Teniendo vista estándar$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, en el cual lado izquierdo representa el diferencial total de alguna función $F\left(x,y\right)$, llamada ecuación en diferenciales completos.

La ecuación en diferenciales totales siempre se puede reescribir como $dF\left(x,y\right)=0$, donde $F\left(x,y\right)$ es una función tal que $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integramos ambos lados de la ecuación $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; la integral del lado derecho cero es igual a una constante arbitraria $C$. De este modo, decisión común de esta ecuación en forma implícita tiene la forma $F\left(x,y\right)=C$.

Para que una ecuación diferencial dada sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la condición $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ estar satisfecho. Si se cumple la condición especificada, entonces existe una función $F\left(x,y\right)$, para la cual podemos escribir: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de donde obtenemos dos relaciones : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ y $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) ps

Integramos la primera relación $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sobre $x$ y obtenemos $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, donde $U\left(y\right)$ es una función arbitraria de $y$.

Seleccionémoslo de manera que se cumpla la segunda relación $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Para hacer esto, diferenciamos la relación resultante para $F\left(x,y\right)$ con respecto a $y$ e igualamos el resultado a $Q\left(x,y\right)$. Obtenemos: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\derecha)$.

La solución adicional es:

• de la última igualdad encontramos $U"\left(y\right)$;
• integra $U"\left(y\right)$ y encuentra $U\left(y\right)$;
• sustituye $U\left(y\right)$ en la igualdad $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ y finalmente obtenemos la función $F\left(x,y\right)$.

\

Encontramos la diferencia:

Integramos $U"\left(y\right)$ sobre $y$ y encontramos $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Encuentra el resultado: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Escribimos la solución general en la forma $F\left(x,y\right)=C$, a saber:

Encuentre una solución particular $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, donde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

La solución parcial tiene la forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Definición 8.4. Ecuación diferencial de la forma

Dónde
se llama ecuación diferencial total.

Tenga en cuenta que el lado izquierdo de dicha ecuación es el diferencial total de alguna función
.

En general, la ecuación (8.4) se puede representar como

En lugar de la ecuación (8.5), podemos considerar la ecuación

,

cuya solución es la integral general de la ecuación (8.4). Por tanto, para resolver la ecuación (8.4) es necesario encontrar la función
. De acuerdo con la definición de la ecuación (8.4), tenemos

(8.6)

Función
buscaremos una función que satisfaga una de estas condiciones (8.6):

Dónde - una función arbitraria independiente de .

Función
se define de manera que se cumple la segunda condición de la expresión (8.6)

(8.7)

A partir de la expresión (8.7) se determina la función.
. Sustituyéndolo en la expresión de
y obtener la integral general de la ecuación original.

Problema 8.3. Integrar ecuación

Aquí
.

Por tanto, esta ecuación pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales en diferenciales totales. Función
lo buscaremos en el formulario

.

Por otro lado,

.

En algunos casos la condición
puede no cumplirse.

Luego, tales ecuaciones se reducen al tipo considerado mediante la multiplicación por el llamado factor integrante, que, en caso general, es sólo una función o .

Si alguna ecuación tiene un factor integrante que depende sólo de , entonces está determinado por la fórmula

donde esta la relacion sólo debería ser una función .

De manera similar, el factor integrador depende sólo de , está determinado por la fórmula

donde esta la relacion
sólo debería ser una función .

Ausencia en las relaciones dadas, en el primer caso, de la variable , y en el segundo - la variable , son un signo de la existencia de un factor integrante para una ecuación dada.

Problema 8.4. Reduzca esta ecuación a una ecuación en diferenciales totales.

.

Considere la relación:

.

Tema 8.2. Ecuaciones diferenciales lineales

Definición 8.5. Ecuación diferencial
se llama lineal si es lineal con respecto a la función deseada , su derivada y no contiene el producto de la función deseada y su derivada.

La forma general de una ecuación diferencial lineal está representada por la siguiente relación:

(8.8)

Si en relación (8.8) el lado derecho
, entonces dicha ecuación se llama lineal homogénea. En caso parte derecha
, entonces dicha ecuación se llama lineal no homogénea.

Demostremos que la ecuación (8.8) se puede integrar en cuadraturas.

En la primera etapa, consideramos una ecuación lineal homogénea.

Tal ecuación es una ecuación con variables separables. En realidad,

;

/

La última relación determina la solución general de una ecuación lineal homogénea.

Para encontrar una solución general a una ecuación lineal no homogénea, se utiliza el método de variar la derivada de una constante. La idea del método es que la solución general de una ecuación lineal no homogénea tiene la misma forma que la solución de la ecuación homogénea correspondiente, pero una constante arbitraria. reemplazado por alguna función
estar determinado. Entonces tenemos:

(8.9)

Sustituyendo en la relación (8.8) las expresiones correspondientes
Y
, obtenemos

Sustituyendo la última expresión en la relación (8.9), obtenemos la integral general de la ecuación lineal no homogénea.

