गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल. MS EXCEL में माध्य (विचरण ज्ञात है) का अनुमान लगाने के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल

अक्सर मूल्यांकक को उस खंड के रियल एस्टेट बाजार का विश्लेषण करना होता है जिसमें मूल्यांकन की जा रही संपत्ति स्थित है। यदि बाजार विकसित है, तो प्रस्तुत वस्तुओं के पूरे सेट का विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए विश्लेषण के लिए वस्तुओं का एक नमूना उपयोग किया जाता है। यह नमूना हमेशा सजातीय नहीं बनता है; कभी-कभी इसे चरम बिंदुओं से साफ़ करना आवश्यक होता है - बहुत अधिक या बहुत कम बाज़ार ऑफ़र। इसी उद्देश्य से इसका प्रयोग किया जाता है विश्वास अंतराल. लक्ष्य ये अध्ययन- विश्वास अंतराल की गणना के लिए दो तरीकों का तुलनात्मक विश्लेषण करें और estimatica.pro सिस्टम में विभिन्न नमूनों के साथ काम करते समय इष्टतम गणना विकल्प का चयन करें।

विश्वास अंतराल- एक नमूने के आधार पर गणना की गई विशेषता मानों का अंतराल, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ अनुमानित पैरामीटर शामिल होता है जनसंख्या.

विश्वास अंतराल की गणना करने का उद्देश्य नमूना डेटा के आधार पर ऐसे अंतराल का निर्माण करना है ताकि दी गई संभावना के साथ यह कहा जा सके कि अनुमानित पैरामीटर का मान इस अंतराल में है। दूसरे शब्दों में, विश्वास अंतराल में एक निश्चित संभावना होती है अज्ञात मूल्यअनुमानित मूल्य। अंतराल जितना व्यापक होगा, अशुद्धि उतनी ही अधिक होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल निर्धारित करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं। इस लेख में हम 2 तरीकों पर गौर करेंगे:

• माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से;
• के माध्यम से महत्वपूर्ण मानटी-सांख्यिकी (छात्र का गुणांक)।

चरणों तुलनात्मक विश्लेषण विभिन्न तरीकेसीआई गणना:

1. एक डेटा नमूना तैयार करें;

2. हम इसे सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करके संसाधित करते हैं: हम औसत मूल्य, माध्यिका, विचरण, आदि की गणना करते हैं;

3. विश्वास अंतराल की गणना दो तरीकों से करें;

4. साफ किए गए नमूनों और परिणामी आत्मविश्वास अंतराल का विश्लेषण करें।

चरण 1. डेटा नमूनाकरण

नमूना estimatica.pro प्रणाली का उपयोग करके बनाया गया था। नमूने में "ख्रुश्चेव" प्रकार के लेआउट के साथ तीसरे मूल्य क्षेत्र में 1-कमरे वाले अपार्टमेंट की बिक्री के लिए 91 प्रस्ताव शामिल थे।

तालिका 1. प्रारंभिक नमूना

	मूल्य 1 वर्ग मीटर, इकाइयाँ

चित्र .1। प्रारंभिक नमूना

चरण 2. प्रारंभिक नमूने का प्रसंस्करण

सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करके किसी नमूने को संसाधित करने के लिए निम्नलिखित मानों की गणना की आवश्यकता होती है:

1. अंकगणितीय माध्य

2. माध्यिका - नमूने को दर्शाने वाली एक संख्या: नमूना तत्वों का ठीक आधा हिस्सा माध्यिका से बड़ा है, अन्य आधा माध्यिका से कम है

(विषम संख्या में मान वाले नमूने के लिए)

3. रेंज - नमूने में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर

4. वेरिएंस - डेटा की भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है

5. नमूना मानक विचलन (इसके बाद - एसडी) अंकगणित माध्य के आसपास समायोजन मूल्यों के फैलाव का सबसे आम संकेतक है।

6. भिन्नता का गुणांक - समायोजन मूल्यों के बिखरने की डिग्री को दर्शाता है

7. दोलन गुणांक - औसत के आसपास नमूने में चरम मूल्य मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है

