Hoy en la lección aprenderemos a encontrar. condicional o, como también se les llama, extremos relativos funciones de varias variables y, en primer lugar, hablaremos, por supuesto, de extremos condicionales funciones de dos Y tres variables, que se encuentran en la gran mayoría de los problemas temáticos.

Lo que necesitas saber y poder hacer este momento? A pesar de que este artículo está “en las afueras” del tema, no se requiere mucho para dominar con éxito el material. En este punto usted debe ser consciente de los conceptos básicos superficies del espacio, ser capaz de encontrar Derivadas parciales (al menos a un nivel medio) y, como dicta la lógica despiadada, comprender extremos incondicionales. Pero incluso si tu nivel bajo preparación, no se apresure a irse: todos los conocimientos/habilidades que faltan realmente se pueden “adquirir en el camino”, y sin horas de tormento.

Primero analicemos el concepto en sí y al mismo tiempo hagamos una rápida repetición de los más comunes. superficies. Así que qué es lo extremo condicional? ...La lógica aquí no es menos despiadada =) El extremo condicional de una función es un extremo en el sentido habitual de la palabra, que se logra cuando se cumplen una determinada condición (o condiciones).

Imaginemos un "oblicuo" arbitrario. avión V sistema cartesiano. Ninguno extremo aquí no hay rastro de ello. Pero esto es por el momento. Consideremos cilindro elíptico, para simplificar: un "tubo" redondo sin fin paralelo al eje. Evidentemente, este “tubo” “cortará” nuestro avión. elipse, como resultado de lo cual habrá un máximo en su punto superior y un mínimo en su punto inferior. En otras palabras, la función que define el plano alcanza extremos dado que que fue atravesado por un cilindro circular dado. ¡Exactamente “provisto”! Es casi seguro que otro cilindro elíptico que cruce este plano producirá valores mínimos y máximos diferentes.

Si no está muy claro, entonces la situación se puede simular de manera realista. (aunque en orden inverso) : toma un hacha, sal y corta... no, Greenpeace no te perdonará más tarde - es mejor cortar el tubo de desagüe con una amoladora =). El mínimo condicional y el máximo condicional dependerán de a qué altura y bajo qué (no horizontal) el corte se realiza en ángulo.

Ha llegado el momento de vestir los cálculos con ropajes matemáticos. Consideremos paraboloide elíptico, que tiene mínimo absoluto en el punto . Ahora busquemos el extremo. dado que. Este avión paralelo al eje, lo que significa que "corta" el paraboloide parábola. La cima de esta parábola será el mínimo condicional. Además, el plano no pasa por el origen de coordenadas, por lo que el punto seguirá siendo irrelevante. ¿No proporcionaste una imagen? ¡Sigamos los enlaces inmediatamente! Se necesitarán muchas, muchas más veces.

Pregunta: ¿cómo encontrar este extremo condicional? La forma más sencilla La solución es la de la ecuación (que se llama - condición o ecuación de conexión) expresar, por ejemplo: – y sustituirlo en la función:

El resultado es una función de una variable que define una parábola, cuyo vértice se "calcula" con los ojos cerrados. Encontremos puntos críticos:

- punto crítico.

La siguiente cosa más fácil de usar es segunda condición suficiente para el extremo:

En particular: esto significa que la función alcanza un mínimo en el punto . Se puede calcular directamente: , pero tomaremos una ruta más académica. Encontremos la coordenada del “juego”:
,

anote el punto mínimo condicional, asegúrese de que realmente se encuentre en el plano (satisface la ecuación de acoplamiento):

y calcular el mínimo condicional de la función:
dado que (¡¡¡se requiere "aditivo"!!!).

El método considerado se puede utilizar en la práctica sin lugar a dudas, sin embargo, tiene una serie de desventajas. En primer lugar, la geometría del problema no siempre es clara y, en segundo lugar, a menudo no es rentable expresar "x" o "y" a partir de la ecuación de conexión. (si es posible expresar algo). Y ahora consideraremos un método universal para encontrar extremos condicionales, llamado Método del multiplicador de Lagrange:

Ejemplo 1

Encuentre los extremos condicionales de la función con la ecuación de conexión especificada a los argumentos.

¿Reconoces las superficies? ;-) ...Me alegra ver vuestras caras felices =)

Por cierto, a partir de la formulación de este problema queda claro por qué la condición se llama ecuación de conexión– argumentos de función conectado una condición adicional, es decir, los puntos extremos encontrados deben pertenecer necesariamente a un cilindro circular.

Solución: en el primer paso es necesario presentar la ecuación de conexión en el formulario y componer función de Lagrange:
, donde está el llamado multiplicador de Lagrange.

En nuestro caso y:

El algoritmo para encontrar extremos condicionales es muy similar al esquema para encontrar los "ordinarios" extremos. Encontremos Derivadas parciales Funciones de Lagrange, mientras que la “lambda” debe tratarse como una constante:

Compongamos y resolvamos el siguiente sistema:

La maraña se desenreda de serie:
de la primera ecuación expresamos ;
de la segunda ecuación expresamos .

Sustituyamos las conexiones en la ecuación y realicemos simplificaciones:

Como resultado, obtenemos dos puntos estacionarios. Si entonces:

si, entonces:

Es fácil ver que las coordenadas de ambos puntos satisfacen la ecuación . Las personas escrupulosas también pueden realizar un control completo: para ello es necesario sustituir en la primera y segunda ecuaciones del sistema, y ​​luego haga lo mismo con el conjunto . Todo debe “unirse”.

Comprobemos la ejecución. condición suficiente extremo para los puntos estacionarios encontrados. Discutiré tres enfoques para resolver este problema:

1) El primer método es una justificación geométrica.

Calculemos los valores de la función en puntos estacionarios:

A continuación, anotamos una frase con aproximadamente el siguiente contenido: una sección de un plano por un cilindro circular es una elipse, en cuyo vértice superior se alcanza el máximo, y en el inferior, el mínimo. Por tanto, un valor mayor es un máximo condicional y un valor menor es un mínimo condicional.

Si es posible, es mejor utilizar este método; es simple y esta decisión la cuentan los maestros. (una gran ventaja es que demostraste comprensión significado geométrico tareas). Sin embargo, como ya se señaló, no siempre está claro qué se cruza con qué y dónde, y luego la verificación analítica viene al rescate:

2) El segundo método se basa en el uso de signos diferenciales de segundo orden. Si resulta que en un punto estacionario, entonces la función alcanza un máximo allí, pero si lo hace, entonces alcanza un mínimo.

