इस अनुभाग में हम इससे जुड़े कार्यों पर विचार करेंगे विभिन्न प्रणालियाँकिसी खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करके समन्वय करता है।
बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं: ए(4; 3), में(7; 6), साथ(2;11). आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज एबीसीआयताकार.
त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए एबीसी. इस प्रयोजन के लिए, हम एक सूत्र का उपयोग करते हैं जो हमें एक समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने की अनुमति देता है:
भुजाओं की लंबाई बराबर होगी:
यह ध्यान में रखते हुए कि पाइथागोरस प्रमेय इस त्रिभुज की भुजाओं के लिए मान्य है
फिर एक त्रिकोण एबीसी– आयताकार.
अंक दिए गए ए(2; 1) और में(8;4). बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए एम(एक्स; पर), जो खंड को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
उस बिंदु को याद रखें एम(एक्स; पर) खंड को विभाजित करता है अब, कहाँ ए(एक्स ए , य ए), बी(एक्स बी , य बी), λ: μ के संबंध में, यदि इसके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं:
,
.
आइए एक बिंदु खोजें एमकिसी दिए गए खंड के लिए
,
.
तो बात यह है एम(6; 3) खंड को विभाजित करता है अब 2:1 के अनुपात में.
बिंदु के आयताकार निर्देशांक ज्ञात कीजिए ए(
3π/4), यदि ध्रुव निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, और ध्रुवीय अक्ष भुज अक्ष के साथ निर्देशित है।
ध्रुवीय से आयताकार समन्वय प्रणालियों में संक्रमण के सूत्रों को ध्यान में रखते हुए
एक्स = आर cosφ, य = आरपापφ,
हम पाते हैं
,
.
एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं ए(–2; 2).
आइए निम्नलिखित आयताकार निर्देशांक वाले बिंदुओं के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात करें:
ए(
;
2),में(–4;
4), साथ(–7;
0).
हम आयताकार निर्देशांक से ध्रुवीय निर्देशांक में संक्रमण के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:
,
.
आइए बिंदु के लिए निर्देशांक प्राप्त करें ए:
,
.
इस प्रकार ए(4; π/6) - ध्रुवीय निर्देशांक (चित्र 15)।
एक बिंदु के लिए में(चित्र 16) हमारे पास है
,
.
इसलिए, बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक में(
, 3π/4).
मुद्दे पर गौर करें साथ(-7; 0) (चित्र 17)। इस मामले में
,
,
.
आप किसी बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक लिख सकते हैं साथ(7; π).
आइए वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें ए = 20मैं + 30जे – 60क और इसकी दिशा सहज्या.
याद रखें कि दिशा कोज्या उन कोणों की कोज्या होती है जो सदिश होते हैं ए (ए 1 , ए 2 , ए 3) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रपत्र:
,
,
,
कहाँ 
.
इन सूत्रों को इस वेक्टर पर लागू करने पर, हमें मिलता है
,
.
हम वेक्टर को सामान्यीकृत करते हैं ए = 3मैं + 4जे – 12क .
एक वेक्टर को सामान्य बनाने के लिए इकाई लंबाई का एक वेक्टर ढूंढना है ए
0, इस वेक्टर के समान ही निर्देशित है। एक मनमाना वेक्टर के लिए ए
(ए 1 ,
ए 2 ,
ए 3) इकाई लंबाई के संगत वेक्टर को गुणा करके पाया जा सकता है ए
एक अंश तक 
.
.
हमारे मामले में, इकाई लंबाई का एक वेक्टर:
.
आइए सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें
ए = 4मैं + 5जे + 6क और बी = 3मैं – 4जे + क .
सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको संगत निर्देशांकों को गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा। तो, वैक्टर के लिए ए = ए 1 मैं + ए 2 जे + ए 3 क और बी = बी 1 मैं + बी 2 जे + बी 3 क अदिश उत्पाद का रूप है:
(ए , बी ) = ए 1 बी 1 + ए 2 बी 2 + ए 3 बी 3 .
इन वैक्टरों के लिए हमें मिलता है
(ए , बी ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
आइए दिखाते हैं कि वेक्टर ए = 2मैं – 3जे + 5क और बी = मैं + 4जे + 2क लंबवत.