तालिका 2. मूल नमूने के सांख्यिकीय संकेतक

भिन्नता का गुणांक, जो डेटा की एकरूपता को दर्शाता है, 12.29% है, लेकिन दोलन का गुणांक बहुत अधिक है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मूल नमूना सजातीय नहीं है, तो आइए विश्वास अंतराल की गणना के लिए आगे बढ़ें।

चरण 3. आत्मविश्वास अंतराल गणना

विधि 1. माध्यिका और मानक विचलन का उपयोग करके गणना।

विश्वास अंतराल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: न्यूनतम मूल्य - मानक विचलन माध्यिका से घटाया जाता है; अधिकतम मान - मानक विचलन माध्यिका में जोड़ा जाता है।

इस प्रकार, आत्मविश्वास अंतराल (47179 सीयू; 60689 सीयू)

चावल। 2. विश्वास अंतराल के अंतर्गत आने वाले मान 1.

विधि 2. टी-सांख्यिकी (छात्र गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य का उपयोग करके एक आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण

एस.वी. ग्रिबोव्स्की पुस्तक में " गणितीय तरीकेसंपत्ति के मूल्य का अनुमान लगाना" छात्र गुणांक का उपयोग करके आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की एक विधि का वर्णन करता है। इस पद्धति का उपयोग करके गणना करते समय, अनुमानक को स्वयं महत्व स्तर ∝ निर्धारित करना होगा, जो संभावना निर्धारित करता है जिसके साथ विश्वास अंतराल का निर्माण किया जाएगा। आमतौर पर, 0.1 के महत्व स्तर का उपयोग किया जाता है; 0.05 और 0.01. वे 0.9 की आत्मविश्वास संभावनाओं के अनुरूप हैं; 0.95 और 0.99. इस विधि से वास्तविक मानों की कल्पना की जाती है गणितीय अपेक्षाऔर भिन्नताएं व्यावहारिक रूप से अज्ञात हैं (जो व्यावहारिक अनुमान समस्याओं को हल करते समय लगभग हमेशा सत्य होती है)।

कॉन्फिडेंस इंटरवल फॉर्मूला:

एन - नमूना आकार;

महत्व स्तर ∝ के साथ टी-सांख्यिकी (छात्र वितरण) का महत्वपूर्ण मूल्य, स्वतंत्रता की डिग्री एन -1 की संख्या, जो विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं से या एमएस एक्सेल (→ "सांख्यिकीय" → अध्ययनकर्ता) का उपयोग करके निर्धारित की जाती है;

∝ - महत्व स्तर, ∝=0.01 लें।

चावल। 2. विश्वास अंतराल के अंतर्गत आने वाले मान 2.

चरण 4. आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए विभिन्न तरीकों का विश्लेषण

आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के दो तरीकों - माध्यिका और छात्र के गुणांक के माध्यम से - का नेतृत्व किया विभिन्न अर्थअंतराल. तदनुसार, हमें दो अलग-अलग साफ किए गए नमूने मिले।

तालिका 3. तीन नमूनों के आँकड़े।

अनुक्रमणिका	प्रारंभिक नमूना	1 विकल्प	विकल्प 2
औसत मूल्य
फैलाव
कोएफ़. बदलाव
कोएफ़. दोलनों
सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या, पीसी।

की गई गणना के आधार पर, हम कह सकते हैं कि प्राप्त हुआ विभिन्न तरीकेविश्वास अंतराल के मान प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए आप मूल्यांकनकर्ता के विवेक पर किसी भी गणना पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

हालाँकि, हमारा मानना ​​​​है कि estimatica.pro प्रणाली में काम करते समय, बाजार विकास की डिग्री के आधार पर विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि चुनने की सलाह दी जाती है:

• यदि बाजार अविकसित है, तो माध्यिका और मानक विचलन का उपयोग करके गणना पद्धति का उपयोग करें, क्योंकि इस मामले में सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या कम है;
• यदि बाजार विकसित हो गया है, तो टी-सांख्यिकी (छात्र गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से गणना लागू करें, क्योंकि एक बड़ा प्रारंभिक नमूना बनाना संभव है।

लेख तैयार करने में निम्नलिखित का उपयोग किया गया:

1. ग्रिबोव्स्की एस.वी., सिवेट्स एस.ए., लेविकिना आई.ए. संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके। मॉस्को, 2014

2. सिस्टम डेटा estimatica.pro

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह डेटा से गणना किया गया एक अंतराल है, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा शामिल होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए एक प्राकृतिक अनुमान उसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, पूरे पाठ में हम "औसत" और "औसत मूल्य" शब्दों का उपयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की समस्याओं में, सबसे अधिक बार एक उत्तर की आवश्यकता होती है जैसे "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [किसी विशेष समस्या में मूल्य] [छोटे मूल्य] से [बड़े मूल्य] तक होता है।" आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके, आप न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन कर सकते हैं, बल्कि सामान्य जनसंख्या की किसी विशेष विशेषता के अनुपात का भी मूल्यांकन कर सकते हैं। औसत, विचरण, मानक विचलनऔर जिन त्रुटियों के माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों तक पहुंचेंगे, उन पर पाठ में चर्चा की गई है नमूने और जनसंख्या के लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि जनसंख्या के औसत मूल्य का अनुमान किसी संख्या (बिंदु) द्वारा लगाया जाता है, तो एक विशिष्ट औसत, जिसकी गणना टिप्पणियों के नमूने से की जाती है, को जनसंख्या के अज्ञात औसत मूल्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूना माध्य इंगित करते समय, आपको साथ ही नमूना त्रुटि भी इंगित करनी होगी। नमूनाकरण त्रुटि का माप मानक त्रुटि है, जिसे माध्य के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है: .

यदि औसत के अनुमान को एक निश्चित संभावना के साथ जोड़ने की आवश्यकता है, तो जनसंख्या में रुचि के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि एक अंतराल के रूप में लगाया जाना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक ऐसा अंतराल है जिसमें, एक निश्चित संभावना के साथ पीअनुमानित जनसंख्या सूचक का मान ज्ञात किया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें यह संभावित है पी = 1 - α यादृच्छिक चर पाया जाता है, जिसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो सांख्यिकी पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण से और जनसंख्या माध्य को नमूना माध्य से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। इस प्रकार, अधिकांश मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग किया जा सकता है

• जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र, नमूना आकार में जनसंख्या विचरण का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए एनद्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1।एक निश्चित शहर में यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की गई कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

मानक का क्रांतिक मान कहां है सामान्य वितरणमहत्व स्तर के लिए α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 से 11.4 तक था।

उदाहरण 2. 64 अवलोकनों की जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

आइए मानक विचलन की गणना करें:

,

आइए औसत मूल्य की गणना करें:

.

हम विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3. 100 अवलोकनों के यादृच्छिक जनसंख्या नमूने के लिए, परिकलित माध्य 15.2 है और मानक विचलन 3.2 है। अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता अपरिवर्तित रहती है और आत्मविश्वास गुणांक बढ़ता है, तो क्या आत्मविश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

हम फिर से इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि हम देखते हैं, जैसे-जैसे विश्वास गुणांक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और परिणामस्वरूप, अंतराल के शुरुआती और समाप्ति बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल बढ़ता है .

