प्रमेयों और गुणों को कैसे सिद्ध करें. गणित प्रमाण कैसे करें

विषय 13. प्रमेय और प्रमाण

इस विषय में आप परिचित हो जायेंगे विशिष्ट विशेषतागणित, भौतिकी और अन्य विज्ञानों की तुलना में, केवल उन्हीं सत्यों या नियमों को मान्यता देता है जो सिद्ध हो चुके हैं। इस संबंध में प्रमेय की अवधारणा का विश्लेषण किया जाएगा तथा कुछ प्रकार के प्रमेयों तथा उन्हें सिद्ध करने की विधियों पर विचार किया जाएगा।

09-13-03. गणित की विशिष्ट विशेषता

लिखित

1.1. यदि हम गणित और भौतिकी की तुलना करें, तो ये दोनों विज्ञान अवलोकन और साक्ष्य दोनों का उपयोग करते हैं। प्रयोगात्मक भौतिकी के साथ-साथ सैद्धांतिक भौतिकी भी है, जिसमें कुछ कथनों को, गणित के प्रमेयों की तरह, दूसरों से कुछ प्रस्तावों को क्रमिक रूप से निकालकर भौतिक नियमों के आधार पर सिद्ध किया जाता है। तथापि भौतिक नियमपुष्टि होने पर ही सत्य माने जाते हैं एक लंबी संख्याप्रयोग. इन कानूनों को समय के साथ परिष्कृत किया जा सकता है।

गणित भी प्रेक्षणों का उपयोग करता है।

उदाहरण 1: उसका अवलोकन करना

हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि पहली हजार विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग 1,000,000 है।

इस कथन को प्रत्यक्ष गणना, व्यय द्वारा सत्यापित किया जा सकता है विशाल राशिसमय।

हम यह सामान्य धारणा भी बना सकते हैं कि किसी के लिए भी प्राकृतिक संख्याआरंभिक विषम संख्याओं का योग है। इस कथन को प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित नहीं किया जा सकता, क्योंकि सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। हालाँकि, जो धारणा बनाई गई है वह सही है क्योंकि इसे सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 2. हम कई त्रिभुजों के कोणों को माप सकते हैं..gif" ऊँचाई = "20">, यह सत्य है यदि हम यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को एक अभिगृहीत के रूप में लेते हैं। यह था सिद्ध किया हुआसातवीं कक्षा में.

उदाहरण 3. एक बहुपद में प्रतिस्थापित करना

1 से 10 तक की प्राकृत संख्याओं के स्थान पर हमें अभाज्य संख्याएँ 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 प्राप्त होती हैं। यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृत मान के लिए द्विघात त्रिपदएक अभाज्य संख्या है. जाँच से पता चला कि यह वास्तव में 1 से 39 तक किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सच है। हालाँकि, यह धारणा गलत है, क्योंकि परिणाम एक भाज्य संख्या है:

प्रमेयों की सत्यता स्थापित करने के लिए अवलोकन के बजाय प्रमाण का उपयोग गणित की पहचान है।

असंख्य अवलोकनों के आधार पर भी निकाला गया निष्कर्ष गणितीय नियम तभी माना जाता है जब वह सिद्ध किया हुआ.

1.2. आइए हम स्वयं को अनुमान या अनुमान की अवधारणा का सटीक विश्लेषण किए बिना, दूसरों से कुछ निर्णयों की क्रमिक व्युत्पत्ति के रूप में प्रमाण की सहज अवधारणा तक सीमित रखें। आइए प्रमेय की अवधारणा का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

प्रमेय आमतौर पर उस कथन को कहा जाता है जिसकी सत्यता प्रमाण द्वारा स्थापित की जाती है। प्रमेय की अवधारणा प्रमाण की अवधारणा के साथ विकसित और परिष्कृत हुई।

शास्त्रीय अर्थ में, एक प्रमेय को एक कथन के रूप में समझा जाता है जो दूसरों से कुछ प्रस्ताव प्राप्त करके सिद्ध किया जाता है। इस मामले में, कुछ का चयन किया जाना चाहिए प्रारंभिक कानूनया अभिगृहीतजिन्हें बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया जाता है।

ज्यामिति में स्वयंसिद्धों की प्रणाली का निर्माण सबसे पहले प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध कार्य एलिमेंट्स में किया था। यूक्लिड के तत्वों में सिद्धांतों, प्रमेयों और निर्माण के लिए समस्याओं का पालन करना साधारण नामऑफर. प्रमेयों को सख्त क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

प्रत्येक प्रमेय पहले कहा जाता है, फिर यह बताया जाता है कि क्या दिया गया है और क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। फिर पहले से सिद्ध प्रस्तावों और सिद्धांतों के सभी संदर्भों के साथ प्रमाण प्रस्तुत किया जाता है। कभी-कभी प्रमाण उन शब्दों के साथ समाप्त हो जाता है जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता होती है। हर चीज़ का अनुवाद किया गया यूरोपीय भाषाएँयूक्लिड के तत्व, जिसमें 13 पुस्तकें शामिल थीं, 18वीं सदी तक स्कूलों और विश्वविद्यालयों में ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली एकमात्र पाठ्यपुस्तक बनी रही।

1.3. क्या दिया गया है और क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है, इसकी पहचान करना आसान बनाने के लिए, प्रमेयों को यदि..., फिर... के रूप में तैयार किया जाता है। यदि और फिर के बीच प्रमेय के निर्माण के पहले भाग को कहा जाता है स्थितिप्रमेय और उसके बाद जो दूसरा भाग लिखा जाता है उसे प्रमेय कहा जाता है निष्कर्षप्रमेय

