यदि भिन्नता शृंखला का स्वरूप है। भिन्नता और भिन्नता श्रृंखला, भिन्नता का दायरा

तालिका 1. असतत भिन्नता आवृत्ति श्रृंखला का सामान्य दृश्य

तालिका 2. आवृत्तियों की अंतराल भिन्नता श्रृंखला का सामान्य दृश्य

तालिका 3. विविधता श्रृंखला की ग्राफिक छवियां

पंक्ति	बहुभुज या हिस्टोग्राम		अनुभवजन्य वितरण समारोह
अलग
मध्यान्तर

तालिका में 2.3 (अप्रैल 1994 में औसत प्रति व्यक्ति आय के आधार पर रूसी जनसंख्या का समूहन) प्रस्तुत किया गया है अंतराल भिन्नता श्रृंखला.
ग्राफिकल छवि का उपयोग करके वितरण श्रृंखला का विश्लेषण करना सुविधाजनक है, जो किसी को वितरण के आकार का न्याय करने की अनुमति देता है। भिन्नता श्रृंखला की आवृत्तियों में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व दिया गया है बहुभुज और हिस्टोग्राम.
बहुभुज का उपयोग असतत भिन्नता श्रृंखला को चित्रित करते समय किया जाता है.
आइए, उदाहरण के लिए, अपार्टमेंट के प्रकार के आधार पर आवास स्टॉक के वितरण को ग्राफिक रूप से चित्रित करें (तालिका 2.10)।
तालिका 2.10 - अपार्टमेंट के प्रकार (सशर्त आंकड़े) द्वारा शहरी क्षेत्र के आवास स्टॉक का वितरण।

चावल। आवास वितरण क्षेत्र

चावल। 2.2. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों के वितरण का हिस्टोग्राम

चावल। 2.3. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों का संचयी वितरण

भिन्नता श्रृंखला को ग्राफ़िक रूप से दर्शाने के लिए भी इसका उपयोग किया जा सकता है संचयी वक्र. संचयी (योग वक्र) का उपयोग करके, संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला को दर्शाया गया है। संचयी आवृत्तियाँ समूहों में आवृत्तियों को क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित की जाती हैं और दर्शाती हैं कि जनसंख्या में कितनी इकाइयों के गुण मान विचाराधीन मूल्य से अधिक नहीं हैं।

चावल। 2.4. प्रति व्यक्ति रहने की जगह के आकार के आधार पर परिवारों का वितरण

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के संचयी का निर्माण करते समय, श्रृंखला के वेरिएंट को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संचित आवृत्तियों को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

सांख्यिकीय विश्लेषण में एक विशेष स्थान अध्ययन की जा रही विशेषता या घटना के औसत स्तर के निर्धारण का है। किसी गुण का औसत स्तर औसत मानों द्वारा मापा जाता है।

औसत मूल्य अध्ययन की जा रही विशेषता के सामान्य मात्रात्मक स्तर को दर्शाता है और सांख्यिकीय आबादी की एक समूह संपत्ति है। यह समतल करता है, एक दिशा या किसी अन्य में व्यक्तिगत अवलोकनों के यादृच्छिक विचलन को कमजोर करता है और अध्ययन की जा रही विशेषता की मुख्य, विशिष्ट संपत्ति पर प्रकाश डालता है।

औसत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:

1. जनसंख्या की स्वास्थ्य स्थिति का आकलन करने के लिए: शारीरिक विकास की विशेषताएं (ऊंचाई, वजन, छाती की परिधि, आदि), विभिन्न बीमारियों की व्यापकता और अवधि की पहचान करना, जनसांख्यिकीय संकेतकों का विश्लेषण करना (जनसंख्या की महत्वपूर्ण गतिविधि, औसत जीवन प्रत्याशा, जनसंख्या प्रजनन, औसत जनसंख्या और आदि)।

2. चिकित्सा संस्थानों, चिकित्सा कर्मियों की गतिविधियों का अध्ययन करना और उनके काम की गुणवत्ता का आकलन करना, विभिन्न प्रकार की चिकित्सा देखभाल के लिए जनसंख्या की जरूरतों की योजना बनाना और निर्धारित करना (प्रति वर्ष प्रति निवासी अनुरोधों या यात्राओं की औसत संख्या, रहने की औसत लंबाई) अस्पताल में मरीज, मरीज की जांच की औसत अवधि, डॉक्टरों, बिस्तरों आदि की औसत उपलब्धता)।

