Conclusiones en lógica. Razonamiento deductivo

Tipo booleano Los valores del tipo lógico booleano ocupan 1 byte y toman uno de los dos valores especificados por las constantes predefinidas Verdadero (verdadero) y Falso (falso) Para el tipo lógico se definen métodos estáticos: boolean.Parse(s). ) - una función que convierte una cadena

26. Análisis lógico

26. Sitio de Bus de análisis lógico. Este lugar es.Mediodía.Aproximadamente.Aproximadamente el mediodía. Este es el momento. Pelea de pasajeros. Esto es acción, joven. Cuello largo y delgado. Un joven que llevaba un sombrero con trenza alrededor. Este

Vía lógica

Parte uno. Razonamiento deductivo y plausible

CAPÍTULO 1. Asunto y tareas de la lógica.

1.1. La lógica como ciencia.

La lógica es una de las ciencias más antiguas, cuyas primeras enseñanzas sobre las formas y métodos de razonamiento surgieron en las civilizaciones. Antiguo Oriente(China, India). Los principios y métodos de la lógica entraron en la cultura occidental principalmente gracias a los esfuerzos de los antiguos griegos. Desarrollado vida política En las ciudades-estado griegas, la lucha de diferentes partidos por influir en las masas de ciudadanos libres, el deseo de resolver los conflictos de propiedad y otros conflictos que surgieron a través de los tribunales, todo esto requería la capacidad de convencer a la gente, de defender su posición en varios foros populares, en instituciones gubernamentales, audiencias judiciales, etc.

El arte de persuadir, argumentar, la habilidad de defender razonablemente la propia opinión y objetar al oponente durante una discusión y polémica se cultivó en el marco de la retórica antigua, enfocada a mejorar la oratoria, y la erística, una enseñanza especial sobre la argumentación. Los primeros profesores de retórica hicieron mucho por difundir y desarrollar conocimientos sobre la habilidad de persuasión, los métodos de argumentación y la construcción del discurso público, convirtiéndose Atención especial sobre sus aspectos y características emocionales, psicológicas, morales y oratorias. Sin embargo, más tarde, cuando las escuelas de retórica comenzaron a estar encabezadas por los sofistas, buscaron enseñar a sus alumnos a no buscar la verdad a través de argumentos, sino a ganar, a ganar una competencia verbal a cualquier precio. Para estos fines, se utilizaron ampliamente errores lógicos deliberados, que luego se conocieron como sofistería, así como diversos trucos y técnicas psicológicas para distraer la atención del oponente, sugerencias, cambiar la disputa del tema principal a temas secundarios, etc.

A esta tendencia en la retórica se opusieron resueltamente los grandes filósofos antiguos Sócrates, Platón y Aristóteles, quienes consideraban que el principal medio de persuasión era la validez de los juicios contenidos en el discurso oratorio, su correcta conexión en el proceso de razonamiento, es decir. inferir algunos juicios de otros. Fue para el análisis del razonamiento que Aristóteles (siglo IV a. C.) creó el primer sistema de lógica, llamado silogística. Es la forma más simple, pero al mismo tiempo la más utilizada, de razonamiento deductivo, en la que la conclusión (conclusión) se obtiene a partir de premisas de acuerdo con las reglas de la deducción lógica. Tenga en cuenta que el término deducción traducido del latín significa conclusión.

Para explicar esto, recurramos al antiguo silogismo:

Todas las personas son mortales.

Kai es un humano ____________

Por tanto, Kai es mortal.

Aquí, como en otros silogismos, la inferencia se hace desde el conocimiento general sobre una determinada clase de objetos y fenómenos hasta el conocimiento particular e individual. Destaquemos inmediatamente que en otros casos la deducción se puede realizar de particular a particular o de general a general.

Lo principal que une a todas las inferencias deductivas es que la conclusión se deriva de las premisas de acuerdo con las reglas lógicas de la inferencia y tiene un carácter objetivo y confiable. En otras palabras, la conclusión no depende de la voluntad, deseos y preferencias del sujeto que razona. Si aceptas las premisas de tal conclusión, entonces debes aceptar su conclusión.

También se suele afirmar que el rasgo definitorio de las inferencias deductivas es la naturaleza lógicamente necesaria de la conclusión, su verdad confiable. En otras palabras, en tales inferencias el valor de verdad de las premisas se transfiere completamente a la conclusión. Ésta es la razón por la que el razonamiento deductivo tiene el mayor poder de persuasión y se utiliza ampliamente no sólo para demostrar teoremas en matemáticas, sino también dondequiera que se necesiten conclusiones fiables.

