(x) es una nueva función desconocida de x.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación y"+2xy=2xe^(-x^2).

Solución. Utilicemos el método de variación constante. Considere la ecuación homogénea y"+2xy=0, correspondiente a esta ecuación no homogénea. Esta es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma y=Ce^(-x^2).

Buscamos una solución general a la ecuación no homogénea en la forma y=C(x)e^(-x^2), donde C(x) es una función desconocida de x. Sustituyendo, obtenemos C"(x)=2x, de donde C(x)=x^2+C. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea será y=(x^2+C)e^(-x^2), donde C es la constante de integración.

Comentario. Puede resultar que la ecuación diferencial sea lineal en x en función de y. La forma normal de tal ecuación es

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Solución. Esta ecuación es lineal si consideramos x en función de y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Usamos el método de variación de una constante arbitraria. Primero resolvemos la ecuación homogénea correspondiente.

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

que es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Buscamos una solución general a la ecuación en la forma , donde C(y) es una función desconocida de y. Sustituyendo obtenemos

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y o C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

De aquí integrando por partes tenemos

\begin(alineado)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ pecado(y)),\end(alineado)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Sustituyendo esta ecuación en x=C(y)e^(\pecado(y)), obtenemos una solución general a la ecuación original, y por tanto a esta ecuación:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

La ecuación original también se puede integrar de la siguiente manera. Creemos

y=u(x)v(x),

donde u(x) y v(x) son funciones desconocidas de x, una de las cuales, por ejemplo v(x), puede elegirse arbitrariamente.

Sustituyendo y=u(x)v(x) en , después de la transformación obtenemos

vu"+(pv+v")u=q(x).

Determinando v(x) a partir de la condición v"+pv=0, encontramos a partir de vu"+(pv+v")u=q(x) función u(x) y, en consecuencia, la solución y=uv a la ecuación \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Como v(x) podemos tomar cualquier solución frecuente de la ecuación v"+pv=0,~v\no\equiv0.

Ejemplo 3. Resuelva el problema de Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Solución. Buscamos una solución general a la ecuación en la forma y=u(x)v(x) ; tenemos y"=u"v+uv". Sustituyendo la expresión para y e y" en ecuación original, tendremos

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) o x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Encontramos la función v=v(x) a partir de la condición x(x-1)v"+v=0. Tomando cualquier solución particular de la última ecuación, por ejemplo v=\frac(x)(x-1) y sustituyéndolo, obtenemos la ecuación u"=2x-1, de la cual encontramos la función u(x)=x^2-x+C. Por tanto, la solución general de la ecuación x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) voluntad

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), o y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Usando la condición inicial y|_(x=2)=4, obtenemos la ecuación para encontrar C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, de donde C=0 ; entonces la solución al problema de Cauchy planteado será la función y=x^2.

Ejemplo 4. Se sabe que existe una relación entre la corriente i y la fuerza electromotriz E en un circuito que tiene resistencia R y autoinductancia L. E=Ri+L\frac(di)(dt), donde R y L son constantes. Si consideramos E en función del tiempo t, obtenemos una ecuación lineal no homogénea para la intensidad de corriente i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Encuentre la intensidad actual i(t) para el caso en que E=E_0=\texto(constante) y yo(0)=I_0.

Solución. Tenemos \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. La solución general de esta ecuación tiene la forma i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Usando la condición inicial (13), obtenemos de C=I_0-\frac(E_0)(R), por lo que la solución deseada será

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Esto muestra que en t\to+\infty la intensidad actual i(t) tiende a un valor constante \frac(E_0)(R) .

Ejemplo 5. Se da una familia C_\alpha de curvas integrales de la ecuación lineal no homogénea y"+p(x)y=q(x).

Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas C_\alpha definidas por la ecuación lineal se cortan en un punto (Fig. 13).

Solución. Considere la tangente a cualquier curva C_\alpha en el punto M(x,y). La ecuación de la tangente en el punto M(x,y) tiene la forma.

\eta-q(x)(\xi-x)=y, donde \xi,\eta son las coordenadas actuales del punto tangente.

Por definición, en los puntos correspondientes x es constante e y es variable. Tomando dos tangentes cualesquiera a las rectas C_\alpha en los puntos correspondientes, para las coordenadas del punto S de su intersección, obtenemos

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Esto muestra que todas las tangentes a las curvas C_\alpha en los puntos correspondientes (x es fijo) se cruzan en el mismo punto

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminando el argumento x en el sistema, obtenemos la ecuación del lugar geométrico de los puntos. S\dos puntos f(\xi,\eta)=0.