3. स्वच्छता और महामारी विज्ञान की स्थिति (कार्यशाला में औसत वायु धूल सामग्री, प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्र, प्रोटीन, वसा और कार्बोहाइड्रेट की औसत खपत, आदि) को चिह्नित करना।

4. सामान्य और रोग संबंधी स्थितियों में चिकित्सा और शारीरिक संकेतक निर्धारित करने के लिए, प्रयोगशाला डेटा संसाधित करते समय, सामाजिक, स्वच्छ, नैदानिक ​​और प्रयोगात्मक अध्ययनों में नमूना अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता स्थापित करने के लिए।

औसत मूल्यों की गणना भिन्नता श्रृंखला के आधार पर की जाती है। विविधता शृंखलाएक गुणात्मक रूप से सजातीय सांख्यिकीय जनसंख्या है, जिसकी व्यक्तिगत इकाइयाँ अध्ययन की जा रही विशेषता या घटना के मात्रात्मक अंतर को दर्शाती हैं।

मात्रात्मक भिन्नता दो प्रकार की हो सकती है: असंतत (अलग) और निरंतर।

एक असंतत (असतत) विशेषता को केवल एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जाता है और इसमें कोई मध्यवर्ती मान नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विज़िट की संख्या, साइट की जनसंख्या, परिवार में बच्चों की संख्या, बीमारी की गंभीरता अंकों में) , वगैरह।)।

एक निरंतर संकेत कुछ सीमाओं के भीतर किसी भी मान को ले सकता है, जिसमें आंशिक भी शामिल है, और केवल लगभग व्यक्त किया जाता है (उदाहरण के लिए, वजन - वयस्कों के लिए यह किलोग्राम तक सीमित हो सकता है, और नवजात शिशुओं के लिए - ग्राम; ऊंचाई, रक्तचाप, समय) एक मरीज़ को देखने में बिताया, और आदि)।

भिन्नता श्रृंखला में शामिल प्रत्येक व्यक्तिगत विशेषता या घटना के डिजिटल मूल्य को एक प्रकार कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है वी . उदाहरण के लिए, गणितीय साहित्य में अन्य संकेतन भी पाए जाते हैं एक्स या वाई

एक विविधता श्रृंखला, जहां प्रत्येक विकल्प को एक बार इंगित किया जाता है, सरल कहलाती है।ऐसी श्रृंखलाओं का उपयोग कंप्यूटर डेटा प्रोसेसिंग के मामले में अधिकांश सांख्यिकीय समस्याओं में किया जाता है।

जैसे-जैसे अवलोकनों की संख्या बढ़ती है, भिन्न-भिन्न मानों की पुनरावृत्ति होने लगती है। इस मामले में, यह बनाया गया है समूहीकृत विविधता श्रृंखला, जहां दोहराव की संख्या इंगित की जाती है (आवृत्ति, अक्षर द्वारा निरूपित) आर »).

रैंक भिन्नता श्रृंखलाइसमें आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित विकल्प शामिल हैं। सरल और समूहीकृत दोनों श्रृंखलाओं को रैंकिंग के साथ संकलित किया जा सकता है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखलाबहुत बड़ी संख्या में अवलोकन इकाइयों (1000 से अधिक) के साथ, कंप्यूटर के उपयोग के बिना की जाने वाली बाद की गणनाओं को सरल बनाने के लिए संकलित किया गया।

निरंतर परिवर्तन श्रृंखलाइसमें विकल्प मान शामिल हैं, जो कोई भी मान हो सकते हैं।

यदि किसी भिन्नता श्रृंखला में किसी विशेषता (वेरिएंट) के मान अलग-अलग विशिष्ट संख्याओं के रूप में दिए गए हों, तो ऐसी श्रृंखला कहलाती है अलग.

भिन्नता श्रृंखला में परिलक्षित विशेषता के मूल्यों की सामान्य विशेषताएँ औसत मूल्य हैं। उनमें से, सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: अंकगणितीय माध्य एम,पहनावा एमओऔर मध्यिका मुझे।इनमें से प्रत्येक विशेषता अद्वितीय है। वे एक-दूसरे की जगह नहीं ले सकते हैं और केवल एक साथ मिलकर वे भिन्नता श्रृंखला की विशेषताओं को पूरी तरह से और संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करते हैं।

पहनावा (मो) सबसे अधिक बार आने वाले विकल्पों का मान बताएं।

मंझला (मुझे) - यह क्रमबद्ध भिन्नता श्रृंखला को आधे में विभाजित करने वाले विकल्प का मूल्य है (माध्यिका के प्रत्येक पक्ष पर विकल्प का आधा हिस्सा होता है)। दुर्लभ मामलों में, जब एक सममित भिन्नता श्रृंखला होती है, तो मोड और माध्य एक दूसरे के बराबर होते हैं और अंकगणित माध्य के मूल्य के साथ मेल खाते हैं।

विकल्प मानों की सबसे विशिष्ट विशेषता है अंकगणित औसतकीमत( एम ). गणितीय साहित्य में इसे दर्शाया गया है .

