Conferencias sobre álgebra y geometría. Semestre 1.

Conferencia 15. Elipse.

Capítulo 15. Elipse.

cláusula 1. Definiciones básicas.

Definición. Una elipse es el GMT de un avión, la suma de las distancias a dos puntos fijos del avión, llamados focos, es un valor constante.

Definición. La distancia desde un punto arbitrario M del plano hasta el foco de la elipse se llama radio focal del punto M.

Designaciones:
– focos de la elipse,
– radios focales del punto M.

Por definicion de elipse, el punto M es un punto de la elipse si y sólo si
– valor constante. Esta constante suele denotarse como 2a:

. (1)

Tenga en cuenta que
.

Por definición de elipse, sus focos son puntos fijos, por lo que la distancia entre ellos también es un valor constante para una elipse determinada.

Definición. La distancia entre los focos de la elipse se llama distancia focal.

Designación:
.

Del triangulo
resulta que
, es decir.

.

Denotemos por b el número igual a
, es decir.

. (2)

Definición. Actitud

(3)

se llama excentricidad de la elipse.

Introduzcamos un sistema de coordenadas en este plano, que llamaremos canónico para la elipse.

Definición. El eje sobre el que se encuentran los focos de la elipse se llama eje focal.

Construyamos un PDSC canónico para la elipse, consulte la Fig. 2.

Seleccionamos el eje focal como eje de abscisas y dibujamos el eje de ordenadas que pasa por el centro del segmento.
perpendicular al eje focal.

Entonces los focos tienen coordenadas.
,
.

cláusula 2. Ecuación canónica de una elipse.

Teorema. En el sistema de coordenadas canónico de una elipse, la ecuación de la elipse tiene la forma:

. (4)

Prueba. Realizamos la prueba en dos etapas. En la primera etapa, demostraremos que las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en la elipse satisfacen la ecuación (4). En la segunda etapa demostraremos que cualquier solución a la ecuación (4) da las coordenadas de un punto que se encuentra en la elipse. De aquí se deduce que la ecuación (4) se satisface con aquellos y sólo aquellos puntos del plano de coordenadas que se encuentran en la elipse. De esto y de la definición de la ecuación de una curva se deduce que la ecuación (4) es una ecuación de una elipse.

1) Sea el punto M(x, y) un punto de la elipse, es decir la suma de sus radios focales es 2a:

.

Usemos la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas y usemos esta fórmula para encontrar los radios focales de un punto dado M:

,
, de donde obtenemos:

Movamos una raíz al lado derecho de la igualdad y la elevamos al cuadrado:

Reduciendo obtenemos:

Presentamos otros similares, reducimos a 4 y eliminamos el radical:

.

cuadratura

Abra los corchetes y acorte
:

donde obtenemos:

Usando la igualdad (2), obtenemos:

.

Dividiendo la última igualdad por
, obtenemos la igualdad (4), etc.

2) Sea ahora un par de números (x, y) que satisfagan la ecuación (4) y sea M(x, y) el punto correspondiente en el plano coordenado Oxy.

Entonces de (4) se sigue:

.

Sustituimos esta igualdad en la expresión de los radios focales del punto M:

.

Aquí usamos la igualdad (2) y (3).

De este modo,
. Asimismo,
.

Ahora observe que de la igualdad (4) se sigue que

o
etc.
, entonces la desigualdad sigue:

.

De aquí se deduce, a su vez, que

o
Y

,
. (5)

De las igualdades (5) se deduce que
, es decir. el punto M(x, y) es un punto de la elipse, etc.

El teorema ha sido demostrado.

Definición. La ecuación (4) se llama ecuación canónica de la elipse.

Definición. Los ejes de coordenadas canónicos de una elipse se denominan ejes principales de la elipse.

Definición. El origen del sistema de coordenadas canónico de una elipse se llama centro de la elipse.

cláusula 3. Propiedades de la elipse.

Teorema. (Propiedades de una elipse).

1. En el sistema de coordenadas canónico de una elipse, todo

los puntos de la elipse están en el rectángulo

,
.

2. Los puntos se encuentran en

3. Una elipse es una curva que es simétrica con respecto a

sus ejes principales.

4. El centro de la elipse es su centro de simetría.

Prueba. 1, 2) Se sigue inmediatamente de la ecuación canónica de la elipse.

3, 4) Sea M(x, y) un punto arbitrario de la elipse. Entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (4). Pero entonces las coordenadas de los puntos también satisfacen la ecuación (4) y, por tanto, son puntos de la elipse, de donde se derivan los enunciados del teorema.

El teorema ha sido demostrado.

Definición. La cantidad 2a se llama eje mayor de la elipse, la cantidad a se llama semieje mayor de la elipse.

Definición. La cantidad 2b se llama eje menor de la elipse, la cantidad b se llama semieje menor de la elipse.

Definición. Los puntos de intersección de una elipse con sus ejes principales se denominan vértices de la elipse.

Comentario. Una elipse se puede construir de la siguiente manera. En el avión, "clavamos un clavo en los focos" y les sujetamos un trozo de hilo.
. Luego cogemos un lápiz y lo utilizamos para tensar el hilo. Luego movemos la mina del lápiz a lo largo del plano, asegurándonos de que el hilo quede tenso.

De la definición de excentricidad se deduce que

Fijemos el número a y dirijamos el número c a cero. Entonces en
,
Y
. En el límite llegamos

o
– ecuación de un círculo.

Ahora dirijamos
. Entonces
,
y vemos que en el límite la elipse degenera en un segmento de recta
en la notación de la Figura 3.

cláusula 4. Ecuaciones paramétricas de la elipse.

Teorema. Dejar
– números reales arbitrarios. Entonces el sistema de ecuaciones

,
(6)

son ecuaciones paramétricas de una elipse en el sistema de coordenadas canónico de la elipse.

Prueba. Basta demostrar que el sistema de ecuaciones (6) es equivalente a la ecuación (4), es decir tienen el mismo conjunto de soluciones.

1) Sea (x, y) una solución arbitraria del sistema (6). Divide la primera ecuación por a, la segunda por b, eleva al cuadrado ambas ecuaciones y suma:

.

Aquellos. cualquier solución (x, y) del sistema (6) satisface la ecuación (4).

2) Por el contrario, sea el par (x, y) una solución de la ecuación (4), es decir,

.

De esta igualdad se deduce que el punto con coordenadas
se encuentra en un círculo de radio unitario con centro en el origen, es decir es un punto en un círculo trigonométrico al que corresponde un cierto ángulo
:

De la definición de seno y coseno se deduce inmediatamente que

,
, Dónde
, de lo que se deduce que el par (x, y) es una solución al sistema (6), etc.

El teorema ha sido demostrado.

Comentario. Se puede obtener una elipse como resultado de una "compresión" uniforme de un círculo de radio a hacia el eje de abscisas.

Dejar
– ecuación de una circunferencia con centro en el origen. La “compresión” de un círculo al eje de abscisas no es más que una transformación del plano coordenado, realizada según la siguiente regla. A cada punto M(x, y) le asociamos un punto en el mismo plano
, Dónde
,
– relación de compresión.