प्रमेय की शर्तों में जो दिया गया है उसका विवरण होता है, और निष्कर्ष में वह होता है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता होती है।

कभी-कभी प्रमेय के इस रूप को कहा जाता है तार्किक रूपप्रमेय, और इसे यदि-तब रूप के रूप में संक्षिप्त किया गया है।

उदाहरण 4. निम्नलिखित प्रमेय पर विचार करें।

यदि यह एक सम प्राकृतिक संख्या है, तो यह एक विषम संख्या है।

इस प्रमेय में शर्त यह है कि कोई भी सम संख्या ली जाए ..gif' width='32 ऊंचाई=19' ऊंचाई=19'> विषम.

अक्सर शर्त और निष्कर्ष अलग-अलग शब्दों का प्रयोग करके लिखे जाते हैं।

उदाहरण 5. उदाहरण 1 से प्रमेय निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

मान लीजिए कि यह एक सम प्राकृत संख्या है। फिर एक विषम संख्या है.

ऐसे में वे शब्द के स्थान पर लेट शब्द का प्रयोग करते हैं और यदि शब्द के स्थान पर वे तब शब्द लिखते हैं।

उदाहरण 6. उदाहरण 1 से प्रमेय को निम्नलिखित रूप में भी लिखा जा सकता है:

इस तथ्य से कि प्राकृतिक संख्या सम है, यह इस प्रकार है कि संख्या .gif" width='13' ऊँचाई='15'> का तात्पर्य है कि संख्या विषम है।

इस मामले में, यदि शब्द हटा दिया जाता है, और फिर शब्द के स्थान पर entails शब्द का उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी प्रमेयों के अन्य प्रकार के अंकन का उपयोग किया जाता है।

1.4. कुछ मामलों में, प्रमेय की शर्तों को इसके निर्माण में नहीं लिखा जाता है। ऐसा तब होता है जब पाठ से यह स्पष्ट हो कि यह स्थिति क्या रूप ले सकती है।

उदाहरण 8. आप प्रमेय जानते हैं: एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

तार्किक रूप में इस प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि आप किसी त्रिभुज में सभी माध्यिकाएँ खींचते हैं, तो ये माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।

उदाहरण 9. अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की अनंतता पर प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है, तो यह अनंत है।

गणित में प्रमेयों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए एक विशेष भाषा का उपयोग किया जाता है, जिसकी आंशिक चर्चा इस अध्याय के अगले पैराग्राफों में की जाएगी।

सुरक्षा प्रश्न

1. आप गणित में प्रेक्षणों के कौन से उदाहरण जानते हैं?

2. आप ज्यामिति के कौन से सिद्धांत जानते हैं?

3. प्रमेय के किस अंकन को प्रमेय का तार्किक रूप कहा जाता है?

4. प्रमेय की स्थिति क्या है?

5. प्रमेय का निष्कर्ष क्या कहलाता है?

6. आप किस प्रकार के लेखन प्रमेय जानते हैं?

कार्य और अभ्यास

1. देखकर आप क्या अनुमान लगा सकते हैं:

ए) दो आसन्न प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल;

बी) दो आसन्न प्राकृतिक संख्याओं का योग;

ग) तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का योग;

घ) तीन विषम संख्याओं का योग;

डी) अंतिम अंकवी दशमलव अंकनसंख्याएँ .gif" चौड़ाई = "13 ऊँचाई = 15" ऊँचाई = "15">;

च) भागों की संख्या जिसमें विमान एक बिंदु से गुजरने वाली विभिन्न सीधी रेखाओं द्वारा विभाजित होता है;

छ) भागों की संख्या जिसमें विमान को विभिन्न सीधी रेखाओं द्वारा विभाजित किया गया है, जिनमें से सीधी रेखाएं जोड़े में समानांतर होती हैं और प्रतिच्छेद करती हैं .gif" width='13' ऊंचाई='20'>.gif" ऊंचाई='20' > प्रपत्र की संख्याएँ, एक प्राकृतिक संख्या कहाँ है;

घ) दो अपरिमेय संख्याओं का योग?

3. अधिक त्रिभुजों के चारों ओर परिचालित वृत्तों के केंद्रों को देखकर आप क्या धारणा बना सकते हैं?

4. प्रमेय को तार्किक रूप में लिखें:

a) उत्तल के आंतरिक कोणों का योग https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 ऊंचाई=24" ऊंचाई="24">;

बी) कोई भी दो समकोण समद्विबाहु त्रिभुज समरूप हैं;

ग) समानता किसी भी पूर्णांक के लिए मान्य है और ;

घ) इसके आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई इस त्रिभुज के शीर्ष पर बने कोण को समद्विभाजित करती है;

ई) किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या के लिए और असमानता संतुष्ट है;

च) एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के दो विपरीत कोणों का योग 180 है;

छ) संख्या एक परिमेय संख्या नहीं है;

ज) सभी अभाज्य संख्याएँ जो 10 से बड़ी हैं, विषम हैं;

i) एक वर्ग के विकर्ण समान, लंबवत और प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं;

j) किसी दिए गए वृत्त में अंकित सभी चतुर्भुजों में से, वर्ग का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है;

k) एक सम अभाज्य संख्या है;

