प्रवेश के स्तर पर

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. द अल्टीमेट गाइड (2019)

आइए एक पहाड़ी क्षेत्र से होकर गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर-नीचे तो जाता है, लेकिन दाएं-बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है; जीवन में हम समुद्र तल का उपयोग इसके रूप में करते हैं।

जैसे-जैसे हम ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हैं, हम ऊपर या नीचे भी बढ़ते हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (एब्सिस्सा अक्ष के साथ गति), तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ गति)। आइए अब सोचें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे किया जाए? यह किस प्रकार का मूल्य हो सकता है? यह बहुत सरल है: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊँचाई कितनी बदल जाएगी। दरअसल, सड़क के विभिन्न हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एक्स-अक्ष के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (वाई-अक्ष के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में बढ़ेंगे या गिरेंगे।

आइए प्रगति को निरूपित करें ("डेल्टा x" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) का प्रयोग आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह मात्रा में परिवर्तन है, - एक परिवर्तन; ओर भला क्या? यह सही है, परिमाण में परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: एक अभिव्यक्ति एक संपूर्ण, एक चर है। कभी भी "डेल्टा" को "x" या किसी अन्य अक्षर से अलग न करें!

यानी, उदाहरण के लिए, .

तो, हम क्षैतिज रूप से, आगे बढ़ गए हैं। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना फ़ंक्शन के ग्राफ़ से करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे दर्शाते हैं? निश्चित रूप से, । अर्थात जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं, हम ऊंचे उठते जाते हैं।

आइए "खड़ीपन" पर लौटें: यह एक मान है जो दर्शाता है कि दूरी की एक इकाई आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेज) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि सड़क के किसी हिस्से पर एक किलोमीटर आगे बढ़ने पर सड़क एक किलोमीटर ऊपर उठ जाती है। फिर इस स्थान पर ढलान बराबर है. और यदि सड़क मी से आगे बढ़ते समय किमी से नीचे चली जाए तो? तब ढलान बराबर है.

आइए अब एक पहाड़ी की चोटी को देखें। यदि आप खंड की शुरुआत शिखर से आधा किलोमीटर पहले और अंत आधा किलोमीटर बाद लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

अर्थात् हमारे तर्क के अनुसार यह पता चलता है कि यहाँ ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सत्य नहीं है। कुछ ही किलोमीटर की दूरी पर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक आकलन के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर आगे बढ़ने पर ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उसे पार कर सकते हैं। तो फिर हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? थोड़ा ही काफी है!

में वास्तविक जीवननिकटतम मिलीमीटर तक दूरियाँ मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, इस अवधारणा का आविष्कार किया गया था बहुत छोता, अर्थात्, निरपेक्ष मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरबवां! कितना कम? और आप इस संख्या को विभाजित करें - और यह और भी कम होगी। और इसी तरह। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि कोई मात्रा अतिसूक्ष्म है, तो हम इस प्रकार लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है")। इसे समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब. इसका मतलब है कि आप इससे भाग दे सकते हैं.

इनफिनिटिमल के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तो संभवत: आपको इसका सामना पहले ही हो चुका होगा: यह संख्या आपके द्वारा सोची जा सकने वाली किसी भी संख्या से कहीं अधिक है। यदि आपको सबसे बड़ी संख्या मिलती है, तो बस उसे दो से गुणा करें और आपको और भी बड़ी संख्या प्राप्त होगी। और अनंत जो घटित होता है उससे भी बड़ा है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत हैं, यानी, और इसके विपरीत: पर।

अब चलिए अपनी सड़क पर वापस आते हैं। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक अत्यंत छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि अतिसूक्ष्म विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी अतिसूक्ष्म होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि अतिसूक्ष्म का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप एक पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से बिल्कुल गुना बड़ा हो सकता है।

यह सब किस लिए है? सड़क, ढलान... हम कार रैली में नहीं जा रहे हैं, बल्कि हम गणित पढ़ा रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क की अनंत वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है।

संवर्द्धितगणित में वे परिवर्तन कहते हैं। धुरी के साथ चलते समय तर्क () जिस सीमा तक बदलता है, उसे कहा जाता है तर्क वृद्धिऔर निर्दिष्ट किया जाता है। अक्ष के अनुदिश दूरी तक आगे बढ़ने पर फलन (ऊंचाई) में कितना परिवर्तन हुआ है, इसे कहते हैं कार्य वृद्धिऔर नामित किया गया है.