Con esta transformación, cada punto del círculo "hace una transición" a otro punto del plano, que tiene la misma abscisa, pero una ordenada más pequeña. Expresemos la ordenada antigua de un punto a través de la nueva:

y sustituimos círculos en la ecuación:

.

De aquí obtenemos:

. (7)

De ello se deduce que si antes de la transformación de “compresión” el punto M(x, y) estaba en el círculo, es decir sus coordenadas satisfacían la ecuación del círculo, luego después de la transformación de "compresión" este punto se "transformó" en el punto
, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de elipse (7). Si queremos obtener la ecuación de una elipse con semieje menor b, entonces debemos tomar el factor de compresión.

.

cláusula 5. Tangente a una elipse.

Teorema. Dejar
– punto arbitrario de la elipse

.

Entonces la ecuación de la tangente a esta elipse en el punto
tiene la forma:

. (8)

Prueba. Basta considerar el caso en el que el punto de tangencia se encuentra en el primer o segundo cuarto del plano de coordenadas:
. La ecuación de la elipse en el semiplano superior tiene la forma:

. (9)

Usemos la ecuación tangente a la gráfica de la función.
en el punto
:

Dónde
– el valor de la derivada de una función dada en un punto
. La elipse en el primer cuarto se puede considerar como una gráfica de la función (8). Encontremos su derivada y su valor en el punto de tangencia:

,

. Aquí aprovechamos el hecho de que el punto tangente
es un punto de la elipse y por lo tanto sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse (9), es decir

.

Sustituimos el valor encontrado de la derivada en la ecuación tangente (10):

,

donde obtenemos:

De esto se desprende:

Dividamos esta igualdad por
:

.

Queda por señalar que
, porque punto
pertenece a la elipse y sus coordenadas satisfacen su ecuación.

La ecuación tangente (8) se demuestra de manera similar en el punto de tangencia que se encuentra en el tercer o cuarto cuarto del plano de coordenadas.

Y finalmente, podemos verificar fácilmente que la ecuación (8) da la ecuación tangente en los puntos
,
:

o
, Y
o
.

El teorema ha sido demostrado.

cláusula 6. Propiedad especular de una elipse.

Teorema. La tangente a la elipse tiene ángulos iguales con los radios focales del punto de tangencia.

Dejar
– punto de contacto,
,
– radios focales del punto tangente, P y Q – proyecciones de focos en la tangente trazada a la elipse en el punto
.

El teorema establece que

. (11)

Esta igualdad puede interpretarse como la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión de un rayo de luz desde una elipse liberada de su foco. Esta propiedad se llama propiedad especular de la elipse:

Un rayo de luz liberado desde el foco de la elipse, después de reflejarse en el espejo de la elipse, pasa a través de otro foco de la elipse.

Prueba del teorema. Para demostrar la igualdad de los ángulos (11), demostramos la similitud de los triángulos.
Y
, en el que las partes
Y
será similar. Como los triángulos son rectángulos, basta con demostrar la igualdad.

Definición. Una elipse es el lugar geométrico de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales a dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante (siempre que este valor sea mayor que la distancia entre los focos). .

Denotamos los focos a través de la distancia entre ellos - a través de , y un valor constante, igual a la cantidad distancias desde cada punto de la elipse hasta los focos, pasando (según la condición).

Construyamos un sistema de coordenadas cartesiano de modo que los focos estén en el eje de abscisas y el origen de las coordenadas coincida con la mitad del segmento (Fig. 44). Entonces los focos tendrán las siguientes coordenadas: foco izquierdo y foco derecho. Derivemos la ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas que hemos elegido. Para ello, considere un punto arbitrario de la elipse. Por definición de elipse, la suma de las distancias desde este punto a los focos es igual a:

Usando la fórmula para la distancia entre dos puntos, obtenemos por tanto

Para simplificar esta ecuación la escribimos en la forma

Luego elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación obtenemos

o, después de obvias simplificaciones:

Ahora elevamos nuevamente al cuadrado ambos lados de la ecuación, después de lo cual tenemos:

o, después de transformaciones idénticas:

Dado que, según la condición de la definición de elipse, el número es positivo. Introduzcamos la notación

Entonces la ecuación tomará la siguiente forma:

Según la definición de elipse, las coordenadas de cualquiera de sus puntos satisfacen la ecuación (26). Pero la ecuación (29) es consecuencia de la ecuación (26). En consecuencia, también lo satisfacen las coordenadas de cualquier punto de la elipse.

Se puede demostrar que las coordenadas de los puntos que no se encuentran en la elipse no satisfacen la ecuación (29). Por tanto, la ecuación (29) es la ecuación de una elipse. Se llama ecuación canónica de la elipse.

Establezcamos la forma de la elipse usando su ecuación canónica.

En primer lugar, prestemos atención al hecho de que esta ecuación contiene solo grados pares x e y. Esto significa que si algún punto pertenece a una elipse, entonces también contiene un punto simétrico con el punto relativo al eje de abscisas y un punto simétrico con el punto relativo al eje de ordenadas. Así, la elipse tiene dos ejes de simetría mutuamente perpendiculares, que en el sistema de coordenadas que hemos elegido coinciden con los ejes de coordenadas. De ahora en adelante llamaremos a los ejes de simetría de la elipse ejes de la elipse y al punto de su intersección centro de la elipse. El eje en el que se ubican los focos de la elipse (en en este caso eje x) se llama eje focal.

Primero determinemos la forma de la elipse en el primer cuarto. Para hacer esto, resolvamos la ecuación (28) para y:

Es obvio que aquí, ya que y toma valores imaginarios. A medida que aumenta de 0 a a, y disminuye de b a 0. La parte de la elipse que se encuentra en el primer cuarto será un arco delimitado por los puntos B (0; b) y que se encuentra en los ejes de coordenadas (Fig. 45). Usando ahora la simetría de la elipse, llegamos a la conclusión de que la elipse tiene la forma que se muestra en la Fig. 45.

Los puntos de intersección de la elipse con los ejes se denominan vértices de la elipse. De la simetría de la elipse se deduce que, además de los vértices, la elipse tiene dos vértices más (ver Fig. 45).

Los segmentos y los vértices opuestos que conectan la elipse, así como sus longitudes, se denominan ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Los números a y b se denominan semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

La relación entre la mitad de la distancia entre los focos y el semieje mayor de la elipse se llama excentricidad de la elipse y generalmente se denota con la letra:

Dado que , la excentricidad de la elipse es menor que la unidad: La excentricidad caracteriza la forma de la elipse. De hecho, de la fórmula (28) se deduce que cuanto menor es la excentricidad de la elipse, menos difiere su semieje menor b del semieje mayor a, es decir, menos alargada es la elipse (a lo largo del eje focal).

