Contenido
Introducción................................................. ....................................................... ............. ........ 2
1. Planteamiento del problema................................................ ....... ........................................ 3
2. Fundamentos matemáticos y algorítmicos para la resolución del problema.................... 5
2.1 Determinante de la matriz................................................ ..... ........................... 5
2.2 Método gaussiano para resolver sistemas ecuaciones lineales........................ 6
2.3 Método gaussiano para calcular el determinante................................. ......... 8
3. Modelos funcionales y diagramas de bloques para la resolución del problema................................ 9
4. Implementación software de la solución del problema................................. ........ .. 11
5. Ejemplo de ejecución del programa................................................ ....... ................ 16
Conclusión................................................. ................................................. ...... .18
Lista de fuentes y literatura utilizadas................................................ ........ 19
Introducción
Muchos problemas que surgen en la investigación, planificación y gestión económicas, cuando se formulan matemáticamente, representan problemas en los que es necesario resolver un sistema. ecuaciones algebraicas.
Históricamente, el primer método y el más común para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de Gauss, o el método eliminación secuencial desconocido. La esencia de este método es que mediante la eliminación sucesiva de incógnitas este sistema se convierte en un sistema escalonado (en particular, triangular) equivalente a este.
Al resolver prácticamente un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano, es más conveniente reducir a una forma gradual no el sistema de ecuaciones en sí, sino la matriz extendida de este sistema, realizando transformaciones elementales en sus filas. Las matrices secuenciales obtenidas durante la transformación suelen estar conectadas por un signo de equivalencia. Este método (también llamado método de eliminación secuencial de incógnitas) se conoce en varias opciones durante más de 2000 años.
Además de la solución analítica de SLAE, el método gaussiano también se utiliza para encontrar la matriz inversa a la dada, determinar el rango de la matriz y encontrar el determinante.
El propósito de este trabajo del curso es la implementación del cálculo del determinante mediante el método de eliminación gaussiano.
1. Planteamiento del problema
Calcular el determinante de una matriz implica ejecutar el algoritmo gaussiano en la matriz para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Como resultado de ejecutar el algoritmo, obtenemos una matriz diagonal, su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
. ~. . .Calcule el determinante de la matriz utilizando el método de eliminación gaussiano A.
.
Reduzcamos la matriz a forma diagonal usando el método gaussiano.
~.
Entonces el determinante de la matriz es igual al producto de sus elementos en la diagonal:
.El signo está determinado por el número de intercambios de filas, de ahí el determinante de la matriz.
.2. Fundamentos matemáticos y algorítmicos para la resolución del problema.
2.1 Determinante de la matriz
Introduzcamos la definición del determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. Esta definición será recurrente, es decir, para poder establecer cuál es el determinante de una matriz de orden n es necesario saber ya cuál es el determinante de una matriz de orden n-1. Tenga en cuenta también que el determinante existe sólo para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz cuadrada A se denotará por
o det A.Definición. Determinante de una matriz cuadrada
El número de segundo orden se llama.
.
Determinante
matriz cuadrada de orden n,
, llamó al número
es el determinante de una matriz de orden n-1, obtenida de la matriz A eliminando la primera fila y la columna número k. 2.2 Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Sea una matriz cuadrada A de tamaño NxN. Se requiere calcular su determinante.
Usemos las ideas del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema dado:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
Realicemos el siguiente algoritmo.
En el primer paso, encontraremos el elemento con el módulo más grande en la primera columna, pondremos la ecuación con este elemento en la primera línea (intercambiando las dos filas correspondientes de la matriz A y los dos elementos correspondientes del vector B) , y luego restaremos esta ecuación de todas las demás, de modo que en la primera columna todos los elementos (excepto el primero) sean cero. Por ejemplo, al sumar a la segunda línea, multiplicaremos la primera línea por -a21/a11, al sumar a la tercera - por -a31/a11, etc.