Encontremos derivadas parciales de segundo orden:

y crea este diferencial:

Cuando, esto significa que la función alcanza su máximo en el punto;
en , lo que significa que la función alcanza un mínimo en el punto .

El método considerado es muy bueno, pero tiene la desventaja de que en algunos casos es casi imposible determinar el signo del 2º diferencial. (normalmente esto sucede si y/o son de diferentes signos). Y entonces viene al rescate la “artillería pesada”:

3) Diferenciamos la ecuación de conexión por “X” e “Y”:

y componer lo siguiente simétrico matriz:

Si está en un punto estacionario, entonces la función llega allí ( ¡atención!) mínimo, si – entonces máximo.

Escribamos la matriz para el valor y el punto correspondiente:

vamos a calcularlo determinante:
, por tanto, la función tiene un máximo en el punto .

Lo mismo ocurre con el valor y el punto:

Por tanto, la función tiene un mínimo en el punto .

Respuesta: dado que :

Después de un análisis exhaustivo del material, simplemente no puedo evitar ofrecerles un par tareas tipicas para autocomprobación:

Ejemplo 2

Encuentra el extremo condicional de la función si sus argumentos están relacionados por la ecuación

Ejemplo 3

Encuentra los extremos de la función dada la condición.

Y nuevamente, recomiendo encarecidamente comprender la esencia geométrica de las tareas, especialmente en el último ejemplo, donde la verificación analítica de una condición suficiente no es un regalo. Recuerda que línea de segundo orden establece la ecuación, y qué superficie esta línea genera en el espacio. Analice a lo largo de qué curva el cilindro cruzará el plano y en qué parte de esta curva habrá un mínimo y dónde habrá un máximo.

Soluciones y respuestas al final de la lección.

El problema en cuestión encuentra aplicación amplia en varias áreas, en particular; no llegaremos muy lejos, en geometría. Resolvamos el problema favorito de todos sobre la botella de medio litro. (ver ejemplo 7 del artículoDesafíos extremos ) segunda manera:

Ejemplo 4

¿Cuáles deben ser las dimensiones de una lata cilíndrica para que se utilice la menor cantidad de material para fabricar la lata, si el volumen de la lata es igual a

Solución: considere un radio de base variable, una altura variable y componga una función del área de la superficie total de la lata:
(área de dos cubiertas + superficie lateral)

• Tutorial

Todos buen día. En este artículo quiero mostrar uno de métodos gráficos construcción modelos matemáticos para sistemas dinámicos, lo que se llama gráfico de bonos(“vínculo” - conexiones, “gráfico” - gráfico). En la literatura rusa, encontré descripciones de este método solo en el Libro de texto de Tomsky. Universidad Politécnica, AV. Voronin “MODELO DE SISTEMAS MECATRÓNICOS” 2008 Mostrar también método clásico a través de la ecuación de Lagrange de segundo tipo.

método de Lagrange

No describiré la teoría, mostraré las etapas de los cálculos con algunos comentarios. Personalmente, para mí es más fácil aprender de ejemplos que leer la teoría 10 veces. Me pareció que en la literatura rusa la explicación de este método, y de hecho de las matemáticas o la física en general, es muy rica. fórmulas complejas, lo que, en consecuencia, requiere una formación matemática seria. Mientras estudiaba el método de Lagrange (estudio en la Universidad Politécnica de Turín, Italia), estudié literatura rusa para comparar métodos de cálculo y me resultó difícil seguir el progreso en la resolución de este método. Incluso recordando los cursos de modelado en el Instituto de Aviación de Jarkov, la derivación de tales métodos era muy engorrosa y nadie se molestó en tratar de comprender este problema. Esto es lo que decidí escribir, un manual para la construcción de modelos matemáticos según Lagrange, como resultó que no es nada difícil, basta con saber calcular derivadas con respecto al tiempo y derivadas parciales. Para modelos más complejos también se añaden matrices de rotación, pero tampoco tienen nada de complicado.

Características de los métodos de modelado:

• Newton-Euler: ecuaciones vectoriales basadas en el equilibrio dinámico fuerza Y momentos
• Lagrange: ecuaciones escalares basadas en funciones de estado asociadas con la cinética y el potencial energías
• Recuento de bonos: método basado en flujo fuerza entre elementos del sistema

Empecemos con ejemplo sencillo. Masa con resorte y amortiguador. Ignoramos la fuerza de la gravedad.

Figura 1. Masa con resorte y amortiguador.

En primer lugar, designamos:

• sistema inicial coordenadas(NSK) o sk fijo R0(i0,j0,k0). ¿Dónde? Se puede señalar con el dedo al cielo, pero al mover las puntas de las neuronas del cerebro, surge la idea de colocar el NSC en la línea de movimiento del cuerpo M1.
• sistemas de coordenadas para cada cuerpo con masa(tenemos M1 R1(i1,j1,k1)), la orientación puede ser arbitraria, pero para qué complicarse la vida, configúrala con una diferencia mínima con respecto al NSC
• coordenadas generalizadas q_i(el número mínimo de variables que pueden describir el movimiento), en este ejemplo hay una coordenada generalizada, movimiento solo a lo largo del eje j

Figura 2. Anotamos sistemas de coordenadas y coordenadas generalizadas.

Fig. 3. Posición y velocidad del cuerpo M1.

Luego encontraremos las energías cinética (C) y potencial (P) y la función disipativa (D) del amortiguador usando las fórmulas:

Figura 4. Fórmula completa energía cinética

En nuestro ejemplo no hay rotación, el segundo componente es 0.

Higo 5. Cálculo de la energía cinética, potencial y función disipativa.

La ecuación de Lagrange tiene la siguiente forma:

figura 6. Ecuación de Lagrange y Lagrangiana

Delta W_i Este es un trabajo virtual realizado por fuerzas y momentos aplicados. Encontrémosla:

figura 7. Cálculo de trabajo virtual.

Dónde delta q_1 movimiento virtual.

Sustituimos todo en la ecuación de Lagrange:

figura 8. El modelo de masa resultante con resorte y amortiguador.

Aquí terminó el método de Lagrange. Como puedes ver, no es tan complicado, pero sigue siendo un ejemplo muy sencillo, para el cual muy probablemente el método de Newton-Euler sería incluso más sencillo. Para sistemas más complejos, donde habrá varios cuerpos girados entre sí en diferentes ángulos, el método de Lagrange será más sencillo.

