वह शरीर नीचे खिसक जाता है इच्छुक विमान . इस मामले में, निम्नलिखित बल इस पर कार्य करते हैं:
गुरुत्वाकर्षण एमजी लंबवत नीचे की ओर निर्देशित;
समर्थन प्रतिक्रिया बल एन, विमान के लंबवत निर्देशित;
फिसलने वाला घर्षण बल Ftr गति के विपरीत निर्देशित होता है (जब शरीर फिसलता है तो झुके हुए तल के साथ ऊपर की ओर)।
आइए हम एक झुकी हुई समन्वय प्रणाली का परिचय दें, जिसका OX अक्ष समतल के साथ नीचे की ओर निर्देशित है। यह सुविधाजनक है, क्योंकि इस मामले में आपको केवल एक वेक्टर को घटकों में विघटित करना होगा - गुरुत्वाकर्षण वेक्टर एमजी, और घर्षण बल एफटीआर और समर्थन प्रतिक्रिया बल एन के वैक्टर पहले से ही अक्षों के साथ निर्देशित हैं। इस विस्तार के साथ, गुरुत्वाकर्षण बल का x-घटक mg syn(α) के बराबर है और त्वरित नीचे की ओर गति के लिए जिम्मेदार "खींचने वाले बल" से मेल खाता है, और y-घटक - mg cos(α) = N को संतुलित करता है प्रतिक्रिया बल का समर्थन करें, क्योंकि शरीर अनुपस्थित ओए अक्ष के साथ चलता है।
फिसलने वाला घर्षण बल Ftr = µN समर्थन प्रतिक्रिया बल के समानुपाती होता है। यह हमें घर्षण बल के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है: Ftr = µmg cos(α)। यह बल गुरुत्वाकर्षण के "खींचने" वाले घटक के विपरीत है। इसलिए, नीचे फिसलने वाले किसी पिंड के लिए, हम कुल परिणामी बल और त्वरण के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));
ax = g(sin(α) – µ cos(α)).
त्वरण:
गति है
v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))
t=0.2 s के बाद
गति है
v=0.2*9.8(sin(45)-0.4*cos(45))=0.83 m/s
वह बल जिसके द्वारा कोई पिंड पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में पृथ्वी की ओर आकर्षित होता है, गुरुत्वाकर्षण कहलाता है। सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, पृथ्वी की सतह पर (या इस सतह के निकट), m द्रव्यमान के एक पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है
फीट=जीएमएम/आर2 (2.28)
जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है; R पृथ्वी की त्रिज्या है।
यदि किसी पिंड पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, और अन्य सभी बल परस्पर संतुलित हैं, तो शरीर मुक्त रूप से गिरता है। न्यूटन के दूसरे नियम और सूत्र (2.28) के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण त्वरण मॉड्यूल जी सूत्र द्वारा पाया जाता है
g=Ft/m=GM/R2. (2.29)
सूत्र (2.29) से यह निष्कर्ष निकलता है कि मुक्त गिरावट का त्वरण गिरते हुए पिंड के द्रव्यमान m पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। पृथ्वी पर किसी स्थान पर मौजूद सभी पिंडों के लिए यह समान है। सूत्र (2.29) से यह इस प्रकार है कि Ft = mg. वेक्टर रूप में
§ 5 में यह नोट किया गया था कि चूँकि पृथ्वी एक गोला नहीं है, बल्कि परिक्रमण का एक दीर्घवृत्ताकार है, इसलिए इसका ध्रुवीय त्रिज्या भूमध्यरेखीय से कम है। सूत्र (2.28) से यह स्पष्ट है कि इस कारण से ध्रुव पर गुरुत्वाकर्षण बल और उसके कारण उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण का त्वरण भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक है।
गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्थित सभी पिंडों पर कार्य करता है, लेकिन सभी पिंड पृथ्वी पर नहीं गिरते हैं। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कई निकायों की गति अन्य निकायों द्वारा बाधित होती है, उदाहरण के लिए समर्थन, निलंबन धागे, आदि। जो निकाय अन्य निकायों की गति को सीमित करते हैं उन्हें कनेक्शन कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, बंधन विकृत हो जाते हैं और विकृत कनेक्शन की प्रतिक्रिया शक्ति, न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करती है।
§ 5 में यह भी नोट किया गया कि मुक्त गिरावट का त्वरण पृथ्वी के घूर्णन से प्रभावित होता है। इस प्रभाव को इस प्रकार समझाया गया है। पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणालियाँ (पृथ्वी के ध्रुवों से जुड़ी दो को छोड़कर), सख्ती से कहें तो, जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियाँ नहीं हैं - पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है, और इसके साथ ही ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ सेंट्रिपेटल त्वरण के साथ वृत्तों में घूमती हैं। संदर्भ प्रणालियों की यह गैर-जड़त्वता, विशेष रूप से, इस तथ्य में प्रकट होती है कि गुरुत्वाकर्षण के त्वरण का मान पृथ्वी पर विभिन्न स्थानों में भिन्न होता है और उस स्थान के भौगोलिक अक्षांश पर निर्भर करता है जहां संदर्भ प्रणाली जुड़ी हुई है पृथ्वी स्थित है, जिसके सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का त्वरण निर्धारित होता है।
विभिन्न अक्षांशों पर किए गए मापों से यह पता चला संख्यात्मक मानमुक्त गिरावट त्वरण एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं। इसलिए, जब बहुत नहीं सटीक गणनाहम पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणालियों की गैर-जड़त्वता, साथ ही गोलाकार से पृथ्वी के आकार में अंतर की उपेक्षा कर सकते हैं, और मान सकते हैं कि पृथ्वी पर कहीं भी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण समान है और 9.8 मीटर के बराबर है। /एस2.
सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि पृथ्वी से बढ़ती दूरी के साथ गुरुत्वाकर्षण बल और उसके कारण होने वाला गुरुत्वाकर्षण त्वरण कम हो जाता है। पृथ्वी की सतह से ऊंचाई h पर, गुरुत्वाकर्षण त्वरण मापांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
यह स्थापित किया गया है कि पृथ्वी की सतह से 300 किमी की ऊँचाई पर, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण पृथ्वी की सतह की तुलना में 1 m/s2 कम है।
नतीजतन, पृथ्वी के निकट (कई किलोमीटर की ऊंचाई तक) गुरुत्वाकर्षण बल व्यावहारिक रूप से नहीं बदलता है, और इसलिए पृथ्वी के निकट पिंडों का मुक्त रूप से गिरना एक समान रूप से त्वरित गति है।
शरीर का वजन. भारहीनता और अधिभार
वह बल जिसमें पृथ्वी के प्रति आकर्षण के कारण कोई पिंड उसके सहारे या लटके हुए स्थान पर कार्य करता है, पिंड का भार कहलाता है। गुरुत्वाकर्षण के विपरीत, जो किसी पिंड पर लगाया जाने वाला एक गुरुत्वाकर्षण बल है, वजन एक समर्थन या निलंबन (यानी, एक लिंक) पर लगाया जाने वाला एक लोचदार बल है।
अवलोकनों से पता चलता है कि किसी पिंड P का वजन, स्प्रिंग स्केल पर निर्धारित, शरीर पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल Ft के बराबर होता है, केवल तभी जब पृथ्वी के सापेक्ष शरीर के तराजू आराम की स्थिति में हों या समान रूप से और सीधी रेखा में घूम रहे हों; इस मामले में
यदि शरीर त्वरित गति से चलता है, तो उसका वजन इस त्वरण के मूल्य और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की दिशा के सापेक्ष इसकी दिशा पर निर्भर करता है।
जब किसी पिंड को स्प्रिंग स्केल पर लटकाया जाता है, तो दो बल उस पर कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल Ft=mg और स्प्रिंग का लोचदार बल Fyp। यदि इस मामले में शरीर मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के सापेक्ष लंबवत ऊपर या नीचे चलता है, तो बलों का वेक्टर योग Ft और Fup एक परिणाम देता है, जिससे शरीर में त्वरण होता है, अर्थात।
Fт + Fуп=ma.
"वजन" की अवधारणा की उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, हम लिख सकते हैं कि P = -Fyп. इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि Ft=mg, यह इस प्रकार है कि mg-ma=-Fyп। इसलिए, P=m(g-a).
Fт और Fуп बल एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होते हैं। इसलिए, यदि शरीर का त्वरण नीचे की ओर निर्देशित है (यानी, यह मुक्त गिरावट जी के त्वरण के साथ दिशा में मेल खाता है), तो मापांक में
यदि शरीर का त्वरण ऊपर की ओर निर्देशित है (अर्थात, मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के विपरीत), तो
पी = एम = एम(जी+ए).
