की बढ़तीअंतराल \(X\) पर यदि किसी \(x_1, x_2\in X\) के लिए ऐसा हो कि \(x_1 फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है गैर घटते \(\blacktriangright\) फ़ंक्शन को \(f(x)\) कहा जाता है घटतेअंतराल \(X\) पर यदि किसी \(x_1, x_2\in X\) के लिए ऐसा हो कि \(x_1 फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है गैर बढ़तीअंतराल \(X\) पर यदि किसी \(x_1, x_2\in X\) के लिए ऐसा हो कि \(x_1 \(\blacktriangleright\) बढ़ते और घटते फलन कहलाते हैं सख्ती से नीरस, और न बढ़ने वाला और न घटने वाला बस है नीरस. \(\ब्लैकट्राएंगलराइट\) मूल गुण: मैं।यदि फ़ंक्शन \(f(x)\) पूरी तरह से \(X\) पर मोनोटोन है, तो समानता \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) से यह \(f( x_1)= f(x_2)\) , और इसके विपरीत। उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=\sqrt x\) सभी \(x\in \) के लिए सख्ती से बढ़ रहा है, इसलिए समीकरण \(x^2=9\) का इस अंतराल पर अधिकतम एक समाधान है, या बल्कि एक: \(x=-3\) . फ़ंक्शन \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) सभी \(x\in (-1;+\infty)\) के लिए सख्ती से बढ़ रहा है, इसलिए समीकरण \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) का इस अंतराल पर एक से अधिक समाधान नहीं है, या यूं कहें कि कोई भी नहीं, क्योंकि बायीं ओर का अंश कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता। तृतीय.यदि फ़ंक्शन \(f(x)\) खंड \(\) पर गैर-घटता (गैर-बढ़ता) और निरंतर है, और खंड के अंत में यह मान लेता है \(f(a)= A, f(b)=B\) , तो \(C\in \) (\(C\in \) ) के लिए समीकरण \(f(x)=C\) का हमेशा कम से कम एक समाधान होता है। उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^3\) सख्ती से बढ़ रहा है (अर्थात, सख्ती से मोनोटोन) और सभी \(x\in\mathbb(R)\) के लिए निरंतर है, इसलिए किसी भी \(C\) के लिए ( -\infty;+\infty)\) में समीकरण \(x^3=C\) का बिल्कुल एक ही समाधान है: \(x=\sqrt(C)\) । कार्य 1 #3153 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से आसान बिल्कुल दो जड़ें हैं. आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]फ़ंक्शन \(f(t)=t^3+t\) पर विचार करें। फिर समीकरण को इस रूप में फिर से लिखा जाएगा: \आइए फ़ंक्शन \(f(t)\) का अध्ययन करें। \ नतीजतन, फ़ंक्शन \(f(t)\) सभी \(t\) के लिए बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन \(f(t)\) का प्रत्येक मान तर्क \(t\) के बिल्कुल एक मान से मेल खाता है। इसलिए, समीकरण के मूल होने के लिए, यह आवश्यक है: \
परिणामी समीकरण के दो मूल होने के लिए, इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \
उत्तर: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\) कार्य 2 #2653 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण \
दो जड़ें हैं. (ग्राहकों से कार्य।) आइए एक प्रतिस्थापन करें: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . तब समीकरण इस प्रकार बनेगा: \
फ़ंक्शन \(f(w)=7^w+\sqrtw\) पर विचार करें। तब हमारा समीकरण यह रूप लेगा: \ आइए व्युत्पन्न खोजें \
ध्यान दें कि सभी \(w\ne 0\) के लिए व्युत्पन्न \(f"(w)>0\) है, क्योंकि \(7^w>0\) , \(w^6>0\) । यह भी ध्यान दें फ़ंक्शन \(f(w)\) स्वयं सभी \(w\) के लिए परिभाषित है। चूंकि, इसके अलावा, \(f(w)\) निरंतर है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि \(f (w)\) संपूर्ण \(\mathbb(R)\) पर वृद्धि होती है। \
इस समीकरण के दो मूल होने के लिए, इसे वर्गाकार होना चाहिए और इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
उत्तर: \((-\infty;1)\cup(1;2)\) कार्य 3 #3921 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर पैरामीटर \(a\) के सभी सकारात्मक मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण कम से कम \(2\) समाधान हैं। आइए \(ax\) वाले सभी पदों को बाईं ओर और \(x^2\) वाले सभी पदों को दाईं ओर ले जाएं, और फ़ंक्शन पर विचार करें तब मूल समीकरण यह रूप लेगा: आइए व्युत्पन्न खोजें: क्योंकि \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), फिर किसी भी \(t\in \mathbb(R)\) के लिए \(f"(t)\geqslant 0\) । इसके अलावा, \(f"(t)=0\) यदि \((t-2)^2=0\) और \(1+\cos(2t)=0\) एक ही समय में, जो सत्य नहीं है किसी भी \ (t\) के लिए। इसलिए, \(f"(t)> 0\) किसी भी \(t\in \mathbb(R)\) के लिए। इस प्रकार, फ़ंक्शन \(f(t)\) सभी \(t\in \mathbb(R)\) के लिए सख्ती से बढ़ रहा है। इसका मतलब है कि समीकरण \(f(ax)=f(x^2)\) समीकरण \(ax=x^2\) के बराबर है। \(a=0\) के लिए समीकरण \(x^2-ax=0\) का एक मूल \(x=0\) है, और \(a\ne 0\) के लिए इसके दो मूल हैं विभिन्न जड़ें\(x_1=0\) और \(x_2=a\) . उत्तर: \((0;+\infty)\). कार्य 4 #1232 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \
एक अनोखा समाधान है. आइए समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को \(2^(\sqrt(x+1))\) से गुणा करें (क्योंकि \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) और समीकरण को फिर से लिखें प्रपत्र में : \