En el segundo paso, encontraremos en la segunda columna, comenzando desde el segundo elemento, el elemento con el valor absoluto más grande, pondremos la ecuación con este elemento en la segunda línea y restaremos esta ecuación de todas las demás (incluida la primera). ), de modo que en la segunda columna todos los elementos (excepto el segundo) pasaron a cero. Está claro que esta operación no cambiará la primera columna de ninguna manera; después de todo, de cada fila restaremos la segunda fila, multiplicada por un cierto coeficiente, y en la segunda fila hay un cero en la primera columna.
Aquellos. en el i-ésimo paso, encontraremos en la i-ésima columna, comenzando desde el i-ésimo elemento, el elemento con el valor absoluto más grande, pondremos la ecuación con este elemento en la i-ésima línea y restaremos esta ecuación de todos los demás. Está claro que esto no afectará a todas las columnas anteriores (desde la primera hasta la (i-1)ésima).
Al final, reduciremos el sistema a la llamada forma diagonal:
Aquellos. Hemos encontrado una solución al sistema.
Observación 1. En cada iteración hay al menos un elemento distinto de cero; de lo contrario, el sistema tendría un determinante cero, lo que contradice la condición.
Observación 2. El requisito de que en cada paso elijamos el elemento con el mayor valor absoluto es muy importante en términos de la estabilidad numérica del método. Si elige un elemento arbitrario distinto de cero, esto puede provocar un error gigantesco cuando la solución resultante difiere varias veces de la correcta.
2.3 Método gaussiano para calcular el determinante
Realizaremos las mismas acciones que al resolver un sistema de ecuaciones lineales, excluyendo solo la división de la línea actual por a[i][i] (más precisamente, se puede realizar la división en sí, pero asumiendo que se saca el número del signo determinante). Entonces todas las operaciones que realizaremos con la matriz no cambiarán el valor del determinante de la matriz, con la posible excepción del signo (solo intercambiamos dos filas, lo que cambia el signo al contrario, o sumamos una fila a otro, que no cambia el determinante del valor).
Pero la matriz a la que llegamos después de ejecutar el algoritmo gaussiano es diagonal y su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal. El signo, como ya se mencionó, vendrá determinado por el número de intercambios de líneas (si son impares, entonces se debe cambiar el signo del determinante por el contrario). Por tanto, podemos utilizar el algoritmo de Gauss para calcular el determinante de la matriz en O(N3).
Sólo queda señalar que si en algún momento no encontramos un elemento distinto de cero en la columna actual, entonces el algoritmo debería detenerse y devolver 0.
3. Modelos funcionales y diagramas de bloques para la resolución del problema.
El diagrama de bloques para resolver el problema se presenta en la Figura 1.
Figura 1 – Diagrama de flujo de resolución del problema para la función DETERMINAR
4 Implementación de software de la solución del problema.
;FUNCIÓN QUE COMPUTA EL DETERMINANTE
(DEFUN DETERMINANTE (TAMAÑO DE MATRIZ)
;DECLARANDO VARIABLES
;DETERMINANTE
(DECLARAR (DET ESPECIAL))
;ARRAYS Y VARIABLES AUXILIARES
(DECLARAR (PAR ESPECIAL))
(DECLARAR (R ESPECIAL))
(DECLARAR (ESPECIAL T_))
(DECLARAR (ESPECIAL I))
(DECLARAR (ESPECIAL II))
;*********************
(SETQ R (TAMAÑO DE MAKE-ARRAY: TIPO DE ELEMENTO "FLOAT: ELEMENTO INICIAL 0))
((>= J (- TALLA 1)))
;EXCLUIR DIVISIÓN POR 0
(SI (= (AREF MATRIZ J J) 0)
(SETQII (+J 1))
;BUSCANDO UNA FILA EN LA QUE EL ELEMENTO JTH NO ES 0
((O (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- TAMAÑO 1))))
(SETQ II (+ II 1))
;SI NO EXISTE TAL CADENA, EL DETERMINANTE ES 0
(SI (Y (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- TAMAÑO 1))) (SETQ T_ 0))
Calculemos el determinante usando el método gaussiano.