अंकगणित औसत (एम, ) अध्ययन की जा रही घटना की एक निश्चित विशेषता की एक सामान्य मात्रात्मक विशेषता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय सांख्यिकीय आबादी का गठन करती है। सरल और भारित अंकगणितीय औसत हैं। सरल अंकगणितीय माध्य की गणना एक साधारण भिन्नता श्रृंखला के लिए सभी विकल्पों का योग करके और इस योग को इस भिन्नता श्रृंखला में शामिल विकल्पों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

,

कहाँ: एम - सरल अंकगणित माध्य;

Σ वी - राशि विकल्प;

एन- अवलोकनों की संख्या.

समूहीकृत भिन्नता श्रृंखला में, भारित अंकगणितीय माध्य निर्धारित किया जाता है। इसकी गणना का सूत्र:

,

कहाँ: एम - अंकगणितीय भारित औसत;

Σ वीपी - उनकी आवृत्तियों द्वारा वेरिएंट के उत्पादों का योग;

एन- अवलोकनों की संख्या.

बड़ी संख्या में अवलोकनों के साथ, मैन्युअल गणना के मामले में, क्षणों की विधि का उपयोग किया जा सकता है।

अंकगणित माध्य में निम्नलिखित गुण होते हैं:

· औसत से विचलन का योग ( Σ डी ) शून्य के बराबर है (तालिका 15 देखें);

· जब सभी विकल्पों को एक ही गुणनखंड (भाजक) से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य को उसी गुणनखंड (भाजक) से गुणा (विभाजित) किया जाता है;

· यदि आप सभी विकल्पों में समान संख्या जोड़ते (घटाते) हैं, तो अंकगणितीय माध्य उसी संख्या से बढ़ता (घटता) है।

जिस श्रृंखला से उनकी गणना की जाती है, उसकी परिवर्तनशीलता को ध्यान में रखे बिना, अंकगणितीय औसत, भिन्नता श्रृंखला के गुणों को पूरी तरह से प्रतिबिंबित नहीं कर सकते हैं, खासकर जब अन्य औसतों के साथ तुलना आवश्यक हो। जो औसत मूल्य के करीब हैं उन्हें बिखरने की अलग-अलग डिग्री वाली श्रृंखला से प्राप्त किया जा सकता है। व्यक्तिगत विकल्प अपनी मात्रात्मक विशेषताओं के संदर्भ में एक-दूसरे के जितने करीब होंगे, उतना ही कम होगा फैलाव (दोलन, परिवर्तनशीलता)श्रृंखला, इसका औसत जितना अधिक विशिष्ट होगा।

मुख्य पैरामीटर जो हमें किसी विशेषता की परिवर्तनशीलता का आकलन करने की अनुमति देते हैं:

· दायरा;

· आयाम;

· मानक विचलन;

· भिन्नता का गुणांक.

किसी विशेषता की परिवर्तनशीलता का अनुमान भिन्नता श्रृंखला की सीमा और आयाम से लगाया जा सकता है। सीमा श्रृंखला में अधिकतम (वी अधिकतम) और न्यूनतम (वी मिनट) विकल्पों को इंगित करती है। आयाम (A m) इन विकल्पों के बीच का अंतर है: A m = V अधिकतम - V मिनट।

भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का मुख्य, आम तौर पर स्वीकृत माप है फैलाव (डी ). लेकिन सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला फैलाव के आधार पर गणना किया जाने वाला एक अधिक सुविधाजनक पैरामीटर है - मानक विचलन ( σ ). यह विचलन के परिमाण को ध्यान में रखता है ( डी ) प्रत्येक भिन्नता श्रृंखला का उसके अंकगणितीय माध्य से ( डी=वी - एम ).

