Leyes de distribución de variables aleatorias discretas. Distribución geométrica

CONFERENCIA 8

Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas.Distribución binomial. Distribución de veneno. Distribución geométrica. Función generadora.

6. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Distribución binomial

Que se produzca norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A Puede que aparezca o no. Probabilidad pag ocurrencia de un evento A en todas las pruebas es constante y no cambia de una prueba a otra. Considere como variable aleatoria X el número de ocurrencias del evento A en estas pruebas. Fórmula para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento. A
liso k una vez cada norte Las pruebas, como es sabido, se describen. La fórmula de Bernoulli.

La distribución de probabilidad definida por la fórmula de Bernoulli se llama binomio .

Esta ley se llama "binomial" porque el lado derecho puede considerarse como un término general en el desarrollo del binomio de Newton.

Escribamos la ley del binomio en forma de tabla.

Encontremos las características numéricas de esta distribución.

.

Escribamos la igualdad, que es una binaria de Newton.

.

y diferenciarlo con respecto a p. Como resultado obtenemos

.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por pag:

.

Teniendo en cuenta que p+q=1, tenemos

(6.2)

Entonces, la expectativa matemática del número de ocurrencias de eventos en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos n por la probabilidad p de que ocurra un evento en cada ensayo.

Calculemos la varianza usando la fórmula.

Para ello encontraremos

.

Primero diferenciamos dos veces la fórmula binomial de Newton con respecto a pag:

y multiplicamos ambos lados de la igualdad por pag 2:

Por eso,

Entonces, la varianza de la distribución binomial es

. (6.3)

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de un razonamiento puramente cualitativo. El número total X de ocurrencias del evento A en todas las pruebas es la suma del número de ocurrencias del evento en las pruebas individuales. Por lo tanto, si X 1 es el número de ocurrencias del evento en la primera prueba, X 2 – en la segunda, etc., entonces el número total de ocurrencias del evento A en todas las pruebas es igual a X = X 1 +X 2 +…+X norte. Según la propiedad de la expectativa matemática:

Cada uno de los términos del lado derecho de la igualdad es la expectativa matemática del número de eventos en una prueba, que es igual a la probabilidad del evento. De este modo,

Según la propiedad de dispersión:

Dado que , y la expectativa matemática de una variable aleatoria, que sólo puede tomar dos valores, es decir, 1 2 con probabilidad pag y 0 2 con probabilidad q, Eso . De este modo, Como resultado, obtenemos

Utilizando el concepto de momentos inicial y central, podemos obtener fórmulas de asimetría y curtosis:

. (6.4)

El polígono de la distribución binomial tiene la siguiente forma (ver Fig. 6.1). Probabilidad P norte(k) primero aumenta al aumentar k, alcanza su valor más alto y luego comienza a disminuir. La distribución binomial es asimétrica excepto en el caso pag=0,5. Tenga en cuenta que con una gran cantidad de pruebas norte La distribución binomial es muy cercana a la normal. (El fundamento de esta propuesta está relacionado con el teorema local de Moivre-Laplace).

El número m 0 de ocurrencias de un evento se llama más probable, si la probabilidad de que un evento ocurra un número determinado de veces en esta serie de pruebas es mayor (máxima en el polígono de distribución). Para distribución binomial

. (6.5)

Comentario. Esta desigualdad se puede demostrar utilizando la fórmula recurrente para probabilidades binomiales:

(6.6)

Ejemplo 6.1. La proporción de productos premium en esta empresa es del 31%. ¿Cuáles son la expectativa y la varianza matemáticas, así como el número más probable de productos premium en un lote de 75 productos seleccionados al azar?

Solución. Porque el pag=0,31, q=0,69, norte=75, entonces

METRO[ X] = notario público.= 75×0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75×0,31×0,69 = 16,04.