नतीजतन, उस पिंड का वजन जिसका त्वरण मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के साथ मेल खाता है, आराम कर रहे शरीर के वजन से कम है, और उस शरीर का वजन जिसका त्वरण मुक्त गिरावट के त्वरण की दिशा के विपरीत है, अधिक है आराम की स्थिति में शरीर के वजन से अधिक. इसकी त्वरित गति के कारण शरीर के वजन में होने वाली वृद्धि को अधिभार कहा जाता है।
मुक्त फ़ॉल में a=g. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस मामले में P = 0, यानी कोई भार नहीं है। इसलिए, यदि पिंड केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलते हैं (अर्थात स्वतंत्र रूप से गिरते हैं), तो वे भारहीनता की स्थिति में होते हैं। एक विशिष्ट विशेषतायह अवस्था स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंडों में विकृतियों की अनुपस्थिति है और आंतरिक तनाव, जो आराम कर रहे पिंडों में गुरुत्वाकर्षण के कारण होते हैं। पिंडों की भारहीनता का कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंड और उसके समर्थन (या निलंबन) को समान त्वरण प्रदान करता है।
वी. एम. ज़राज़ेव्स्की
प्रयोगशाला कार्य नं.
एक झुके हुए तल से एक ठोस शरीर को लुढ़काना
कार्य का उद्देश्य:रोलिंग के दौरान यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम की जाँच करना ठोसएक झुके हुए तल से.
उपकरण:झुका हुआ विमान, इलेक्ट्रॉनिक स्टॉपवॉच, विभिन्न द्रव्यमान के सिलेंडर।
सैद्धांतिक जानकारी
माना कि बेलन की त्रिज्या है आरऔर द्रव्यमान एमक्षितिज के साथ एक कोण α बनाते हुए एक झुके हुए तल पर लुढ़कता है (चित्र 1)। सिलेंडर पर तीन बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण पी = एमजी, ताकत सामान्य दबावप्रति सिलेंडर विमान एनऔर समतल पर सिलेंडर का घर्षण बल एफट्र. , इस विमान में लेटा हुआ।
सिलेंडर दो प्रकार की गति में एक साथ भाग लेता है: द्रव्यमान O के केंद्र की अनुवादात्मक गति और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष घूर्णी गति।
चूँकि गति के दौरान सिलेंडर समतल पर रहता है, झुके हुए तल के अभिलंब की दिशा में द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण शून्य होता है, इसलिए
पी∙cosα − एन = 0. (1)
एक झुके हुए विमान के साथ अनुवादीय गति की गतिशीलता का समीकरण घर्षण बल द्वारा निर्धारित किया जाता है एफट्र. और झुके हुए तल के साथ गुरुत्वाकर्षण घटक एमजी∙sinα:
एमए = एमजी∙sinα − एफट्र. , (2)
कहाँ ए- एक झुके हुए तल के अनुदिश सिलेंडर के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का त्वरण।
गतिशील समीकरण घूर्णी गतिद्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष रूप होता है
मैंε = एफट्र. आर, (3)
कहाँ मैं– जड़त्व आघूर्ण, ε – कोणीय त्वरण. गुरुत्वाकर्षण का क्षण और 
इस अक्ष के सापेक्ष शून्य है.
समीकरण (2) और (3) हमेशा मान्य होते हैं, भले ही सिलेंडर फिसलने के साथ या बिना फिसलने के साथ विमान के साथ चलता है। लेकिन इन समीकरणों से तीन अज्ञात मात्राएँ निर्धारित करना असंभव है: एफट्र. , एऔर ε, एक और अतिरिक्त शर्त आवश्यक है।
यदि घर्षण बल पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो सिलेंडर बिना फिसले झुके हुए पथ पर लुढ़कता है। फिर सिलेंडर की परिधि पर स्थित बिंदुओं को सिलेंडर के द्रव्यमान के केंद्र के समान पथ लंबाई की यात्रा करनी चाहिए। इस मामले में, रैखिक त्वरण एऔर कोणीय त्वरण ε संबंध से संबंधित हैं
ए = आरε.
(4) ए/आरसमीकरण (4) से ε =
.
(5)
. (3) में प्रतिस्थापन के बाद हमें प्राप्त होता है एफ(2) में प्रतिस्थापित करना
.
(6)
ट्र. (5) पर, हमें मिलता है
.
(7)
अंतिम संबंध से हम रैखिक त्वरण निर्धारित करते हैं
.
(8)
समीकरण (5) और (7) से घर्षण बल की गणना की जा सकती है: पी = एमजीघर्षण बल झुकाव के कोण α, गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है मैं/और दृष्टिकोण सेश्री
बिना फिसले लुढ़कते समय स्थैतिक घर्षण बल एक भूमिका निभाता है। स्थैतिक घर्षण बल की तरह रोलिंग घर्षण बल का अधिकतम मान μ के बराबर होता है एन. तब बिना फिसलन के लुढ़कने की शर्तें पूरी होंगी यदि
एफट्र. ≤ μ एन. (9)
(1) और (8) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
,
(10)
या, अंततः
.
