जो पहले से ही काफी उबाऊ हैं. और मुझे लगता है कि वह क्षण आ गया है जब सिद्धांत के रणनीतिक भंडार से नए डिब्बाबंद सामान निकालने का समय आ गया है। क्या फ़ंक्शन को किसी अन्य तरीके से श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा खंड को ज्या और कोज्या के रूप में व्यक्त करें? यह अविश्वसनीय लगता है, लेकिन ऐसे प्रतीत होने वाले दूर के कार्य हो सकते हैं
"पुनर्एकीकरण"। सिद्धांत और व्यवहार में परिचित डिग्रियों के अलावा, किसी फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करने के अन्य दृष्टिकोण भी हैं।

इस पाठ में हम त्रिकोणमिति के बारे में सीखेंगे। फूरियर के पास, हम इसके अभिसरण और योग के मुद्दे पर बात करेंगे और निश्चित रूप से, हम फूरियर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार के कई उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। मैं ईमानदारी से लेख को "डमीज़ के लिए फूरियर श्रृंखला" कहना चाहता था, लेकिन यह कपटपूर्ण होगा, क्योंकि समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय विश्लेषण की अन्य शाखाओं के ज्ञान और कुछ व्यावहारिक अनुभव की आवश्यकता होगी। इसलिए, प्रस्तावना अंतरिक्ष यात्री प्रशिक्षण के समान होगी =)

सबसे पहले, आपको पृष्ठ सामग्री का उत्कृष्ट रूप में अध्ययन करना चाहिए। नींद, आराम और शांत। टूटे हुए हम्सटर के पंजे के बारे में मजबूत भावनाओं के बिना और जुनूनी विचारजीवन की कठिनाइयों के बारे में मछलीघर मछली. हालाँकि, फूरियर श्रृंखला को समझना मुश्किल नहीं है व्यावहारिक कार्यउन्हें बस ध्यान की बढ़ी हुई एकाग्रता की आवश्यकता होती है - आदर्श रूप से, आपको बाहरी उत्तेजनाओं से खुद को पूरी तरह से अलग कर लेना चाहिए। स्थिति इस बात से और भी गंभीर हो गई है कि समाधान की जांच करने और उत्तर देने का कोई आसान तरीका नहीं है। इस प्रकार, यदि आपका स्वास्थ्य औसत से नीचे है, तो कुछ सरल करना बेहतर है। क्या यह सच है।

दूसरे, अंतरिक्ष में उड़ान भरने से पहले आपको उपकरण पैनल का अध्ययन करने की आवश्यकता है अंतरिक्ष यान. आइए उन फ़ंक्शंस के मानों से शुरू करें जिन्हें मशीन पर क्लिक किया जाना चाहिए:

किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए:

1) . दरअसल, साइनसॉइड प्रत्येक "पाई" के माध्यम से एक्स-अक्ष को "टांके" देता है:
. तर्क के नकारात्मक मूल्यों के मामले में, परिणाम, निश्चित रूप से, वही होगा:।

2) . लेकिन ये बात हर कोई नहीं जानता था. कोसाइन "पाई" एक "ब्लिंकर" के बराबर है:

एक नकारात्मक तर्क से मामला नहीं बदलता: .

शायद इतना ही काफी है.

और तीसरा, प्रिय अंतरिक्ष यात्री दल, आपको सक्षम होना चाहिए... एकीकृत.
विशेष रूप से, आत्मविश्वास से फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करें, टुकड़ों में एकीकृत करेंऔर शांति से रहो न्यूटन-लीबनिज सूत्र. आइए उड़ान-पूर्व महत्वपूर्ण अभ्यास शुरू करें। मैं स्पष्ट रूप से इसे छोड़ने की अनुशंसा नहीं करता, ताकि बाद में भारहीनता से न जूझना पड़े:

उदाहरण 1

निश्चित अभिन्नों की गणना करें

जहां प्राकृतिक मूल्य लेते हैं।

समाधान: एकीकरण चर "x" पर किया जाता है और इस स्तर पर असतत चर "en" को एक स्थिरांक माना जाता है। सभी अभिन्नों में फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के नीचे रखें:

समाधान का एक संक्षिप्त संस्करण जो लक्ष्य के लिए अच्छा होगा, इस प्रकार दिखता है:

आइए इसकी आदत डालें:

शेष चार बिन्दु आपके अपने हैं। कार्य को कर्तव्यनिष्ठा से करने का प्रयास करें और समाकलन को संक्षेप में लिखें। पाठ के अंत में नमूना समाधान।

गुणवत्तापूर्ण अभ्यास करने के बाद, हम स्पेससूट पहनते हैं
और शुरू करने के लिए तैयार हो रहे हैं!

अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन का विस्तार

कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें दृढ़ निश्चय वालाकम से कम कुछ समय के लिए (और संभवतः लंबी अवधि के लिए)। यदि यह फ़ंक्शन अंतराल पर पूर्णांकित है, तो इसे त्रिकोणमितीय में विस्तारित किया जा सकता है फोरियर श्रेणी:
, तथाकथित कहाँ हैं फूरियर गुणांक.

इस स्थिति में नंबर पर कॉल किया जाता है विघटन की अवधि, और संख्या है अपघटन का आधा जीवन.

यह स्पष्ट है कि सामान्य स्थिति में फूरियर श्रृंखला में साइन और कोसाइन होते हैं:

दरअसल, आइए इसे विस्तार से लिखें:

श्रृंखला का शून्य पद आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है।

फूरियर गुणांक की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

मैं अच्छी तरह से समझता हूं कि जो लोग इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं वे अभी भी नई शर्तों के बारे में अस्पष्ट हैं: विघटन अवधि, आधा चक्र, फूरियर गुणांकआदि। घबराएं नहीं, बाहरी अंतरिक्ष में जाने से पहले के उत्साह की तुलना इससे नहीं की जा सकती। आइए निम्नलिखित उदाहरण में सब कुछ समझें, जिस पर अमल करने से पहले जरूरी व्यावहारिक प्रश्न पूछना तर्कसंगत है:

निम्नलिखित कार्यों में आपको क्या करने की आवश्यकता है?

फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें। इसके अतिरिक्त, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, किसी श्रृंखला के योग का ग्राफ़, आंशिक योग चित्रित करना अक्सर आवश्यक होता है, और परिष्कृत प्रोफेसनल कल्पनाओं के मामले में, कुछ और करना आवश्यक होता है।

किसी फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में कैसे विस्तारित करें?

मूलतः, आपको खोजने की आवश्यकता है फूरियर गुणांक, अर्थात्, तीन लिखें और गणना करें समाकलन परिभाषित करें.