Método del gráfico de bonos

Te mostraré de inmediato cómo se ve el modelo en un gráfico de enlace, por ejemplo con una masa, un resorte y un amortiguador:

figura 9. Masas Bond-graph con resorte y amortiguador.

Aquí tendrás que contar un poco de teoría, que será suficiente para construir. modelos simples. Si alguien está interesado, puede leer el libro ( Metodología del gráfico de bonos) o ( Voronin A.V. Modelado de sistemas mecatrónicos: tutorial. – Tomsk: Editorial de la Universidad Politécnica de Tomsk, 2008).

Primero determinemos que sistemas complejos constan de varios dominios. Por ejemplo, un motor eléctrico consta de partes o dominios eléctricos y mecánicos.

gráfico de bonos basado en el intercambio de poder entre estos dominios, subsistemas. Tenga en cuenta que el intercambio de poder, de cualquier forma, siempre está determinado por dos variables ( potencia variable) con la ayuda del cual podemos estudiar la interacción de varios subsistemas dentro de un sistema dinámico (ver tabla).

Como puede verse en el cuadro, la expresión del poder es casi la misma en todas partes. En resumen, Fuerza- Este trabajo " flujo - f" en " esfuerzo - e».

Un esfuerzo(Inglés) esfuerzo) en el dominio eléctrico esto es voltaje (e), en el dominio mecánico es fuerza (F) o par (T), en hidráulico es presión (p).

Fluir(Inglés) fluir) en el dominio eléctrico es la corriente (i), en el dominio mecánico es la velocidad (v) o velocidad angular(omega), en hidráulica: flujo de fluido o caudal (Q).

Tomando estas notaciones, obtenemos una expresión para la potencia:

Higo 10. Fórmula de potencia a través de variables de potencia.

En el lenguaje del gráfico de bonos, la conexión entre dos subsistemas que intercambian poder está representada por un bono. vínculo). Por eso este método se llama gráfico de bonos o gramo conexiones-raf, gráfico conectado. Consideremos diagrama de bloques Conexiones en un modelo con motor eléctrico (este aún no es un gráfico de enlace):

Figura 11. Diagrama de bloques del flujo de energía entre dominios.

Si tenemos una fuente de voltaje, entonces genera voltaje en consecuencia y lo transfiere al motor para su bobinado (es por eso que la flecha se dirige hacia el motor), dependiendo de la resistencia del devanado, aparece una corriente según la ley de Ohm (dirigida desde el motor hasta la fuente). En consecuencia, una variable es una entrada al subsistema y la segunda debe ser salida del subsistema. Aquí el voltaje ( esfuerzo) - corriente de entrada ( fluir) - salida.

Si usa una fuente actual, ¿cómo cambiará el diagrama? Bien. La corriente se dirigirá al motor y el voltaje a la fuente. Entonces la corriente ( fluir) - voltaje de entrada ( esfuerzo) - salida.

Veamos un ejemplo en mecánica. Fuerza que actúa sobre una masa.

Figura 12. Fuerza aplicada a la masa

El diagrama de bloques será el siguiente:

Figura 13. Diagrama de bloques

En este ejemplo, Fuerza ( esfuerzo) – variable de entrada para masa. (Fuerza aplicada a la masa)
Según la segunda ley de Newton:

La masa responde con velocidad:

En este ejemplo, si una variable ( fuerza - esfuerzo) es entrada en el dominio mecánico, luego otra variable de potencia ( velocidad - fluir) – se convierte automáticamente salida.

Para distinguir dónde está la entrada y dónde está la salida, se utiliza una línea vertical al final de la flecha (conexión) entre los elementos, esta línea se llama signo de causalidad o causalidad (causalidad). Resulta que la fuerza aplicada es la causa y la velocidad es el efecto. Este signo es muy importante para la correcta construcción de un modelo de sistema, ya que la causalidad es una consecuencia comportamiento fisico y el intercambio de poderes de dos subsistemas, por lo tanto la elección de la ubicación del signo de causalidad no puede ser arbitraria.

Figura 14. Designación de causalidad

Esta línea vertical muestra qué subsistema recibe la fuerza ( esfuerzo) y como resultado producir un flujo ( fluir). En el ejemplo con masa sería así:

Figura 14. Relación causal de la fuerza que actúa sobre la masa.

De la flecha se desprende claramente que la entrada para la masa es: fuerza, y la salida es velocidad. Esto se hace para no saturar el diagrama con flechas y sistematizar la construcción del modelo.

Próximo punto importante. Impulso generalizado(cantidad de movimiento) y Moviente(variables energéticas).

Tabla de variables de potencia y energía en diferentes dominios.

La tabla anterior presenta dos cantidades físicas adicionales utilizadas en el método del gráfico de bonos. Ellos se llaman impulso generalizado (R) Y movimiento generalizado (q) o variables de energía, y se pueden obtener integrando variables de potencia en el tiempo:

Higo 15. Relación entre variables de potencia y energía.

En el dominio eléctrico :

Basado en la ley de Faraday, Voltaje en los extremos del conductor es igual a la derivada del flujo magnético a través de este conductor.

A Fuerza actual - cantidad física, igual a la relación entre la cantidad de carga Q que pasa por algún tiempo t sección transversal conductor, al valor de este período de tiempo.

Dominio mecánico:

De la segunda ley de Newton, Fuerza– derivada temporal del impulso

Y en consecuencia, velocidad- derivada temporal del desplazamiento:

resumamos:

Elementos basicos

Todos los elementos de los sistemas dinámicos se pueden dividir en componentes bipolares y tetrapolares.
Consideremos componentes bipolares:

Fuentes
Hay fuentes tanto de esfuerzo como de flujo. Analogía en el ámbito eléctrico: fuente de esfuerzo – Fuente de voltaje, fuente de flujo – fuente actual. Los signos causales de las fuentes sólo deberían ser así.

Figura 16. Conexiones causales y designación de fuentes.

Componente R – elemento disipativo

Componente I – elemento inercial

Componente C – elemento capacitivo

Como se puede observar en las figuras, diferentes elementos de la misma tipo R,C,I descrito por las mismas ecuaciones. SÓLO hay una diferencia para la capacitancia eléctrica, ¡solo necesitas recordarlo!