En el caso límite, el resultado es un círculo de radio a: , o . Al mismo tiempo, los focos de la elipse parecen fusionarse en un punto: el centro del círculo. La excentricidad del círculo es cero:

La conexión entre la elipse y el círculo se puede establecer desde otro punto de vista. Demostremos que una elipse con semiejes a y b puede considerarse como una proyección de un círculo de radio a.

Consideremos dos planos P y Q, que forman entre sí un ángulo a, para el cual (Fig. 46). Construyamos un sistema de coordenadas en el plano P, y en el plano Q un sistema Oxy con un origen común O y un eje de abscisas común coincidente con la línea de intersección de los planos. Considere un círculo en el plano P.

con centro en el origen y radio igual a a. Sea un punto elegido arbitrariamente en el círculo, sea su proyección sobre el plano Q y sea la proyección del punto M sobre el eje Ox. Demostremos que el punto se encuentra en una elipse con semiejes a y b.

Líneas de segundo orden.
Elipse y su ecuación canónica. Círculo

Después de un estudio exhaustivo lineas rectas en el avion Seguimos estudiando la geometría del mundo bidimensional. Lo que está en juego se duplica y los invito a visitar una pintoresca galería de elipses, hipérbolas, parábolas, que son representantes típicos lineas de segundo orden. La excursión ya ha comenzado, y primero breve información sobre toda la exposición en las diferentes plantas del museo:

El concepto de recta algebraica y su orden.

Una recta en un plano se llama algebraico, si en sistema de coordenadas afines su ecuación tiene la forma , donde es un polinomio que consta de términos de la forma ( – número real, – enteros no negativos).

Como puede ver, la ecuación de una recta algebraica no contiene senos, cosenos, logaritmos y otras funciones beau monde. Sólo las X y las Y enteros no negativos grados.

Orden de línea igual al valor máximo de los términos incluidos en el mismo.

Según el teorema correspondiente, el concepto de recta algebraica, así como su orden, no dependen de la elección. sistema de coordenadas afines, por lo tanto, para facilitar la existencia, asumimos que todos los cálculos posteriores se realizan en Coordenadas cartesianas.

ecuación general la segunda línea de orden tiene la forma , donde – números reales arbitrarios (Se acostumbra escribirlo con un factor de dos), y los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

Si , entonces la ecuación se simplifica a , y si los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo, entonces esto es exactamente ecuación general de una línea "plana", que representa línea de primer orden.

Muchos han entendido el significado de los nuevos términos, pero, sin embargo, para dominar el material al 100%, metemos los dedos en el enchufe. Para determinar el orden de las líneas, es necesario iterar todos los términos sus ecuaciones y encuentre para cada una de ellas suma de grados variables entrantes.

Por ejemplo:

el término contiene “x” elevado a la 1ª potencia;
el término contiene “Y” elevado a la 1ª potencia;
No hay variables en el término, por lo que la suma de sus potencias es cero.

Ahora averigüemos por qué la ecuación define la recta. segundo orden:

el término contiene “x” elevado a la segunda potencia;
el sumando tiene la suma de las potencias de las variables: 1 + 1 = 2;
el término contiene “Y” elevado a la segunda potencia;
todos los demás términos - menos grados.

Valor máximo: 2

Si además sumamos, digamos, a nuestra ecuación, entonces ya determinará línea de tercer orden. Obviamente, la forma general de la ecuación lineal de tercer orden contiene un "conjunto completo" de términos, cuya suma de las potencias de las variables es igual a tres:
, donde los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

En el caso de que agregue uno o más términos adecuados que contengan , entonces ya hablaremos de líneas de cuarto orden, etc.

Tendremos que encontrarnos con líneas algebraicas de orden 3, 4 y superiores más de una vez, en particular, al familiarizarnos con sistema de coordenadas polares.

Sin embargo, volvamos a la ecuación general y recordemos sus variaciones escolares más simples. Como ejemplo, se sugiere una parábola, cuya ecuación se puede reducir fácilmente a apariencia general, y una hipérbola con la ecuación equivalente . Sin embargo, no todo es tan sencillo...

Un inconveniente importante de la ecuación general es que casi siempre no está claro qué recta define. Incluso en el caso más simple, no te darás cuenta inmediatamente de que se trata de una hipérbole. Estos diseños sólo son buenos para un baile de máscaras, por lo que en el curso de la geometría analítica consideramos tarea típica llevar la ecuación lineal de segundo orden a su forma canónica.

¿Cuál es la forma canónica de una ecuación?

Esto es generalmente aceptado vista estándar ecuación, cuando en cuestión de segundos queda claro qué objeto geométrico define. Además, la forma canónica es muy conveniente para resolver muchos tareas practicas. Entonces, por ejemplo, según la ecuación canónica "plano" recto, en primer lugar, queda inmediatamente claro que se trata de una línea recta y, en segundo lugar, el punto que le pertenece y el vector de dirección son fácilmente visibles.

Es obvio que cualquier primera línea de orden es una línea recta. En el segundo piso ya no nos espera el vigilante, sino un grupo mucho más variado de nueve estatuas:

Clasificación de líneas de segundo orden.

Al usar complejo especial acciones, cualquier ecuación de una recta de segundo orden se reduce a una de las siguientes formas:

(y son números reales positivos)

1) – ecuación canónica de la elipse;

2) – ecuación canónica de una hipérbola;

3) – ecuación canónica de una parábola;

4) – imaginario elipse;

5) – un par de líneas que se cruzan;

6) – par imaginario líneas de intersección (con un único punto de intersección válido en el origen);

7) – un par de líneas paralelas;

8) – par imaginario líneas paralelas;

9) – un par de líneas coincidentes.

Algunos lectores pueden tener la impresión de que la lista está incompleta. Por ejemplo, en el punto N° 7, la ecuación especifica el par directo, paralela al eje, y surge la pregunta: ¿dónde está la ecuación que determina las rectas paralelas al eje de ordenadas? Respuesta: eso no considerado canónico. Las líneas rectas representan el mismo caso estándar, giradas 90 grados, y la entrada adicional en la clasificación es redundante, ya que no aporta nada fundamentalmente nuevo.

Entonces hay nueve y solo nueve. varios tipos líneas de segundo orden, pero en la práctica se encuentran con mayor frecuencia elipse, hipérbola y parábola.

Veamos primero la elipse. Como siempre, me centro en aquellos puntos que tienen gran valor para resolver problemas, y si necesita una derivación detallada de fórmulas, demostraciones de teoremas, consulte, por ejemplo, el libro de texto de Bazylev/Atanasyan o Aleksandrov.

Elipse y su ecuación canónica

Ortografía... por favor, no repitan los errores de algunos usuarios de Yandex que están interesados ​​en "cómo construir una elipse", "la diferencia entre una elipse y un óvalo" y "la excentricidad de una elipse".

La ecuación canónica de una elipse tiene la forma , donde son números reales positivos y . Formularé la definición misma de elipse más adelante, pero por ahora es hora de tomar un descanso de la charla y resolver un problema común:

¿Cómo construir una elipse?

