सम्मिश्र संख्याएँ समीकरण उदाहरणों को हल करती हैं। सम्मिश्र संख्याओं वाले समीकरणों के व्यंजक, समीकरण और प्रणालियाँ

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"वोरोनिश राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय"

एग्लेब्रा और ज्यामिति विभाग

जटिल आंकड़े

(चयनित कार्य)

स्नातक योग्यता कार्य

विशेषता 050201.65 गणित

(अतिरिक्त विशेषज्ञता के साथ 050202.65 कंप्यूटर विज्ञान)

द्वारा पूरा किया गया: 5वें वर्ष का छात्र

भौतिक और गणितीय

संकाय

वैज्ञानिक सलाहकार:

वोरोनिश - 2008

1 परिचय……………………………………………………...…………..…

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप….……...……….….

2.2. सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या………………

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

2.4. तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान के लिए सम्मिश्र संख्याओं के सिद्धांत का अनुप्रयोग…………………………………………………………

2.5. सम्मिश्र संख्याएँ और पैरामीटर…………………………………….

3. निष्कर्ष…………………………………………………………………….

4. सन्दर्भों की सूची……………………………………………………

1 परिचय

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, संख्या सिद्धांत को प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय, अपरिमेय, यानी के सेट के उदाहरणों का उपयोग करके पेश किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के सेट पर, जिनकी छवियाँ पूरी संख्या रेखा को भरती हैं। लेकिन पहले से ही 8वीं कक्षा में नकारात्मक विभेदक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वास्तविक संख्याओं की पर्याप्त आपूर्ति नहीं है। इसलिए, जटिल संख्याओं की सहायता से वास्तविक संख्याओं के भंडार को फिर से भरना आवश्यक था, जिसके लिए वर्गमूल ऋणात्मक संख्याका अर्थ है.

अपने स्नातक विषय के रूप में "सम्मिश्र संख्याएँ" विषय को चुनना योग्यता कार्य, यह है कि एक जटिल संख्या की अवधारणा संख्या प्रणालियों के बारे में, बीजीय और ज्यामितीय सामग्री दोनों की समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के बारे में, हल करने के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार करती है बीजगणितीय समीकरणकिसी भी डिग्री और मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के बारे में।

यह थीसिस 82 समस्याओं के समाधान की जांच करती है।

मुख्य अनुभाग "कॉम्प्लेक्स नंबर" के पहले भाग में समस्याओं के समाधान शामिल हैं जटिल आंकड़ेबीजगणितीय रूप में जोड़, घटाव, गुणा, भाग की संक्रियाएं, बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के लिए संयुग्मन संक्रिया, एक काल्पनिक इकाई की शक्ति, एक जटिल संख्या के मापांक को परिभाषित किया जाता है, और निष्कर्षण नियम भी बताया गया है वर्गमूलएक सम्मिश्र संख्या से.

दूसरे भाग में, जटिल तल के बिंदुओं या सदिशों के रूप में जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की समस्याओं का समाधान किया जाता है।

तीसरा भाग त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं की जाँच करता है। उपयोग किए गए सूत्र हैं: मोइवर और एक सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना।

चौथा भाग तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।

अंतिम भाग, "जटिल संख्याएँ और पैरामीटर" में समस्याओं को हल करते समय, पिछले भागों में दी गई जानकारी का उपयोग और समेकित किया जाता है। अध्याय में समस्याओं की एक श्रृंखला एक पैरामीटर के साथ समीकरणों (असमानताओं) द्वारा परिभाषित जटिल विमान में रेखाओं के परिवारों को निर्धारित करने के लिए समर्पित है। अभ्यास के भाग में आपको एक पैरामीटर (फ़ील्ड सी पर) के साथ समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है। ऐसे कार्य हैं जहां एक जटिल चर एक साथ कई शर्तों को पूरा करता है। इस खंड में समस्याओं को हल करने की एक विशेष विशेषता उनमें से कई को एक पैरामीटर के साथ दूसरी डिग्री, तर्कहीन, त्रिकोणमितीय समीकरणों (असमानताओं, प्रणालियों) के समाधान में कम करना है।

प्रत्येक भाग में सामग्री की प्रस्तुति की एक विशेषता प्रारंभिक इनपुट है सैद्धांतिक संस्थापना, और बाद में समस्याओं को हल करने में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग।