La esencia del método es la siguiente: el determinante se reduce a una forma triangular mediante transformaciones elementales y luego es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
La idea del método es la siguiente: dejemos que se dé un determinante de tercer orden
elemento 
debe ser igual 
, para esto dividimos la primera línea en 
.
Obtenemos un determinante de la forma. 
(2)
Restablezcamos los elementos de la primera columna, excepto la primera. Para hacer esto, reste la primera línea de la segunda línea, multiplicada por 
, luego de la tercera línea restamos la primera, multiplicada por 
. Obtenemos un determinante de la forma. 
.
Denotemos sus elementos con la letra c, luego
(3)
Ahora necesitamos restablecer el elemento. 
. Elemento 
debe ser igual 
, para hacer esto, divida la segunda línea en 
. Obtenemos un determinante de la forma. 
.
.
Denotemos sus elementos con la letra t, luego
(4)
Ahora hemos reducido el determinante a forma triangular, ahora es igual a 
.
Veamos ahora esto usando un ejemplo específico.
Ejemplo 4: Calcular determinante 
Método de Gauss.
Solución: intercambie la primera y tercera filas (al reemplazar dos columnas (filas), el determinante cambia de signo al opuesto).
Recibió 
De la segunda línea restamos el primero, multiplicado por 2, luego de la tercera línea restamos el primero, multiplicado por 3. Obtenemos 
Recibió - 
§2.Matrices Tipos de matrices
Definición 7: Si una matriz tiene m filas yn columnas, entonces se llama dimensión metro 
y escribir 
.
Definición 8: Si 
, entonces la matriz se llama cuadrada.
Definición 9: Una matriz que consta de una sola fila (columna) se llama matriz de filas (columna).
Definición 10: Una matriz formada por ceros se llama matriz cero.
Definición 11: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son iguales a cero.
Definición 12: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.
Definición 13: Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que los elementos ubicados a un lado de la diagonal principal son iguales a cero.
Operaciones sobre matrices.
Definición 14: Dos matrices se consideran iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y elementos correspondientes iguales.
Ejemplo 5:
Las matrices A y B son iguales, es decir 
Definición 15: La suma (diferencia) de las matrices A y B es una matriz C en la que cada elemento es igual a 
.
Ejemplo 6: encontrar matriz 
, Si
Solución:
Propiedades de la suma
A+B=B+A (conmutativo)
2 0 A+O=A, donde O es la matriz cero
3 0 A+(B+C)=(A+B)+C (distributivo)
4 0 A+(-A)=O, donde – A es la matriz opuesta
(es decir, los elementos tienen signos opuestos)
Definición 16: Producto de la matriz A por número 
es una matriz que se obtiene de una dada multiplicando todos sus elementos por un número 
.
Ejemplo 7:
Multiplicación de matrices
Esta acción se aplica a las llamadas matrices coincidentes.
Definición 17: Se dice que la matriz A es consistente con la matriz B si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B.
Ejemplo 8:
Y 
- acordado
Y 
- inconsistente
Y 
inconsistente
Definición 18: El producto de dos matrices A y B es una matriz C, cada elemento de la cual igual a la suma productos de los elementos de la i fila de la matriz A y los elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B.
Si la matriz A tiene dimensión 
y matriz B 
, Eso 
.
Ejemplo 9: Multiplicar matrices
Al resolver problemas de matemáticas superiores, muy a menudo surge la necesidad calcular el determinante de una matriz. El determinante de una matriz aparece en álgebra lineal, geometría analítica, análisis matemático y otras ramas de las matemáticas superiores. Por tanto, es simplemente imposible prescindir de la habilidad de resolver determinantes. Además, para realizar una autoevaluación, puedes descargar una calculadora de determinantes de forma gratuita; no te enseñará cómo resolver determinantes por sí sola, pero es muy conveniente, ya que siempre es beneficioso saber la respuesta correcta de antemano.