दो सदिश लंबवत हैं यदि उनका बिंदु गुणनफल शून्य है।
आइए अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
(ए , बी ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
इस प्रकार, सदिश ए और बी लंबवत.
आइए जानें कि पैरामीटर का मान किस पर है एमवैक्टर ए = 2मैं + 3जे + एमक और बी = 3मैं + एमजे – 2क लंबवत.
आइए सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें ए और बी :
(ए , बी ) = 2∙3 + 3∙एम – 2∙एम = 6 + एम.
यदि सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है तो वे लंबवत होते हैं। हम उत्पाद को शून्य के बराबर करते हैं ( ए , बी ):
6 + एम = 0.
पर एम= – 6 सदिश ए और बी लंबवत.
उदाहरण 10.
आइए अदिश गुणनफल ज्ञात करें (3 ए + 4बी , 2ए – 3बी ), यदि | ए | = 2, |बी | = 1 और बीच का कोण φ ए और बी π/3 के बराबर.
आइए अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करें:
(α ए , β बी ) = αβ( ए , बी ),
(ए + बी , सी ) = (ए , सी ) + (बी , सी ),
(ए , बी ) = (बी , ए )
(ए , ए ) = |ए | 2 ,
साथ ही अदिश उत्पाद की परिभाषा ( ए , बी ) = |ए |∙|बी |∙cosφ. आइए हम अदिश गुणनफल को इस रूप में पुनः लिखें
(3ए + 4बी , 2ए – 3बी ) = 6(ए , ए ) – 9(ए , बी ) + 8(बी , ए ) – 12(बी , बी ) =
6|ए | 2 – (ए , बी ) – 12|बी | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
उदाहरण 11.
आइए सदिशों के बीच का कोण निर्धारित करें
ए = मैं + 2जे + 3क और बी = 6मैं + 4जे – 2क .
कोण ज्ञात करने के लिए, हम दो सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा का उपयोग करते हैं
(ए , बी ) = |ए |∙|बी |∙cosφ,
जहां φ सदिशों के बीच का कोण है ए और बी . आइए cosφ को इस सूत्र से व्यक्त करें
.
ध्यान में रख कर ( ए
,
बी
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, हम पाते हैं:
.
इस तरह, 
.
उदाहरण 12.
ए = 5मैं – 2जे + 3क और बी = मैं + 2जे – 4क .
यह ज्ञात है कि सदिशों का सदिश गुणनफल ए = ए 1 मैं + ए 2 जे + ए 3 क और बी = बी 1 मैं + बी 2 जे + बी 3 क सूत्र द्वारा पाया जाता है
.
इसलिए, इन वैक्टरों के लिए
2मैं + 23जे + 12क .
आइए एक उदाहरण पर विचार करें, जहां एक वेक्टर उत्पाद के मापांक को खोजने के लिए, एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा का उपयोग किया जाएगा, बजाय इसे कारकों के निर्देशांक के माध्यम से व्यक्त करने के, जैसा कि पिछले उदाहरण में था।
उदाहरण 13.
आइए सदिशों के सदिश गुणनफल का मापांक ज्ञात करें ए + 2बी और 2 ए – 3बी , यदि | ए | = 1, |बी | = 2 और सदिशों के बीच का कोण ए और बी 30° के बराबर.
एक सदिश उत्पाद की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि मनमाना सदिशों के लिए ए और बी इसका मापांक है
|[ए , बी ] | = |ए | ∙ |बी | ∙ पाप φ.
वेक्टर उत्पाद के गुणों को ध्यान में रखते हुए
[ए , बी ] = – [बी , ए ],
[ए , ए ] = 0,
[α ए + β बी , सी ] = α[ ए , सी ] + β[ बी , सी ],
हम पाते हैं
[ए + 2बी , 2ए – 3बी ] = 2[ए , ए ] – 3[ए , बी ] + 4[बी , ए ] – 6[बी , बी ] = –7[ए , बी ].
इसका मतलब है कि वेक्टर उत्पाद का मापांक बराबर है
|[ए + 2बी , 2ए – 3बी ]| = |–7[ए , बी ]| = 7 ∙ |ए | ∙ |बी | ∙ पाप 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.
उदाहरण 14.
आइए सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
ए = 6मैं + 3जे – 2क और बी = 3मैं – 2जे + 6क .
