किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इनमें से एक है कठिन विषयवी स्कूल के पाठ्यक्रम. प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।
यह लेख सरल और स्पष्ट तरीके से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रेजेंटेशन में गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात इसका अर्थ समझना है।
आइए परिभाषा याद रखें:
व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।
यह चित्र तीन कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। आपके अनुसार इनमें से कौन तेजी से बढ़ रहा है?
उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की दर सबसे अधिक है, यानी सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।
यहाँ एक और उदाहरण है.
कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:
ग्राफ़ सब कुछ एक ही बार में दिखाता है, है ना? कोस्त्या की आय छह महीने में दोगुनी से अधिक हो गई। और ग्रिशा की आय भी बढ़ी, लेकिन थोड़ी सी। और मैटवे की आय शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियाँ समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर समान है यौगिक, - अलग। जहां तक मैटवे का सवाल है, उनका आय व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक है।
सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम यह कैसे करें?
हम वास्तव में यह देख रहे हैं कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के बदलने पर y कितनी तेजी से बदलता है? जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही कार्य हो सकता है अलग अर्थव्युत्पन्न - अर्थात यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दर्शाया गया है।
हम आपको दिखाएंगे कि ग्राफ़ का उपयोग करके इसे कैसे खोजा जाए।
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा गया है. आइए एक बिंदु लें जिस पर भुज है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम यह अनुमान लगाना चाहते हैं कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक सुविधाजनक मूल्य है स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
कृपया ध्यान दें कि स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण को लेते हैं।
कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसका इस अनुभाग में ग्राफ़ के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है, और जैसा कि हमारे चित्र में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्शरेखा की तरह दिखता है।
आइए इसे खोजें. हमें याद है कि एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा सही त्रिकोणविपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर। त्रिभुज से:
हमने फ़ंक्शन का सूत्र जाने बिना ही ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में संख्या के अंतर्गत ऐसी समस्याएँ अक्सर पाई जाती हैं।
एक और महत्वपूर्ण रिश्ता है. याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है
इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।
.
हमें वह मिल गया
आइए इस सूत्र को याद रखें. वह व्यक्त करती है ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।
दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है।
हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फ़ंक्शन के अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग व्युत्पन्न हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।
आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस कार्य को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें और अन्य में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम अंक होने दें।
एक बिंदु पर कार्य बढ़ जाता है। बिंदु पर खींचे गए ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एक न्यून कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. इसका मतलब है कि बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।
इस बिंदु पर हमारा कार्य कम हो जाता है। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. चूँकि अधिक कोण की स्पर्शरेखा ऋणात्मक होती है, बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।
यहाँ क्या होता है:
यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो उसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।
यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।
अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि बिंदुओं (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा का स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।
बिंदु - अधिकतम बिंदु. इस बिंदु पर, फ़ंक्शन में वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का चिह्न बिंदु पर "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।
बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसका चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।
निष्कर्ष: व्युत्पन्न का उपयोग करके, हम किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है।
यदि व्युत्पन्न धनात्मक है, तो फलन बढ़ जाता है।
यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट जाता है।
अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।
न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है।
आइए इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखें:
| बढ़ती है | अधिकतम बिंदु | कम हो जाती है | न्यूनतम बिंदु | बढ़ती है | |
| + | 0 | - | 0 | + |
आइए दो छोटे स्पष्टीकरण दें। समस्या का समाधान करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। दूसरा - पहले वर्ष में, फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।
यह संभव है कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। यह तथाकथित है :
एक बिंदु पर, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और व्युत्पन्न शून्य है। हालाँकि, बिंदु से पहले कार्य बढ़ता गया - और बिंदु के बाद यह बढ़ता ही जाता है। व्युत्पन्न का चिह्न नहीं बदलता - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक रहता है।
ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ़ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव होता है।
यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि सूत्र द्वारा दिया गया है तो व्युत्पन्न कैसे खोजें? इस मामले में यह लागू होता है
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदीकरण कहते हैं।
तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम सामने आए। . डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) थे।
इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आपको केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है व्युत्पन्न और विभेदीकरण के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।
व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. इसके बाद, हम व्युत्पन्न की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र - विभेदन के नियमों में पाते हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।
उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।
डेरिवेटिव की तालिका से हमें पता चलता है कि "X" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:
उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। हम उस योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है, इसे व्युत्पन्न चिह्न से निकाला जा सकता है:
यदि अभी भी प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो उन्हें आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ कर दिया जाता है। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।
सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका
| 1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। सदैव शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है | |
| 2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है | |
| 3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है। | |
| 4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न | |
| 5. व्युत्पन्न वर्गमूल | |
| 6. साइन का व्युत्पन्न | |
| 7. कोसाइन का व्युत्पन्न |  |
| 8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति |  |
| 11. आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न |  |
| 12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न | |
| 15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न |  |
| 16. घातांक की व्युत्पत्ति | |
| 17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न |
विभेदीकरण के नियम
| 1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति |  |
| 2. उत्पाद का व्युत्पन्न |  |
| 2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न | |
| 3. भागफल का व्युत्पन्न |  |
| 4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न |  |
नियम 1।यदि कार्य
किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं
और
वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है।
परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, अर्थात।
नियम 2.यदि कार्य
किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है
और
वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।
परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:
परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:
नियम 3.यदि कार्य
किसी बिंदु पर भिन्न और , फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और
वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.