Para encontrar el número más probable. metro 0, creemos una doble desigualdad

Resulta que metro 0 = 23.

distribución de veneno

Como ya se señaló, la distribución binomial se acerca a la normal cuando norte®¥. Sin embargo, esto no ocurre si, junto con un aumento norte una de las cantidades pag o q tiende a cero. En este caso, se cumple la fórmula asintótica de Poisson, es decir en norte®¥, pag®0

, (6.7)

donde l= notario público.. Esta fórmula determina Ley de distribución de Poisson , que tiene un significado independiente, y no solo como un caso especial de la distribución binomial. A diferencia de la distribución binomial, aquí la variable aleatoria k puede tomar un número infinito de valores: k=0,1,2,…

La ley de Poisson describe el número de eventos k que ocurren en períodos de tiempo iguales, siempre que los eventos ocurran independientemente unos de otros con una intensidad promedio constante, que se caracteriza por el parámetro l. El polígono de distribución de Poisson se muestra en la Fig. 6.2. Tenga en cuenta que para carreras l grandes
La distribución de Poisson se acerca a la normal. Por lo tanto, la distribución de Poisson se utiliza, por regla general, en los casos en que l es del orden de la unidad y el número de ensayos norte debe ser grande y la probabilidad de que ocurra el evento pag en cada prueba es pequeño. En este sentido, la ley de Poisson a menudo también se denomina ley de distribución de fenómenos raros.

Ejemplos de situaciones en las que surge la distribución de Poisson son las distribuciones de: 1) el número de ciertos microbios por unidad de volumen; 2) el número de electrones emitidos por el cátodo calentado por unidad de tiempo; 3) el número de partículas a emitidas por una fuente radiactiva durante un período de tiempo determinado; 4) el número de llamadas que llegan a la central telefónica a una determinada hora del día, etc.

Escribamos la ley de Poisson en forma de tabla.

Comprobemos que la suma de todas las probabilidades es igual a uno:

Encontremos las características numéricas de esta distribución. Por definición de la expectativa matemática para el DSV, tenemos

Tenga en cuenta que en la última suma, la suma comienza con k=1, porque el primer término de la suma correspondiente a k=0, igual a cero.

Para encontrar la varianza, primero encontramos la esperanza matemática del cuadrado del azar:

Así, la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria distribuida según la ley de Poisson coinciden y son iguales al parámetro de esta distribución.

. (6.8)

Ésta es la característica distintiva de la distribución de Poisson. Por lo tanto, si, basándose en datos experimentales, se encontró que la expectativa matemática y la varianza de un cierto valor son cercanas entre sí, entonces hay razones para suponer que esta variable aleatoria se distribuye de acuerdo con la ley de Poisson.

Utilizando el concepto de momentos inicial y central, podemos demostrar que para la distribución de Poisson el coeficiente de asimetría y la curtosis son iguales:

. (6.9)

Dado que el parámetro l siempre es positivo, la distribución de Poisson siempre tiene asimetría y curtosis positivas.

Demostremos ahora que la fórmula de Poisson puede considerarse como un modelo matemático del flujo de eventos más simple.

El flujo de eventos Llame a una secuencia de eventos que ocurren en momentos aleatorios. La corriente se llama lo más simple, si tiene las propiedades estacionariedad, sin efectos secundarios Y lo ordinario.

La intensidad del flujo l es el número promedio de eventos que ocurren por unidad de tiempo.

Si se conoce la constante de intensidad del flujo l, entonces la probabilidad de ocurrencia k Eventos del flujo más simple a lo largo del tiempo. t está determinado por la fórmula de Poisson:

. (6.10)

Esta fórmula refleja todas las propiedades del flujo más simple. Además, cualquier flujo más simple se describe mediante la fórmula de Poisson, por lo que los flujos más simples a menudo se denominan Poison.

Propiedad de estacionariedad k eventos en cualquier período de tiempo depende sólo del número k y en duración t período de tiempo y no depende del inicio de su conteo. En otras palabras, si el flujo tiene la propiedad de estacionariedad, entonces la probabilidad de ocurrencia k acontecimientos durante un periodo de tiempo t hay una función que depende sólo de k y de t.

En el caso del flujo más simple, de la fórmula de Poisson (6.10) se deduce que la probabilidad k eventos durante t, a una intensidad dada, es función de sólo dos argumentos: k Y t, que caracteriza la propiedad de estacionariedad.

