यह लेख: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा" फॉर्म की अनिश्चितताओं की सीमा के भीतर प्रकटीकरण के लिए समर्पित है:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ और $ ^\infty $।
साथ ही, लघुगणक घातांक का उपयोग करके ऐसी अनिश्चितताओं को प्रकट किया जा सकता है शक्ति समारोह, लेकिन यह एक अलग समाधान विधि है, जिसे किसी अन्य लेख में शामिल किया जाएगा।
सूत्र और परिणाम
FORMULAदूसरी उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text(where ) e \लगभग 2.718 $$
यह सूत्र से चलता है नतीजे, जो सीमाओं के साथ उदाहरणों को हल करने के लिए उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( जहां ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
यह ध्यान देने योग्य है कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा हमेशा एक घातीय फ़ंक्शन पर लागू नहीं की जा सकती है, लेकिन केवल उन मामलों में जहां आधार एकता की ओर जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले मानसिक रूप से आधार की सीमा की गणना करें, और फिर निष्कर्ष निकालें। इस सब पर उदाहरण समाधानों में चर्चा की जाएगी।
समाधान के उदाहरण
आइए प्रत्यक्ष सूत्र और उसके परिणामों का उपयोग करके समाधान के उदाहरण देखें। हम उन मामलों का भी विश्लेषण करेंगे जिनमें सूत्र की आवश्यकता नहीं है। केवल तैयार उत्तर लिखना ही पर्याप्त है।
| उदाहरण 1 |
| सीमा ज्ञात करें $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| समाधान |
|
आइए अनंत को सीमा में प्रतिस्थापित करें और अनिश्चितता को देखें: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ आइए आधार की सीमा ज्ञात करें: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ हमने एक के बराबर आधार प्राप्त कर लिया है, जिसका अर्थ है कि हम पहले से ही दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए फ़ंक्शन के आधार को एक घटाकर और जोड़कर सूत्र में समायोजित करें: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ हम दूसरे परिणाम को देखते हैं और उत्तर लिखते हैं: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी! |
| उत्तर |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| उदाहरण 4 |
| सीमा को हल करें $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| समाधान |
|
हम आधार की सीमा पाते हैं और देखते हैं कि $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, जिसका अर्थ है कि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू कर सकते हैं। मानक योजना के अनुसार, हम डिग्री के आधार से एक जोड़ते और घटाते हैं: $$ \lim_(x\to \infty) \big (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \big) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \बड़ा (1+\frac(6)(3x^2-2) \बड़ा) ^(3x) = $$ हम भिन्न को दूसरे नोट के सूत्र के अनुसार समायोजित करते हैं। सीमा: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ अब डिग्री को समायोजित करते हैं। घात में आधार $ \frac(3x^2-2)(6) $ के हर के बराबर एक अंश होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, डिग्री को उससे गुणा और भाग करें, और हल करना जारी रखें: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ पर घात में स्थित सीमा इसके बराबर है: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. इसलिए, हमारे पास जो समाधान है उसे जारी रखते हुए: |
| उत्तर |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
आइए उन मामलों की जांच करें जहां समस्या दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है, लेकिन इसके बिना हल किया जा सकता है।
लेख में: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा: समाधान के उदाहरण" सूत्र, इसके परिणामों का विश्लेषण किया गया और इस विषय पर सामान्य प्रकार की समस्याएं दी गईं।
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थोड़ा सिद्धांत.