Componentes cuadrupolares:

Veamos dos componentes: un transformador y un giratorio.

Los últimos componentes importantes del método del gráfico de enlaces son las conexiones. Hay dos tipos de nodos:

Eso es todo con los componentes.

Los pasos principales para establecer relaciones causales después de construir un gráfico de vínculos:

1. Dar conexiones causales a todos. fuentes
2. Recorra todos los nodos y anote las relaciones causales después del punto 1.
3. Para componentes yo asignar una relación causal de entrada (el esfuerzo está incluido en este componente), para componentes C asignar causalidad de producción (el esfuerzo surge de este componente)
4. Repita el punto 2
5. Insertar conexiones causales para componentes R

Con esto concluye el minicurso de teoría. Ahora tenemos todo lo que necesitamos para construir modelos.
Resolvamos un par de ejemplos. Comencemos con un circuito eléctrico; es mejor entender la analogía de construir un gráfico de enlaces.

Ejemplo 1

Comencemos a construir un gráfico de enlace con una fuente de voltaje. Simplemente escribe Se y pon una flecha.

¡Mira, todo es simple! Miremos más allá, R y L están conectados en serie, lo que significa que en ellos fluye la misma corriente, si hablamos de variables de potencia, el mismo flujo. ¿Qué nodo tiene el mismo flujo? La respuesta correcta es 1 nodo. Conectamos la fuente, la resistencia (componente - R) y la inductancia (componente - I) al nodo 1.

A continuación, tenemos capacitancia y resistencia en paralelo, lo que significa que tienen el mismo voltaje o fuerza. El nodo 0 es adecuado como ningún otro. Conectamos la capacitancia (componente C) y la resistencia (componente R) al nodo 0.

También conectamos los nodos 1 y 0 entre sí. La dirección de las flechas se elige arbitrariamente; la dirección de la conexión afecta sólo al signo en las ecuaciones.

Obtendrá el siguiente gráfico de conexión:

Ahora necesitamos establecer relaciones causales. Siguiendo las instrucciones para la secuencia de su colocación, comencemos con la fuente.

1. Tenemos una fuente de voltaje (fuerza), dicha fuente tiene solo una opción de causalidad: la salida. Pongámoslo.
2. Luego está el componente I, veamos qué recomiendan. Nosotros ponemos
3. Lo dejamos para 1 nodo. Comer
4. Un nodo 0 debe tener una entrada y todas las conexiones causales de salida. Tenemos un día libre por ahora. Buscamos los componentes C o I. Lo encontramos. Nosotros ponemos
5. Hagamos una lista de lo que queda

Eso es todo. Se construye el gráfico de bonos. ¡Hurra, camaradas!

Todo lo que queda es escribir las ecuaciones que describen nuestro sistema. Para hacer esto, cree una tabla con 3 columnas. El primero contendrá todos los componentes del sistema, el segundo contendrá la variable de entrada para cada elemento y el tercero contendrá la variable de salida para el mismo componente. Ya hemos definido la entrada y la salida mediante relaciones causales. Entonces no debería haber ningún problema.

Numeremos cada conexión para facilitar el registro de los niveles. Tomamos las ecuaciones para cada elemento de la lista de componentes C, R, I.

Habiendo compilado una tabla, definimos las variables de estado, en este ejemplo hay 2 de ellas, p3 y q5. A continuación debes escribir las ecuaciones de estado:

Eso es todo, el modelo está listo.

Ejemplo 2. Me gustaría disculparme de inmediato por la calidad de la foto, lo principal es que puedes leer

Resolvamos otro ejemplo para un sistema mecánico, el mismo que resolvimos usando el método de Lagrange. Mostraré la solución sin comentarios. Veamos cuál de estos métodos es más sencillo y sencillo.

En Matbala se compilaron ambos modelos matemáticos con los mismos parámetros, obtenidos por el método de Lagrange y gráfico de bonos. El resultado está a continuación: Agregar etiquetas

Primero, consideremos el caso de una función de dos variables. El extremo condicional de una función $z=f(x,y)$ en el punto $M_0(x_0;y_0)$ es el extremo de esta función, logrado bajo la condición de que las variables $x$ e $y$ en la la vecindad de este punto satisface la ecuación de conexión $\ varphi (x,y)=0$.

El nombre de extremo “condicional” se debe a que las variables están sujetas a Condición adicional$\varphi(x,y)=0$. Si una variable se puede expresar a partir de una ecuación de conexión a través de otra, entonces el problema de determinar el extremo condicional se reduce al problema de determinar el extremo habitual de una función de una variable. Por ejemplo, si la ecuación de conexión implica $y=\psi(x)$, entonces sustituyendo $y=\psi(x)$ en $z=f(x,y)$, obtenemos una función de una variable $z =f\izquierda (x,\psi(x)\derecha)$. EN caso general Sin embargo, este método es de poca utilidad, por lo que es necesaria la introducción de un nuevo algoritmo.

Método del multiplicador de Lagrange para funciones de dos variables.

El método del multiplicador de Lagrange consiste en construir una función de Lagrange para encontrar un extremo condicional: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (el parámetro $\lambda$ se llama el multiplicador de Lagrange). Las condiciones necesarias para el extremo se especifican mediante un sistema de ecuaciones a partir del cual se determinan los puntos estacionarios:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(alineado)\right.

Una condición suficiente a partir de la cual se puede determinar la naturaleza del extremo es el signo $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Si en un punto estacionario $d^2F > 0$, entonces la función $z=f(x,y)$ tiene un mínimo condicional en este punto, pero si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Hay otra forma de determinar la naturaleza del extremo. De la ecuación de acoplamiento obtenemos: $\varphi_(x)^()dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^())( \varphi_ (y)^("))dx$, por lo tanto en cualquier punto estacionario tenemos:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^())dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^() \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \derecha)$$

El segundo factor (ubicado entre paréntesis) se puede representar de esta forma:

Los elementos del determinante $\left| están resaltados en rojo. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, que es el hessiano de la función de Lagrange. Si $H > 0$, entonces $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, es decir tenemos un mínimo condicional de la función $z=f(x,y)$.