चूँकि औसत से विचलन सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं, जब योग किया जाता है तो वे मान "0" (एस) देते हैं घ=0). इससे बचने के लिए, विचलन मान ( डी) को दूसरी घात तक बढ़ाया जाता है और औसत किया जाता है। इस प्रकार, एक भिन्नता श्रृंखला का फैलाव अंकगणितीय माध्य से एक प्रकार के विचलन का माध्य वर्ग है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

.

यह परिवर्तनशीलता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है और इसका उपयोग कई सांख्यिकीय मानदंडों की गणना करने के लिए किया जाता है।

चूंकि फैलाव को विचलन के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसलिए इसका मान अंकगणितीय माध्य के साथ तुलना में उपयोग नहीं किया जा सकता है। इन उद्देश्यों के लिए इसका उपयोग किया जाता है मानक विचलन, जिसे "सिग्मा" चिह्न द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है ( σ ). यह अंकगणितीय माध्य मान से भिन्नता श्रृंखला के सभी प्रकारों के औसत विचलन को औसत मान के समान इकाइयों में दर्शाता है, ताकि उनका एक साथ उपयोग किया जा सके।

मानक विचलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

निर्दिष्ट सूत्र तब लागू किया जाता है जब प्रेक्षणों की संख्या ( एन ) 30 से अधिक। कम संख्या के साथ एन मानक विचलन मान में गणितीय ऑफसेट से जुड़ी एक त्रुटि होगी ( एन - 1). इस संबंध में, मानक विचलन की गणना के सूत्र में इस तरह के पूर्वाग्रह को ध्यान में रखकर अधिक सटीक परिणाम प्राप्त किया जा सकता है:

मानक विचलन (एस ) एक यादृच्छिक चर के मानक विचलन का एक अनुमान है एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष।

मूल्यों के साथ एन > 30 मानक विचलन ( σ ) और मानक विचलन ( एस ) एक ही हो जाएगा ( σ =एस ). इसलिए, अधिकांश व्यावहारिक मैनुअल में इन मानदंडों के अलग-अलग अर्थ माने जाते हैं।एक कार्यक्रम में एक्सेल गणनामानक विचलन फ़ंक्शन =STDEV(रेंज) का उपयोग करके किया जा सकता है। और मानक विचलन की गणना करने के लिए, आपको एक उपयुक्त सूत्र बनाने की आवश्यकता है।

माध्य वर्ग या मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी विशेषता का मान औसत मान से कितना भिन्न हो सकता है। मान लीजिए कि गर्मियों में समान औसत दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं। इनमें से एक शहर तट पर और दूसरा महाद्वीप पर स्थित है। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में दिन के तापमान में अंतर अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कम होता है। इसलिए, तटीय शहर के लिए दिन के तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा। व्यवहार में, इसका मतलब है कि प्रत्येक का औसत वायु तापमान विशिष्ट दिनमहाद्वीप पर स्थित एक शहर में, तट पर स्थित एक शहर की तुलना में औसत से अधिक भिन्न होगा। इसके अलावा, मानक विचलन आपको संभाव्यता के आवश्यक स्तर के साथ औसत से संभावित तापमान विचलन का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, सामान्य वितरण कानून का पालन करने वाली घटनाओं में, अंकगणित माध्य, मानक विचलन और विकल्पों के मूल्यों के बीच एक सख्त संबंध होता है ( तीन सिग्मा नियम). उदाहरण के लिए, किसी भिन्न विशेषता के 68.3% मान M ± 1 के भीतर हैं σ , 95.5% - एम ± 2 के भीतर σ और 99.7% - एम ± 3 के भीतर σ .

मानक विचलन का मूल्य हमें भिन्नता श्रृंखला और अध्ययन समूह की एकरूपता की प्रकृति का न्याय करने की अनुमति देता है। यदि मानक विचलन का मान छोटा है, तो यह अध्ययन की जा रही घटना की काफी उच्च एकरूपता को इंगित करता है। इस मामले में अंकगणितीय माध्य को किसी दी गई भिन्नता श्रृंखला के लिए काफी विशिष्ट माना जाना चाहिए। हालाँकि, बहुत छोटा सिग्मा मान किसी को अवलोकनों के कृत्रिम चयन के बारे में सोचने पर मजबूर करता है। बहुत बड़े सिग्मा के साथ, अंकगणित माध्य कुछ हद तक भिन्नता श्रृंखला की विशेषता बताता है, जो अध्ययन की जा रही विशेषता या घटना की महत्वपूर्ण परिवर्तनशीलता या अध्ययन के तहत समूह की विविधता को इंगित करता है। हालाँकि, मानक विचलन के मान की तुलना केवल समान आयाम की विशेषताओं के लिए ही संभव है। वास्तव में, यदि हम नवजात बच्चों और वयस्कों के वजन की विविधता की तुलना करते हैं, तो हमें वयस्कों में हमेशा उच्च सिग्मा मान मिलेंगे।