Sí, tómalo y dibújalo. La tarea se realiza con frecuencia y una parte importante de los alumnos no afronta correctamente el dibujo:

Ejemplo 1

Construye la elipse dada por la ecuación.

Solución: Primero, llevemos la ecuación a su forma canónica:

¿Por qué traer? Una de las ventajas de la ecuación canónica es que le permite determinar instantáneamente vértices de la elipse, que se encuentran en puntos. Es fácil ver que las coordenadas de cada uno de estos puntos satisfacen la ecuación.

En este caso:


Segmento llamado eje mayor elipse;
segmento – eje menor;
número llamado eje semi mayor elipse;
número – eje menor.
en nuestro ejemplo: .

Para imaginar rápidamente cómo se ve una elipse en particular, basta con mirar los valores de "a" y "be" de su ecuación canónica.

Todo está bien, suave y hermoso, pero hay una advertencia: el dibujo lo hice usando el programa. Y puedes hacer el dibujo usando cualquier aplicación. Sin embargo, en dura realidad Hay un trozo de papel a cuadros sobre la mesa y los ratones bailan en círculos sobre nuestras manos. Las personas con talento artístico, por supuesto, pueden discutir, pero también hay ratones (aunque más pequeños). No en vano la humanidad inventó la regla, el compás, el transportador y otros sencillos dispositivos para dibujar.

Por esta razón, es poco probable que podamos dibujar con precisión una elipse conociendo sólo los vértices. Está bien si la elipse es pequeña, por ejemplo, con semiejes. Alternativamente, puede reducir la escala y, en consecuencia, las dimensiones del dibujo. pero en caso general Es muy deseable encontrar puntos adicionales.

Hay dos enfoques para construir una elipse: geométrico y algebraico. No me gusta construir con compás y regla porque el algoritmo no es el más corto y el dibujo está muy desordenado. En caso de emergencia, consulte el libro de texto, pero en realidad es mucho más racional utilizar las herramientas del álgebra. De la ecuación de la elipse en el borrador expresamos rápidamente:

Luego, la ecuación se divide en dos funciones:
– define el arco superior de la elipse;
– define el arco inferior de la elipse.

La elipse definida por la ecuación canónica es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, así como con respecto al origen. Y esto es genial: la simetría es casi siempre un presagio de regalos. Obviamente, es suficiente tratar con el primer cuarto de coordenadas, por lo que necesitamos la función . Se plantea la cuestión de encontrar puntos adicionales con abscisas. . Toquemos tres mensajes SMS en la calculadora:

Por supuesto, también es bueno que si se comete un error grave en los cálculos, quede inmediatamente claro durante la construcción.

Marque los puntos en el dibujo (color rojo), puntos simétricos en los arcos restantes ( azul) y conecta cuidadosamente toda la empresa con una línea:


Es mejor dibujar el boceto inicial muy fino y solo luego aplicar presión con un lápiz. El resultado debería ser una elipse bastante decente. Por cierto, ¿te gustaría saber cuál es esta curva?

Definición de elipse. Focos de elipse y excentricidad de elipse.

La elipse es caso especial oval La palabra "óvalo" no debe entenderse en el sentido filisteo ("el niño dibujó un óvalo", etc.). Este es un término matemático que tiene una formulación detallada. El propósito de esta lección no es considerar la teoría de los óvalos y sus diversos tipos, que prácticamente no reciben atención en curso estándar geometría analítica. Y, según más necesidades actuales, pasamos inmediatamente a la definición estricta de elipse:

Elipse es el conjunto de todos los puntos del plano, la suma de las distancias a cada uno de los cuales desde dos puntos dados, llamado engaños elipse, es una cantidad constante, numéricamente igual a la longitud del eje mayor de esta elipse: .
En este caso las distancias entre los focos son menores que este valor: .

Ahora todo quedará más claro:

Imagine que el punto azul “viaja” a lo largo de una elipse. Entonces, no importa qué punto de la elipse tomemos, la suma de las longitudes de los segmentos siempre será la misma:

Asegurémonos de que en nuestro ejemplo el valor de la suma sea realmente igual a ocho. Mentalmente coloque el punto “um” en el vértice derecho de la elipse, luego: , que es lo que había que verificar.

Otro método para dibujarlo se basa en la definición de elipse. Las matemáticas avanzadas son a veces causa de tensión y estrés, por lo que es hora de tener otra sesión de descarga. Tome papel Whatman o una hoja grande de cartón y fíjelo a la mesa con dos clavos. Estos serán trucos. Ata un hilo verde a las cabezas de los clavos que sobresalen y tira de él hasta el final con un lápiz. La mina del lápiz terminará en un punto determinado que pertenece a la elipse. Ahora empieza a dibujar el lápiz a lo largo de la hoja de papel, manteniendo tenso el hilo verde. Continúe el proceso hasta regresar a punto de partida... genial... el dibujo se puede enviar al médico y al maestro para su verificación =)

¿Cómo encontrar los focos de una elipse?

En el ejemplo anterior, representé puntos focales "ya hechos" y ahora aprenderemos cómo extraerlos de las profundidades de la geometría.

Si una elipse está dada por una ecuación canónica, entonces sus focos tienen coordenadas ¿Dónde está esto? Distancia de cada foco al centro de simetría de la elipse..

Los cálculos son más simples que simples:

! ¡Las coordenadas específicas de los focos no pueden identificarse con el significado de "tse"! repito que esto es DISTANCIA de cada foco al centro(que en el caso general no tiene por qué estar situado exactamente en el origen).
Y, por tanto, la distancia entre los focos tampoco puede vincularse a la posición canónica de la elipse. En otras palabras, la elipse se puede mover a otro lugar y el valor permanecerá sin cambios, mientras que los focos cambiarán naturalmente sus coordenadas. Por favor considere en este momento durante el estudio adicional del tema.

Excentricidad de la elipse y su significado geométrico.

La excentricidad de una elipse es una relación que puede tomar valores dentro del rango.

En nuestro caso:

Averigüemos cómo depende la forma de una elipse de su excentricidad. Para esto arreglar los vértices izquierdo y derecho de la elipse considerada, es decir, el valor del semieje mayor permanecerá constante. Entonces la fórmula de excentricidad tomará la forma: .

Comencemos a acercar el valor de la excentricidad a la unidad. Esto sólo es posible si. ¿Qué significa? ...recuerda los trucos . Esto significa que los focos de la elipse se "separarán" a lo largo del eje de abscisas hacia los vértices laterales. Y, dado que "los segmentos verdes no son de goma", la elipse inevitablemente comenzará a aplanarse, convirtiéndose en una salchicha cada vez más delgada ensartada sobre un eje.

De este modo, cómo valor más cercano excentricidad de la elipse a la unidad, más alargada será la elipse.

Ahora modelemos el proceso opuesto: los focos de la elipse. Caminaron el uno hacia el otro, acercándose al centro. Esto significa que el valor de “ce” es cada vez menor y, en consecuencia, la excentricidad tiende a cero: .
En este caso, los “segmentos verdes”, por el contrario, “se llenarán” y comenzarán a “empujar” la línea elíptica hacia arriba y hacia abajo.