Una nota sobre la notación del determinante $H$. mostrar ocultar

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(matriz) \derecha| $$

En esta situación, la regla formulada anteriormente cambiará de la siguiente manera: si $H > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, y si $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmo para estudiar una función de dos variables para un extremo condicional

1. Componer la función de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Resuelve el sistema $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(alineado) \right.$
3. Determine la naturaleza del extremo en cada uno de los puntos estacionarios encontrados en el párrafo anterior. Para hacer esto, utilice cualquiera de los siguientes métodos:
   • Componga el determinante de $H$ y encuentre su signo
   • Teniendo en cuenta la ecuación de acoplamiento, calcule el signo de $d^2F$

Método multiplicador de Lagrange para funciones de n variables

Digamos que tenemos una función de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $m$ ecuaciones de acoplamiento ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Denotando los multiplicadores de Lagrange como $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, componemos la función de Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Las condiciones necesarias para la presencia de un extremo condicional están dadas por un sistema de ecuaciones a partir del cual se encuentran las coordenadas de los puntos estacionarios y los valores de los multiplicadores de Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(alineado) \right.$$

Puedes averiguar si una función tiene un mínimo condicional o un máximo condicional en el punto encontrado, como antes, usando el signo $d^2F$. Si en el punto encontrado $d^2F > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, pero si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinante de la matriz $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, resaltado en rojo en la matriz $L$, es el hessiano de la función de Lagrange. Usamos la siguiente regla:

• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ coinciden con el signo de $(-1)^m$, entonces el punto estacionario bajo estudio es el punto mínimo condicional de la función $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternan, y el signo del menor $H_(2m+1)$ coincide con el signo del número $(-1)^(m+1 )$, entonces el punto estacionario es el punto máximo condicional de la función $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Ejemplo No. 1

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=x+3y$ bajo la condición $x^2+y^2=10$.

La interpretación geométrica de este problema es la siguiente: se requiere encontrar el mayor y valor más pequeño se aplica del plano $z=x+3y$ para los puntos de su intersección con el cilindro $x^2+y^2=10$.

Es algo difícil expresar una variable a través de otra a partir de la ecuación de acoplamiento y sustituirla en la función $z(x,y)=x+3y$, por lo que usaremos el método de Lagrange.

Denotando $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, componemos la función de Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Escribamos un sistema de ecuaciones para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ \left \( \begin(alineado) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (alineado)\derecha.$$

Si asumimos $\lambda=0$, entonces la primera ecuación se convierte en: $1=0$. La contradicción resultante indica que $\lambda\neq 0$. Bajo la condición $\lambda\neq 0$, de la primera y segunda ecuaciones tenemos: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Sustituyendo los valores obtenidos en la tercera ecuación, obtenemos:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(alineado) \right.\\ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(alineado) $$

Entonces, el sistema tiene dos soluciones: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ y $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario: $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$. Para ello, calculamos el determinante de $H$ en cada punto.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

En el punto $M_1(1;3)$ obtenemos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, entonces en el punto La función $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ tiene un máximo condicional, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De manera similar, en el punto $M_2(-1,-3)$ encontramos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Desde $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Observo que en lugar de calcular el valor del determinante $H$ en cada punto, es mucho más conveniente expandirlo en vista general. Para no saturar el texto con detalles, ocultaré este método debajo de una nota.

Escribiendo el determinante $H$ en forma general. mostrar ocultar

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principio, ya es obvio qué signo tiene $H$. Dado que ninguno de los puntos $M_1$ o $M_2$ coincide con el origen, entonces $y^2+x^2>0$. Por lo tanto, el signo de $H$ es opuesto al signo de $\lambda$. Puedes completar los cálculos:

$$ \begin(alineado) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(alineado) $$

La pregunta sobre la naturaleza del extremo en los puntos estacionarios $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$ se puede resolver sin utilizar el determinante $H$. Encontremos el signo de $d^2F$ en cada punto estacionario:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\derecha) $$

Permítanme señalar que la notación $dx^2$ significa exactamente $dx$ elevado a la segunda potencia, es decir $\izquierda(dx \derecha)^2$. Por lo tanto tenemos: $dx^2+dy^2>0$, por lo tanto, con $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ obtenemos $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Respuesta: en el punto $(-1;-3)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=-10$. En el punto $(1;3)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=10$

Ejemplo No. 2

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ bajo la condición $x+y=0$.

Primer método (método del multiplicador de Lagrange)

Denotando $\varphi(x,y)=x+y$, componemos la función de Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(alineado) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Resuelto el sistema, obtenemos: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ y $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Tenemos dos puntos estacionarios: $M_1(0;0)$ y $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario usando el determinante $H$.

$$H=\izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 y 1 y 1\\ 1 y 8 y -1 \\ 1 y -1 y 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

En el punto $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, por lo tanto en este punto la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Investigamos la naturaleza del extremo en cada punto usando un método diferente, basado en el signo de $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$

De la ecuación de conexión $x+y=0$ tenemos: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dado que $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, entonces $M_1(0;0)$ es el punto mínimo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De manera similar, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Segunda manera

De la ecuación de conexión $x+y=0$ obtenemos: $y=-x$. Sustituyendo $y=-x$ en la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obtenemos alguna función de la variable $x$. Denotemos esta función como $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Por tanto, reducimos el problema de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables al problema de determinar el extremo de una función de una variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9 \; y_2=-x_2=-\frac(10)(9);

Obtuvimos los puntos $M_1(0;0)$ y $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Se conocen más investigaciones del curso de cálculo diferencial de funciones de una variable. Examinando el signo de $u_(xx)^("")$ en cada punto estacionario o comprobando el cambio en el signo de $u_(x)^(")$ en los puntos encontrados, obtenemos las mismas conclusiones que cuando resolviendo de la primera manera, por ejemplo, verificaremos el signo $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dado que $u_(xx)^("")(M_1)>0$, entonces $M_1$ es el punto mínimo de la función $u(x)$, y $u_(\min)=u(0)=0 $ . Desde $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Los valores de la función $u(x)$ para una condición de conexión dada coinciden con los valores de la función $z(x,y)$, es decir los extremos encontrados de la función $u(x)$ son los extremos condicionales buscados de la función $z(x,y)$.

Respuesta: en el punto $(0;0)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=0$. En el punto $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Consideremos otro ejemplo en el que aclararemos la naturaleza del extremo determinando el signo de $d^2F$.

Ejemplo No. 3

Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=5xy-4$ si las variables $x$ e $y$ son positivas y satisfacen la ecuación de acoplamiento $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Compongamos la función de Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Encontremos los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(alineado) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(alineado) \right.