Muy a menudo en los libros de texto. lógicas determinado como ciencia sobre las leyes del pensamiento correcto o los principios y métodos para sacar conclusiones correctas. Sin embargo, como no está claro qué tipo de pensamiento se considera correcto, la primera parte de la definición contiene una tautología oculta, ya que se supone implícitamente que dicha corrección se logra observando las reglas de la lógica. En la segunda parte, el tema de la lógica se define con mayor precisión, porque la tarea principal de la lógica se reduce al análisis de inferencias, es decir. a identificar formas de obtener algunos juicios de otros. Es fácil ver que cuando hablan de inferencias correctas, implícita o incluso explícitamente se refieren a lógica deductiva. Precisamente en él existen reglas completamente definidas para la derivación lógica de conclusiones a partir de premisas, que conoceremos con más detalle más adelante. A menudo, la lógica deductiva también se identifica con la lógica formal porque esta última estudia las formas de las inferencias abstrayéndose del contenido específico de los juicios. Esta visión, sin embargo, no tiene en cuenta otros métodos y formas de razonamiento que se utilizan ampliamente tanto en las ciencias experimentales que estudian la naturaleza como en las ciencias socioeconómicas y humanas, basadas en hechos y resultados de la vida social. Y en la práctica cotidiana, a menudo hacemos generalizaciones y suposiciones basadas en observaciones de casos particulares.

Un razonamiento de este tipo, en el que, a partir de la investigación y verificación de casos particulares, se llega a una conclusión sobre casos no estudiados o sobre todos los fenómenos de la clase en su conjunto, se denomina inductivo. Término inducción medio guía y expresa bien la esencia de tal razonamiento. Por lo general, estudian las propiedades y relaciones de un cierto número de miembros de una determinada clase de objetos y fenómenos. La propiedad o relación general resultante se transfiere luego a miembros inexplorados o a toda la clase. Obviamente, tal conclusión no puede considerarse confiablemente cierta, porque entre los miembros inexplorados de la clase, y especialmente de la clase en su conjunto, puede haber miembros que no poseen la supuesta propiedad común. Por tanto, las conclusiones de la inducción no son fiables, sino sólo probabilísticas. A menudo, estas conclusiones también se denominan plausibles, hipotéticas o conjeturales, ya que no garantizan el logro de la verdad, sino que sólo la señalan. Ellos tienen heurístico(búsqueda) en lugar de ser confiable por naturaleza, ayudando a buscar la verdad en lugar de probarla. Junto al razonamiento inductivo, esto también incluye conclusiones por analogía y generalizaciones estadísticas.

Rasgo distintivo de tal razonamiento no deductivo es que la conclusión en ellos no se sigue lógicamente, es decir, según las reglas de deducción, de locales. Las premisas sólo en un grado u otro confirman la conclusión, la hacen más o menos probable o plausible, pero no garantizan su verdad confiable. Sobre esta base, el razonamiento probabilístico a veces es claramente subestimado, considerado secundario, auxiliar e incluso excluido de la lógica.

Esta actitud hacia la lógica no deductiva y, en particular, la inductiva se explica principalmente por las siguientes razones:

En primer lugar, y esto es lo principal, el carácter problemático y probabilístico de las conclusiones inductivas y la consiguiente dependencia de los resultados de los datos disponibles, la inseparabilidad de las premisas y el carácter incompleto de las conclusiones. De hecho, a medida que se dispone de nuevos datos, la probabilidad de llegar a tales conclusiones también cambia.

En segundo lugar, la presencia de aspectos subjetivos al evaluar la relación lógica probabilística entre las premisas y la conclusión del argumento. Estas premisas, como los hechos y las pruebas, pueden parecer convincentes para una persona, pero no para otra. Uno cree que apoya firmemente la conclusión, el otro opina lo contrario. Estos desacuerdos no surgen en la inferencia deductiva.

En tercer lugar, esta actitud hacia la inducción también se explica por circunstancias históricas. Cuando surgió por primera vez la lógica inductiva, sus creadores, en particular F. Bacon, creían que con la ayuda de sus cánones o reglas, era posible descubrir nuevas verdades en las ciencias experimentales de una forma casi puramente mecánica. “Nuestro camino de descubrimiento de las ciencias”, escribió, “deja poco a la agudeza y al poder del talento, pero casi los iguala. Así como al trazar una línea recta o describir un círculo perfecto, significan firmeza, habilidad y prueba de la mano. mucho, si actúas sólo con la mano, significa poco o no significa nada si usas un compás y una regla. Este también es el caso de nuestro método”. Discurso idioma moderno, los creadores de la lógica inductiva consideraron sus cánones como algoritmos de descubrimiento. Con el desarrollo de la ciencia, se hizo cada vez más obvio que con la ayuda de tales reglas (o algoritmos) es posible descubrir sólo las conexiones empíricas más simples entre los fenómenos observados experimentalmente y las cantidades que los caracterizan. La apertura conexiones complejas y las leyes teóricas profundas requerían el uso de todos los medios y métodos de investigación empírica y investigación teórica, aplicación máxima Habilidades mentales e intelectuales de los científicos, su experiencia, intuición y talento. Y esto no podía dejar de dar lugar a una actitud negativa hacia el enfoque mecánico del descubrimiento, que antes existía en la lógica inductiva.