विभिन्न आयामों की विशेषताओं की परिवर्तनशीलता की तुलना का उपयोग करके किया जा सकता है गुणांक का परिवर्तन. यह विविधता को माध्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करता है, जिससे तुलना की अनुमति मिलती है विभिन्न संकेत. चिकित्सा साहित्य में भिन्नता के गुणांक को "चिह्न" द्वारा दर्शाया गया है साथ ", और गणितीय में" वी"और सूत्र द्वारा गणना की गई:

.

10% से कम भिन्नता के गुणांक के मान छोटे बिखरने का संकेत देते हैं, 10 से 20% तक - औसत के बारे में, 20% से अधिक - अंकगणित माध्य के आसपास मजबूत बिखरने के बारे में।

अंकगणितीय औसत की गणना आमतौर पर डेटा के आधार पर की जाती है नमूना जनसंख्या. बार-बार अध्ययन करने पर, यादृच्छिक घटनाओं के प्रभाव में, अंकगणितीय माध्य बदल सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि, एक नियम के रूप में, अवलोकन की संभावित इकाइयों का केवल एक हिस्सा, यानी नमूना आबादी का अध्ययन किया जाता है। अध्ययन की जा रही घटना का प्रतिनिधित्व करने वाली सभी संभावित इकाइयों के बारे में जानकारी पूरी आबादी का अध्ययन करके प्राप्त की जा सकती है, जो हमेशा संभव नहीं है। साथ ही, प्रयोगात्मक डेटा को सामान्य बनाने के उद्देश्य से, सामान्य जनसंख्या में औसत का मूल्य रुचिकर है। इसलिए, अध्ययन की जा रही घटना के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष तैयार करने के लिए, नमूना आबादी के आधार पर प्राप्त परिणामों को सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करके सामान्य आबादी में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

नमूना अध्ययन और सामान्य जनसंख्या के बीच समझौते की डिग्री निर्धारित करने के लिए, नमूना अवलोकन के दौरान अनिवार्य रूप से उत्पन्न होने वाली त्रुटि की भयावहता का अनुमान लगाना आवश्यक है। इस त्रुटि को "" कहा जाता है प्रतिनिधित्व की त्रुटि"या" अंकगणितीय माध्य की औसत त्रुटि। यह वास्तव में नमूने से प्राप्त औसत के बीच का अंतर है सांख्यिकीय अवलोकन, और समान मूल्य जो एक ही वस्तु के निरंतर अध्ययन के दौरान प्राप्त किए जाएंगे, अर्थात। सामान्य जनसंख्या का अध्ययन करते समय। चूँकि नमूना माध्य एक यादृच्छिक चर है, इसलिए ऐसा पूर्वानुमान शोधकर्ता को स्वीकार्य संभाव्यता के स्तर के साथ किया जाता है। में चिकित्सा अनुसंधानयह कम से कम 95% है।

प्रतिनिधित्व संबंधी त्रुटि को पंजीकरण त्रुटियों या ध्यान त्रुटियों (स्लिप्स, गलत अनुमान, टाइपो इत्यादि) के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है, जिसे प्रयोग के दौरान उपयोग किए जाने वाले पर्याप्त तरीकों और उपकरणों द्वारा कम किया जाना चाहिए।

प्रतिनिधित्व त्रुटि का परिमाण नमूना आकार और विशेषता की परिवर्तनशीलता दोनों पर निर्भर करता है। कैसे बड़ी संख्याअवलोकन, नमूना जनसंख्या के जितना करीब होगा और त्रुटि उतनी ही कम होगी। चिह्न जितना अधिक परिवर्तनशील होगा, सांख्यिकीय त्रुटि उतनी ही अधिक होगी।

व्यवहार में, भिन्नता श्रृंखला में प्रतिनिधित्व त्रुटि निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

,

कहाँ: एम - प्रतिनिधित्व की त्रुटि;

σ - मानक विचलन;

एन- नमूने में अवलोकनों की संख्या.