Todas las transformaciones posteriores se llevan a cabo teniendo en cuenta $x > 0; \; y > 0$ (esto se especifica en el enunciado del problema). De la segunda ecuación expresamos $\lambda=-\frac(5x)(y)$ y sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Sustituyendo $x=2y$ en la tercera ecuación, obtenemos: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dado que $y=1$, entonces $x=2$, $\lambda=-10$. Determinamos la naturaleza del extremo en el punto $(2;1)$ basándonos en el signo de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dado que $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, entonces:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principio, aquí puedes sustituir inmediatamente las coordenadas del punto estacionario $x=2$, $y=1$ y el parámetro $\lambda=-10$, obteniendo:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Sin embargo, en otros problemas, en un extremo condicional pueden haber varios puntos estacionarios. En tales casos, es mejor representar $d^2F$ en forma general y luego sustituir las coordenadas de cada uno de los puntos estacionarios encontrados en la expresión resultante:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Sustituyendo $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, obtenemos:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dado que $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Respuesta: en el punto $(2;1)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=6$.

En la siguiente parte consideraremos la aplicación del método de Lagrange para funciones de un mayor número de variables.

Método del multiplicador de Lagrange.

El método del multiplicador de Lagrange es uno de los métodos que permite resolver problemas sin programación lineal.

La programación no lineal es una rama de la programación matemática que estudia métodos para resolver problemas extremos con una función objetivo no lineal y una región de soluciones factibles definidas por restricciones no lineales. En economía, esto corresponde al hecho de que los resultados (eficiencia) aumentan o disminuyen desproporcionadamente a los cambios en la escala de uso de los recursos (o, lo que es lo mismo, la escala de producción): por ejemplo, debido a la división de los costos de producción en empresas en variables y semifijas; debido a la saturación de la demanda de bienes, cuando cada unidad posterior es más difícil de vender que la anterior, etc.

El problema de programación no lineal se plantea como el problema de encontrar el óptimo de un determinado función objetiva

F(x 1 ,…x n), F (X) → máx.

cuando se cumplen las condiciones

g j (x 1 ,…x n)≥0, gramo (X) ≤ b , X ≥ 0

Dónde X-vector de las variables requeridas;

F (X) -función objetiva;

gramo (X) - función de restricción (continuamente diferenciable);

b - vector de constantes de restricción.

La solución a un problema de programación no lineal (máximo o mínimo global) puede pertenecer a la frontera o al interior del conjunto admisible.

A diferencia de un problema de programación lineal, en un problema de programación no lineal el óptimo no necesariamente se encuentra en el límite de la región definida por las restricciones. En otras palabras, la tarea es seleccionar valores de variables no negativos, sujetos a un sistema de restricciones en forma de desigualdades, bajo los cuales se logra el máximo (o mínimo) de una función determinada. En este caso, no se especifican ni las formas de la función objetivo ni las desigualdades. Puede ser diferentes casos: la función objetivo no es lineal y las restricciones son lineales; la función objetivo es lineal y las restricciones (al menos una de ellas) son no lineales; Tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales.

El problema de la programación no lineal se encuentra en las ciencias naturales, la tecnología, la economía, las matemáticas y en el campo de la relaciones de negocio y en la ciencia del gobierno.

La programación no lineal, por ejemplo, está relacionada con un problema económico básico. Así, en el problema de asignación de recursos limitados, ya sea la eficiencia o, si se estudia al consumidor, se maximiza el consumo en presencia de restricciones que expresan las condiciones de escasez de recursos. En una formulación tan general, la formulación matemática del problema puede resultar imposible, pero en aplicaciones específicas la forma cuantitativa de todas las funciones puede determinarse directamente. Por ejemplo, empresa industrial produce productos de plástico. La eficiencia de la producción se mide aquí por las ganancias y las restricciones se interpretan como efectivo. fuerza laboral, áreas de producción, rendimiento de los equipos, etc.

El método de rentabilidad también encaja en el esquema de programación no lineal. Este método Fue desarrollado para su uso en la toma de decisiones en el gobierno. Una función común de la eficiencia es el bienestar. Aquí surgen dos problemas de programación no lineal: el primero es maximizar el efecto a costos limitados, el segundo es minimizar los costos siempre que el efecto esté por encima de un cierto nivel mínimo. Este problema suele modelarse bien mediante programación no lineal.

Los resultados de resolver un problema de programación no lineal son útiles para tomar decisiones gubernamentales. Por supuesto, se recomienda la solución resultante, por lo que es necesario examinar las suposiciones y la precisión del problema de programación no lineal antes de tomar una decisión final.

Los problemas no lineales son complejos; a menudo se simplifican convirtiéndose en problemas lineales. Para hacer esto, se supone convencionalmente que en un área particular la función objetivo aumenta o disminuye en proporción al cambio en las variables independientes. Este enfoque se denomina método de aproximaciones lineales por partes; sin embargo, es aplicable sólo a ciertos tipos de problemas no lineales;

Los problemas no lineales bajo ciertas condiciones se resuelven utilizando la función de Lagrange: al encontrar su punto de silla, se encuentra la solución al problema. Entre los algoritmos computacionales N. p. gran lugar ocupar métodos de gradiente. No existe un método universal para problemas no lineales y, aparentemente, puede que no lo haya, ya que son extremadamente diversos. Los problemas multiextremos son especialmente difíciles de resolver.

Uno de los métodos que permite reducir un problema de programación no lineal a resolver un sistema de ecuaciones es el método de Lagrange de multiplicadores indefinidos.

Usando el método del multiplicador de Lagrange, esencialmente establecemos las condiciones necesarias, permitiendo identificar puntos óptimos en problemas de optimización con restricciones en forma de igualdades. En este caso, el problema de las restricciones se transforma en un problema equivalente. optimización incondicional, que involucra algunos parámetros desconocidos llamados multiplicadores de Lagrange.

El método del multiplicador de Lagrange consiste en reducir los problemas en un extremo condicional a problemas en el extremo incondicional de una función auxiliar, la llamada. Funciones de Lagrange.

Para el problema del extremo de una función. F(x 1, x 2,..., x n) bajo las condiciones (ecuaciones de restricción) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., metro, la función de Lagrange tiene la forma

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Multiplicadores λ 1 , λ 2 , ..., λ metro llamado Multiplicadores de Lagrange.