En cuarto lugar, la expansión de las formas de razonamiento deductivo, el surgimiento de la lógica relacional y, en particular, la aplicación métodos matemáticos para el análisis de la deducción, que culminó con la creación de la lógica simbólica (o matemática), que contribuyó en gran medida al avance de la lógica deductiva.

Todo esto deja claro por qué a menudo prefieren definir la lógica como la ciencia de los métodos, reglas y leyes de las inferencias deductivas o como la teoría de la inferencia lógica. Pero no debemos olvidar que la inducción, la analogía y la estadística son de maneras importantes Búsqueda heurística de la verdad y, por tanto, sirven como métodos racionales de razonamiento. Después de todo, la búsqueda de la verdad se puede realizar al azar, mediante prueba y error, pero este método es extremadamente ineficaz, aunque a veces se utiliza. La ciencia recurre a él muy raramente, ya que se centra en una búsqueda organizada, selectiva y sistemática.

También hay que tener en cuenta que las verdades generales (leyes, principios, hipótesis y generalizaciones empíricas y teóricas), que se utilizan como premisas de conclusiones deductivas, no pueden establecerse deductivamente. Pero se puede objetar que no se abren inductivamente. Sin embargo, dado que el razonamiento inductivo se centra en la búsqueda de la verdad, resulta ser un medio heurístico de investigación más útil. Por supuesto, al comprobar supuestos e hipótesis también se utiliza la deducción, en particular para extraer consecuencias de ellas. Por tanto, la deducción no puede oponerse a la inducción, ya que en el proceso real del conocimiento científico se presuponen y se complementan.

Por tanto, la lógica puede definirse como la ciencia de los métodos racionales de razonamiento, que abarcan tanto el análisis de las reglas de deducción (derivar conclusiones a partir de premisas) como el estudio del grado de confirmación de conclusiones probabilísticas o plausibles (hipótesis, generalizaciones, suposiciones). , etc.).

La lógica tradicional, que se formó sobre la base de las enseñanzas lógicas de Aristóteles, se complementó posteriormente con los métodos de lógica inductiva formulados por F. Bacon y sistematizados por J.S. Millem. Esta es la lógica que se ha enseñado durante mucho tiempo en escuelas y universidades bajo el nombre de lógica formal.

Aparición lógica matemática Cambió radicalmente la relación entre lógicas deductivas y no deductivas que existía en la lógica tradicional. Este cambio se realizó a favor de la deducción. Gracias a la simbolización y al uso de métodos matemáticos, la propia lógica deductiva adquirió un carácter estrictamente formal. De hecho, es bastante legítimo considerar dicha lógica como modelo matemático razonamiento deductivo.

Por lo tanto, a menudo se la considera una etapa moderna en el desarrollo de la lógica formal, pero se olvida agregar que estamos hablando de lógica deductiva. También se suele decir que la lógica matemática reduce el proceso de razonamiento a la construcción de varios sistemas de cálculo y, por lo tanto, reemplaza el proceso natural de pensar con cálculos. Sin embargo, el modelo siempre va asociado a simplificaciones, por lo que no puede sustituir al original. De hecho, la lógica matemática se centra principalmente en pruebas matemáticas

Mientras tanto, en el proceso real de razonamiento, en una argumentación, discusión, polémica, el análisis y valoración de premisas adquiere un especial importante. En el curso de la argumentación hay que plantear determinadas tesis y afirmaciones, encontrar argumentos convincentes en su defensa, corregirlas y complementarlas, dar contraargumentos, etc. Aquí tenemos que recurrir a métodos de razonamiento informales y no deductivos, en particular a la generalización inductiva de hechos, conclusiones por analogía, análisis estadístico, etc.

