वर्दी वितरण।यादृच्छिक मूल्य एक्सकिसी खंड पर यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदु के निर्देशांक का अर्थ है

[ए, बी. एकसमान घनत्वयादृच्छिक चर वितरण एक्स(चित्र 10.5, ए)इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

चावल। 10.5. यादृच्छिक चर का समान वितरण: ए- वितरण घनत्व; बी- वितरण समारोह

यादृच्छिक परिवर्तनीय वितरण फ़ंक्शन एक्सइसका रूप है:

समान वितरण फलन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 10.5, बी।

हम (10.3) का उपयोग करके एक समान वितरण के लाप्लास परिवर्तन की गणना करते हैं:

अपेक्षित मूल्य और विचरण की गणना सीधे संबंधित परिभाषाओं से आसानी से की जाती है:

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के लिए समान सूत्र भी सूत्र (10.8), (10.9) का उपयोग करके लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

आइए एक सेवा प्रणाली के उदाहरण पर विचार करें जिसे एक समान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

चौराहे पर यातायात को स्वचालित ट्रैफिक लाइट द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसमें हरी बत्ती 1 मिनट के लिए और लाल बत्ती 0.5 मिनट के लिए जलती है। वाहन चालक किसी चौराहे पर पहुंचते हैं यादृच्छिक क्षणएक समान वितरण के साथ समय ट्रैफिक लाइट के संचालन से संबंधित नहीं है। आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि एक कार चौराहे से बिना रुके गुजर जाएगी।

जिस क्षण एक कार चौराहे से गुजरती है वह 1 + 0.5 = 1.5 मिनट के अंतराल में समान रूप से वितरित होती है। यदि चौराहे से गुजरने का क्षण समय अंतराल के भीतर आता है तो कार बिना रुके चौराहे से गुजर जाएगी। एक अंतराल में समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए, अंतराल में गिरने की संभावना 1/1.5=2/3 है। प्रतीक्षा समय Гож एक मिश्रित यादृच्छिक चर है। प्रायिकता 2/3 के साथ यह शून्य के बराबर है, और प्रायिकता 0.5/1.5 के साथ यह 0 और 0.5 मिनट के बीच कोई भी मान लेता है। इसलिए, चौराहे पर औसत प्रतीक्षा समय और भिन्नता

घातीय (घातांकीय) वितरण।एक घातीय वितरण के लिए, एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ A को वितरण पैरामीटर कहा जाता है।

घातांकीय वितरण का संभाव्यता घनत्व ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 10.6, एक।

घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का रूप होता है

चावल। 10.6. यादृच्छिक चर का घातीय वितरण: ए- वितरण घनत्व; बी -वितरण समारोह

घातांकीय वितरण फलन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 10.6, 6.

हम (10.3) का उपयोग करके घातीय वितरण के लाप्लास परिवर्तन की गणना करते हैं:

आइए हम इसे एक यादृच्छिक चर के लिए दिखाएं एक्स,घातांकीय वितरण होना, अपेक्षित मूल्यमानक विचलन a के बराबर और पैरामीटर A के व्युत्क्रमानुपाती:

इस प्रकार, हमारे पास घातीय वितरण के लिए: यह भी दिखाया जा सकता है

वे। घातीय वितरण पूरी तरह से माध्य या पैरामीटर द्वारा विशेषता है एक्स .

घातीय वितरण में एक संख्या होती है उपयोगी गुण, जिनका उपयोग मॉडलिंग सेवा प्रणालियों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसकी कोई मेमोरी नहीं है. कब , वह

दूसरे शब्दों में, यदि यादृच्छिक चर समय से मेल खाता है, तो शेष अवधि का वितरण उस समय पर निर्भर नहीं करता है जो पहले ही बीत चुका है। यह गुण चित्र में दर्शाया गया है। 10.7.

चावल। 10.7.

आइए एक ऐसे सिस्टम के उदाहरण पर विचार करें जिसके ऑपरेटिंग मापदंडों को घातांकीय वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

जब कोई उपकरण संचालित होता है, तो अनियमित समय पर खराबी आती है। डिवाइस संचालन समय टीइसके चालू होने से लेकर खराबी आने तक पैरामीटर के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है एक्स।यदि खराबी का पता चलता है, तो डिवाइस तुरंत मरम्मत में चला जाता है, जो समय / 0 तक चलता है। आइए हम दो आसन्न दोषों, गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बीच समय अंतराल के घनत्व और वितरण फ़ंक्शन का पता लगाएं, साथ ही संभावना है कि समय टी एक्सवहाँ और अधिक हो जाएगा 2टी 0 .

के बाद से

सामान्य वितरण।सामान्य एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है, जिसे घनत्व द्वारा वर्णित किया गया है

(10.48) से यह इस प्रकार है सामान्य वितरणदो मापदंडों द्वारा निर्धारित - गणितीय अपेक्षा टीऔर फैलाव ए 2. सामान्य वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व ग्राफ टी= 0, और 2 =1 चित्र में दिखाया गया है। 10.8, एक।

चावल। 10.8. एक यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण कानून टी= 0, एसटी 2 = 1: ए- संभावित गहराई; 6 - वितरण समारोह

वितरण फलन सूत्र द्वारा वर्णित है

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़ टी= 0, और 2 = 1 चित्र में दिखाया गया है। 10.8, बी।

आइए हम इसकी प्रायिकता निर्धारित करें एक्सअंतराल (ए, पी) से संबंधित मान लेगा:

कहाँ लाप्लास फ़ंक्शन है, और संभावना है कि

क्या निरपेक्ष मूल्यधनात्मक संख्या 6 से कम विचलन:

विशेषकर, जब टी = 0 समानता सत्य है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सामान्य वितरण वाला एक यादृच्छिक चर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है। इसलिए, क्षणों की गणना करने के लिए दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना आवश्यक है

हालाँकि, यह अभिन्न अंग आवश्यक रूप से अस्तित्व में नहीं है। यदि यह मौजूद है, तो (10.50) के बजाय आमतौर पर अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है