यह ज्ञात है कि दो सदिशों के सदिश गुणनफल का मापांक क्षेत्रफल के बराबरइन सदिशों पर समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया गया। आइए सूत्र का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद खोजें:
,
कहाँ ए = ए 1 मैं + ए 2 जे + ए 3 क और बी = बी 1 मैं + बी 2 जे + बी 3 क . फिर हम इसके मापांक की गणना करते हैं।
इन वैक्टरों के लिए हमें मिलता है
14मैं – 42जे – 21क .
अत: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है
एस = |[ए , बी ]| = (वर्ग इकाई).
उदाहरण 15.
शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें ए(1;2;1), में(3;3;4), साथ(2;1;3).
जाहिर है, त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसीसदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर 
और 
.
बदले में, वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 
और 
, वेक्टर उत्पाद के मापांक के बराबर है [ 
]. इस प्रकार
|[
]|.
आइए सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें 
और 
, वेक्टर के अंत के निर्देशांक से शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
= (3 –
1)मैं
+ (3 – 2)जे
+ (4 – 1)क
= 2मैं
+ जे
+ 3क
,
= (2 –
1)मैं
+ (1 – 2)जे
+ (3 – 1)क
= मैं
– जे
+ 2क
.
आइए वेक्टर उत्पाद खोजें:
[
,
]
=
5मैं
– जे
– 3क
.
आइए वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल खोजें:
|[
]|
=
.
इसलिए, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं:
(वर्ग इकाई)।
उदाहरण 16.
आइए सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें ए + 3बी और 3 ए – बी , यदि | ए | = 2, |बी | = 1 और बीच का कोण ए और बी 30° के बराबर.
आइए उदाहरण 13 में निर्दिष्ट इसकी परिभाषा और गुणों का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद का मापांक खोजें, जो हमें मिलता है
[ए + 3बी , 3ए – बी ] = 3[ए , ए ] – [ए , बी ] + 9[बी , ए ] – 3[बी , बी ] = –10[ए , बी ].
इसका मतलब है कि आवश्यक क्षेत्रफल बराबर है
एस = |[ए + 3बी , 3ए – बी ]| = |–10[ए , बी ]| = 10 ∙ |ए | ∙ |बी | ∙ पाप 30° =
10∙2∙1∙0.5 = 10 (वर्ग इकाई)।
निम्नलिखित उदाहरणों में वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग शामिल होगा।
उदाहरण 17.
वह वैक्टर दिखाओ ए = मैं + 2जे – क , बी = 3मैं + क और साथ = 5मैं + 4जे – क समतलीय.
यदि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य है तो वेक्टर समतलीय होते हैं। मनमाना वैक्टर के लिए
ए = ए 1 मैं + ए 2 जे + ए 3 क , बी = बी 1 मैं + बी 2 जे + बी 3 क , सी = सी 1 मैं + सी 2 जे + सी 3 क
हम सूत्र का उपयोग करके मिश्रित उत्पाद पाते हैं:
.
इन वैक्टरों के लिए हमें मिलता है
.
इस प्रकार, ये सदिश समतलीय हैं।
शीर्षों वाले त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए ए(1;1;1), में(3;2;1), साथ(2;4;3), डी(5;2;4).
आइए सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें 
,
और 
, पिरामिड के किनारों से मेल खाता हुआ। वेक्टर के अंत के निर्देशांक से शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
= 2मैं
+ 3जे
,
= मैं
+ 3जे
+ 2क
,
= 4मैं
+ जे
+ 3क
.
यह ज्ञात है कि एक पिरामिड का आयतन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन के 1/6 के बराबर होता है 
,
और 
. इस प्रकार,
.
बदले में, समांतर चतुर्भुज का आयतन मिश्रित उत्पाद के मापांक के बराबर होता है
वी पैराल
= |(
,
,
)|.
आइए एक मिश्रित उत्पाद खोजें
(
,
,
)
=
.
तो, पिरामिड का आयतन है
(घन इकाई)
निम्नलिखित उदाहरणों में हम वेक्टर बीजगणित के संभावित अनुप्रयोगों को दिखाएंगे।
उदाहरण 19.
आइए जाँच करें कि क्या सदिश 2 संरेख हैं ए + बी और ए – 3बी , कहाँ ए = 2मैं + जे – 3क और बी = मैं + 2जे + 4क .
