यदि निर्देशांक ज्ञात हैं तो लंबाई कैसे ज्ञात करें। किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ढूँढना: उदाहरण, समाधान

नीचे दिया गया लेख किसी खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के मुद्दों को कवर करेगा यदि इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक प्रारंभिक डेटा के रूप में उपलब्ध हैं। लेकिन इससे पहले कि हम मुद्दे का अध्ययन शुरू करें, आइए कई परिभाषाएँ पेश करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

रेखा खंड- दो मनमाने बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड का सिरा कहा जाता है। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए ये बिंदु ए और बी हैं और, तदनुसार, खंड ए बी।

यदि खंड ए बी को बिंदु ए और बी से दोनों दिशाओं में जारी रखा जाता है, तो हमें एक सीधी रेखा ए बी मिलती है। फिर खंड ए बी परिणामी सीधी रेखा का हिस्सा है, जो बिंदु ए और बी से घिरा है। खंड ए बी बिंदु ए और बी को जोड़ता है, जो इसके सिरे हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का समूह भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

अनुभाग की लंबाई- किसी दिए गए पैमाने पर एक खंड के सिरों के बीच की दूरी (इकाई लंबाई का एक खंड)। आइए हम खंड A B की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करें: A B ।

परिभाषा 3

खंड का मध्यबिंदु- एक खंड पर स्थित और उसके सिरों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु। यदि खंड ए बी के मध्य को बिंदु सी द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो समानता सत्य होगी: ए सी = सी बी

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा O x और उस पर गैर-संपाती बिंदु: A और B। ये बिंदु वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं एक्स ए और एक्सबी । बिंदु C खंड A B का मध्य है: निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सी.

चूँकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | . बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक में अंतर के मापांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ x C - x A = x B - x C

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से हम बिंदु C के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: x C = x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग)।

दूसरी समानता से हमें मिलता है: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि स्रोत डेटा में - गैर-संगत बिंदु। इस प्रकार, A (x A) और सिरे वाले खंड A B के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्रबी(xB):

परिणामी सूत्र किसी समतल या अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: O x y समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक A x A, y A और B x B, y B के साथ दो मनमाने गैर-संपाती बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है। बिंदु C के लिए x C और y C निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस मामले को लें जब बिंदु ए और बी मेल नहीं खाते हैं और एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित नहीं हैं। ए एक्स , ए वाई ; बी एक्स, बी वाई और सी एक्स, सी वाई - निर्देशांक अक्षों (सीधी रेखाएं ओ एक्स और ओ वाई) पर बिंदु ए, बी और सी के प्रक्षेपण।

रचना के अनुसार, रेखाएँ A A x, B B x, C C x समानांतर हैं; रेखाएँ भी एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके साथ ही, थेल्स के प्रमेय के अनुसार, समानता A C = C B से समानताएं अनुसरण करती हैं: A x C x = C x B x और A y C y = C y B y, और वे बदले में इंगित करते हैं कि बिंदु C x है खंड A x B x का मध्य, और C y खंड A y B y का मध्य है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं:

x C = x A + x B 2 और y C = y A + y B 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु ए और बी एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित हों। आचरण विस्तृत विश्लेषणहम इस मामले पर विचार नहीं करेंगे, हम इस पर केवल ग्राफिक रूप से विचार करेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, सिरों के निर्देशांक के साथ समतल पर खंड A B के मध्य के निर्देशांकए (एक्स ए , वाई ए) औरबी(xB, yB) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: समन्वय प्रणाली O x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A, y A, z A) और B (x B, y B, z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B का मध्य है।

ए एक्स , ए वाई , ए जेड ; B x , B y , B z और C x , C y , C z - सभी के प्रक्षेपण दिए गए अंकसमन्वय प्रणाली की धुरी पर.

थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x , C y , C z क्रमशः खंड A x B x , A y B y , A z B z के मध्यबिंदु हैं। तब, अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

परिणामी सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जहां बिंदु ए और बी समन्वय रेखाओं में से एक पर स्थित होते हैं; किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर; एक निर्देशांक तल में या किसी एक निर्देशांक तल के लंबवत तल में।

किसी खंड के सिरों के त्रिज्या सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से उसके मध्य के निर्देशांक निर्धारित करना

किसी खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार भी प्राप्त किया जा सकता है।

प्रारंभिक डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) वाले बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है।

सदिशों पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B →। बिंदु C पर इस मामले में- सदिश O A → और O B → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, अर्थात। विकर्णों के मध्य का बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). आइए निर्देशांक में सदिशों पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य द्वारा, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र निर्धारित किया जाता है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

जिन समस्याओं में ऊपर प्राप्त सूत्रों का उपयोग शामिल है, उनमें वे भी हैं जिनमें सीधा प्रश्न खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना करना है, और वे जिनमें दी गई शर्तों को इस प्रश्न में लाना शामिल है: शब्द "माध्यिका" अक्सर उपयोग किया जाता है, लक्ष्य एक खंड के अंत से एक के निर्देशांक को ढूंढना है, और समरूपता समस्याएं भी आम हैं, जिनके समाधान में इस विषय का अध्ययन करने के बाद सामान्य रूप से कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

आरंभिक डेटा:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड A B के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे, अर्थात। अंक ए और बी.

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड ए बी के मध्य के निर्देशांक - 5 2, 7 2।

उदाहरण 2

आरंभिक डेटा:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की स्थितियों के अनुसार, A M माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, आइए खंड B C के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करें, अर्थात। एम अंक:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूँकि अब हम माध्यिका के दोनों सिरों (बिंदु ए और एम) के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने और माध्यिका ए एम की लंबाई की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

आरंभिक डेटा:एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रि-आयामी स्थानदिया गया समांतर चतुर्भुज A B C D A 1 B 1 C 1 D 1। बिंदु C 1 के निर्देशांक दिए गए हैं (1, 1, 0), और बिंदु M को भी परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण B D 1 का मध्य बिंदु है और इसके निर्देशांक M (4, 2, - 4) हैं। बिंदु A के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है.

समाधान

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो सभी विकर्णों का मध्यबिंदु है। इस कथन के आधार पर, हम यह ध्यान रख सकते हैं कि समस्या की स्थितियों से ज्ञात बिंदु M, खंड A C 1 का मध्य बिंदु है। अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z सी 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

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ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली तीन मुख्य समन्वय प्रणालियाँ हैं, सैद्धांतिक यांत्रिकी, भौतिकी की अन्य शाखाएँ: कार्टेशियन, ध्रुवीय और गोलाकार। इन समन्वय प्रणालियों में, पूरे बिंदु में तीन निर्देशांक होते हैं। 2 बिंदुओं के निर्देशांक जानकर आप इन दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित कर सकते हैं।

आपको चाहिये होगा

• एक खंड के सिरों के कार्तीय, ध्रुवीय और गोलाकार निर्देशांक

निर्देश

1. सबसे पहले, एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर विचार करें। इस समन्वय प्रणाली में अंतरिक्ष में एक बिंदु का स्थान निर्धारित किया जाता है COORDINATESएक्स, वाई और जेड। मूल बिंदु से बिंदु तक एक त्रिज्या सदिश खींचा जाता है। निर्देशांक अक्षों पर इस त्रिज्या वेक्टर का प्रक्षेपण होगा COORDINATESयह बिंदु। अब आपके पास दो बिंदु हैं COORDINATESक्रमशः x1,y1,z1 और x2,y2 और z2। पहले और दूसरे बिंदु के त्रिज्या सदिशों को क्रमशः r1 और r2 से निरूपित करें। जाहिर है, इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी वेक्टर r = r1-r2 के मापांक के बराबर होगी, जहां (r1-r2) वेक्टर अंतर है। वेक्टर r के निर्देशांक स्पष्ट रूप से इस प्रकार होंगे: x1-x2, y1-y2, z1-z2. तब वेक्टर r का परिमाण या दो बिंदुओं के बीच की दूरी बराबर होगी: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. अब एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक बिंदु का समन्वय रेडियल समन्वय आर (एक्सवाई विमान में त्रिज्या वेक्टर), कोणीय समन्वय द्वारा दिया जाएगा? (वेक्टर r और X अक्ष के बीच का कोण) और z निर्देशांक, कार्टेशियन प्रणाली में z निर्देशांक के समान है। एक बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक को निम्नलिखित तरीके से कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी COORDINATES r1, ?1 ,z1 और r2, ?2, z2 R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin) के बराबर होंगे ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. अब गोलाकार समन्वय प्रणाली को देखें। इसमें बिंदु का स्थान तीन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है COORDINATESआर, ? और?। आर - मूल बिंदु से बिंदु तक की दूरी, ? और? - क्रमशः अज़ीमुथल और आंचल कोण। कोना? ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में समान पदनाम वाले कोण के समान, है ना? - त्रिज्या वेक्टर r और Z अक्ष के बीच का कोण, 0 के साथ<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с COORDINATES r1, ?1, ?1 और r2, ?2 और ?2 R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( के बराबर होंगे (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