Considerando la lógica como la ciencia de los métodos racionales de razonamiento, no debemos olvidarnos de otras formas de pensamiento: conceptos y juicios con los que comienza cualquier libro de texto de lógica. Pero los juicios, y especialmente los conceptos, desempeñan un papel auxiliar en la lógica. Con su ayuda, la estructura de las inferencias y la conexión de los juicios en varios tipos razonamiento. Los conceptos están incluidos en la estructura de cualquier juicio en forma de sujeto, es decir, objeto de pensamiento, y predicado, como un signo que caracteriza al sujeto, es decir, que afirma la presencia o ausencia de una determinada propiedad en el objeto de pensamiento. En nuestra presentación, nos adherimos a la tradición generalmente aceptada y comenzamos la discusión con un análisis de conceptos y juicios, para luego cubrir con más detalle los métodos de razonamiento deductivo y no deductivo. El capítulo donde se analizan las proposiciones examina los elementos del cálculo proposicional, que suelen ser el punto de partida de cualquier curso de lógica matemática.

Los elementos de la lógica de predicados se tratan en el próximo capítulo, donde se considera la teoría del silogismo categórico como un caso especial. Formas modernas Obviamente, el razonamiento no deductivo no puede entenderse sin una distinción clara entre la interpretación lógica y estadística de la probabilidad, ya que bajo probabilidad lo que más a menudo se implica es precisamente su interpretación estadística, que tiene un significado auxiliar en lógica. En este sentido, en el capítulo sobre razonamiento probabilístico, nos centramos específicamente en aclarar la diferencia entre las dos interpretaciones de la probabilidad y explicamos con más detalle las características de la probabilidad lógica.

Así, toda la naturaleza de la presentación en el libro orienta al lector al hecho de que la deducción y la inducción, la confiabilidad y la probabilidad, el movimiento del pensamiento de lo general a lo particular y de lo particular a lo general no excluyen, sino que más bien complementan. unos a otros en proceso general razonamiento racional destinado tanto a encontrar la verdad como a probarla.

Las propiedades de los conceptos básicos se revelan en axiomas- propuestas aceptadas sin prueba.

Por ejemplo, en la geometría escolar hay axiomas: "a través de dos puntos cualesquiera se puede trazar una línea recta y solo uno" o "una línea recta divide un plano en dos semiplanos".

El sistema de axiomas de cualquier teoría matemática, que revela las propiedades de los conceptos básicos, da sus definiciones. Estas definiciones se denominan axiomático.

Las propiedades de los conceptos a demostrar se llaman teoremas, consecuencias, signos, fórmulas, reglas.

demostrar el teorema AEN- esto significa establecer de manera lógica que siempre que se cumpla una propiedad A, la propiedad será ejecutada EN.

Prueba en matemáticas llaman a una secuencia finita de proposiciones de una teoría dada, cada una de las cuales es un axioma o se deduce de una o más proposiciones de esta secuencia de acuerdo con las reglas de la inferencia lógica.

La base de la prueba es el razonamiento. operación lógica, como resultado de lo cual, a partir de una o más oraciones interconectadas en significado, se obtiene una oración que contiene nuevos conocimientos.

Como ejemplo, consideremos el razonamiento de un escolar que necesita establecer la relación “menor que” entre los números 7 y 8. El estudiante dice: “7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Averigüemos en qué hechos se basa la conclusión obtenida en este argumento.

Hay dos hechos de este tipo: Primero: si el número A al contar, los números se llaman antes b, Eso a< b. Segundo: 7 se llama antes que 8 al contar.

La primera frase es carácter general, dado que contiene un cuantificador general, se denomina premisa general. La segunda oración se refiere a los números específicos 7 y 8; se llama premisa privada. Recibido de dos paquetes nuevo hecho: 7 < 8, его называют заключением.

Existe una cierta conexión entre las premisas y la conclusión, gracias a la cual constituyen un argumento.

Un argumento en el que existe una relación de implicación entre las premisas y la conclusión se llama deductivo.

En lógica, en lugar del término "razonamiento", se utiliza más a menudo la palabra "inferencia".

Inferencia- esta es una forma de obtener nuevos conocimientos basados ​​​​en algunos conocimientos existentes.

Una inferencia consta de premisas y una conclusión.

Paquetes- estos contienen conocimientos iniciales.

Conclusión- esta es una declaración que contiene nuevos conocimientos obtenidos del original.

Como regla general, la conclusión se separa de las premisas mediante las palabras "por lo tanto", "significa". Inferencia con premisas R 1, r. 2, …, рn y conclusión R lo escribiremos en la forma: o (R 1, r. 2, …, рn) r.

Ejemplos inferencias: a) Número un =b. Número segundo = c. Por lo tanto, el número a = c.

b) Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, entonces la fracción es propia. en una fracción el numerador es menor que el denominador (5<6) . Por lo tanto, la fracción - correcto.

c) Si llueve, entonces hay nubes en el cielo. Hay nubes en el cielo, por eso está lloviendo.