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का अनुपात है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल शीर्ष दाईं ओर एक अभाज्य के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशनों का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के अनुरूप है, यहां जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है।

क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। और यह सच है, ऊँचाई बिल्कुल नहीं बदलती। तो यह व्युत्पन्न के साथ है: एक स्थिर फ़ंक्शन (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूँकि ऐसे फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य के बराबर है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण याद रखें। यह पता चला कि खंड के सिरों को शीर्ष के विपरीत पक्षों पर इस तरह व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊंचाई समान हो, यानी खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप का संकेत हैं। हम अपने खण्ड को समानान्तर ऊपर उठायेंगे तो उसकी लम्बाई कम हो जायेगी।

अंततः, जब हम शीर्ष के असीम रूप से करीब होंगे, तो खंड की लंबाई अनंत हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (यह प्रवृत्ति नहीं करता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस तरह समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर यह घटता है। जैसा कि हमने पहले पाया, जब कोई फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है। लेकिन यह बिना किसी छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क कहीं भी अपनी ढलान को तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

गर्त के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां बाईं ओर का कार्य घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को परिमाण में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? अब यह (तर्क) क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें. इसमें फ़ंक्शन का मान बराबर होता है. फिर हम वही वृद्धि करते हैं: हम समन्वय को बढ़ाते हैं। अब क्या? समान तर्क? बहुत आसान: . अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, वहां फ़ंक्शन भी जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिससे फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. उस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें जब तर्क की वृद्धि बराबर हो।
2. यही बात एक बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए भी लागू होती है।

समाधान:

समान तर्क वृद्धि के साथ विभिन्न बिंदुओं पर, फ़ंक्शन वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न अलग है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम कोई व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें यह अवश्य बताना चाहिए कि किस बिंदु पर:

शक्ति समारोह.

पावर फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जहां तर्क कुछ हद तक (तार्किक, सही?) होता है।

इसके अलावा - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। आइए व्युत्पन्न की परिभाषा को याद करें:

तो तर्क से बदल जाता है. फ़ंक्शन की वृद्धि क्या है?

वेतन वृद्धि यह है. लेकिन किसी भी बिंदु पर एक फ़ंक्शन अपने तर्क के बराबर होता है। इसीलिए:

व्युत्पन्न इसके बराबर है:

का व्युत्पन्न इसके बराबर है:

ख) अब विचार करें द्विघात कार्य (): .

अब आइए इसे याद करें. इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य को नजरअंदाज किया जा सकता है, क्योंकि यह असीम है, और इसलिए अन्य पद की पृष्ठभूमि के मुकाबले महत्वहीन है:

तो, हम एक और नियम लेकर आए:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला ब्रैकेट खोलें, या क्यूब्स के अंतर सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण अभिव्यक्ति का गुणनखंड करें। सुझाए गए किसी भी तरीके का उपयोग करके इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और फिर से उसे याद करते हैं. इसका मतलब यह है कि हम इसमें शामिल सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं:

हम पाते हैं: ।

घ) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहां तक ​​कि एक पूर्णांक भी नहीं:

(2)

नियम को इन शब्दों में तैयार किया जा सकता है: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर कम किया जाता है।"

हम इस नियम को बाद में (लगभग बिल्कुल अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें. कार्यों का व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके पास "यह कैसा है?" जैसे प्रश्न हैं। डिग्री कहाँ है?”, विषय “” याद रखें!
   हाँ, हाँ, मूल भी एक डिग्री है, केवल भिन्नात्मक:।
   इसका मतलब यह है कि हमारा वर्गमूल एक घातांक वाली एक घात मात्र है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो जाता है, तो विषय को दोहराएं ""!!! (डिग्री के बारे में) नकारात्मक सूचक)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन: .

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित से एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

अभिव्यक्ति के साथ.

आप संस्थान के पहले वर्ष में प्रमाण सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको एकीकृत राज्य परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण करनी होगी)। अब मैं इसे ग्राफ़िक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - तो ग्राफ़ पर बिंदु काट दिया जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होगा, फ़ंक्शन उतना ही करीब होगा। यही "लक्ष्य" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके इस नियम की जांच कर सकते हैं। हाँ, हाँ, शरमाओ मत, कैलकुलेटर ले लो, हम अभी तक एकीकृत राज्य परीक्षा में नहीं हैं।

तो, आइए कोशिश करें: ;

अपने कैलकुलेटर को रेडियंस मोड पर स्विच करना न भूलें!

