बिंदुओं के निर्देशांक से लंबाई कैसे ज्ञात करें। किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ढूँढना: उदाहरण, समाधान

खंड द्वाराएक सीधी रेखा के उस भाग को कहते हैं जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु शामिल होते हैं जो इन दो बिंदुओं के बीच स्थित होते हैं - उन्हें खंड के अंत कहा जाता है।

आइए पहला उदाहरण देखें. मान लीजिए कि एक निश्चित खंड को निर्देशांक तल में दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। में इस मामले मेंहम पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके इसकी लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

इसलिए, समन्वय प्रणाली में हम उसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के साथ एक खंड बनाते हैं(x1; y1) और (x2; y2) . अक्ष पर एक्स और वाई खंड के सिरों से लंब बनाएं. आइए उन खंडों को लाल रंग से चिह्नित करें जो निर्देशांक अक्ष पर मूल खंड से प्रक्षेपण हैं। इसके बाद, हम प्रक्षेपण खंडों को खंडों के सिरों के समानांतर स्थानांतरित करते हैं। हमें एक त्रिभुज (आयताकार) मिलता है। इस त्रिभुज का कर्ण खंड AB ही होगा, और इसके पैर स्थानांतरित प्रक्षेपण हैं।

आइए इन अनुमानों की लंबाई की गणना करें। तो, अक्ष पर वाई प्रक्षेपण लंबाई है y2-y1 , और अक्ष पर एक्स प्रक्षेपण लंबाई है x2-x1 . आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . इस मामले में |एबी| खंड की लंबाई है.

यदि आप किसी खंड की लंबाई की गणना करने के लिए इस आरेख का उपयोग करते हैं, तो आपको खंड का निर्माण भी नहीं करना पड़ेगा। आइए अब निर्देशांक के साथ खंड की लंबाई की गणना करें (1;3) और (2;5) . पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हमें मिलता है: |एबी|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . इसका मतलब है कि हमारे सेगमेंट की लंबाई बराबर है 5:1/2 .

किसी खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हमें किसी प्रणाली में दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। आइए द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके इस विकल्प पर विचार करें।

तो, द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, खंड के चरम बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। यदि हम इन बिंदुओं से होकर सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे निर्देशांक अक्ष के लंबवत होनी चाहिए, तो हमें एक समकोण त्रिभुज मिलता है। मूल खंड परिणामी त्रिभुज का कर्ण होगा। त्रिभुज के पैर खंड बनाते हैं, उनकी लंबाई समन्वय अक्षों पर कर्ण के प्रक्षेपण के बराबर होती है। पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: किसी दिए गए खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको दो समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।

आइए प्रक्षेपण लंबाई ज्ञात करें (एक्स और वाई) निर्देशांक अक्षों पर मूल खंड। हम एक अलग अक्ष के अनुदिश बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर ज्ञात करके उनकी गणना करते हैं: एक्स = एक्स2-एक्स1, वाई = वाई2-वाई1 .

खंड की लंबाई की गणना करें ए , इसके लिए हम वर्गमूल ज्ञात करते हैं:

ए = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

यदि हमारा खंड उन बिंदुओं के बीच स्थित है जिनके निर्देशांक हैं 2;4 और 4;1 , तो इसकी लंबाई तदनुसार बराबर होती है √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापांक चिह्न द्वारा इंगित की जाती है।

यदि विमान के दो बिंदु दिए गए हैं और, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

टिप्पणी: यदि संबंधित निर्देशांकों की अदला-बदली की जाए तो सूत्र सही रहेंगे: और , लेकिन पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

समाधान:उपयुक्त सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा

खंड - यह कोई वेक्टर नहीं है, और निःसंदेह, आप इसे कहीं भी नहीं ले जा सकते। इसके अलावा, यदि आप पैमाने पर आकर्षित करते हैं: 1 इकाई। = 1 सेमी (दो नोटबुक सेल), फिर परिणामी उत्तर को सीधे खंड की लंबाई मापकर एक नियमित रूलर से जांचा जा सकता है।

हां, समाधान छोटा है, लेकिन इसमें कुछ और भी हैं महत्वपूर्ण बिंदुजिसे मैं स्पष्ट करना चाहूँगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम डालते हैं: "इकाइयाँ"। शर्त यह नहीं बताती कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, गणितीय रूप से सही समाधान सामान्य सूत्रीकरण होगा: "इकाइयाँ" - जिसे संक्षेप में "इकाइयाँ" कहा जाता है।

दूसरी बात, चलिए दोहराते हैं स्कूल सामग्री, जो न केवल विचाराधीन समस्या के लिए उपयोगी है:

कृपया ध्यान महत्वपूर्ण तकनीक – गुणक को जड़ के नीचे से हटाना. गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमारे पास एक परिणाम होता है और अच्छी गणितीय शैली में मूल के नीचे से कारक को हटाना शामिल है (यदि संभव हो तो)। यह प्रक्रिया अधिक विस्तार से इस प्रकार दिखती है: . बेशक, उत्तर को वैसे ही छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन यह निश्चित रूप से एक कमी होगी और शिक्षक की ओर से विवाद करने का एक वजनदार तर्क होगा।

यहां अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए, अक्सर जड़ काफी बड़ी संख्या उत्पन्न करती है। ऐसे मामलों में क्या करें? कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम जांचते हैं कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है:। हाँ, यह पूरी तरह से विभाजित था, इस प्रकार: . या शायद संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? . इस प्रकार: . नंबर पर अंतिम अंकअजीब है, इसलिए तीसरी बार 4 से विभाजित करना स्पष्ट रूप से काम नहीं करेगा। आइए नौ से विभाजित करने का प्रयास करें:। नतीजतन:
तैयार।

निष्कर्ष:यदि मूल के नीचे हमें एक संख्या मिलती है जिसे संपूर्ण रूप से नहीं निकाला जा सकता है, तो हम मूल के नीचे से गुणनखंड को हटाने का प्रयास करते हैं - कैलकुलेटर का उपयोग करके हम जांचते हैं कि क्या संख्या विभाज्य है: 4, 9, 16, 25, 36, 49, आदि.

फैसले के दौरान विभिन्न कार्यजड़ें आम हैं, शिक्षक की टिप्पणियों के आधार पर अपने समाधान को अंतिम रूप देने में निचले ग्रेड और अनावश्यक समस्याओं से बचने के लिए हमेशा जड़ के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

आइए जड़ों और अन्य घातों का वर्ग भी दोहराएँ:

में डिग्री के साथ कार्रवाई के नियम सामान्य रूप से देखेंबीजगणित पर एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से, सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

के लिए असाइनमेंट स्वतंत्र निर्णयअंतरिक्ष में एक खंड के साथ:

उदाहरण 4

अंक और दिए गए हैं. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए.

समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

समन्वय तल से जुड़े कार्यों का एक पूरा समूह (परीक्षा प्रकार की समस्याओं में शामिल) है। ये सबसे प्राथमिक समस्याओं से लेकर हैं, जिन्हें मौखिक रूप से हल किया जाता है (किसी दिए गए बिंदु की कोटि या भुज, या किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्धारण, और अन्य), ऐसे कार्यों के साथ समाप्त होता है जिनके लिए उच्च गुणवत्ता वाले ज्ञान, समझ और की आवश्यकता होती है। अच्छे कौशल (सीधी रेखा के कोणीय गुणांक से संबंधित समस्याएं)।

धीरे-धीरे हम उन सभी पर विचार करेंगे। इस लेख में, हम बुनियादी बातों से शुरुआत करेंगे। यह सरल कार्यनिर्धारित करने के लिए: एक बिंदु का भुज और कोटि, एक खंड की लंबाई, एक खंड का मध्यबिंदु, एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण की ज्या या कोज्या।अधिकांश लोगों की इन कार्यों में रुचि नहीं होगी. लेकिन मैं उन्हें बताना जरूरी समझता हूं.

सच तो यह है कि हर कोई स्कूल नहीं जाता. बहुत से लोग स्नातक होने के 3-4 या अधिक वर्षों के बाद एकीकृत राज्य परीक्षा देते हैं, और उन्हें अस्पष्ट रूप से याद रहता है कि एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट क्या हैं। हम समन्वय विमान से संबंधित अन्य कार्यों का भी विश्लेषण करेंगे, इसे न चूकें, ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें। अब एनएक छोटा सा सिद्धांत.

आइए निर्देशांक x=6, y=3 के साथ निर्देशांक तल पर बिंदु A का निर्माण करें।

वे कहते हैं कि बिंदु A का भुज छह के बराबर है, बिंदु A की कोटि तीन के बराबर है।

सीधे शब्दों में कहें तो बैल अक्ष भुज अक्ष है, y अक्ष कोटि अक्ष है।

अर्थात्, भुज x अक्ष पर एक बिंदु है जिसमें निर्देशांक तल पर दिया गया एक बिंदु प्रक्षेपित होता है; कोटि y अक्ष पर वह बिंदु है जिस पर निर्दिष्ट बिंदु प्रक्षेपित होता है।

निर्देशांक तल पर एक खंड की लंबाई

यदि किसी खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं तो उसकी लंबाई निर्धारित करने का सूत्र:

जैसा कि आप देख सकते हैं, खंड की लंबाई समान पैरों वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई है

एक्स बी - एक्स ए और यू बी - यू ए

* * *

खंड के मध्य. उसके निर्देशांक.

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र इस प्रकार है:

जहां (x 1;y 1) और (x 2;y 2 ) निर्देशांक अंक दिए गए.

निर्देशांक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, इसे इस रूप में घटाया जाता है:

वाई = केएक्स + बी, जहां k रेखा का ढलान है

समन्वय तल से संबंधित समस्याओं के किसी अन्य समूह को हल करते समय हमें इस जानकारी की आवश्यकता होगी। इसके बारे में एक लेख होगा, इसे चूकें नहीं!

आप और क्या जोड़ सकते हैं?

एक सीधी रेखा (या खंड) के झुकाव का कोण oX अक्ष और इस सीधी रेखा के बीच का कोण है, जो 0 से 180 डिग्री तक होता है।

आइए कार्यों पर विचार करें।

बिंदु (6;8) से कोटि अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार की कोटि ज्ञात कीजिए।

कोटि अक्ष पर डाले गए लंब के आधार में निर्देशांक (0;8) होंगे। कोटि आठ के बराबर है।

उत्तर: 8

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एकोटि अक्ष के निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु A से कोटि अक्ष की दूरी बिंदु A के भुज के बराबर है।

उत्तर: 6.

ए(6;8) अक्ष के सापेक्ष बैल.

डॉट सममित बिंदुऔर ऑक्स अक्ष के सापेक्ष इसके निर्देशांक (6;-8) हैं।

कोटि शून्य से आठ के बराबर है।

उत्तर:-8

किसी बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए ए(6;8) उत्पत्ति के सापेक्ष।

मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (- 6;- 8) होते हैं।

इसकी कोटि है - 8.

उत्तर:-8

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजेंहे(0;0) और ए(6;8).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (0;0) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (3;4) मिला। भुज तीन के बराबर है।

उत्तर: 3

*किसी खंड के मध्य के भुज को एक वर्ग में कागज की शीट पर एक निर्देशांक तल पर इस खंड का निर्माण करके सूत्र का उपयोग किए बिना गणना के निर्धारित किया जा सकता है। खंड के मध्य को कोशिकाओं द्वारा निर्धारित करना आसान होगा।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के मध्यबिंदु का भुज खोजें ए(6;8) और बी(–2;2).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (-2;2) और (6;8) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं:

हमें (2;5) मिला। फरसीसा दो के बराबर है।

उत्तर: 2

*किसी खंड के मध्य के भुज को एक वर्ग में कागज की शीट पर एक निर्देशांक तल पर इस खंड का निर्माण करके सूत्र का उपयोग किए बिना गणना के निर्धारित किया जा सकता है।

बिंदुओं (0;0) और (6;8) को जोड़ने वाले खंड की लंबाई ज्ञात करें।

इसके सिरों के दिए गए निर्देशांक पर खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

हमारे मामले में हमारे पास O(0;0) और A(6;8) हैं। मतलब,

*घटाते समय निर्देशांक का क्रम मायने नहीं रखता। आप बिंदु A के भुज और कोटि को बिंदु O के भुज और कोटि से घटा सकते हैं:

उत्तर:10

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के ढलान की कोज्या ज्ञात कीजिए हे(0;0) और ए(6;8), एक्स-अक्ष के साथ।

किसी खंड के झुकाव का कोण इस खंड और oX अक्ष के बीच का कोण है।

बिंदु A से हम oX अक्ष पर एक लंब डालते हैं:

अर्थात्, किसी खंड के झुकाव का कोण ही कोण हैभारतीय खेल प्राधिकरणसमकोण त्रिभुज ABO में।

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्या होती है

आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात

हमें कर्ण ज्ञात करना होगाओए.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग योग के बराबरपैरों का वर्ग.

इस प्रकार, ढलान कोण की कोज्या 0.6 है

उत्तर: 0.6

बिंदु (6;8) से भुज अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार का भुज ज्ञात कीजिए।

भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बिंदु (6;8) से होकर खींची जाती है। अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए कहां.

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एभुज अक्ष पर निर्देशांक (6;8) के साथ।

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एमूल बिंदु के निर्देशांक (6;8) के साथ।

नीचे दिया गया लेख किसी खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के मुद्दों को कवर करेगा यदि इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक प्रारंभिक डेटा के रूप में उपलब्ध हैं। लेकिन इससे पहले कि हम मुद्दे का अध्ययन शुरू करें, आइए कई परिभाषाएँ पेश करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

खंड- दो मनमाने बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड का सिरा कहा जाता है। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए ये बिंदु ए और बी हैं और, तदनुसार, खंड ए बी।

यदि खंड ए बी को बिंदु ए और बी से दोनों दिशाओं में जारी रखा जाता है, तो हमें एक सीधी रेखा ए बी मिलती है। फिर खंड ए बी परिणामी सीधी रेखा का हिस्सा है, जो बिंदु ए और बी से घिरा है। खंड ए बी बिंदु ए और बी को जोड़ता है, जो इसके सिरे हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का समूह भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

अनुभाग की लंबाई- किसी दिए गए पैमाने पर एक खंड के सिरों के बीच की दूरी (इकाई लंबाई का एक खंड)। आइए हम खंड A B की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करें: A B ।

परिभाषा 3

खंड का मध्यबिंदु- एक खंड पर स्थित और उसके सिरों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु। यदि खंड ए बी के मध्य को बिंदु सी द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो समानता सत्य होगी: ए सी = सी बी

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा O x और उस पर गैर-संपाती बिंदु: A और B। ये बिंदु वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं एक्स ए और एक्स बी. बिंदु C खंड A B का मध्य है: निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सी.

चूँकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | . बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक में अंतर के मापांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ x C - x A = x B - x C

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से हम बिंदु C के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: x C = x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग)।

दूसरी समानता से हमें मिलता है: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि स्रोत डेटा में - गैर-संगत बिंदु। इस प्रकार, A (x A) और सिरे वाले खंड A B के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्रबी(xB):

परिणामी सूत्र किसी समतल या अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: O x y समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक A x A, y A और B x B, y B के साथ दो मनमाने गैर-संपाती बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है। बिंदु C के लिए x C और y C निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस मामले को लें जब बिंदु ए और बी मेल नहीं खाते हैं और एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित नहीं हैं। ए एक्स , ए वाई ; बी एक्स, बी वाई और सी एक्स, सी वाई - निर्देशांक अक्षों (सीधी रेखाएं ओ एक्स और ओ वाई) पर बिंदु ए, बी और सी के प्रक्षेपण।

रचना के अनुसार, रेखाएँ A A x, B B x, C C x समानांतर हैं; रेखाएँ भी एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके साथ ही, थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानता A C = C B से समानताएं अनुसरण करती हैं: A x C x = C x B x और A y C y = C y B y, और वे बदले में इंगित करते हैं कि बिंदु C x है खंड A x B x का मध्य भाग है, और C y खंड A y B y का मध्य भाग है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं:

x C = x A + x B 2 और y C = y A + y B 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु ए और बी एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित हों। आचरण विस्तृत विश्लेषणहम इस मामले पर विचार नहीं करेंगे, हम इस पर केवल ग्राफिक रूप से विचार करेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, सिरों के निर्देशांक के साथ समतल पर खंड A B के मध्य के निर्देशांकए (एक्स ए , वाई ए) औरबी(xB, yB) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: समन्वय प्रणाली O x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A, y A, z A) और B (x B, y B, z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B का मध्य है।

ए एक्स , ए वाई , ए जेड ; बी एक्स, बी वाई, बी जेड और सी एक्स, सी वाई, सी जेड - समन्वय प्रणाली के अक्षों पर सभी दिए गए बिंदुओं के प्रक्षेपण।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x , C y , C z क्रमशः खंड A x B x , A y B y , A z B z के मध्यबिंदु हैं। तब, अंतरिक्ष में किसी खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

परिणामी सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जहां बिंदु ए और बी समन्वय रेखाओं में से एक पर स्थित होते हैं; किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर; एक निर्देशांक तल में या किसी एक निर्देशांक तल के लंबवत तल में।

किसी खंड के सिरों के त्रिज्या सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से उसके मध्य के निर्देशांक निर्धारित करना

किसी खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार भी प्राप्त किया जा सकता है।

इनपुट डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) वाले बिंदु। बिंदु C, खंड A B का मध्य है।

सदिशों पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B →। इस मामले में बिंदु C, सदिश O A → और O B → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात। विकर्णों के मध्य का बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). आइए निर्देशांक में सदिशों पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य द्वारा, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र निर्धारित किया जाता है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

जिन समस्याओं में ऊपर प्राप्त सूत्रों का उपयोग शामिल है, उनमें वे भी हैं जिनमें सीधा प्रश्न खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना करना है, और वे जिनमें दी गई शर्तों को इस प्रश्न में लाना शामिल है: शब्द "माध्यिका" अक्सर उपयोग किया जाता है, लक्ष्य एक खंड के अंत से एक के निर्देशांक को ढूंढना है, और समरूपता समस्याएं भी आम हैं, जिनके समाधान में इस विषय का अध्ययन करने के बाद सामान्य रूप से कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

आरंभिक डेटा:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड A B के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे, अर्थात। अंक ए और बी.

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड ए बी के मध्य के निर्देशांक - 5 2, 7 2।

उदाहरण 2

आरंभिक डेटा:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की स्थितियों के अनुसार, A M माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, आइए खंड B C के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करें, अर्थात। एम अंक:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूँकि अब हम माध्यिका के दोनों सिरों (बिंदु ए और एम) के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने और माध्यिका ए एम की लंबाई की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

आरंभिक डेटा:एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रि-आयामी स्थानदिया गया समांतर चतुर्भुज A B C D A 1 B 1 C 1 D 1। बिंदु C 1 (1, 1, 0) के निर्देशांक दिए गए हैं, और बिंदु M को भी परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण B D 1 का मध्य बिंदु है और इसके निर्देशांक M (4, 2, - 4) हैं। बिंदु A के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है.

समाधान

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो सभी विकर्णों का मध्यबिंदु है। इस कथन के आधार पर, हम यह ध्यान रख सकते हैं कि समस्या की स्थितियों से ज्ञात बिंदु M, खंड A C 1 का मध्य बिंदु है। अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z सी 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