Si los valores x 1 , x 2 , ..., x norte , λ 1 , λ 2 , ..., λm la esencia de las soluciones a las ecuaciones que determinan los puntos estacionarios de la función de Lagrange, es decir, para funciones diferenciables son soluciones al sistema de ecuaciones

entonces, bajo supuestos bastante generales x 1 , x 2 , ..., x n proporcione un extremo de la función f.

Considere el problema de minimizar una función de n variables sujetas a una restricción en forma de igualdad:

Minimizar f(x 1, x 2… x n) (1)

bajo restricciones h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Según el método del multiplicador de Lagrange, este problema se transforma en el siguiente problema de optimización sin restricciones:

minimizar L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

donde la función L(x;λ) se llama función de Lagrange,

λ es una constante desconocida, que se llama multiplicador de Lagrange. No existen requisitos para el signo de λ.

Sea, para un valor dado λ=λ 0, que el mínimo incondicional de la función L(x,λ) con respecto a x se alcance en el punto x=x 0 y x 0 satisface la ecuación h 1 (x 0)=0 . Entonces, como es fácil ver, x 0 minimiza (1) teniendo en cuenta (2), ya que para todos los valores de x que satisfacen (2), h 1 (x)=0 y L(x,λ)=min f(x).

Por supuesto, es necesario seleccionar el valor λ=λ 0 para que la coordenada del punto mínimo incondicional x 0 satisfaga la igualdad (2). Esto se puede hacer si, considerando λ como una variable, encuentra el mínimo incondicional de la función (3) en la forma de una función λ y luego elige el valor de λ en el que se cumple la igualdad (2). Ilustremos esto con un ejemplo específico.

Minimizar f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

bajo la restricción h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

El correspondiente problema de optimización sin restricciones se escribe de la siguiente manera:

minimizar L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Solución. Igualando las dos componentes del gradiente L a cero, obtenemos

→ x 1 0 = λ

→ x 2 0 =λ/2

Para comprobar si el punto estacionario x° corresponde al mínimo, calculamos los elementos de la matriz de Hesse de la función L(x;u), considerada en función de x,

lo que resulta ser positivo definido.

Esto significa que L(x,u) es una función convexa de x. En consecuencia, las coordenadas x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 determinan el punto mínimo global. Valor óptimoλ se encuentra sustituyendo los valores x 1 0 y x 2 0 en la ecuación 2x ​​1 + x 2 =2, de donde 2λ+λ/2=2 o λ 0 =4/5. Por lo tanto, el mínimo condicional se logra en x 1 0 =4/5 y x 2 0 =2/5 y es igual a min f(x) = 4/5.

Al resolver el problema del ejemplo, consideramos L(x;λ) como una función de dos variables x 1 y x 2 y, además, asumimos que el valor del parámetro λ se eligió de modo que se cumpliera la restricción. Si la solución del sistema

J=1,2,3,…,norte

λ no se puede obtener en forma de funciones explícitas, entonces los valores de x y λ se encuentran resolviendo el siguiente sistema que consta de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Para encontrar a todos soluciones posibles Este sistema puede utilizar métodos de búsqueda numérica (por ejemplo, el método de Newton). Para cada una de las soluciones (), debemos calcular los elementos de la matriz de Hesse de la función L, considerada en función de x, y averiguar si esta matriz es definida positiva (mínimo local) o definida negativa (máximo local). ).

El método del multiplicador de Lagrange se puede extender al caso en que el problema tiene varias restricciones en forma de igualdades. Considere un problema general que requiere

Minimizar f(x)

bajo restricciones h k =0, k=1, 2, ..., K.

La función de Lagrange toma la siguiente forma:

Aquí λ 1 , λ 2 , ..., λk-Multiplicadores de Lagrange, es decir Parámetros desconocidos cuyos valores es necesario determinar. Igualando las derivadas parciales de L con respecto a x a cero, obtenemos el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

Si resulta difícil encontrar una solución al sistema anterior en forma de funciones del vector λ, entonces puede expandir el sistema incluyendo restricciones en forma de igualdades.

La solución del sistema extendido, que consta de n + K ecuaciones con n + K incógnitas, determina el punto estacionario de la función L. Luego se implementa un procedimiento para verificar el mínimo o máximo, que se lleva a cabo sobre la base del cálculo. los elementos de la matriz hessiana de la función L, considerados como función de x, de forma similar a como se hizo en el caso de un problema con una restricción. Para algunos problemas, el sistema extendido de n+K ecuaciones con n+K incógnitas puede no tener soluciones, y el método del multiplicador de Lagrange resulta inaplicable. Cabe señalar, sin embargo, que este tipo de tareas son bastante raras en la práctica.

Consideremos caso especial Tarea común programación no lineal, suponiendo que el sistema de restricciones contiene solo ecuaciones, no existen condiciones para la no negatividad de las variables y y - las funciones son continuas junto con sus derivadas parciales. Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones (7), obtenemos todos los puntos en los que la función (6) puede tener valores extremos.

Algoritmo para el método multiplicador de Lagrange

1. Componga la función de Lagrange.

2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables x J ,λ i e igualalas a cero.

3. Resolvemos el sistema de ecuaciones (7), encontramos los puntos en los que la función objetivo del problema puede tener un extremo.

4. Entre los puntos sospechosos de un extremo, encontramos aquellos en los que se alcanza el extremo y calculamos los valores de la función (6) en estos puntos.

Ejemplo.

Datos iniciales: Según el plan de producción, la empresa necesita producir 180 productos. Estos productos se pueden fabricar de dos formas tecnológicas. Al producir x 1 productos utilizando el primer método, los costos son 4x 1 +x 1 2 rublos, y al producir x 2 productos utilizando el segundo método, son 8x 2 +x 2 2 rublos. Determine cuántos productos se deben producir usando cada método para que los costos de producción sean mínimos.

La función objetivo para el problema planteado tiene la forma
® mín. bajo las condiciones x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Componer la función de Lagrange
.
2. Calculamos las derivadas parciales con respecto a x 1, x 2, λ y las igualamos a cero:

3. Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, encontramos x 1 =91,x 2 =89

4. Habiendo realizado un reemplazo en la función objetivo x 2 =180-x 1, obtenemos una función de una variable, a saber, f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Calculamos o 4x 1 -364=0 ,

de donde tenemos x 1 * =91, x 2 * =89.