Las conclusiones pueden ser correctas o incorrectas.

La inferencia se llama correcto si la fórmula correspondiente a su estructura y que representa una conjunción de premisas, unidas a la conclusión por un signo de implicación, es idénticamente verdadera.

Para eso para determinar si la conclusión es correcta, proceder de la siguiente:

1) formalizar todas las premisas y conclusiones;

2) escribir una fórmula que represente una conjunción de premisas conectadas por un signo de implicación con una conclusión;

3) elaborar una tabla de verdad para esta fórmula;

4) si la fórmula es idénticamente cierta, entonces la conclusión es correcta; si no, entonces la conclusión es incorrecta;

En lógica, se cree que la exactitud de una conclusión está determinada por su forma y no depende del contenido específico de las declaraciones incluidas en ella. Y en lógica se proponen reglas a partir de las cuales se pueden sacar conclusiones deductivas. Estas reglas se llaman reglas de inferencia o patrones de razonamiento deductivo.

Existen muchas reglas, pero las más utilizadas son las siguientes:

1. - regla de conclusión;

2. - regla de negación;

3. - la regla del silogismo.

vamos a dar ejemplo inferencias hechas de regla conclusiones:"Si la grabación de un número X termina con un numero 5, Ese número X dividido por 15. escribiendo un numero 135 termina con un numero 5 . Por lo tanto, el número 135 dividido por 5 ».

La premisa general de esta conclusión es la afirmación “si Oh), Eso B(x)", Dónde Oh)- este es un "registro de número" X termina con un numero 5 ", A B(x)- "número X dividido por 5 " Una premisa particular es una afirmación que se obtiene de la condición de la premisa general cuando
x = 135(aquellos. A(135)). Una conclusión es una afirmación derivada de B(x) en x = 135(aquellos. V(135)).

vamos a dar ejemplo de una conclusión hecha de acuerdo con la regla negativos:"Si la grabación de un número X termina con un numero 5, Ese número X dividido por 5 . Número 177 no divisible por 5 . Por lo tanto no termina en un número. 5 ».

Vemos que en esta conclusión la premisa general es la misma que en la anterior, y la particular es la negación del enunciado “número 177 dividido por 5 "(es decir.). La conclusión es la negación de la oración “Escribir un número 177 termina con un numero 5 "(es decir.).

Finalmente, consideremos ejemplo de una inferencia basada en regla del silogismo: "Si el número X múltiple 12, entonces es un múltiplo 6. si el numero X múltiple 6 , entonces es un múltiplo 3 . Por lo tanto, si el número X múltiple 12, entonces es un múltiplo 3 ».

Esta conclusión tiene dos premisas: “si Oh), Eso B(x)" y si B(x), Eso C(x)", donde A(x) es "el número X múltiple 12 », B(x)- "número X múltiple 6 " Y C(x)- "número X múltiple 3 " La conclusión es una afirmación “si Oh), Eso C(x)».

Comprobemos si las siguientes conclusiones son correctas:

1) Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales son mutuamente perpendiculares. A B CD- rombo Por tanto, sus diagonales son mutuamente perpendiculares.

2) Si el número es divisible por 4 , entonces se divide por 2 . Número 22 dividido por 2 . Por tanto, se divide en 4.

3) Todos los árboles son plantas. El pino es un árbol. Esto significa que el pino es una planta.

4) Todos los estudiantes de esta clase fueron al teatro. Petya no estaba en el teatro. Por lo tanto, Petya no es alumno de esta clase.

5) Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, entonces la fracción es correcta. Si una fracción es propia, entonces es menor que 1. Por lo tanto, si el numerador de una fracción es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que 1.

Solución: 1) Para resolver la cuestión de la exactitud de la inferencia, identifiquemos su forma lógica. Introduzcamos la siguiente notación: C(x)- "cuadrilátero" X- rombo", B(x)- “en un cuadrilátero X las diagonales son mutuamente perpendiculares." Entonces la primera premisa se puede escribir como:
C(x) B(x), segundo - California), y la conclusión Licenciado en Letras).

Por tanto, la forma de esta inferencia es: . Está construido según la regla de conclusión. Por tanto, este razonamiento es correcto.

2) Introduzcamos la notación: Oh)- "número X dividido por 4 », B(x)- "número X dividido por 2 " Luego escribimos la primera premisa: Oh)B(x), segundo Licenciado en Letras), y la conclusión es Automóvil club británico). La conclusión tomará la forma: .

No existe tal forma lógica entre las conocidas. Es fácil ver que ambas premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.