Ejemplo 6. Encuentra la solución a la ecuación. y"-y=\cos(x)-\sin(x), cumpliendo la condición: y está limitado en y\to+\infty .

Solución. La solución general de esta ecuación es y=Ce^x+\sin(x) . Cualquier solución a la ecuación obtenida a partir de la solución general para C\ne0 será ilimitada, ya que para x\to+\infty la función \sin(x) está acotada y e^x\to+\infty . De ello se deduce que esta ecuación tiene una solución única y=\sin(x) , acotada en x\to+\infty , que se obtiene de la solución general en C=0 .

La ecuación de Bernoulli.

La ecuación diferencial de Bernoulli parece

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, donde n\ne0;1 (para n=0 y n=1 esta ecuación es lineal).

Usando reemplazo de variables z=\frac(1)(y^(n-1)) La ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal y se integra como lineal.

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación de Bernoulli y"-xy=-xy^3.

Solución. Divide ambos lados de la ecuación por y^3:

\frac(y"))(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Hacer un cambio de variable \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", dónde \frac(y"))(y^3)=-\frac(z"))(2). Después de la sustitución, la última ecuación se convierte en una ecuación lineal.

-\frac(z"))(2)-xz=-x o z"+2xz=2x, cuya solución general es z=1+Ce^(-x^2).

De aquí obtenemos la integral general de esta ecuación.

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) o y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Comentario. La ecuación de Bernoulli también se puede integrar mediante el método de variación de una constante, como una ecuación lineal, y usando la sustitución y(x)=u(x)v(x).

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación de Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x).

Solución. Apliquemos el método de variación de una constante arbitraria. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea xy"+y=0 tiene la forma y=\frac(C)(x). Buscamos la solución general de la ecuación en la forma y=\frac(C(x)) (x) , donde C(x) - nueva función desconocida Sustituyendo en la ecuación original, tenemos.

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Para encontrar la función C(x), obtenemos una ecuación con variables separables, de la cual, separando las variables e integrando, encontramos

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Entonces, la solución general de la ecuación original y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Alguno No ecuaciones lineales de primer orden, con la ayuda de un cambio de variables encontrado con éxito, se reducen a ecuaciones lineales o ecuaciones de Bernoulli.

Ejemplo 9. Resuelve la ecuación y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Solución. Escribamos esta ecuación en la forma y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2\cos^2\frac(y)(2), obtenemos \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Reemplazo \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) reduce esta ecuación a lineal \frac(dz)(dx)+z=-x, cuya solución general es z=1-x+Ce^(-x) .

Reemplazando z por su expresión en términos de y, obtenemos la integral general de esta ecuación \nombredeloperador(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

En algunas ecuaciones, la función deseada y(x) puede estar bajo el signo integral. En estos casos, a veces es posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial por diferenciación.

Ejemplo 10. Resuelve la ecuación x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Solución. Derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a x, obtenemos

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (incógnita) o \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Derivando nuevamente con respecto a x, tendremos una ecuación lineal homogénea con respecto a y(x)\dos puntos

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) o x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Separando las variables e integrando encontramos y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Esta solución, como se puede comprobar fácilmente, satisface la ecuación original.

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación de la forma:
, donde norte ≠ 0 , norte ≠ 1 , p y q son funciones de x.

Resolver la ecuación diferencial de Bernoulli mediante reducción a una ecuación lineal

Considere la ecuación diferencial de Bernoulli:
(1) ,
donde norte ≠ 0 , norte ≠ 1 , p y q son funciones de x.
Dividámoslo por y n. 0 Cuando y ≠< 0 o n
(2) .
tenemos:
.
Esta ecuación se puede reducir a una ecuación lineal usando un cambio de variable:
;
.
Mostrémoslo. Según la regla de derivación de una función compleja: (2) sustituyamos en
;
.
Esta es una ecuación diferencial lineal, relativa a z. Después de resolverlo, para n > 0 , debemos considerar el caso y = 0 . 0 Cuando n > 0 , y = (1) también es una solución de la ecuación

y debe incluirse en la respuesta.