एल) किसी भी अभाज्य संख्या को दो अलग-अलग विषम प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है;

m) पहली प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग होता है।

5.* पिछली समस्या में दिए गए प्रत्येक प्रमेय को कई अलग-अलग रूपों में लिखें।

उत्तर और निर्देश

कार्य 1. इन्हें देखकर आप क्या अनुमान लगा सकते हैं:

ए) दो आसन्न प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल;

बी) दो आसन्न प्राकृतिक संख्याओं का योग;

ग) तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं का योग;

घ) तीन विषम संख्याओं का योग;

डी)दशमलव अंकन में अंतिम अंकप्राकृतिक के साथ;

ई) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width=”9 ऊंचाई=20” ऊंचाई=”20”> भागों की संख्या जिनमें विमान विभाजित है https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width=”17” ऊंचाई=”15”> सीधी रेखाएँ जोड़ीवार समानांतर होती हैं और प्रतिच्छेद करती हैं.gif" चौड़ाई = "13 ऊँचाई = 20" ऊँचाई = "20"> भागों की संख्या जिनमें विमान विभाजित है https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" ऊँचाई = "20 src = "> केवल चार अंक प्राप्त किए जा सकते हैं:

0, 1, 5, 6; ई)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" ऊँचाई='20 src='>.gif' चौड़ाई='13' ऊँचाई='20 src='>.gif' चौड़ाई =========================================== -गॉन के बराबर है;

बी) कोई भी दो समकोण समद्विबाहु त्रिभुज समरूप हैं;

ग) समानताकिसी भी पूर्णांक के लिए कार्य करता हैऔर;

एक गणितीय कथन का प्रमाण, एक नियम के रूप में, स्वयंसिद्ध और प्रमेयों का उपयोग करके सही तर्क की एक श्रृंखला है, जिसकी वैधता पहले स्थापित की जा चुकी है। एक तर्क को सही कहा जाता है यदि सभी आधारों की सत्यता निष्कर्ष की सत्यता को दर्शाती है। मान लीजिए कि कथन \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) परिसर है, और कथन \(A\) निष्कर्ष है। योजना के अनुसार तर्क किया जाता है \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), यानी मान्यताओं \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) से निष्कर्ष \(B\) अनुसरण करता है। यदि सूत्र है तो यह तर्क सही है \((A_1\और A_2\और \ldots\और A_n)\दायां तीर B\)समान रूप से सत्य, अर्थात् इसमें शामिल कथनों के किसी भी सत्य मान के लिए सत्य है \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चित्र सही तर्क के अनुरूप हैं:

\(\frac(A\दायां तीर B,A)(B)\)- अनुमान नियम ( मोडस पोनेन्स);

\(\frac(A\दायां तीर B,B\दायां तीर C)(A \दायां तीर C)\)- न्यायशास्त्र का नियम;

\(\frac(A\दायाँ तीर B,\lनहीं B)(\lनहीं A)\)- विरोधाभास का नियम.

पहली और तीसरी योजनाओं के आधार पर, निम्नलिखित तर्क का निर्माण किया गया है:

– यदि कोई प्राकृतिक संख्या \(n\) 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। संख्या \(n\) 4 से विभाज्य है। इसलिए, संख्या n सम है;

– यदि कोई प्राकृतिक संख्या \(n\) 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। संख्या \(n\) विषम है। इसलिए, संख्या \(n\) 4 से विभाज्य नहीं है।

दोनों तर्क किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए सही हैं। वास्तव में, स्पष्ट असंगतता के बावजूद, \(n=1\) के साथ, हमारे पास सही तर्क है: "यदि संख्या 1, 4 से विभाज्य है, तो यह सम संख्या है। इसलिए, संख्या 1, 4 से विभाज्य है संख्या 1 सम है," क्योंकि किसी भी निष्कर्ष को निकालने के लिए गलत परिसर का उपयोग किया जा सकता है।

आइए योजना के अनुसार तर्क के एक उदाहरण पर विचार करें \(\frac(A\राइटएरो B,B)(A):\)

– यदि कोई प्राकृतिक संख्या \(n\) 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। संख्या \(\) सम है। इसलिए, संख्या \(n\) 4 से विभाज्य है।

क्रमशः \(n=6\) और \(n=8\) के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

– यदि प्राकृत संख्या 6, 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। संख्या 6 सम है. इसलिए, संख्या 6, 4 से विभाज्य है;

– यदि प्राकृत संख्या 8, 4 से विभाज्य है, तो वह सम है। संख्या 8 सम है. अतः संख्या 8, 4 से विभाज्य है।

दोनों तर्क ग़लत हैं, हालाँकि दूसरे तर्क का निष्कर्ष सत्य है (संख्या 8 वास्तव में 4 से विभाज्य है), अर्थात। योजना \(\frac(A\राइटएरो B,B)(A)\)सही तर्क के अनुरूप नहीं है.