Esto significa que este razonamiento es incorrecto.

3) Introduzcamos algo de notación. Dejar Oh)- "Si Xárbol", B(x) - « X planta". Entonces los paquetes tomarán la forma: Oh)B(x), A(a), y la conclusión Licenciado en Letras). Nuestra conclusión se construye en la forma: - reglas de conclusión.

Esto significa que nuestro razonamiento está estructurado correctamente.

4) dejar Oh) - « X- estudiantes de nuestra clase, B(x)- "estudiantes X Fui al teatro." Entonces los paquetes quedarán de la siguiente manera: Oh)B(x), y la conclusión.

Esta conclusión se basa en la regla de la negación:

- significa que es correcto.

5) Identifiquemos la forma lógica de la inferencia. Dejar A(x) -"numerador de una fracción X menor que el denominador." B(x) - “fracción X- correcto." C(x)- "fracción" X menos 1 " Entonces los paquetes tomarán la forma: Oh)B(x), B(x) C(x), y la conclusión Oh)C(x).

Nuestra conclusión tendrá la siguiente forma lógica: - la regla del silogismo.

Esto significa que esta conclusión es correcta.

En lógica, se consideran varias formas de comprobar la exactitud de las inferencias, incluidas Análisis de la exactitud de las inferencias utilizando círculos de Euler. Se lleva a cabo de la siguiente manera: escribir la conclusión en lenguaje de teoría de conjuntos; representar premisas en los círculos de Euler, considerándolas verdaderas; miran para ver si la conclusión es siempre cierta. En caso afirmativo, entonces dicen que la inferencia se construyó correctamente. Si es posible realizar un dibujo del que se desprende claramente que la conclusión es falsa, entonces se dice que la conclusión es incorrecta.

Tabla 9

Demostremos que la inferencia realizada según la regla de inferencia es deductiva. Primero, escribamos esta regla en lenguaje de teoría de conjuntos.

Paquete Oh)B(x) Se puede escribir como ejército de reservaTELEVISOR, Dónde ejército de reserva Y TELEVISOR- conjuntos de verdad de formas proposicionales Oh) Y B(x).

paquete privado Automóvil club británico) significa que AEJÉRCITO DE RESERVA, y la conclusión Licenciado en Letras) muestra que ATELEVISOR.

Toda la inferencia construida de acuerdo con la regla de inferencia se escribirá en lenguaje de teoría de conjuntos de la siguiente manera: .

Arroz. 58.

Ejemplos.

1. ¿Es correcta la conclusión “Si un número termina en un número”? 5, entonces el numero es divisible por 5. Número 125 dividido por 5. Por lo tanto, escribir el número 125 termina con un numero 5 »?

Solución: Esta conclusión se hace de acuerdo con el esquema. , que corresponde a . No conocemos tal esquema. Averigüemos si se trata de una regla de inferencia deductiva.

Usemos círculos de Euler. En lenguaje de teoría de conjuntos

La regla resultante se puede escribir de la siguiente manera:

. Representemos los conjuntos en círculos de Euler. ejército de reserva Y TELEVISOR y denota el elemento A desde muchos TELEVISOR.

Resulta que puede estar contenido en un conjunto. EJÉRCITO DE RESERVA, puede pertenecerle o no (Fig. 59). En lógica, se cree que tal esquema no es una regla de inferencia deductiva, ya que no garantiza la verdad de la conclusión.

Esta conclusión no es correcta, ya que se realiza según un esquema que no garantiza la veracidad del razonamiento.

Arroz. 59.

b) Todos los verbos responden a la pregunta "¿qué hacer?" o "¿qué debo hacer?" La palabra "aciano" no responde a ninguna de estas preguntas. Por tanto, "aciano" no es un verbo.

Solución: a) Escribamos esta conclusión en lenguaje de teoría de conjuntos. Denotemos por A- muchos estudiantes de la Facultad de Educación, a través de EN- muchos estudiantes que son profesores, a través de CON- muchos estudiantes mayores de 20 años.

Entonces la conclusión tomará la forma: .

Si representamos estos conjuntos en círculos, entonces son posibles 2 casos:

1) conjuntos A B C intersecarse;

2) conjunto EN se cruza con muchos CON Y A, y mucho A se cruza EN, pero no se cruza con CON.

b) Denotemos por A muchos verbos, y a través de EN muchas palabras que responden a la pregunta "¿qué hacer?" o "¿qué debo hacer?"

Entonces la conclusión se puede escribir de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Se le pide al estudiante que explique por qué el número 23 se puede representar como la suma de 20 + 3. Él razona: “El número 23 tiene dos dígitos. Cualquier número de dos dígitos se puede representar como una suma de términos de dígitos. Por lo tanto, 23 = 20 + 3."