Por tanto, la solución general de una ecuación lineal no homogénea está determinada por dos cuadraturas: la solución general de una ecuación lineal homogénea y una solución particular de una ecuación lineal no homogénea.

Problema 8.5. Integrar ecuación

Por tanto, la ecuación original pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

En la primera etapa, encontraremos una solución general a una ecuación lineal homogénea.

;

En la segunda etapa, determinamos la solución general de la ecuación lineal no homogénea, que se encuentra en la forma

,

Dónde
- función por determinar.

Entonces tenemos:

Sustituyendo las relaciones por Y en la ecuación lineal no homogénea original obtenemos:

;

;

.

La solución general de una ecuación lineal no homogénea tendrá la forma:

.

En este tema veremos el método para restaurar una función desde su diferencial total, daremos ejemplos de problemas con análisis completo soluciones.

Sucede que las ecuaciones diferenciales (DE) de la forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 pueden contener diferenciales completos de algunas funciones en los lados izquierdos. Entonces podemos encontrar la integral general de la ecuación diferencial si primero reconstruimos la función a partir de su diferencial total.

Ejemplo 1

Considere la ecuación P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. El lado izquierdo contiene el diferencial de una determinada función. U(x, y) = 0. Para ello se debe cumplir la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

El diferencial total de la función U (x, y) = 0 tiene la forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Teniendo en cuenta la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obtenemos:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformando la primera ecuación del sistema de ecuaciones resultante, podemos obtener:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Podemos encontrar la función φ (y) a partir de la segunda ecuación del sistema obtenido anteriormente:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Así encontramos la función deseada U (x, y) = 0.

Ejemplo 2

Encuentre la solución general para la ecuación diferencial (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Solución

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Nuestra condición se cumple.

Según los cálculos, podemos concluir que el lado izquierdo de la ecuación diferencial original es el diferencial total de alguna función U (x, y) = 0. Necesitamos encontrar esta función.

Dado que (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y es el diferencial total de la función U (x, y) = 0, entonces

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integramos la primera ecuación del sistema con respecto a x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Ahora derivamos el resultado resultante con respecto a y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformando la segunda ecuación del sistema, obtenemos: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Esto significa que
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

donde C es una constante arbitraria.

Obtenemos: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. integral general ecuación original es x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Veamos otro método para encontrar una función usando un diferencial total conocido. Implica el uso de una integral curvilínea desde un punto fijo (x 0, y 0) hasta un punto con coordenadas variables (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

En tales casos, el valor de la integral no depende de ninguna manera del camino de integración. Podemos tomar como camino de integración una línea discontinua, cuyos enlaces se ubican paralelos a los ejes de coordenadas.

Ejemplo 3

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Solución

Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Resulta que el lado izquierdo de la ecuación diferencial está representado por el diferencial total de alguna función U (x, y) = 0. Para encontrar esta función es necesario calcular la integral de recta del punto (1 ; 1) antes (x,y). Tomemos como camino de integración una línea discontinua, cuyos tramos pasarán en línea recta. y = 1 desde el punto (1, 1) al (x, 1) y luego desde el punto (x, 1) al (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Hemos obtenido una solución general a una ecuación diferencial de la forma x y - x y 2 + C = 0.

Ejemplo 4

Determine la solución general de la ecuación diferencial y · cos x d x + sen 2 x d y = 0 .

Solución

Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Dado que ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, entonces la condición no se cumplirá. Esto significa que el lado izquierdo de la ecuación diferencial no es el diferencial completo de la función. Esta es una ecuación diferencial con variables separables y otras soluciones son adecuadas para resolverla.

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Definición: Ecuación de la forma

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

donde el lado izquierdo es el diferencial total de alguna función de dos variables, se llama ecuación diferencial total.

Denotemos esta función de dos variables por F(x,y). Entonces la ecuación (9) se puede reescribir como dF(x,y) = 0, y esta ecuación tiene una solución general F(x,y) = C.

Sea una ecuación de la forma (9). Para saber si es una ecuación diferencial total, debes verificar si la expresión es

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

el diferencial total de alguna función de dos variables. Para hacer esto, necesitas verificar la igualdad.

Supongamos que para una expresión dada (10), la igualdad (11) se satisface en algún dominio simplemente conexo (S) y, por lo tanto, la expresión (10) es el diferencial total de alguna función F(x,y) en (S ).

Consideremos el siguiente método para encontrar esta antiderivada. Es necesario encontrar una función F(x,y) tal que

donde la función (y) se definirá a continuación. De la fórmula (12) se deduce entonces que

en todos los puntos de la región (S). Ahora seleccionemos la función (y) para que se cumpla la igualdad.