अक्सर, \(A\राइटएरो B\) रूप के किसी प्रमेय को सिद्ध करने के बजाय, वे मूल कथन के समकक्ष किसी अन्य कथन की सत्यता को सिद्ध करते हैं। साक्ष्य के ऐसे रूपों को अप्रत्यक्ष कहा जाता है। उनमें से एक विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि है। कथन \(A\राइटएरो B\) की सत्यता साबित करने के लिए, हम मानते हैं कि यह कथन गलत है। इस धारणा के आधार पर, हम एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं, अर्थात्, हम यह साबित करते हैं कि एक ही समय में कुछ कथन सत्य भी हैं और सत्य नहीं भी हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा गलत है और मूल कथन सत्य है।

वर्णित विधि का उपयोग करके, हम कथन को सिद्ध करते हैं:

यदि \(n\) एक विषम संख्या है, तो संख्या \(n^2\) भी विषम है।

आइए इसके विपरीत मान लें, अर्थात्। मान लीजिए कि एक विषम संख्या \(n\) है जिससे संख्या \(n^2\) सम है। फिर, एक ओर, अंतर \(n^2-n\) एक विषम संख्या होगी, और दूसरी ओर, संख्या \(n^2-n=n(n-1)\) स्पष्ट रूप से है सम, दो क्रमागत पूर्णांक संख्याओं के गुणनफल की तरह। एक विरोधाभास प्राप्त होता है, अर्थात्: संख्या \(n^2-n\) एक ही समय में सम और विषम है। इससे साबित होता है कि बनाई गई धारणा गलत है और इसलिए मूल कथन सत्य है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की सुविचारित योजना एकमात्र नहीं है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण के लिए अन्य योजनाओं का भी उपयोग किया जाता है:

\(\frac(A,\lनहीं B)(\lनहीं A)\)या \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .

अप्रत्यक्ष प्रमाण की एक अन्य योजना (प्रतिनियंत्रण के नियम के अनुसार) दो कथनों \(A\राइटएरो B\) और \(B\राइटएरो \lnot A\) की तुल्यता पर आधारित है। वास्तव में, ये कथन या तो सत्य हैं या दोनों असत्य हैं। उदाहरण के लिए, कथन "यदि वर्षा हो रही है, तो आकाश में बादल हैं" और "यदि आकाश में बादल नहीं हैं, तो वर्षा नहीं हो रही है" दोनों सत्य हैं, लेकिन कथन "यदि आकाश में बादल हैं" आसमान में बारिश हो रही है" और "अगर बारिश नहीं हो रही है तो आसमान में बादल नहीं हैं" दोनों गलत हैं।

कई समस्याओं में, आपको किसी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए कुछ कथन (सूत्र) की वैधता साबित करने की आवश्यकता होती है। सीधी जांच n के प्रत्येक मान के लिए ऐसे कथन असंभव हैं, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। ऐसे कथनों (सूत्रों) को सिद्ध करने के लिए हम प्रयोग करते हैं गणितीय प्रेरण की विधिजिसका सार इस प्रकार है. मान लीजिए कि सभी \(n\in \mathbb(N)\) के लिए कथन \(A(n)\) की सत्यता साबित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दो कथनों को सिद्ध करना पर्याप्त है:

1) कथन \(A(n)\) \(n=1\) के लिए सत्य है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण का आधार कहा जाता है;

2) किसी भी प्राकृतिक संख्या \(k\) के लिए इस तथ्य से कि कथन \(n=k\) के लिए सत्य है (आगमनात्मक धारणा) यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या \(n=k+1\) के लिए सत्य है , यानी .

\(A(k)\दायां तीर A(k+1)\) . प्रमाण के इस भाग को आगमनात्मक चरण कहा जाता है।

यदि बिंदु 1, 2 सिद्ध हो जाते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कथन \(A(n)\) किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए सत्य है।

वास्तव में, यदि कथन \(A(1)\) सत्य है (बिंदु 1 देखें), तो कथन \(A(2)\) भी सत्य है (\(n=1\) के लिए बिंदु 2 देखें)। चूँकि \(A(2)\) सत्य है, तो \(A(3)\) भी सत्य है (\(n=2\) के लिए बिंदु 2 देखें), आदि। इस तरह, आप यह सुनिश्चित करते हुए किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) तक पहुंच सकते हैं कि \(A(n)\) सत्य है।नोट बी.6.

कई मामलों में, एक निश्चित कथन \(A(n)\) की वैधता को सभी प्राकृतिक \(n\) के लिए नहीं, बल्कि केवल \(n\geqslant p\) के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, यानी। किसी निश्चित संख्या \(p\) से प्रारंभ करना। फिर गणितीय प्रेरण की विधि को निम्नानुसार संशोधित किया गया है:

1) प्रेरण का आधार: \(A(p)\) की सत्यता साबित करें;

2) प्रेरण चरण: किसी भी निश्चित \(k\geqslant p\) के लिए \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) को साबित करें।

बिंदु 1, 2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि कथन \(A(n)\) सभी प्राकृतिक संख्याओं \(n\geqslant p\) के लिए सत्य है।उदाहरण बी.16.

किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए समानता \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) की वैधता साबित करें।समाधान।

आइए पहले \(n\) विषम संख्याओं के योग को \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) से निरूपित करें। कथन \(A(n):\) को साबित करना आवश्यक है "समानता \(S_n=n^2\) किसी भी \(n\in \mathbb(N)\) के लिए सत्य है। हम प्रेरण द्वारा प्रमाण प्रस्तुत करेंगे।

1) चूँकि \(S_1=1=1^2\) , तो \(n=1\) के लिए समानता \(S_n=n^2\) सत्य है, अर्थात। कथन \(A(1)\) सत्य है। प्रेरण का आधार सिद्ध हो चुका है।

2) मान लीजिए कि \(k\) कोई प्राकृत संख्या है। आइए इंडक्शन चरण \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) निष्पादित करें। यह मानते हुए कि कथन \(A(n)\) \(n=k\) के लिए सत्य है, यानी।

\(S_k=k^2\) , आइए साबित करें कि कथन \(A(n)\) अगली प्राकृतिक संख्या \(n=k+1\) के लिए सत्य है, अर्थात, \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . वास्तव में,