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

कुछ नमूना विशेषता के हिस्से की व्याख्या एक बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है विशिष्ट गुरुत्व पीसामान्य जनसंख्या में समान विशेषताएँ। यदि इस मान को संभाव्यता के साथ संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभाव्यता के साथ जनसंख्या में विशेषता पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4.किसी शहर में दो उम्मीदवार हैं एऔर बीमेयर के लिए दौड़ रहे हैं. 200 शहर निवासियों का यादृच्छिक सर्वेक्षण किया गया, जिनमें से 46% ने जवाब दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

विश्वास अंतराल– मूल्यों को सीमित करें सांख्यिकीय मूल्य, जो एक निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ γ बड़ी मात्रा का नमूना लेने पर इस अंतराल में होगा। P(θ - ε) के रूप में दर्शाया जाता है। व्यवहार में, विश्वास संभावना γ को एकता के काफी करीब मूल्यों से चुना जाता है: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99।

सेवा का उद्देश्य. इस सेवा का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल, विचरण के लिए विश्वास अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य शेयर के लिए विश्वास अंतराल;

परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा गया है (उदाहरण देखें)। प्रारंभिक डेटा कैसे भरें, इस पर एक वीडियो निर्देश नीचे दिया गया है।

उदाहरण क्रमांक 1. एक सामूहिक फार्म पर, 1000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण कतरन से गुजरना पड़ा। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ औसतन 4.2 किलोग्राम ऊन की कतरन स्थापित की गई। प्रति भेड़ औसत ऊन कतरन का निर्धारण करते समय नमूने की माध्य वर्ग त्रुटि 0.99 की संभावना के साथ निर्धारित करें और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य किस सीमा के भीतर निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है.
उदाहरण संख्या 2. मॉस्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के एक बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक दोहराया नमूने द्वारा लिए गए थे। परीक्षण के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी सामग्री स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% के बराबर निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी सामग्री की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण संख्या 3. 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला कि वे प्रति वर्ष औसतन कितनी पाठ्यपुस्तकें पढ़ते हैं शैक्षणिक वर्ष, 6 के बराबर निकला। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, खोजें: ए) 0.99 की विश्वसनीयता के साथ, गणितीय के लिए एक अंतराल अनुमान इस यादृच्छिक चर की अपेक्षा; बी) हम किस संभावना के साथ कह सकते हैं कि किसी दिए गए नमूने से गणना की गई प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा से भिन्न होगी निरपेक्ष मूल्य 2 से अधिक नहीं.

आत्मविश्वास अंतराल का वर्गीकरण

मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार के अनुसार:

नमूना प्रकार के अनुसार:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

नमूने को पुनः नमूनाकरण कहा जाता है, यदि चयनित वस्तु अगले वस्तु को चुनने से पहले जनसंख्या में वापस कर दी जाती है। नमूने को गैर-दोहराना कहा जाता है, यदि चयनित वस्तु जनसंख्या में वापस नहीं आती है। व्यवहार में, हम आम तौर पर गैर-दोहराव वाले नमूनों से निपटते हैं।

यादृच्छिक नमूनाकरण के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संबंधित मापदंडों के बीच विसंगति को कहा जाता है प्रतिनिधित्व संबंधी त्रुटि.
सामान्य और नमूना आबादी के मुख्य मापदंडों के पदनाम।

औसत नमूनाकरण त्रुटि सूत्र
पुनः चयन		गैर-पुनरावृत्ति चयन
औसत के लिए	शेयर के लिए	औसत के लिए	शेयर के लिए

नमूना त्रुटि सीमा (Δ) के बीच संबंध कुछ संभावना के साथ गारंटीकृत है Р(टी),और औसत त्रुटिनमूने का रूप है: या Δ = t·μ, जहां टी- आत्मविश्वास गुणांक, लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन की तालिका के अनुसार संभाव्यता स्तर पी (टी) के आधार पर निर्धारित किया जाता है।

विशुद्ध रूप से यादृच्छिक नमूनाकरण विधि का उपयोग करके नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर (हम एक सामान्य जनसंख्या के बारे में बात कर सकते हैं) को एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसके लिए विचरण D = 2 (> 0) ज्ञात है। सामान्य जनसंख्या से (वस्तुओं के सेट पर जिनमें से एक यादृच्छिक चर निर्धारित होता है), आकार n का एक नमूना बनाया जाता है। नमूना x 1 , x 2 ,..., x n को n स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक सेट के रूप में माना जाता है जिसे उसी तरह वितरित किया जाता है (पाठ में ऊपर बताया गया दृष्टिकोण)।