अन्य पेजों पर चीज़ें कहां खोजें
किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".
टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह सामान्य गलती, जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होता है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।
और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।
अन्य सामान्य गलती- एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम डेरिवेटिव ढूंढना सीखेंगे सरल कार्य.
साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .
यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है 
, फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"
यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे 
, फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।
चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें
उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:
इसके बाद, हम योग विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:
हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:
हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:
यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, 
, फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .
यदि आपको साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय कार्य, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .
उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। उत्पाद और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान को अलग करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:
अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।
दिनांक: 11/20/2014
व्युत्पन्न क्या है?
डेरिवेटिव की तालिका.
व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए सख्त गणितीय सूत्रों और प्रमाणों के बिना, एक-दूसरे को जानें।
यह परिचित आपको इसकी अनुमति देगा:
डेरिवेटिव के साथ सरल कार्यों का सार समझें;
इन सरलतम कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;
डेरिवेटिव पर अधिक गंभीर पाठों की तैयारी करें।
पहला - एक सुखद आश्चर्य।)
व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है. लेकिन डेरिवेटिव के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक नियम के रूप में, इतने व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है!
स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना ही पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए. बस इतना ही। यह मुझे आनंद देता है।
आइए परिचित होना शुरू करें?)
शर्तें और पदनाम.
प्रारंभिक गणित में कई अलग-अलग गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि आप इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दें, तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। यह नया ऑपरेशनबुलाया भेदभावइस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।
यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य लेते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य होगा. इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न.
भेदभाव- किसी फ़ंक्शन पर कार्रवाई.
यौगिक- इस क्रिया का परिणाम.
जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़- जोड़ का परिणाम. या निजी-विभाजन का परिणाम.
शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) सूत्रीकरण इस प्रकार हैं: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंऔर इसी तरह। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य भी हैं, जहां व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजना समस्या को हल करने के चरणों में से एक होगा।
व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के शीर्ष दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया गया है। इस कदर: य"या च"(x)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।
पढ़ना इग्रेक स्ट्रोक, एक्स से ईएफ स्ट्रोक, टी से ईएस स्ट्रोक,ठीक है, आप समझते हैं...)
एक प्राइम किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी इंगित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनक्स)"वगैरह। अक्सर अवकलजों को विभेदकों का उपयोग करके दर्शाया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।
चलिए मान लेते हैं कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। जो कुछ बचा है वह सीखना है कि उन्हें कैसे हल किया जाए।) मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।हैरानी की बात यह है कि इनमें से बहुत कम नियम हैं।
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीज़ें जानने की आवश्यकता है। तीन स्तंभ जिन पर सभी भेदभाव खड़े हैं। ये तीन स्तंभ हैं:
1. डेरिवेटिव की तालिका (विभेदीकरण सूत्र)।
3. व्युत्पन्न जटिल कार्य.
आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में हम डेरिवेटिव की तालिका देखेंगे।
डेरिवेटिव की तालिका.