Solución por el método de Bernoulli (1) La ecuación en cuestión.
También se puede resolver mediante el método de Bernoulli. Para ello, buscamos una solución a la ecuación original en forma de producto de dos funciones:
y = u·v ,
donde u y v son funciones de x.
Diferenciar con respecto a x: (1) :
;
(3) .
y′ = u′ v + u v′ .
(4) .
Sustituir en la ecuación original (4) Como v tomamos cualquier solución distinta de cero de la ecuación: Ecuación es una ecuación con variables separables. Lo resolvemos y encontramos una solución particular v = v (3) (incógnita) (4) .
;
.
Sustituimos una solución particular en

. Ya que satisface la ecuación

, entonces la expresión entre paréntesis se vuelve cero. Obtenemos:

Aquí v es una función ya conocida de x.

Esta es una ecuación con variables separables. Encontramos su solución general, y con ella la solución de la ecuación original y = uv.

Un ejemplo de resolución de la ecuación diferencial de Bernoulli.
;
;
Resuelve la ecuación .
Solución 2 A primera vista, esta ecuación diferencial no parece ser similar a la ecuación de Bernoulli. Si consideramos que x es la variable independiente y y la variable dependiente (es decir, si y es función de x), entonces esto es cierto. Pero si consideramos que y es la variable independiente y x la variable dependiente, entonces es fácil ver que ésta es la ecuación de Bernoulli. (1) Entonces, asumimos que x es función de y.
Sustituyamos y multiplicamos por:
(P.1)
.
Mostrémoslo. Según la regla de derivación de una función compleja: Resuelve la ecuación:
;
Esta es la ecuación de Bernoulli con n = .
. Se diferencia de la ecuación discutida anteriormente., sólo mediante notación de variables (x en lugar de y). Resolvemos por el método de Bernoulli. Hagamos una sustitución:
x = u v , .
donde u y v son funciones de y.
;
;
.
Diferenciar con respecto a y: 0 (P.2) x = u v ,.
;
.
Mostrémoslo. Según la regla de derivación de una función compleja: Esta es la ecuación de Bernoulli con n = Buscamos cualquier función distinta de cero v x = u v ,):
;
;
.
(y) 0 o n
;
, satisfaciendo la ecuación: ;
.
(P.3)
;
.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación que es lineal con respecto a una función desconocida y su derivada. parece

Separamos las variables:

Sea C =

, ya que necesitamos cualquier solución a la ecuación lineal homogéneo considerando que la expresión entre paréntesis es igual a cero (debido a

Separemos las variables. Cuando tu ≠

(P.4) método de variación de una constante arbitraria, que consiste en que la solución a la ecuación (1) se busca en la forma

En la segunda integral hacemos la sustitución:\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Ejemplo 1. donde p(x) y q(x) son funciones dadas de x, continuas en la región en la que se debe integrar la ecuación (1).

Solución. Utilicemos el método de variación constante. Considere la ecuación homogénea y"+2xy=0, correspondiente a esta ecuación no homogénea. Esta es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma y=Ce^(-x^2).

Buscamos una solución general a la ecuación no homogénea en la forma y=C(x)e^(-x^2), donde C(x) es una función desconocida de x. Sustituyendo, obtenemos C"(x)=2x, de donde C(x)=x^2+C. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea será y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , donde C - constante de integración.

Comentario. Puede resultar que la ecuación diferencial sea lineal en x en función de y. La forma normal de tal ecuación es

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Solución. Esta ecuación es lineal si consideramos x en función de y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Usamos el método de variación de una constante arbitraria. Primero resolvemos la ecuación homogénea correspondiente.

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

que es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Buscamos una solución general a la ecuación en la forma x=C(y)e^(\sin(y)), donde C(y) es una función desconocida de y. Sustituyendo obtenemos

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y o C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

De aquí integrando por partes tenemos

\begin(alineado)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ pecado(y)),\end(alineado)

Entonces,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Sustituyendo esta ecuación en x=C(y)e^(\sin(y)) , obtenemos una solución general a la ecuación original, y por tanto a esta ecuación:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

La ecuación original también se puede integrar de la siguiente manera. Creemos

Y=u(x)v(x),

donde u(x) y v(x) son funciones desconocidas de x, una de las cuales, por ejemplo v(x), puede elegirse arbitrariamente.