Propiedad sin efecto secundario es que la probabilidad de ocurrencia k eventos en cualquier período de tiempo depende de si los eventos aparecieron o no en momentos anteriores al comienzo del período en cuestión. En otras palabras, la historia del flujo no afecta las probabilidades de que ocurran eventos en el futuro cercano.

En el caso del flujo más simple, la fórmula de Poisson (6.10) no utiliza información sobre la ocurrencia de eventos antes del comienzo del período considerado, lo que caracteriza la propiedad de ausencia de efectos secundarios.

propiedad ordinaria es que la ocurrencia de dos o más eventos en un corto período de tiempo es prácticamente imposible. En otras palabras, la probabilidad de que ocurra más de un evento en un corto período de tiempo es insignificante en comparación con la probabilidad de que ocurra solo un evento.

Demostremos que la fórmula de Poisson (6.10) refleja la propiedad de lo ordinario. Poniendo k=0 y k=1, encontramos, respectivamente, las probabilidades de que no ocurra ningún evento y de que ocurra un evento:

Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra más de un evento es

Usando la expansión de la función en la serie de Maclaurin, después de transformaciones elementales obtenemos

.

Comparando punto(1) y punto(k>1), concluimos que para valores pequeños t la probabilidad de que ocurra más de un evento es insignificante en comparación con la probabilidad de que ocurra un evento, que caracteriza la propiedad de normalidad.

Ejemplo 6.2. En las observaciones de Rutherford y Geiger, una sustancia radiactiva durante un período de tiempo de 7,5 segundo emitió un promedio de 3,87 partículas a. Encuentre la probabilidad de que para 1 segundo esta sustancia emitirá al menos una partícula.

Solución. Como ya hemos señalado, la distribución del número de partículas a emitidas por una fuente radiactiva durante un cierto período de tiempo se describe mediante la fórmula de Poisson, es decir forma el flujo de eventos más simple. Dado que la intensidad de emisión de partículas a durante 1 segundo es igual

,

entonces la fórmula de Poisson (6.10) toma la forma

Así, la probabilidad de que t=1 segundo la sustancia emitirá al menos una partícula será igual

Distribución geométrica

Supongamos que se dispara a un objetivo determinado hasta el primer impacto, y la probabilidad pag acertar en el objetivo en cada disparo es igual y no depende de los resultados de los disparos anteriores. En otras palabras, en el experimento que estamos considerando se implementa el esquema de Bernoulli. Como variable aleatoria X consideraremos el número de disparos realizados. Evidentemente, los valores posibles de la variable aleatoria X son números naturales: X 1 =1, X 2 =2, ... entonces la probabilidad de que sea necesario k los tiros serán iguales

. (6.11)

Suponiendo en esta fórmula k=1,2, ... obtenemos una progresión geométrica con el primer término pag y un multiplicador q:

Por esta razón, la distribución definida por la fórmula (6.11) se llama geométrico .

Usando la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, es fácil verificar que

.

Encontremos las características numéricas de la distribución geométrica.

Por definición de la expectativa matemática para el DSV, tenemos

.

Calculemos la varianza usando la fórmula.

.

Para ello encontraremos

.

Por eso,

.

Entonces, la expectativa matemática y la varianza de la distribución geométrica son iguales a

. (6.12)

6.4.* Función generadora

Al resolver problemas relacionados con DSV, a menudo se utilizan métodos combinatorios. Uno de los métodos teóricos de análisis combinatorio más desarrollados es el método de generación de funciones, que es uno de los métodos más potentes en las aplicaciones. Conozcámoslo brevemente.

Si la variable aleatoria x toma solo valores enteros no negativos, es decir

,

Eso función generadora la distribución de probabilidad de una variable aleatoria x se llama función

, (6.13)

Dónde z– variable real o compleja. Tenga en cuenta que entre múltiples funciones generadoras j x ( X)y muchas distribuciones(P(x= k)} hay una correspondencia uno a uno.

Sea la variable aleatoria x tener Distribución binomial

.