x->x 0 पर फ़ंक्शन की सीमा
मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) को किसी सेट X पर परिभाषित किया गया है और बिंदु \(x_0 \in X\) या \(x_0 \notin X\) दिया गया है
आइए हम X से x 0 से भिन्न बिंदुओं का एक क्रम लें:
एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , ..., एक्स एन , ... (1)
x* में परिवर्तित हो रहा है। इस अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान एक संख्यात्मक अनुक्रम भी बनाते हैं
एफ(एक्स 1), एफ(एक्स 2), एफ(एक्स 3), ..., एफ(एक्स एन), ... (2)
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।परिभाषा
. संख्या A को बिंदु x = x 0 (या x -> x 0 पर) पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x के मानों के किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 से भिन्न है x 0 में परिवर्तित होकर, मान फ़ंक्शन का संगत अनुक्रम (2) संख्या A में परिवर्तित हो जाता है।
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
फ़ंक्शन f(x) की बिंदु x 0 पर केवल एक सीमा हो सकती है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अनुक्रम
(f(x n)) की केवल एक सीमा है।
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।संख्या A को बिंदु x = x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी भी संख्या \(\varepsilon > 0\) के लिए एक संख्या \(\delta > 0\) है जैसे कि सभी के लिए \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), असमानता को संतुष्ट करते हुए \(|x-x_0| तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| ध्यान दें कि असमानताएं \(x \neq x_0 , \; \(\varepsilon - \delta \)"।
किसी फ़ंक्शन की सीमा की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं और किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए कौन अधिक सुविधाजनक है, इसके आधार पर आप इनमें से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं।
ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "अनुक्रमों की भाषा में" हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है, और किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "भाषा में \(\varepsilon - \डेल्टा \)'' को कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है।
x->x 0 - और x->x 0 + पर फ़ंक्शन की सीमा
निम्नलिखित में, हम किसी फ़ंक्शन की एकतरफा सीमाओं की अवधारणाओं का उपयोग करेंगे, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।संख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाहिनी (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 में परिवर्तित होने पर, तत्व x n जिनमें से x 0 से अधिक (कम) हैं, संगत अनुक्रम (2) ए में परिवर्तित हो जाता है।
प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
हम किसी फ़ंक्शन की एकतरफ़ा सीमा की समतुल्य परिभाषा "\(\varepsilon - \delta \)" भाषा में दे सकते हैं:
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।एक संख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाईं (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी \(\varepsilon > 0\) के लिए \(\delta > 0\) मौजूद है जैसे कि सभी x के लिए संतोषजनक है असमानताएँ \(x_0 प्रतीकात्मक प्रविष्टियाँ:
दूसरी उल्लेखनीय सीमा का सूत्र lim x → ∞ 1 + 1 x x = e है। लेखन का दूसरा रूप इस तरह दिखता है: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
जब हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा के बारे में बात करते हैं, तो हमें फॉर्म 1 ∞ की अनिश्चितता से निपटना पड़ता है, यानी। अनंत स्तर तक एकता.
Yandex.RTB R-A-339285-1
आइए उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा की गणना करने की क्षमता उपयोगी होगी।
उदाहरण 1
सीमा लिम x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ज्ञात कीजिये।
समाधान
आइए आवश्यक सूत्र को प्रतिस्थापित करें और गणना करें।
लिम x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
हमारा उत्तर अनंत की शक्ति वाला निकला। समाधान विधि निर्धारित करने के लिए, हम अनिश्चितता तालिका का उपयोग करते हैं। आइए दूसरी उल्लेखनीय सीमा चुनें और चरों में परिवर्तन करें।
टी = - एक्स 2 + 1 2 ⇔ एक्स 2 + 1 4 = - टी 2
यदि x → ∞, तो t → - ∞.
आइए देखें कि प्रतिस्थापन के बाद हमें क्या मिला:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
उत्तर:लिम x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2।
उदाहरण 2
सीमा lim x → ∞ x - 1 x + 1 x की गणना करें।
समाधान
आइए अनंत को प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित प्राप्त करें।
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
उत्तर में हमें फिर से वही चीज़ मिली जो पिछली समस्या में थी, इसलिए, हम फिर से दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग कर सकते हैं। इसके बाद, हमें पावर फ़ंक्शन के आधार पर पूरे भाग का चयन करना होगा:
एक्स - 1 एक्स + 1 = एक्स + 1 - 2 एक्स + 1 = एक्स + 1 एक्स + 1 - 2 एक्स + 1 = 1 - 2 एक्स + 1
इसके बाद, सीमा निम्नलिखित रूप लेती है:
लिम x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
वेरिएबल बदलें. आइए मान लें कि t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; यदि x → ∞, तो t → ∞.