वगैरह। हम देखते हैं कि जितना कम, उतना निकट मूल्यसे संबंध

ए) फ़ंक्शन पर विचार करें. हमेशा की तरह, आइए इसकी वृद्धि ज्ञात करें:

आइए साइन के अंतर को एक उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें): .

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर अतिसूक्ष्म के लिए यह अतिसूक्ष्म भी है: . के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम उसे अभिव्यक्ति के साथ याद करते हैं। और साथ ही, क्या होगा यदि योग में एक अतिसूक्ष्म मात्रा की उपेक्षा की जा सकती है (अर्थात, पर)।

तो, हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("सारणीबद्ध") व्युत्पन्न हैं। यहां वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

1. सबसे पहले, आइए व्युत्पन्न खोजें सामान्य रूप से देखें, और फिर उसका मान प्रतिस्थापित करें:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास कुछ ऐसा ही है शक्ति समारोह. आइए उसे लाने का प्रयास करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   बढ़िया, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईई…..यह क्या है????

ठीक है, आप सही हैं, हम अभी तक नहीं जानते कि ऐसे डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक.

गणित में एक फ़ंक्शन होता है जिसका किसी भी मान का व्युत्पन्न उसी समय फ़ंक्शन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार एक स्थिरांक है - यह अनंत है दशमलव, यानी एक अपरिमेय संख्या (जैसे)। इसे "यूलर संख्या" कहा जाता है, यही कारण है कि इसे एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

तो, नियम:

याद रखना बहुत आसान है.

ठीक है, आइए ज्यादा दूर न जाएं, आइए तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करें। कौन सा फलन घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

यह किसके बराबर है? बिल्कुल।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: प्रदर्शक और प्राकृतिक- डेरिवेटिव के संदर्भ में फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम बाद में, विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद करेंगे।

विभेदीकरण के नियम

किस चीज़ के नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में आप और क्या कह सकते हैं? व्युत्पन्न नहीं... गणितज्ञ अंतर को किसी फ़ंक्शन की समान वृद्धि कहते हैं। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. इसे रहने दो, या सरल।

उदाहरण.

फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

1. एक बिंदु पर;
2. एक बिंदु पर;
3. एक बिंदु पर;
4. बिंदु पर.

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: आइए एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसकी वृद्धि ढूंढें:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि केवल घातांक ही नहीं, बल्कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि वह क्या है?)।

तो, कुछ संख्या कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर कम करने का प्रयास करें:

इसके लिए हम प्रयोग करेंगे सरल नियम: . तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

काम किया?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र एक घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे और अधिक लिखा नहीं जा सकता सरल रूप में. इसलिए, हम इसे उत्तर में इसी रूप में छोड़ते हैं।

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यह यहाँ समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ एक मनमाना लघुगणक खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार तक कम करने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब हम इसके बजाय लिखेंगे:

हर केवल एक अचर है (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के)। व्युत्पन्न बहुत सरलता से प्राप्त किया जाता है:

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चापस्पर्शज्या भी नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालांकि यदि आपको लघुगणक कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और आप ठीक हो जाएंगे), लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। परिणाम एक मिश्रित वस्तु है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे कदम उठाने होंगे उल्टे क्रम.

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट) दिया जाता है, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसका आप वर्ग कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक उदाहरण है जटिल कार्य: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर पहली क्रिया के परिणाम के साथ दूसरी क्रिया करते हैं।

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में आसानी से कर सकते हैं: पहले आप इसका वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। महत्वपूर्ण विशेषताजटिल कार्य: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही बात)। .

जो क्रिया हम अंतिम बार करेंगे वही कहलाएगी "बाहरी" फ़ंक्शन, और कार्रवाई पहले की गई - तदनुसार "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. हम पहले कौन सा कार्य करेंगे? सबसे पहले, आइए साइन की गणना करें, और उसके बाद ही इसे घन करें। इसका मतलब यह है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपना चॉकलेट बार निकालेंगे और व्युत्पन्न की तलाश करेंगे। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक इसे काटने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकलता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम इसमें से जड़ भी निकालते हैं, यानी हम तीसरी क्रिया करते हैं (हम चॉकलेट को एक में डालते हैं) रैपर और ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: हम अभी भी इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम पहले जैसा ही है:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. ज्या. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदीकरण के नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

उत्पाद का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

लेख की सामग्री

व्युत्पन्न- फ़ंक्शन का व्युत्पन्न य = एफ(एक्स), एक निश्चित अंतराल पर दिया गया ( ए, बी) बिंदु पर एक्सइस अंतराल को वह सीमा कहा जाता है जिस तक फलन की वृद्धि का अनुपात प्रवृत्त होता है एफइस बिंदु पर तर्क की संगत वृद्धि पर जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

व्युत्पन्न को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है:

अन्य पदनाम भी व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं:

तुरंत गति.

आइए बात को स्पष्ट करें एमएक सीधी रेखा में चलता है. दूरी एसगतिमान बिंदु, कुछ प्रारंभिक स्थिति से गिना जाता है एम 0 , समय पर निर्भर करता है टी, यानी एससमय का एक कार्य है टी: एस= एफ(टी). चलो किसी समय टीगतिमान बिंदु एमकी दूरी पर था एसआरंभिक स्थिति से एम 0, और किसी अगले पल में टी+डी टीखुद को एक स्थिति में पाया एम 1 - दूरी पर एस+डी एसप्रारंभिक स्थिति से ( तस्वीर देखें.).

इस प्रकार, समय के साथ डी टीदूरी एसराशि D द्वारा बदला गया एस. इस मामले में उनका कहना है कि समय अंतराल के दौरान डी टीपरिमाण एसवेतन वृद्धि प्राप्त हुई डी एस.

औसत गति सभी मामलों में किसी बिंदु की गति की गति को सटीक रूप से चित्रित नहीं कर सकती है एमएक समय में टी. यदि, उदाहरण के लिए, अंतराल डी की शुरुआत में शरीर टीबहुत तेज़ी से आगे बढ़ा, और अंत में बहुत धीमी गति से, तो औसत गति बिंदु की गति की संकेतित विशेषताओं को प्रतिबिंबित करने में सक्षम नहीं होगी और इस समय इसकी गति की वास्तविक गति का अंदाजा नहीं दे पाएगी टी. औसत गति का उपयोग करके वास्तविक गति को अधिक सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए, आपको कम समय डी लेने की आवश्यकता है टी. इस समय किसी बिंदु की गति की गति को पूरी तरह से चित्रित करता है टीवह सीमा जिस तक औसत गति D पर जाती है टी® 0. इस सीमा को अंदर जाने की गति कहा जाता है इस समय:

इस प्रकार, किसी निश्चित क्षण में गति की गति को पथ वृद्धि अनुपात डी की सीमा कहा जाता है एससमय वृद्धि के लिए डी टी, जब समय वृद्धि शून्य हो जाती है। क्योंकि

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ. किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा.

स्पर्शरेखा रेखाओं का निर्माण उन समस्याओं में से एक है जिसके कारण विभेदक कलन का जन्म हुआ। डिफरेंशियल कैलकुलस से संबंधित पहला प्रकाशित कार्य लाइबनिज द्वारा लिखित था, जिसका शीर्षक था नई विधिमैक्सिमा और मिनिमा, साथ ही स्पर्शरेखा, जिसके लिए न तो भिन्नात्मक और न ही अपरिमेय मात्रा, और इसके लिए एक विशेष प्रकार का कलन, एक बाधा के रूप में कार्य करता है.

मान लीजिए कि वक्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ है य =एफ(एक्स) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ( सेमी. चावल।)।

कुछ कीमत पर एक्सकार्य मायने रखता है य =एफ(एक्स). ये मूल्य एक्सऔर यवक्र पर बिंदु संगत है एम 0(एक्स, य). यदि तर्क एक्सदेना वृद्धि डी एक्स, फिर तर्क का नया मान एक्स+डी एक्सनए फ़ंक्शन मान से मेल खाता है y+डी य = एफ(एक्स + डी एक्स). वक्र का संगत बिंदु बिंदु होगा एम 1(एक्स+डी एक्स,य+डी य). यदि आप एक सेकेंट बनाते हैं एम 0एम 1 और j द्वारा निरूपित किया गया अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक तिर्यक रेखा द्वारा बनाया गया कोण बैल, चित्र से यह तुरंत स्पष्ट है कि .

यदि अब डी एक्सशून्य की ओर जाता है, फिर बिंदु एम 1 वक्र के अनुदिश बिंदु की ओर बढ़ता है एम 0, और कोण जे डी के साथ परिवर्तन एक्स. पर डीएक्स® 0 कोण j एक निश्चित सीमा a और बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा की ओर जाता है एम 0 और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा वाला घटक, कोण a, वांछित स्पर्शरेखा होगा। इसका ढलान है:

इस तरह, एफ´( एक्स) = टीजीए

वे। व्युत्पन्न मूल्य एफ´( एक्स) किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक्सफ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा से बने कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है एफ(एक्स) संगत बिंदु पर एम 0(एक्स,य) सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ बैल.

कार्यों की भिन्नता.

परिभाषा। यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) बिंदु पर एक व्युत्पन्न है एक्स = एक्स 0, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है।

व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन की निरंतरता। प्रमेय.

यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) कुछ बिंदु पर भिन्न है एक्स = एक्स 0, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

इस प्रकार, फ़ंक्शन में असंततता बिंदुओं पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। विपरीत निष्कर्ष गलत है, अर्थात इस तथ्य से कि किसी बिंदु पर एक्स = एक्स 0 फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) निरंतर है इसका मतलब यह नहीं है कि यह इस बिंदु पर भिन्न है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन य = |एक्स| सभी के लिए निरंतर एक्स(–Ґ x x = 0 का कोई अवकलज नहीं है। इस बिंदु पर ग्राफ़ की कोई स्पर्शरेखा नहीं है। एक दाहिनी स्पर्शरेखा और एक बाईं स्पर्शरेखा है, लेकिन वे संपाती नहीं हैं।

अवकलनीय कार्यों पर कुछ प्रमेय। व्युत्पन्न की जड़ों पर प्रमेय (रोले का प्रमेय)।यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ए,बी], इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं और सिरों पर भिन्न है एक्स = एऔर एक्स = बीशून्य पर चला जाता है ( एफ(ए) = एफ(बी) = 0), फिर खंड के अंदर [ ए,बी] कम से कम एक बिंदु तो है एक्स= साथ, एसी बी, जिसमें व्युत्पन्न एफў( एक्स) शून्य पर चला जाता है, अर्थात एफў( सी) = 0.

परिमित वृद्धि प्रमेय (लैग्रेंज प्रमेय)।यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी] और इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं पर भिन्न है, फिर खंड के अंदर [ ए, बी] कम से कम एक बिंदु तो है साथ, एसी बी वो

एफ(बी) – एफ(ए) = एफў( सी)(बी– ए).

दो कार्यों की वृद्धि के अनुपात पर प्रमेय (कॉची का प्रमेय)।अगर एफ(एक्स) और जी(एक्स) - खंड पर दो कार्य निरंतर [ए, बी] और इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं पर भिन्न, और जीў( एक्स) इस खंड के अंदर कहीं भी गायब नहीं होता है, फिर खंड के अंदर [ ए, बी] एक ऐसी बात है एक्स = साथ, एसी बी वो

विभिन्न आदेशों के व्युत्पन्न।

कार्य करने दो य =एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर अवकलनीय है [ ए, बी]. व्युत्पन्न मूल्य एफ ў( एक्स), आम तौर पर बोलना, पर निर्भर करता है एक्स, यानी यौगिक एफ ў( एक्स) का भी एक कार्य है एक्स. इस फ़ंक्शन को विभेदित करने पर, हमें फ़ंक्शन का तथाकथित दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त होता है एफ(एक्स), जिसे दर्शाया गया है एफ ўў ( एक्स).

यौगिक एन-कार्य का वां क्रम एफ(एक्स) को अवकलज का (प्रथम क्रम) अवकलज कहा जाता है एन- 1- वें और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है य(एन) = (य(एन– 1))ў.

विभिन्न आदेशों के अंतर.

फ़ंक्शन अंतर य = एफ(एक्स), कहाँ एक्स- स्वतंत्र चर, हाँ डीवाई = एफ ў( एक्स)डीएक्स, से कुछ कार्य एक्स, लेकिन से एक्सकेवल पहला कारक ही निर्भर हो सकता है एफ ў( एक्स), दूसरा कारक ( डीएक्स) स्वतंत्र चर की वृद्धि है एक्सऔर इस चर के मान पर निर्भर नहीं करता है. क्योंकि डीवाईसे एक फ़ंक्शन है एक्स, तो हम इस फ़ंक्शन का अंतर निर्धारित कर सकते हैं। किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को इस फ़ंक्शन का दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है डी 2य:

डी(डीएक्स) = डी 2य = एफ ўў( एक्स)(डीएक्स) 2 .

अंतर एन-प्रथम कोटि का अवकलन प्रथम अवकलन कहलाता है एन- 1- वां क्रम:

डी एन वाई = डी(डी एन–1य) = एफ(एन)(एक्स)डीएक्स(एन).

आंशिक व्युत्पन्न.

यदि कोई फ़ंक्शन एक पर नहीं, बल्कि कई तर्कों पर निर्भर करता है एक्स मैं(मैं 1 से भिन्न होता है एन,मैं= 1, 2,… एन),एफ(एक्स 1,एक्स 2,… एक्स एन), फिर विभेदक कैलकुलस में आंशिक व्युत्पन्न की अवधारणा पेश की जाती है, जो कई चर के फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है जब केवल एक तर्क बदलता है, उदाहरण के लिए, एक्स मैं. के संबंध में प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न एक्स मैंइसे एक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह माना जाता है कि सभी तर्कों को छोड़कर एक्स मैं, स्थिर मान रखें। आंशिक व्युत्पन्नों के लिए, अंकन प्रस्तुत किया गया है

इस तरह से परिभाषित प्रथम क्रम के आंशिक व्युत्पन्न (समान तर्कों के कार्यों के रूप में), बदले में, आंशिक व्युत्पन्न भी हो सकते हैं, ये दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं, आदि। विभिन्न तर्कों से लिए गए ऐसे व्युत्पन्नों को मिश्रित कहा जाता है। एक ही क्रम के निरंतर मिश्रित व्युत्पन्न विभेदन के क्रम पर निर्भर नहीं होते हैं और एक दूसरे के बराबर होते हैं।

अन्ना चुगैनोवा

परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को अपने भीतर बिंदु \(x_0\) वाले एक निश्चित अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को एक वृद्धि दें \(\Delta x \) ताकि यह इस अंतराल को न छोड़े। आइए फ़ंक्शन \(\Delta y \) की संगत वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाने पर) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\डेल्टा x) \). यदि इस अनुपात की कोई सीमा \(\Delta x \rightarrow 0\) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से संबंधित है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f(x).

ज्यामितीय अर्थयौगिकइस प्रकार है. यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ पर भुज x=a वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है, जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f(a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है :
\(k = f"(a)\)

चूँकि \(k = tg(a) \), तो समानता \(f"(a) = tan(a) \) सत्य है।

आइए अब अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) का एक विशिष्ट बिंदु \(x\) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x\). परिणामी अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मूल्य है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2\) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।

आइए इसे तैयार करें।

फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. \(x\) का मान ठीक करें, \(f(x)\) खोजें
2. तर्क \(x\) को वृद्धि \(\Delta x\) दें, एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) ढूंढें
3. फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा बिंदु x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।

यदि किसी फ़ंक्शन y = f(x) का एक बिंदु x पर अवकलज है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f(x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).

आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?

मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M(x; f(x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और, याद रखें, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M पर, अर्थात फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर होना चाहिए।

ये "व्यावहारिक" तर्क थे। आइए हम और अधिक कठोर तर्क दें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) कायम रहती है। यदि इस समानता में \(\Delta x \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, फिर \(\Delta y \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है.

उलटा कथन सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "जंक्शन बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है, तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

एक और उदाहरण. फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x)\) संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x = 0 भी शामिल है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात, यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x = 0 है। ऐसी सीधी रेखा में कोण गुणांक नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि \(f) "(0)\) मौजूद नहीं है.

तो, हम किसी फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से कोई यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है कि यह अवकलनीय है?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।

विभेदीकरण के नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को निष्पादित करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को आसान बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

(\large\bf किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न)

फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(x), अंतराल पर निर्दिष्ट (ए, बी). होने देना एक्स- अंतराल का कोई निश्चित बिंदु (ए, बी), ए Δx- एक मनमाना संख्या जैसे कि मान x+Δxअंतराल का भी है (ए, बी). यह नंबर Δxतर्क वृद्धि कहा जाता है।

परिभाषा. कार्य वृद्धि y=f(x)बिंदु पर एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, चलो नंबर पर कॉल करें

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ऐसा हमारा विश्वास है Δx ≠ 0. किसी निश्चित बिंदु पर विचार करें एक्सइस बिंदु पर फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात संबंधित तर्क वृद्धि से है Δx

इस संबंध को हम अंतर संबंध कहेंगे. मान के बाद से एक्सहम निश्चित मानते हैं, अंतर अनुपात तर्क का एक कार्य है Δx. यह फ़ंक्शन सभी तर्क मानों के लिए परिभाषित है Δx, बिंदु के कुछ पर्याप्त छोटे पड़ोस से संबंधित Δx=0, बिंदु को छोड़कर Δx=0. इस प्रकार, हमें एक सीमा के अस्तित्व के प्रश्न पर विचार करने का अधिकार है निर्दिष्ट फ़ंक्शनपर Δx → 0.

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y=f(x)किसी निश्चित बिंदु पर एक्सपर सीमा कहा जाता है Δx → 0अंतर अनुपात, अर्थात्

बशर्ते कि यह सीमा मौजूद हो.

पद का नाम. y'(x)या एफ'(एक्स).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स)इस समय एक्सअक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा के बराबर बैलऔर संबंधित बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा:

f′(x 0) = \tgα.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न गति के बराबर है सीधीरेखीय गतिअंक:

एक रेखा की स्पर्शरेखा का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)रूप ले लेता है

y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).

किसी बिंदु पर किसी वक्र का अभिलंब उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा का लंबवत होता है। अगर f′(x 0)≠ 0, फिर रेखा के अभिलम्ब का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)इस प्रकार लिखा गया है:

किसी फ़ंक्शन की भिन्नता की अवधारणा

कार्य करने दो y=f(x)एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित (ए, बी), एक्स- इस अंतराल से कुछ निश्चित तर्क मान, Δx- तर्क की कोई भी वृद्धि जैसे कि तर्क का मूल्य x+Δx ∈ (ए, बी).

परिभाषा. समारोह y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है एक्स, यदि वृद्धि Δयबिंदु पर यह कार्य एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है

Δy = A Δx +αΔx,

कहाँ ए- कुछ संख्या से स्वतंत्र Δx, ए α - तर्क समारोह Δx, जो कि अतिसूक्ष्म है Δx→ 0.

चूँकि दो अतिसूक्ष्म फलनों का गुणनफल αΔxअतिसूक्ष्म से अधिक है उच्च क्रम, कैसे Δx(3 अतिसूक्ष्म फलनों का गुणधर्म), तो हम लिख सकते हैं:

Δy = A Δx +o(Δx).

प्रमेय. समारोह के लिए y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न था एक्स, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु पर इसका एक सीमित व्युत्पन्न हो। एक ही समय पर ए=एफ′(एक्स), वह है

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

व्युत्पन्न खोजने की क्रिया को आमतौर पर विभेदन कहा जाता है।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन y=f(x) एक्स, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

टिप्पणी. समारोह की निरंतरता से y=f(x)इस समय एक्स, सामान्यतया, फ़ंक्शन की भिन्नता का पालन नहीं होता है एफ(एक्स)इस समय। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=|x|- एक बिंदु पर निरंतर एक्स=0, लेकिन इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

विभेदक कार्य की अवधारणा

परिभाषा. फ़ंक्शन अंतर y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और स्वतंत्र चर की वृद्धि का उत्पाद कहा जाता है एक्स:

डाई = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

समारोह के लिए y=xहम पाते हैं dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, वह है dx=Δx- एक स्वतंत्र चर का अंतर इस चर की वृद्धि के बराबर होता है।

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

डाई = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

अंतर डीवाईऔर वेतन वृद्धि Δयकार्य y=f(x)इस समय एक्स, दोनों एक ही तर्क वृद्धि के अनुरूप हैं Δxआम तौर पर कहें तो, एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

अंतर का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का अंतर तर्क बढ़ने पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर होता है Δx.

विभेदीकरण के नियम

प्रमेय. यदि प्रत्येक कार्य यू(एक्स)और वी(एक्स)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न होना एक्स, फिर इन कार्यों का योग, अंतर, उत्पाद और भागफल (भागफल प्रदान किया गया)। वी(एक्स)≠ 0) इस बिंदु पर भी भिन्न हैं, और सूत्र मानते हैं:

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(φ(x))≡ F(x), कहाँ y=f(u), u=φ(x). इस मामले में यूबुलाया मध्यवर्ती तर्क, एक्स - स्वतंत्र चर.

प्रमेय. अगर y=f(u)और u=φ(x)उनके तर्कों के अवकलनीय फलन हैं, फिर एक जटिल फलन के व्युत्पन्न y=f(φ(x))मौजूद है और मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है, अर्थात।

टिप्पणी. एक जटिल फ़ंक्शन के लिए यह तीन फ़ंक्शंस का सुपरपोज़िशन है y=F(f(φ(x))), विभेदीकरण नियम का रूप है

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

कार्य कहां हैं v=φ(x), यू=एफ(वी)और y=F(u)- उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य।