अंत में थीसिसप्रयुक्त साहित्य की एक सूची प्रस्तुत की गई है। उनमें से अधिकांश सैद्धांतिक सामग्री को पर्याप्त विस्तार और सुलभ तरीके से प्रस्तुत करते हैं, कुछ समस्याओं के समाधान पर विचार करते हैं और देते हैं व्यावहारिक कार्यके लिए स्वतंत्र निर्णय. विशेष ध्यानमैं ऐसे स्रोतों का उल्लेख करना चाहूंगा:

1. गोर्डिएन्को एन.ए., बेलीयेवा ई.एस., फर्स्टोव वी.ई., सेरेब्रीकोवा आई.वी. सम्मिश्र संख्याएँ और उनके अनुप्रयोग: पाठ्यपुस्तक। . सामग्री शिक्षक का सहायकव्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया गया।

2. शक्लार्स्की डी.ओ., चेंटसोव एन.एन., याग्लोम आई.एम. प्रारंभिक गणित की चयनित समस्याएँ और प्रमेय। अंकगणित और बीजगणित. पुस्तक में बीजगणित, अंकगणित और संख्या सिद्धांत से संबंधित 320 समस्याएं हैं। ये कार्य मानक स्कूल कार्यों से प्रकृति में काफी भिन्न हैं।

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

गणित और भौतिकी में कई समस्याओं का समाधान बीजगणितीय समीकरणों को हल करने में आता है, यानी। प्रपत्र के समीकरण

,

जहाँ a0, a1, …, an वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए, बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन इनमें से एक है गंभीर समस्याएंगणित में। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के साथ नकारात्मक विभेदक. ऐसा सबसे सरल समीकरण समीकरण है

.

इस समीकरण का समाधान पाने के लिए, समीकरण के मूल को जोड़कर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करना आवश्यक है

.

आइए हम इस मूल को इससे निरूपित करें

. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, या,

इस तरह,

. काल्पनिक इकाई कहलाती है। इसकी सहायता से तथा वास्तविक संख्याओं के युग्म की सहायता से रूप की अभिव्यक्ति संकलित की जाती है।

परिणामी अभिव्यक्ति को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता था क्योंकि उनमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते थे।

अत: सम्मिश्र संख्याएँ रूप के व्यंजक हैं

, और वास्तविक संख्याएं हैं, और एक निश्चित प्रतीक है जो शर्त को पूरा करता है। संख्या किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाती है और संख्या उसका काल्पनिक भाग कहलाती है। इन्हें दर्शाने के लिए प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ हैं और इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

पूर्णतः काल्पनिक कहलाते हैं। रूप की दो सम्मिश्र संख्याएँ समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों, अर्थात्। यदि समानताएं, .

जटिल संख्याओं का बीजगणितीय अंकन उन पर बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार संचालन की अनुमति देता है।

सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको मूल परिभाषाओं को समझने की आवश्यकता है। इस समीक्षा लेख का मुख्य लक्ष्य यह समझाना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के तरीके प्रस्तुत करना है। अतः, एक सम्मिश्र संख्या को रूप की एक संख्या कहा जाएगा z = ए + द्वि, कहाँ ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, और निरूपित करते हैं a = Re(z), b=Im(z).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 = -1. विशेष रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0आई, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी ≠ 0, तो वह संख्या आमतौर पर पूर्णतः काल्पनिक कहलाती है।

आइए अब सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं का परिचय दें।
दो जटिल संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

चलो गौर करते हैं z = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में समुच्चय का विस्तार करता है भिन्नात्मक संख्याएंवगैरह। निवेश की इस श्रृंखला को चित्र में देखा जा सकता है: N - पूर्णांकों, Z - पूर्णांक, Q - परिमेय, R - वास्तविक, C - सम्मिश्र।

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

बीजगणितीय संकेतन.

एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें z = ए + द्वि, सम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहा जाता है बीजगणितीय. रिकॉर्डिंग के इस रूप पर हम पहले ही पिछले अनुभाग में विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। निम्नलिखित दृश्य रेखाचित्र का प्रयोग अक्सर किया जाता है

त्रिकोणमितीय रूप.

चित्र से पता चलता है कि संख्या z = ए + द्विअलग ढंग से लिखा जा सकता है. यह तो स्पष्ट है ए = आरसीओएस(φ), बी = आरएसआईएन(φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है। किसी सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहा जाता है त्रिकोणमितीय रूप. अंकन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात अर्थात् यदि तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है z = rcos(φ) + rsin(φ)i, वह z n = r n cos(nφ) + r n syn(nφ)i, इस सूत्र को कहा जाता है मोइवरे का सूत्र.

प्रदर्शनात्मक रूप.