उसके बाद, हम लिखते हैं कि हमें मूल सीमा में क्या मिला:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = ई - 2
इस परिवर्तन को करने के लिए, हमने सीमाओं और शक्तियों के मूल गुणों का उपयोग किया।
उत्तर:लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = ई - 2।
उदाहरण 3
सीमा लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 की गणना करें।
समाधान
लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
उसके बाद, हमें दूसरी महान सीमा लागू करने के लिए फ़ंक्शन को बदलने की आवश्यकता है। हमें निम्नलिखित मिला:
लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
चूँकि अब हमारे पास भिन्न के अंश और हर में समान घातांक हैं (छह के बराबर), अनंत पर भिन्न की सीमा उच्च शक्तियों पर इन गुणांकों के अनुपात के बराबर होगी।
लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 को प्रतिस्थापित करने पर हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा प्राप्त होती है। इस का मतलब है कि:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
उत्तर:लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3।
निष्कर्ष
अनिश्चितता 1 ∞, अर्थात्। अनंत शक्ति की एकता एक शक्ति-कानून अनिश्चितता है, इसलिए, इसे घातीय शक्ति कार्यों की सीमा खोजने के नियमों का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है।
यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ
इस विषय में, हम उन सूत्रों का विश्लेषण करेंगे जिन्हें दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है (सीधे दूसरी उल्लेखनीय सीमा को समर्पित एक विषय स्थित है)। मैं आपको दूसरी उल्लेखनीय सीमा के दो फॉर्मूलेशन याद दिलाना चाहता हूं जिनकी इस अनुभाग में आवश्यकता होगी: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ और $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
आमतौर पर मैं बिना प्रमाण के सूत्र प्रस्तुत करता हूं, लेकिन इस पृष्ठ के लिए, मुझे लगता है कि मैं एक अपवाद बनाऊंगा। मुद्दा यह है कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा के परिणामों के प्रमाण में कुछ तकनीकें शामिल हैं जो समस्याओं को सीधे हल करने में उपयोगी हैं। खैर, सामान्यतया, यह जानना उचित है कि यह या वह सूत्र कैसे सिद्ध होता है। इससे हम इसे बेहतर ढंग से समझ सकते हैं आंतरिक संरचना, साथ ही प्रयोज्यता की सीमाएँ। लेकिन चूंकि साक्ष्य सभी पाठकों के लिए रुचिकर नहीं हो सकता है, इसलिए मैं इसे प्रत्येक परिणाम के बाद स्थित नोट्स के नीचे छिपा दूंगा।
परिणाम #1
\begin(समीकरण) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(समीकरण)परिणाम संख्या 1 का प्रमाण: दिखाओ\छिपाओ
चूँकि $x\to 0$ पर हमारे पास $\ln(1+x)\to 0$ है, तो विचाराधीन सीमा में $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इस अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, आइए अभिव्यक्ति $\frac(\ln(1+x))(x)$ को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करें: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . आइए अब $\frac(1)(x)$ को $(1+x)$ की शक्ति में जोड़ें और दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू करें:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
एक बार फिर हमें $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। हम उस फॉर्मूले पर भरोसा करेंगे जिसे हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं। चूँकि $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, तो $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
परिणाम #2
\begin(समीकरण) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(समीकरण)परिणाम संख्या 2 का प्रमाण: दिखाएँ/छिपाएँ
चूँकि $x\to 0$ पर हमारे पास $e^x-1\to 0$ है, तो विचाराधीन सीमा में $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इस अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, आइए $t=e^x-1$ को दर्शाते हुए वेरिएबल को बदलें। चूँकि $x\से 0$, तो $t\से 0$. आगे, सूत्र $t=e^x-1$ से हमें मिलता है: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \दाएं|=\बाएं | \begin(संरेखित) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (संरेखित) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
एक बार फिर हमें $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। हम उस फॉर्मूले पर भरोसा करेंगे जिसे हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं। चूँकि $a^x=e^(x\ln a)$, तो:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
परिणाम #3
\begin(समीकरण) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(समीकरण)परिणाम क्रमांक 3 का प्रमाण: दिखाओ\छिपाओ
एक बार फिर हम फॉर्म $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। चूँकि $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, हमें मिलता है:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
उदाहरण क्रमांक 1
सीमा $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ की गणना करें।
हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इस अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करेंगे। हमारी सीमा को समायोजित करने के लिए यह सूत्रयह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि $e$ की घात और हर में भाव मेल खाने चाहिए। दूसरे शब्दों में, हर में साइन के लिए कोई जगह नहीं है। हर $9x$ होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, इस उदाहरण का समाधान पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करेगा।
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
उत्तर: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
उदाहरण क्रमांक 2
सीमा $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ की गणना करें।
हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है (मैं आपको याद दिला दूं कि $\ln\cos 0=\ln 1=0$)। इस अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करेंगे। सबसे पहले, आइए इस बात पर ध्यान दें कि $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (त्रिकोणमितीय कार्यों पर प्रिंटआउट देखें)। अब $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, तो हर में हमें अभिव्यक्ति $-2\sin^2 \ प्राप्त करनी चाहिए frac(x )(2)$ (हमारे उदाहरण को सूत्र में फिट करने के लिए)। आगे के समाधान में पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाएगा।
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
उत्तर: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