संसार में अनगिनत प्रकार के कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो व्यावहारिक उपयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में पाए जाते हैं। इन कार्यों से, जैसे ईंटों से, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य.स्कूल में इन कार्यों का अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।
कार्यों का विभेदन "शुरुआत से", अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर, यह काफी श्रम-गहन बात है। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपना (और हमारा) जीवन सरल बना दिया। उन्होंने हमसे पहले प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)
यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बाएं - प्राथमिक कार्य, दाईं ओर इसका व्युत्पन्न है।
| समारोह य |
फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न य" |
|
| 1 | सी (निरंतर मूल्य) | सी" = 0 |
| 2 | एक्स | एक्स" = 1 |
| 3 | x n (n - कोई भी संख्या) | (x n)" = nx n-1 |
| एक्स 2 (एन = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | पाप एक्स | (पाप x)" = cosx |
| क्योंकि x | (क्योंकि x)" = - पाप x | |
| टीजी एक्स |  |
|
| सीटीजी एक्स |  |
|
| 5 | आर्कसिन एक्स |  |
| आर्ककोस एक्स |  |
|
| आर्कटान एक्स |  |
|
| आर्कसीटीजी एक्स |  |
|
| 4 | एएक्स |  |
| इएक्स | ||
| 5 | लकड़ी का लट्ठा एएक्स |  |
| एलएन एक्स ( ए = ई) |
मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। यौगिक ऊर्जा समीकरण- सबसे आम फ़ार्मुलों में से एक, अगर सबसे आम नहीं तो! क्या आप संकेत समझ गए?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानने की सलाह दी जाती है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका स्वयं याद हो जाएगी!)
खोजो तालिका मानव्युत्पन्न, जैसा कि आप समझते हैं, कार्य सबसे कठिन नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के शब्दों में, या मूल फ़ंक्शन में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है...
आइए कुछ उदाहरण देखें:
1. फलन y = x का अवकलज ज्ञात कीजिए 3
तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है. लेकिन इसमें पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है सामान्य रूप से देखें(तीसरा समूह)। हमारे मामले में n=3. इसलिए हम n के स्थान पर तीन प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यानपूर्वक लिखते हैं:
(एक्स 3) " = 3 एक्स 3-1 = 3x 2
इतना ही।
उत्तर: y" = 3x 2
2. बिंदु x = 0 पर फलन y = synx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले साइन का व्युत्पन्न खोजना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न में. बिल्कुल उसी क्रम में!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे मूल फ़ंक्शन में तुरंत शून्य डाल देते हैं... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान ज्ञात करने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न.मैं आपको याद दिला दूँ कि व्युत्पन्न एक नया फलन है।
टैबलेट का उपयोग करके हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:
y" = (sin x)" = cosx
हम व्युत्पन्न में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:
y"(0) = cos 0 = 1
यही उत्तर होगा.
3. फ़ंक्शन को अलग करें:
यह क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है।
मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करने का मतलब केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करना काफी परेशानी भरा है। तालिका मदद नहीं करती...
लेकिन अगर हम देखें तो हमारा कार्य है कोज्या दोहरा कोण , तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!
हां हां! याद रखें कि मूल फ़ंक्शन को बदलना भेदभाव से पहलेबिल्कुल स्वीकार्य! और ऐसा होने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। दोहरे कोण कोज्या सूत्र का उपयोग करना:
वे। हमारा पेचीदा कार्य इससे अधिक कुछ नहीं है y = cosx. और यह एक टेबल फ़ंक्शन है. हमें तुरंत मिलता है:
उत्तर: y" = - पाप x.
उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:
4. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
निस्संदेह, डेरिवेटिव तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन यदि आपको प्रारंभिक गणित, शक्तियों के साथ संचालन याद है... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। इस कदर:
और x से दसवें की घात पहले से ही एक सारणीबद्ध फलन है! तीसरा समूह, n=1/10. हम सीधे सूत्र के अनुसार लिखते हैं:
बस इतना ही। यही उत्तर होगा.
मुझे आशा है कि विभेदीकरण के पहले स्तंभ - डेरिवेटिव की तालिका - के साथ सब कुछ स्पष्ट है। शेष दो व्हेलों से निपटना बाकी है। अगले पाठ में हम विभेदन के नियम सीखेंगे।
व्युत्पन्न क्या है?