विषय पर वीडियो

समन्वय तल से जुड़े कार्यों का एक पूरा समूह (परीक्षा प्रकार की समस्याओं में शामिल) है। ये सबसे बुनियादी समस्याओं से लेकर हैं, जिन्हें मौखिक रूप से हल किया जाता है (किसी दिए गए बिंदु की कोटि या भुज, या किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्धारण, और अन्य), ऐसे कार्यों तक समाप्त होते हैं जिनके लिए उच्च गुणवत्ता वाले ज्ञान, समझ और की आवश्यकता होती है। अच्छे कौशल (सीधी रेखा के कोणीय गुणांक से संबंधित समस्याएं)।

धीरे-धीरे हम उन सभी पर विचार करेंगे। इस लेख में, हम बुनियादी बातों से शुरुआत करेंगे। ये निर्धारित करने के लिए सरल कार्य हैं: एक बिंदु का भुज और कोटि, एक खंड की लंबाई, एक खंड का मध्य बिंदु, एक सीधी रेखा के ढलान की ज्या या कोज्या।अधिकांश लोगों की इन कार्यों में रुचि नहीं होगी. लेकिन मैं उन्हें बताना जरूरी समझता हूं.

सच तो यह है कि हर कोई स्कूल नहीं जाता. बहुत से लोग स्नातक होने के 3-4 या अधिक वर्षों के बाद एकीकृत राज्य परीक्षा देते हैं, और उन्हें अस्पष्ट रूप से याद रहता है कि एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट क्या हैं। हम समन्वय विमान से संबंधित अन्य कार्यों का भी विश्लेषण करेंगे, इसे न चूकें, ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें। अब एनएक छोटा सा सिद्धांत.

आइए निर्देशांक x=6, y=3 के साथ निर्देशांक तल पर बिंदु A का निर्माण करें।

वे कहते हैं कि बिंदु A का भुज छह के बराबर है, बिंदु A की कोटि तीन के बराबर है।

सीधे शब्दों में कहें तो बैल अक्ष भुज अक्ष है, y अक्ष कोटि अक्ष है।

अर्थात्, भुज x अक्ष पर एक बिंदु है जिसमें निर्देशांक तल पर दिया गया एक बिंदु प्रक्षेपित होता है; कोटि y अक्ष पर वह बिंदु है जिस पर निर्दिष्ट बिंदु प्रक्षेपित होता है।

निर्देशांक तल पर एक खंड की लंबाई

यदि किसी खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं तो उसकी लंबाई निर्धारित करने का सूत्र:

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक खंड की लंबाई समान पैरों वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई है

एक्स बी - एक्स ए और यू बी - यू ए

* * *

खंड के मध्य. उसके निर्देशांक.

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र इस प्रकार है:

जहां (x 1;y 1) और (x 2;y 2 ) दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक।

निर्देशांक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, इसे इस रूप में घटाया जाता है:

वाई = केएक्स + बी, जहां k रेखा का ढलान है

समन्वय तल से संबंधित समस्याओं के किसी अन्य समूह को हल करते समय हमें इस जानकारी की आवश्यकता होगी। इसके बारे में एक लेख होगा, इसे चूकें नहीं!