(11)
सामान्य स्थिति में, द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में क्रांति के सजातीय सममित निकायों की जड़ता का क्षण इस प्रकार लिखा जा सकता है
मैं = किमी.आर 2 , (12)
कहाँ के= एक ठोस सिलेंडर (डिस्क) के लिए 0.5; के= 1 खोखली पतली दीवार वाले सिलेंडर (घेरा) के लिए; के= एक ठोस गेंद के लिए 0.4.
(12) को (11) में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम एक कठोर पिंड के लिए एक झुके हुए विमान से बिना फिसले लुढ़कने के लिए अंतिम मानदंड प्राप्त करते हैं:
.
(13)
चूँकि जब कोई ठोस वस्तु किसी ठोस सतह पर लुढ़कती है, तो रोलिंग घर्षण बल छोटा होता है, रोलिंग वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर होती है। समय के प्रारंभिक क्षण में, जब पिंड ऊंचाई पर झुके हुए तल के शीर्ष बिंदु पर होता है एच, इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा क्षमता के बराबर है:
डब्ल्यूएन = एमजीएच = एमजीएस∙sinα, (14)
कहाँ एस- द्रव्यमान के केंद्र द्वारा तय किया गया पथ।
एक लुढ़कते पिंड की गतिज ऊर्जा में गति के साथ द्रव्यमान के केंद्र की स्थानान्तरणीय गति की गतिज ऊर्जा शामिल होती है υ और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष गति ω के साथ घूर्णी गति:
.
(15)
बिना फिसले लुढ़कते समय, रैखिक और कोणीय वेग संबंध से संबंधित होते हैं
υ = आरω.
(16)
आइए हम गतिज ऊर्जा (15) के लिए अभिव्यक्ति को इसमें (16) और (12) प्रतिस्थापित करके रूपांतरित करें:
.
(18)
झुके हुए तल पर गति समान रूप से त्वरित होती है:
.
(19)
आइए हम (18) को (4) को ध्यान में रखते हुए रूपांतरित करें:
.
(20)
(17) और (19) को एक साथ हल करने पर, हम एक झुके हुए तल पर घूम रहे पिंड की गतिज ऊर्जा के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
स्थापना और माप विधि का विवरण
आप "प्लेन" यूनिट और इलेक्ट्रॉनिक स्टॉपवॉच SE1 का उपयोग करके एक झुके हुए विमान पर किसी पिंड के घूमने का अध्ययन कर सकते हैं, जो मॉड्यूलर शैक्षिक परिसर MUK-M2 का हिस्सा हैं। 
यू एमइंस्टॉलेशन एक झुका हुआ विमान 1 है, जिसे स्क्रू 2 (छवि 2) का उपयोग करके क्षितिज के विभिन्न कोणों α पर स्थापित किया जा सकता है। कोण α को स्केल 3 का उपयोग करके मापा जाता है। द्रव्यमान वाला एक सिलेंडर 4
. अलग-अलग वजन के दो रोलर्स का उपयोग प्रदान किया जाता है। रोलर्स को एक इलेक्ट्रोमैग्नेट 5 का उपयोग करके झुके हुए विमान के शीर्ष बिंदु पर तय किया जाता है, जिसे उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है
कार्य - आदेश
1. स्क्रू 2 को ढीला करें (चित्र 2), विमान को क्षैतिज से एक निश्चित कोण α पर सेट करें। रोलर 4 को एक झुके हुए तल पर रखें।
2. यांत्रिक इकाई के विद्युत चुम्बकों को नियंत्रित करने के लिए टॉगल स्विच को "सपाट" स्थिति में स्विच करें।
3. स्टॉपवॉच SE1 को मोड 1 पर सेट करें।
4. स्टॉपवॉच का स्टार्ट बटन दबाएँ। रोलिंग समय को मापें.
5. प्रयोग को पाँच बार दोहराएँ। माप परिणामों को तालिका में रिकॉर्ड करें। 1.
6. रोलिंग से पहले और बाद में यांत्रिक ऊर्जा के मान की गणना करें। एक निष्कर्ष निकालो।
7. अन्य समतल झुकाव कोणों के लिए चरण 1-6 दोहराएँ।
तालिका नंबर एक
|
टी मैं, सी |
(टी मैं − <टी>) 2 |
तौर तरीकों एस, एम |
टिल्ट एंगल |
रोलर, किग्रा |
डब्ल्यूपी, जे |
डब्ल्यूके, जे |
|
|
टी(ए, एन) |
<टी> |
å( टी मैं – <टी>) 2 |
Δ एस, एम |
Δ एम, किग्रा |
|||
8. दूसरे वीडियो के लिए चरण 1-7 दोहराएं। परिणामों को तालिका में रिकार्ड करें। 2, तालिका के समान। 1.