\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)\(n\) संख्याओं का क्रमपरिवर्तन किसी क्रम में ली गई पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट है। सिद्ध करें कि विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या \(n!\) के बराबर है। व्यंजक \(n!\) (पढ़ें "\(n\) फैक्टोरियल") के बराबर है \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) और \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) \(n\) संख्याओं के दो क्रमपरिवर्तन समान माने जाते हैं यदि \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), और यदि कम से कम एक समानता का उल्लंघन किया जाता है, तो क्रमपरिवर्तन को अलग माना जाता है।

किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए समानता \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) की वैधता साबित करें।आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके प्रमाण प्रस्तुत करें।

1) \(n=1\) के लिए केवल एक क्रमपरिवर्तन है \((1)\), अर्थात।

\(1!=1\) और कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि किसी भी \(k\) के लिए क्रमपरिवर्तन की संख्या \(k!\) के बराबर है। आइए हम साबित करें कि \((k+1)\) संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या \((k+1)!\) के बराबर है। वास्तव में, आइए हम \((k+1)\) संख्याओं के क्रमपरिवर्तन में किसी भी स्थान पर संख्या \((k+1)\) को ठीक करें, और शेष \ में पहले \(k\) प्राकृतिक संख्याओं को रखें। (k\) स्थान। ऐसे क्रमपरिवर्तन की संख्या \(k\) संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

\(k!\) आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा। चूँकि संख्या \((k+1)\) को क्रमपरिवर्तन में (k+1) स्थानों में से किसी में रखा जा सकता है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \((k+1)\) संख्याओं के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या बराबर है से \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . इस प्रकार, यह मानते हुए कि कथन \(n=k\) के लिए सत्य है, यह साबित करना संभव था कि यह \(n=k+1\) के लिए सत्य है।बिंदु 1 और 2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए सत्य है। नोट बी.7.सही तर्क के कई पैटर्न का उपयोग करके प्रमेय प्राप्त करने की औपचारिक विधियों का गणितीय तर्क में अध्ययन किया जाता है। एक नियम के रूप में, ये विधियाँ प्रमेयों के केवल नए सूत्रीकरण उत्पन्न करती हैं जो पुरानी सामग्री को दर्शाते हैं। इसलिए, विकास के लिए

गणितीय सिद्धांत
वे अप्रभावी हैं. हालाँकि, किसी भी गणितीय समस्या का अध्ययन करते समय गणितीय तर्क के नियमों और सही तर्क की योजनाओं का पालन किया जाना चाहिए।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।

गणना करने के लिए, आपको ActiveX नियंत्रण सक्षम करना होगा!

कुछ विज्ञानों में, उदाहरण के लिए, बीजगणित और ज्यामिति में, सबसे महत्वपूर्ण कौशलों में से एक प्रमेयों को सिद्ध करने की क्षमता है। यह इस तथ्य के कारण है कि सिद्ध प्रमेय बाद में समस्याओं को हल करने में उपयोगी होंगे। आपको न केवल प्रूफ़ एल्गोरिथम सीखने की ज़रूरत है, बल्कि इसके सार को समझने में भी सक्षम होना चाहिए। आइए जानें कि प्रमेयों को कैसे सिद्ध किया जाए।

प्रमेयों का प्रमाण

सबसे पहले आपको एक चित्र बनाने की आवश्यकता है; यह स्पष्ट और साफ-सुथरा होना चाहिए। इसके बाद आपको उस पर निर्दिष्ट शर्तों को अंकित करना होगा। "दिया गया" कॉलम में आपको वे सभी मात्राएँ लिखनी होंगी जो आप शुरू में जानते हैं और जिन्हें आपको साबित करने की आवश्यकता है। इसके बाद आप सबूत के साथ आगे बढ़ सकते हैं. अनिवार्य रूप से, यह तार्किक रूप से निर्मित विचारों की एक श्रृंखला है जो आपको यह दिखाने की अनुमति देती है कि एक कथन सत्य है। एक प्रमेय को सिद्ध करने में अन्य प्रमेयों, स्वयंसिद्धों, विरोधाभास का उपयोग आदि का उपयोग शामिल होता है।

तो, एक प्रमेय का प्रमाण क्रियाओं का एक निश्चित क्रम है जो किसी को एक ऐसा कथन प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसकी सत्यता पर विवाद नहीं किया जा सकता है। एक नियम के रूप में, किसी प्रमाण के दौरान सबसे कठिन काम तार्किक तर्क के अनुक्रम की खोज करना है। यदि यह सफल हो गया, तो आप वह साबित कर सकेंगे जो आपसे अपेक्षित था।

ज्यामिति में प्रमेयों को बिना कठिनाई के कैसे सिद्ध करें

अपने कार्य को सरल बनाने के लिए, आप प्रमेय को भागों में तोड़ सकते हैं और उनमें से प्रत्येक को अलग-अलग सिद्ध कर सकते हैं, जो अंततः आपको परिणाम तक ले जाएगा। कुछ मामलों में, "विरोधाभास द्वारा प्रमाण" पद्धति का उपयोग करना प्रभावी होता है। फिर आपको "विपरीत मान लें" शब्दों से शुरुआत करनी होगी। इसका कारण स्पष्ट किया जाना चाहिए इस मामले मेंएक या दूसरा निष्कर्ष असंभव है. आपको "तो मूल कथन सत्य है" शब्दों के साथ समाप्त करना होगा। प्रमेय सिद्ध हो गया है।"