Para hacer esto, reescribimos la igualdad (14) que necesitamos, sustituyendo en lugar de F(x,y) su expresión según la fórmula (12):

Diferenciamos con respecto a y bajo el signo integral (esto se puede hacer ya que P(x,y) y - funciones continuas dos variables):

Dado que según (11), reemplazando con el signo integral en (16), tenemos:

Habiendo integrado sobre y, encontramos la función (y) en sí, que está construida de tal manera que se satisface la igualdad (14). Usando las igualdades (13) y (14), vemos que

en areas). (18)

Ejemplo 5. Comprueba si la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial total y resuélvela.

Esta es una ecuación diferencial en diferenciales totales. De hecho, al designar, estamos convencidos de que

y esta es una condición necesaria y suficiente para que la expresión

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

es el diferencial total de alguna función U(x,y). Además, estas son funciones que son continuas en R.

Por lo tanto, para integrar esta ecuación diferencial, necesitas encontrar una función para la cual el lado izquierdo de la ecuación diferencial sea un diferencial total. Sea dicha función U(x,y), entonces

Integrando los lados izquierdo y derecho sobre x, obtenemos:

Para encontrar q(y), usamos el hecho de que

Sustituyendo el valor encontrado μ(y) en (*), finalmente obtenemos la función U(x,y):

La integral general de la ecuación original tiene la forma

Tipos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden (continuación).

Ecuaciones diferenciales lineales

Definición: Una ecuación lineal de primer orden es una ecuación de la forma

y" + P(x)y = f(x), (21)

donde P(x) y f(x) son funciones continuas.

El nombre de la ecuación se explica por el hecho de que la derivada y" es función lineal de y, es decir, si reescribimos la ecuación (21) en la forma y" = - P(x) + f(x), entonces el lado derecho contiene y sólo a la primera potencia.

Si f(x) = 0, entonces la ecuación

y´+ P(x) y = 0 (22)

llamado lineal ecuación homogénea. Obviamente, una ecuación lineal homogénea es una ecuación con variables separables:

y" +P(x)y = 0; ,

Si f(x)? 0, entonces la ecuación

y´+ P(x) y = f(x) (23)

se llama ecuación lineal no homogénea.

En general, las variables de la ecuación (21) no se pueden separar.

La ecuación (21) se resuelve de la siguiente manera: buscaremos una solución en forma de producto de dos funciones U(x) y V(x):

Encontremos la derivada:

y" = U"V + UV" (25)

y sustituya estas expresiones en la ecuación (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Agrupemos los términos del lado izquierdo:

U"V + U = f(x). (26)

Impongamos una condición a uno de los factores (24), es decir, supongamos que la función V(x) es tal que convierte la expresión entre corchetes en (26) idénticamente a cero, es decir, que es una solución de la ecuación diferencial

V" + P(x)V = 0. (27)

Esta es una ecuación con variables separables, encontramos V(x) a partir de ella:

Ahora encontremos una función U(x) tal que, con la función V(x) ya encontrada, el producto U V sea una solución de la ecuación (26). Para hacer esto, es necesario que U(x) sea una solución de la ecuación

Esta es una ecuación separable, entonces

Sustituyendo las funciones encontradas (28) y (30) en la fórmula (4), obtenemos una solución general a la ecuación (21):

Por tanto, el método considerado (método de Bernoulli) reduce la solución. ecuación lineal(21) a la solución de dos ecuaciones con variables separables.

Ejemplo 6. Encuentra la integral general de la ecuación.

Esta ecuación no es lineal con respecto a y e y", pero resulta lineal si consideramos x como la función deseada y y como el argumento. En efecto, pasando a, obtenemos

Para resolver la ecuación resultante utilizamos el método de sustitución (Bernoulli). Entonces buscaremos una solución a la ecuación en la forma x(y)=U(y)V(y). Obtenemos la ecuación:

Elijamos la función V(y) de modo que. Entonces

Ecuación diferencial de primer orden en diferenciales totales es una ecuación de la forma:
(1) ,
donde el lado izquierdo de la ecuación es el diferencial total de alguna función U (x,y) de las variables x, y:
.
Donde.

Si se encuentra tal función U (x,y), entonces la ecuación toma la forma:
du (x, y) = 0.
Su integral general es:
Ud. (x, y) = C,
donde C es una constante.

Si una ecuación diferencial de primer orden se escribe en términos de su derivada:
,
entonces es fácil darle forma (1) . Para hacer esto, multiplica la ecuación por dx. Entonces . Como resultado, obtenemos una ecuación expresada en términos de diferenciales:
(1) .

Propiedad de una ecuación diferencial en diferenciales totales

Para que la ecuación (1) era una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la relación se mantenga:
(2) .

Prueba

Suponemos además que todas las funciones utilizadas en la prueba están definidas y tienen derivadas correspondientes en algún rango de valores de las variables xey. Punto x 0 , y 0 también pertenece a esta zona.