De este modo, Cuanto más cercano a cero esté el valor de excentricidad, más similar será la elipse a... mire el caso límite cuando los focos se reúnen con éxito en el origen:

Un círculo es un caso especial de una elipse.

De hecho, en el caso de igualdad de los semiejes, la ecuación canónica de la elipse toma la forma , que reflexivamente se transforma en la ecuación de un círculo con centro en el origen del radio "a", bien conocida en la escuela.

En la práctica, se utiliza con mayor frecuencia la notación con la letra “parlante” “er”: . El radio es la longitud de un segmento, con cada punto del círculo alejado del centro por una distancia de radio.

Tenga en cuenta que la definición de elipse sigue siendo completamente correcta: los focos coinciden y la suma de las longitudes de los segmentos coincidentes para cada punto del círculo es una constante. Como la distancia entre los focos es , entonces la excentricidad de cualquier círculo es cero.

Construir un círculo es fácil y rápido, solo usa un compás. Sin embargo, a veces es necesario averiguar las coordenadas de algunos de sus puntos, en este caso vamos por el camino habitual: llevamos la ecuación a la alegre forma de Matanov:

– función del semicírculo superior;
– función del semicírculo inferior.

Después de lo cual encontramos valores requeridos, diferenciar, integrar y hacer otras cosas buenas.

El artículo, por supuesto, es sólo como referencia, pero ¿cómo se puede vivir en el mundo sin amor? tarea creativa para decisión independiente

Ejemplo 2

Redacte la ecuación canónica de una elipse si se conocen uno de sus focos y su semieje menor (el centro está en el origen). Encuentra vértices, puntos adicionales y dibuja una línea en el dibujo. Calcular la excentricidad.

Solución y dibujo al final de la lección.

Agreguemos una acción:

Rotar y trasladar paralelamente una elipse.

Volvamos a la ecuación canónica de la elipse, es decir, a la condición cuyo misterio ha atormentado a las mentes curiosas desde la primera mención de esta curva. Entonces miramos la elipse. , pero ¿no es posible en la práctica cumplir la ecuación ? Al fin y al cabo, ¡también aquí parece una elipse!

Este tipo de ecuación es poco común, pero se da. Y en realidad define una elipse. Desmitifiquemos:

Como resultado de la construcción, obtuvimos nuestra elipse nativa, girada 90 grados. Eso es, - Este entrada no canónica elipse . ¡Registro!– ecuación no define ninguna otra elipse, ya que no hay puntos (focos) en el eje que satisfagan la definición de elipse.

11.1. Conceptos básicos

Consideremos líneas definidas por ecuaciones de segundo grado con respecto a las coordenadas actuales.

Los coeficientes de la ecuación son números reales, pero al menos uno de los números A, B o C es distinto de cero. Estas líneas se denominan líneas (curvas) de segundo orden. A continuación se establecerá que la ecuación (11.1) define una circunferencia, elipse, hipérbola o parábola en el plano. Antes de pasar a esta afirmación, estudiemos las propiedades de las curvas enumeradas.

11.2. Círculo

La curva de segundo orden más simple es un círculo. Recuerde que una circunferencia de radio R con centro en un punto es el conjunto de todos los puntos M del plano que satisfacen la condición. Sea un punto en un sistema de coordenadas rectangulares las coordenadas x 0, y 0 y - un punto arbitrario en un círculo (ver Fig. 48).

Luego de la condición obtenemos la ecuación

(11.2)

La ecuación (11.2) se satisface con las coordenadas de cualquier punto en un círculo dado y no se cumple con las coordenadas de ningún punto que no se encuentre en el círculo.

La ecuación (11.2) se llama ecuación canónica de un círculo

En particular, estableciendo y , obtenemos la ecuación de un círculo con centro en el origen .

La ecuación circular (11.2) después de transformaciones simples tomará la forma. Al comparar esta ecuación con la ecuación general (11.1) de una curva de segundo orden, es fácil notar que se cumplen dos condiciones para la ecuación de un círculo:

1) los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales entre sí;

2) no hay ningún miembro que contenga el producto xy de las coordenadas actuales.

Consideremos el problema inverso. Poniendo los valores y en la ecuación (11.1), obtenemos

Transformemos esta ecuación:

(11.4)

De ello se deduce que la ecuación (11.3) define un círculo bajo la condición . Su centro está en el punto

.

, y el radio Si

.

, entonces la ecuación (11.3) tiene la forma Se satisface con las coordenadas de un solo punto.

. En este caso dicen: “el círculo ha degenerado en un punto” (tiene radio cero). Si, entonces la ecuación (11.4), y por lo tanto ecuación equivalente(11.3) no definirá ninguna línea, ya que

lado derecho

La ecuación (11.4) es negativa y la de la izquierda no es negativa (digamos: “el círculo es imaginario”).

11.3. Elipse Ecuación de elipse canónica engaños Elipse

es el conjunto de todos los puntos de un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales a dos puntos dados de este plano, llamado , es un valor constante mayor que la distancia entre los focos. Denotemos los focos por F 1, la distancia entre ellos es 2 do, y la suma de distancias desde un punto arbitrario de la elipse hasta los focos - en 2 a(ver figura 49). Por definición 2 a > 2do, es decir. a > do.

Para derivar la ecuación de la elipse, elegimos un sistema de coordenadas tal que los focos , es un valor constante mayor que la distancia entre los focos. Denotemos los focos por F 1 yacía en el eje, y el origen coincidía con la mitad del segmento F 1 F 2.

Entonces los focos tendrán las siguientes coordenadas: y .

Sea un punto arbitrario de la elipse. Entonces, según la definición de elipse, es decir

Ésta, en esencia, es la ecuación de una elipse. Transformemos la ecuación (11.5) a más vista sencilla

como sigue: a>Porque Con

(11.6)

, Eso . vamos a poner

(11.7)

Entonces la última ecuación tomará la forma o Se puede demostrar que la ecuación (11.7) es equivalente a la ecuación original. se llama .

ecuación de elipse canónica

Una elipse es una curva de segundo orden.

Establezcamos la forma de la elipse usando su ecuación canónica.

Estudio de la forma de una elipse mediante su ecuación.

1. La ecuación (11.7) contiene xey solo en potencias pares, por lo que si un punto pertenece a la elipse, entonces los puntos también pertenecen a ella. De ello se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes y, así como con respecto al punto, que se llama centro de la elipse. 1 , 2. Encuentra los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas. Poniendo , encontramos dos puntos y , en los cuales el eje cruza la elipse (ver Fig. 50). Poniendo en la ecuación (11.7) , encontramos los puntos de intersección de la elipse con el eje: y . Agujas , A, un 2 B 1 B 2 son llamados De ello se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes y, así como con respecto al punto, que se llama centro de la elipse. 1 2. Encuentra los puntos de intersección de la elipse con los ejes de coordenadas. Poniendo , encontramos dos puntos y , en los cuales el eje cruza la elipse (ver Fig. 50). Poniendo en la ecuación (11.7) , encontramos los puntos de intersección de la elipse con el eje: y . Agujas Denotemos los focos por vértices de la elipse. Segmentos a B 1 B 2 , así como sus longitudes 2 y 2 b son llamados en consecuencia a Denotemos los focos por , así como sus longitudes 2 ejes mayor y menor elipse. Números se llaman grandes y pequeños respectivamente

semiejes

elipse.