9. कार्य के सभी परिणामों के आधार पर निष्कर्ष निकालें।
सुरक्षा प्रश्न
1. यांत्रिकी में बलों के प्रकारों के नाम बताइए।
2. घर्षण बलों की भौतिक प्रकृति की व्याख्या करें।
3. घर्षण का गुणांक क्या है? इसका आकार?
4. कौन से कारक स्थैतिक, स्लाइडिंग और रोलिंग घर्षण के गुणांक को प्रभावित करते हैं?
5. लुढ़कने के दौरान किसी कठोर पिंड की गति की सामान्य प्रकृति का वर्णन करें।
6. झुके हुए तल पर लुढ़कने पर घर्षण आघूर्ण की दिशा क्या होती है?
7. जब एक सिलेंडर (गेंद) एक झुके हुए विमान के साथ लुढ़कता है तो गतिशीलता के समीकरणों की एक प्रणाली लिखें।
8. सूत्र (13) व्युत्पन्न करें।
9. सूत्र (20) व्युत्पन्न करें।
10. समान द्रव्यमान वाला गोला और बेलन एमऔर समान त्रिज्या आरएक साथ एक झुके हुए तल पर ऊंचाई से नीचे की ओर फिसलना शुरू करें एच. क्या वे एक साथ निचले बिंदु तक पहुंचेंगे ( एच = 0)?
11. लुढ़कती हुई वस्तु के ब्रेक लगने का कारण स्पष्ट कीजिए।
ग्रन्थसूची
1. सेवलीव, आई. वी. कोर्स सामान्य भौतिकी 3 खंडों में टी. 1 / आई. वी. सेवलीव। - एम.: नौका, 1989. - § 41-43.
2. खैकिन, एस.ई. यांत्रिकी की भौतिक नींव / एस.ई. खैकिन। - एम: नौका, 1971. - § 97.
3. ट्रोफिमोवा टी. आई. भौतिकी पाठ्यक्रम / टी. आई. ट्रोफिमोवा। – एम: उच्चतर. स्कूल, 1990. - § 16-19.
होने देना छोटा शरीरझुकाव के कोण के साथ एक झुके हुए विमान पर है (चित्र 14.3, ए). आइए जानें: 1) यदि कोई पिंड झुके हुए तल पर फिसलता है तो घर्षण बल क्या होता है; 2) यदि शरीर गतिहीन है तो घर्षण बल क्या है; 3) झुकाव कोण के किस न्यूनतम मान पर शरीर झुके हुए तल से फिसलना शुरू कर देता है।
ए) बी) 
घर्षण बल होगा बाधा पहुंचानागति, इसलिए, इसे झुके हुए तल के साथ ऊपर की ओर निर्देशित किया जाएगा (चित्र 14.3, बी). घर्षण बल के अलावा, गुरुत्वाकर्षण बल और सामान्य प्रतिक्रिया बल भी शरीर पर कार्य करते हैं। आइए समन्वय प्रणाली का परिचय दें एचओयू, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और समन्वय अक्षों पर इन सभी बलों के प्रक्षेपण खोजें:
एक्स: एफटी.आर. एक्स = –एफट्र, एन एक्स = 0, एमजी एक्स = एमजीसिना;
वाई:एफटी.आर. वाई = 0, एनवाई=एन, मिलीग्राम वाई = -मिलीग्रामकोसा.
चूँकि कोई पिंड केवल झुके हुए तल के अनुदिश अर्थात अक्ष के अनुदिश ही गति कर सकता है एक्स, तो यह स्पष्ट है कि अक्ष पर त्वरण वेक्टर का प्रक्षेपण वाईहमेशा शून्य रहेगा: और वाई= 0, जिसका अर्थ है अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग वाईशून्य भी होना चाहिए:
एफटी.आर. वाई + एन वाई + एमजी वाई= 0 Þ 0 + एन-मिलीग्रामकोसा = 0 Þ
एन = मिलीग्रामकोसा. (14.4)
तब सूत्र (14.3) के अनुसार फिसलने वाला घर्षण बल बराबर है:
एफ tr.sk = एम एन=एम एमजीकोसा. (14.5)
यदि शरीर टिकी हुई है, तो अक्ष पर शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के प्रक्षेपण का योग एक्सशून्य के बराबर होना चाहिए:
एफटी.आर. एक्स + एन एक्स + एमजी एक्स= 0 Þ – एफटीआर + 0 +मिग्रासिना = 0 Þ
एफटी.आर.पी = मिलीग्रामसिना. (14.6)
यदि हम धीरे-धीरे झुकाव के कोण को बढ़ाते हैं, तो मूल्य एमजीसीना धीरे-धीरे बढ़ेगी, जिसका अर्थ है कि स्थैतिक घर्षण बल भी बढ़ेगा, जो हमेशा "स्वचालित रूप से समायोजित" होता है बाहरी प्रभावऔर उसकी भरपाई करता है.