फ़ंक्शन पर विचार करें \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) के लिए (चूंकि \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) )। यौगिक \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\). क्योंकि \(2^t>0, \\dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)सभी \(t\geqslant 0\) के लिए, फिर \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. नतीजतन, \(t\geqslant 0\) के रूप में फ़ंक्शन \(y\) नीरस रूप से घटता है। समीकरण को \(y(t)=y(z)\) के रूप में माना जा सकता है, जहां \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) । फ़ंक्शन की एकरसता से यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता केवल तभी संभव है जब \(t=z\) हो। इसका मतलब है कि समीकरण समीकरण के बराबर है: \(ax=\sqrt(x+1)\), जो बदले में सिस्टम के बराबर है: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\] जब \(a=0\) सिस्टम में एक समाधान \(x=-1\) होता है जो शर्त \(ax\geqslant 0\) को संतुष्ट करता है। मामले पर विचार करें \(a\ne 0\) . सभी \(a\) के लिए सिस्टम के पहले समीकरण \(D=1+4a^2>0\) का विवेचक। नतीजतन, समीकरण के हमेशा दो मूल \(x_1\) और \(x_2\) होते हैं, और वे अलग-अलग चिह्नों के होते हैं (क्योंकि विएटा के प्रमेय के अनुसार) \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). इसका मतलब यह है कि \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) स्थिति एक सकारात्मक मूल से संतुष्ट होती है। इसलिए, सिस्टम के पास हमेशा एक अनूठा समाधान होता है। तो, \(a\in \mathbb(R)\) । उत्तर: \(a\in \mathbb(R)\) . कार्य 5 #1234 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \
खंड \([-1;0]\) से कम से कम एक जड़ है। फ़ंक्शन पर विचार करें \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)कुछ निश्चित \(a\) के लिए। आइए इसका व्युत्पन्न खोजें: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). ध्यान दें कि \(x\) और \(a\) के सभी मानों के लिए \(f"(x)\geqslant 0\), और केवल \(x=a=1 के लिए \(0\) के बराबर है \). लेकिन \(a=1\) के लिए: इसका मतलब यह है कि सभी \(a\ne 1\) के लिए फ़ंक्शन \(f(x)\) सख्ती से बढ़ रहा है, इसलिए, समीकरण \(f(x)=0\) में एक से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं। क्यूबिक फ़ंक्शन के गुणों को ध्यान में रखते हुए, कुछ निश्चित \(a\) के लिए \(f(x)\) का ग्राफ इस तरह दिखेगा: इसका मतलब यह है कि समीकरण का मूल खंड \([-1;0]\) से होने के लिए यह आवश्यक है: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(केस) \राइटएरो \begin(केस) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \राइटएरो -2\leqslant a\leqslant 0\] इस प्रकार, \(a\in [-2;0]\) । उत्तर: \(a\in [-2;0]\) . कार्य 6 #2949 कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] जड़ें हैं. (ग्राहकों से कार्य) ODZ समीकरण: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). इसलिए, किसी समीकरण के मूल होने के लिए, कम से कम एक समीकरण का होना आवश्यक है \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ पर निर्णय हुए। 1) पहले समीकरण पर विचार करें \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\दाएं। \quad\बाएँदाएँ तीर\quad \sin x=2a+2\]इस समीकरण के मूल \(\) में होने चाहिए। एक वृत्त पर विचार करें: इस प्रकार, हम देखते हैं कि किसी भी \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) के लिए समीकरण का एक समाधान होगा, और अन्य सभी के लिए इसका कोई समाधान नहीं होगा। इसलिए, जब \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)समीकरण के समाधान हैं. 2) दूसरे समीकरण पर विचार करें \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] फ़ंक्शन \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) पर विचार करें। आइए इसका व्युत्पन्न खोजें: \
ODZ पर, व्युत्पन्न में एक शून्य है: \(x=\frac34\) , जो फ़ंक्शन \(f(x)\) का अधिकतम बिंदु भी है। इसलिए, समीकरण के समाधान के लिए, यह आवश्यक है कि ग्राफ़ \(f(x)\) सीधी रेखा \(y=-a\) के साथ प्रतिच्छेद करे (चित्र उपयुक्त विकल्पों में से एक दिखाता है)। यानी कि ये जरूरी है \
. इनके लिए \(x\) : फ़ंक्शन \(y_1=\sqrt(x-1)\) सख्ती से बढ़ रहा है। फ़ंक्शन का ग्राफ \(y_2=5x^2-9x\) एक परवलय है, जिसका शीर्ष बिंदु \(x=\dfrac(9)(10)\) पर है। नतीजतन, सभी \(x\geqslant 1\) के लिए, फ़ंक्शन \(y_2\) भी सख्ती से बढ़ रहा है (परवलय की दाहिनी शाखा)। क्योंकि सख्ती से बढ़ते कार्यों का योग सख्ती से बढ़ रहा है, तो \(f_a(x)\) सख्ती से बढ़ रहा है (स्थिरांक \(3a+8\) फ़ंक्शन की एकरसता को प्रभावित नहीं करता है)। सभी \(x\geqslant 1\) के लिए फ़ंक्शन \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है और सख्ती से घट रहा है। समीकरण \(f_a(x)=g_a(x)\) को हल करने का अर्थ है फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढना। उनकी विपरीत एकरसता से यह निष्कर्ष निकलता है कि समीकरण का अधिकतम एक ही मूल हो सकता है। जब \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\कप उत्तर: \(a\in (-\infty;-1]\कप ,
इस खंड पर सीमित; · बढ़ते (घटते) कार्यों का योग एक बढ़ता हुआ (घटता हुआ) कार्य है; · यदि कार्य एफबढ़ता है (घटता है) और एन– एक विषम संख्या, यह बढ़ती (घटती) भी है; · अगर f"(x)>0सभी के लिए एक्सओ(ए,बी),फिर फ़ंक्शन y=f(x)अंतराल पर बढ़ रहा है (ए,बी); · अगर च"(x)<0
सभी के लिए एक्सओ(ए,बी),फिर फ़ंक्शन y=f(x)अंतराल पर घट रहा है (ए,बी); · अगर एफ(एक्स) –सेट पर निरंतर और मोनोटोनिक फ़ंक्शन एक्स, फिर समीकरण एफ(एक्स)=सी, कहाँ साथ- यह स्थिरांक हो सकता है एक्सएक से अधिक समाधान नहीं; · यदि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र पर f(x)=g(x)समारोह एफ(एक्स)बढ़ता है, और कार्य जी(एक्स)घटता है, तो समीकरण के एक से अधिक हल नहीं हो सकते। प्रमेय. (किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए पर्याप्त शर्त)। यदि खंड पर निरंतर है [ ए, बी] समारोह वाई = एफ(एक्स) अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर ( ए, बी) का एक धनात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है, तो यह फलन खंड पर बढ़ता (घटता) है [ ए, बी]. सबूत। मान लीजिए सभी के लिए >0 है xО(ए,बी).
दो मनमाना मान x 2 पर विचार करें > एक्स 1 ,से संबंधित [ ए, बी]. लैग्रेंज के सूत्र के अनुसार एक्स 1<с < х 2
.
(साथ) > 0
और एक्स 2 – एक्स 1 > 0,
इसलिए > 0,
जहाँ से > , अर्थात्, फलन f(x) अंतराल पर बढ़ता है [ ए, बी]. प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है। प्रमेय 3. (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत)। यदि फ़ंक्शन बिंदु c पर अवकलनीय है पर=एफ(एक्स) इस बिंदु पर एक चरम है, तो। सबूत। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर= एफ(एक्स) का बिंदु c पर अधिकतम है। इसका मतलब यह है कि बिंदु c का एक छिद्रित पड़ोस है जैसे कि सभी बिंदुओं के लिए एक्सयह पड़ोस संतुष्ट है एफ(एक्स) < f
(सी),
वह है एफ(सी) इस पड़ोस में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। फिर फ़र्मेट के प्रमेय द्वारा। बिंदु c पर न्यूनतम का मामला इसी प्रकार सिद्ध होता है। टिप्पणी। किसी फ़ंक्शन का एक चरम उस बिंदु पर हो सकता है जिस पर उसका व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु x पर होता है =
0, हालाँकि यह अस्तित्व में नहीं है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है, फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु कहलाते हैं। हालाँकि, फ़ंक्शन में सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर चरम सीमा नहीं होती है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x 3इसका कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है, हालाँकि यह व्युत्पन्न है
=0. प्रमेय 4. (एक चरम के अस्तित्व का पर्याप्त संकेत)। अगर सतत कार्य वाई = एफ(एक्स) एक निश्चित अंतराल के सभी बिंदुओं पर एक व्युत्पन्न होता है जिसमें महत्वपूर्ण बिंदु सी होता है (शायद, इस बिंदु को छोड़कर), और यदि व्युत्पन्न, जब तर्क महत्वपूर्ण बिंदु सी के माध्यम से बाएं से दाएं गुजरता है, तो प्लस से संकेत बदलता है माइनस में, तब बिंदु C पर फ़ंक्शन अधिकतम होता है, और जब साइन माइनस से प्लस में बदलता है, तो न्यूनतम होता है। सबूत। मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण बिंदु है और उदाहरण के लिए, जब तर्क बिंदु c से होकर गुजरता है तो चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है। इसका मतलब है कि कुछ अंतराल पर (सी-ई; सी)फलन बढ़ता है, और अंतराल पर (सी; सी+ई)– घट जाती है (पर इ>0). इसलिए, बिंदु c पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है। न्यूनतम का मामला इसी प्रकार सिद्ध होता है। टिप्पणी। यदि तर्क के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन में कोई चरम सीमा नहीं होती है। चूंकि कई चर के एक फ़ंक्शन के लिए सीमा और निरंतरता की परिभाषाएं व्यावहारिक रूप से एक चर के एक फ़ंक्शन के लिए संबंधित परिभाषाओं के साथ मेल खाती हैं, तो कई चर के कार्यों के लिए सीमाओं और निरंतर कार्यों के सभी गुण संरक्षित हैं ©2015-2019 साइट एक मोनोटोन फ़ंक्शन की सीमा पर प्रमेय। प्रमेय का प्रमाण दो विधियों का उपयोग करके दिया गया है। कड़ाई से बढ़ने, न घटने, सख्ती से घटने और न बढ़ने वाले कार्यों की परिभाषाएँ भी दी गई हैं। एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की परिभाषा। बढ़ते और घटते कार्यों की परिभाषाएँ इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सख्ती से बढ़ने वाला फलन भी घटता नहीं है। सख्ती से घटने वाला फलन भी गैर-बढ़ने वाला होता है। एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की परिभाषा एक निश्चित सेट यदि , तो फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है; यदि, तो फलन कम नहीं होता; यदि , तो सख्ती से घट जाती है; यदि , तो यह नहीं बढ़ता है। यदि किसी निश्चित सेट पर फ़ंक्शन सकारात्मक है:, तो एकरसता निर्धारित करने के लिए, आप इस सेट के दो मनमाने बिंदुओं पर इसके मानों को विभाजित करने के भागफल का अध्ययन कर सकते हैं। यदि , तो फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है; यदि, तो फलन कम नहीं होता; यदि , तो सख्ती से घट जाती है; यदि , तो यह नहीं बढ़ता है। प्रमेय यदि बिंदु ए और बी अनंत पर हैं, तो अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न का मतलब है कि। मान लीजिए फलन f (एक्स)अंतराल पर घटता नहीं है (ए, बी), कहाँ । फिर बिंदु ए और बी पर एकतरफा सीमाएं हैं: गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय। जिस अंतराल पर फलन न बढ़े। फिर एकतरफ़ा सीमाएँ हैं: परिणाम चूँकि फलन घटता नहीं है, तो जब . तब 1. अंतराल पर फलन कम न हो। चलो निरूपित करें. फिर किसी के लिए भी है, तो 1. अंतराल पर फलन कम न हो। चूँकि फलन ऊपर परिबद्ध है, एक परिमित सर्वोच्च है चूँकि फलन घटता नहीं है, तो जब . तो फिर । या तो, हमने पाया कि किसी के लिए भी एक संख्या होती है 1. अंतराल पर फलन कम न हो। चूँकि फ़ंक्शन ऊपर परिबद्ध नहीं है, तो किसी भी संख्या M के लिए एक तर्क है चूँकि फलन घटता नहीं है, तो जब . तो फिर । तो किसी के लिए एक संख्या है, तो अब उस मामले पर विचार करें जब फ़ंक्शन नहीं बढ़ता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, आप प्रत्येक विकल्प पर अलग से विचार कर सकते हैं। लेकिन हम उन्हें तुरंत कवर कर लेंगे। इसके लिए हम उपयोग करते हैं। आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है। फ़ंक्शन मानों के सेट के सीमित न्यूनतम पर विचार करें: चूँकि फलन नहीं बढ़ता, तो जब . के बाद से तो, हमने पाया कि बिंदु के किसी भी पड़ोस के लिए, बिंदु बी का एक छिद्रित बायां पड़ोस है जैसे कि अब हम दिखाएंगे कि बिंदु a पर एक सीमा है और इसका मान ज्ञात करेंगे। आइए फ़ंक्शन पर विचार करें. प्रमेय की शर्तों के अनुसार, फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। आइए वेरिएबल x को - x से बदलें (या एक प्रतिस्थापन करें और फिर वेरिएबल t को x से बदलें)। तब फ़ंक्शन के लिए मोनोटोनिक है। असमानताओं को गुणा करना -1
और उनके क्रम को बदलते हुए हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि फ़ंक्शन एकरस है। इसी प्रकार यह दर्शाना भी आसान है कि यदि यह घटता नहीं है तो बढ़ता भी नहीं है। फिर, जो ऊपर सिद्ध हुआ उसके अनुसार, एक सीमा है अब यह दिखाना बाकी है कि यदि किसी फ़ंक्शन की एक सीमा है, तो फ़ंक्शन की एक सीमा है, और ये सीमाएँ बराबर हैं: आइए हम संकेतन का परिचय दें: मान लीजिए a एक परिमित संख्या है। आइए असमानताओं का उपयोग करके बिंदु-ए के बाएं छिद्रित पड़ोस को व्यक्त करें: माना कि a एक अनंत संख्या है। हम तर्क दोहराते हैं. तो, हमने पाया कि किसी के लिए भी ऐसा कुछ है प्रमेय सिद्ध हो चुका है। अतिरिक्त सामग्री 1सी से ग्रेड 10 के लिए इंटीग्रल ऑनलाइन स्टोर में मैनुअल और सिमुलेटर
हम क्या अध्ययन करेंगे: दोस्तों, पहले हमने बहुत कुछ देखा विभिन्न कार्यऔर उनके ग्राफ बनाए। आइए अब नए नियम पेश करें जो उन सभी कार्यों के लिए काम करते हैं जिन पर हमने विचार किया है और विचार करना जारी रखेंगे। एक फ़ंक्शन एक पत्राचार y= f(x) है, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से जुड़ा होता है। आइए कुछ फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें: हमारा ग्राफ़ दिखाता है: जितना बड़ा x, उतना छोटा y। तो आइए घटते हुए फ़ंक्शन को परिभाषित करें। किसी फ़ंक्शन को घटता हुआ कहा जाता है यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता हो। यदि x2 > x1, तो f(x2) अब इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें: यदि कोई फलन एक निश्चित अंतराल में बढ़ता या घटता है तो उसे कहा जाता है इस अंतराल पर यह एकरस है. यदि आप हमारी स्पर्शरेखाओं को देखते हैं या किसी अन्य स्पर्शरेखा को दृष्टिगत रूप से खींचते हैं, तो आप देखेंगे कि स्पर्शरेखा और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण न्यून कोण होगा। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा का ढलान सकारात्मक है। स्पर्शरेखा ढलान मूल्य के बराबरस्पर्शरेखा बिंदु के भुज में व्युत्पन्न। इस प्रकार, हमारे ग्राफ़ के सभी बिंदुओं पर व्युत्पन्न का मान सकारात्मक है। एक बढ़ते फलन के लिए, निम्नलिखित असमानता कायम है: f"(x) ≥ 0, किसी भी बिंदु x के लिए। दोस्तों, अब आइए कुछ घटते हुए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखाएँ बनाएँ। आइए स्पर्शरेखाओं को देखें और दृष्टिगत रूप से कोई अन्य स्पर्शरेखा बनाएं। हम देखेंगे कि स्पर्शरेखा और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण अधिक है, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा का ढलान नकारात्मक है। इस प्रकार, हमारे ग्राफ़ के सभी बिंदुओं पर व्युत्पन्न का मान नकारात्मक है। घटते फलन के लिए, निम्नलिखित असमानता कायम है: f"(x) ≤ 0, किसी भी बिंदु x के लिए। तो, किसी फ़ंक्शन की एकरसता व्युत्पन्न के संकेत पर निर्भर करती है: यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल पर बढ़ता है और इस अंतराल पर उसका व्युत्पन्न है, तो यह व्युत्पन्न नकारात्मक नहीं होगा। यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल पर घटता है और इस अंतराल पर एक व्युत्पन्न है, तो यह व्युत्पन्न सकारात्मक नहीं होगा। महत्वपूर्ण, ताकि जिन अंतरालों पर हम फ़ंक्शन पर विचार करते हैं वे खुले रहें! प्रमेय 1. यदि असमानता f'(x) ≥ 0 एक खुले अंतराल फलन y= f(x) अंतराल X पर बढ़ता है। प्रमेय 2. यदि असमानता f'(x) ≤ 0 एक खुले अंतराल फलन y= f(x) अंतराल X पर घटता है। प्रमेय 3. यदि खुले अंतराल X के सभी बिंदुओं पर समानता है 1) सिद्ध करें कि फलन y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 संपूर्ण संख्या रेखा पर बढ़ रहा है। समाधान: आइए हमारे फलन का अवकलज ज्ञात करें: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. चूँकि x पर घात सम है, तो ऊर्जा समीकरणकेवल सकारात्मक मान लेता है। फिर किसी भी x के लिए y" > 0, जिसका अर्थ है कि प्रमेय 1 के अनुसार, हमारा कार्य संपूर्ण संख्या रेखा पर बढ़ता है। 2) सिद्ध करें कि फलन घट रहा है: y=sin(2x) - 3x। आइए हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y"= 2cos(2x) - 3. 3) फ़ंक्शन की एकरसता की जांच करें: y= x 2 + 3x - 1. समाधान: आइए हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढें: y"= 2x + 3. 4) फ़ंक्शन की एकरसता की जांच करें: y= $\sqrt(3x - 1)$। समाधान: आइए हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढें: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$। हमारी असमानता शून्य से अधिक या उसके बराबर है: $\sqrt(3x-1)$ ≤ 0, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरम सीमा का पता लगाना एक स्वतंत्र कार्य और विशेष रूप से अन्य कार्यों का एक अनिवार्य हिस्सा है। पूर्ण कार्य अध्ययन. फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरमता के बारे में प्रारंभिक जानकारी दी गई है व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक अध्याय, जिसकी मैं प्रारंभिक अध्ययन के लिए अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ (या पुनरावृत्ति)- इस कारण से भी कि निम्नलिखित सामग्री इसी पर आधारित है मूलतः व्युत्पन्न,इस लेख की सामंजस्यपूर्ण निरंतरता होना। हालाँकि, यदि समय कम है, तो आज के पाठ से उदाहरणों का विशुद्ध रूप से औपचारिक अभ्यास भी संभव है। और आज हवा में दुर्लभ सर्वसम्मति की भावना है, और मैं प्रत्यक्ष रूप से महसूस कर सकता हूं कि उपस्थित हर कोई इच्छा से जल रहा है किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके एक्सप्लोर करना सीखें. इसलिए, उचित, अच्छी, शाश्वत शब्दावली तुरंत आपके मॉनिटर स्क्रीन पर दिखाई देती है। किस लिए? इनमें से एक कारण सबसे व्यावहारिक है: ताकि यह स्पष्ट हो कि किसी विशेष कार्य में आम तौर पर आपसे क्या अपेक्षित है! आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें. सीधे शब्दों में कहें तो हम यह मान लेते हैं कि वह निरंतरसंपूर्ण संख्या रेखा पर: बस मामले में, आइए तुरंत संभावित भ्रम से छुटकारा पाएं, खासकर उन पाठकों के लिए जो हाल ही में इससे परिचित हुए हैं फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल. अब हम दिलचस्पी नहीं है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित है (ऊपर, नीचे, जहां अक्ष प्रतिच्छेद करता है)। आश्वस्त होने के लिए, मानसिक रूप से अक्षों को मिटा दें और एक ग्राफ छोड़ दें। क्योंकि यहीं रुचि निहित है। समारोह बढ़ती हैकिसी अंतराल पर यदि संबंध से जुड़े इस अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर" तक जाता है। प्रदर्शन समारोह अंतराल के साथ बढ़ता है। इसी प्रकार, समारोह कम हो जाती हैकिसी अंतराल पर यदि किसी दिए गए अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "ऊपर से नीचे" तक जाता है। हमारा कार्य अंतराल पर घटता जाता है यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में बढ़ता या घटता है, तो उसे कहा जाता है सख्ती से नीरसइस अंतराल पर. एकरसता क्या है? इसे शाब्दिक रूप से लें - एकरसता। आप भी परिभाषित कर सकते हैं गैर घटतेफ़ंक्शन (पहली परिभाषा में आराम की स्थिति) और गैर बढ़तीफ़ंक्शन (दूसरी परिभाषा में नरम स्थिति)। किसी अंतराल पर न घटने वाला या न बढ़ने वाला फलन किसी दिए गए अंतराल पर एक मोनोटोनिक फलन कहलाता है (सख्त एकरसता - विशेष मामला"सिर्फ" एकरसता). सिद्धांत किसी फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी को निर्धारित करने के लिए अन्य दृष्टिकोणों पर भी विचार करता है, जिसमें अर्ध-अंतराल, खंड शामिल हैं, लेकिन आपके सिर पर तेल-तेल-तेल न डालने के लिए, हम स्पष्ट परिभाषाओं के साथ खुले अंतराल के साथ काम करने के लिए सहमत होंगे। - यह स्पष्ट है, और कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है। इस प्रकार, मेरे लेखों में "फ़ंक्शन की एकरसता" शब्द लगभग हमेशा छिपा रहेगा अंतराल सख्त एकरसता
(सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा कार्य)। एक बिंदु का पड़ोस. ऐसे शब्द जिनके बाद छात्र जहां भी भाग सकते हैं भाग जाते हैं और डर के मारे कोनों में छिप जाते हैं। ...हालांकि पोस्ट के बाद कॉची सीमाएँवे शायद अब छिप नहीं रहे हैं, लेकिन बस थोड़ा-सा कांप रहे हैं =) चिंता न करें, अब प्रमेयों का कोई प्रमाण नहीं होगा गणितीय विश्लेषण- मुझे परिभाषाओं को और अधिक सख्ती से तैयार करने के लिए परिवेश की आवश्यकता थी चरम बिंदु. चलो याद करते हैं: एक बिंदु का पड़ोसउस अंतराल को कहा जाता है जिसमें शामिल है इस बिंदु, जबकि सुविधा के लिए अंतराल को अक्सर सममित माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु और उसका मानक पड़ोस: बिंदु कहा जाता है सख्त अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। हमारे विशिष्ट उदाहरण में, यह एक बिंदु है। बिंदु कहा जाता है सख्त न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। चित्र में बिंदु "ए" है। टिप्पणी
: पड़ोस समरूपता की आवश्यकता बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, यह महत्वपूर्ण है अस्तित्व का वास्तविक तथ्यपड़ोस (चाहे छोटा हो या सूक्ष्म) जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता हो बिन्दु कहलाते हैं सख्ती से चरम बिंदुया केवल चरम बिंदुकार्य. अर्थात्, यह अधिकतम अंक और न्यूनतम अंक के लिए एक सामान्यीकृत शब्द है। हम "चरम" शब्द को कैसे समझते हैं? हाँ, बिल्कुल सीधे तौर पर एकरसता की तरह। रोलर कोस्टर के चरम बिंदु. जैसा कि एकरसता के मामले में, ढीले अभिधारणाएँ मौजूद हैं और सिद्धांत में और भी अधिक सामान्य हैं (निश्चित रूप से, जिन सख्त मामलों पर विचार किया गया है वे इसके अंतर्गत आते हैं!): बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिए ध्यान दें कि पिछली दो परिभाषाओं के अनुसार, एक स्थिर फ़ंक्शन के किसी भी बिंदु (या किसी फ़ंक्शन का "फ्लैट सेक्शन") को अधिकतम और न्यूनतम दोनों बिंदु माना जाता है! वैसे, फ़ंक्शन गैर-बढ़ने वाला और गैर-घटने वाला, यानी मोनोटोनिक दोनों है। हालाँकि, हम इन विचारों को सिद्धांतकारों पर छोड़ देंगे, क्योंकि व्यवहार में हम लगभग हमेशा एक अद्वितीय "पहाड़ी के राजा" या "दलदल की राजकुमारी" के साथ पारंपरिक "पहाड़ियों" और "खोखले" (चित्र देखें) पर विचार करते हैं। एक किस्म के रूप में, यह होता है बख्शीश, ऊपर या नीचे निर्देशित, उदाहरण के लिए, बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम। ओह, और रॉयल्टी की बात हो रही है: साधारण नाम – चरमकार्य. कृपया अपने शब्दों से सावधान रहें! चरम बिंदु- ये "X" मान हैं। ! टिप्पणी
: कभी-कभी सूचीबद्ध शब्द "XY" बिंदुओं को संदर्भित करते हैं जो सीधे फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं। एक कार्य के कितने चरम हो सकते हैं? कोई नहीं, 1, 2, 3, ... आदि। अनंत की ओर। उदाहरण के लिए, साइन में अनंत रूप से कई मिनिमा और मैक्सिमा होते हैं। महत्वपूर्ण!शब्द "अधिकतम कार्य" समान नहींशब्द "किसी फ़ंक्शन का अधिकतम मान"। यह नोटिस करना आसान है कि मूल्य केवल स्थानीय पड़ोस में अधिकतम है, और शीर्ष बाईं ओर "कूलर कॉमरेड" हैं। इसी तरह, "फ़ंक्शन का न्यूनतम" "फ़ंक्शन का न्यूनतम मान" के समान नहीं है, और ड्राइंग में हम देखते हैं कि मान केवल एक निश्चित क्षेत्र में न्यूनतम है। इस संबंध में, चरम बिंदुओं को भी कहा जाता है स्थानीय चरम बिंदु, और चरम - स्थानीय चरम
. वे चलते हैं और आस-पास घूमते हैं और वैश्विकभाइयों तो, कोई भी परवलय अपने शीर्ष पर होता है वैश्विक न्यूनतमया वैश्विक अधिकतम. इसके अलावा, मैं चरम के प्रकारों के बीच अंतर नहीं करूंगा, और स्पष्टीकरण सामान्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए अधिक व्यक्त किया गया है - अतिरिक्त विशेषण "स्थानीय"/"वैश्विक" आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। आइए एक परीक्षण शॉट के साथ सिद्धांत में हमारे संक्षिप्त भ्रमण को संक्षेप में प्रस्तुत करें: कार्य "फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल और चरम बिंदुओं को ढूंढें" का क्या अर्थ है? शब्दांकन आपको खोजने के लिए प्रोत्साहित करता है: - बढ़ते/घटते कार्य के अंतराल (गैर-घटते, गैर-बढ़ते बहुत कम बार दिखाई देते हैं); - अधिकतम और/या न्यूनतम अंक (यदि कोई हो)। खैर, विफलता से बचने के लिए, न्यूनतम/अधिकतम स्वयं खोजना बेहतर है ;-) यह सब कैसे निर्धारित करें?व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करना! वास्तव में, कई नियम पहले से ही ज्ञात और समझे जाते हैं व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में पाठ. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न कोटैंजेंट और उसके व्युत्पन्न के साथ अंतराल के साथ आर्क्साइन बढ़ता है - यहां व्युत्पन्न सकारात्मक है: मुझे लगता है कि आर्क कोसाइन और उसके व्युत्पन्न के लिए समान तर्क देना आपके लिए बहुत मुश्किल नहीं होगा। उपरोक्त सभी मामले, जिनमें से कई हैं सारणीबद्ध व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिलाता हूं, सीधे अनुसरण करें व्युत्पन्न परिभाषाएँ. यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है: जहां यह "नीचे से ऊपर" जाता है, जहां "ऊपर से नीचे", जहां यह न्यूनतम और अधिकतम तक पहुंचता है (यदि यह बिल्कुल पहुंचता है)। सभी फ़ंक्शन इतने सरल नहीं होते - अधिकांश मामलों में हमें किसी विशेष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में बिल्कुल भी पता नहीं होता है। अब अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ने और विचार करने का समय आ गया है किसी फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजने के लिए एल्गोरिदम: उदाहरण 1 फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी और चरम सीमा के अंतराल ज्ञात करें समाधान: 1) पहला कदम खोजना है किसी फ़ंक्शन का डोमेन, और ब्रेक पॉइंट्स (यदि वे मौजूद हैं) पर भी ध्यान दें। में इस मामले मेंफ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, और यह क्रिया कुछ हद तक औपचारिक है। लेकिन कई मामलों में, यहां गंभीर भावनाएं भड़क उठती हैं, तो आइए इस पैराग्राफ को बिना किसी तिरस्कार के देखें। 2) एल्गोरिथम का दूसरा बिंदु किसके कारण है यदि किसी बिंदु पर चरम सीमा है, तो या तो मान मौजूद नहीं है. अंत से भ्रमित हैं? "मापांक x" फ़ंक्शन का चरम .
शर्त तो जरूरी है, लेकिन पर्याप्त नहीं, और इसका विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है। इसलिए, समानता से यह अभी तक नहीं निकला है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम तक पहुंचता है। एक क्लासिक उदाहरण पहले ही ऊपर हाइलाइट किया जा चुका है - यह एक घन परवलय और इसका महत्वपूर्ण बिंदु है। लेकिन जैसा भी हो, आवश्यक शर्तचरम सीमा संदिग्ध बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता तय करती है। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें और समीकरण हल करें: पहले लेख की शुरुआत में फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे मेंमैंने आपको एक उदाहरण का उपयोग करके शीघ्रता से एक परवलय बनाने का तरीका बताया था उदाहरण 2 फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजें के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में कार्य का एक अनुमानित अंतिम नमूना। भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के साथ बैठक का लंबे समय से प्रतीक्षित क्षण आ गया है: उदाहरण 3 पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण करें इस बात पर ध्यान दें कि एक ही कार्य को कितने परिवर्तनीय ढंग से दोबारा तैयार किया जा सकता है। समाधान: 1) फ़ंक्शन को बिंदुओं पर अनंत असंततता का सामना करना पड़ता है। 2) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाते हैं। आइए पहला व्युत्पन्न ढूंढें और इसे शून्य के बराबर करें: आइए समीकरण हल करें. एक भिन्न तब शून्य होती है जब उसका अंश शून्य हो: इस प्रकार, हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं: 3) हम सभी ज्ञात बिंदुओं को संख्या रेखा पर आलेखित करते हैं अंतराल विधिहम व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं: जैसा कि आप समझते हैं, कार्रवाई छह अंतरालों में से प्रत्येक के लिए की जानी चाहिए। वैसे, ध्यान दें कि किसी भी अंतराल में किसी भी बिंदु के लिए अंश कारक और हर सख्ती से सकारात्मक होते हैं, जो कार्य को बहुत सरल बनाता है। तो, व्युत्पन्न ने हमें बताया कि फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: इस बारे में सोचें कि आपको दूसरे मान की पुनर्गणना क्यों नहीं करनी पड़ती ;-) किसी बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए फ़ंक्शन का वहां कोई चरम नहीं होता है - यह दोनों घटता है और घटता रहता है। ! आइए दोहराएँ महत्वपूर्ण बिंदु
: बिंदुओं को महत्वपूर्ण नहीं माना जाता - उनमें एक फ़ंक्शन होता है निर्धारित नहीं है. तदनुसार, यहाँ सिद्धांततः कोई अति नहीं हो सकती(भले ही व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाए)। उत्तर: फ़ंक्शन बढ़ता है एकरसता अंतराल और एक्स्ट्रेमा का ज्ञान, स्थापित के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुखपहले से ही इसका बहुत अच्छा विचार देता है उपस्थितिफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स. औसत प्रशिक्षण वाला व्यक्ति मौखिक रूप से यह निर्धारित करने में सक्षम होता है कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो लंबवत अनंतस्पर्शी और एक तिरछा अनंतस्पर्शी होता है। यहाँ हमारा हीरो है: उदाहरण 4 फलन का चरम ज्ञात कीजिए उदाहरण 5 फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल, मैक्सिमा और मिनिमा खोजें ...आज यह लगभग किसी प्रकार की "एक्स इन ए क्यूब" छुट्टी जैसा है.... प्रत्येक कार्य की अपनी महत्वपूर्ण बारीकियाँ और तकनीकी सूक्ष्मताएँ होती हैं, जिन पर पाठ के अंत में टिप्पणी की जाती है।
इसका मतलब यह है कि समानता \(f(t)=f(u)\) तभी संभव है जब \(t=u\) हो। आइए मूल चर पर वापस लौटें और परिणामी समीकरण को हल करें:
\
\
\
हमें \(a\) के मान खोजने की आवश्यकता है जिस पर समीकरण में कम से कम दो जड़ें होंगी, इस तथ्य को भी ध्यान में रखते हुए कि \(a>0\) ।
इसलिए, उत्तर है: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \राइटएरो f(x)=2(x-1)^3 \राइटएरो\)समीकरण \(2(x-1)^3=0\) का एक ही मूल \(x=1\) है जो शर्त को पूरा नहीं करता है। इसलिए, \(a\) \(1\) के बराबर नहीं हो सकता।
ध्यान दें कि \(f(0)=f(1)=0\) . तो, योजनाबद्ध रूप से ग्राफ \(f(x)\) इस तरह दिखता है: 
सभी अधिकार उनके लेखकों के हैं। यह साइट लेखकत्व का दावा नहीं करती, बल्कि प्रदान करती है निःशुल्क उपयोग.
पेज निर्माण दिनांक: 2016-02-12परिभाषाएं
मान लीजिए फलन f (एक्स)वास्तविक संख्याओं X के कुछ सेट पर परिभाषित किया गया है।
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सख्ती से बढ़ रहा है (सख्ती से घट रहा है), यदि सभी x', x'' के लिए ∈ एक्सऐसा कि x'< x′′
выполняется неравенство:
एफ (एक्स')< f(x′′)
( एफ (x′) > f(x′′) )
.
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है न घटने वाला (न बढ़ने वाला), यदि सभी x', x'' के लिए ∈ एक्सऐसा कि x'< x′′
выполняется неравенство:
एफ (x′) ≤ f(x′′)( एफ (x′) ≥ f(x′′) )
.
फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरस, यदि यह घटता नहीं है या बढ़ता नहीं है।
मान लीजिए फलन f (एक्स)अंतराल पर घटता नहीं है (ए, बी), कहाँ ।
यदि यह ऊपर संख्या M: से घिरा है, तो बिंदु b: पर एक सीमित बाईं सीमा है। यदि एफ (एक्स)फिर, ऊपर से सीमित नहीं है।
यदि एफ (एक्स)नीचे संख्या m : से घिरा है, तो बिंदु a: पर एक सीमित दाएँ सीमा है। यदि एफ (एक्स)तो फिर, नीचे सीमाबद्ध नहीं है।
इस प्रमेय को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है।
;
.
;
.
अंतराल पर फ़ंक्शन को मोनोटोनिक होने दें। फिर इस अंतराल से किसी भी बिंदु पर, फ़ंक्शन की एक तरफा सीमित सीमाएँ होती हैं:
और ।प्रमेय का प्रमाण
कार्य कम नहीं हो रहा है
बी - अंतिम संख्या
कार्य ऊपर से सीमित है
1.1.1. मान लीजिए कि फ़ंक्शन ऊपर से संख्या M: से घिरा हुआ है।
.
;
.
पर ।
आइए अंतिम असमानता को बदलें:
;
;
.
क्योंकि तब । तब
पर ।
पर ।
"अंतिम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की एकतरफ़ा सीमाओं की परिभाषाएँ")।कार्य ऊपर से सीमित नहीं है
1.1. माना संख्या b परिमित है: .
1.1.2. फ़ंक्शन को ऊपर सीमित न होने दें.
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
.
पर ।
पर ।
इसका मतलब यह है कि बिंदु बी पर बाईं ओर की सीमा है (देखें "अंत बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की एक तरफा अनंत सीमाओं की परिभाषा")।बी प्रारंभिक प्लस अनंत
कार्य ऊपर से सीमित है
1.2.1. मान लीजिए कि फ़ंक्शन ऊपर से संख्या M: से घिरा हुआ है।
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
.
सटीक ऊपरी सीमा की परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित शर्तें:
;
किसी भी सकारात्मक के लिए एक तर्क है
.
पर ।
पर ।
"अनंत पर एकतरफ़ा सीमाओं की परिभाषाएँ")।कार्य ऊपर से सीमित नहीं है
1.2. मान लीजिए कि संख्या b प्लस इनफिनिटी के बराबर है:।
1.2.2. फ़ंक्शन को ऊपर सीमित न होने दें.
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
.
पर ।
इसका मतलब यह है कि सीमा बराबर है (देखें "अनंत पर एक तरफा अनंत सीमाओं की परिभाषा")।कार्य नहीं बढ़ रहा है
.
यहां B या तो एक सीमित संख्या हो सकता है या अनंत पर एक बिंदु हो सकता है। सटीक निचली सीमा की परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
;
बिंदु B के किसी भी पड़ोस के लिए एक तर्क है
.
प्रमेय की शर्तों के अनुसार,. इसीलिए ।
पर ।
या
पर ।
इसके बाद, हम ध्यान दें कि असमानता बिंदु बी के बाएं छिद्रित पड़ोस को परिभाषित करती है।
पर ।
इसका मतलब है कि बिंदु बी पर बाईं ओर की सीमा है:
(कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा देखें)।बिंदु ए पर सीमा
.
यदि यह बढ़ता नहीं तो घटता भी नहीं। इस मामले में एक सीमा है
.
.
(1)
.
आइए f को g के रूप में व्यक्त करें:
.