3. De la ecuación (11.7) se deduce que cada término del lado izquierdo no excede uno, es decir las desigualdades y o y tienen lugar. En consecuencia, todos los puntos de la elipse se encuentran dentro del rectángulo formado por las rectas.

4. En la ecuación (11.7), la suma de los términos no negativos y es igual a uno. En consecuencia, a medida que un término aumenta, el otro disminuirá, es decir, si aumenta, disminuye y viceversa.

De lo anterior se deduce que la elipse tiene la forma que se muestra en la Fig. 50 (curva cerrada ovalada).

Más información sobre la elipse<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Esto muestra que cuanto menor sea la excentricidad de la elipse, menos aplanada será la elipse; Si establecemos ε = 0, entonces la elipse se convierte en un círculo.

Sea M(x;y) un punto arbitrario de la elipse con focos F 1 y F 2 (ver Fig. 51). Las longitudes de los segmentos F 1 M = r 1 y F 2 M = r 2 se denominan radios focales del punto M. Obviamente,

Las fórmulas se mantienen

Las líneas directas se llaman

Teorema 11.1. Si es la distancia desde un punto arbitrario de la elipse a algún foco, d es la distancia desde el mismo punto a la directriz correspondiente a este foco, entonces la relación es un valor constante igual a la excentricidad de la elipse:

De la igualdad (11.6) se deduce que . Si, entonces la ecuación (11.7) define una elipse, cuyo eje mayor se encuentra en el eje Oy y el eje menor en el eje Ox (ver Fig. 52). Los focos de tal elipse están en los puntos y , donde .

11.4. Hipérbola

Ecuación de hipérbola canónica

Hipérbole es el conjunto de todos los puntos del plano, el módulo de la diferencia de distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados de este plano, llamado engaños , es un valor constante menor que la distancia entre los focos.

es el conjunto de todos los puntos de un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales a dos puntos dados de este plano, llamado , es un valor constante mayor que la distancia entre los focos. Denotemos los focos por F 1 la distancia entre ellos es 2s, y el módulo de la diferencia de distancias desde cada punto de la hipérbola a los focos a través de 2a. Por definición 2a < 2s, es decir. a < do.

Para derivar la ecuación de la hipérbola, elegimos un sistema de coordenadas tal que los focos , es un valor constante mayor que la distancia entre los focos. Denotemos los focos por F 2 yacía en el eje, y el origen coincidía con la mitad del segmento F 1 F 2(ver figura 53). Entonces los focos tendrán coordenadas y

Sea un punto arbitrario de la hipérbola. Entonces, según la definición de hipérbola o , es decir, después de simplificaciones, como se hizo al derivar la ecuación de la elipse, obtenemos ecuación de hipérbola canónica

(11.9)

(11.10)

Una hipérbola es una recta de segundo orden.

Estudiar la forma de una hipérbola usando su ecuación.

Establezcamos la forma de la hipérbola usando su ecuación cacónica.

1. La ecuación (11.9) contiene xey sólo en potencias pares. En consecuencia, la hipérbola es simétrica con respecto a los ejes y , así como con respecto al punto, que se llama

el centro de la hipérbola.

2. Encuentra los puntos de intersección de la hipérbola con los ejes de coordenadas. Poniendo en la ecuación (11.9), encontramos dos puntos de intersección de la hipérbola con el eje: y. Introduciendo (11.9), obtenemos , lo cual no puede ser. Por tanto, la hipérbola no corta al eje Oy. Los puntos se llaman picos

hipérbolas y el segmento eje real , segmento - semieje real

hipérbole. El segmento que une los puntos se llama eje imaginario , número b - semieje imaginario 2a Denotemos los focos por . Rectángulo con lados 2b .

3. De la ecuación (11.9) se deduce que el minuendo no es menor que uno, es decir, eso o .

Esto significa que los puntos de la hipérbola están ubicados a la derecha de la línea (rama derecha de la hipérbola) y a la izquierda de la línea (rama izquierda de la hipérbola).

4. De la ecuación (11.9) de la hipérbola se desprende claramente que cuando aumenta, aumenta.

Esto se desprende del hecho de que la diferencia mantiene un valor constante igual a uno.

De lo anterior se deduce que la hipérbola tiene la forma que se muestra en la Figura 54 (una curva que consta de dos ramas ilimitadas). Asíntotas de una hipérbola

La recta L se llama asíntota.

(11.11)

curva K ilimitada, si la distancia d desde el punto M de la curva K hasta esta línea recta tiende a cero cuando la distancia del punto M a lo largo de la curva K desde el origen es ilimitada.

La Figura 55 proporciona una ilustración del concepto de asíntota: la línea recta L es una asíntota para la curva K. Demostremos que la hipérbola tiene dos asíntotas:

Dado que las rectas (11.11) y la hipérbola (11.9) son simétricas con respecto a los ejes de coordenadas, basta con considerar solo aquellos puntos de las rectas indicadas que se ubican en el primer cuarto. Tomemos un punto N en una recta que tiene la misma abscisa x que el punto de la hipérbola.

(ver Fig. 56), y encuentre la diferencia ΜΝ entre las ordenadas de la línea recta y la rama de la hipérbola:

Como puedes ver, a medida que x aumenta, el denominador de la fracción aumenta; el numerador es un valor constante. Por lo tanto, la longitud del segmento

ΜΝ tiende a cero. Dado que MΝ es mayor que la distancia d desde el punto M hasta la recta, entonces d tiende a cero. Entonces, las rectas son asíntotas de la hipérbola (11.9).

Al construir una hipérbola (11.9), es aconsejable construir primero el rectángulo principal de la hipérbola (ver Fig. 57), dibujar líneas rectas que pasen por los vértices opuestos de este rectángulo: las asíntotas de la hipérbola y marcar los vértices y, de la hipérbola.

(11.12)

Ecuación de una hipérbola equilátera.

cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas

La hipérbola (11.9) se llama equilátera si sus semiejes son iguales a ().

Su ecuación canónica

Las asíntotas de una hipérbola equilátera tienen ecuaciones y, por tanto, son bisectrices de ángulos coordenados.

Consideremos la ecuación de esta hipérbola en un nuevo sistema de coordenadas (ver Fig. 58), obtenido del anterior girando los ejes de coordenadas en un ángulo. la hipérbola (11.9) es la relación entre la distancia entre los focos y el valor del eje real de la hipérbola, denotada por ε:

Dado que para una hipérbola, la excentricidad de la hipérbola es mayor que uno: . La excentricidad caracteriza la forma de una hipérbola. De hecho, de la igualdad (11.10) se deduce que, es decir .