Luego, usando la fórmula binomial de Newton, obtenemos

,

aquellos. función generadora de distribución binomial parece

. (6.14)

Suma. Función generadora de veneno

parece

. (6.15)

Función generadora de distribución geométrica.

parece

. (6.16)

Utilizando funciones generadoras, es conveniente encontrar las principales características numéricas del DSV. Por ejemplo, el primer y segundo momento inicial están relacionados con la función generadora mediante las siguientes igualdades:

, (6.17)

. (6.18)

El método de generación de funciones suele ser conveniente porque en algunos casos la función de distribución del DSV es muy difícil de determinar, mientras que la función generadora a veces es fácil de encontrar. Por ejemplo, considere el diseño de prueba independiente secuencial de Bernoulli, pero realice un cambio. Sea la probabilidad de que ocurra un evento. A varía de un ensayo a otro. Esto significa que la fórmula de Bernoulli se vuelve inaplicable para tal esquema. La tarea de encontrar la función de distribución en este caso presenta importantes dificultades. Sin embargo, para este esquema, la función generadora es fácil de encontrar y, por lo tanto, las características numéricas correspondientes son fáciles de encontrar.

El uso generalizado de funciones generadoras se basa en el hecho de que el estudio de sumas de variables aleatorias puede ser reemplazado por el estudio de productos de las funciones generadoras correspondientes. Entonces, si x 1, x 2,…, x norte son independientes, entonces

Dejar paquete=Paquete(A) – probabilidad de “éxito” en k-ª prueba en el circuito de Bernoulli (respectivamente, q k=1–paquete– probabilidad de “fracaso” en kª prueba). Entonces, de acuerdo con la fórmula (6.19), la función generadora tendrá la forma

. (6.20)

Usando esta función generadora, podemos escribir

.

Se tiene en cuenta aquí que pk+qk=1. Ahora, usando la fórmula (6.1), encontramos el segundo momento inicial. Para hacer esto, primero calculemos

Y .

En un caso especial pag 1 =pag 2 =…=pn=pag(es decir, en el caso de la distribución binomial) de las fórmulas obtenidas se deduce que Mx= notario público., Dx= npq.

Podemos destacar las leyes de distribución de variables aleatorias discretas más comunes:

• Ley de distribución binomial
• Ley de distribución de Poisson
• Ley de distribución geométrica
• Ley de distribución hipergeométrica

Para distribuciones dadas de variables aleatorias discretas, el cálculo de las probabilidades de sus valores, así como de las características numéricas (esperanza matemática, varianza, etc.) se realiza mediante determinadas "fórmulas". Por tanto, es muy importante conocer este tipo de distribuciones y sus propiedades básicas.

1. Ley de distribución binomial.

Una variable aleatoria discreta $X$ está sujeta a la ley de distribución de probabilidad binomial si toma valores $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De hecho, la variable aleatoria $X$ es el número de ocurrencias del evento $A$ en $n$ ensayos independientes. Ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \puntos & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(matriz)$

Para tal variable aleatoria, la expectativa matemática es $M\left(X\right)=np$, la varianza es $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Ejemplo . La familia tiene dos hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño y una niña sean iguales a $0,5$, encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi$: el número de niños en la familia.

Sea la variable aleatoria $\xi $ el número de niños en la familia. Valores que $\xi puede tomar:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Las probabilidades de estos valores se pueden encontrar usando la fórmula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, donde $n =2$ es el número de ensayos independientes, $p=0.5$ es la probabilidad de que ocurra un evento en una serie de $n$ ensayos. Obtenemos:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Entonces la ley de distribución de la variable aleatoria $\xi $ es la correspondencia entre los valores $0,\ 1,\ 2$ y sus probabilidades, es decir:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
\xi y 0 y 1 y 2 \\
\hline
P(\xi) y 0,25 y 0,5 y 0,25 \\
\hline
\end(matriz)$

La suma de las probabilidades en la ley de distribución debe ser igual a $1$, es decir, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

Expectativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varianza $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, desviación estándar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.