आप और क्या जोड़ सकते हैं?

एक सीधी रेखा (या खंड) के झुकाव का कोण oX अक्ष और इस सीधी रेखा के बीच का कोण है, जो 0 से 180 डिग्री तक होता है।

आइए कार्यों पर विचार करें।

बिंदु (6;8) से कोटि अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार की कोटि ज्ञात कीजिए।

कोटि अक्ष पर डाले गए लंब के आधार में निर्देशांक (0;8) होंगे। कोटि आठ के बराबर है।

उत्तर: 8

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एकोटि के निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु A से कोटि अक्ष की दूरी बिंदु A के भुज के बराबर है।

उत्तर: 6.

ए(6;8) अक्ष के सापेक्ष बैल.

ऑक्स अक्ष के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (6;- 8) हैं।

कोटि शून्य से आठ के बराबर है।

उत्तर:-8

किसी बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए ए(6;8) उत्पत्ति के सापेक्ष।

मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (- 6;- 8) होते हैं।

इसकी कोटि है - 8.

उत्तर:-8

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजेंहे(0;0) और ए(6;8).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (0;0) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (3;4) मिला। भुज तीन के बराबर है।

उत्तर: 3

*किसी खंड के मध्य के भुज को एक वर्ग में कागज की शीट पर एक समन्वय विमान पर इस खंड का निर्माण करके सूत्र का उपयोग किए बिना गणना के निर्धारित किया जा सकता है। खंड के मध्य को कोशिकाओं द्वारा निर्धारित करना आसान होगा।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजें ए(6;8) और बी(–2;2).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (-2;2) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (2;5) मिला। फरसीसा दो के बराबर है।

उत्तर: 2

*किसी खंड के मध्य के भुज को एक वर्ग में कागज की शीट पर एक समन्वय विमान पर इस खंड का निर्माण करके सूत्र का उपयोग किए बिना गणना के निर्धारित किया जा सकता है।

बिंदुओं (0;0) और (6;8) को जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात करें।

इसके सिरों के दिए गए निर्देशांक पर खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

हमारे मामले में हमारे पास O(0;0) और A(6;8) हैं। मतलब,

*घटाते समय निर्देशांक का क्रम मायने नहीं रखता। आप बिंदु A के भुज और कोटि को बिंदु O के भुज और कोटि से घटा सकते हैं:

उत्तर:10

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के ढलान की कोज्या ज्ञात कीजिए हे(0;0) और ए(6;8), एक्स-अक्ष के साथ।

किसी खंड के झुकाव का कोण इस खंड और oX अक्ष के बीच का कोण है।

बिंदु A से हम oX अक्ष पर एक लंब डालते हैं:

अर्थात्, किसी खंड के झुकाव का कोण ही कोण हैभारतीय खेल प्राधिकरणसमकोण त्रिभुज ABO में।

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्या होती है

आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात

हमें कर्ण ज्ञात करना होगाओए.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इस प्रकार, ढलान कोण की कोज्या 0.6 है

उत्तर: 0.6

बिंदु (6;8) से भुज अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार का भुज ज्ञात कीजिए।

भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बिंदु (6;8) से होकर खींची जाती है। अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए कहां.

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एभुज अक्ष पर निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एमूल बिंदु के निर्देशांक (6;8) के साथ।

यदि आप किसी नोटबुक शीट को अच्छी तरह से नुकीली पेंसिल से छूते हैं, तो एक निशान रह जाएगा जो बिंदु का अंदाजा देता है। (चित्र 3)।

आइए कागज के एक टुकड़े पर दो बिंदु A और B अंकित करें। इन बिंदुओं को विभिन्न रेखाओं द्वारा जोड़ा जा सकता है (चित्र 4)। बिंदु A और B को सबसे छोटी रेखा से कैसे जोड़ें? यह एक रूलर का उपयोग करके किया जा सकता है (चित्र 5)। परिणामी पंक्ति कहलाती है खंड.