कृपया फूरियर श्रृंखला के सामान्य रूप और तीन कार्य सूत्रों को अपनी नोटबुक में कॉपी करें। मुझे बहुत ख़ुशी है कि कुछ साइट विज़िटर मेरी आँखों के ठीक सामने अंतरिक्ष यात्री बनने के अपने बचपन के सपने को साकार कर रहे हैं =)

उदाहरण 2

अंतराल पर फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें। एक ग्राफ़ बनाएं, श्रृंखला के योग और आंशिक योग का एक ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: कार्य का पहला भाग फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना है।

शुरुआत मानक है, इसे अवश्य लिखें:

इस समस्या में विस्तार अवधि आधी अवधि है।

आइए हम फ़ंक्शन को अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें:

उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करके, हम पाते हैं फूरियर गुणांक. अब हमें तीन की रचना और गणना करने की आवश्यकता है समाकलन परिभाषित करें. सुविधा के लिए, मैं निम्नलिखित बिंदु बताऊंगा:

1) पहला इंटीग्रल सबसे सरल है, हालाँकि, इसमें नेत्रगोलक की भी आवश्यकता होती है:

2) दूसरे सूत्र का प्रयोग करें:

यह अभिन्न अंग सर्वविदित है और वह इसे टुकड़े-टुकड़े करके लेता है:

मिलने पर उपयोग किया जाता है किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि.

विचाराधीन कार्य में इसका तुरंत उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है एक निश्चित अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र :

कुछ तकनीकी नोट्स. सबसे पहले, फार्मूला लागू करने के बाद संपूर्ण अभिव्यक्ति बड़े कोष्ठक में संलग्न होनी चाहिए, चूँकि मूल समाकलन से पहले एक स्थिरांक होता है। आइए उसे न खोएं! कोष्ठकों को किसी भी अगले कदम पर विस्तारित किया जा सकता है; मैंने इसे अंतिम उपाय के रूप में किया। पहले "टुकड़े" में हम प्रतिस्थापन में अत्यधिक सावधानी दिखाते हैं, जैसा कि आप देख सकते हैं, स्थिरांक का उपयोग नहीं किया जाता है, और एकीकरण की सीमाएं उत्पाद में प्रतिस्थापित कर दी जाती हैं। यह क्रिया वर्गाकार कोष्ठकों में हाइलाइट की गई है। ठीक है, आप प्रशिक्षण कार्य के सूत्र के दूसरे "टुकड़े" के अभिन्न अंग से परिचित हैं;-)

और सबसे महत्वपूर्ण बात - अत्यधिक एकाग्रता!

3) हम तीसरे फूरियर गुणांक की तलाश कर रहे हैं:

पिछले अभिन्न का एक रिश्तेदार प्राप्त होता है, जो भी है टुकड़ों में एकीकृत करता है:

यह उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है, मैं आगे के चरणों पर चरण दर चरण टिप्पणी करूंगा:

(1) अभिव्यक्ति पूरी तरह से बड़े कोष्ठकों में बंद है. मैं उबाऊ नहीं दिखना चाहता था, वे अक्सर स्थिरांक खो देते हैं।

(2) वी इस मामले मेंमैंने तुरंत उन बड़े कोष्ठकों को खोल दिया। विशेष ध्यान हम खुद को पहले "टुकड़े" के लिए समर्पित करते हैं: लगातार किनारे पर धूम्रपान करता है और उत्पाद में एकीकरण (और) की सीमाओं के प्रतिस्थापन में भाग नहीं लेता है। रिकॉर्ड की अव्यवस्था के कारण, इस क्रिया को वर्गाकार कोष्ठक के साथ उजागर करने की फिर से सलाह दी जाती है। दूसरे "टुकड़े" के साथ सब कुछ सरल है: यहां अंश बड़े कोष्ठक खोलने के बाद दिखाई दिया, और स्थिरांक - परिचित अभिन्न को एकीकृत करने के परिणामस्वरूप ;-)

(3) वर्ग कोष्ठक में हम परिवर्तन करते हैं, और सही अभिन्न में - एकीकरण सीमाओं का प्रतिस्थापन।

(4) हम वर्गाकार कोष्ठकों से "चमकती रोशनी" को हटाते हैं:, और फिर आंतरिक कोष्ठकों को खोलते हैं:।

(5) हम कोष्ठक में 1 और -1 को रद्द करते हैं और अंतिम सरलीकरण करते हैं।

अंत में, सभी तीन फूरियर गुणांक पाए जाते हैं:

आइए उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें :

साथ ही आधा-आधा बांटना न भूलें. अंतिम चरण में, स्थिरांक ("शून्य दो"), जो "एन" पर निर्भर नहीं करता है, योग से बाहर ले जाया जाता है।

इस प्रकार, हमने अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त किया है:

आइए हम फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के मुद्दे का अध्ययन करें। मैं सिद्धांत को विशेष रूप से समझाऊंगा डिरिचलेट का प्रमेय, शाब्दिक रूप से "उंगलियों पर", इसलिए यदि आपको सख्त फॉर्मूलेशन की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक को देखें गणितीय विश्लेषण (उदाहरण के लिए, बोहन का दूसरा खंड; या फ़िचटेनहोल्ट्ज़ का तीसरा खंड, लेकिन यह अधिक कठिन है).

समस्या के दूसरे भाग में एक ग्राफ़, एक श्रृंखला के योग का एक ग्राफ़ और आंशिक योग का एक ग्राफ़ खींचने की आवश्यकता होती है।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ सामान्य है समतल पर सीधी रेखा, जो एक काली बिंदीदार रेखा से खींचा गया है:

आइये श्रृंखला का योग ज्ञात करें। जैसा कि आप जानते हैं, फ़ंक्शन श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है। हमारे मामले में, निर्मित फूरियर श्रृंखला "x" के किसी भी मान के लिएफ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाएगा, जो लाल रंग में दिखाया गया है। यह फ़ंक्शनसदा पहली तरह का टूटनाबिंदुओं पर, लेकिन उन पर भी परिभाषित किया गया है (चित्र में लाल बिंदु)

इस प्रकार: . यह देखना आसान है कि यह मूल फ़ंक्शन से स्पष्ट रूप से भिन्न है, यही कारण है कि प्रविष्टि में समान चिह्न के स्थान पर टिल्ड का उपयोग किया जाता है।

आइए एक एल्गोरिदम का अध्ययन करें जो किसी श्रृंखला का योग बनाने के लिए सुविधाजनक है।

केंद्रीय अंतराल पर, फूरियर श्रृंखला स्वयं फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है (केंद्रीय लाल खंड रैखिक फ़ंक्शन की काली बिंदीदार रेखा के साथ मेल खाता है)।

अब आइए विचाराधीन त्रिकोणमितीय विस्तार की प्रकृति के बारे में थोड़ी बात करें। फोरियर श्रेणी इसमें केवल आवधिक फलन (स्थिर, ज्या और कोज्या) शामिल हैं, इसलिए श्रृंखला का योग यह भी एक आवधिक कार्य है.

हमारे विशिष्ट उदाहरण में इसका क्या अर्थ है? और इसका मतलब है कि श्रृंखला का योग –निश्चित रूप से आवधिकऔर अंतराल के लाल खंड को बाएँ और दाएँ पर अंतहीन रूप से दोहराया जाना चाहिए।

मुझे लगता है कि वाक्यांश "विघटन की अवधि" का अर्थ अब अंततः स्पष्ट हो गया है। सीधे शब्दों में कहें तो हर बार स्थिति बार-बार दोहराई जाती है।

व्यवहार में, आमतौर पर अपघटन की तीन अवधियों को चित्रित करना पर्याप्त होता है, जैसा कि चित्र में किया गया है। खैर, और पड़ोसी अवधियों के "स्टंप" भी - ताकि यह स्पष्ट हो कि ग्राफ जारी रहे।

विशेष रुचि के हैं पहली तरह के असंततता बिंदु. ऐसे बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला अलग-अलग मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है, जो कि असंततता के "छलांग" (ड्राइंग में लाल बिंदु) के ठीक बीच में स्थित होते हैं। इन बिंदुओं की कोटि कैसे ज्ञात करें? सबसे पहले, आइए "ऊपरी मंजिल" की कोटि ज्ञात करें: ऐसा करने के लिए, हम विस्तार की केंद्रीय अवधि के सबसे दाहिने बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं:। "निचली मंजिल" की कोटि की गणना करने का सबसे आसान तरीका चरम लेना है बायां मूल्यइसी अवधि के: . औसत मान का कोटि "ऊपर और नीचे" के योग का अंकगणितीय माध्य है:। एक सुखद तथ्य यह है कि चित्र बनाते समय आप तुरंत देख लेंगे कि मध्य की गणना सही ढंग से की गई है या गलत।

आइए श्रृंखला का आंशिक योग बनाएं और साथ ही "अभिसरण" शब्द का अर्थ दोहराएं। के पाठ से उद्देश्य का भी पता चलता है किसी संख्या श्रृंखला का योग. आइए हम अपनी संपत्ति का विस्तार से वर्णन करें:

आंशिक योग बनाने के लिए, आपको श्रृंखला के शून्य + दो और पद लिखने होंगे। वह है,

चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है हरा, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, यह पूरी मात्रा को काफी कसकर "लपेटता" है। यदि हम श्रृंखला के पाँच पदों के आंशिक योग पर विचार करें, तो इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ लाल रेखाओं का और भी अधिक सटीक अनुमान लगाएगा, यदि सौ पद हैं, तो "हरा साँप" वास्तव में लाल खंडों के साथ पूरी तरह से विलीन हो जाएगा; वगैरह। इस प्रकार, फूरियर श्रृंखला अपने योग में परिवर्तित हो जाती है।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कोई भी आंशिक राशि है सतत कार्यहालाँकि, श्रृंखला का कुल योग अभी भी असंतत है।

व्यवहार में, आंशिक योग ग्राफ बनाना इतना दुर्लभ नहीं है। इसे कैसे करना है? हमारे मामले में, खंड पर फ़ंक्शन पर विचार करना आवश्यक है, खंड के अंत में और मध्यवर्ती बिंदुओं पर इसके मूल्यों की गणना करें (जितने अधिक बिंदुओं पर आप विचार करेंगे, ग्राफ उतना ही सटीक होगा)। फिर आपको ड्राइंग पर इन बिंदुओं को चिह्नित करना चाहिए और ध्यान से अवधि पर एक ग्राफ बनाना चाहिए, और फिर इसे आसन्न अंतरालों में "दोहराना" चाहिए। और कैसे? आख़िरकार, सन्निकटन भी एक आवधिक कार्य है... ...कुछ मायनों में इसका ग्राफ मुझे एक चिकित्सा उपकरण के प्रदर्शन पर एक समान हृदय ताल की याद दिलाता है।

बेशक, निर्माण करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि आपको बेहद सावधान रहना होगा, कम से कम आधे मिलीमीटर की सटीकता बनाए रखनी होगी। हालाँकि, मैं उन पाठकों को खुश करूँगा जो ड्राइंग के साथ सहज नहीं हैं - एक "वास्तविक" समस्या में हमेशा एक ड्राइंग बनाना आवश्यक नहीं होता है, लगभग 50% मामलों में फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक होता है और बस इतना ही .

ड्राइंग पूरी करने के बाद, हम कार्य पूरा करते हैं:

उत्तर:

कई कार्यों में कार्य प्रभावित होता है पहली तरह का टूटनाविघटन अवधि के दौरान ही:

उदाहरण 3

अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें। फ़ंक्शन और श्रृंखला के कुल योग का एक ग्राफ़ बनाएं।

प्रस्तावित फ़ंक्शन को टुकड़े-टुकड़े तरीके से निर्दिष्ट किया गया है (और, ध्यान दें, केवल खंड पर)और सहता है पहली तरह का टूटनाबिंदु पर. क्या फूरियर गुणांक की गणना करना संभव है? कोई बात नहीं। फ़ंक्शन के बाएं और दाएं दोनों पक्ष अपने अंतराल पर पूर्णांक हैं, इसलिए तीन सूत्रों में से प्रत्येक में अभिन्न को दो अभिन्नों के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। आइए देखें, उदाहरण के लिए, शून्य गुणांक के लिए यह कैसे किया जाता है:

दूसरा समाकलन शून्य के बराबर निकला, जिससे कार्य कम हो गया, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता।

अन्य दो फूरियर गुणांकों का वर्णन इसी प्रकार किया गया है।

किसी श्रृंखला का योग कैसे दिखाएं? बाएं अंतराल पर हम एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं, और अंतराल पर - एक सीधी रेखा खंड (हम अक्ष के अनुभाग को बोल्ड और बोल्ड में हाइलाइट करते हैं)। अर्थात्, विस्तार अंतराल पर, श्रृंखला का योग तीन "खराब" बिंदुओं को छोड़कर हर जगह फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है। फ़ंक्शन के असंततता बिंदु पर, फूरियर श्रृंखला एक पृथक मान में परिवर्तित हो जाएगी, जो असंततता के "छलांग" के ठीक बीच में स्थित है। इसे मौखिक रूप से देखना कठिन नहीं है: बायीं ओर की सीमा:, दायीं ओर की सीमा: और, जाहिर है, मध्यबिंदु की कोटि 0.5 है।

योग की आवधिकता के कारण, चित्र को आसन्न अवधियों में "गुणा" किया जाना चाहिए, विशेष रूप से, समान चीज़ को अंतरालों पर चित्रित किया जाना चाहिए। उसी समय, बिंदुओं पर फूरियर श्रृंखला मध्यमान मूल्यों में परिवर्तित हो जाएगी।

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है.

इस कार्य को स्वयं निपटाने का प्रयास करें। पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन और एक ड्राइंग का अनुमानित नमूना।

एक मनमानी अवधि में फूरियर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार

एक मनमाना विस्तार अवधि के लिए, जहां "एल" कोई सकारात्मक संख्या है, फूरियर श्रृंखला और फूरियर गुणांक के सूत्रों को साइन और कोसाइन के लिए थोड़ा अधिक जटिल तर्क द्वारा अलग किया जाता है:

यदि, तो हमें अंतराल सूत्र मिलते हैं जिनसे हमने शुरुआत की थी।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांत पूरी तरह से संरक्षित हैं, लेकिन गणना की तकनीकी जटिलता बढ़ जाती है:

उदाहरण 4

फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें और योग को प्लॉट करें।

समाधान: वास्तव में उदाहरण संख्या 3 का एक एनालॉग पहली तरह का टूटनाबिंदु पर. इस समस्या में विस्तार अवधि आधी अवधि है। फ़ंक्शन को केवल आधे-अंतराल पर परिभाषित किया गया है, लेकिन इससे मामला नहीं बदलता है - यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन के दोनों टुकड़े पूर्णांक हों।

आइए फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें:

चूंकि फ़ंक्शन मूल में असंतत है, इसलिए प्रत्येक फूरियर गुणांक को स्पष्ट रूप से दो अभिन्नों के योग के रूप में लिखा जाना चाहिए:

1) मैं पहले इंटीग्रल को यथासंभव विस्तार से लिखूंगा:

2) हम चंद्रमा की सतह को ध्यान से देखते हैं:

दूसरा अभिन्न इसे टुकड़े-टुकड़े करके ले लो:

तारांकन के साथ समाधान की निरंतरता को खोलने के बाद हमें किस पर ध्यान देना चाहिए?

सबसे पहले, हम पहला अभिन्न अंग नहीं खोते हैं , जहां हम तुरंत अमल करते हैं विभेदक चिन्ह की सदस्यता लेना. दूसरे, बड़े कोष्ठकों से पहले अशुभ स्थिरांक को न भूलें संकेतों से भ्रमित न होंसूत्र का उपयोग करते समय . बड़े ब्रैकेट को अगले चरण में तुरंत खोलना अभी भी अधिक सुविधाजनक है।

बाकी तकनीक का मामला है; कठिनाइयाँ केवल अभिन्नों को हल करने में अपर्याप्त अनुभव के कारण हो सकती हैं।

हां, यह अकारण नहीं था कि फ्रांसीसी गणितज्ञ फूरियर के प्रतिष्ठित सहयोगी नाराज थे - उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला में कार्यों को व्यवस्थित करने का साहस कैसे किया?! =) वैसे, प्रश्न में कार्य के व्यावहारिक अर्थ में शायद हर कोई रुचि रखता है। फूरियर ने स्वयं इस पर काम किया गणित का मॉडलतापीय चालकता, और बाद में उनके नाम पर श्रृंखला का उपयोग कई आवधिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाने लगा, जो आसपास की दुनिया में दृश्य और अदृश्य हैं। अब, वैसे, मैंने खुद को यह सोचते हुए पाया कि यह संयोग से नहीं था कि मैंने दूसरे उदाहरण के ग्राफ की तुलना हृदय की आवधिक लय से की। रुचि रखने वाले लोग व्यावहारिक अनुप्रयोग से स्वयं को परिचित कर सकते हैं फूरियर रूपांतरणतीसरे पक्ष के स्रोतों में. ...हालाँकि ऐसा न करना ही बेहतर है - इसे पहले प्यार के रूप में याद किया जाएगा =)

3) बार-बार उल्लिखित कमजोर कड़ियों को ध्यान में रखते हुए, आइए तीसरे गुणांक पर नजर डालें:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

आइए हम पाए गए फूरियर गुणांक को सूत्र में प्रतिस्थापित करें , शून्य गुणांक को आधे में विभाजित करना न भूलें:

आइए श्रृंखला का योग आलेखित करें। आइए संक्षेप में इस प्रक्रिया को दोहराएँ: हम एक अंतराल पर एक सीधी रेखा बनाते हैं, और एक अंतराल पर एक सीधी रेखा बनाते हैं। यदि "x" मान शून्य है, तो हम अंतराल के "छलांग" के बीच में एक बिंदु डालते हैं और पड़ोसी अवधियों के लिए ग्राफ़ को "दोहराते" हैं:


अवधियों के "जंक्शन" पर, योग भी अंतराल के "छलांग" के मध्य बिंदुओं के बराबर होगा।

तैयार। मैं आपको याद दिला दूं कि फ़ंक्शन स्वयं केवल आधे-अंतराल पर परिभाषित शर्त के अनुसार होता है और, जाहिर है, अंतराल पर श्रृंखला के योग के साथ मेल खाता है

उत्तर:

कभी-कभी टुकड़े-टुकड़े में दिया गया फ़ंक्शन विस्तार अवधि में निरंतर रहता है। सबसे सरल उदाहरण: . समाधान (बोहन खंड 2 देखें)पिछले दो उदाहरणों के समान: बावजूद कार्य की निरंतरताबिंदु पर, प्रत्येक फूरियर गुणांक को दो अभिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अपघटन अंतराल पर पहली तरह के असंततता बिंदुऔर/या ग्राफ़ के अधिक "जंक्शन" बिंदु हो सकते हैं (दो, तीन और आम तौर पर कोई भी अंतिममात्रा)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रत्येक भाग पर एकीकृत है, तो यह फूरियर श्रृंखला में विस्तार योग्य भी है। लेकिन व्यावहारिक अनुभव से मुझे ऐसी क्रूर बात याद नहीं आती। हालाँकि, जिन कार्यों पर अभी विचार किया गया है, उनसे कहीं अधिक कठिन कार्य हैं, और लेख के अंत में सभी के लिए बढ़ी हुई जटिलता की फूरियर श्रृंखला के लिंक हैं।

इस बीच, आइए आराम करें, अपनी कुर्सियों पर पीछे झुकें और सितारों के अनंत विस्तार पर विचार करें:

उदाहरण 5

अंतराल पर फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें और श्रृंखला का योग आलेखित करें।

इस समस्या में फ़ंक्शन निरंतरविस्तार अर्ध-अंतराल पर, जो समाधान को सरल बनाता है। सब कुछ उदाहरण संख्या 2 के समान है। अंतरिक्ष यान से भागने का कोई रास्ता नहीं है - आपको निर्णय लेना होगा =) पाठ के अंत में एक अनुमानित डिज़ाइन नमूना, एक शेड्यूल संलग्न है।

सम और विषम कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार

सम और विषम कार्यों के साथ, समस्या को हल करने की प्रक्रिया काफ़ी सरल हो जाती है। और यही कारण है। आइए "दो पाई" की अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार पर वापस लौटें और मनमानी अवधि "दो एल" .

आइए मान लें कि हमारा कार्य सम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, श्रृंखला के सामान्य पद में सम कोज्या और विषम ज्याएँ शामिल हैं। और यदि हम EVEN फ़ंक्शन का विस्तार कर रहे हैं, तो हमें विषम साइन की आवश्यकता क्यों है?! आइए अनावश्यक गुणांक को रीसेट करें: .

इस प्रकार, एक सम फलन को फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन में विस्तारित किया जा सकता है:

क्योंकि सम कार्यों का अभिन्न अंगएक एकीकरण खंड के साथ जो शून्य के संबंध में सममित है, उसे दोगुना किया जा सकता है, फिर शेष फूरियर गुणांक सरल हो जाते हैं।

अंतराल के लिए:

एक मनमाना अंतराल के लिए:

पाठ्यपुस्तक के उदाहरण जो गणितीय विश्लेषण पर लगभग किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं, उनमें सम कार्यों का विस्तार शामिल है . इसके अलावा, मेरे व्यक्तिगत अभ्यास में उनका कई बार सामना हुआ है:

उदाहरण 6

फ़ंक्शन दिया गया है. आवश्यक:

1) फ़ंक्शन को अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें, जहां एक मनमाना सकारात्मक संख्या है;

2) अंतराल पर विस्तार लिखें, एक फ़ंक्शन बनाएं और श्रृंखला के कुल योग का ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: पहले पैराग्राफ में समस्या को हल करने का प्रस्ताव है सामान्य रूप से देखें, और यह बहुत सुविधाजनक है! यदि आवश्यकता पड़े तो बस अपना मूल्य प्रतिस्थापित कर दें।

1) इस समस्या में, विस्तार अवधि अर्ध-अवधि है। दौरान आगे की कार्रवाई, विशेष रूप से एकीकरण के दौरान, "एल" को एक स्थिरांक माना जाता है

फ़ंक्शन सम है, जिसका अर्थ है कि इसे केवल कोसाइन में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है: .

हम सूत्रों का उपयोग करके फूरियर गुणांक की तलाश करते हैं . उनके बिना शर्त फायदों पर ध्यान दें. सबसे पहले, एकीकरण विस्तार के सकारात्मक खंड पर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम मॉड्यूल से सुरक्षित रूप से छुटकारा पा लेते हैं , दो टुकड़ों में से केवल "X" पर विचार करते हुए। और, दूसरी बात, एकीकरण काफ़ी सरल हो गया है।

दो:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

इस प्रकार:
, जबकि स्थिरांक, जो "एन" पर निर्भर नहीं है, को योग से बाहर ले जाया जाता है।

उत्तर:

2) आइए इस उद्देश्य के लिए अंतराल पर विस्तार लिखें सामान्य सूत्रविकल्प वांछित मूल्यआधा चक्र:

अवधि 2π के साथ आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

फूरियर श्रृंखला हमें आवधिक कार्यों को घटकों में विघटित करके उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। प्रत्यावर्ती धाराएं और वोल्टेज, विस्थापन, गति और क्रैंक तंत्र और ध्वनिक तरंगों का त्वरण विशिष्ट हैं व्यावहारिक उदाहरणइंजीनियरिंग गणना में आवधिक कार्यों का अनुप्रयोग।

फूरियर श्रृंखला का विस्तार इस धारणा पर आधारित है कि अंतराल -π ≤x≤ π में व्यावहारिक महत्व के सभी कार्यों को अभिसरण त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (एक श्रृंखला को अभिसरण माना जाता है यदि उसके पदों से बना आंशिक योग का क्रम अभिसरण):

सिनएक्स और कॉसएक्स के योग के माध्यम से मानक (=साधारण) संकेतन

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 synx+b 2 syn2x+b 3 syn3x+...,

जहां a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. वास्तविक स्थिरांक हैं, अर्थात्।

जहां, -π से π तक की सीमा के लिए, फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

गुणांक a o , a n और b n कहलाते हैं फूरियर गुणांक, और यदि वे पाए जा सकते हैं, तो श्रृंखला (1) कहा जाता है फूरियर के बगल में,फ़ंक्शन f(x) के अनुरूप। श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) को पहला या कहा जाता है मौलिक हार्मोनिक,

श्रृंखला लिखने का दूसरा तरीका संबंध acosx+bsinx=csin(x+α) का उपयोग करना है

f(x)=a o +c 1 पाप(x+α 1)+c 2 पाप(2x+α 2)+...+c n पाप(nx+α n)

जहां a o एक स्थिरांक है, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 विभिन्न घटकों के आयाम हैं, और a n =arctg a n के बराबर है /बी एन.

श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) या c 1 syn(x+α 1) को पहला या कहा जाता है मौलिक हार्मोनिक,(a 2 cos2x+b 2 syn2x) या c 2 syn(2x+α 2) कहलाता है दूसरा हार्मोनिकऔर इसी तरह।

किसी जटिल सिग्नल को सटीक रूप से प्रस्तुत करने के लिए आमतौर पर अनंत संख्या में शब्दों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, कई व्यावहारिक समस्याओं में केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करना ही पर्याप्त है।

अवधि 2π के साथ गैर-आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

गैर-आवधिक कार्यों का विस्तार।

यदि फ़ंक्शन f(x) गैर-आवधिक है, तो इसका मतलब है कि इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, चौड़ाई 2π की किसी भी सीमा पर एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाली फूरियर श्रृंखला को परिभाषित करना संभव है।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को देखते हुए, एक निश्चित सीमा के भीतर f(x) के मानों का चयन करके और उन्हें 2π अंतराल पर उस सीमा के बाहर दोहराकर एक नया फ़ंक्शन बनाया जा सकता है। चूँकि नया फ़ंक्शन 2π की अवधि के साथ आवधिक है, इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन f(x)=x आवर्त नहीं है। हालाँकि, यदि इसे o से 2π के अंतराल में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक है, तो इस अंतराल के बाहर 2π की अवधि के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है (जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है)।

गैर-आवधिक कार्यों जैसे कि f(x)=x के लिए, फूरियर श्रृंखला का योग किसी दी गई सीमा में सभी बिंदुओं पर f(x) के मान के बराबर है, लेकिन यह बिंदुओं के लिए f(x) के बराबर नहीं है सीमा के बाहर. 2π रेंज में एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला को खोजने के लिए, फूरियर गुणांक के समान सूत्र का उपयोग किया जाता है।

सम और विषम कार्य.

वे कहते हैं फलन y=f(x) यहां तक ​​की, यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=f(x) है। सम फलनों के ग्राफ़ हमेशा y-अक्ष के बारे में सममित होते हैं (अर्थात, वे दर्पण छवियाँ हैं)। सम फलनों के दो उदाहरण: y=x2 और y=cosx।

वे कहते हैं कि फलन y=f(x) विषम,यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=-f(x) विषम फलनों के ग्राफ सदैव मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होते हैं।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

कोसाइन में फूरियर श्रृंखला का विस्तार।

अवधि 2π के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन पद शामिल हैं (यानी, कोई साइन पद नहीं) और इसमें एक स्थिर पद शामिल हो सकता है। इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

अवधि 2π के साथ एक विषम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल साइन वाले पद शामिल हैं (अर्थात, इसमें कोसाइन वाले पद शामिल नहीं हैं)।

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

यदि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रेणी के लिए परिभाषित किया गया है, मान लीजिए 0 से π तक, न कि केवल 0 से 2π तक, तो इसे एक श्रृंखला में केवल साइन में या केवल कोसाइन में विस्तारित किया जा सकता है। परिणामी फूरियर श्रृंखला कहलाती है आधे चक्र पर फूरियर के पास।