व्युत्पन्न फलन की परिभाषा और अर्थ
एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उसके अनुप्रयोगों पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से कई लोग आश्चर्यचकित होंगे। आख़िरकार, जैसा कि स्कूल के समय से होता आ रहा है: मानक पाठ्यपुस्तक सबसे पहले व्युत्पन्न की परिभाषा, उसका ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ देती है। इसके बाद, छात्र परिभाषा के आधार पर कार्यों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं, और वास्तव में, केवल तभी वे विभेदन की तकनीक का उपयोग करके परिपूर्ण होते हैं व्युत्पन्न तालिकाएँ.
लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है किसी फ़ंक्शन की सीमा, खास तरीके से, अपरिमित मात्राएँ. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न की परिभाषा सीमा की अवधारणा पर आधारित है, जिसे स्कूली पाठ्यक्रम में ख़राब माना जाता है। यही कारण है कि ज्ञान के ग्रेनाइट के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के सार को नहीं समझता है। इस प्रकार, यदि आपको डिफरेंशियल कैलकुलस का बहुत कम ज्ञान है या आपके पास एक बुद्धिमान मस्तिष्क है लंबे सालइस बोझ से सफलतापूर्वक छुटकारा पा लिया, कृपया शुरुआत करें कार्य सीमाएँ. साथ ही, उनके समाधान में महारत हासिल करें/याद रखें।
वही व्यावहारिक समझ यह निर्देशित करती है कि सबसे पहले यह लाभप्रद है डेरिवेटिव ढूंढना सीखें, शामिल जटिल कार्यों के व्युत्पन्न. सिद्धांत तो सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों के माध्यम से काम करना बेहतर है, और शायद विभेदीकरण का स्वामीउनके कार्यों का सार समझे बिना भी।
मेरा सुझाव है कि लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर मौजूद सामग्रियों से शुरुआत करें। डेरिवेटिव के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन आप इंतज़ार कर सकते हैं. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से सामने आया - जब मुझे समझाने की आवश्यकता थी बढ़ते/घटते अंतराल और एक्स्ट्रेमा का पता लगानाकार्य. इसके अलावा, वह काफी लंबे समय तक इस विषय पर थे। कार्य और ग्राफ़”, जब तक मैंने अंततः इसे पहले रखने का फैसला नहीं किया।
इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने में जल्दबाजी न करें, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।
किसी फलन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम की अवधारणा
अनेक शिक्षण में मददगार सामग्रीकुछ व्यावहारिक समस्याओं का उपयोग करके व्युत्पन्न की अवधारणा को आगे बढ़ाया, और मैं एक दिलचस्प उदाहरण भी लेकर आया। कल्पना कीजिए कि हम एक ऐसे शहर की यात्रा करने वाले हैं जहाँ विभिन्न तरीकों से पहुँचा जा सकता है। आइए तुरंत घुमावदार रास्तों को त्यागें और केवल सीधे राजमार्गों पर विचार करें। हालाँकि, सीधी-रेखा दिशाएँ भी भिन्न हैं: आप एक समतल राजमार्ग के साथ शहर तक पहुँच सकते हैं। या किसी पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक अन्य सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और एक अन्य सदैव नीचे की ओर जाती है। अत्यधिक उत्साही लोग खड़ी चट्टान और खड़ी चढ़ाई वाली घाटी से होकर जाने वाला रास्ता चुनेंगे।
लेकिन आपकी प्राथमिकताएं जो भी हों, यह सलाह दी जाती है कि क्षेत्र को जानें या कम से कम उसका स्थलाकृतिक मानचित्र रखें। यदि ऐसी जानकारी अनुपलब्ध हो तो क्या होगा? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सुगम रास्ता, लेकिन परिणामस्वरूप हंसमुख फिन्स के साथ स्की ढलान पर ठोकर खा सकते हैं। यह सच नहीं है कि एक नाविक या एक उपग्रह छवि भी विश्वसनीय डेटा प्रदान करेगी। इसलिए, गणित का उपयोग करके पथ की राहत को औपचारिक बनाना अच्छा होगा।
आइए कुछ सड़क देखें (साइड व्यू): 
बस किसी मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य याद दिलाता हूं: यात्रा होती है बाएं से दाएं. सरलता के लिए, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन निरंतरविचाराधीन क्षेत्र में.
इस ग्राफ़ में क्या विशेषताएं हैं?