Sustituyendo y=u(x)v(x) en , después de la transformación obtenemos

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Determinando v(x) a partir de la condición v"+pv=0, encontramos entonces a partir de vu"+(pv+v")u=q(x) la función u(x) y, en consecuencia, la solución y=uv de la ecuación \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Como v(x) podemos tomar cualquier solución frecuente de la ecuación v"+pv=0,~v\no\equiv0.

Ejemplo 3. Resuelva el problema de Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Solución. Buscamos una solución general a la ecuación en la forma y=u(x)v(x) ; tenemos y"=u"v+uv". Sustituyendo la expresión para y e y" en la ecuación original, tendremos

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) o x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Encontramos la función v=v(x) a partir de la condición x(x-1)v"+v=0. Tomando cualquier solución particular de la última ecuación, por ejemplo v=\frac(x)(x-1) y sustituyéndolo, obtenemos la ecuación u"=2x-1, de la cual encontramos la función u(x)=x^2-x+C. Por tanto, la solución general de la ecuación x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) voluntad

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), o y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Usando la condición inicial y|_(x=2)=4, obtenemos la ecuación para encontrar C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, de donde C=0 ; entonces la solución al problema de Cauchy planteado será la función y=x^2.

Ejemplo 4. Se sabe que existe una relación entre la corriente i y la fuerza electromotriz E en un circuito que tiene resistencia R y autoinductancia L. E=Ri+L\frac(di)(dt), donde R y L son constantes. Si consideramos E en función del tiempo t, obtenemos una ecuación lineal no homogénea para la intensidad de corriente i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Encuentre la intensidad actual i(t) para el caso en que E=E_0=\texto(constante) y yo(0)=I_0.

Solución. Tenemos \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. La solución general de esta ecuación tiene la forma i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Usando la condición inicial (13), obtenemos de C=I_0-\frac(E_0)(R), por lo que la solución deseada será

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Esto muestra que en t\to+\infty la intensidad actual i(t) tiende a un valor constante \frac(E_0)(R) .

Ejemplo 5. Se da una familia C_\alpha de curvas integrales de la ecuación lineal no homogénea y"+p(x)y=q(x).

Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas C_\alpha definidas por la ecuación lineal se cortan en un punto (Fig. 13).

Solución. Considere la tangente a cualquier curva C_\alpha en el punto M(x,y). La ecuación de la tangente en el punto M(x,y) tiene la forma.

\eta-q(x)(\xi-x)=y, donde \xi,\eta son las coordenadas actuales del punto tangente.

Por definición, en los puntos correspondientes x es constante e y es variable. Tomando dos tangentes cualesquiera a las rectas C_\alpha en los puntos correspondientes, para las coordenadas del punto S de su intersección, obtenemos

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Esto muestra que todas las tangentes a las curvas C_\alpha en los puntos correspondientes (x es fijo) se cruzan en el mismo punto

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminando el argumento x en el sistema, obtenemos la ecuación del lugar geométrico de los puntos. S\dos puntos f(\xi,\eta)=0.

Ejemplo 6. Encuentra la solución a la ecuación. y"-y=\cos(x)-\sin(x), cumpliendo la condición: y está limitado en y\to+\infty .

Solución. La solución general de esta ecuación es y=Ce^x+\sin(x) . Cualquier solución a la ecuación obtenida a partir de la solución general para C\ne0 será ilimitada, ya que para x\to+\infty la función \sin(x) está acotada y e^x\to+\infty . De ello se deduce que esta ecuación tiene una solución única y=\sin(x) , acotada en x\to+\infty , que se obtiene de la solución general en C=0 .

La ecuación de Bernoulli.

La ecuación diferencial de Bernoulli parece

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, donde n\ne0;1 (para n=0 y n=1 esta ecuación es lineal).

Usando reemplazo de variables z=\frac(1)(y^(n-1)) La ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal y se integra como lineal.

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación de Bernoulli y"-xy=-xy^3.

Solución. Divide ambos lados de la ecuación por y^3:

\frac(y"))(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Hacer un cambio de variable \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", dónde \frac(y"))(y^3)=-\frac(z"))(2). Después de la sustitución, la última ecuación se convierte en una ecuación lineal.

-\frac(z")(2)-xz=-x o z"+2xz=2x, cuya solución general es z=1+Ce^(-x^2).