यदि आप अपघटन प्राप्त करना चाहते हैं कोसाइन द्वारा अर्ध-चक्र फूरियरफ़ंक्शन f(x) 0 से π तक की सीमा में है, तो एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। क्योंकि यहां तक ​​कि समारोहएफ(एक्स) अक्ष के बारे में सममित, रेखा एबी खींचें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मान लें कि विचारित अंतराल के बाहर प्राप्त होता है त्रिकोणीय आकार 2π की अवधि के साथ आवर्त है, तो अंतिम ग्राफ़ इस प्रकार दिखता है, दिखाएँ। चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है फूरियर आधा-चक्र साइन विस्तारफ़ंक्शन f(x) 0 से π तक की सीमा में है, तो एक विषम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ़ का रूप चित्र में दिखाया गया है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे-चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

एक मनमाने अंतराल के लिए फूरियर श्रृंखला।

अवधि एल के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार।

जैसे-जैसे x L से बढ़ता है, आवर्त फलन f(x) दोहराता है, अर्थात। f(x+L)=f(x). 2π की अवधि के साथ पहले से विचार किए गए कार्यों से एल की अवधि के साथ कार्यों में संक्रमण काफी सरल है, क्योंकि यह चर के परिवर्तन का उपयोग करके किया जा सकता है।

-L/2≤x≤L/2 की श्रेणी में फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला खोजने के लिए, हम एक नया वेरिएबल u पेश करते हैं ताकि फ़ंक्शन f(x) की अवधि u के सापेक्ष 2π हो। यदि u=2πx/L, तो u=-π के लिए x=-L/2 और u=π के लिए x=L/2। यह भी मान लीजिए कि f(x)=f(Lu/2π)=F(u). फूरियर श्रृंखला F(u) का रूप है

(एकीकरण की सीमा को L लंबाई के किसी भी अंतराल से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, 0 से L तक)

अंतराल L≠2π में निर्दिष्ट कार्यों के लिए आधे-चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

प्रतिस्थापन u=πх/L के लिए, x=0 से x=L तक का अंतराल u=0 से u=π तक के अंतराल से मेल खाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन को केवल कोसाइन में या केवल साइन में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात। वी आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला.

0 से L तक की सीमा में कोज्या विस्तार का रूप होता है

आवर्त 2p के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन वाले पद शामिल हैं (यानी, इसमें साइन वाले पद शामिल नहीं हैं) और इसमें एक स्थिर पद शामिल हो सकता है। इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

साइन्स में फूरियर श्रृंखला का विस्तार

अवधि 2p के साथ एक विषम आवधिक फ़ंक्शन f (x) की फूरियर श्रृंखला में केवल साइन के साथ पद शामिल हैं (अर्थात, इसमें कोसाइन के साथ पद शामिल नहीं हैं)।

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला

यदि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रेणी के लिए परिभाषित किया गया है, मान लीजिए 0 से p तक, न कि केवल 0 से 2p तक, तो इसे केवल साइन या केवल कोसाइन में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। परिणामी फूरियर श्रृंखला कहलाती है पास में फूरियर पर आधा चक्र

यदि आप अपघटन प्राप्त करना चाहते हैं फूरियर पर आधा चक्र द्वारा कोसाइनफ़ंक्शन f (x) 0 से p तक की सीमा में है, तो एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f (x) = x है, जो x = 0 से x = p के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि सम फलन f (x) अक्ष के प्रति सममित है, हम रेखा AB खींचते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मान लें कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी त्रिकोणीय आकार 2p की अवधि के साथ आवर्त है, तो अंतिम ग्राफ इस तरह दिखता है: चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है सड़न फूरियर पर आधा चक्र द्वारा साइनसफ़ंक्शन f (x) 0 से p तक की सीमा में है, तो एक विषम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f (x) =x है, जो x=0 से x=p के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2p की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ का रूप चित्र में दिखाया गया है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे-चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

फूरियर श्रृंखला एक श्रृंखला के रूप में एक विशिष्ट अवधि के साथ एक मनमाना कार्य का प्रतिनिधित्व है। सामान्य तौर पर, इस समाधान को ऑर्थोगोनल आधार पर किसी तत्व का अपघटन कहा जाता है। एकीकरण, विभेदीकरण के साथ-साथ तर्क और संकल्प द्वारा अभिव्यक्तियों को स्थानांतरित करने के दौरान इस परिवर्तन के गुणों के कारण फूरियर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए एक काफी शक्तिशाली उपकरण है।

एक व्यक्ति जो उच्च गणित के साथ-साथ फ्रांसीसी वैज्ञानिक फूरियर के कार्यों से परिचित नहीं है, वह संभवतः यह नहीं समझ पाएगा कि ये "श्रृंखला" क्या हैं और उनकी आवश्यकता क्यों है। इस बीच, यह परिवर्तन हमारे जीवन में काफी एकीकृत हो गया है। इसका उपयोग न केवल गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, बल्कि भौतिकविदों, रसायनज्ञों, डॉक्टरों, खगोलविदों, भूकंपविज्ञानी, समुद्र विज्ञानियों और कई अन्य लोगों द्वारा भी किया जाता है। आइए हम उस महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक के कार्यों पर भी नज़र डालें जिन्होंने एक ऐसी खोज की जो अपने समय से आगे थी।

मनुष्य और फूरियर रूपांतरित होते हैं

फूरियर श्रृंखला एक विधि है (विश्लेषण और अन्य के साथ)। यह प्रक्रिया हर बार तब होती है जब कोई व्यक्ति ध्वनि सुनता है। हमारा कान स्वचालित रूप से परिवर्तन करता है प्राथमिक कणएक लोचदार माध्यम में विभिन्न ऊँचाइयों के स्वरों के लिए क्रमिक ध्वनि स्तर मानों को पंक्तियों में (स्पेक्ट्रम के साथ) बिछाया जाता है। इसके बाद, मस्तिष्क इस डेटा को उन ध्वनियों में बदल देता है जिनसे हम परिचित हैं। यह सब हमारी इच्छा या चेतना के बिना, अपने आप होता है, लेकिन इन प्रक्रियाओं को समझने के लिए उच्च गणित का अध्ययन करने में कई साल लगेंगे।

फूरियर रूपांतरण के बारे में अधिक जानकारी

फूरियर रूपांतरण विश्लेषणात्मक, संख्यात्मक और अन्य तरीकों का उपयोग करके किया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला किसी भी दोलन प्रक्रियाओं को विघटित करने की संख्यात्मक विधि को संदर्भित करती है - समुद्र के ज्वार और प्रकाश तरंगों से लेकर सौर (और अन्य खगोलीय पिंडों) गतिविधि के चक्र तक। इन गणितीय तकनीकों का उपयोग करके, आप कार्यों का विश्लेषण कर सकते हैं, किसी भी दोलन प्रक्रियाओं को साइनसॉइडल घटकों की एक श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं जो न्यूनतम से अधिकतम और पीछे की ओर बढ़ते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म एक फ़ंक्शन है जो एक विशिष्ट आवृत्ति के अनुरूप साइनसॉइड के चरण और आयाम का वर्णन करता है। इस प्रक्रिया का उपयोग बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है जो गर्मी, प्रकाश या के प्रभाव में उत्पन्न होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं विद्युतीय ऊर्जा. इसके अलावा, फूरियर श्रृंखला जटिल दोलन संकेतों में निरंतर घटकों को अलग करना संभव बनाती है, जिससे चिकित्सा, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में प्राप्त प्रयोगात्मक टिप्पणियों की सही व्याख्या करना संभव हो जाता है।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