जिसे कहा जाता है विशेषता कार्यया क्षणों का सृजन कार्य।

आइए हम सूत्र (10.51) का उपयोग करके सामान्य वितरण के क्षणों के जनक फलन की गणना करें:

उपघातांकीय अभिव्यक्ति के अंश को रूपांतरित करने के बाद हमें जो रूप मिलता है

अभिन्न

चूँकि यह मापदंडों के साथ सामान्य संभाव्यता घनत्व का अभिन्न अंग है टी + तो 2और एक 2. इस तरह,

(10.52) को विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इन अभिव्यक्तियों से आप निम्नलिखित बिंदु पा सकते हैं:

व्यवहार में सामान्य वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, यदि एक यादृच्छिक चर बहुत बड़ी संख्या में परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग है, जिनमें से प्रत्येक का पूरे योग पर प्रभाव नगण्य है, तो इसका वितरण सामान्य के करीब है।

आइए एक ऐसी प्रणाली के उदाहरण पर विचार करें जिसके मापदंडों को सामान्य वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

कंपनी एक निश्चित आकार का एक हिस्सा तैयार करती है। किसी हिस्से की गुणवत्ता का आकलन उसके आकार को मापकर किया जाता है। यादृच्छिक माप त्रुटियाँ मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं ए -यमकम. आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि माप त्रुटि 15 माइक्रोन से अधिक नहीं होगी।

(10.49) से हम पाते हैं

सुविचारित वितरणों के उपयोग में आसानी के लिए, हम प्राप्त सूत्रों को तालिका में सारांशित करते हैं। 10.1 और 10.2.

तालिका 10.1. सतत वितरण की बुनियादी विशेषताएं

तालिका 10.2. सतत वितरण के कार्य उत्पन्न करना

नियंत्रण प्रश्न

• 1. किस संभाव्यता वितरण को सतत माना जाता है?
• 2. लाप्लास-स्टिल्टजेस परिवर्तन क्या है? इसका उपयोग किसके लिए होता है?
• 3. लाप्लास-स्टिल्टजेस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके यादृच्छिक चर के क्षणों की गणना कैसे करें?
• 4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का लाप्लास परिवर्तन क्या है?
• 5. सिग्नल ग्राफ़ का उपयोग करके एक सिस्टम के एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण के समय के औसत समय और विचरण की गणना कैसे करें?
• 6. समान वितरण की मुख्य विशेषताएँ बताइये। सेवा कार्यों में इसके उपयोग के उदाहरण दीजिए।
• 7. घातांकीय वितरण की मुख्य विशेषताएँ बताइए। सेवा कार्यों में इसके उपयोग के उदाहरण दीजिए।
• 8. सामान्य वितरण की मुख्य विशेषताएँ बताइये। सेवा कार्यों में इसके उपयोग के उदाहरण दीजिए।

अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।

§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।

सतत यादृच्छिक चर के मानों का समुच्चय बेशुमार होता है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता स्थान (W, S, P) में परिभाषित एक यादृच्छिक चर x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) डब्ल्यू, यदि कोई गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है जैसे कि किसी भी एक्स के लिए वितरण फ़ंक्शन एफएक्स (एक्स) को एक अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है

फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.

परिभाषा से पता चलता है कि वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण:

1..gif" width=”97″ ऊंचाई=”51″>

3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:।

4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना निर्धारित करता है:

5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: . इसलिए, निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:

वितरण घनत्व फलन का ग्राफ कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एकता के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।

कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:

स्थिरांक C निर्धारित करें, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करें और संभाव्यता की गणना करें।

समाधान।स्थिरांक C हमारे पास मौजूद स्थिति से पाया जाता है:

जहां से C=3/8.

वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल तर्क x (संख्यात्मक अक्ष) के मानों की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" चौड़ाई = "264" ऊँचाई = "49">

चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में

अंततः, अंतिम स्थिति में, जब x>2,

चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण फलन प्राप्त होता है

संभावना आइए सूत्र का उपयोग करके गणना करें। इस प्रकार,

§ 2. एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ

अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width=”205” ऊंचाई=”56 src=”> द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग पूर्णतया अभिसरण करता है।

फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है , और साथ ही, अलग मामले में, सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" ऊंचाई="49 src="> के अनुसार।

असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।

समस्या 2. समस्या 1 से यादृच्छिक चर x के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें .

समाधान।

और उसका अर्थ यह निकलता है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width=”184” ऊंचाई=”69 src=”>

एक समान वितरण घनत्व ग्राफ़ के लिए, चित्र देखें। .

चित्र.6.2. वितरण कार्य और वितरण घनत्व। एकसमान कानून

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन Fx(x) के बराबर है

एफएक्स(एक्स)=

अपेक्षा और भिन्नता; .

घातीय (घातांकीय) वितरण।गैर-नकारात्मक मान लेने वाले एक सतत यादृच्छिक चर x में पैरामीटर l>0 के साथ एक घातांकीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व वितरण के बराबर है

рx(x)=

चावल। 6.3. घातांकीय नियम का वितरण फलन और वितरण घनत्व।

घातांकीय वितरण के वितरण फलन का रूप होता है

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width=”17” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”15”> और यदि इसका वितरण घनत्व बराबर है

.

के माध्यम से पैरामीटर पैरामीटर और के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को दर्शाता है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन किसके बराबर होता है?

.

चावल। 6.4. वितरण कार्य और सामान्य वितरण घनत्व

सामान्य वितरण के पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width=”64 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”>

विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width='44' ऊंचाई='21 src='> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों के वर्ग को https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" ऊंचाई="49"> द्वारा दर्शाया गया है,

और वितरण समारोह

इस तरह के अभिन्न अंग की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाएँ संकलित की गई हैं। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 में प्रस्तुत लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है

,

निम्नलिखित संबंध द्वारा . मनमाना पैरामीटर मानों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width='21' ऊंचाई='21 src='> एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन संबंध का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है:

.