La primera y la segunda oración de esta conclusión son premisas, y una de carácter general es la afirmación "cualquier número de dos dígitos se puede representar como una suma de términos de dígitos", y la otra es particular, caracteriza solo el número 23. es de dos dígitos. La conclusión, esta frase que viene después de la palabra “por lo tanto”, también es de carácter privado, ya que se refiere al número específico 23.

Las inferencias, que suelen utilizarse para demostrar teoremas, se basan en el concepto de implicación lógica. Además, de la definición de implicación lógica se deduce que para todos los valores de las variables proposicionales para los cuales los enunciados iniciales (premisas) son verdaderos, la conclusión del teorema también lo es. Estas conclusiones son deductivas.

En el ejemplo analizado anteriormente, la inferencia dada es deductiva.

Ejemplo 2. Una de las técnicas para familiarizar a los niños de primaria con la propiedad conmutativa de la multiplicación es la siguiente. Utilizando diversas ayudas visuales, los escolares, junto con el profesor, establecen que, por ejemplo, 6 3 = 36, 52 = 25. Luego, con base en las igualdades obtenidas, concluyen: para todos los números naturales a Y b la igualdad es verdadera ab = ba.

En esta conclusión, las premisas son las dos primeras igualdades. Afirman que tal propiedad se cumple para números naturales específicos. La conclusión de este ejemplo es una afirmación general: la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales.

En esta conclusión, premisas de carácter privado muestran que alguno Los números naturales tienen la siguiente propiedad: reordenar los factores no cambia el producto. Y sobre esta base se concluyó que todos los números naturales tienen esta propiedad. Este tipo de inferencias se denominan inducción incompleta.

aquellos. para algunos números naturales se puede argumentar que la suma es menor que su producto. Esto significa que partiendo del hecho de que algunos números tienen esta propiedad, podemos concluir que todos los números naturales tienen esta propiedad:

Este ejemplo es un ejemplo de razonamiento analógico.

Bajo analogía entender una inferencia en la que, a partir de la similitud de dos objetos en algunas características y la presencia de una característica adicional en uno de ellos, se llega a una conclusión sobre la presencia de la misma característica en el otro objeto.

Una conclusión por analogía tiene la naturaleza de una suposición, una hipótesis y, por lo tanto, necesita prueba o refutación.

Al sacar una conclusión, es conveniente presentar las reglas para introducir y eliminar conectivos lógicos de la misma manera que las reglas para la inferencia:

Regla 1. Si las premisas $F_1$ y $F_2$ tienen el significado "y", entonces su conjunción es verdadera, es decir

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Esta entrada, si las premisas $F_1$ y $F_2$ son verdaderas, prevé la posibilidad de introducir una conjunción lógica de una conjunción en la conclusión; esta regla es idéntica al axioma A5 (ver);

Regla 2. Si $(F_1\&F_2)$ tiene el valor "y", entonces las subfórmulas $F_1$ y $F_2$ son verdaderas, es decir

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: y \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Esta notación, si $(F_1\&F_2)$ es verdadera, brinda la posibilidad de eliminar el conectivo lógico de la conjunción en la conclusión y considerar los valores verdaderos de las subfórmulas $F_1$ y $F_2$; esta regla es idéntica a los axiomas A3 y A4;

Regla 3. Si $F_1$ tiene el valor "y", y $(F_1\&F_2)$ tiene el valor "l", entonces la subfórmula $F_2$ es falsa, es decir

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Esta entrada, si $(F_1\&F_2)$ es falsa y una de las subfórmulas es verdadera, brinda la posibilidad de eliminar la conjunción lógica de la conjunción en la conclusión y considerar falso el valor de la segunda subfórmula;

Regla 4. Si al menos una premisa $F_1$ o $F_2$ es verdadera, entonces su disyunción es verdadera, es decir

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: o \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Esta notación, si al menos una subfórmula $F_1$ o $F_2$ es verdadera, prevé la posibilidad de introducir un conectivo lógico de disyunción en la conclusión; esta regla es idéntica a los axiomas A6 y A7;

Regla 5. Si $(F_1\vee F_2)$ tiene el valor “y” y una de las subfórmulas $F_1$ o $F_2$ tiene el valor “l”, entonces la segunda subfórmula $F_2$ o $F_1$ es verdadera, es decir

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: o \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right .\!\!F_2 )( (F_1)$$

Esta notación, si $(F_1\vee F_2)$ es verdadera, brinda la posibilidad de eliminar el conectivo lógico de la disyunción en la conclusión y considerar los valores verdaderos de las subfórmulas $F_1$ o $F_2$;