De aquí obtenemos la integral general de esta ecuación.

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) o y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Comentario. La ecuación de Bernoulli también se puede integrar mediante el método de variación de una constante, como una ecuación lineal, y usando la sustitución y(x)=u(x)v(x).

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación de Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x).

Solución. Apliquemos el método de variación de una constante arbitraria. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea xy"+y=0 tiene la forma y=\frac(C)(x). Buscamos la solución general de la ecuación en la forma y=\frac(C(x)) (x) , donde C(x) - nueva función desconocida Sustituyendo en la ecuación original, tenemos.

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Para encontrar la función C(x), obtenemos una ecuación con variables separables, de la cual, separando las variables e integrando, encontramos

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Entonces, la solución general de la ecuación original y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Algunas ecuaciones no lineales de primer orden se pueden reducir a ecuaciones lineales o ecuaciones de Bernoulli utilizando un cambio de variables encontrado con éxito.

Ejemplo 9. Resuelve la ecuación y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Solución. Escribamos esta ecuación en la forma y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2\cos^2\frac(y)(2), obtenemos \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Reemplazo \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) reduce esta ecuación a lineal \frac(dz)(dx)+z=-x, cuya solución general es z=1-x+Ce^(-x) .

Reemplazando z por su expresión en términos de y, obtenemos la integral general de esta ecuación \nombredeloperador(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

En algunas ecuaciones, la función deseada y(x) puede estar bajo el signo integral. En estos casos, a veces es posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial por diferenciación.

Ejemplo 10. Resuelve la ecuación x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Solución. Derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a x, obtenemos

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (incógnita) o Fuente de información

La ecuación de Bernoulli. es uno de los mas famosos ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Está escrito en la forma

Dónde a(incógnita) Y b(incógnita) son funciones continuas. Si metro= 0, entonces la ecuación de Bernoulli se convierte en una ecuación diferencial lineal. En el caso cuando metro= 1, la ecuación se convierte en una ecuación separable. En general, cuando metro≠ 0,1, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal mediante la sustitución

Nueva ecuación diferencial para la función. z(incógnita) tiene la forma

y se puede resolver utilizando los métodos descritos en la página Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

MÉTODO BERNOULI.

La ecuación considerada se puede resolver mediante el método de Bernoulli. Para hacer esto, buscamos una solución a la ecuación original en forma de producto de dos funciones: donde tú, v- funciones de incógnita. Diferenciar: Sustituir en la ecuación original (1): (2) Como v Tomemos cualquier solución distinta de cero a la ecuación: (3) La ecuación (3) es una ecuación con variables separables. Después de que encontramos su solución particular. v = v(x), sustitúyalo en (2). Dado que satisface la ecuación (3), la expresión entre paréntesis se vuelve cero. Obtenemos: Esta también es una ecuación separable. Encontramos su solución general, y con ella la solución de la ecuación original. y = uv.

64. Ecuación en diferenciales totales. Factor integrador. Métodos de solución

Ecuación diferencial de primer orden de la forma

llamado ecuación en diferenciales completos si es lado izquierdo representa el diferencial total de alguna función, es decir

Teorema. Para que la ecuación (1) sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que en algún dominio de cambio de variables simplemente conectado se cumpla la condición

La integral general de la ecuación (1) tiene la forma o

Ejemplo 1. Resolver ecuación diferencial.

Solución. Comprobemos que esta ecuación es una ecuación diferencial total:

entonces eso es se cumple la condición (2). Por lo tanto, esta ecuación es una ecuación en diferenciales totales y

por lo tanto, donde todavía es una función indefinida.

Integrando obtenemos . La derivada parcial de la función encontrada debe ser igual a, lo que da de dónde para que Así,.

Integral general de la ecuación diferencial original.

Al integrar algunas ecuaciones diferenciales, los términos se pueden agrupar de tal forma que se obtengan combinaciones fácilmente integrables.

65. Ecuaciones lineales diferenciales ordinarias de órdenes superiores: homogéneas y no homogéneas. Operador diferencial lineal, sus propiedades (con prueba).

Operador diferencial lineal y sus propiedades. El conjunto de funciones que tienen en el intervalo ( a , b ) nada menos norte derivadas, forma un espacio lineal. Considere el operador l norte (y ), que muestra la función y (incógnita ), que tiene derivadas, en una función que tiene k - norte derivados.