प्रमेय. कार्य करने दो y=f(x)बढ़ता है (या घटता है) और बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर रहता है एक्स 0. इसके अलावा, यह फ़ंक्शन संकेतित बिंदु पर भिन्न हो सकता है एक्स 0और इस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न f′(x 0) ≠ 0. फिर संबंधित बिंदु के किसी पड़ोस में आप 0 =एफ(एक्स 0)व्युत्क्रम को परिभाषित किया गया है y=f(x)समारोह x=f -1 (y), और संकेतित व्युत्क्रम फलन संगत बिंदु पर अवकलनीय है आप 0 =एफ(एक्स 0)और इस बिंदु पर इसके व्युत्पन्न के लिए यसूत्र मान्य है

व्युत्पन्न तालिका

प्रथम अंतर के स्वरूप का अपरिवर्तन

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के अंतर पर विचार करें। अगर y=f(x), x=φ(t)- उनके तर्कों के कार्य भिन्न होते हैं, फिर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न y=f(φ(t))सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

y′ t = y′ x x′ t.

परिभाषा से डाई=वाई′ टी डीटी, तो हमें मिलता है

डाई = y' t dt = y' x · x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

डाई = y' x dx.

तो, हमने साबित कर दिया है

किसी फ़ंक्शन के पहले अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता की संपत्ति: जैसे उस मामले में जब तर्क एक्सएक स्वतंत्र चर है, और उस स्थिति में जब तर्क एक्सस्वयं नए चर का एक अवकलनीय फलन है, अवकलन डीवाईकार्य y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को तर्क के अंतर से गुणा करने के बराबर है डीएक्स.

अनुमानित गणना में अंतर का अनुप्रयोग

हमने वह अंतर दिखाया है डीवाईकार्य y=f(x)सामान्यतया, वेतन वृद्धि के बराबर नहीं है Δययह फ़ंक्शन. हालाँकि, अनंत तक की सटीकता के साथ छोटा सा कार्यकी तुलना में छोटेपन का उच्च क्रम Δx, अनुमानित समानता मान्य है

Δy ≈ डाई.

अनुपात को इस समानता की समानता की सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है। क्योंकि Δy-dy=o(Δx), तो इस समानता की सापेक्ष त्रुटि घटते-घटते वांछित जितनी छोटी हो जाती है |Δх|.

ध्यान में रख कर Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, हम पाते हैं f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxया

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

यह अनुमानित समानता त्रुटि की अनुमति देती है हे(Δx)फ़ंक्शन बदलें एफ(एक्स)बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में एक्स(अर्थात् छोटे मानों के लिए Δx) रैखिक कार्यतर्क Δx, दाहिनी ओर खड़ा है।

उच्च क्रम डेरिवेटिव

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न (या दूसरे क्रम का व्युत्पन्न)। y=f(x)इसके प्रथम अवकलज का अवकलज कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के लिए संकेतन y=f(x):

दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. यदि फ़ंक्शन y=f(x)एक सीधी रेखा में किसी भौतिक बिंदु की गति के नियम का वर्णन करता है, फिर दूसरा व्युत्पन्न एफ″(एक्स)समय के क्षण में किसी गतिमान बिंदु के त्वरण के बराबर एक्स.

तीसरा और चौथा व्युत्पन्न समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा. एनवें व्युत्पन्न (या व्युत्पन्न एन-वें क्रम) कार्य y=f(x)इसका व्युत्पन्न कहा जाता है एन-1वें व्युत्पन्न:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

पदनाम: आप″′, य चतुर्थ, वाई वीवगैरह।

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम सामने आए। . डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आपको केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है व्युत्पन्न और विभेदीकरण के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. आगे के व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यहम डेरिवेटिव की तालिका में पाते हैं, और उत्पाद के डेरिवेटिव के लिए सूत्र, योग और भागफल विभेदन के नियमों में हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।

उदाहरण 1.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से हमें पता चलता है कि "X" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम उस योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है, इसे व्युत्पन्न चिह्न से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो उन्हें आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ कर दिया जाता है। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। सदैव शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।
4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. व्युत्पन्न वर्गमूल
6. साइन का व्युत्पन्न
7. कोसाइन का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक की व्युत्पत्ति
17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम

1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं

और

वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, यानी

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है

और

वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर भिन्न और , तो फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.

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किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".

टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह सामान्य गलती, जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होता है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।

अन्य सामान्य गलती- एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम डेरिवेटिव ढूंढना सीखेंगे सरल कार्य.

साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, , फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .

यदि आपको साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय कार्य, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। उत्पाद के विभेदीकरण के नियम के अनुसार और तालिका मानवर्गमूल का व्युत्पन्न हमें मिलता है:

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।