No daré una definición matemática estricta del determinante y, en general, intentaré minimizar la terminología matemática, lo que no facilitará las cosas a la mayoría de los lectores; El propósito de este artículo es enseñarte cómo resolver determinantes de segundo, tercer y cuarto orden. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, e incluso una tetera llena (vacía) en matemáticas superiores, después de estudiar detenidamente el material, podrá resolver correctamente los determinantes.
En la práctica, lo más frecuente es encontrar un determinante de segundo orden, por ejemplo: y un determinante de tercer orden, por ejemplo: 
.
Determinante de cuarto orden 
Tampoco es una antigüedad y hablaremos de ello al final de la lección.
Espero que todos entiendan lo siguiente: Los números dentro del determinante viven solos y ¡no se trata de restas! ¡Los números no se pueden intercambiar!
(En particular, puede realizar permutaciones por pares de filas o columnas del determinante con un cambio en su signo, pero a menudo esto no es necesario; consulte la siguiente lección Propiedades del determinante y reducción de su orden.)
Por tanto, si se da algún determinante, entonces ¡No tocamos nada dentro de él!
Designaciones: Si se le da una matriz 
, entonces se denota su determinante . También muy a menudo se denota el determinante. letra latina o griego.
1)¿Qué significa resolver (encontrar, revelar) un determinante? Calcular el determinante significa ENCONTRAR EL NÚMERO. Los signos de interrogación en los ejemplos anteriores son números completamente comunes.
2) Ahora queda por descubrir ¿CÓMO encontrar este número? Para hacer esto, es necesario aplicar ciertas reglas, fórmulas y algoritmos, que se discutirán ahora.
Empecemos por el determinante "dos" por "dos":
ESTO DEBE RECORDARSE, al menos mientras se estudian matemáticas superiores en una universidad.
Veamos un ejemplo de inmediato:
Listo. Lo más importante es NO CONFUNDIRSE EN LOS SIGNOS.
Determinante de una matriz de tres por tres Se puede abrir de 8 maneras, 2 de ellas son simples y 6 son normales.
Empecemos con dos maneras simples
De manera similar al determinante de dos por dos, el determinante de tres por tres se puede expandir usando la fórmula:
La fórmula es larga y es fácil equivocarse por descuido. ¿Cómo evitar errores molestos? Para ello se inventó un segundo método de cálculo del determinante, que en realidad coincide con el primero. Se llama método Sarrus o método de “tiras paralelas”.
La conclusión es que a la derecha del determinante, asigne la primera y segunda columnas y dibuje líneas cuidadosamente con un lápiz:
Los multiplicadores ubicados en las diagonales "rojas" se incluyen en la fórmula con un signo "más".
Los multiplicadores ubicados en las diagonales "azules" se incluyen en la fórmula con un signo menos:
Ejemplo:
Compara las dos soluciones. Es fácil ver que esto es lo MISMO, solo que en el segundo caso los factores de la fórmula se reorganizan ligeramente y, lo más importante, la probabilidad de cometer un error es mucho menor.
Ahora veamos seis formas normales para calcular el determinante
¿Por qué normales? Porque en la gran mayoría de los casos, los calificadores deben divulgarse de esta manera.
Como habrás notado, el determinante de tres por tres tiene tres columnas y tres filas.
Puedes resolver el determinante abriéndolo. por cualquier fila o por cualquier columna.
Así, existen 6 métodos, utilizando en todos los casos mismo tipo algoritmo.
El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (columna) por el correspondiente sumas algebraicas. ¿Aterrador? Todo es mucho más sencillo; utilizaremos un enfoque no científico pero comprensible, accesible incluso para una persona alejada de las matemáticas.
En el siguiente ejemplo ampliaremos el determinante en la primera linea.
Para ello necesitamos una matriz de signos: . Es fácil notar que los carteles están dispuestos en forma de tablero de ajedrez.
¡Atención! La matriz de signos es mi propia invención. este concepto no es científico, no es necesario utilizarlo en el diseño final de las tareas, solo ayuda a comprender el algoritmo para calcular el determinante.
Primero traeré solución completa. Tomamos nuevamente nuestro determinante experimental y realizamos los cálculos:
Y pregunta principal: CÓMO obtener esto del determinante “tres por tres”: 
?