Y

De esto se puede ver que cuanto menor es la excentricidad de la hipérbola, menor es la relación de sus semiejes y, por tanto, más alargado su rectángulo principal.

La excentricidad de una hipérbola equilátera es. En realidad, Radios focales Y Radios focales .

para los puntos de la rama derecha las hipérbolas tienen la forma y , y para la rama izquierda -

Las líneas directas se llaman directrices de una hipérbola. Dado que para una hipérbola ε > 1, entonces .

Esto significa que la directriz derecha se encuentra entre el centro y el vértice derecho de la hipérbola, la izquierda, entre el centro y el vértice izquierdo. a Las directivas de una hipérbola tienen la misma propiedad que las directivas de una elipse.

La curva definida por la ecuación es también una hipérbola, cuyo eje real 2b se encuentra en el eje Oy y el eje imaginario 2

- en el eje Buey. En la Figura 59 se muestra como una línea de puntos.

Es obvio que las hipérbolas tienen asíntotas comunes. Estas hipérbolas se llaman conjugadas.

11.5. Parábola

Ecuación de parábola canónica

Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano, cada uno de los cuales está equidistante de un punto dado, llamado foco, y de una recta dada, llamada directriz. La distancia desde el foco F a la directriz se llama parámetro de la parábola y se denota por p (p > 0).

Para derivar la ecuación de la parábola, elegimos el sistema de coordenadas Oxy de modo que el eje Ox pase por el foco F perpendicular a la directriz en la dirección de la directriz a F, y el origen de las coordenadas O esté ubicado en el medio entre las foco y la directriz (ver Fig. 60). En el sistema elegido, el foco F tiene coordenadas y la ecuación directriz tiene la forma , o .

1. En la ecuación (11.13) la variable y aparece en grado par, lo que significa que la parábola es simétrica con respecto al eje Ox; El eje Ox es el eje de simetría de la parábola.

2. Como ρ > 0, de (11.13) se deduce que . En consecuencia, la parábola se encuentra a la derecha del eje Oy.

3. Cuando tenemos y = 0. Por lo tanto, la parábola pasa por el origen. 4. A medida que x aumenta indefinidamente, el módulo y también aumenta indefinidamente. La parábola tiene la forma que se muestra en la Figura 61. El punto O(0; 0) se llama vértice de la parábola, el segmento FM = r se llama radio focal del punto M. Ecuaciones , , (

Es fácil demostrar que la gráfica trinomio cuadrático, donde , B y C son números reales cualesquiera, es una parábola en el sentido de su definición dada anteriormente.

11.6. Ecuación general de rectas de segundo orden.

Ecuaciones de curvas de segundo orden con ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas

Primero encontremos la ecuación de una elipse con centro en el punto cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes de coordenadas Ox y Oy y los semiejes son respectivamente iguales. a Denotemos los focos por , así como sus longitudes 2. Coloquemos en el centro de la elipse O 1 el comienzo de un nuevo sistema de coordenadas, cuyos ejes y semiejes a Denotemos los focos por , así como sus longitudes 2(ver figura 64):

Finalmente, las parábolas que se muestran en la Figura 65 tienen sus ecuaciones correspondientes.

Ecuación

Las ecuaciones de una elipse, hipérbola, parábola y la ecuación de un círculo después de transformaciones (abrir corchetes, mover todos los términos de la ecuación a un lado, traer términos similares, introducir nuevas notaciones para coeficientes) se pueden escribir usando una sola ecuación de la forma

donde los coeficientes A y C no son iguales a cero al mismo tiempo.

Surge la pregunta: ¿toda ecuación de la forma (11.14) determina una de las curvas (círculo, elipse, hipérbola, parábola) de segundo orden? La respuesta viene dada por el siguiente teorema.

Teorema 11.2. La ecuación (11.14) siempre define: un círculo (para A = C), una elipse (para A C > 0), o una hipérbola (para A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuación general de segundo orden

Consideremos ahora ecuación general segundo grado con dos incógnitas:

Se diferencia de la ecuación (11.14) por la presencia de un término con el producto de coordenadas (B¹ 0). Es posible, girando los ejes de coordenadas en un ángulo a, transformar esta ecuación de modo que el término con el producto de coordenadas esté ausente.

Usar fórmulas de rotación de ejes

Expresemos las antiguas coordenadas en términos de las nuevas:

Elijamos el ángulo a de modo que el coeficiente para x" · y" sea cero, es decir, de modo que la igualdad

Por lo tanto, cuando los ejes giran un ángulo a que satisface la condición (11.17), la ecuación (11.15) se reduce a la ecuación (11.14).

Conclusión: la ecuación general de segundo orden (11.15) define en el plano (excepto casos de degeneración y decadencia) las siguientes curvas: círculo, elipse, hipérbola, parábola.

Nota: Si A = C, entonces la ecuación (11.17) deja de tener sentido. En este caso, cos2α = 0 (ver (11.16)), entonces 2α = 90°, es decir, α = 45°. Entonces, cuando A = C, el sistema de coordenadas debe girarse 45°.

Una elipse es el lugar geométrico de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados F_1, y F_2 es ​​un valor constante (2a) mayor que la distancia (2c) entre estos puntos dados(Figura 3.36, a). Esta definición geométrica expresa propiedad focal de una elipse.

Propiedad focal de una elipse

Los puntos F_1 y F_2 se llaman focos de la elipse, la distancia entre ellos 2c=F_1F_2 es ​​la distancia focal, la O media del segmento F_1F_2 es ​​el centro de la elipse, el número 2a es la longitud del eje mayor de la elipse (en consecuencia, el número a es el semieje mayor de la elipse). Los segmentos F_1M y F_2M que conectan un punto arbitrario M de la elipse con sus focos se denominan radios focales del punto M. El segmento que une dos puntos de una elipse se llama cuerda de la elipse.

La relación e=\frac(c)(a) se llama excentricidad de la elipse. De la definición (2a>2c) se deduce que 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definición geométrica de elipse, que expresa su propiedad focal, es equivalente a su definición analítica: la recta dada por la ecuación canónica de la elipse:

De hecho, introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular (figura 3.36c). Tomamos el centro O de la elipse como origen del sistema de coordenadas; tomamos la línea recta que pasa por los focos (eje focal o primer eje de la elipse) como eje de abscisas (la dirección positiva es del punto F_1 al punto F_2); tomemos una línea recta perpendicular al eje focal y que pasa por el centro de la elipse (el segundo eje de la elipse) como eje de ordenadas (la dirección en el eje de ordenadas se elige de modo que el sistema de coordenadas rectangular Oxy sea el correcto) .