और भी उपयोगी जानकारीज्यामिति पर अनुभाग में पाया जा सकता है।

बीजगणित में समय-समय पर प्रमेयों को सिद्ध करना पड़ता है। सिद्ध प्रमेय आपको हल करने में सहायता करेगा। इसलिए, यह अत्यंत महत्वपूर्ण है कि प्रमाण को यांत्रिक रूप से याद न किया जाए, बल्कि प्रमेय के सार को समझा जाए, ताकि बाद में आप अभ्यास में इसके द्वारा निर्देशित हो सकें।

सबसे पहले, प्रमेय का एक स्पष्ट और साफ आरेख बनाएं। इस पर निशान लगाएं लैटिन अक्षरों मेंजो आप पहले से ही जानते हैं. सभी ज्ञात मात्राओं को "दिया गया" कॉलम में लिखें। इसके बाद, "साबित करें" कॉलम में, यह बताएं कि क्या साबित करना है। अब हम प्रमाण शुरू कर सकते हैं। यह तार्किक विचारों की एक शृंखला है, जिसके परिणामस्वरूप किसी कथन की सत्यता का पता चलता है। किसी प्रमेय को सिद्ध करते समय, आप इसका उपयोग कर सकते हैं (और कभी-कभी इसकी आवश्यकता भी होती है)। विभिन्न प्रावधान, स्वयंसिद्ध, विरोधाभास द्वारा, और यहां तक ​​कि अन्य पहले से सिद्ध प्रमेय भी।

इस प्रकार, प्रमाण क्रियाओं का एक क्रम है जिसके परिणामस्वरूप आपको एक निर्विवाद परिणाम मिलता है। किसी प्रमेय को सिद्ध करने में सबसे बड़ी कठिनाई तार्किक तर्क के सटीक अनुक्रम को ढूंढना है जो कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक खोज की ओर ले जाएगा।

प्रमेय को भागों में तोड़ें और, इसे अलग-अलग साबित करके, आप अंततः वांछित परिणाम पर पहुंच जाएंगे। कुछ मामलों में "विरोधाभास द्वारा प्रमाण" के कौशल में महारत हासिल करना उपयोगी है, यह किसी प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका है; वे। अपना प्रमाण "विपरीत मान लें" शब्दों से शुरू करें और धीरे-धीरे साबित करें कि ऐसा नहीं हो सकता। प्रमाण को "इसलिए, मूल कथन सत्य है" के साथ समाप्त करें। प्रमेय सिद्ध हो गया है।"

फ्रेंकोइस विएते एक प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। विएटा का प्रमेय आपको एक सरलीकृत योजना का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है, जिसके परिणामस्वरूप गणना पर खर्च होने वाला समय बचता है। लेकिन प्रमेय के सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, व्यक्ति को सूत्रीकरण के सार में प्रवेश करना चाहिए और उसे सिद्ध करना चाहिए।

विएटा का प्रमेय

इस तकनीक का सार किसी विवेचक की सहायता के बिना जड़ें ढूंढना है। x2 + bx + c = 0 के रूप के समीकरण के लिए, जहां दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, दो कथन सत्य हैं।

पहला कथन बताता है कि इस समीकरण की जड़ों का योग चर x के गुणांक के मान के बराबर है (इस मामले में यह b है), लेकिन साथ में विपरीत संकेत. देखने में यह इस तरह दिखता है: x1 + x2 = −b.

दूसरा कथन अब योग से संबंधित नहीं है, बल्कि इन्हीं दो जड़ों के उत्पाद से संबंधित है। यह उत्पाद मुक्त गुणांक के बराबर है, अर्थात। सी। या, x1 * x2 = c. ये दोनों उदाहरण सिस्टम में हल किए गए हैं।

विएटा का प्रमेय समाधान को बहुत सरल बनाता है, लेकिन इसकी एक सीमा है। एक द्विघात समीकरण जिसकी जड़ें इस तकनीक का उपयोग करके पाई जा सकती हैं, उसे कम किया जाना चाहिए। उपरोक्त समीकरण में, गुणांक a, x2 के सामने वाला, एक के बराबर है। किसी भी समीकरण को पहले गुणांक से विभाजित करके एक समान रूप में लाया जा सकता है, लेकिन हमेशा नहीं यह ऑपरेशनतर्कसंगत।

प्रमेय का प्रमाण

आरंभ करने के लिए, हमें यह याद रखना चाहिए कि परंपरा के अनुसार, जड़ों की तलाश कैसे की जाती है द्विघात समीकरण. पहली और दूसरी जड़ें पाई जाती हैं, अर्थात्: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2। सामान्य तौर पर यह 2a से विभाज्य है, लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रमेय केवल तभी लागू किया जा सकता है जब a=1 हो।

विएटा के प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है। इसका मतलब है कि x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

अज्ञात जड़ों के उत्पाद के लिए भी यही सच है: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4। बदले में, D = b2-4c (फिर से a=1 के साथ)। यह पता चला कि परिणाम है: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

दिए गए सरल प्रमाण से, केवल एक ही निष्कर्ष निकाला जा सकता है: विएटा का प्रमेय पूरी तरह से पुष्टि की गई है।

दूसरा निरूपण एवं प्रमाण

विएटा के प्रमेय की एक और व्याख्या है। अधिक सटीक रूप से कहें तो यह कोई व्याख्या नहीं, बल्कि एक सूत्रीकरण है। तथ्य यह है कि यदि पहले मामले की तरह ही शर्तें पूरी होती हैं: दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो प्रमेय को दूसरे सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है।

यह समानता इस प्रकार दिखती है: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2)। यदि फ़ंक्शन P(x) दो बिंदुओं x1 और x2 पर प्रतिच्छेद करता है, तो इसे P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसे मामले में जब P के पास दूसरी डिग्री है, और यह बिल्कुल मूल अभिव्यक्ति जैसा दिखता है, तो R एक अभाज्य संख्या है, अर्थात् 1। यह कथन इस कारण से सत्य है कि अन्यथा समानता मान्य नहीं होगी। कोष्ठक खोलते समय गुणांक x2 एक से अधिक नहीं होना चाहिए, और अभिव्यक्ति वर्गाकार ही रहनी चाहिए।

हर स्कूली बच्चा ही नहीं, बल्कि हर स्वाभिमानी भी शिक्षित व्यक्तिअवश्य जानना चाहिए कि प्रमेय और प्रमेयों का प्रमाण क्या हैं। शायद ऐसी अवधारणाएं नहीं मिलेंगी वास्तविक जीवन, लेकिन वे निश्चित रूप से बहुत सारे ज्ञान की संरचना करने के साथ-साथ निष्कर्ष निकालने में भी मदद करेंगे। इसीलिए इस लेख में हम प्रमेयों को सिद्ध करने के तरीकों पर गौर करेंगे, और प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय से भी परिचित होंगे।

प्रमेय क्या है?

यदि हम स्कूली गणित पाठ्यक्रम पर विचार करें, तो अक्सर इसमें प्रमेय, स्वयंसिद्ध, परिभाषा और प्रमाण जैसे वैज्ञानिक शब्द शामिल होते हैं। प्रोग्राम को नेविगेट करने के लिए, आपको इनमें से प्रत्येक परिभाषा से खुद को परिचित करना होगा। अब हम देखेंगे कि प्रमेय और प्रमेयों का प्रमाण क्या हैं।

तो, एक प्रमेय एक निश्चित कथन है जिसके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है। विचार करना यह अवधारणास्वयंसिद्ध के समानांतर आवश्यक है, क्योंकि बाद वाले को प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है। इसकी परिभाषा पहले से ही सत्य है, इसलिए इसे मान लिया गया है।

प्रमेयों के अनुप्रयोग का दायरा

यह सोचना ग़लत है कि प्रमेयों का उपयोग केवल गणित में किया जाता है। वास्तव में, यह मामले से बहुत दूर है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में प्रमेयों की अविश्वसनीय संख्या है जो हमें कुछ घटनाओं और अवधारणाओं की विस्तार से और सभी पक्षों से जांच करने की अनुमति देती है। इसमें एम्पीयर, स्टीनर और कई अन्य के प्रमेय शामिल हैं। ऐसे प्रमेयों के प्रमाण आपको जड़ता के क्षणों, स्थैतिक, गतिशीलता और भौतिकी की कई अन्य अवधारणाओं की अच्छी समझ प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

गणित में प्रमेयों का उपयोग करना

प्रमेयों और प्रमाणों के बिना गणित जैसे विज्ञान की कल्पना करना कठिन है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज प्रमेयों के प्रमाण आपको आकृति के सभी गुणों का विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देते हैं। आख़िरकार, समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों और कई अन्य चीज़ों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

क्षेत्र प्रमेय का प्रमाण आपको कुछ डेटा के आधार पर किसी आकृति के क्षेत्र की गणना करने का सबसे आसान तरीका समझने की अनुमति देता है। आख़िरकार, जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में ऐसे सूत्र हैं जो बताते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। लेकिन इनका उपयोग करने से पहले यह साबित करना बहुत जरूरी है कि किसी विशेष मामले में यह संभव और तर्कसंगत है।

प्रमेयों को कैसे सिद्ध करें

प्रत्येक विद्यार्थी को पता होना चाहिए कि प्रमेय क्या है और प्रमेयों का प्रमाण क्या है। दरअसल, किसी भी कथन को सिद्ध करना इतना आसान नहीं है। ऐसा करने के लिए, आपको बहुत सारे डेटा के साथ काम करना होगा और तार्किक निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना होगा। निःसंदेह, यदि आपको किसी निश्चित वैज्ञानिक अनुशासन की जानकारी का अच्छा ज्ञान है, तो प्रमेय को सिद्ध करना आपके लिए कठिन नहीं होगा। मुख्य बात यह है कि प्रमाण प्रक्रिया को एक निश्चित तार्किक अनुक्रम में पूरा करना है।

ज्यामिति और बीजगणित जैसे वैज्ञानिक विषयों में प्रमेयों को सिद्ध करने का तरीका सीखने के लिए, आपके पास अच्छी मात्रा में ज्ञान होना चाहिए, साथ ही प्रमाण एल्गोरिदम को भी जानना होगा। यदि आप इस प्रक्रिया में महारत हासिल कर लेते हैं, तो बाद में गणितीय समस्याओं को हल करना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा।

प्रमेय सिद्ध करने के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है

प्रमेय क्या है और प्रमेयों का प्रमाण क्या है? यह एक ऐसा प्रश्न है जो कई लोगों को चिंतित करता है आधुनिक समाज. गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है, इससे आपको निर्माण करने में मदद मिलेगी तार्किक जंजीरेंऔर एक निश्चित निष्कर्ष पर पहुँचें।