2. Ley de distribución de Poisson.

Si una variable aleatoria discreta $X$ solo puede tomar valores enteros no negativos $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\sobre (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Comentario. La peculiaridad de esta distribución es que, con base en datos experimentales, encontramos estimaciones $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, si las estimaciones obtenidas son cercanas entre sí, entonces tenemos razón para afirmar que la variable aleatoria está sujeta a la ley de distribución de Poisson.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias sujetas a la ley de distribución de Poisson pueden ser: el número de automóviles que serán atendidos mañana por una gasolinera; Número de artículos defectuosos en productos manufacturados.

Ejemplo . La fábrica envió $500$ en productos a la base. La probabilidad de daño al producto en tránsito es $0.002$. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $X$ igual al número de productos dañados; ¿Qué es $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$?

Sea la variable aleatoria discreta $X$ el número de productos dañados. Una variable aleatoria de este tipo está sujeta a la ley de distribución de Poisson con el parámetro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Las probabilidades de los valores son iguales a $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\izquierda(X=0\derecha)=((1^0)\sobre (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=1\derecha)=((1^1)\sobre (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\izquierda(X=2\derecha)=((1^2)\sobre (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\izquierda(X=3\derecha)=((1^3)\sobre (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\izquierda(X=4\derecha)=((1^4)\sobre (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\izquierda(X=5\derecha)=((1^5)\sobre (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\izquierda(X=6\derecha)=((1^6)\sobre (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\sobre (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Ley de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 y 0,184 y 0,061 y 0,015 y 0,003 y 0,001 y ... & (((\lambda )^k)\sobre (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matriz)$

Para dicha variable aleatoria, la expectativa matemática y la varianza son iguales entre sí e iguales al parámetro $\lambda $, es decir, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Ley de distribución geométrica.

Si una variable aleatoria discreta $X$ solo puede tomar valores naturales $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ con probabilidades $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ derecha)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, entonces dicen que tal variable aleatoria $X$ está sujeta a la ley geométrica de la distribución de probabilidad. De hecho, la distribución geométrica es una prueba de Bernoulli hasta el primer éxito.

Ejemplo . Ejemplos de variables aleatorias que tienen una distribución geométrica pueden ser: el número de disparos antes del primer impacto en el objetivo; número de pruebas del dispositivo hasta el primer fallo; el número de lanzamientos de moneda hasta que salga la primera cara, etc.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria sujeta a distribución geométrica son respectivamente iguales a $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Ejemplo . En el camino para el movimiento de los peces hacia el lugar de desove hay una esclusa de $4$. La probabilidad de que los peces pasen por cada esclusa es $p=3/5$. Construya una serie de distribución de la variable aleatoria $X$: el número de esclusas que pasó el pez antes de la primera detención en la esclusa. Encuentre $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de esclusas que pasó el pez antes de detenerse por primera vez en la esclusa. Una variable aleatoria de este tipo está sujeta a la ley geométrica de la distribución de probabilidad. Valores que puede tomar la variable aleatoria $X:$ 1, 2, 3, 4. Las probabilidades de estos valores se calculan mediante la fórmula: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, donde: $ p=2/5$ - probabilidad de que los peces sean retenidos a través de la esclusa, $q=1-p=3/5$ - probabilidad de que los peces pasen a través de la esclusa, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ sobre (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ sobre (5))\cdot ((9)\sobre (25))=((18)\sobre (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\sobre (5))\right))^4=((27)\sobre (125))=0.216.$

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y 1 y 2 y 3 y 4 \\
\hline
P\izquierda(X_i\derecha) y 0,4 y 0,24 y 0,144 y 0,216 \\
\hline
\end(matriz)$

Valor esperado:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersión:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\aproximadamente 1.377.$

Desviación Estándar:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\aproximadamente 1,173.$

4. Ley de distribución hipergeométrica.

Si $N$ objetos, entre los cuales $m$ objetos tienen una propiedad determinada. $n$ objetos se recuperan aleatoriamente sin regresar, entre los cuales había $k$ objetos que tienen una propiedad determinada. La distribución hipergeométrica permite estimar la probabilidad de que exactamente $k$ objetos en la muestra tengan una propiedad determinada. Sea la variable aleatoria $X$ el número de objetos de la muestra que tienen una propiedad determinada. Entonces las probabilidades de los valores de la variable aleatoria $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\sobre (C^n_N))$

Comentario. La función estadística HYPERGEOMET del asistente de funciones $f_x$ de Excel le permite determinar la probabilidad de que un cierto número de pruebas tengan éxito.

$f_x\to$ estadístico$\a$ HIPERGEOMETA$\a$ DE ACUERDO. Aparecerá un cuadro de diálogo que deberá completar. en la columna Número_de_éxitos_en_muestra indique el valor $k$. tamaño de la muestra es igual a $n$. en la columna Número_de_éxitos_en_juntos indique el valor $m$. tamaño de la poblacion es igual a $N$.

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta $X$, sujeta a la ley de distribución geométrica, son respectivamente iguales a $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Ejemplo . El departamento de crédito del banco emplea a 5 especialistas con educación financiera superior y 3 especialistas con educación jurídica superior. La dirección del banco decidió enviar a 3 especialistas para mejorar sus calificaciones, seleccionándolos en orden aleatorio.

a) Realizar una serie de distribución del número de especialistas con educación financiera superior que pueden ser enviados para mejorar sus habilidades;

b) Encuentre las características numéricas de esta distribución.

Sea la variable aleatoria $X$ el número de especialistas con mayor educación financiera entre los tres seleccionados. Valores que $X puede tomar: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Esta variable aleatoria $X$ se distribuye según una distribución hipergeométrica con los siguientes parámetros: $N=8$ - tamaño de la población, $m=5$ - número de éxitos en la población, $n=3$ - tamaño de la muestra, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - número de éxitos en la muestra. Entonces las probabilidades $P\left(X=k\right)$ se pueden calcular usando la fórmula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sobre C_(N)^(n) ) $. Tenemos:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\aproximadamente 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\aproximadamente 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\aproximadamente 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\aproximadamente 0,179.$

Entonces la serie de distribución de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y 0 y 1 y 2 y 3 \\
\hline
p_i y 0,018 y 0,268 y 0,536 y 0,179 \\
\hline
\end(matriz)$

Calculemos las características numéricas de la variable aleatoria $X$ usando las fórmulas generales de la distribución hipergeométrica.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\sobre (N))\right)\left(1-((n)\sobre (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\aproximadamente 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\aproximadamente 0.7085.$

Aquellos. aleatorio discreto el valor de X tiene un geom. distribuidor con parámetro R y denominador q, si toma valores 1,2,3,… k, ... con probabilidades

P(X) = pq k-1 , donde q=1-R.

La distribución se llama geom., porque. verdad pág. 1, pág. 2, ... formar una progresión geométrica, cuyo primer miembro es R, y el denominador es q.

Si el número de pruebas no está limitado, es decir Si una variable aleatoria puede tomar valores 1, 2,..., ∞, entonces el valor esperado y la varianza son geométricos. las distribuciones se pueden encontrar usando las fórmulas Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Ejemplo. El arma se dispara al objetivo hasta que se da el primer impacto. La probabilidad de dar en el blanco es p = 0,6 con cada disparo. S.v. X es el número de disparos posibles antes del primer impacto.

A) Compile una serie de distribución, encuentre la función de distribución, trace su gráfica y encuentre todas las características numéricas. b) Encuentre la expectativa matemática y la varianza para el caso si el tirador pretende disparar no más de tres tiros.

A) La variable aleatoria puede tomar valores 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Rango de distribución:

Control: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (suma de progresión geométrica)

La función de distribución es la probabilidad de que r.v. X tomará un valor menor que el valor numérico específico de x. Los valores de la función de distribución se encuentran sumando las probabilidades.

Si x ≤ 1, entonces F(x) = 0

si 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
si 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
si 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
si k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mх = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

b) La variable aleatoria puede tomar los valores 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Rango de distribución:

Control: Σp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Función de distribución.

Si x ≤ 1, entonces F(x) = 0
si 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
si 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Si x > 3, entonces F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
s(X) ≈ 0,752

Asimetría y curtosis

Asimetría es una propiedad de la distribución muestral que caracteriza la asimetría de la distribución de una variable aleatoria. En la práctica, las distribuciones simétricas son raras y, para identificar y evaluar el grado de asimetría, se introduce el concepto de asimetría. En el caso de un coeficiente de asimetría negativo, se observa un “descenso” más suave a la izquierda, en caso contrario, a la derecha. En el primer caso, la asimetría se denomina izquierda y, en el segundo, derecha.

Coeficiente de asimetría discreto La variable aleatoria se calcula mediante la fórmula:
Como(X) = (X 1-M X) 3 p 1 + (X 2-M X) 3 p 2 + ... + ( X Nuevo Méjico X) 3 p norte

Coef. asimetría continuo sl.vel. calculado por la fórmula:

Exceso es una medida de la pendiente de la curva de distribución. El coeficiente de curtosis de una variable aleatoria discreta se calcula mediante la fórmula:

Ej(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

El coeficiente de curtosis de una variable aleatoria continua se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X es una lista de todos los valores posibles de la siguiente variable. X que puede aceptar, y las probabilidades correspondientes. La suma de todas las creencias debe ser igual a 1. Comprueba: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Valor esperado: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Dispersión es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de los valores del siguiente vel. X de su mat.ozh.: D(X) = (-2 + 0,1) 2 0,1 + (- 1 + 0,1) 2 0,2 ​​+ (0 + 0,1) 2 0,5 + (1 + 0,1) 2 0,1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   o D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. Casarse. metros cuadrados. apagado es la raíz cuadrada de la varianza: σ = √1,09 ≈ 1,044
4. Coef. asimetría Como(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Coef. exceso mi X(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. La función de distribución es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que algún valor numérico. X: F(X) = P(X< X). La función de distribución es una función no decreciente. Toma valores en el rango de 0 a 1.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Variables aleatorias continuas. Distribución normal.

Continuo La variable aleatoria no toma ningún valor específico. valores numéricos, pero cualquier valor en la recta numérica. La descripción de la ley de distribución en el caso continuo es mucho más complicada que en el caso discreto.

Continuo Se llama variable aleatoria que puede tomar cualquier valor de un determinado intervalo dado, por ejemplo, el tiempo de espera para el transporte, la temperatura del aire en cualquier mes, la desviación del tamaño real de una pieza respecto al nominal, etc. El intervalo en el que se especifica puede ser infinito en una o ambas direcciones.

La principal diferencia en los problemas de cálculo de probabilidades para casos discretos y continuos es la siguiente. En un caso discreto para eventos como x = c(la variable aleatoria toma un valor determinado) se busca la probabilidad R(Con). En el caso continuo probabilidades de este tipo son iguales a cero Por tanto, son de interés las probabilidades de eventos del tipo “una variable aleatoria toma valores de un determinado segmento”, es decir, A≤ X≤ b. O para eventos como X≤ Con buscando probabilidad R(X≤ Con). Obtuvimos una gráfica de la función de distribución F( X≤ Con).

Entonces, la variedad de variables aleatorias es muy grande. La cantidad de valores que aceptan puede ser finita, contable o incontable; Los valores se pueden ubicar discretamente o llenar los intervalos por completo. Para especificar las probabilidades de los valores de variables aleatorias que son de naturaleza tan diferente y, además, especificarlas de la misma manera, se utiliza el concepto de función de distribución de una variable aleatoria.

Sea una variable aleatoria y X- un número real arbitrario. La probabilidad de que tome un valor menor que X, llamado función de distribución de probabilidad variable aleatoria: F(x)=P(<х}.

Resumamos lo dicho: variable aleatoria es una cantidad cuyos valores dependen del caso y para la cual está definida la función de distribución de probabilidad.

Para variables aleatorias continuas (cuando el conjunto de valores posibles de una variable aleatoria es incontable), la ley de distribución se especifica mediante una función. Muy a menudo esto función de distribución :F( X) = P(X<X) .

Función F( X) tiene lo siguiente propiedades:

1. 0 ≤F( X) ≤ 1 ;

2.F( X) no disminuye;

3.F( X) izquierda continua;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.