लेकिन, जैसा कि हम जानते हैं, स्थैतिक घर्षण बल की "संभावनाएँ" असीमित नहीं हैं। कुछ कोण 0 पर, स्थैतिक घर्षण बल का संपूर्ण "संसाधन" समाप्त हो जाएगा: यह स्लाइडिंग घर्षण बल के बराबर, अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाएगा। तब समानता सत्य होगी:
एफ tr.sk = मिलीग्रामसीना 0 .
इस समानता में मूल्य को प्रतिस्थापित करना एफ tr.sk सूत्र (14.5) से, हम प्राप्त करते हैं: एम एमजीकोसा 0= एमजीसीना 0 .
अंतिम समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करना एमजीकोसा 0, हमें मिलता है:
Þ 
ए 0 = आर्कटग्राम।
तो, वह कोण a जिस पर पिंड झुके हुए तल पर फिसलना शुरू करता है, सूत्र द्वारा दिया जाता है:
ए 0 = आर्कटग्राम। (14.7)
ध्यान दें कि यदि a = a 0 है, तो पिंड या तो गतिहीन पड़ा रह सकता है (यदि आप इसे नहीं छूते हैं) या फिसल सकता है निरंतर गतिझुके हुए तल के नीचे (यदि आप इसे थोड़ा धक्का देते हैं)। यदि एक< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a >a 0, तो पिंड त्वरण के साथ और बिना किसी झटके के झुके हुए तल से फिसल जाएगा।
समस्या 14.1.एक आदमी दो स्लेजों को एक-दूसरे से जोड़कर ले जा रहा है (चित्र 14.4)। ए), बल लगाना एफक्षैतिज से एक कोण पर। स्लेज का द्रव्यमान समान और समान है टी. बर्फ पर धावकों का घर्षण गुणांक m. स्लेज का त्वरण और तनाव बल ज्ञात करें टीस्लेज के बीच रस्सियाँ, साथ ही बल भी एफ 1, जिससे स्लेज को समान रूप से चलने के लिए एक व्यक्ति को रस्सी खींचनी होगी।
| एफपूर्वाह्न एम |
 ए)
|  बी)चावल। 14.4 |
| ए = ? टी = ? एफ 1 = ? |
समाधान. आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में प्रत्येक स्लेज के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखें एक्सऔर पर(चित्र 14.4, बी):
मैं पर: एन 1 + एफसिना - एमजी = 0, (1)
एक्स: एफकोसा - टी- एम एन 1 = एमए; (2)
द्वितीय पर: एन 2 – एमजी = 0, (3)
एक्स: टी- एम एन 2 = एमए. (4)
(1) से हम पाते हैं एन 1 = एमजी-एफसिना, (3) और (4) से हम पाते हैं टी =एम एमजी++एमए.इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एन 1 और टी(2) में, हमें मिलता है
.
स्थानापन्न ए(4) में, हम पाते हैं
टी= एम एन 2 + एमए= एम एमजी + वह =
एम एमजी + टी 
.
ढूँढ़ने के लिए एफ 1, आइए हम अभिव्यक्ति को समान करें एशून्य करने के लिए:
उत्तर: ; 
;
.
रुकना! स्वयं निर्णय लें: बी1, बी6, सी3।
समस्या 14.2.द्रव्यमान वाले दो शरीर टीऔर एमचित्र में दिखाए अनुसार धागे से बांधा गया है। 14.5, ए. शरीर किस त्वरण से गति कर रहा है? एम, यदि मेज की सतह पर घर्षण का गुणांक m है। धागे का तनाव क्या है टी? ब्लॉक अक्ष पर दबाव का बल क्या है?
| टी एमएम | समाधान। आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में न्यूटन का दूसरा नियम लिखें एक्स 1 और एक्स 2 (चित्र 14.5, बी), ध्यान में रख कर: एक्स 1: टी -एम मिलीग्राम = एमए, (1) एक्स 2: एमजी - टी = मा. (2) समीकरणों (1) और (2) की प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं: |
| ए = ? टी = ? आर = ? |
यदि भार नहीं चलता, तो।
उत्तर: 1) यदि टी < mएम, वह ए = 0, टी = एमजी, ; 2) यदि टी³ मी एम, वह , 
, 
.
रुकना! अपने लिए निर्णय लें: B9–B11, C5.