Demostremos la necesidad de la condición (2).
Deja que el lado izquierdo de la ecuación (1) es el diferencial de alguna función U (x,y):
.
Entonces
;
.
Dado que la segunda derivada no depende del orden de derivación, entonces
;
.
Resulta que . Condición de necesidad (2) probado.

Demostremos la suficiencia de la condición (2).
Que se cumpla la condición (2) :
(2) .
Demostremos que es posible encontrar dicha función U (x,y) que su diferencial es:
.
Esto significa que existe tal función U (x,y), que satisface las ecuaciones:
(3) ;
(4) .
Encontremos tal función. integremos la ecuación (3) por x de x 0 a x, suponiendo que y es una constante:
;
;
(5) .
Derivamos con respecto a y, suponiendo que x es una constante y aplicamos (2) :

.
La ecuacion (4) será ejecutado si
.
Integrar sobre y desde y 0 juguete:
;
;
.
Sustituir en (5) :
(6) .
Entonces, hemos encontrado una función cuyo diferencial
.
Se ha demostrado la suficiencia.

en la formula (6) ,U (x0, y0) es una constante: el valor de la función U (x,y) en el punto x 0 , y 0. Se le puede asignar cualquier valor.

Cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales

Considere la ecuación diferencial:
(1) .
Para determinar si esta ecuación está en diferenciales totales, debe verificar la condición (2) :
(2) .
Si se cumple, entonces esta ecuación está en diferenciales totales. Si no, entonces esta no es una ecuación diferencial total.

Ejemplo

Comprueba si la ecuación está en diferenciales totales:
.

Solución

Aquí
, .
Derivamos con respecto a y, considerando x constante:


.
vamos a diferenciar


.
Porque el:
,
entonces la ecuación dada está en diferenciales totales.

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.

Método de extracción diferencial secuencial.

Mayoría método sencillo resolver la ecuación en diferenciales totales es el método de selección secuencial del diferencial. Para ello utilizamos fórmulas de diferenciación escritas en forma diferencial:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
En estas fórmulas, u y v son expresiones arbitrarias formadas por cualquier combinación de variables.

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación:
.

Solución

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Transformémoslo:
(P1) .
Resolvemos la ecuación aislando secuencialmente el diferencial.
;
;
;
;

.
Sustituir en (P1):
;
.

Respuesta

Método de integración sucesiva

En este método buscamos la función U. (x,y), satisfaciendo las ecuaciones:
(3) ;
(4) .

integremos la ecuación (3) en x, considerando y constante:
.
Aquí φ (y)- una función arbitraria de y que debe determinarse. Es la constante de la integración. Sustituir en la ecuación (4) :
.
De aquí:
.
Integrando encontramos φ (y) y, por tanto, U (x,y).

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación en diferenciales totales:
.

Solución

Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Introduzcamos la siguiente notación:
, .
Buscando la función U (x,y), cuyo diferencial es el lado izquierdo de la ecuación:
.
Entonces:
(3) ;
(4) .
integremos la ecuación (3) en x, considerando y constante:
(P2)
.
Diferenciar con respecto a y:

.
sustituyamos en (4) :
;
.
Integramos:
.
sustituyamos en (P2):

.
Integral general de la ecuación:
Ud. (x, y) = constante.
Combinamos dos constantes en una.

Respuesta

Método de integración a lo largo de una curva.

Función U definida por la relación:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
se puede encontrar integrando esta ecuación a lo largo de la curva que conecta los puntos (x0, y0) Y (x,y):
(7) .
Porque el
(8) ,
entonces la integral depende solo de las coordenadas de la inicial (x0, y0) y final (x,y) puntos y no depende de la forma de la curva. De (7) Y (8) encontramos:
(9) .
aquí x 0 y y 0 - permanente. Por lo tanto U (x0, y0)- también constante.

En la prueba se obtuvo un ejemplo de tal definición de U:
(6) .
Aquí la integración se realiza primero a lo largo de un segmento paralelo al eje y desde el punto (x 0 , y 0 ) al punto (x 0 , y). Luego la integración se realiza a lo largo de un segmento paralelo al eje x desde el punto (x 0 , y) al punto (x,y) .

De manera más general, es necesario representar la ecuación de una curva que conecta puntos (x 0 , y 0 ) Y (x,y) en forma paramétrica:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
e integrar sobre t 1 de t 0 a t.

La forma más sencilla de realizar la integración es mediante un segmento que conecta puntos. (x 0 , y 0 ) Y (x,y). En este caso:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Después de la sustitución, obtenemos la integral sobre t de 0 antes 1 .
Este método Sin embargo, esto conduce a cálculos bastante engorrosos.

Referencias:
V.V. Stepanov, Curso de ecuaciones diferenciales, "LKI", 2015.