इसलिए, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के एक अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

.

एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर x को लॉगसामान्य रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य नियम का पालन करता है। लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और विचरण Mx= और Dx= हैं।

कार्य 3.मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width='81' ऊंचाई='23'> दिया गया है।

समाधान।यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" ऊंचाई="45">

लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif' width='23' ऊंचाई='41'> द्वारा दिया गया है और कर्टोसिस gx=3 है।

चित्र.6.5. लाप्लास वितरण घनत्व फ़ंक्शन।

यादृच्छिक चर x को वितरित किया गया है वेइबुल का नियम, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width='189' ऊंचाई='53'> के बराबर है

वेइबुल वितरण कई तकनीकी उपकरणों के विफलता-मुक्त संचालन समय को नियंत्रित करता है। इस प्रोफ़ाइल के कार्यों में महत्वपूर्ण विशेषताआयु टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल(टी) है, जो संबंध एल(टी)= द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि a=1, तो वेइबुल वितरण एक घातीय वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।

वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width=”219” ऊंचाई=”45 src=”>, जहां Г(а) यूलर है समारोह। ।

में विभिन्न कार्यव्यावहारिक आँकड़ों में, तथाकथित "काटे गए" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय कर कानूनों द्वारा स्थापित एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है। ये वितरण लगभग पेरेटो वितरण से मेल खाते हैं। पेरेटो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया

एफएक्स(एक्स)=पी(एक्स यादृच्छिक चर

यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif' width='60' ऊंचाई='21 src='>.

कार्य 4.यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान।समस्या की स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है

अगला, फ़ंक्शन एक अंतराल पर एक नीरस और अवकलनीय फलन है और इसका एक व्युत्क्रम फलन है , जिसका व्युत्पन्न इसलिए के बराबर है,

§ 5. सतत यादृच्छिक चरों का युग्म

मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। फिर जोड़ी (x, h) विमान पर एक "यादृच्छिक" बिंदु को परिभाषित करती है। युग्म (x, h) कहलाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।

संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif' width='173' ऊंचाई='25'> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h के संभाव्यता वितरण को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जैसे कि .

संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, इसकी गणना एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में की जाती है - सतह से घिरा एक "वक्ररेखीय" सिलेंडर https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width=”211” ऊंचाई=”39 src=”>

दो यादृच्छिक चरों के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए कि क्षेत्र के साथ एक घिरा हुआ सेट एम दिया गया है। इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा परिभाषित जोड़ी (एक्स, एच) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

कार्य 5.मान लीजिए कि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित है। असमानता x>h की संभावना की गणना करें।

समाधान।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (चित्र संख्या देखें?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है

एक घटना एक सेट से मेल खाती है एक समतल पर, अर्थात् अर्ध-तल पर। फिर संभावना

अर्ध-तल B पर, सेट https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" ऊंचाई="17"> के बाहर संयुक्त घनत्व शून्य है। इस प्रकार, अर्ध-तल B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width='17' ऊंचाई='23'> और, और दूसरा इंटीग्रल बराबर है शून्य, चूँकि वहाँ संयुक्त घनत्व शून्य के बराबर है। इसीलिए

यदि एक जोड़ी (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया गया है, तो दोनों घटकों x और h के घनत्व को कहा जाता है निजी घनत्वऔर सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width=”224” ऊंचाई=”23 src=”>

घनत्व рx(х), рh(у) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है कि

कार्य 6.पिछली समस्या की स्थितियों में, निर्धारित करें कि क्या यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं?

समाधान. आइए आंशिक घनत्व की गणना करें और। हमारे पास है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width=”283” ऊंचाई=”61 src=”>

जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif' width='64' ऊंचाई='25'> मात्राओं x और h का संयुक्त घनत्व है, और j( x, y) तो दो तर्कों का एक फलन है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width=”184” ऊंचाई=”152 src=”>

कार्य 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।

समाधान।उपरोक्त सूत्र के अनुसार हमारे पास है:

.

त्रिभुज को इस प्रकार निरूपित करना

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width=”479” ऊंचाई=”59”>

§ 5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व

मान लीजिए कि x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width='43' ऊँचाई='25'>। यादृच्छिक चर का घनत्व x + h की गणना सूत्र द्वारा की जाती है कनवल्शन

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif' width='39' ऊंचाई='19 src='>. योग के घनत्व की गणना करें.

समाधान।चूँकि x और h को पैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, इसलिए उनका घनत्व बराबर होता है

इस तरह,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width=”339 ऊंचाई=51” ऊंचाई=”51”>

यदि एक्स<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए. इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif' width='359 ऊंचाई=101' ऊंचाई='101'>

इस प्रकार हमें उत्तर मिला:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width=”40” ऊंचाई=”41 “> आम तौर पर पैरामीटर 0 और 1 के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र होते हैं और सामान्य वितरण होते हैं क्रमशः पैरामीटर a1, और a2 के साथ। साबित करें कि x1 + x2 का सामान्य वितरण है। यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और उनका घनत्व कार्य समान है

.

मानों के वितरण फलन और वितरण घनत्व का पता लगाएं:

ए) एच1 = मिनट (एक्स1, एक्स2, ...एक्सएन) ; बी) एच(2) = अधिकतम (x1,x2,...xn)

यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और अंतराल [a, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण के वितरण फलन और घनत्व फलन खोजें

x(1) = न्यूनतम (x1,x2, ...xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।

साबित करें कि Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width='176' ऊंचाई='47'>.

यादृच्छिक चर को कॉची के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल (-1, 1) में गिरने की संभावना। दिखाएँ कि x की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर पैरामीटर l (l>0) के साथ लाप्लास के नियम के अधीन है: गुणांक a खोजें; वितरण घनत्व ग्राफ़ और वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

वितरण घनत्व के लिए एक सूत्र लिखें, एमएक्स और डीएक्स खोजें।

कम्प्यूटेशनल कार्य.

एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मान r2 खंड पर समान रूप से वितरित है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), , विचरण और संभाव्यता की गणना करें। एक यादृच्छिक चर में एक वितरण फलन होता है

एक यादृच्छिक चर के घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की गणना करें जांचें कि फ़ंक्शन =
एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण फलन ज्ञात कीजिए। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x के बराबर है

.

स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और संभाव्यता ज्ञात करें

पी (0.25

कंप्यूटर का विफलता-मुक्त संचालन समय पैरामीटर एल = 0.05 (प्रति घंटे विफलता) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी, इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है

पी(एक्स) = .

एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए 15 मिनट तक मशीन के परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि किसी समस्या को हल करते समय कोई विफलता होती है, तो समाधान पूरा होने के बाद ही त्रुटि का पता चलता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: ए) संभावना है कि समस्या के समाधान के दौरान एक भी विफलता नहीं होगी; बी) औसत समय जिसमें समस्या हल हो जाएगी।

24 सेमी लंबी एक छड़ दो भागों में टूट गई है; हम मान लेंगे कि ब्रेक पॉइंट रॉड की पूरी लंबाई पर समान रूप से वितरित है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई का एक टुकड़ा यादृच्छिक रूप से दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु को खंड की पूरी लंबाई में समान रूप से वितरित किया जाता है। खंड के छोटे भाग की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए a) h1 = 2x + 1; बी) h2 =-ln(1-x); ग) h3 = .

दिखाएँ कि यदि x का सतत वितरण फलन है

एफ(एक्स) = पी(एक्स

क्रमशः खंडों पर समान वितरण कानूनों के साथ दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण होता है . उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात करें, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातांकीय वितरण है। पी खोजें , यदि x में है: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) खंड पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण वर्ग समान है
के = (एक्स, वाई): |एक्स| +|y|£2). संभाव्यता खोजें . क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी त्रिभुज K= के अंदर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए. यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और खंडों और [-1,1] पर समान रूप से वितरित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए. एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) शीर्षों (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) वाले एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। एक यादृच्छिक वेक्टर (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के अंदर समान रूप से वितरित किया जाता है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभाव्यता की गणना करें. यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से बिंदुओं (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) पर शीर्षों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के अंदर वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर की इस जोड़ी और घटकों के घनत्व के लिए संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात करें। क्या x और h आश्रित हैं? एक यादृच्छिक युग्म (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व बराबर है .
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एम(एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर फाइंड के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं

जिसकी सहायता से कई वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुकरण किया जाता है। और सबसे आम उदाहरण सार्वजनिक परिवहन अनुसूची है। मान लीजिए कि एक निश्चित बस (ट्रॉलीबस/ट्राम)हर 10 मिनट में चलता है, और आप समय में एक यादृच्छिक क्षण पर रुक जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि बस 1 मिनट के भीतर आ जायेगी? जाहिर है 1/10वां. इसकी क्या संभावना है कि आपको 4-5 मिनट प्रतीक्षा करनी पड़ेगी? वही । इसकी क्या संभावना है कि आपको बस के लिए 9 मिनट से अधिक समय तक इंतजार करना पड़ेगा? दसवां हिस्सा!

आइए कुछ पर विचार करें परिमितअंतराल, निश्चितता के लिए इसे एक खंड होने दें। अगर यादृच्छिक मूल्यहै स्थिर संभाव्यता वितरण घनत्वकिसी दिए गए खंड पर और उसके बाहर शून्य घनत्व, तो वे कहते हैं कि यह वितरित है के बराबर. इस मामले में, घनत्व फ़ंक्शन को सख्ती से परिभाषित किया जाएगा:

दरअसल, यदि खंड की लंबाई (चित्र देखें)है, तो मान अनिवार्य रूप से बराबर है - ताकि आयत का इकाई क्षेत्र प्राप्त हो, और इसका अवलोकन किया जा सके ज्ञात संपत्ति:


आइए इसे औपचारिक रूप से जांचें:
, वगैरह। संभाव्य दृष्टिकोण से, इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर मज़बूतीखंड के मूल्यों में से एक लेगा..., एह, मैं धीरे-धीरे एक उबाऊ बूढ़ा आदमी बनता जा रहा हूं =)

एकरूपता का सार यह है कि जो भी आंतरिक अंतर है निश्चित लंबाईहमने विचार नहीं किया ("बस" मिनट याद रखें)- संभावना है कि एक यादृच्छिक चर इस अंतराल से एक मान लेगा वही होगा। ड्राइंग में मैंने तीन ऐसी संभावनाओं को छायांकित किया है - एक बार फिर मैं उस पर जोर देता हूं वे क्षेत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं, फ़ंक्शन मान नहीं!

आइए एक सामान्य कार्य पर विचार करें:

उदाहरण 1

एक सतत यादृच्छिक चर को उसके वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:

स्थिरांक ज्ञात करें, वितरण फलन की गणना करें और उसकी रचना करें। ग्राफ़ बनाएं. खोजो

दूसरे शब्दों में, वह सब कुछ जिसका आप सपना देख सकते हैं :)

समाधान: चूंकि अंतराल पर (परिमित अंतराल) , तो यादृच्छिक चर का एक समान वितरण होता है, और "सीई" का मान प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है . लेकिन यह सामान्य तरीके से बेहतर है - किसी संपत्ति का उपयोग करना:

...यह बेहतर क्यों है? ताकि कोई अनावश्यक प्रश्न न रहें;)

तो घनत्व कार्य है:

चलो ड्राइंग बनाते हैं. मान असंभव , और इसलिए बोल्ड डॉट्स नीचे रखे गए हैं:


त्वरित जाँच के रूप में, आइए आयत के क्षेत्रफल की गणना करें:
, वगैरह।

पता लगाते हैं अपेक्षित मूल्य, और आप शायद पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि यह किसके बराबर है। "10-मिनट" वाली बस याद रखें: यदि बेतरतीबफिर, कई-कई दिनों तक पड़ाव पर पहुँचता रहा औसतआपको 5 मिनट तक उसका इंतजार करना होगा.

हाँ, यह सही है - अपेक्षा "घटना" अंतराल के बिल्कुल मध्य में होनी चाहिए:
, आशा के अनुसार।

आइए इसका उपयोग करके विचरण की गणना करें FORMULA . और यहां अभिन्न की गणना करते समय आपको एक आंख और एक आंख की आवश्यकता होती है:

इस प्रकार, फैलाव:

आइए रचना करें वितरण समारोह . यहां कुछ भी नया नहीं:

1) यदि , तब और ;

2) यदि , तब और:

3) और अंत में, कब , इसीलिए:

नतीजतन:

आइए चित्र बनाएं:


"लाइव" अंतराल पर, वितरण फ़ंक्शन बढ़ रही है रेखीय, और यह एक और संकेत है कि हमारे पास एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। खैर, बिल्कुल, आख़िरकार यौगिक रैखिक प्रकार्य- एक स्थिरांक है.

आवश्यक संभाव्यता की गणना पाए गए वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके दो तरीकों से की जा सकती है:

या घनत्व के एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करना:

जो भी इसे पसंद करता है.

और यहां आप लिख भी सकते हैं उत्तर: ,
, ग्राफ़ समाधान के साथ बनाए गए हैं।

... "यह संभव है" क्योंकि इसकी अनुपस्थिति के लिए आमतौर पर कोई सज़ा नहीं होती है। आम तौर पर;)

एक समान यादृच्छिक चर की गणना के लिए विशेष सूत्र हैं, जो मेरा सुझाव है कि आप स्वयं प्राप्त करें:

उदाहरण 2

एक सतत यादृच्छिक चर घनत्व द्वारा दिया जाता है .

गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें। यथासंभव परिणामों को सरल बनाएं (संक्षिप्त गुणन सूत्रकी मदद).

परिणामी सूत्र सत्यापन के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक हैं; विशेष रूप से, "ए" और "बी" के विशिष्ट मानों को प्रतिस्थापित करके आपके द्वारा हल की गई समस्या की जांच करें। पृष्ठ के नीचे संक्षिप्त समाधान।

और पाठ के अंत में, हम कुछ "पाठ" समस्याओं को देखेंगे:

उदाहरण 3

मापने वाले उपकरण का स्केल डिवीजन मान 0.2 है। उपकरण रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में पूर्णांकित किया जाता है। यह मानते हुए कि पूर्णांकन त्रुटियाँ समान रूप से वितरित हैं, संभावना ज्ञात कीजिए कि अगले माप पर यह 0.04 से अधिक नहीं होगी।

बेहतर समझ के लिए समाधानआइए कल्पना करें कि यह एक तीर के साथ किसी प्रकार का यांत्रिक उपकरण है, उदाहरण के लिए, 0.2 किलोग्राम के विभाजन मूल्य वाला एक पैमाना, और हमें एक सुअर को एक प्रहार में तौलना है। लेकिन उसके मोटापे का पता लगाने के लिए नहीं - अब यह महत्वपूर्ण होगा कि तीर दो आसन्न प्रभागों के बीच कहाँ रुकता है।

आइए एक यादृच्छिक चर पर विचार करें - दूरीसे तीर निकटतमवाम प्रभाग. या निकटतम से दाईं ओर, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

आइए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की रचना करें:

1) चूँकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, तो अंतराल पर। तार्किक.

2) शर्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि तराजू का तीर साथ में है समान संभावनाविभाजनों के बीच कहीं भी रुक सकता है * , स्वयं डिवीजनों सहित, और इसलिए अंतराल पर:

* यह एक आवश्यक शर्त है. इसलिए, उदाहरण के लिए, जब रूई के टुकड़े या नमक के किलोग्राम पैक का वजन किया जाता है, तो बहुत कम अंतराल पर एकरूपता बनाए रखी जाएगी।

3) और चूँकि निकटतम बाएँ भाग से दूरी 0.2 से अधिक नहीं हो सकती, तो at भी शून्य के बराबर है।

इस प्रकार:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी ने हमसे घनत्व फ़ंक्शन के बारे में नहीं पूछा, और मैंने इसका पूरा निर्माण विशेष रूप से संज्ञानात्मक श्रृंखलाओं में प्रस्तुत किया। कार्य समाप्त करते समय केवल दूसरा बिंदु लिखना ही पर्याप्त है।

आइए अब समस्या के प्रश्न का उत्तर दें। निकटतम डिवीजन में पूर्णांकित करने में त्रुटि कब 0.04 से अधिक नहीं होगी? यह तब होगा जब तीर बाएं डिवीजन से 0.04 से आगे नहीं रुकेगा दायी ओर यादाएँ भाग से 0.04 से अधिक नहीं बाएं. चित्र में मैंने संबंधित क्षेत्रों को छायांकित किया है:

इन क्षेत्रों को ढूंढना बाकी है अभिन्नों का उपयोग करना. सिद्धांत रूप में, उनकी गणना "स्कूल फैशन में" की जा सकती है (आयतों के क्षेत्रों की तरह), लेकिन सरलता हमेशा समझ में नहीं आती है;)

द्वारा असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय:

- संभावना है कि पूर्णांकन त्रुटि 0.04 (हमारे उदाहरण के लिए 40 ग्राम) से अधिक नहीं होगी

यह देखना आसान है कि अधिकतम संभव गोलाई त्रुटि 0.1 (100 ग्राम) है और इसलिए संभावना है कि पूर्णांकन त्रुटि 0.1 से अधिक नहीं होगीएक के बराबर.