आइए सदिश 2 के निर्देशांक ज्ञात करें ए + बी और ए – 3बी :
2ए + बी = 2(2मैं + जे – 3क ) + मैं + 2जे + 4क = 5मैं + 4जे – 2क ,
ए – 3बी = 2मैं + जे – 3क – 3(मैं + 2जे + 4क ) = –मैं – 5जे – 15क .
यह ज्ञात है कि संरेख सदिशों के निर्देशांक आनुपातिक होते हैं। ध्यान में रख कर
,
हम पाते हैं कि 2 सदिश हैं ए + बी और ए – 3बी असंरेखीय.
इस समस्या को दूसरे तरीके से भी हल किया जा सकता था. सदिशों की संरेखता की कसौटी सदिश गुणनफल की शून्य से समानता है:
2[ए , ए ] – 6[ए , बी ] + [बी , ए ] – 3[बी , बी ] = –7[ए , बी ].
आइए सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें ए और बी :
10मैं – 11जे + 3क ≠ 0.
इस तरह,
= –7[ए , बी ] ≠ 0
और वैक्टर 2 ए + बी और ए – 3बी असंरेखीय.
उदाहरण 20.
आइए बल का कार्य खोजें एफ (3; 2; 1), जब इसके अनुप्रयोग का बिंदु ए(2; 4;–6), सीधी रेखा में चलते हुए, बिंदु की ओर बढ़ता है में(5; 2; 3).
यह ज्ञात है कि बल का कार्य बल का अदिश गुणनफल है एफ
विस्थापन वेक्टर के लिए 
.
आइए वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें 
:
= 3मैं
– 2जे
+ 9क
.
अत: बल का कार्य एफ एक बिंदु को हिलाने से एबिल्कुल मेंअदिश गुणनफल के बराबर होगा
(एफ
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
उदाहरण 21.
तुम्हें शक्ति मिले एफ (2;3;–1) को बिंदु पर लागू किया जाता है ए(4;2;3). जबरदस्ती के तहत एफ डॉट एएक बिंदु पर चला जाता है में(3;1;2). आइए बल के क्षण का मापांक ज्ञात करें एफ बिंदु के सापेक्ष में.
यह ज्ञात है कि बल का क्षण बल और विस्थापन के वेक्टर उत्पाद के बराबर है। आइए विस्थापन वेक्टर खोजें 
:
= (3 –
4)मैं
+
(1 – 2)जे
+ (2 – 3)क
= – मैं
–
जे
– क
.
आइए एक वेक्टर उत्पाद के रूप में बल का क्षण ज्ञात करें:
= – 4मैं + 3जे + क .
इसलिए, बल के क्षण का मापांक वेक्टर उत्पाद के मापांक के बराबर है:
|[एफ
,
]|
=
.
60) सदिशों की एक प्रणाली दी गई है ए =(1, 2, 5), बी =(4, 0, -1), सी =(0, 0, 0). इस पर अन्वेषण करें रैखिक निर्भरता.
ए) वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है;
बी) वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है;
ग) कोई सही उत्तर नहीं है.
61) वेक्टर प्रणाली का अन्वेषण करें
ए =(1, -1, 2, 0), बी =(1, 5, -2, ), सी =(3, -3, 6, 0) एक रैखिक संबंध के लिए।
ए) वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है;
बी) वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है;
ग) कोई सही उत्तर नहीं है.
62) सदिशों की प्रणाली है ए =(1, 2), बी =(7, ), सी =(0, ), डी =( , 1) रैखिक रूप से निर्भर?
क) नहीं, ऐसा नहीं है;
ख) हाँ, यह है।
63) एक वेक्टर व्यक्त किया गया है बी =(2, -1, 3) सदिश प्रणाली के माध्यम से = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
ए) नहीं, व्यक्त नहीं किया गया;
बी) हाँ, यह व्यक्त किया गया है।
64) रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली की जांच करें
ए = , बी = , सी = .
ए) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
बी) रैखिक रूप से निर्भर;
ग) कोई सही उत्तर नहीं है.
65) रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली की जांच करें
ए = , बी = , सी =
ए) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
बी) रैखिक रूप से निर्भर;
ग) कोई सही उत्तर नहीं है.
66) क्या सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
ए) रैखिक रूप से निर्भर;
बी) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
ग) कोई सही उत्तर नहीं है.