निम्नलिखित समानताओं पर पहले भी चर्चा की गई और सिद्ध किया गया:

एमएक्स 1 = एमएक्स 2 = ... = एमएक्स एन = एम;

डीएक्स 1 = डीएक्स 2 = ... = डीएक्स एन = डी;

यह केवल सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है (हम प्रमाण छोड़ देते हैं) कि यादृच्छिक चर इस मामले मेंसामान्य कानून के अनुसार भी वितरित किया जाता है।

आइए हम अज्ञात मात्रा M को a से निरूपित करें और दी गई विश्वसनीयता के आधार पर संख्या d > 0 चुनें ताकि शर्त पूरी हो जाए:

पी(-ए< d) = (1)

चूंकि यादृच्छिक चर को गणितीय अपेक्षा एम = एम = ए और भिन्नता डी = डी /एन = 2 /एन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

पी(-ए< d) =P(a - d < < a + d) =

यह d को ऐसे चुनना बाकी है कि समानता बनी रहे

किसी एक के लिए, आप संख्या t को खोजने के लिए तालिका का उपयोग कर सकते हैं जैसे कि (t)= / 2. इस संख्या को कभी-कभी t भी कहा जाता है मात्रात्मक.

अब समानता से

आइए d का मान निर्धारित करें:

हम सूत्र (1) को इस रूप में प्रस्तुत करके अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

अंतिम सूत्र का अर्थ इस प्रकार है: विश्वसनीयता के साथ, विश्वास अंतराल

जनसंख्या के अज्ञात पैरामीटर a = M को कवर करता है। आप इसे अलग ढंग से कह सकते हैं: बिंदु लागतसटीकता d= t / और विश्वसनीयता के साथ पैरामीटर M का मान निर्धारित करता है।

काम। मान लीजिए कि 6.25 के बराबर भिन्नता के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक निश्चित विशेषता वाली एक सामान्य आबादी है। n = 27 का एक नमूना आकार लिया गया और विशेषता का औसत नमूना मूल्य = 12 प्राप्त हुआ। विश्वसनीयता = 0.99 के साथ सामान्य जनसंख्या की अध्ययन की गई विशेषता की अज्ञात गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला एक विश्वास अंतराल खोजें।

समाधान। सबसे पहले, लाप्लास फ़ंक्शन के लिए तालिका का उपयोग करके, हम समानता (t) = / 2 = 0.495 से t का मान पाते हैं। प्राप्त मूल्य t = 2.58 के आधार पर, हम अनुमान की सटीकता (या विश्वास अंतराल की आधी लंबाई) d: d = 2.52.58 / 1.24 निर्धारित करते हैं। यहां से हमें आवश्यक आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त होता है: (10.76; 13.24)।

सांख्यिकीय परिकल्पना सामान्य परिवर्तनशील

सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल जब नहीं ज्ञात विचरण

मान लीजिए कि यह एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा एम के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है, जिसे हम अक्षर ए द्वारा निरूपित करते हैं। आइए आयतन n का एक नमूना बनाएं। आइए हम ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके औसत नमूना और सही नमूना भिन्नता एस 2 निर्धारित करें।

यादृच्छिक मूल्य

स्वतंत्रता की n-1 डिग्री के साथ छात्र के कानून के अनुसार वितरित।

कार्य किसी दी गई विश्वसनीयता के लिए एक संख्या t और स्वतंत्रता की डिग्री n - 1 की संख्या ज्ञात करना है ताकि समानता हो

या समकक्ष समानता

यहां कोष्ठक में यह शर्त लिखी गई है कि अज्ञात पैरामीटर का मान एक निश्चित अंतराल से संबंधित है, जो कि विश्वास अंतराल है। इसकी सीमाएं विश्वसनीयता के साथ-साथ नमूना मापदंडों और एस पर निर्भर करती हैं।

परिमाण द्वारा t का मान निर्धारित करने के लिए, हम समानता (2) को इस रूप में बदलते हैं:

अब, विद्यार्थी के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर t के लिए तालिका का उपयोग करते हुए, संभाव्यता 1 - और स्वतंत्रता की डिग्री n - 1 का उपयोग करते हुए, हम t पाते हैं। सूत्र (3) प्रस्तुत समस्या का उत्तर देता है।

काम। 20 विद्युत लैंप के नियंत्रण परीक्षण के दौरान औसत अवधिउनका कार्य 2000 घंटे के बराबर था जिसमें मानक विचलन (संशोधित नमूना विचरण के वर्गमूल के रूप में गणना) 11 घंटे के बराबर था। यह ज्ञात है कि लैंप संचालन की अवधि सामान्य रूप से वितरित की जाती है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.95 की विश्वसनीयता के साथ एक विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

समाधान। मान 1 - इस मामले में 0.05 के बराबर है। छात्र वितरण तालिका के अनुसार, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 19 के बराबर होने पर, हम पाते हैं: t = 2.093। आइए अब अनुमान की सटीकता की गणना करें: 2.093121/ = 56.6। यहां से हमें आवश्यक आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त होता है: (1943.4; 2056.6)।

मान लीजिए कि जनसंख्या के यादृच्छिक चर X को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, यह ध्यान में रखते हुए कि इस वितरण के विचरण और मानक विचलन ज्ञात हैं। नमूना माध्य का उपयोग करके अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाना आवश्यक है। इस मामले में, कार्य विश्वसनीयता बी के साथ गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल खोजने के लिए नीचे आता है। यदि आप मान निर्धारित करते हैं आत्मविश्वास की संभावना(विश्वसनीयता) बी, तो आप सूत्र (6.9ए) का उपयोग करके किसी अज्ञात गणितीय अपेक्षा के अंतराल में आने की संभावना पा सकते हैं:

जहां Ф(t) लाप्लास फ़ंक्शन (5.17a) है।

परिणामस्वरूप, यदि विचरण D = s 2 ज्ञात हो तो हम गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल की सीमाओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार कर सकते हैं:

1. विश्वसनीयता मान निर्धारित करें - बी.
2. (6.14) से Ф(t) = 0.5× b व्यक्त करें। मान Ф(t) के आधार पर लाप्लास फ़ंक्शन के लिए तालिका से t का मान चुनें (परिशिष्ट 1 देखें)।
3. सूत्र (6.10) का उपयोग करके विचलन ई की गणना करें।
4. सूत्र (6.12) का उपयोग करके एक आत्मविश्वास अंतराल लिखें, ताकि संभावना बी के साथ असमानता बनी रहे:

.

उदाहरण 5.

यादृच्छिक चर X का सामान्य वितरण होता है। अज्ञात गणितीय अपेक्षा ए की विश्वसनीयता बी = 0.96 के साथ एक अनुमान के लिए विश्वास अंतराल खोजें, यदि दिया गया हो:

1) सामान्य मानक विचलन s = 5;

2) नमूना औसत;

3) नमूना आकार n = 49।

गणितीय अपेक्षा के अंतराल अनुमान के लिए सूत्र (6.15) में ए विश्वसनीयता b के साथ t को छोड़कर सभी मात्राएँ ज्ञात हैं। t का मान (6.14) का उपयोग करके पाया जा सकता है: b = 2Ф(t) = 0.96। एफ(टी) = 0.48.

लाप्लास फ़ंक्शन Ф(t) = 0.48 के लिए परिशिष्ट 1 में तालिका का उपयोग करके, संबंधित मान t = 2.06 ज्ञात करें। इस तरह, . ई के परिकलित मान को सूत्र (6.12) में प्रतिस्थापित करके, आप एक विश्वास अंतराल प्राप्त कर सकते हैं: 30-1.47< a < 30+1,47.

अज्ञात गणितीय अपेक्षा की विश्वसनीयता बी = 0.96 के साथ एक अनुमान के लिए आवश्यक आत्मविश्वास अंतराल बराबर है: 28.53< a < 31,47.