उत्तर: 0,4

जानकारी के अन्य स्रोतों में इस समस्या की वैकल्पिक व्याख्याएँ/सूत्रीकरण मौजूद हैं, और मैंने वह विकल्प चुना जो मुझे सबसे अधिक समझ में आया। विशेष ध्यानइस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि इस स्थिति में हम त्रुटियों के बारे में बात नहीं कर सकते, बल्कि पूर्णांकन के बारे में बात कर सकते हैं यादृच्छिकमाप त्रुटियाँ, जो आमतौर पर होती हैं (लेकिन हमेशा नहीं), द्वारा वितरित सामान्य कानून. इस प्रकार, केवल एक शब्द आपके निर्णय को मौलिक रूप से बदल सकता है!सतर्क रहें और मतलब समझें.

और जैसे ही सब कुछ एक घेरे में चला जाता है, हमारे पैर हमें उसी बस स्टॉप पर ले आते हैं:

उदाहरण 4

एक निश्चित मार्ग पर बसें निर्धारित समय पर और हर 7 मिनट में चलती हैं। एक यादृच्छिक चर का घनत्व फ़ंक्शन बनाएं - एक यात्री द्वारा अगली बस के लिए प्रतीक्षा समय जो यादृच्छिक रूप से स्टॉप पर पहुंच गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह बस का तीन मिनट से अधिक इंतजार नहीं करेगा। वितरण फलन ज्ञात कीजिए तथा इसका सार्थक अर्थ समझाइए।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभाव्यता वितरण के उदाहरण निरंतर यादृच्छिक चर एक्स हैं:

• एक सतत यादृच्छिक चर का समान संभाव्यता वितरण;
• एक सतत यादृच्छिक चर का घातांकीय संभाव्यता वितरण;
• सामान्य वितरण एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाएँ।

आइए हम विचाराधीन कार्यों की समान और घातीय वितरण कानूनों, संभाव्यता सूत्रों और संख्यात्मक विशेषताओं की अवधारणा दें।

अनुक्रमणिका	समान वितरण कानून	घातीय वितरण कानून
परिभाषा	वर्दी कहा जाता है एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण, जिसका घनत्व खंड पर स्थिर रहता है और इसका रूप होता है	एक्सपोनेंशियल (घातांकीय) कहा जाता है एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण, जिसे घनत्व के रूप में वर्णित किया गया है
		जहाँ λ एक स्थिर धनात्मक मान है
वितरण समारोह
संभावना अंतराल में गिरना
अपेक्षित मूल्य
फैलाव
मानक विचलन

"समान और घातीय वितरण कानून" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1।

बसें निश्चित समय पर चलती हैं। संचलन अंतराल 7 मिनट. खोजें: ए) संभावना है कि एक स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री अगली बस के लिए दो मिनट से कम इंतजार करेगा; बी) संभावना है कि स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री अगली बस के लिए कम से कम तीन मिनट इंतजार करेगा; ग) यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन - यात्री प्रतीक्षा समय।

समाधान। 1. समस्या की स्थितियों के अनुसार, एक सतत यादृच्छिक चर X = (यात्री प्रतीक्षा समय) समान रूप से वितरित दो बसों के आगमन के बीच. यादृच्छिक चर X के वितरण अंतराल की लंबाई b-a=7 के बराबर है, जहां a=0, b=7 है।

2. यदि यादृच्छिक चर X अंतराल (5;7) में आता है तो प्रतीक्षा समय दो मिनट से कम होगा। हम सूत्र का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल में आने की संभावना पाते हैं: पी(एक्स 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
पी(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. यदि यादृच्छिक चर X अंतराल (0;4) में आता है तो प्रतीक्षा समय कम से कम तीन मिनट (अर्थात् तीन से सात मिनट तक) होगा। हम सूत्र का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल में आने की संभावना पाते हैं: पी(एक्स 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
पी(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. निरंतर, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X - यात्री के प्रतीक्षा समय - की गणितीय अपेक्षा सूत्र का उपयोग करके पाई जाएगी: एम(एक्स)=(ए+बी)/2. एम(एक्स) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5.

5. निरंतर, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का मानक विचलन - यात्री का प्रतीक्षा समय - सूत्र का उपयोग करके पाया जाएगा: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

कार्य 2.

x ≥ 0 के लिए घातांकीय वितरण घनत्व f(x) = 5e - 5x द्वारा दिया जाता है। आवश्यक: ए) वितरण फ़ंक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें; बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (1;4) में आ जाता है; ग) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X ≥ 2; डी) एम(एक्स), डी(एक्स), σ(एक्स) की गणना करें।

समाधान। 1. चूँकि शर्त दी गई है घातांकी रूप से वितरण , फिर यादृच्छिक चर X की संभाव्यता वितरण घनत्व के सूत्र से हम λ = 5 प्राप्त करते हैं। तब वितरण फ़ंक्शन का रूप होगा:

2. परीक्षण के परिणामस्वरूप X के अंतराल (1;4) में आने की प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाएगी:
पी(ए< X < b) = e −λa − e −λb .
पी(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X ≥ 2 सूत्र द्वारा पाया जाएगा: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
पी(एक्स≥2) = पी(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. घातीय वितरण खोजें:

• सूत्र M(X) = 1/λ = 1/5 = 0.2 के अनुसार गणितीय अपेक्षा;
• सूत्र D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0.04 के अनुसार विचरण;
• सूत्र σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 के अनुसार मानक विचलन।

इस मुद्दे पर लंबे समय से विस्तार से अध्ययन किया गया है, और सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली विधि ध्रुवीय समन्वय विधि है, जिसे 1958 में जॉर्ज बॉक्स, मर्विन मुलर और जॉर्ज मार्साग्लिया द्वारा प्रस्तावित किया गया था। यह विधि आपको गणितीय अपेक्षा 0 और विचरण 1 के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की एक जोड़ी प्राप्त करने की अनुमति देती है:

जहां Z 0 और Z 1 वांछित मान हैं, s = u 2 + v 2, और u और v यादृच्छिक चर हैं जो समान रूप से अंतराल (-1, 1) पर वितरित होते हैं, इस तरह से चुने जाते हैं कि शर्त 0 संतुष्ट हो जाती है< s < 1.
बहुत से लोग बिना सोचे-समझे इन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, और बहुतों को उनके अस्तित्व पर संदेह भी नहीं होता है, क्योंकि वे तैयार कार्यान्वयन का उपयोग करते हैं। लेकिन ऐसे लोग भी हैं जिनके मन में सवाल हैं: “यह फॉर्मूला कहां से आया? और तुम्हें एक ही बार में दो-चार मात्राएँ क्यों मिलती हैं?” आगे, मैं इन प्रश्नों का स्पष्ट उत्तर देने का प्रयास करूँगा।

आरंभ करने के लिए, मैं आपको याद दिला दूं कि संभाव्यता घनत्व, यादृच्छिक चर का वितरण फलन और व्युत्क्रम फलन क्या हैं। मान लीजिए कि एक निश्चित यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, जिसका निम्नलिखित रूप है:

इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए यादृच्छिक चर का मान अंतराल (ए, बी) में होने की संभावना छायांकित क्षेत्र के क्षेत्र के बराबर है। और परिणामस्वरूप, संपूर्ण छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एक के बराबर होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्थिति में यादृच्छिक चर का मान फ़ंक्शन f की परिभाषा के क्षेत्र में आएगा।
एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन घनत्व फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है। और इस मामले में, इसका अनुमानित स्वरूप इस प्रकार होगा:

यहां तात्पर्य यह है कि यादृच्छिक चर का मान प्रायिकता बी के साथ ए से कम होगा। और परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन कभी नहीं घटता है, और इसके मान अंतराल में रहते हैं।

व्युत्क्रम फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो मूल फ़ंक्शन के लिए एक तर्क लौटाता है यदि मूल फ़ंक्शन का मान इसमें पारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन x 2 के लिए व्युत्क्रम मूल निकालने का फ़ंक्शन है, पाप (x) के लिए यह आर्क्सिन (x) है, आदि।

चूंकि अधिकांश छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर आउटपुट के रूप में केवल एक समान वितरण उत्पन्न करते हैं, इसलिए अक्सर इसे किसी अन्य में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, सामान्य गाऊसी के लिए:

एक समान वितरण को किसी अन्य में बदलने की सभी विधियों का आधार व्युत्क्रम परिवर्तन विधि है। यह इस प्रकार काम करता है. एक फ़ंक्शन पाया जाता है जो आवश्यक वितरण के फ़ंक्शन के विपरीत होता है, और अंतराल (0, 1) पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर को एक तर्क के रूप में इसमें पारित किया जाता है। आउटपुट पर हमें आवश्यक वितरण के साथ एक मान प्राप्त होता है। स्पष्टता के लिए, मैं निम्नलिखित चित्र प्रदान करता हूँ।

इस प्रकार, एक समान खंड, जैसा कि यह था, नए वितरण के अनुसार स्मियर किया जाता है, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन के माध्यम से किसी अन्य अक्ष पर प्रक्षेपित किया जाता है। लेकिन समस्या यह है कि गॉसियन वितरण के घनत्व के अभिन्न अंग की गणना करना आसान नहीं है, इसलिए उपरोक्त वैज्ञानिकों को धोखा देना पड़ा।

एक ची-स्क्वायर वितरण (पियर्सन वितरण) है, जो कि k स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है। और उस स्थिति में जब k = 2, यह वितरण घातीय है।

इसका मतलब यह है कि यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु पर यादृच्छिक एक्स और वाई निर्देशांक सामान्य रूप से वितरित होते हैं, तो इन निर्देशांक को ध्रुवीय प्रणाली (आर, θ) में परिवर्तित करने के बाद, त्रिज्या का वर्ग (मूल से बिंदु तक की दूरी) घातीय नियम के अनुसार वितरित किया जाएगा, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग निर्देशांक के वर्गों का योग है (पायथागॉरियन कानून के अनुसार)। समतल पर ऐसे बिंदुओं का वितरण घनत्व इस प्रकार दिखेगा:

चूँकि यह सभी दिशाओं में समान है, कोण θ का 0 से 2π तक की सीमा में एक समान वितरण होगा। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि आप दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर (एक समान रूप से वितरित कोण और तेजी से वितरित त्रिज्या) का उपयोग करके ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु को परिभाषित करते हैं, तो इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर होंगे। और समान व्युत्क्रम परिवर्तन विधि का उपयोग करके एक समान वितरण से घातांकीय वितरण प्राप्त करना बहुत आसान है। यह ध्रुवीय बॉक्स-मुलर विधि का सार है।
अब आइए सूत्र प्राप्त करें।

(1)

आर और θ प्राप्त करने के लिए, अंतराल (0, 1) पर समान रूप से वितरित दो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है (चलो उन्हें यू और वी कहते हैं), जिनमें से एक का वितरण (मान लें वी) को घातीय में परिवर्तित किया जाना चाहिए त्रिज्या प्राप्त करें. घातीय वितरण फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:

इसका उलटा कार्य है:

चूँकि समान वितरण सममित है, परिवर्तन फ़ंक्शन के साथ समान रूप से कार्य करेगा

ची-स्क्वायर वितरण सूत्र से यह निम्नानुसार है कि λ = 0.5। इस फ़ंक्शन में λ, v रखें और त्रिज्या का वर्ग प्राप्त करें, और फिर त्रिज्या स्वयं:

हम इकाई खंड को 2π तक खींचकर कोण प्राप्त करते हैं:

अब हम r और θ को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

(2)

ये सूत्र उपयोग के लिए पहले से ही तैयार हैं। एक्स और वाई स्वतंत्र होंगे और सामान्य रूप से 1 के विचरण और 0 की गणितीय अपेक्षा के साथ वितरित किए जाएंगे। अन्य विशेषताओं के साथ वितरण प्राप्त करने के लिए, फ़ंक्शन के परिणाम को मानक विचलन से गुणा करना और गणितीय अपेक्षा को जोड़ना पर्याप्त है।
लेकिन सीधे तौर पर नहीं, बल्कि परोक्ष रूप से वृत्त में एक यादृच्छिक बिंदु के आयताकार निर्देशांक के माध्यम से कोण को निर्दिष्ट करके त्रिकोणमितीय कार्यों से छुटकारा पाना संभव है। फिर, इन निर्देशांकों के माध्यम से, त्रिज्या वेक्टर की लंबाई की गणना करना संभव होगा, और फिर क्रमशः x और y को विभाजित करके कोसाइन और साइन ज्ञात करना संभव होगा। यह कैसे और क्यों काम करता है?
आइए हम इकाई त्रिज्या के एक वृत्त में समान रूप से वितरित बिंदुओं में से एक यादृच्छिक बिंदु चुनें और इस बिंदु की त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग को अक्षर s द्वारा निरूपित करें:

चयन यादृच्छिक आयताकार निर्देशांक x और y को निर्दिष्ट करके किया जाता है, समान रूप से अंतराल (-1, 1) में वितरित किया जाता है, और उन बिंदुओं को त्याग दिया जाता है जो सर्कल से संबंधित नहीं हैं, साथ ही केंद्रीय बिंदु जिस पर त्रिज्या वेक्टर का कोण बनता है परिभाषित नहीं है। यानी शर्त 0 पूरी होनी चाहिए< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

हमें लेख की शुरुआत में सूत्र मिलते हैं। इस पद्धति का नुकसान यह है कि यह उन बिंदुओं को हटा देता है जो वृत्त में शामिल नहीं हैं। अर्थात्, उत्पन्न यादृच्छिक चर का केवल 78.5% उपयोग करना। पुराने कंप्यूटरों पर, त्रिकोणमिति कार्यों की कमी अभी भी एक बड़ा लाभ थी। अब, जब एक प्रोसेसर कमांड एक पल में साइन और कोसाइन दोनों की गणना करता है, तो मुझे लगता है कि ये विधियां अभी भी प्रतिस्पर्धा कर सकती हैं।

व्यक्तिगत रूप से, मेरे पास अभी भी दो प्रश्न हैं:

• का मान समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
• दो सामान्य यादृच्छिक चरों के वर्गों का योग चरघातांकीय रूप से क्यों वितरित किया जाता है?

चूँकि s त्रिज्या का वर्ग है (सरलता के लिए, मैं त्रिज्या को त्रिज्या वेक्टर की लंबाई कहता हूँ जो एक यादृच्छिक बिंदु की स्थिति निर्दिष्ट करती है), हम पहले यह पता लगाते हैं कि त्रिज्याएँ कैसे वितरित की जाती हैं। चूँकि वृत्त समान रूप से भरा हुआ है, इसलिए यह स्पष्ट है कि त्रिज्या r वाले बिंदुओं की संख्या त्रिज्या r वाले वृत्त की लंबाई के समानुपाती होती है। और वृत्त की परिधि त्रिज्या के समानुपाती होती है। इसका मतलब यह है कि त्रिज्या का वितरण घनत्व वृत्त के केंद्र से उसके किनारों तक समान रूप से बढ़ता है। और घनत्व फ़ंक्शन का रूप अंतराल (0, 1) पर f(x) = 2x है। गुणांक 2 ताकि ग्राफ़ के नीचे की आकृति का क्षेत्रफल एक के बराबर हो। जब इस घनत्व का वर्ग किया जाता है तो यह एक समान हो जाता है। चूंकि सैद्धांतिक रूप से इस मामले में घनत्व फ़ंक्शन को परिवर्तन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न (यानी, x 2) द्वारा विभाजित करना आवश्यक है। और स्पष्ट रूप से यह इस प्रकार होता है:

यदि एक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए समान परिवर्तन किया जाता है, तो उसके वर्ग का घनत्व फ़ंक्शन हाइपरबोला के समान हो जाएगा। और सामान्य यादृच्छिक चर के दो वर्गों को जोड़ना दोहरे एकीकरण से जुड़ी एक बहुत अधिक जटिल प्रक्रिया है। और तथ्य यह है कि परिणाम एक घातीय वितरण होगा, मुझे व्यक्तिगत रूप से केवल एक व्यावहारिक विधि का उपयोग करके जांचना होगा या एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार करना होगा। और जो लोग रुचि रखते हैं, उनके लिए मेरा सुझाव है कि आप इन पुस्तकों से ज्ञान प्राप्त करते हुए विषय पर करीब से नज़र डालें:

• वेंटज़ेल ई.एस. सिद्धांत संभावना
• नट डी.ई. प्रोग्रामिंग की कला, खंड 2

अंत में, यहां जावास्क्रिप्ट में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर को लागू करने का एक उदाहरण दिया गया है:

फ़ंक्शन गॉस () (var तैयार = गलत; var सेकंड = 0.0; this.next = function(मीन, देव) ( माध्य = माध्य == अपरिभाषित? 0.0: माध्य; देव = देव == अपरिभाषित? 1.0: देव; यदि ( this.ready) ( this.ready = false; return this. दूसरा * dev + माध्य; ) अन्यथा ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. यादृच्छिक() - 1.0; s = u * u + v * v; ) जबकि (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); यह.दूसरा = आर * यू; यह.तैयार = सत्य; वापसी आर * वी * देव + माध्य; ) ); ) जी = नया गॉस(); // एक ऑब्जेक्ट बनाएं a = g.next(); // मानों की एक जोड़ी बनाएं और पहला प्राप्त करें b = g.next(); // दूसरा प्राप्त करें c = g.next(); // मूल्यों की एक जोड़ी फिर से उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें
पैरामीटर माध्य (गणितीय अपेक्षा) और देव (मानक विचलन) वैकल्पिक हैं। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि लघुगणक प्राकृतिक है।