समस्या 15.3.द्रव्यमान वाले दो शरीर टी 1 और टी 2 एक ब्लॉक के ऊपर फेंके गए धागे से जुड़े हुए हैं (चित्र 14.6)। शरीर टी 1 झुकाव के कोण के साथ एक झुके हुए विमान पर है। समतल के परितः घर्षण गुणांक m. शरीर का भार टी 2 धागे पर लटका हुआ। पिंडों का त्वरण, धागे का तनाव बल और अक्ष पर ब्लॉक के दबाव बल का पता लगाएं, बशर्ते कि टी 2 < टी 1. tga > m पर विचार करें।
चावल। 14.7 
आइए अक्ष पर प्रक्षेपण में न्यूटन का दूसरा नियम लिखें एक्स 1 और एक्स 2, यह देखते हुए और:
एक्स 1: टी 1 जीसिना - टी -एम एम 1 जीकोसा = एम 1 ए,
एक्स 2: टी-एम 2 जी = एम 2 ए.
, .
क्योंकि ए>0, फिर
यदि असमानता (1) संतुष्ट नहीं है, तो भार टी 2 निश्चित रूप से आगे नहीं बढ़ रहा है! फिर दो और विकल्प संभव हैं: 1) सिस्टम गतिहीन है; 2) माल टी 2 नीचे चला जाता है (और भार टी 1, क्रमशः, ऊपर)।
चलिए मान लेते हैं कि लोड टी 2 नीचे की ओर बढ़ता है (चित्र 14.8)।
चावल। 14.8 
फिर अक्ष पर न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण एक्स 1 और एक्स 2 इस तरह दिखेगा:
एक्स 1: टी - टी 1 जीसिना – एम एम 1 जीकोसा = एम 1 ए,
एक्स 2: एम 2 जी - टी = एम 2 ए.
समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं:
, .
क्योंकि ए>0, फिर
इसलिए, यदि असमानता (1) संतुष्ट है, तो भार टी 2 ऊपर जाता है, और यदि असमानता (2) संतुष्ट हो जाती है, तो नीचे। इसलिए, यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, यानी।
,
प्रणाली गतिहीन है.
यह ब्लॉक अक्ष पर दबाव बल का पता लगाना बाकी है (चित्र 14.9)। ब्लॉक अक्ष पर दबाव बल आरवी इस मामले मेंएक समचतुर्भुज के विकर्ण के रूप में पाया जा सकता है ए बी सी डी. क्योंकि
Ð एडीसी= 180° – 2,
जहाँ b = 90°- a, तो कोसाइन प्रमेय द्वारा
आर 2 = .
यहाँ से 
.
उत्तर:
1) यदि 
, वह , 
;
2) यदि 
, वह 
, ;
3) यदि , वह ए = 0; टी = टी 2 जी.
सभी मामलों में .
रुकना! स्वयं निर्णय लें: बी13, बी15।
समस्या 14.4.तौलने वाली ट्रॉली पर एमक्षैतिज बल कार्य करता है एफ(चित्र 14.10, ए). भार के बीच घर्षण गुणांक टीऔर कार्ट m के बराबर है। भार का त्वरण ज्ञात कीजिए। न्यूनतम बल कितना होना चाहिए एफलोड करने के लिए 0 टीगाड़ी पर सरकना शुरू कर दिया?