सूत्र से यह स्पष्ट है कि आकार औसत त्रुटिमानक विचलन के सीधे आनुपातिक है, अर्थात, अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता, और अवलोकनों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है।

सापेक्ष मूल्यों की गणना के आधार पर सांख्यिकीय विश्लेषण करते समय, भिन्नता श्रृंखला का निर्माण आवश्यक नहीं है। इस मामले में, सापेक्ष संकेतकों के लिए औसत त्रुटि का निर्धारण एक सरल सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है:

,

कहाँ: आर- सापेक्ष संकेतक का मूल्य, प्रतिशत, पीपीएम, आदि के रूप में व्यक्त किया गया;

क्यू- पी का व्युत्क्रम और (1-पी), (100-पी), (1000-पी), आदि के रूप में व्यक्त किया जाता है, यह उस आधार पर निर्भर करता है जिसके आधार पर संकेतक की गणना की जाती है;

एन- नमूना जनसंख्या में अवलोकनों की संख्या।

हालाँकि, सापेक्ष मूल्यों के लिए प्रतिनिधित्व त्रुटि की गणना के लिए निर्दिष्ट सूत्र केवल तभी लागू किया जा सकता है जब संकेतक का मूल्य उसके आधार से कम हो। गहन संकेतकों की गणना के कई मामलों में, यह शर्त पूरी नहीं होती है, और संकेतक को 100% या 1000% से अधिक की संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऐसी स्थिति में, एक भिन्नता श्रृंखला का निर्माण किया जाता है और मानक विचलन के आधार पर औसत मूल्यों के सूत्र का उपयोग करके प्रतिनिधित्व त्रुटि की गणना की जाती है।

जनसंख्या में अंकगणितीय माध्य के मूल्य का पूर्वानुमान दो मूल्यों को इंगित करके किया जाता है - न्यूनतम और अधिकतम। ये चरम मूल्य संभावित विचलन, जिसके भीतर जनसंख्या के वांछित औसत मूल्य में उतार-चढ़ाव हो सकता है, कहलाते हैं सीमाओं पर भरोसा रखें».

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांतों ने साबित कर दिया है कि 99.7% की संभावना के साथ एक विशेषता के सामान्य वितरण के साथ, औसत के विचलन का चरम मूल्य प्रतिनिधित्व त्रुटि के तीन गुना के मूल्य से अधिक नहीं होगा ( एम ± 3 एम ); 95.5% में - औसत मूल्य की औसत त्रुटि के दोगुने से अधिक नहीं ( एम ± 2 एम ); 68.3% में - एक से अधिक औसत त्रुटि नहीं ( एम ± 1 एम ) (चित्र 9)।

चावल। 9. संभाव्यता घनत्व सामान्य वितरण.

ध्यान दें कि उपरोक्त कथन केवल उस सुविधा के लिए सत्य है जो सामान्य गाऊसी वितरण कानून का पालन करती है।

चिकित्सा के क्षेत्र सहित अधिकांश प्रायोगिक अध्ययन माप से जुड़े होते हैं, जिनके परिणाम किसी दिए गए अंतराल में लगभग कोई भी मूल्य ले सकते हैं, इसलिए, एक नियम के रूप में, उन्हें निरंतर यादृच्छिक चर के एक मॉडल द्वारा वर्णित किया जाता है। इस संबंध में, अधिकांश सांख्यिकीय विधियां निरंतर वितरण पर विचार करती हैं। इनमें से एक वितरण, जिसकी मौलिक भूमिका है गणितीय सांख्यिकी, है सामान्य, या गाऊसी, वितरण.

ऐसा कई कारणों से है.

1. सबसे पहले, कई प्रयोगात्मक अवलोकनों को सामान्य वितरण का उपयोग करके सफलतापूर्वक वर्णित किया जा सकता है। यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनुभवजन्य डेटा का कोई वितरण नहीं है जो सामान्य रूप से वितरित होने के बाद से बिल्कुल सामान्य होगा यादृच्छिक मूल्यसे की सीमा में है, जो व्यवहार में कभी नहीं होता है। हालाँकि, सामान्य वितरण अक्सर एक सन्निकटन के रूप में अच्छा काम करता है।

चाहे वजन, ऊंचाई और मानव शरीर के अन्य शारीरिक मापदंडों का माप किया जाए - हर जगह परिणाम बहुत बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होते हैं ( प्राकृतिक कारणोंऔर माप त्रुटियाँ)। इसके अलावा, एक नियम के रूप में, इनमें से प्रत्येक कारक का प्रभाव महत्वहीन है। अनुभव से पता चलता है कि ऐसे मामलों में परिणाम लगभग सामान्य रूप से वितरित होंगे।

2. यादृच्छिक नमूने से जुड़े कई वितरण बाद की मात्रा बढ़ने पर सामान्य हो जाते हैं।

3. सामान्य वितरण अन्य सतत वितरणों (उदाहरण के लिए, तिरछा) के सन्निकटन के रूप में उपयुक्त है।

4. सामान्य वितरण में कई अनुकूल संख्याएँ होती हैं गणितीय गुण, जिसने बड़े पैमाने पर इसे प्रदान किया व्यापक अनुप्रयोगसांख्यिकी में.