चलो गौर करते हैं z = rcos(φ) + rsin(φ)i- त्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या, इसे दूसरे रूप में लिखें z = r(cos(φ) + पाप(φ)i) = पुनः iφ, अंतिम समानता यूलर के सूत्र का अनुसरण करती है, इसलिए हमें मिलता है नई वर्दीजटिल संख्या संकेतन: z = reiφ, जिसे कहा जाता है सूचक. किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए अंकन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: z n = r n e inφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। समस्याओं को हल करने के लिए अंकन के इस रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

आइए कल्पना करें कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। जाहिर है, इस समीकरण का विभेदक नकारात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन यह पता चला है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि घात n वाले किसी भी बहुपद में, उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए, बिल्कुल n जटिल मूल होते हैं। यह प्रमेय गणित में बहुत महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि बिल्कुल n हैं विभिन्न जड़ेंएकता की डिग्री एन.

कार्यों के मुख्य प्रकार

यह अनुभाग मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्याओं के लिए. परंपरागत रूप से, जटिल संख्याओं से जुड़ी समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना.
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करना।

अब आइये विचार करें सामान्य तकनीकेंइन समस्याओं का समाधान.

जटिल संख्याओं के साथ सबसे सरल अंकगणितीय संचालन पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार किए जाते हैं, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में आप उन्हें बीजगणितीय रूप में परिवर्तित कर सकते हैं और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन कर सकते हैं।

बहुपदों के मूल ज्ञात करना आमतौर पर द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने तक ही सीमित होता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विभेदक गैर-नकारात्मक है, तो इसकी जड़ें वास्तविक होंगी और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाई जा सकती हैं। यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात, डी = -1∙ए 2, कहाँ एएक निश्चित संख्या है, तो विवेचक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है डी = (आइए) 2, इस तरह √D = i|a|, और फिर आप उपयोग कर सकते हैं सुप्रसिद्ध सूत्रद्विघात समीकरण की जड़ों के लिए.

उदाहरण. आइए ऊपर बताई गई बातों पर वापस जाएं। द्विघात समीकरणएक्स 2 + एक्स + 1 = 0 .
विभेदक - डी = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घातों तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आपको बीजगणितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या को छोटी घात (2 या 3) तक बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप इसे प्रत्यक्ष गुणन द्वारा कर सकते हैं, लेकिन यदि घात बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको इसकी आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातांकीय रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और इसे दसवीं घात तक बढ़ाएँ।
आइए z को घातीय रूप में लिखें: z = √2 e iπ/4.
तब z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
आइए बीजगणितीय रूप पर वापस लौटें: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना घातांक की व्युत्क्रम क्रिया है और इसलिए इसे समान तरीके से किया जाता है। मूल निकालने के लिए, किसी संख्या को लिखने के घातांकीय रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उदाहरण. आइए एकता की डिग्री 3 के सभी मूल खोजें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 के सभी मूल ढूंढेंगे, हम मूलों को घातांकीय रूप में देखेंगे।
आइए समीकरण में प्रतिस्थापित करें: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए φ = 2πk/3।
φ = 0, 2π/3, 4π/3 पर विभिन्न मूल प्राप्त होते हैं।
इसलिए 1, e i2π/3, e i4π/3 मूल हैं।
या बीजगणितीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में समस्याओं की एक विशाल विविधता शामिल है और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। आइए ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण दें:

राशि ज्ञात कीजिये पाप(x) + पाप(2x) + पाप(2x) + … + पाप(nx).

हालाँकि इस समस्या के सूत्रीकरण में जटिल संख्याएँ शामिल नहीं हैं, फिर भी उनकी सहायता से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि अब हम इस निरूपण को योग में प्रतिस्थापित कर दें, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग तक कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संचालन की जांच की गई, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन किया गया और संक्षेप में वर्णित किया गया सामान्य तरीकेउनके समाधानों के लिए, जटिल संख्याओं की क्षमताओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए विशेष साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

साहित्य

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] की गणना करें यदि \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरलीकृत कर निम्नलिखित स्वरूप में लाने की आवश्यकता है

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

अभिव्यक्ति \ कहती है कि सबसे पहले हम मोइवर सूत्र का उपयोग करके गुणा करते हैं और 10वीं घात तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र किसी सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही बनाते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हम 4 मोड़ों को "मोड़" सकते हैं \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसमें दूसरी संख्या को बीजगणितीय रूप में लाना, फिर बीजगणितीय रूप में गुणा करना, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में परिवर्तित करना और मोइवर के सूत्र को लागू करना शामिल है:

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