अंतरालों पर 
समारोह बढ़ती है, अर्थात्, इसका प्रत्येक अगला मान अधिकपिछला। मोटे तौर पर कहें तो शेड्यूल चालू है ऊपर से नीचे(हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर समारोह कम हो जाती है– प्रत्येक अगला मान कमपिछला, और हमारा शेड्यूल चालू है उपर से नीचे(हम ढलान से नीचे जाते हैं)।
आइए खास बिंदुओं पर भी ध्यान दें. हम जिस मुकाम पर पहुंचते हैं अधिकतम, वह है मौजूदपथ का ऐसा भाग जहां मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर उसे प्राप्त किया जाता है न्यूनतम, और मौजूदइसका पड़ोस जिसमें मूल्य सबसे छोटा (न्यूनतम) है।
हम कक्षा में अधिक सख्त शब्दावली और परिभाषाओं पर गौर करेंगे। कार्य की चरम सीमा के बारे में, लेकिन अभी आइए एक और अध्ययन करें महत्वपूर्ण विशेषता: अंतरालों पर 
कार्य बढ़ता है, लेकिन यह बढ़ता है अलग-अलग गति से. और पहली चीज़ जो आपका ध्यान खींचती है वह यह है कि अंतराल के दौरान ग्राफ़ ऊपर चढ़ जाता है बहुत अधिक अच्छा, अंतराल पर की तुलना में . क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?
कार्य परिवर्तन की दर
विचार यह है: आइए कुछ मूल्य लें (पढ़ें "डेल्टा एक्स"), जिसे हम कहेंगे तर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इसे आज़माना" शुरू करें: 
1) आइए सबसे बाएं बिंदु को देखें: दूरी पार करते हुए, हम ढलान पर ऊंचाई (हरी रेखा) पर चढ़ते हैं। मात्रा कहलाती है कार्य वृद्धि, और में इस मामले मेंयह वृद्धि धनात्मक है (अक्ष के अनुदिश मानों में अंतर शून्य से अधिक है)। आइए एक अनुपात बनाएं जो हमारी सड़क की ढलान का माप होगा। जाहिर है, यह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वेतन वृद्धि सकारात्मक हैं, तो।
ध्यान! पदनाम हैं एकप्रतीक, यानी, आप "एक्स" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन वृद्धि प्रतीक से भी संबंधित है।
आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति का अधिक सार्थक ढंग से अन्वेषण करें। आइए शुरू में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु पर) की ऊंचाई पर हों। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) तय करने के बाद, हम खुद को 60 मीटर की ऊंचाई पर पाएंगे। तब फ़ंक्शन की वृद्धि होगी 
मीटर (हरी रेखा) और:। इस प्रकार, हर मीटर परसड़क का यह भाग ऊंचाई बढ़ती है औसत 4 मीटर से...अपना चढ़ाई उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित संबंध फ़ंक्शन की औसत परिवर्तन दर (इस मामले में, वृद्धि) को दर्शाता है।
टिप्पणी : संख्यात्मक मानविचाराधीन उदाहरण केवल चित्र के अनुपात से लगभग मेल खाता है।
2) अब सबसे दाहिने काले बिंदु से समान दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक क्रमिक है, इसलिए वृद्धि (क्रिमसन लाइन) अपेक्षाकृत छोटी है, और पिछले मामले की तुलना में अनुपात बहुत मामूली होगा। अपेक्षाकृत बोल रहा है, 
मीटर और कार्य वृद्धि दरहै । यानी यहां रास्ते के हर मीटर के लिए कुछ न कुछ हैं औसतआधा मीटर की वृद्धि.