| एम, टी एफएम |
 ए)
|  बी)चावल। 14.10 |
| ए 1 = ? ए 2 = ? एफ 0 = ? | ||
समाधान. सबसे पहले, ध्यान दें कि भार को चलाने वाला बल टीगति में स्थैतिक घर्षण बल है जिसके साथ गाड़ी भार पर कार्य करती है। अधिकतम संभव अर्थयह बल m के बराबर है एमजी.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, भार गाड़ी पर समान बल से कार्य करता है - (चित्र 14.10, बी). स्लिप उस समय शुरू होती है जब यह पहले से ही अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच चुकी होती है, लेकिन सिस्टम अभी भी द्रव्यमान के एक पिंड के रूप में घूम रहा है टी+एमत्वरण के साथ. फिर न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार
26 किलोग्राम का एक द्रव्यमान 13 मीटर लंबे और 5 मीटर ऊंचे झुके हुए विमान पर रखा हुआ है। घर्षण गुणांक 0.5 है. भार को खींचने के लिए समतल के अनुदिश भार पर कौन सा बल लगाया जाना चाहिए? भार चुराने के लिए
समाधान
यदि गति के प्रतिरोध का गुणांक 0.05 है, तो 20° के झुकाव कोण के साथ एक ओवरपास पर 600 किलोग्राम वजन वाली ट्रॉली को उठाने के लिए कितना बल लगाया जाना चाहिए
समाधान
संचालन करते समय प्रयोगशाला कार्यनिम्नलिखित डेटा प्राप्त किए गए: झुके हुए विमान की लंबाई 1 मीटर है, ऊंचाई 20 सेमी है, लकड़ी के ब्लॉक का द्रव्यमान 200 ग्राम है, जब ब्लॉक ऊपर की ओर बढ़ता है तो कर्षण बल 1 एन होता है। घर्षण का गुणांक ज्ञात करें
समाधान
2 किग्रा द्रव्यमान का एक गुटका 50 सेमी लंबे और 10 सेमी ऊंचे झुके हुए तल पर टिका हुआ है। विमान के समानांतर स्थित डायनेमोमीटर का उपयोग करके, ब्लॉक को पहले झुके हुए विमान पर खींचा गया और फिर नीचे खींचा गया। डायनेमोमीटर रीडिंग में अंतर ज्ञात करें
समाधान
झुकाव के कोण α के साथ एक झुके हुए विमान पर गाड़ी को पकड़ने के लिए, झुके हुए विमान के साथ ऊपर की ओर निर्देशित एक बल F1 लागू करना आवश्यक है, और इसे ऊपर की ओर उठाने के लिए, एक बल F2 लागू करना आवश्यक है। ड्रैग गुणांक ज्ञात कीजिए
समाधान
झुका हुआ तल क्षैतिज से α = 30° के कोण पर स्थित है। घर्षण गुणांक μ के किस मान पर किसी भार को लंबवत उठाने की तुलना में उसके साथ खींचना अधिक कठिन है?
समाधान
5 मीटर लंबे और 3 मीटर ऊंचे झुके हुए विमान पर 50 किलोग्राम का द्रव्यमान है। इस भार को धारण करने के लिए विमान के अनुदिश कौन सा बल लगाया जाना चाहिए? समान रूप से ऊपर खींचें? 1 m/s2 के त्वरण से खींचें? घर्षण गुणांक 0.2
समाधान
4 टन वजनी एक कार 0.2 m/s2 के त्वरण से ऊपर की ओर बढ़ती है। यदि ढलान 0.02 है और कर्षण गुणांक 0.04 है तो कर्षण बल ज्ञात कीजिए
समाधान
3000 टन वजनी एक ट्रेन 0.003 की ढलान से नीचे चलती है। गति के प्रतिरोध का गुणांक 0.008 है। यदि लोकोमोटिव का कर्षण बल है तो ट्रेन किस त्वरण से चलती है: ए) 300 केएन; बी) 150 केएन; ग) 90 के.एन
समाधान
300 किलोग्राम वजन वाली एक मोटरसाइकिल सड़क के क्षैतिज खंड पर आराम से चलने लगी। फिर सड़क 0.02 के बराबर ढलान पर चली गई। मोटरसाइकल ने चलने के 10 सेकंड बाद कितनी गति प्राप्त की, यदि इस समय उसने सड़क के क्षैतिज भाग को आधा तय किया? कर्षण बल और गति के प्रतिरोध का गुणांक पूरे पथ में स्थिर रहता है और क्रमशः 180 N और 0.04 के बराबर होता है
समाधान
2 किग्रा द्रव्यमान का एक ब्लॉक 30° के झुकाव कोण वाले एक झुके हुए तल पर रखा गया है। क्षैतिज रूप से निर्देशित कौन सा बल (चित्र 39), ब्लॉक पर लगाया जाना चाहिए ताकि यह झुके हुए विमान के साथ समान रूप से आगे बढ़े? ब्लॉक और झुके हुए तल के बीच घर्षण का गुणांक 0.3 है
समाधान
रूलर पर एक छोटी वस्तु (रबर बैंड, सिक्का, आदि) रखें। धीरे-धीरे रूलर के सिरे को तब तक उठाएं जब तक कि वस्तु फिसलने न लगे। परिणामी झुके हुए तल की ऊँचाई h और आधार b मापें और घर्षण के गुणांक की गणना करें
समाधान
घर्षण गुणांक μ = 0.2 के साथ झुकाव कोण α = 30° के साथ एक झुकाव वाले विमान के साथ एक ब्लॉक किस त्वरण के साथ स्लाइड करता है
समाधान
जिस समय पहला पिंड एक निश्चित ऊंचाई h से स्वतंत्र रूप से गिरना शुरू हुआ, दूसरा पिंड समान ऊंचाई h और लंबाई l = nh वाले झुके हुए विमान से बिना घर्षण के फिसलना शुरू कर दिया। झुके हुए तल के आधार पर पिंडों के अंतिम वेग और उनकी गति के समय की तुलना करें।