इस सिद्धांत के संस्थापक फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर हैं। बाद में इस परिवर्तन का नाम उनके नाम पर रखा गया। प्रारंभ में, वैज्ञानिक ने तापीय चालकता के तंत्र - गर्मी के प्रसार का अध्ययन और व्याख्या करने के लिए अपनी पद्धति का उपयोग किया एसएनएफ. फूरियर ने सुझाव दिया कि प्रारंभिक अनियमित वितरण को सरल साइनसॉइड में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना तापमान न्यूनतम और अधिकतम होगा, साथ ही साथ इसका अपना चरण भी होगा। इस मामले में, ऐसे प्रत्येक घटक को न्यूनतम से अधिकतम और पीछे तक मापा जाएगा। गणितीय फ़ंक्शन जो वक्र की ऊपरी और निचली चोटियों के साथ-साथ प्रत्येक हार्मोनिक्स के चरण का वर्णन करता है, उसे तापमान वितरण अभिव्यक्ति का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। सिद्धांत के लेखक एक साथ लाए सामान्य कार्यवितरण, जिसका गणितीय रूप से वर्णन करना कठिन है, कोसाइन और साइन की एक बहुत ही सुविधाजनक श्रृंखला है, जो एक साथ मूल वितरण देती है।

परिवर्तन का सिद्धांत और समकालीनों के विचार

वैज्ञानिक के समकालीन - उन्नीसवीं सदी की शुरुआत के प्रमुख गणितज्ञ - ने इस सिद्धांत को स्वीकार नहीं किया। मुख्य आपत्ति फूरियर का दावा था कि एक असंतत फ़ंक्शन, एक सीधी रेखा या एक असंतत वक्र का वर्णन करते हुए, साइनसॉइडल अभिव्यक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जो निरंतर हैं। उदाहरण के तौर पर, हेविसाइड चरण पर विचार करें: इसका मान असंततता के बाईं ओर शून्य है और दाईं ओर एक है। यह फ़ंक्शन सर्किट बंद होने पर अस्थायी चर पर विद्युत प्रवाह की निर्भरता का वर्णन करता है। उस समय सिद्धांत के समकालीनों को कभी भी ऐसी स्थिति का सामना नहीं करना पड़ा था जहां एक असंतत अभिव्यक्ति को घातीय, साइन, रैखिक या द्विघात जैसे निरंतर, सामान्य कार्यों के संयोजन द्वारा वर्णित किया जाएगा।

फूरियर के सिद्धांत के बारे में फ्रांसीसी गणितज्ञों को किस बात ने भ्रमित किया?

आख़िरकार, यदि गणितज्ञ अपने कथनों में सही था, तो, अनंत को संक्षेप में कहें त्रिकोणमितीय श्रृंखलाफूरियर के अनुसार, एक चरण अभिव्यक्ति का सटीक प्रतिनिधित्व प्राप्त करना संभव है, भले ही इसमें कई समान चरण हों। उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में ऐसा बयान बेतुका लगता था। लेकिन तमाम शंकाओं के बावजूद, कई गणितज्ञों ने इस घटना के अध्ययन के दायरे का विस्तार किया, इसे तापीय चालकता के अध्ययन से परे ले गए। हालाँकि, अधिकांश वैज्ञानिक इस प्रश्न से परेशान रहे: "क्या एक साइनसोइडल श्रृंखला का योग परिवर्तित हो सकता है? सही मूल्यअसंतत कार्य?

फूरियर श्रृंखला का अभिसरण: एक उदाहरण

अभिसरण का प्रश्न तब उठता है जब संख्याओं की अनंत श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इस घटना को समझने के लिए एक उत्कृष्ट उदाहरण पर विचार करें। यदि प्रत्येक अगला कदम पिछले कदम के आधे आकार का हो तो क्या आप कभी दीवार तक पहुंच पाएंगे? मान लीजिए कि आप अपने लक्ष्य से दो मीटर दूर हैं, पहला कदम आपको आधे रास्ते तक ले जाता है, अगला आपको तीन-चौथाई तक ले जाता है, और पांचवें के बाद आप लगभग 97 प्रतिशत रास्ता तय कर चुके होंगे। हालाँकि, चाहे आप कितने भी कदम उठाएँ, सख्त गणितीय अर्थ में आप अपने इच्छित लक्ष्य को प्राप्त नहीं कर पाएंगे। संख्यात्मक गणनाओं का उपयोग करके, यह सिद्ध किया जा सकता है कि अंततः दी गई दूरी के जितना करीब पहुंचना संभव है। यह प्रमाण यह प्रदर्शित करने के बराबर है कि आधा, एक-चौथाई आदि का योग एकता की ओर प्रवृत्त होगा।

अभिसरण का प्रश्न: दूसरा आगमन, या लॉर्ड केल्विन का उपकरण

यह मुद्दा उन्नीसवीं सदी के अंत में फिर से उठाया गया, जब उन्होंने ज्वार की तीव्रता की भविष्यवाणी करने के लिए फूरियर श्रृंखला का उपयोग करने की कोशिश की। इस समय, लॉर्ड केल्विन ने एक उपकरण का आविष्कार किया जो एक एनालॉग था कंप्यूटिंग डिवाइस, जिसने सैन्य और व्यापारी समुद्री नाविकों को इस प्राकृतिक घटना पर नज़र रखने की अनुमति दी। इस तंत्र ने पूरे वर्ष किसी दिए गए बंदरगाह में सावधानीपूर्वक मापी गई ज्वार की ऊंचाई और संबंधित समय बिंदुओं की तालिका से चरणों और आयामों के सेट निर्धारित किए। प्रत्येक पैरामीटर ज्वार ऊंचाई अभिव्यक्ति का एक साइनसॉइडल घटक था और नियमित घटकों में से एक था। मापों को लॉर्ड केल्विन के गणना उपकरण में डाला गया, जिसने एक वक्र संश्लेषित किया जिसने अगले वर्ष के लिए समय के एक फ़ंक्शन के रूप में पानी की ऊंचाई की भविष्यवाणी की। जल्द ही दुनिया के सभी बंदरगाहों के लिए समान वक्र तैयार किए गए।

यदि किसी असंतत कार्य के कारण प्रक्रिया बाधित हो तो क्या होगा?

उस समय यह स्पष्ट लग रहा था कि बड़ी संख्या में गिनती के तत्वों के साथ एक ज्वारीय तरंग भविष्यवक्ता बड़ी संख्या में चरणों और आयामों की गणना कर सकता है और इस प्रकार अधिक सटीक भविष्यवाणियां प्रदान कर सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि यह पैटर्न उन मामलों में नहीं देखा गया है जहाँ ज्वारीय अभिव्यक्ति को संश्लेषित किया जाना चाहिए जिसमें तेज उछाल था, यानी, यह असंतत था। यदि समय क्षणों की तालिका से डेटा डिवाइस में दर्ज किया जाता है, तो यह कई फूरियर गुणांक की गणना करता है। मूल कार्य को साइनसॉइडल घटकों (पाये गए गुणांक के अनुसार) के कारण बहाल किया जाता है। मूल और पुनर्निर्मित अभिव्यक्ति के बीच विसंगति को किसी भी बिंदु पर मापा जा सकता है। बार-बार गणना और तुलना करने पर यह स्पष्ट है कि सबसे बड़ी त्रुटि का मान कम नहीं होता है। हालाँकि, वे विच्छेदन बिंदु के अनुरूप क्षेत्र में स्थानीयकृत होते हैं, और किसी अन्य बिंदु पर वे शून्य हो जाते हैं। 1899 में, इस परिणाम की सैद्धांतिक रूप से येल विश्वविद्यालय के जोशुआ विलार्ड गिब्स ने पुष्टि की थी।

फूरियर श्रृंखला का अभिसरण और सामान्य रूप से गणित का विकास

फूरियर विश्लेषण एक निश्चित अंतराल पर अनंत संख्या में स्पाइक्स वाले अभिव्यक्तियों पर लागू नहीं होता है। सामान्य तौर पर, फूरियर श्रृंखला, यदि मूल फ़ंक्शन को वास्तविक के परिणाम द्वारा दर्शाया जाता है भौतिक आयाम, हमेशा अभिसरण। कार्यों के विशिष्ट वर्गों के लिए इस प्रक्रिया के अभिसरण के बारे में सवालों के कारण गणित में नई शाखाओं का उदय हुआ, उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत कार्यों का सिद्धांत। वह एल. श्वार्ट्ज, जे. मिकुसिंस्की और जे. टेम्पल जैसे नामों से जुड़ी हैं। इस सिद्धांत के ढांचे के भीतर, एक स्पष्ट और सटीक सैद्धांतिक आधारडिराक डेल्टा फ़ंक्शन (यह एक बिंदु के एक अत्यंत छोटे पड़ोस में केंद्रित एकल क्षेत्र के क्षेत्र का वर्णन करता है) और हेविसाइड "स्टेप" जैसी अभिव्यक्तियों के तहत। इस कार्य के लिए धन्यवाद, फूरियर श्रृंखला सहज अवधारणाओं से जुड़े समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए लागू हो गई: बिंदु चार्ज, बिंदु द्रव्यमान, चुंबकीय द्विध्रुव, और एक बीम पर केंद्रित भार।

फूरियर विधि

फूरियर श्रृंखला, हस्तक्षेप के सिद्धांतों के अनुसार, जटिल रूपों को सरल रूपों में विघटित करने से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, ऊष्मा के प्रवाह में परिवर्तन को अनियमित आकार की ऊष्मा-रोधक सामग्री से बनी विभिन्न बाधाओं के माध्यम से इसके पारित होने या पृथ्वी की सतह में परिवर्तन - भूकंप, कक्षा में परिवर्तन द्वारा समझाया गया है। खगोलीय पिंड- ग्रहों का प्रभाव. एक नियम के रूप में, ऐसे समीकरण जो सरल शास्त्रीय प्रणालियों का वर्णन करते हैं, प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग के लिए आसानी से हल किए जा सकते हैं। फूरियर ने वह दिखाया सरल उपायअधिक जटिल समस्याओं का समाधान प्राप्त करने के लिए भी इसका सारांश दिया जा सकता है। गणितीय शब्दों में, फूरियर श्रृंखला एक अभिव्यक्ति को हार्मोनिक्स - कोसाइन और साइन के योग के रूप में प्रस्तुत करने की एक तकनीक है। इसीलिए यह विश्लेषणहार्मोनिक विश्लेषण के रूप में भी जाना जाता है।

फूरियर श्रृंखला - "कंप्यूटर युग" से पहले एक आदर्श तकनीक

सृष्टि से पहले कंप्यूटर उपकरणहमारी दुनिया की तरंग प्रकृति के साथ काम करते समय फूरियर तकनीक वैज्ञानिकों के शस्त्रागार में सबसे अच्छा हथियार थी। फोरियर श्रेणी जटिल रूपआपको न केवल निर्णय लेने की अनुमति देता है सरल कार्य, जो न केवल न्यूटन के यांत्रिकी के नियमों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के लिए उत्तरदायी हैं, बल्कि मौलिक समीकरणों के लिए भी उत्तरदायी हैं। उन्नीसवीं शताब्दी में न्यूटोनियन विज्ञान की अधिकांश खोजें फूरियर की तकनीक से ही संभव हो सकीं।

फूरियर श्रृंखला आज

कंप्यूटर के विकास के साथ, फूरियर रूपांतरण गुणात्मक रूप से नए स्तर पर पहुंच गया है। यह तकनीक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में मजबूती से स्थापित है। एक उदाहरण डिजिटल ऑडियो और वीडियो है. इसका कार्यान्वयन उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में एक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा विकसित सिद्धांत के कारण ही संभव हो सका। इस प्रकार, जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला ने बाहरी अंतरिक्ष के अध्ययन में एक सफलता हासिल करना संभव बना दिया। इसके अलावा, इसने अर्धचालक सामग्री और प्लाज्मा, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार और भूकंप विज्ञान के भौतिकी के अध्ययन को प्रभावित किया।

त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला

गणित में, फूरियर श्रृंखला मनमानी का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है जटिल कार्यसरल लोगों का योग. में सामान्य मामलेऐसे भावों की संख्या अनंत हो सकती है। इसके अलावा, गणना में उनकी संख्या को जितना अधिक ध्यान में रखा जाएगा, अंतिम परिणाम उतना ही सटीक होगा। अक्सर, कोसाइन या साइन के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग सबसे सरल के रूप में किया जाता है। इस मामले में, फूरियर श्रृंखला को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और ऐसे भावों के समाधान को हार्मोनिक विस्तार कहा जाता है। यह विधि खेलती है महत्वपूर्ण भूमिकागणित में। सबसे पहले, त्रिकोणमितीय श्रृंखला कार्यों को चित्रित करने और उनका अध्ययन करने के लिए एक साधन प्रदान करती है, यह सिद्धांत का मुख्य उपकरण है; इसके अलावा, यह आपको गणितीय भौतिकी में कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। अंत में, इस सिद्धांत ने गणितीय विज्ञान की कई महत्वपूर्ण शाखाओं (अभिन्नों का सिद्धांत, आवधिक कार्यों का सिद्धांत) के विकास में योगदान दिया। इसके अलावा, इसने वास्तविक चर के निम्नलिखित कार्यों के विकास के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया, और हार्मोनिक विश्लेषण की नींव भी रखी।