Creemos una ecuación para la elipse usando su definición geométrica, que expresa la propiedad focal. En el sistema de coordenadas seleccionado, determinamos las coordenadas de los focos. F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para un punto arbitrario M(x,y) perteneciente a la elipse, tenemos:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Escribiendo esta igualdad en forma de coordenadas, obtenemos:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Movemos el segundo radical hacia el lado derecho, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y llevamos términos similares:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dividiendo por 4 elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

habiendo designado b=\sqrt(a^2-c^2)>0, obtenemos b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividiendo ambos lados por a^2b^2\ne0, llegamos a la ecuación canónica de la elipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Por tanto, el sistema de coordenadas elegido es canónico.

Si los focos de la elipse coinciden, entonces la elipse es un círculo (Fig. 3.36,6), ya que a=b. En este caso, cualquier sistema de coordenadas rectangular con origen en el punto será canónico. O\equiv F_1\equiv F_2, y la ecuación x^2+y^2=a^2 es la ecuación de un círculo con centro en el punto O y radio igual a a.

Al razonar en orden inverso, se puede demostrar que todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (3.49), y sólo ellos, pertenecen al lugar geométrico de puntos llamado elipse. En otras palabras, la definición analítica de una elipse es equivalente a su definición geométrica, que expresa la propiedad focal de la elipse.

Propiedad directora de una elipse

Las directivas de una elipse son dos líneas rectas que corren paralelas al eje de ordenadas del sistema de coordenadas canónico a la misma distancia \frac(a^2)(c) de él. En c=0, cuando la elipse es un círculo, no hay directivas (podemos suponer que las directivas están en el infinito).

Elipse con excentricidad 0 el lugar geométrico de los puntos en el plano, para cada uno de los cuales la relación entre la distancia a un punto dado F (foco) y la distancia a una línea recta dada d (directriz) que no pasa por un punto dado es constante e igual a la excentricidad mi ( propiedad directora de una elipse). Aquí F y d son uno de los focos de la elipse y una de sus directivas, ubicadas a un lado del eje de ordenadas del sistema de coordenadas canónico, es decir

F_1,d_1 o F_2,d_2 . De hecho, por ejemplo, para el foco F_2 y la directriz d_2 (Fig. 3.37,6) la condición\frac(r_2)(\rho_2)=e

se puede escribir en forma de coordenadas:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Deshacerse de la irracionalidad y reemplazar e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , llegamos a la ecuación de elipse canónica (3.49). Se puede realizar un razonamiento similar para el foco F_1 y el director..

d_1\dos puntos\frac(r_1)(\rho_1)=e

Ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas polares.

La ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas polares F_1r\varphi (Fig. 3.37, cy 3.37 (2)) tiene la forma

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

donde p=\frac(b^2)(a) es el parámetro focal de la elipse.

\begin(alineado)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(alineado)

Por lo tanto, en forma de coordenadas, la ecuación de la elipse F_1M+F_2M=2a tiene la forma

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Aislamos el radical, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, dividimos por 4 y presentamos términos similares:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Expresa el radio polar r y haz el reemplazo. e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Significado geométrico de los coeficientes en la ecuación de la elipse.

Encontremos los puntos de intersección de la elipse (ver figura 3.37a) con los ejes de coordenadas (vértices de la elipse). Sustituyendo y=0 en la ecuación, encontramos los puntos de intersección de la elipse con el eje de abscisas (con el eje focal): x=\pm a. En consecuencia, la longitud del segmento del eje focal contenido dentro de la elipse es igual a 2a. Este segmento, como se señaló anteriormente, se llama eje mayor de la elipse y el número a es el semieje mayor de la elipse. Sustituyendo x=0, obtenemos y=\pm b. Por tanto, la longitud del segmento del segundo eje de la elipse contenido dentro de la elipse es igual a 2b. Este segmento se llama eje menor de la elipse y el número b es el semieje menor de la elipse.

En realidad, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, y la igualdad b=a se obtiene sólo en el caso c=0, cuando la elipse es un círculo. Actitud k=\frac(b)(a)\leqslant1 se llama relación de compresión de elipse.

Notas 3.9

1. Las rectas x=\pm a,~y=\pm b limitan el rectángulo principal en el plano de coordenadas, dentro del cual hay una elipse (ver Fig. 3.37, a).

2. Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos obtenidos al comprimir un círculo a su diámetro.

De hecho, supongamos que la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas rectangular Oxy tenga la forma x^2+y^2=a^2. Cuando se comprime en el eje x con un coeficiente de 0

\begin(casos)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(casos)

Sustituyendo los círculos x=x" e y=\frac(1)(k)y" en la ecuación, obtenemos la ecuación para las coordenadas de la imagen M"(x",y") del punto M(x,y) ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ya que b=k\cdot a . Esta es la ecuación canónica de la elipse.

3. Los ejes de coordenadas (del sistema de coordenadas canónico) son los ejes de simetría de la elipse (llamados ejes principales de la elipse), y su centro es el centro de simetría.

En efecto, si el punto M(x,y) pertenece a la elipse. entonces los puntos M"(x,-y) y M""(-x,y), simétricos al punto M con respecto a los ejes de coordenadas, también pertenecen a la misma elipse.

4. De la ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas polares. r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ver Fig. 3.37, c), resulta significado geométrico El parámetro focal es la mitad de la longitud de la cuerda de la elipse que pasa por su foco perpendicular al eje focal ( r = p en \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. La excentricidad e caracteriza la forma de la elipse, es decir, la diferencia entre la elipse y el círculo. Cuanto mayor es e, más alargada es la elipse, y cuanto más cerca está e de cero, más cerca está la elipse de un círculo (figura 3.38a). De hecho, teniendo en cuenta que e=\frac(c)(a) y c^2=a^2-b^2 , obtenemos

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

donde k es la relación de compresión de la elipse, 0

6. Ecuación \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 en un

7. Ecuación \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b define una elipse con centro en el punto O"(x_0,y_0), cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas (Fig. 3.38, c). Esta ecuación se reduce a la canónica mediante traslación paralela (3.36).

Cuando a=b=R la ecuación (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 describe un círculo de radio R con centro en el punto O"(x_0,y_0) .

Ecuación paramétrica de elipse

Ecuación paramétrica de elipse en el sistema de coordenadas canónico tiene la forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

De hecho, sustituyendo estas expresiones en la ecuación (3.49), llegamos a la identidad trigonométrica principal \cos^2t+\sin^2t=1 .

Ejemplo 3.20. dibujar una elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 en el sistema de coordenadas canónico Oxy. Encuentre semiejes, distancia focal, excentricidad, relación de aspecto, parámetro focal, ecuaciones de directriz.

Solución. Comparando la ecuación dada con la canónica, determinamos los semiejes: a=2 - semieje mayor, b=1 - semieje menor de la elipse. Construimos el rectángulo principal con lados 2a=4,~2b=2 con el centro en el origen (figura 3.39). Teniendo en cuenta la simetría de la elipse, la encajamos en el rectángulo principal. Si es necesario, determine las coordenadas de algunos puntos de la elipse. Por ejemplo, sustituyendo x=1 en la ecuación de la elipse, obtenemos

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Por tanto, puntos con coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertenecen a la elipse.

Calcular la relación de compresión k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); longitud focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidad e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parámetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Componemos las ecuaciones de directriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

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