Entonces, el determinante “tres por tres” se reduce a resolver tres pequeños determinantes, o como también se les llama, MENOROV. Recomiendo recordar el término, sobre todo porque es memorable: menor – pequeño.
Una vez elegido el método de descomposición del determinante en la primera linea, es obvio que todo gira en torno a ella:
Los elementos generalmente se ven de izquierda a derecha (o de arriba a abajo si se seleccionó una columna)
Vamos, primero nos ocupamos del primer elemento de la línea, es decir, de uno:
1) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente: 
2) Luego escribimos el elemento en sí: 
3) Tache MENTALMENTE la fila y columna en la que aparece el primer elemento: 
Los cuatro números restantes forman el determinante “dos por dos”, que se llama MENOR de un elemento dado (unidad).
Pasemos al segundo elemento de la línea.
4) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente:
5) Luego escribe el segundo elemento: 
6) Tache MENTALMENTE la fila y columna en la que aparece el segundo elemento: 
Bueno, el tercer elemento de la primera línea. Sin originalidad:
7) De la matriz de signos escribimos el signo correspondiente: 
8) Escribe el tercer elemento: 
9) Tache MENTALMENTE la fila y columna que contiene el tercer elemento: 
Escribimos los cuatro números restantes en un determinante pequeño.
El resto de acciones no presentan ninguna dificultad, puesto que ya sabemos contar los determinantes dos por dos. ¡NO TE CONFUNDAS EN LAS SIGNOS!
De manera similar, el determinante se puede expandir a cualquier fila o columna. Naturalmente, en los seis casos la respuesta es la misma.
El determinante de cuatro por cuatro se puede calcular utilizando el mismo algoritmo.
En este caso, nuestra matriz de signos aumentará:
En el siguiente ejemplo he ampliado el determinante según la cuarta columna:
Cómo sucedió, intenta descubrirlo tú mismo. Información adicional vendrá más tarde. Si alguien quiere resolver el determinante hasta el final, la respuesta correcta es: 18. Para practicar, es mejor resolver el determinante por alguna otra columna u otra fila.
Practicar, destapar, hacer cálculos es muy bueno y útil. ¿Pero cuánto tiempo dedicarás al gran clasificatorio? ¿No existe una manera más rápida y confiable? Le sugiero que se familiarice con métodos efectivos calcular determinantes en la segunda lección - Propiedades del determinante. Reducir el orden del determinante..
¡TEN CUIDADO!
Aquí podrás resolver un sistema de ecuaciones lineales gratis Método de Gauss en línea tallas grandes en números complejos con una solución muy detallada. Nuestra calculadora puede resolver online tanto los habituales sistemas de ecuaciones lineales definidos como indefinidos mediante el método de Gauss, que tiene un número infinito de soluciones. En este caso, en la respuesta recibirás la dependencia de unas variables a través de otras libres. También puede comprobar la coherencia del sistema de ecuaciones en línea utilizando la solución gaussiana.
Sobre el método
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales. método en línea Gauss se realizan los siguientes pasos.
- Escribimos la matriz extendida.
- De hecho, la solución se divide en pasos hacia adelante y hacia atrás del método gaussiano. El enfoque directo del método gaussiano es la reducción de una matriz a una forma escalonada. Contrarrestar El método gaussiano se denomina reducción de una matriz a una forma escalonada especial. Pero en la práctica, es más conveniente poner a cero inmediatamente lo que se encuentra tanto arriba como debajo del elemento en cuestión. Nuestra calculadora utiliza exactamente este enfoque.
- Es importante tener en cuenta que al resolver mediante el método gaussiano, la presencia en la matriz de al menos una fila cero con NO cero lado derecho(columna de miembros libres) indica la incompatibilidad del sistema. Solución sistema lineal en este caso no existe.
Para comprender mejor cómo funciona el algoritmo gaussiano en línea, ingrese cualquier ejemplo, seleccione "solución muy detallada" y vea su solución en línea.