67) माना कि रैखिक रूप से स्वतंत्र मैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या m के बराबर है, और रैखिक रूप से स्वतंत्र मैट्रिक्स स्तंभों की संख्या n के बराबर है। सही कथन चुनें.
घ) उत्तर मैट्रिक्स पर निर्भर करता है।
68) रैखिक स्थान के आधार सदिश हैं
ए) रैखिक रूप से निर्भर;
बी) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
ग) उत्तर विशिष्ट आधार पर निर्भर करता है।
69) वेक्टर क्या है?
a) यह एक किरण है जो गति की दिशा दिखाती है
बी) यह एक निर्देशित खंड है जिसकी शुरुआत बिंदु ए पर और अंत बिंदु बी पर है, जिसे स्वयं के समानांतर ले जाया जा सकता है
ग) यह एक आकृति है जिसमें एक दूसरे से समान दूरी पर कई बिंदु शामिल हैं।
d) यह एक खंड है जिसकी शुरुआत बिंदु A पर और अंत बिंदु B पर है, जिसे स्वयं के समानांतर नहीं ले जाया जा सकता है
70) यदि एक रैखिक संयोजन 1 + 2 +...+˛ आरसंख्याओं के बीच में शून्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है उं 1 , फू 2 ,…, उं आरकम से कम एक गैर-शून्य है, फिर वैक्टर की प्रणाली ए 1, ए 2,…., ए पीबुलाया:
ए) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
बी) रैखिक रूप से निर्भर;
ग) तुच्छ;
घ) गैर-तुच्छ।
71) यदि एक रैखिक संयोजन 1 + 2 +...+˛ आरशून्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व तभी करता है जब सभी संख्याएँ उं 1 , फू 2 ,…, उं आरशून्य के बराबर हैं, फिर सदिशों की प्रणाली ए 1, ए 2,…., ए पीबुलाया:
ए) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
बी) रैखिक रूप से निर्भर;
ग) तुच्छ;
घ) गैर-तुच्छ।
72) सदिश समष्टि का आधार सदिशों की एक प्रणाली है जो एक निश्चित क्रम में निर्दिष्ट होती है और शर्तों को पूरा करती है:
ए) प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है;
बी) अंतरिक्ष का कोई भी वेक्टर किसी दिए गए सिस्टम का एक रैखिक संयोजन है;
ग) दोनों सही हैं;
घ) दोनों गलत हैं।
73) स्थान R n का एक उपसमुच्चय जिसमें संख्याओं द्वारा जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में बंद होने का गुण होता है, कहलाता है:
ए) अंतरिक्ष आरएन का रैखिक प्रीस्पेस;
बी) अंतरिक्ष का प्रक्षेपण आर एन ;
ग) अंतरिक्ष आरएन का रैखिक उपस्थान;
घ) कोई सही उत्तर नहीं है।
74) यदि सदिशों की एक परिमित प्रणाली में एक रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली शामिल है, तो यह:
ए) रैखिक रूप से निर्भर;
बी) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
75) यदि सिस्टम रैखिक है आश्रित सदिशएक या अधिक वेक्टर जोड़ें, परिणामी सिस्टम होगा:
ए) रैखिक रूप से निर्भर;
बी) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
ग) न तो रैखिक रूप से निर्भर और न ही रैखिक रूप से स्वतंत्र।
76) तीन सदिश समतलीय कहलाते हैं यदि वे:
क) वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं;
बी) वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं;
ग) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
घ) वे समानांतर तलों में स्थित हैं;
77) दो सदिशों को संरेख कहा जाता है यदि वे:
क) वे एक ही तल में स्थित हैं;
बी) वे समानांतर विमानों में स्थित हैं;
ग) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
घ) वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं;
78) दो सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक है कि वे हों:
ए) संपार्श्विक;
बी) समतलीय;
ग) रैखिक रूप से स्वतंत्र;
घ) कोई सही विकल्प नहीं है।
79) एक वेक्टर का उत्पाद ए=(ए 1 ,ए 2 ,ए 3) एक संख्या को सदिश कहा जाता है बी, बराबर
ए) ( ए 1 , ए 2 , ए 3)
बी) (+ ए 1 , +ए 2 , +ए 3)
वी)( /ए 1 , /ए 2 , /ए 3)
80) यदि दो सदिश एक ही रेखा पर हों, तो ऐसे सदिश होते हैं
ए) बराबर
बी) सह-निर्देशित
ग) संरेख
घ) विपरीत दिशा में निर्देशित
81) सदिशों का अदिश गुणनफल बराबर होता है
ए) उनकी लंबाई का उत्पाद;
बी) उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा उनकी लंबाई का गुणनफल;
ग) उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा उनकी लंबाई का गुणनफल;
घ) उनके बीच के कोण की स्पर्शरेखा द्वारा उनकी लंबाई का गुणनफल;
82) एक वेक्टर का उत्पाद एखुद को बुलाया
ए) वेक्टर लंबाई ए
बी) वेक्टर का अदिश वर्ग ए
ग) वेक्टर दिशा ए
घ) कोई सही उत्तर नहीं है
83) यदि सदिशों का गुणनफल 0 के बराबर हो, तो ऐसे सदिश कहलाते हैं
ए) संरेख
बी) सह-निर्देशित
ग) ऑर्थोगोनल
घ) समानांतर
84) वेक्टर की लंबाई है
a) इसका अदिश वर्ग
b) इसके अदिश वर्ग का मूल
ग) इसके निर्देशांक का योग
डी) वेक्टर के अंत और शुरुआत के निर्देशांक के बीच का अंतर
85) सदिशों का योग ज्ञात करने के नियम क्या हैं (एकाधिक उत्तर)
ए) त्रिकोण नियम
बी) वृत्त का नियम
ग) समांतर चतुर्भुज नियम
d) गॉस का नियम
ई) बहुभुज नियम
च) आयत नियम
86) यदि बिंदु एबिंदु से मेल खाता है में, तो वेक्टर कहा जाता है
ए) यूनिट वेक्टर
ग) शून्य वेक्टर
घ) तुच्छ वेक्टर
87) दो सदिशों के संरेख होने के लिए यह आवश्यक है
ए) उनके निर्देशांक समान थे
बी) उनके निर्देशांक आनुपातिक थे
ग) उनके निर्देशांक विपरीत थे
d) उनके निर्देशांक 0 के बराबर थे
88) दो सदिश a=2m+4n और b=m-n दिए गए हैं, जहां m और n 120 0 का कोण बनाने वाले इकाई सदिश हैं। सदिश a और b के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
89) समतल पर दो इकाई सदिश m और n दिए गए हैं। यह ज्ञात है कि उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें a=m+2n (उत्तर को 0.1 तक पूर्णांकित करें)
90) सदिश a=-4k और b=2i+j पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करें
91) सदिशों की लंबाई |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 दी गई है। परिभाषित करें |a+b|
92) तीन सदिश दिए गए हैं: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4)। वेक्टर p=2a-b+c के निर्देशांक ज्ञात करें।
93) वेक्टर की लंबाई ज्ञात करें a=2i+3j-6k.
94) λ के किस मान पर सदिश a=λi-3j+2k और b=i+2j-λk लंबवत हैं?
95) दिए गए सदिश a=6i-4j+k और b=2i-4j+k। द्वारा निर्मित कोण ज्ञात कीजिए वेक्टर ए-बीओज़ अक्ष के साथ.
96) दिए गए सदिश = (4; -2; -6) और = (-3; 4; -12)। वेक्टर का प्रक्षेपण खोजें एवेक्टर अक्ष पर बी.
97)कोण ज्ञात कीजिए एशीर्षों के साथ त्रिभुज ए (–1; 3; 2), में(3; 5; -2) और
साथ(3; 3; -1). अपना उत्तर 15cos के रूप में दर्ज करें ए.
98) वेक्टर का वर्ग परिमाण ज्ञात कीजिए 
, जहां और इकाई सदिश 60° का कोण बनाते हैं।
99) डॉट उत्पाद ढूंढें 
और 
100) दिए गए बिंदु A (3; -1; 2), B (1; 2; -1), C (-4; 4; 1), D (0; -2; 7)। चतुर्भुज ABCD का प्रकार ज्ञात कीजिए।
क) समानांतर चतुर्भुज;
बी) आयत;
ग) ट्रैपेज़ियम;
101) वेक्टर = (3; 4) को वेक्टर = (3; -1) और = (1; -2) में विघटित किया जाता है। सही अपघटन चुनें.