Respuesta: El número de productos fabricados con el primer método es x 1 =91, con el segundo método x 2 =89, mientras que el valor de la función objetivo es igual a 17 278 rublos.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) =f(t)

consiste en reemplazar constantes arbitrarias ck en la solución general

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

ecuación homogénea correspondiente

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

a funciones auxiliares ck(t), cuyas derivadas satisfacen el sistema algebraico lineal

El determinante del sistema (1) es el Wronskiano de las funciones z1,z2,...,zn, lo que asegura su única solubilidad con respecto a .

Si son antiderivadas de , tomadas en valores fijos de las constantes de integración, entonces la función

es una solución a la ecuación diferencial lineal no homogénea original. Integración ecuación no homogénea en presencia de una solución general a la correspondiente ecuación homogénea, se reduce a cuadraturas.

Método de Lagrange (método de variación de constantes arbitrarias)

Un método para obtener una solución general a una ecuación no homogénea, conociendo la solución general de una ecuación homogénea sin encontrar una solución particular.

Para una ecuación diferencial lineal homogénea de enésimo orden

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

donde y = y(x) es una función desconocida, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) son conocidos, continuos, verdaderos: 1) hay n linealmente soluciones independientes ecuaciones y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) para cualquier valor de las constantes c1, c2, ..., cn, la función y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) es una solución a la ecuación; 3) para cualquier valor inicial x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 existen valores c*1, c*n, ..., c*n tales que la solución y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) satisface las condiciones iniciales y*(x0)=y0, (y*)"( x0) para x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

La expresión y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) se llama decisión general ecuación diferencial lineal homogénea de enésimo orden.

El conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de enésimo orden y1(x), y2(x), ..., yn(x) se denomina sistema fundamental de soluciones de la ecuación.

Para una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes Existe un algoritmo simple para construir un sistema fundamental de soluciones. Buscaremos una solución a la ecuación de la forma y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, es decir, el número l es la raíz Ecuación característica ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. El lado izquierdo de la ecuación característica se llama polinomio característico de la ecuación diferencial lineal: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Así, el problema de resolver una ecuación lineal homogénea de enésimo orden con coeficientes constantes se reduce a resolver una ecuación algebraica.

Si la ecuación característica tiene n raíces reales diferentes l1№ l2 № ... № ln, entonces el sistema fundamental de soluciones consta de las funciones y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), y la solución general de la ecuación homogénea es: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

un sistema fundamental de soluciones y una solución general para el caso de raíces reales simples.

Si alguna de las raíces reales de la ecuación característica se repite r veces (r-raíz múltiple), entonces en el sistema fundamental de soluciones existen r funciones correspondientes a ella; si lk=lk+1 = ... = lk+r-1, entonces en sistema fundamental las soluciones a la ecuación incluyen r funciones: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

EJEMPLO 2. Sistema fundamental de soluciones y solución general para el caso de raíces reales múltiples.

Si la ecuación característica tiene raíces complejas, entonces cada par de raíces complejas simples (con multiplicidad 1) lk,k+1=ak ± ibk en el sistema fundamental de soluciones corresponde a un par de funciones yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

EJEMPLO 4. Sistema fundamental de soluciones y solución general para el caso de raíces complejas simples. Raíces imaginarias.

Si un par complejo de raíces tiene multiplicidad r, entonces dicho par lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, en el sistema fundamental de soluciones corresponde a las funciones exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

EJEMPLO 5. Sistema fundamental de soluciones y solución general para el caso de raíces complejas múltiples.

Por tanto, para encontrar una solución general a una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, se debe: escribir la ecuación característica; encuentre todas las raíces de la ecuación característica l1, l2, ... , ln; escriba el sistema fundamental de soluciones y1(x), y2(x), ..., yn(x); Escribe la expresión para la solución general y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Para resolver el problema de Cauchy, es necesario sustituir la expresión de la solución general en las condiciones iniciales y determinar los valores de las constantes c1,..., cn, que son soluciones del sistema de lineales. ecuaciones algebraicas c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de enésimo orden

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

donde y = y(x) es una función desconocida, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) son conocidas, continuas y válidas: 1 ) si y1(x) e y2(x) son dos soluciones de una ecuación no homogénea, entonces la función y(x) = y1(x) - y2(x) es una solución de la ecuación homogénea correspondiente; 2) si y1(x) es una solución a una ecuación no homogénea, y y2(x) es una solución a la ecuación homogénea correspondiente, entonces la función y(x) = y1(x) + y2(x) es una solución a la ecuación no homogénea; 3) si y1(x), y2(x), ..., yn(x) son n soluciones linealmente independientes de una ecuación homogénea, y ych(x) - decisión arbitraria ecuación no homogénea, entonces para cualquier valor inicial x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 existen valores c*1, c*n, ..., c*n tales que solución y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) satisface las condiciones iniciales y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

La expresión y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) se denomina solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de enésimo orden.

Para encontrar soluciones particulares de no homogéneos. ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes con lados derechos de la forma: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), donde Pk(x), Qm(x) son polinomios de grado k y m En consecuencia, existe un algoritmo simple para construir una solución particular, llamado método de selección.

Método de selección o método. coeficientes inciertos, es como sigue. La solución requerida a la ecuación se escribe en la forma: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, donde Pr(x), Qr(x ) son polinomios de grado r = max(k, m) con coeficientes desconocidos pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. El factor xs se llama factor resonante. La resonancia ocurre en los casos en que entre las raíces de la ecuación característica hay una raíz l =a ± ib de multiplicidad s. Aquellos. si entre las raíces de la ecuación característica de la ecuación homogénea correspondiente hay una tal que su parte real coincide con el coeficiente en el exponente del exponente, y su parte imaginaria coincide con el coeficiente en el argumento Funcion trigonometrica en el lado derecho de la ecuación, y la multiplicidad de esta raíz es s, entonces la solución parcial requerida contiene un factor resonante xs. Si no existe tal coincidencia (s=0), entonces no hay factor resonante.

Sustituyendo la expresión de la solución particular en lado izquierdo ecuación, obtenemos un polinomio generalizado de la misma forma que el polinomio del lado derecho de la ecuación, cuyos coeficientes son desconocidos.

Dos polinomios generalizados son iguales si y sólo si los coeficientes de factores de la forma xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) con las mismas potencias t son iguales. Al igualar los coeficientes de tales factores, obtenemos un sistema de 2(r+1) ecuaciones algebraicas lineales para 2(r+1) incógnitas. Se puede demostrar que dicho sistema es consistente y tiene una solución única.