3)पहाड़ पर एक छोटा सा रोमांच। आइए शीर्ष पर देखें काला बिंदू, कोटि अक्ष पर स्थित है। चलिए मान लेते हैं कि यह 50 मीटर का निशान है। हमने दूरी को फिर से पार कर लिया, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को नीचे पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। चूंकि आंदोलन किया गया है उपर से नीचे(अक्ष की "काउंटर" दिशा में), फिर अंतिम फ़ंक्शन की वृद्धि (ऊंचाई) नकारात्मक होगी: 
मीटर (ड्राइंग में भूरा खंड)। और इस मामले में हम पहले से ही बात कर रहे हैं कमी की दरविशेषताएँ: 
, अर्थात्, इस खंड के पथ के प्रत्येक मीटर के लिए, ऊंचाई कम हो जाती है औसत 2 मीटर से. पांचवे बिंदु पर अपने कपड़ों का ख्याल रखें।
अब आइए अपने आप से पूछें: उपयोग करने के लिए सर्वोत्तम "माप मानक" मान क्या है? यह पूरी तरह से समझ में आता है, 10 मीटर बहुत कठिन है। उन पर एक दर्जन से अधिक हम्मॉक्स आसानी से फिट हो सकते हैं। उतार-चढ़ाव से कोई फर्क नहीं पड़ता, नीचे एक गहरी खाई हो सकती है, और कुछ मीटर के बाद इसका दूसरा किनारा और अधिक तीव्र वृद्धि के साथ होता है। इस प्रकार, दस-मीटर के साथ हमें अनुपात के माध्यम से पथ के ऐसे खंडों का एक समझदार विवरण नहीं मिलेगा।
उपरोक्त चर्चा से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: कैसे कम मूल्य , जितना अधिक सटीक रूप से हम सड़क स्थलाकृति का वर्णन करते हैं। इसके अलावा, निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:
– किसी के लिए भीउठाने के बिंदु 
आप एक ऐसा मान चुन सकते हैं (भले ही बहुत छोटा हो) जो किसी विशेष वृद्धि की सीमाओं के भीतर फिट बैठता हो। इसका मतलब यह है कि संबंधित ऊंचाई वृद्धि सकारात्मक होने की गारंटी होगी, और असमानता इन अंतरालों के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि को सही ढंग से इंगित करेगी।
- वैसे ही, किसी के लिएढलान के बिंदु पर, एक मान है जो इस ढलान पर पूरी तरह से फिट होगा। नतीजतन, ऊंचाई में संबंधित वृद्धि स्पष्ट रूप से नकारात्मक है, और असमानता दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन में कमी को सही ढंग से दिखाएगी।
- एक विशेष रूप से दिलचस्प मामला तब होता है जब फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर शून्य होती है:। सबसे पहले, शून्य ऊंचाई वृद्धि () एक सुगम पथ का संकेत है। और दूसरी बात, अन्य दिलचस्प स्थितियाँ भी हैं, जिनके उदाहरण आप चित्र में देख सकते हैं। कल्पना कीजिए कि भाग्य हमें उड़ते हुए चील वाली पहाड़ी की चोटी पर या टर्राने वाले मेंढकों वाली खड्ड के निचले हिस्से पर ले आया है। यदि आप किसी भी दिशा में एक छोटा कदम उठाते हैं, तो ऊंचाई में परिवर्तन नगण्य होगा, और हम कह सकते हैं कि फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर वास्तव में शून्य है। बिंदुओं पर देखी गई बिल्कुल यही तस्वीर है।
इस प्रकार, हमारे पास किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को पूरी तरह से सटीक रूप से चित्रित करने का एक अद्भुत अवसर आया है। आख़िरकार गणितीय विश्लेषणआपको तर्क की वृद्धि को शून्य: तक निर्देशित करने की अनुमति देता है, अर्थात इसे बनाएं बहुत छोता.
नतीजतन, एक और तार्किक सवाल उठता है: क्या सड़क और उसके शेड्यूल का पता लगाना संभव है एक अन्य कार्य, कौन हमें बताएंगेसभी समतल खंडों, आरोहण, अवरोह, चोटियों, घाटियों के साथ-साथ रास्ते में प्रत्येक बिंदु पर वृद्धि/कमी की दर के बारे में?
व्युत्पन्न क्या है? व्युत्पन्न की परिभाषा.
व्युत्पन्न और विभेदक का ज्यामितीय अर्थ
कृपया ध्यान से पढ़ें और बहुत जल्दी नहीं - सामग्री सरल और सभी के लिए सुलभ है! यह ठीक है अगर कुछ स्थानों पर कुछ बहुत स्पष्ट नहीं लगता है, तो आप बाद में लेख पर वापस लौट सकते हैं। मैं और अधिक कहूंगा, सभी बिंदुओं को अच्छी तरह से समझने के लिए सिद्धांत का कई बार अध्ययन करना उपयोगी है (सलाह विशेष रूप से "तकनीकी" छात्रों के लिए प्रासंगिक है, जिनके लिए उच्च गणित शैक्षिक प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)।
स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा में हम इसे इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं:
हम क्या करने आये हैं? और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कार्य कानून के अनुसार होगा 
के अनुरूप रखा गया है अन्य कार्य, जिसे कहा जाता है व्युत्पन्न कार्य(या केवल व्युत्पन्न).