Regla 6. Si la subfórmula $F_2$ tiene el valor "y", entonces la fórmula $(F_1\rightarrow F_2)$ es verdadera para cualquier valor de la subfórmula $F_1$, es decir

$$\frac(F_2)( (F_1\flecha derecha F_2))$$

Esta notación, con un valor verdadero de $F_2$, brinda la posibilidad de introducir una implicación en la conclusión de un conectivo lógico para cualquier valor de la subfórmula $F_1$ (“verdad de cualquier cosa”); esta regla es idéntica al axioma 1;

Regla 7. Si la subfórmula $F_1$ tiene el valor “l”, entonces la fórmula $(F_1\rightarrow F_2)$ es verdadera para cualquier valor de la subfórmula $F_2$, es decir

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Esta notación, si el valor de $F_1$ es falso, brinda la posibilidad de introducir una implicación en la conclusión de un conectivo lógico para cualquier valor de la subfórmula $F_2$ (“cualquier cosa desde falso”);

Regla 8. Si la fórmula $(F_1\rightarrow F_2)$ tiene el valor “y”, entonces la fórmula $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ es verdadero, es decir

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Esta entrada, con un valor verdadero de $(F_1\rightarrow F_2)$, determina la posibilidad de intercambiar los polos de la implicación cambiando simultáneamente sus valores; ésta es la ley de la contraposición;

Regla 9. Si la fórmula $(F_1\rightarrow F_2)$ tiene el valor "y", entonces la fórmula $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ es verdadera para cualquier valor de $F_3$, es decir

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

Esta entrada, con un valor verdadero de $(F_1\rightarrow F_2)$, determina la capacidad de realizar la operación de disyunción para cualquier valor de la fórmula $F_3$ sobre cada polo de la implicación; esta regla es idéntica al axioma A11.

Regla 10. Si la fórmula $(F_1\rightarrow F_2)$ tiene el valor "y", entonces la fórmula $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ es verdadera para cualquier valor de $F_3$, es decir

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3))$$

Esta entrada, con un valor verdadero de $(F_1\rightarrow F_2)$, determina la capacidad de realizar la operación de conjunción para cualquier valor de la fórmula $F_3$ sobre cada polo de la implicación; esta regla es idéntica al axioma A10.

Regla 11. Si las fórmulas $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_3)$ tienen el valor "y", entonces la fórmula $(F_1\rightarrow F_3)$ es verdadera, es decir

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

Esta entrada, con el valor verdadero de $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_3)$, proporciona la posibilidad de formar la implicación $(F_1\rightarrow F_3)$ (la ley del silogismo); esta regla es idéntica al axioma A2;

Regla 12. Si las fórmulas $F_1$ y $(F_1\rightarrow F_2)$ tienen el valor "y", entonces la fórmula $F_2$ es verdadera, es decir

$$\frac(F_1; (F_1\rightarrow F_2) )( F_2)$$

Esta entrada, dado el valor verdadero de la premisa $F_1$ y la implicación $(F_1\rightarrow F_2)$, le permite eliminar el conectivo lógico de la implicación y determinar el valor verdadero de la conclusión $F_2$;

Regla 13. Si las fórmulas son $\left\rceil\right. \!\!F_2 y (F_1\rightarrow F_2)$ tienen el significado "y", entonces la fórmula $\left\rceil\right es verdadera. \!\!F_1$, es decir

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

A esta entrada se le da el verdadero valor de la premisa $\left\rceil\right. \!\!F_2$ e implicaciones $(F_1\rightarrow F_2)$ le permite eliminar el conectivo lógico de la implicación y determinar el verdadero valor de la conclusión $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Regla 14. Si las fórmulas $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_1)$ tienen el valor "y", entonces la fórmula $(F_1\leftrightarrow F_2)$ es verdadera, es decir

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1) )( (F_1\leftrightarrow F_2))$$

Esta entrada, con el valor verdadero de $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_1)$, permite introducir un conectivo de equivalencia lógica y determinar el valor de la fórmula $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Regla 15. Si la fórmula $(F_1\leftrightarrow F_2)$ tiene el valor "y", entonces las fórmulas $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_1)$ son verdaderas, es decir

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightarrow F_2) ) \: y \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightarrow F_1) )$$

Esta entrada, con el valor verdadero de $(F_1\leftrightarrow F_2)$, le permite eliminar el conectivo lógico de equivalencia y determinar el valor verdadero de las fórmulas $(F_1\rightarrow F_2)$ y $(F_2\rightarrow F_1) $.