आइए एक मनमाना सकारात्मक संख्या लें। मान लीजिए कि बिंदु A का एक एप्सिलॉन पड़ोस है। एप्सिलॉन पड़ोस को ए के परिमित और अनंत दोनों मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है (देखें "एक बिंदु का पड़ोस")। चूँकि एक सीमा (1) है, तो, एक सीमा की परिभाषा के अनुसार, किसी के लिए ऐसा मौजूद है
पर ।
पर ।
आइए x को -x से बदलें और ध्यान रखें कि:
पर ।
अंतिम दो असमानताएँ बिंदु a के छिद्रित दाहिने पड़ोस को परिभाषित करती हैं। तब
पर ।
पर ;
पर ;
पर ;
पर ।
पर ।
यह मतलब है कि
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विषय पर 10वीं कक्षा में बीजगणित में पाठ और प्रस्तुति: "एकरसता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच। अनुसंधान एल्गोरिदम"
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मापदंडों के साथ बीजगणितीय समस्याएं, ग्रेड 9-11
सॉफ्टवेयर वातावरण "1सी: गणितीय कंस्ट्रक्टर 6.1"
1.घटते और बढ़ते कार्य।
2. किसी फ़ंक्शन की व्युत्पन्नता और एकरसता के बीच संबंध।
3. एकरसता पर दो महत्वपूर्ण प्रमेय।
4. उदाहरण.घटते और बढ़ते कार्य
आइए बढ़ते और घटते कार्यों की अवधारणा को देखें। दोस्तों, फंक्शन क्या है? 
यह ग्राफ दिखाता है कि जितना बड़ा x, उतना बड़ा y। तो आइए एक बढ़ते हुए फ़ंक्शन को परिभाषित करें। किसी फ़ंक्शन को बढ़ना कहा जाता है यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता हो।
यदि x2 > x1, तो f(x2 > f(x1) या: जितना बड़ा x, उतना बड़ा y।किसी फ़ंक्शन की व्युत्पन्नता और एकरसता के बीच संबंध
दोस्तों, अब आइए सोचें कि फ़ंक्शन ग्राफ़ का अध्ययन करते समय आप व्युत्पन्न की अवधारणा को कैसे लागू कर सकते हैं। आइए एक बढ़ते हुए अवकलनीय फलन का एक ग्राफ बनाएं और अपने ग्राफ में कुछ स्पर्शरेखाएं बनाएं। 
एकरसता पर दो महत्वपूर्ण प्रमेय
f'(x)= 0, तो फलन y= f(x) इस अंतराल पर स्थिर है।एकरसता के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के उदाहरण
आइए असमानता को हल करें:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
क्योंकि -1 ≤ cos(x) ≤ 1, जिसका अर्थ है कि हमारी असमानता किसी भी x के लिए संतुष्ट है, फिर प्रमेय 2 द्वारा फलन y= syn(2x) - 3x घटता है।
आइए असमानता को हल करें:
2x + 3 ≥ 0,
एक्स ≥ -3/2.
तब हमारा फलन x ≥ -3/2 के लिए बढ़ता है, और x ≤ -3/2 के लिए घटता है।
उत्तर: x ≥ -3/2 के लिए, फलन बढ़ता है, x ≤ -3/2 के लिए, फलन घटता है।
आइए असमानता को हल करें: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
एक्स ≥ 1/3.
आइए असमानता को हल करें:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
लेकिन यह असंभव है, क्योंकि वर्गमूलकेवल सकारात्मक अभिव्यक्तियों के लिए परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि हमारे फ़ंक्शन में कोई घटता हुआ अंतराल नहीं है।
उत्तर: x ≥ 1/3 के लिए फलन बढ़ता है।स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं
ए) साबित करें कि फ़ंक्शन y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 पूरी संख्या रेखा के साथ बढ़ रहा है।
बी) साबित करें कि फ़ंक्शन घट रहा है: y=cos(5x) - 7x।
ग) फ़ंक्शन की एकरसता की जांच करें: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5।
d) फ़ंक्शन की एकरसता की जांच करें: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$. किसी कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना
समारोह की एकरसता. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु
.
दरअसल, परिभाषाएँ:
बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिएइस पड़ोस के मूल्यों में असमानता कायम है।
–अर्थ कहा जाता है अधिकतमकार्य;
–अर्थ कहा जाता है न्यूनतमकार्य.
चरम- "खेल" अर्थ.बढ़ने, घटने के अंतराल कैसे ज्ञात करें,
फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु?
यह ख़ुशी की ख़बर लेकर आया है कि कार्य हर जगह बढ़ रहा है परिभाषा का क्षेत्र.
स्थिति बिल्कुल विपरीत है.
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जब फ़ंक्शन परिभाषित है, लेकिन अवकलनीय नहीं है। हालाँकि, महत्वपूर्ण बिंदु पर एक दाएँ हाथ का व्युत्पन्न और एक दाएँ हाथ का स्पर्शरेखा है, और दूसरे किनारे पर उनके बाएँ हाथ के समकक्ष हैं।किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके अन्वेषण क्यों करें?
चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त:
: "...हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं: ...तो, हमारे समीकरण का समाधान: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है..."। अब, मुझे लगता है, हर कोई समझता है कि परवलय का शीर्ष ठीक इसी बिंदु पर क्यों स्थित है =) सामान्य तौर पर, हमें यहां एक समान उदाहरण से शुरुआत करनी चाहिए, लेकिन यह बहुत सरल है (चायदानी के लिए भी)। इसके अलावा, पाठ के बिल्कुल अंत में एक एनालॉग है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. इसलिए, आइए डिग्री बढ़ाएँ:
मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपको अंतराल में कुछ बिंदु लेने और उस पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है 
और उसका चिन्ह निर्धारित करें। गिनना भी नहीं, बल्कि मौखिक रूप से "अनुमान लगाना" अधिक लाभदायक है। आइए, उदाहरण के लिए, अंतराल से संबंधित एक बिंदु लें और प्रतिस्थापन करें: 
. 
इसलिए, दो "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देते हैं, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न पूरे अंतराल पर नकारात्मक है।
और घट जाती है. जॉइन आइकन के साथ एक ही प्रकार के अंतराल को जोड़ना सुविधाजनक है।
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: 
और घटता है उस बिंदु पर जब फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंच जाता है: 
, और बिंदु पर - न्यूनतम: .
इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ अध्ययन के परिणामों को सहसंबंधित करने के लिए एक बार फिर प्रयास करें।
महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, लेकिन है ग्राफ विभक्ति(जो, एक नियम के रूप में, समान मामलों में होता है)।
तो, गैलरी में किसने इसके लिए पीने की पेशकश की? =)
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