व्युत्पन्न विशेषताएँ परिवर्तन की दरकार्य कैसे? यह विचार लेख की शुरुआत से ही लाल धागे की तरह चलता है। आइए कुछ बिंदु पर विचार करें परिभाषा का क्षेत्रकार्य मान लीजिए कि फ़ंक्शन किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न हो सकता है। तब:
1) यदि, तो बिंदु पर फलन बढ़ता है। और जाहिर है वहाँ है मध्यान्तर(यहाँ तक कि बहुत छोटा भी), जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर तक" जाता है।
2) यदि, तो बिंदु पर फलन घट जाता है। और एक अंतराल होता है जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटता है (ग्राफ़ "ऊपर से नीचे" जाता है)।
3) यदि , तो असीम रूप से करीबएक बिंदु के निकट फ़ंक्शन अपनी गति स्थिर बनाए रखता है। ऐसा होता है, जैसा कि उल्लेख किया गया है, एक निरंतर कार्य के साथ और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, विशेष रूप से न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं पर.
थोड़ा शब्दार्थ। क्रिया "अंतर करना" का व्यापक अर्थ में क्या अर्थ है? अंतर करने का अर्थ है किसी विशेषता को उजागर करना। किसी फ़ंक्शन को विभेदित करके, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके परिवर्तन की दर को "पृथक" करते हैं। वैसे, "व्युत्पन्न" शब्द का क्या अर्थ है? समारोह घटितफ़ंक्शन से.
व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ से शब्दों की बहुत सफलतापूर्वक व्याख्या की जाती है
:
आइए समय और गति की गति के कार्य के आधार पर पिंड के निर्देशांक में परिवर्तन के नियम पर विचार करें शरीर दिया. फ़ंक्शन शरीर के समन्वय के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, इसलिए यह समय के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:। यदि "शरीर गति" की अवधारणा प्रकृति में मौजूद नहीं होती, तो अस्तित्व में नहीं होती यौगिक"शरीर की गति" की अवधारणा।
किसी पिंड का त्वरण गति परिवर्तन की दर है, इसलिए: 
. यदि "शरीर की गति" और "शरीर की गति" की प्रारंभिक अवधारणाएँ प्रकृति में मौजूद नहीं होतीं, तो उनका अस्तित्व ही नहीं होता यौगिक"शरीर त्वरण" की अवधारणा।
परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) को उसके अंदर बिंदु \(x_0\) वाले एक निश्चित अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को एक वृद्धि दें \(\Delta x \) ताकि यह इस अंतराल को न छोड़े। आइए फ़ंक्शन \(\Delta y \) की संगत वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाने पर) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\डेल्टा x) \). यदि इस अनुपात की कोई सीमा \(\Delta x \rightarrow 0\) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से संबंधित है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f(x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थइस प्रकार है। यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ पर भुज x=a वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है, जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f(a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है :
\(k = f"(a)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), तो समानता \(f"(a) = tan(a) \) सत्य है।
आइए अब अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) का एक विशिष्ट बिंदु \(x\) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x\). परिणामी अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मूल्य है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2\) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें.
फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. \(x\) का मान ठीक करें, \(f(x)\) खोजें
2. तर्क \(x\) को वृद्धि \(\Delta x\) दें, एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) ढूंढें
3. फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा बिंदु x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।
यदि किसी फ़ंक्शन y = f(x) का एक बिंदु x पर अवकलज है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f(x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).
आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M(x; f(x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और, याद रखें, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M पर, अर्थात फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर होना चाहिए।
ये "व्यावहारिक" तर्क थे। आइए हम और अधिक कठोर तर्क दें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) कायम रहती है। यदि इस समानता में \(\Delta x \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, फिर \(\Delta y \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है.
उलटा कथन सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "जंक्शन बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है, तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।
एक और उदाहरण. फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x)\) संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x = 0 भी शामिल है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात, यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x = 0 है। ऐसी सीधी रेखा में कोण गुणांक नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि \(f) "(0)\) मौजूद नहीं है.
तो, हम एक फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से कोई यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है कि यह अवकलनीय है?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।
विभेदीकरण के नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को निष्पादित करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को आसान बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