अत: प्रमेय को सही ढंग से सिद्ध करने के लिए सही रेखांकन बनाना बहुत जरूरी है। यह वह सभी डेटा प्रदर्शित करता है जो शर्त में निर्दिष्ट किया गया था। कार्य में प्रदान की गई सभी जानकारी को लिखना भी बहुत महत्वपूर्ण है। इससे आपको कार्य का सही विश्लेषण करने और यह समझने में मदद मिलेगी कि इसमें वास्तव में क्या मात्राएँ दी गई हैं। और ऐसी प्रक्रियाओं के बाद ही हम स्वयं प्रमाण शुरू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको अन्य प्रमेयों, सिद्धांतों या परिभाषाओं का उपयोग करके तार्किक रूप से विचारों की एक श्रृंखला बनाने की आवश्यकता है। प्रमाण का परिणाम ऐसा परिणाम होना चाहिए जिसकी सत्यता संदेह से परे हो।

प्रमेयों को सिद्ध करने के मूल तरीके

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, किसी प्रमेय को सिद्ध करने के दो तरीके होते हैं। अक्सर, समस्याओं के लिए प्रत्यक्ष विधि के साथ-साथ विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का भी उपयोग किया जाता है। पहले मामले में, वे बस उपलब्ध आंकड़ों का विश्लेषण करते हैं और उनके आधार पर उचित निष्कर्ष निकालते हैं। विपरीत विधि का प्रयोग भी प्रायः किया जाता है। इस मामले में, हम विपरीत कथन मानते हैं और साबित करते हैं कि यह गलत है। इसके आधार पर हमें विपरीत परिणाम मिलता है और हम कहते हैं कि हमारा निर्णय गलत था, जिसका अर्थ है कि शर्त में निर्दिष्ट जानकारी सही है।

दरअसल, गणित की कई समस्याओं के एक से अधिक समाधान हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट के प्रमेय के कई प्रमाण हैं। बेशक, कुछ पर केवल एक ही तरीके से विचार किया जाता है, लेकिन, उदाहरण के लिए, पाइथागोरस प्रमेय में, उनमें से कई पर एक साथ विचार किया जा सकता है।

पाइथागोरस प्रमेय क्या है

बेशक, हर स्कूली बच्चा जानता है कि पाइथागोरस प्रमेय विशेष रूप से एक समकोण त्रिभुज पर लागू होता है। और यह इस तरह लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" इस प्रमेय के नाम के बावजूद, इसकी खोज पाइथागोरस ने स्वयं नहीं की थी, बल्कि उससे बहुत पहले की थी। इस कथन को सिद्ध करने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से कुछ पर गौर करेंगे।

वैज्ञानिक आंकड़ों के अनुसार, शुरुआत में एक समबाहु समकोण त्रिभुज पर विचार किया गया था। फिर इसके चारों तरफ चौक बनाये गये। कर्ण पर बने एक वर्ग में एक दूसरे के बराबर चार त्रिभुज होंगे। जबकि किनारों पर बनी आकृतियों में समान त्रिभुजों में से केवल दो ही शामिल होंगे। पाइथागोरस प्रमेय का यह प्रमाण सबसे सरल है।

आइए इस प्रमेय के एक और प्रमाण पर विचार करें। इसमें न केवल ज्यामिति से, बल्कि बीजगणित से भी ज्ञान का उपयोग करना आवश्यक है। इस प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करने के लिए, हमें चार समान समकोण त्रिभुज बनाने होंगे, और उनकी भुजाओं को a, b और c के रूप में लेबल करना होगा।

हमें इन त्रिभुजों का निर्माण इस प्रकार करना होगा कि अंत में हमें दो वर्ग प्राप्त हों। बाहरी भुजाएँ (a+b) होंगी, लेकिन भीतरी भुजाएँ c होंगी। आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें गुणनफल c*c ज्ञात करना होगा। लेकिन एक बड़े वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों को जोड़ना होगा और परिणामी वर्गों के क्षेत्रफलों को जोड़ना होगा समकोण त्रिभुज. अब, कुछ बीजीय संक्रियाएँ करने के बाद, हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

ए 2 + बी 2 = सी 2

वास्तव में, प्रमेयों को सिद्ध करने की बड़ी संख्या में विधियाँ हैं। लंब, त्रिभुज, वर्ग या किसी भी अन्य आकृतियों और उनके गुणों की जांच विभिन्न प्रमेयों और प्रमाणों का उपयोग करके की जा सकती है। पाइथागोरस प्रमेय केवल इसकी पुष्टि करता है।

निष्कर्ष के बजाय

प्रमेयों को बनाने और उन्हें सही ढंग से साबित करने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है। बेशक, ऐसी प्रक्रिया काफी जटिल है, क्योंकि इसे लागू करने के लिए न केवल बड़ी मात्रा में जानकारी के साथ काम करने में सक्षम होना आवश्यक है, बल्कि तार्किक श्रृंखलाएं भी बनाना आवश्यक है। गणित बहुत है दिलचस्प विज्ञान, जिसका न कोई अंत है न कोई किनारा।

इसका अध्ययन करना शुरू करें, और आप न केवल अपनी बुद्धि का स्तर बढ़ाएंगे, बल्कि भारी मात्रा में लाभ भी प्राप्त करेंगे रोचक जानकारी. आज ही अपनी शिक्षा आरंभ करें. प्रमेय प्रमाणों के मूल सिद्धांतों को समझकर आप अपना समय बड़े लाभ के साथ व्यतीत कर सकेंगे।