बिंदु और रेखा - उदाहरण ज्यामितीय आकार.

बिंदु A और B कहलाते हैं खंड के अंत.

एक एकल खंड है जिसके सिरे बिंदु A और B हैं। इसलिए, एक खंड को उन बिंदुओं को लिखकर निरूपित किया जाता है जो इसके छोर हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 5 में खंड को दो तरीकों में से एक में नामित किया गया है: एबी या बीए। पढ़ें: "सेगमेंट एबी" या "सेगमेंट बीए"।

चित्र 6 तीन खंड दिखाता है। खंड AB की लंबाई 1 सेमी है। यह खंड MN में ठीक तीन बार और खंड EF में ठीक 4 बार फिट बैठता है। चलिए ऐसा कहते हैं खंड की लंबाईएमएन 3 सेमी के बराबर है, और खंड ईएफ की लंबाई 4 सेमी है।

यह कहने की भी प्रथा है: "खंड एमएन 3 सेमी के बराबर है," "खंड ईएफ 4 सेमी के बराबर है।" वे लिखते हैं: एमएन = 3 सेमी, ईएफ = 4 सेमी।

हमने खंड एमएन और ईएफ की लंबाई मापी एकल खंड, जिसकी लंबाई 1 सेमी है। खंडों को मापने के लिए, आप अन्य चुन सकते हैं लंबाई की इकाइयाँ, उदाहरण के लिए: 1 मिमी, 1 डीएम, 1 किमी। चित्र 7 में, खंड की लंबाई 17 मिमी है। इसे एक अंशांकित रूलर का उपयोग करके एक एकल खंड द्वारा मापा जाता है, जिसकी लंबाई 1 मिमी है। इसके अलावा, एक रूलर का उपयोग करके, आप दी गई लंबाई का एक खंड बना सकते हैं (चित्र 7 देखें)।

बिल्कुल भी, किसी खंड को मापने का मतलब यह गिनना है कि इसमें कितने इकाई खंड फिट होते हैं.

एक खंड की लंबाई में निम्नलिखित गुण होते हैं।

यदि आप खंड AB पर बिंदु C अंकित करते हैं, तो खंड AB की लंबाई खंड AC और CB की लंबाई के योग के बराबर है(चित्र 8)।

लिखें: एबी = एसी + सीबी।

चित्र 9 दो खंड AB और CD दिखाता है। सुपरइम्पोज़ होने पर ये खंड मेल खाएंगे।

दो खंडों को समान कहा जाता है यदि वे आरोपित होने पर संपाती हों।

इसलिए खंड AB और CD बराबर हैं। वे लिखते हैं: एबी = सीडी.

समान खंडों की लंबाई समान होती है।

दो असमान खंडों में से, हम उस खंड को बड़ा मानेंगे जिसकी लंबाई अधिक होगी। उदाहरण के लिए, चित्र 6 में, खंड EF खंड MN से बड़ा है।

खंड AB की लंबाई कहलाती है दूरीबिंदु A और B के बीच.

यदि कई खंडों को चित्र 10 में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जाता है, तो आपको एक ज्यामितीय आकृति मिलेगी जिसे कहा जाता है टूटी पंक्ति. ध्यान दें कि चित्र 11 में सभी खंड एक टूटी हुई रेखा नहीं बनाते हैं। खंडों को एक टूटी हुई रेखा बनाने वाला माना जाता है यदि पहले खंड का अंत दूसरे के अंत के साथ मेल खाता है, और दूसरे खंड का दूसरा छोर तीसरे के अंत के साथ मेल खाता है, आदि।

अंक ए, बी, सी, डी, ई - टूटी हुई रेखा के शीर्षएबीसीडीई, अंक ए और ई - पॉलीलाइन के सिरे, और खंड AB, BC, CD, DE इसके हैं लिंक(चित्र 10 देखें)।

दिशा और रेखाइसके सभी लिंकों की लंबाई का योग ज्ञात करें।

चित्र 12 दो टूटी हुई रेखाएँ दिखाता है जिनके सिरे मेल खाते हैं। ऐसी टूटी हुई रेखाएं कहलाती हैं बंद किया हुआ.