साथ ही, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि चिकित्सा डेटा में कई प्रयोगात्मक वितरण हैं जिन्हें सामान्य वितरण मॉडल द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए, सांख्यिकी ने ऐसी विधियाँ विकसित की हैं जिन्हें आमतौर पर "नॉनपैरामेट्रिक" कहा जाता है।

किसी विशेष प्रयोग से डेटा संसाधित करने के लिए उपयुक्त सांख्यिकीय पद्धति का चुनाव इस आधार पर किया जाना चाहिए कि प्राप्त डेटा सामान्य वितरण कानून से संबंधित है या नहीं। सामान्य वितरण कानून के लिए एक संकेत के अधीनता के लिए परिकल्पना का परीक्षण एक आवृत्ति वितरण हिस्टोग्राम (ग्राफ), साथ ही कई सांख्यिकीय मानदंडों का उपयोग करके किया जाता है। उनमें से:

विषमता मानदंड ( बी );

कर्टोसिस के परीक्षण के लिए मानदंड ( जी );

शापिरो-विल्क्स परीक्षण ( डब्ल्यू ) .

प्रत्येक पैरामीटर के लिए डेटा वितरण की प्रकृति का विश्लेषण (जिसे वितरण की सामान्यता के लिए परीक्षण भी कहा जाता है) किया जाता है। आत्मविश्वास से यह निर्णय लेने के लिए कि क्या किसी पैरामीटर का वितरण सामान्य कानून के अनुरूप है, पर्याप्त बड़ी संख्या में अवलोकन इकाइयों (कम से कम 30 मान) की आवश्यकता होती है।

सामान्य वितरण के लिए, तिरछापन और कर्टोसिस मानदंड 0 मान लेते हैं। यदि वितरण को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है बी > 0 (सकारात्मक विषमता), साथ में बी < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона जी =0. पर जी > 0 यदि वितरण वक्र तीव्र होता है जी < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

शापिरो-विल्क्स परीक्षण का उपयोग करके सामान्यता की जांच करने के लिए, आपको सांख्यिकीय तालिकाओं का उपयोग करके इस मानदंड का मान ज्ञात करना होगा आवश्यक स्तरमहत्व और अवलोकन इकाइयों की संख्या (स्वतंत्रता की डिग्री) पर निर्भर करता है। परिशिष्ट 1. सामान्यता परिकल्पना को इस मानदंड के छोटे मूल्यों पर, एक नियम के रूप में, खारिज कर दिया जाता है डब्ल्यू <0,8.

समूहीकरण विधि आपको मापने की भी अनुमति देती है उतार-चढ़ाव(परिवर्तनशीलता, उतार-चढ़ाव) संकेतों की। जब किसी जनसंख्या में इकाइयों की संख्या अपेक्षाकृत कम होती है, तो जनसंख्या को बनाने वाली इकाइयों की क्रमबद्ध संख्या के आधार पर भिन्नता को मापा जाता है। शृंखला कहलाती है रैंक किया गया,यदि इकाइयों को विशेषता के आरोही (अवरोही) क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

हालाँकि, जब भिन्नता की तुलनात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है तो रैंक की गई श्रृंखलाएँ काफी संकेतक होती हैं। इसके अलावा, कई मामलों में हमें बड़ी संख्या में इकाइयों वाली सांख्यिकीय आबादी से निपटना पड़ता है, जिन्हें एक विशिष्ट श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना व्यावहारिक रूप से कठिन होता है। इस संबंध में, सांख्यिकीय डेटा के साथ प्रारंभिक सामान्य परिचित के लिए और विशेष रूप से विशेषताओं में भिन्नता के अध्ययन की सुविधा के लिए, अध्ययन के तहत घटनाओं और प्रक्रियाओं को आमतौर पर समूहों में जोड़ा जाता है, और समूहीकरण के परिणाम समूह तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

यदि किसी समूह तालिका में केवल दो कॉलम हैं - चयनित विशेषता (विकल्प) और समूहों की संख्या (आवृत्ति या आवृत्ति) के अनुसार समूह, तो इसे कहा जाता है निकट वितरण.

वितरण सीमा -एक विशेषता के आधार पर सबसे सरल प्रकार का संरचनात्मक समूहन, एक समूह तालिका में प्रदर्शित किया जाता है जिसमें विशेषता के वेरिएंट और आवृत्तियों वाले दो कॉलम होते हैं। कई मामलों में, ऐसे संरचनात्मक समूहन के साथ, अर्थात्। वितरण श्रृंखला के संकलन के साथ ही प्रारम्भिक सांख्यिकीय सामग्री का अध्ययन प्रारम्भ हो जाता है।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक संरचनात्मक समूह को वास्तविक संरचनात्मक समूह में बदला जा सकता है यदि चयनित समूहों को न केवल आवृत्तियों द्वारा, बल्कि अन्य सांख्यिकीय संकेतकों द्वारा भी चित्रित किया जाता है। वितरण श्रृंखला का मुख्य उद्देश्य विशेषताओं की भिन्नता का अध्ययन करना है। वितरण श्रृंखला का सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी द्वारा विस्तार से विकसित किया गया है।

वितरण श्रृंखला को विभाजित किया गया है ठहराव(विशेषताओं के अनुसार समूहीकरण, उदाहरण के लिए, जनसंख्या को लिंग, राष्ट्रीयता, वैवाहिक स्थिति आदि के आधार पर विभाजित करना) और परिवर्तन संबंधी(मात्रात्मक विशेषताओं के आधार पर समूहीकरण)।

विविधता शृंखलाएक समूह तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं: एक मात्रात्मक विशेषता के अनुसार इकाइयों का समूहन और प्रत्येक समूह में इकाइयों की संख्या। भिन्नता श्रृंखला में अंतराल आमतौर पर समान और बंद होते हैं। भिन्नता श्रृंखला औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय (तालिका 3.10) द्वारा रूसी आबादी का निम्नलिखित समूह है।

तालिका 3.10

2004-2009 में औसत प्रति व्यक्ति आय के आधार पर रूस की जनसंख्या का वितरण।

भिन्नता श्रृंखला, बदले में, असतत और अंतराल में विभाजित होती है। अलगविविधता श्रृंखला अलग-अलग विशेषताओं के वेरिएंट को जोड़ती है जो संकीर्ण सीमाओं के भीतर भिन्न होती हैं। असतत भिन्नता श्रृंखला का एक उदाहरण रूसी परिवारों का उनके बच्चों की संख्या के आधार पर वितरण है।

मध्यान्तरभिन्नता श्रृंखला या तो निरंतर विशेषताओं या विस्तृत श्रृंखला में भिन्न भिन्न विशेषताओं के वेरिएंट को जोड़ती है। अंतराल औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय के आधार पर रूसी जनसंख्या के वितरण की भिन्नता श्रृंखला है।

व्यवहार में असतत भिन्नता श्रृंखला का प्रयोग बहुत बार नहीं किया जाता है। इस बीच, उन्हें संकलित करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि समूहों की संरचना उन विशिष्ट प्रकारों द्वारा निर्धारित की जाती है जो अध्ययन किए गए समूहीकरण विशेषताओं में वास्तव में हैं।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला अधिक व्यापक हैं। उन्हें संकलित करते समय, समूहों की संख्या के साथ-साथ स्थापित किए जाने वाले अंतराल के आकार के बारे में एक कठिन प्रश्न उठता है।

इस मुद्दे को हल करने के सिद्धांत सांख्यिकीय समूहों के निर्माण की पद्धति पर अध्याय में निर्धारित किए गए हैं (पैराग्राफ 3.3 देखें)।

विविधता श्रृंखला विविध जानकारी को एक संक्षिप्त रूप में संक्षिप्त या संपीड़ित करने का एक साधन है; उनसे भिन्नता की प्रकृति के बारे में काफी स्पष्ट निर्णय लिया जा सकता है, और अध्ययन के तहत सेट में शामिल घटनाओं की विशेषताओं में अंतर का अध्ययन किया जा सकता है। लेकिन भिन्नता श्रृंखला का सबसे महत्वपूर्ण महत्व यह है कि उनके आधार पर भिन्नता की विशेष सामान्यीकरण विशेषताओं की गणना की जाती है (अध्याय 7 देखें)।