उदाहरण 1 . खंड BC, खंड AB से 3 सेमी छोटा है, जिसकी लंबाई 8 सेमी है (चित्र 13)। खंड AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान। हमारे पास है: BC = 8 - 3 = 5 (सेमी)।

किसी खंड की लंबाई के गुण का उपयोग करके, हम AC = AB + BC लिख सकते हैं। अत: AC = 8 + 5 = 13 (सेमी)।

उत्तर: 13 सेमी.

उदाहरण 2 . यह ज्ञात है कि एमके = 24 सेमी, एनपी = 32 सेमी, एमपी = 50 सेमी (चित्र 14)। खंड NK की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान। हमारे पास है: एमएन = एमपी - एनपी।

अत: एमएन = 50 − 32 = 18 (सेमी)।

हमारे पास है: एनके = एमके - एमएन।

अत: एनके = 24 − 18 = 6 (सेमी)।

उत्तर: 6 सेमी.

खंड द्वाराएक सीधी रेखा के उस भाग को नाम दें जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु शामिल हों जो इन दो बिंदुओं के बीच स्थित हों - उन्हें खंड के सिरे कहा जाता है।

आइए पहला उदाहरण देखें. मान लीजिए कि एक निश्चित खंड को निर्देशांक तल में दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। इस मामले में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

इसलिए, समन्वय प्रणाली में हम उसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के साथ एक खंड बनाते हैं(x1; y1) और (x2; y2) . अक्ष पर एक्स और वाई खंड के सिरों से लंब बनाएं. आइए उन खंडों को लाल रंग से चिह्नित करें जो निर्देशांक अक्ष पर मूल खंड से प्रक्षेपण हैं। इसके बाद, हम प्रक्षेपण खंडों को खंडों के सिरों के समानांतर स्थानांतरित करते हैं। हमें एक त्रिभुज (आयताकार) मिलता है। इस त्रिभुज का कर्ण खंड AB ही होगा, और इसके पैर स्थानांतरित प्रक्षेपण हैं।

आइए इन अनुमानों की लंबाई की गणना करें। तो, अक्ष पर वाई प्रक्षेपण लंबाई है y2-y1 , और अक्ष पर एक्स प्रक्षेपण लंबाई है x2-x1 . आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . इस मामले में |एबी| खंड की लंबाई है.

यदि आप किसी खंड की लंबाई की गणना करने के लिए इस आरेख का उपयोग करते हैं, तो आपको खंड का निर्माण भी नहीं करना पड़ेगा। आइए अब निर्देशांक के साथ खंड की लंबाई की गणना करें (1;3) और (2;5) . पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हमें मिलता है: |एबी|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . इसका मतलब है कि हमारे सेगमेंट की लंबाई बराबर है 5:1/2 .

किसी खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हमें किसी प्रणाली में दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। आइए द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके इस विकल्प पर विचार करें।

तो, द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, खंड के चरम बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। यदि हम इन बिंदुओं से होकर सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे निर्देशांक अक्ष के लंबवत होनी चाहिए, तो हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है। मूल खंड परिणामी त्रिभुज का कर्ण होगा। त्रिभुज के पैर खंड बनाते हैं, उनकी लंबाई समन्वय अक्षों पर कर्ण के प्रक्षेपण के बराबर होती है। पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: किसी दिए गए खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको दो समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।

आइए प्रक्षेपण लंबाई ज्ञात करें (एक्स और वाई) निर्देशांक अक्षों पर मूल खंड। हम एक अलग अक्ष के अनुदिश बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर ज्ञात करके उनकी गणना करते हैं: एक्स = एक्स2-एक्स1, वाई = वाई2-वाई1 .

खंड की लंबाई की गणना करें ए , इसके लिए हम वर्गमूल ज्ञात करते हैं:

ए = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

यदि हमारा खंड उन बिंदुओं के बीच स्थित है जिनके निर्देशांक हैं 2;4 और 4;1 , तो इसकी लंबाई तदनुसार बराबर होती है √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .