यादृच्छिक चर के वितरण को चिह्नित करने के लिए संख्यात्मक विशेषताओं का विशेष महत्व है जिन्हें प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण कहा जाता है।
आरंभिक क्षण क-वाँ क्रम α क(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स क-इस मात्रा की शक्ति, यानी
α क(एक्स) = एम(एक्स के) (6.8)
सूत्र (6.8) विभिन्न के लिए गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के कारण यादृच्छिक चरइसका अपना रूप है, अर्थात्, मूल्यों के एक सीमित सेट के साथ एक अलग यादृच्छिक चर के लिए
एक सतत यादृच्छिक चर के लिए
, (6.10)
कहाँ एफ(एक्स) - यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व एक्स.
अभिन्न अनुचितसूत्र में (6.10) बदल जाता है समाकलन परिभाषित करेंएक सीमित अंतराल पर, यदि सतत यादृच्छिक चर के मान केवल इस अंतराल में मौजूद हैं।
पहले शुरू की गई संख्यात्मक विशेषताओं में से एक है अपेक्षित मूल्य- पहले क्रम के प्रारंभिक क्षण से अधिक कुछ नहीं है, या, जैसा कि वे कहते हैं, पहला प्रारंभिक क्षण:
एम(एक्स) = α 1 (एक्स).
पिछले पैराग्राफ में, एक केंद्रित यादृच्छिक चर की अवधारणा पेश की गई थी एचएम(एक्स). यदि इस मात्रा को ही मुख्य मान लिया जाय तो इसके प्रारम्भिक क्षण भी खोजे जा सकते हैं। परिमाण के लिए ही एक्सये क्षण केन्द्रीय कहे जायेंगे।
केंद्रीय क्षण क-वाँ क्रम μ क(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सगणितीय अपेक्षा कहलाती है क-केंद्रित यादृच्छिक चर की शक्ति, यानी
μ क(एक्स) = एम[(एचएम(एक्स))क] (6.11)
दूसरे शब्दों में, केंद्रीय बिंदु क-वां क्रम गणितीय अपेक्षा है कविचलन की वें डिग्री.
केंद्रीय क्षण कमानों के एक सीमित सेट के साथ एक असतत यादृच्छिक चर का वां क्रम सूत्र द्वारा पाया जाता है:
, (6.12)
सूत्र का उपयोग करके सतत यादृच्छिक चर के लिए:
(6.13)
भविष्य में, जब यह स्पष्ट हो जाएगा कि हम किस प्रकार के यादृच्छिक चर के बारे में बात कर रहे हैं, तो हम इसे प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों के लिए नोटेशन में नहीं लिखेंगे, अर्थात। के बजाय α क(एक्स) और μ क(एक्स) हम बस लिखेंगे α कऔर μ क .
यह स्पष्ट है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर है, क्योंकि यह विचलन की गणितीय अपेक्षा से अधिक कुछ नहीं है, जो कि पहले सिद्ध के अनुसार शून्य के बराबर है, यानी। .
यह समझना मुश्किल नहीं है कि एक यादृच्छिक चर का दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण है एक्ससमान यादृच्छिक चर के विचरण के साथ मेल खाता है, अर्थात
इसके अलावा, प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों को जोड़ने वाले निम्नलिखित सूत्र हैं:
तो, पहले और दूसरे क्रम के क्षण (गणितीय अपेक्षा और फैलाव) सबसे अधिक विशेषता रखते हैं महत्वपूर्ण विशेषताएंवितरण: इसकी स्थिति और मूल्यों के बिखराव की डिग्री। अधिक जानकारी के लिए विस्तृत विवरणवितरण उच्च ऑर्डर के क्षण हैं। चलिए दिखाते हैं.
आइए मान लें कि एक यादृच्छिक चर का वितरण उसकी गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है। तब सभी विषम क्रम वाले केंद्रीय क्षण, यदि वे मौजूद हैं, शून्य के बराबर हैं। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, वितरण की समरूपता के कारण, मात्रा के प्रत्येक सकारात्मक मान के लिए एक्स − एम(एक्स) इसके परिमाण के बराबर एक ऋणात्मक मान होता है, और इन मानों की संभावनाएँ समान होती हैं। नतीजतन, सूत्र (6.12) में योग में परिमाण में समान लेकिन संकेत में भिन्न पदों के कई जोड़े होते हैं, जो योग करने पर एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। इस प्रकार, पूरी राशि, यानी. किसी भी विषम क्रम के असतत यादृच्छिक चर का केंद्रीय क्षण शून्य है। इसी प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर के किसी भी विषम क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होता है, जैसा कि एक विषम फ़ंक्शन की सममित सीमा में अभिन्न होता है।
यह मानना स्वाभाविक है कि यदि किसी विषम क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण स्वयं गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित नहीं होगा। इसके अलावा, केंद्रीय क्षण शून्य से जितना अधिक भिन्न होता है, वितरण में विषमता उतनी ही अधिक होती है। आइए हम सबसे छोटे विषम क्रम के केंद्रीय क्षण को विषमता की विशेषता के रूप में लें। चूंकि किसी भी वितरण वाले यादृच्छिक चर के लिए प्रथम-क्रम केंद्रीय क्षण शून्य है, इसलिए इस उद्देश्य के लिए तीसरे-क्रम केंद्रीय क्षण का उपयोग करना बेहतर है। हालाँकि, इस क्षण में एक यादृच्छिक चर के घन का आयाम है। इस खामी से छुटकारा पाने और आयामहीन यादृच्छिक चर की ओर बढ़ने के लिए, केंद्रीय क्षण के मान को मानक विचलन के घन से विभाजित करें।
विषमता गुणांक जैसा या केवल विषमतातीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का मानक विचलन के घन से अनुपात कहा जाता है, अर्थात।
कभी-कभी विषमता को "तिरछापन" कहा जाता है और नामित किया जाता है एस केक्या से आता है अंग्रेज़ी शब्दतिरछा - "तिरछा"।
यदि विषमता गुणांक ऋणात्मक है, तो इसका मान ऋणात्मक पदों (विचलन) से अत्यधिक प्रभावित होता है और वितरण पर प्रभाव पड़ेगा वाम विषमता, और वितरण ग्राफ (वक्र) गणितीय अपेक्षा के बाईं ओर सपाट है। यदि गुणांक सकारात्मक है, तो विषमता सही, और वक्र गणितीय अपेक्षा के दाईं ओर चपटा है (चित्र 6.1)।
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जैसा कि दिखाया गया है, गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को चिह्नित करने के लिए, दूसरे केंद्रीय क्षण का उपयोग किया जाता है, अर्थात। फैलाव. अगर ये पल बहुत महत्वपूर्ण है अंकीय मान, तो इस यादृच्छिक चर में मूल्यों का एक बड़ा बिखराव होता है और संबंधित वितरण वक्र में उस वक्र की तुलना में एक सपाट आकार होता है जिसके लिए दूसरे केंद्रीय क्षण का मान छोटा होता है। इसलिए, दूसरा केंद्रीय क्षण, कुछ हद तक, "फ्लैट-टॉप" या "शार्प-टॉप" वितरण वक्र की विशेषता बताता है। हालाँकि, यह विशेषता बहुत सुविधाजनक नहीं है। दूसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का आयाम है वर्ग के बराबरएक यादृच्छिक चर के आयाम. यदि हम क्षण मान को मानक विचलन के वर्ग से विभाजित करके एक आयामहीन मात्रा प्राप्त करने का प्रयास करते हैं, तो किसी भी यादृच्छिक चर के लिए हमें प्राप्त होता है: 
. इस प्रकार, यह गुणांक किसी यादृच्छिक चर के वितरण की कोई विशेषता नहीं हो सकता है। यह सभी वितरणों के लिए समान है। इस स्थिति में, चौथे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग किया जा सकता है।
अधिकता इक सूत्र द्वारा निर्धारित मात्रा है
(6.15)
कर्टोसिस का उपयोग मुख्य रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के लिए किया जाता है और वितरण वक्र की तथाकथित "स्थिरता" को चिह्नित करने के लिए कार्य करता है, या अन्यथा, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, "फ्लैट-टॉप" या "तेज-टॉप" वितरण वक्र को चिह्नित करने के लिए। संदर्भ वितरण वक्र को वक्र माना जाता है सामान्य वितरण(इस पर अगले अध्याय में विस्तार से चर्चा की जाएगी)। एक सामान्य नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, समानता कायम रहती है। इसलिए, सूत्र (6.15) द्वारा दिया गया कर्टोसिस इस वितरण की तुलना सामान्य वितरण से करने का कार्य करता है, जिसके लिए कर्टोसिस शून्य के बराबर है।
यदि किसी यादृच्छिक चर के लिए सकारात्मक कर्टोसिस प्राप्त किया जाता है, तो इस मान का वितरण वक्र सामान्य वितरण वक्र की तुलना में अधिक चरम पर होता है। यदि कर्टोसिस ऋणात्मक है, तो वक्र सामान्य वितरण वक्र की तुलना में अधिक सपाट-शीर्ष वाला होता है (चित्र 6.2)।
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आइए अब हम असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए विशिष्ट प्रकार के वितरण कानूनों पर आगे बढ़ें।
स्थिति विशेषताओं के अलावा - औसत, एक यादृच्छिक चर के विशिष्ट मान - कई विशेषताओं का उपयोग किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक वितरण की एक या किसी अन्य संपत्ति का वर्णन करता है। तथाकथित क्षणों को अक्सर ऐसी विशेषताओं के रूप में उपयोग किया जाता है।
द्रव्यमान के वितरण (स्थैतिक क्षण, जड़ता के क्षण, आदि) का वर्णन करने के लिए यांत्रिकी में क्षण की अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यादृच्छिक चर के वितरण के मूल गुणों का वर्णन करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत में बिल्कुल उसी तकनीक का उपयोग किया जाता है। अभ्यास में प्रायः दो प्रकार के क्षणों का उपयोग किया जाता है: प्रारंभिक और केंद्रीय।
एक असंतत यादृच्छिक चर के sth क्रम का प्रारंभिक क्षण इस रूप का योग है:
. (5.7.1)
जाहिर है, यह परिभाषा यांत्रिकी में क्रम एस के प्रारंभिक क्षण की परिभाषा से मेल खाती है, यदि द्रव्यमान बिंदुओं पर भुज अक्ष पर केंद्रित है।
एक सतत यादृच्छिक चर X के लिए, वें क्रम के प्रारंभिक क्षण को अभिन्न कहा जाता है
. (5.7.2)
यह देखना आसान है कि पिछले n° में प्रस्तुत स्थिति की मुख्य विशेषता - गणितीय अपेक्षा - यादृच्छिक चर के पहले प्रारंभिक क्षण से अधिक कुछ नहीं है।
गणितीय अपेक्षा चिह्न का उपयोग करके, आप दो सूत्रों (5.7.1) और (5.7.2) को एक में जोड़ सकते हैं। दरअसल, सूत्र (5.7.1) और (5.7.2) संरचना में पूरी तरह से सूत्र (5.6.1) और (5.6.2) के समान हैं, इस अंतर के साथ कि क्रमशः और के बजाय और हैं। इसलिए, हम वें क्रम के प्रारंभिक क्षण की एक सामान्य परिभाषा लिख सकते हैं, जो असंतत और दोनों के लिए मान्य है निरंतर मात्राएँ:
, (5.7.3)
वे। किसी यादृच्छिक चर के वें क्रम का प्रारंभिक क्षण इस यादृच्छिक चर की वें डिग्री की गणितीय अपेक्षा है।
केंद्रीय क्षण को परिभाषित करने से पहले, हम "केंद्रित यादृच्छिक चर" की एक नई अवधारणा पेश करते हैं।
गणितीय अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर होने दें। मूल्य के अनुरूप एक केंद्रित यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर का विचलन है:
भविष्य में, हम हर जगह किसी दिए गए यादृच्छिक चर के अनुरूप केंद्रित यादृच्छिक चर को शीर्ष पर एक प्रतीक के साथ एक ही अक्षर से निरूपित करने के लिए सहमत होंगे।
यह सत्यापित करना आसान है कि एक केंद्रित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा शून्य के बराबर है। दरअसल, एक असंतत मात्रा के लिए
इसी प्रकार एक सतत मात्रा के लिए।
एक यादृच्छिक चर को केन्द्रित करना स्पष्ट रूप से निर्देशांक की उत्पत्ति को मध्य, "केंद्रीय" बिंदु पर ले जाने के बराबर है, जिसका भुज गणितीय अपेक्षा के बराबर है।
केन्द्रित यादृच्छिक चर के क्षणों को केंद्रीय क्षण कहा जाता है। वे यांत्रिकी में गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बारे में क्षणों के अनुरूप हैं।
इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के क्रम का केंद्रीय क्षण संबंधित केंद्रित यादृच्छिक चर की वें शक्ति की गणितीय अपेक्षा है:
, (5.7.6)
और निरंतर के लिए - अभिन्न द्वारा
. (5.7.8)
निम्नलिखित में, ऐसे मामलों में जहां कोई संदेह नहीं है कि कोई दिया गया क्षण किस यादृच्छिक चर से संबंधित है, संक्षिप्तता के लिए हम और के बजाय बस और लिखेंगे।
जाहिर है, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए पहले क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर है:
, (5.7.9)
चूँकि केन्द्रित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सदैव शून्य के बराबर होती है।
आइए हम विभिन्न आदेशों के केंद्रीय और प्रारंभिक क्षणों को जोड़ने वाले संबंध प्राप्त करें। हम केवल असंतत मात्राओं के लिए निष्कर्ष निकालेंगे; यह सत्यापित करना आसान है कि यदि हम परिमित योग को अभिन्नों से और संभावनाओं को संभाव्यता के तत्वों से बदल दें तो निरंतर मात्राओं के लिए बिल्कुल वही संबंध मान्य हैं।
आइए दूसरे केंद्रीय बिंदु पर विचार करें:
इसी प्रकार तीसरे केंद्रीय क्षण के लिए हम प्राप्त करते हैं:
आदि के लिए भाव इसी प्रकार प्राप्त किया जा सकता है।
इस प्रकार, किसी भी यादृच्छिक चर के केंद्रीय क्षणों के लिए सूत्र मान्य हैं:
(5.7.10)
सामान्यतया, क्षणों को न केवल मूल (प्रारंभिक क्षण) या गणितीय अपेक्षा (केंद्रीय क्षण) के सापेक्ष माना जा सकता है, बल्कि एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष भी माना जा सकता है:
. (5.7.11)
हालाँकि, केंद्रीय क्षणों का अन्य सभी पर लाभ होता है: पहला केंद्रीय क्षण, जैसा कि हमने देखा है, हमेशा शून्य के बराबर होता है, और अगला, दूसरा केंद्रीय क्षण, इस संदर्भ प्रणाली के साथ न्यूनतम मूल्य होता है। आइए इसे साबित करें. एक असंतत यादृच्छिक चर के लिए, सूत्र (5.7.11) का रूप है:
. (5.7.12)
आइए इस अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:
जाहिर है, यह मान अपने न्यूनतम तक पहुंचता है जब, यानी। जब क्षण को बिंदु के सापेक्ष लिया जाता है।
सभी क्षणों में से, पहला प्रारंभिक क्षण (गणितीय अपेक्षा) और दूसरा केंद्रीय क्षण अक्सर यादृच्छिक चर की विशेषताओं के रूप में उपयोग किया जाता है।
दूसरे केंद्रीय क्षण को यादृच्छिक चर का विचरण कहा जाता है। इस विशेषता के अत्यधिक महत्व को देखते हुए, अन्य बिंदुओं के अलावा, हम इसके लिए एक विशेष पदनाम प्रस्तुत करते हैं:
केंद्रीय क्षण की परिभाषा के अनुसार
वे। एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण संबंधित केन्द्रित चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है।
अभिव्यक्ति (5.7.13) में मात्रा को उसकी अभिव्यक्ति के साथ बदलने पर, हमारे पास यह भी है:
. (5.7.14)
विचरण की सीधे गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करें:
, (5.7.15)
(5.7.16)
तदनुसार असंतत और सतत मात्राओं के लिए.
एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों का उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास बिखराव। "फैलाव" शब्द का अर्थ ही "फैलाव" है।
यदि हम वितरण की यांत्रिक व्याख्या की ओर मुड़ते हैं, तो फैलाव गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (गणितीय अपेक्षा) के सापेक्ष किसी दिए गए द्रव्यमान वितरण की जड़ता के क्षण से ज्यादा कुछ नहीं है।
एक यादृच्छिक चर के विचरण में यादृच्छिक चर के वर्ग का आयाम होता है; फैलाव को स्पष्ट रूप से चित्रित करने के लिए, उस मात्रा का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जिसका आयाम यादृच्छिक चर के आयाम से मेल खाता है। ऐसा करने के लिए, विचरण का वर्गमूल लें। परिणामी मान को यादृच्छिक चर का मानक विचलन (अन्यथा "मानक") कहा जाता है। हम मानक विचलन को निरूपित करेंगे:
, (5.7.17)
अंकन को सरल बनाने के लिए, हम अक्सर मानक विचलन और फैलाव के लिए संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग करेंगे: और। ऐसे मामले में जब इसमें कोई संदेह नहीं है कि ये विशेषताएँ किस यादृच्छिक चर से संबंधित हैं, हम कभी-कभी प्रतीक x y और को छोड़ देंगे और केवल और लिखेंगे। शब्द "मानक विचलन" को कभी-कभी संक्षिप्त करके आर.एस.ओ. अक्षरों से प्रतिस्थापित किया जाएगा।
व्यवहार में, अक्सर एक सूत्र का उपयोग किया जाता है जो एक यादृच्छिक चर के फैलाव को उसके दूसरे प्रारंभिक क्षण (सूत्रों का दूसरा (5.7.10)) के माध्यम से व्यक्त करता है। नए नोटेशन में यह इस तरह दिखेगा:
अपेक्षा और विचरण (या मानक विचलन) यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता बताते हैं: इसकी स्थिति और बिखरने की डिग्री। वितरण के अधिक विस्तृत विवरण के लिए, उच्च ऑर्डर के क्षणों का उपयोग किया जाता है।
तीसरा केंद्रीय बिंदु वितरण की विषमता (या "तिरछापन") को चिह्नित करने का कार्य करता है। यदि वितरण गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है (या, यांत्रिक व्याख्या में, द्रव्यमान को गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के संबंध में सममित रूप से वितरित किया जाता है), तो सभी विषम-क्रम वाले क्षण (यदि वे मौजूद हैं) शून्य के बराबर हैं। सचमुच, कुल मिलाकर
जब वितरण कानून कानून के संबंध में सममित और विषम होता है, तो प्रत्येक सकारात्मक पद एक समान से मेल खाता है निरपेक्ष मूल्यऋणात्मक पद, अतः पूर्ण योग शून्य है। अभिन्न के लिए भी यही बात स्पष्ट रूप से सत्य है
,
जो एक विषम फ़ंक्शन की सममित सीमा में एक अभिन्न के रूप में शून्य के बराबर है।
इसलिए, वितरण विषमता की विशेषता के रूप में विषम क्षणों में से किसी एक को चुनना स्वाभाविक है। इनमें से सबसे सरल तीसरा केंद्रीय क्षण है। इसमें एक यादृच्छिक चर के घन का आयाम है: एक आयामहीन विशेषता प्राप्त करने के लिए, तीसरे क्षण को मानक विचलन के घन से विभाजित किया जाता है। परिणामी मान को "विषमता गुणांक" या बस "विषमता" कहा जाता है; हम इसे निरूपित करेंगे:
चित्र में. 5.7.1 दो असममित वितरण दिखाता है; उनमें से एक (वक्र I) में सकारात्मक विषमता है (); अन्य (वक्र II) ऋणात्मक () है।
चौथा केंद्रीय बिंदु तथाकथित "शीतलता" को चिह्नित करने का कार्य करता है, अर्थात। शिखरयुक्त या सपाट-शीर्ष वितरण। इन वितरण गुणों को तथाकथित कर्टोसिस का उपयोग करके वर्णित किया गया है। एक यादृच्छिक चर की कुर्टोसिस मात्रा है
संख्या 3 को अनुपात से घटाया जाता है क्योंकि प्रकृति में बहुत महत्वपूर्ण और व्यापक सामान्य वितरण कानून (जिसके बारे में हम बाद में विस्तार से जानेंगे) के लिए। इस प्रकार, सामान्य वितरण के लिए कर्टोसिस शून्य है; जो वक्र सामान्य वक्र की तुलना में अधिक शिखर वाले होते हैं उनमें सकारात्मक कर्टोसिस होता है; जो वक्र अधिक सपाट-शीर्ष वाले होते हैं उनमें नकारात्मक कर्टोसिस होता है।
चित्र में. 5.7.2 दिखाता है: सामान्य वितरण (वक्र I), सकारात्मक कर्टोसिस के साथ वितरण (वक्र II) और नकारात्मक कर्टोसिस के साथ वितरण (वक्र III)।
ऊपर चर्चा किए गए प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों के अलावा, व्यवहार में तथाकथित पूर्ण क्षणों (प्रारंभिक और केंद्रीय) का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं
जाहिर है, सम आदेशों के पूर्ण क्षण सामान्य क्षणों के साथ मेल खाते हैं।
निरपेक्ष क्षणों में से, सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला पहला निरपेक्ष केंद्रीय क्षण है।
, (5.7.21)
अंकगणितीय माध्य विचलन कहा जाता है। फैलाव और मानक विचलन के साथ, अंकगणित माध्य विचलन का उपयोग कभी-कभी फैलाव की विशेषता के रूप में किया जाता है।
अपेक्षा, मोड, माध्यिका, प्रारंभिक और केंद्रीय क्षण और, विशेष रूप से, फैलाव, मानक विचलन, तिरछापन और कर्टोसिस यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं हैं। कई अभ्यास समस्याओं में पूर्ण विशेषताएँयादृच्छिक चर - वितरण कानून - की या तो आवश्यकता नहीं है या इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इन मामलों में, कोई मदद का उपयोग करके यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक ही सीमित है। संख्यात्मक विशेषताएँ, जिनमें से प्रत्येक वितरण की कुछ विशिष्ट संपत्ति को व्यक्त करती है।
बहुत बार, संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग लगभग एक वितरण को दूसरे के साथ बदलने के लिए किया जाता है, और आमतौर पर वे इस प्रतिस्थापन को इस तरह से करने की कोशिश करते हैं कि कई महत्वपूर्ण बिंदु अपरिवर्तित रहें।
उदाहरण 1. एक प्रयोग किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई घटना प्रकट हो भी सकती है और नहीं भी, जिसकी प्रायिकता बराबर है। एक यादृच्छिक चर माना जाता है - किसी घटना की घटनाओं की संख्या (किसी घटना की विशेषता यादृच्छिक चर)। इसकी विशेषताएं निर्धारित करें: गणितीय अपेक्षा, फैलाव, मानक विचलन।
समाधान। मूल्य वितरण श्रृंखला का रूप है:
घटना के घटित न होने की संभावना कहां है?
सूत्र (5.6.1) का उपयोग करके हम मूल्य की गणितीय अपेक्षा पाते हैं:
मान का फैलाव सूत्र (5.7.15) द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(हमारा सुझाव है कि पाठक फैलाव को दूसरे प्रारंभिक क्षण के रूप में व्यक्त करके वही परिणाम प्राप्त करें)।
उदाहरण 2. एक लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र गोलियाँ चलाई गईं; प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.4 है। यादृच्छिक चर - हिट की संख्या। किसी मात्रा की विशेषताएँ निर्धारित करें - गणितीय अपेक्षा, फैलाव, आर.एस.डी., विषमता।
समाधान। मूल्य वितरण श्रृंखला का रूप है:
हम मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करते हैं।
आरंभिक क्षण क वां आदेश अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक्सएक्स क :
विशेष रूप से,
केंद्रीय क्षण क वां आदेश अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक्समात्रा की गणितीय अपेक्षा कहलाती है क :
.
(5.11)
विशेष रूप से,
गणितीय अपेक्षा और फैलाव की परिभाषाओं और गुणों का उपयोग करके, हम इसे प्राप्त कर सकते हैं
,
,
उच्च क्रम के क्षणों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।
आइए मान लें कि यादृच्छिक चर का वितरण गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित है। तब सभी विषम क्रम वाले केंद्र शून्य के बराबर होते हैं। इसे इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि विचलन X-M[X] के प्रत्येक सकारात्मक मान के लिए (वितरण की समरूपता के कारण) निरपेक्ष मान के बराबर एक नकारात्मक मान होता है, और उनकी संभावनाएं समान होंगी। यदि केंद्रीय क्षण विषम क्रम का है और शून्य के बराबर नहीं है, तो यह वितरण की विषमता को इंगित करता है और क्षण जितना बड़ा होगा, विषमता उतनी ही अधिक होगी। इसलिए, वितरण विषमता की विशेषता के रूप में कुछ विषम केंद्रीय क्षण लेना सबसे उचित है। चूंकि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है, इसलिए इस उद्देश्य के लिए तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। हालाँकि, विषमता का आकलन करने के लिए इस बिंदु को स्वीकार करना असुविधाजनक है क्योंकि इसका मान उन इकाइयों पर निर्भर करता है जिनमें यादृच्छिक चर मापा जाता है। इस कमी को दूर करने के लिए, 3 को 3 से विभाजित किया जाता है और इस प्रकार एक विशेषता प्राप्त होती है।
विषमता गुणांक ए मात्रा कहलाती है
.
(5.12)
चावल। 5.1
यदि विषमता गुणांक नकारात्मक है, तो यह 3 नकारात्मक विचलन के मूल्य पर एक बड़े प्रभाव को इंगित करता है। इस मामले में, वितरण वक्र M[X] के बाईं ओर समतल हैं। यदि गुणांक A धनात्मक है, तो वक्र दाहिनी ओर चपटा है।जैसा कि ज्ञात है, फैलाव (दूसरा केंद्रीय क्षण) गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव को चिह्नित करने का कार्य करता है। फैलाव जितना अधिक होगा, संबंधित वितरण वक्र उतना ही अधिक समतल होगा। हालाँकि, दूसरे क्रम का सामान्यीकृत क्षण 2 / 2 "फ्लैट-टॉप" या "शार्प-टॉप" वितरण की विशेषता के रूप में काम नहीं कर सकता क्योंकि किसी भी वितरण के लिए डी[ एक्स]/ 2 =1. इस मामले में, चौथे क्रम के केंद्रीय क्षण का उपयोग किया जाता है।
अधिकता इ मात्रा कहलाती है
.
(5.13)
एच
चावल। 5.2
उदाहरण 5.6.डीएसवी एक्स निम्नलिखित वितरण कानून द्वारा दिया गया है:
तिरछापन गुणांक और कुर्टोसिस ज्ञात कीजिए।
चावल। 5.4
आइए अब केंद्रीय क्षणों की गणना करें:
आइए गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें एक्स 2 :
एम(एक्स 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
हमने देखा कि एम(एक्स 2) और भी बहुत कुछ एम(एक्स). ऐसा इसलिए है क्योंकि चुकता करने के बाद संभव अर्थमात्रा एक्स 2 मान के अनुरूप एक्स=100 परिमाण एक्स, 10,000 के बराबर हो गया, यानी काफ़ी बढ़ गया; इस मान की संभावना कम है (0.01)।
इस प्रकार, से संक्रमण एम(एक्स)को एम(एक्स 2) उस संभावित मूल्य की गणितीय अपेक्षा पर प्रभाव को बेहतर ढंग से ध्यान में रखना संभव हो गया, जो बड़ा है और जिसकी संभावना कम है। बेशक, अगर मूल्य एक्सकई बड़े और असंभावित मूल्य थे, फिर मूल्य में परिवर्तन एक्स 2, और उससे भी अधिक मात्राएँ एक्स 3 , एक्स 4, आदि, हमें इन बड़े, लेकिन असंभावित संभावित मूल्यों की "भूमिका को मजबूत" करने की अनुमति देंगे। यही कारण है कि एक यादृच्छिक चर (न केवल असतत, बल्कि निरंतर) की पूर्णांक सकारात्मक शक्ति की गणितीय अपेक्षा पर विचार करना उचित हो जाता है।
आदेश का प्रारंभिक क्षण kअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सकिसी मात्रा की गणितीय अपेक्षा कहलाती है एक्सके:
वी के = एम(एक्स).
विशेष रूप से,
वी 1 = एम(एक्स), वी 2 = एम(एक्स 2).
इन बिंदुओं का उपयोग करके, विचरण की गणना करने का सूत्र डी(एक्स)= एम(एक्स 2)- [एम(एक्स)] 2 को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
डी(एक्स)= वी 2 – . (*)
यादृच्छिक चर के क्षणों के अतिरिक्त एक्सविचलन के क्षणों पर विचार करना उचित है एक्स-एम(एक्स).
यादृच्छिक चर X के क्रम k का केंद्रीय क्षण मात्रा की गणितीय अपेक्षा है(एचएम(एक्स))क:
विशेष रूप से,
प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों को जोड़ने वाले संबंध आसानी से प्राप्त हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, (*) और (***) की तुलना करने पर, हमें मिलता है
एम 2= वी 2 – .
केंद्रीय क्षण की परिभाषा के आधार पर और गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करके सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है:
एम 3= वी 3 – 3वी 2 वी 1 + 2 ,
एम 4= वी 4 – 4वी 3 वी 1 + 6वी 2 + 3 .
उच्च क्रम के क्षणों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।
टिप्पणी। यहां जिन बिंदुओं पर चर्चा की गई है, उन्हें कहा जाता है सैद्धांतिक.सैद्धांतिक क्षणों के विपरीत, वे क्षण जिन्हें अवलोकन संबंधी डेटा से गणना की जाती है, कहलाते हैं अनुभवजन्य.अनुभवजन्य क्षणों की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (अध्याय XVII, § 2 देखें)।
कार्य
1. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के प्रसरण ज्ञात हैं: डी(एक्स) = 4, डी(वाई)=3. इन मात्राओं के योग का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
प्रतिनिधि. 7.
2. एक यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स 5 के बराबर है। निम्नलिखित मात्राओं का प्रसरण ज्ञात कीजिए: a) एक्स-1; बी)-2 एक्स;वी) ZH + 6.
प्रतिनिधि.ए) 5; बी)20; ग) 45.
3. यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल दो मान लेता है: +C और -C, प्रत्येक की संभावना 0.5 है। इस मात्रा का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
प्रतिनिधि. साथ 2 .
4. , इसके वितरण के नियम को जानना
| एक्स | 0, 1 | |||
| पी | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
प्रतिनिधि. 67,6404.
5. यादृच्छिक मूल्य एक्सदो संभावित मान ले सकते हैं: एक्स 1 प्रायिकता 0.3 के साथ और एक्स 2 प्रायिकता 0.7 के साथ, और एक्स 2 > एक्स 1 . खोजो एक्स 1 और एक्स 2, यह जानना एम(एक्स) = 2, 7आई डी(एक्स) =0,21.
प्रतिनिधि. एक्स 1 = 2, एक्स 2 = 3.
6. एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स-घटनाओं के घटित होने की संख्या एदो में स्वतंत्र परीक्षण, अगर एम(एक्स) = 0, 8.
टिप्पणी। किसी घटना के घटित होने की संख्या के संभाव्यता वितरण के लिए द्विपद नियम लिखिए एदो स्वतंत्र परीक्षणों में.
प्रतिनिधि. 0, 48.
7. चार स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले उपकरणों से युक्त एक उपकरण का परीक्षण किया जा रहा है। डिवाइस विफलता की संभावनाएँ इस प्रकार हैं: आर 1 = 0,3; आर 2 = 0,4; पी 3 = 0,5; आर 4 = 0.6. विफल उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात करें।
प्रतिनिधि. 1,8; 0,94.
8. एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स- 100 स्वतंत्र परीक्षणों में घटना के घटित होने की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में घटना घटित होने की संभावना 0.7 है।
प्रतिनिधि. 21.
9. एक यादृच्छिक चर का प्रसरण डी(एक्स) = 6.25. मानक विचलन खोजें ( एक्स).
प्रतिनिधि. 2, 5.
10. यादृच्छिक चर वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
| एक्स | |||
| पी | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
इस मान का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
प्रतिनिधि. 2, 2.
11. 9 समान रूप से वितरित परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों में से प्रत्येक का प्रसरण 36 के बराबर है। इन चरों के अंकगणितीय माध्य का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
प्रतिनिधि. 4.
12. समान रूप से वितरित 16 परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों में से प्रत्येक का मानक विचलन 10 है। इन चरों के अंकगणितीय माध्य का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
प्रतिनिधि. 2,5.
अध्याय नौ
बड़ी संख्या का नियम
प्रारंभिक टिप्पणियां
जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, पहले से आत्मविश्वास से भविष्यवाणी करना असंभव है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर कौन से संभावित मान लेगा; यह बहुतों पर निर्भर करता है यादृच्छिक कारण, जिसे ध्यान में नहीं रखा जा सकता। ऐसा प्रतीत होता है कि चूंकि हमारे पास इस अर्थ में प्रत्येक यादृच्छिक चर के बारे में बहुत मामूली जानकारी है, इसलिए व्यवहार के पैटर्न और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का योग स्थापित करना शायद ही संभव है। वास्तव में यह सच नहीं है। यह पता चला है कि कुछ लोगों के लिए यह अपेक्षाकृत है व्यापक शर्तेंपर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का समग्र व्यवहार लगभग अपना यादृच्छिक चरित्र खो देता है और प्राकृतिक हो जाता है।
अभ्यास के लिए, उन परिस्थितियों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है जिनके तहत कई यादृच्छिक कारणों की संयुक्त कार्रवाई एक ऐसे परिणाम की ओर ले जाती है जो लगभग संयोग से स्वतंत्र होता है, क्योंकि यह किसी को घटना के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। इन स्थितियों को प्रमेय के असर में दर्शाया गया है साधारण नामकानून बड़ी संख्या. इनमें चेबीशेव और बर्नौली के प्रमेय शामिल हैं (ऐसे अन्य प्रमेय भी हैं जिनकी चर्चा यहां नहीं की गई है)। चेबीशेव का प्रमेय बड़ी संख्याओं का सबसे सामान्य नियम है, बर्नौली का प्रमेय सबसे सरल है। इन प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए हम चेबीशेव की असमानता का उपयोग करेंगे।
चेबीशेव की असमानता
चेबीशेव की असमानता असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मान्य है। सरलता के लिए, हम स्वयं को असतत मात्राओं के लिए इस असमानता को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं।
एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स,वितरण तालिका द्वारा निर्दिष्ट:
| एक्स | एक्स 1 | एक्स 2 | … | एक्स एन |
| पी | पी 1 | पी 2 | … | पी एन |
आइए हम अपने लिए इस संभावना का आकलन करने का कार्य निर्धारित करें कि किसी यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन सकारात्मक संख्या ई के निरपेक्ष मान से अधिक न हो। यदि ई काफी छोटा है, तो हम इसकी संभावना का अनुमान लगाएंगे एक्समूल्यों को अपनी गणितीय अपेक्षा के काफी करीब ले जाएगा। पी. एल. चेबीशेव ने एक असमानता साबित की जो हमें वह अनुमान देने की अनुमति देती है जिसमें हम रुचि रखते हैं।
चेबीशेव की असमानता। इसकी संभावना कि एक यादृच्छिक चर 1-डी(एक्स)/इ 2 :
आर(|एक्स-एम(एक्स)|< e ) 1-डी(एक्स)/इ 2 .
सबूत। चूँकि घटनाएँ असमानताओं के कार्यान्वयन में शामिल हैं |एक्स-एम(एक्स)|
आर(|एक्स-एम(एक्स)|< e )+ आर(|एक्स-एम(एक्स)| इ)= 1.
इसलिए जिस संभाव्यता में हमारी रुचि है
आर(|एक्स-एम(एक्स)|< e )= 1- आर(|एक्स-एम(एक्स)| इ). (*)
इस प्रकार, समस्या संभाव्यता की गणना करने पर आती है आर(| एचएम(एक्स)| इ).
आइए यादृच्छिक चर के विचरण के लिए अभिव्यक्ति लिखें एक्स:
डी(एक्स)= [एक्स 1 -एम(एक्स)] 2 पी 1 + [एक्स 2 -एम(एक्स)] 2 पी 2 +…+ [एक्स एन -एम(एक्स)]2पी.एन.
जाहिर है, इस राशि के सभी पद गैर-ऋणात्मक हैं।
आइए उन शब्दों को त्यागें जिनके लिए | एक्स मैं-एम(एक्स)|<इ(शेष शर्तों के लिए | एक्स जे-एम(एक्स)| इ), परिणामस्वरूप, राशि केवल घट सकती है। आइए हम निश्चितता के लिए यह मानने के लिए सहमत हों कि कपहले पद (सामान्यता की हानि के बिना, हम मान सकते हैं कि वितरण तालिका में संभावित मान बिल्कुल इसी क्रम में क्रमांकित हैं)। इस प्रकार,
डी(एक्स) [एक्स के + 1 -एम(एक्स)] 2 पी के + 1 + [एक्स के + 2 -एम(एक्स)] 2 पी के + जेड + ... +[एक्स एन -एम(एक्स)] 2 पी.एन.
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्ष | एक्स जे - एम(एक्स)| इ (जे = क+1, क+ 2, ..., पी) सकारात्मक हैं, इसलिए, उनका वर्ग करने पर, हमें समतुल्य असमानता प्राप्त होती है | एक्स जे - एम(एक्स)| 2 ई 2आइए हम इस टिप्पणी का उपयोग करें और शेष योग में प्रत्येक कारक को प्रतिस्थापित करें | एक्स जे - एम(एक्स)| संख्या में 2 ई 2(इस मामले में असमानता केवल बढ़ सकती है), हम पाते हैं
डी(एक्स) ई 2 (आर के+ 1 + पी के + 2 + … + पी एन). (**)
योग प्रमेय के अनुसार संभावनाओं का योग आर के+ 1 + पी के + 2 + … + पी एनऐसी सम्भावना है एक्समूल्यों में से कोई भी एक लेगा, चाहे कोई भी हो एक्स के + 1 , एक्स के+ 2 ,....एक्स पी,और उनमें से किसी के लिए विचलन असमानता को संतुष्ट करता है | एक्स जे - एम(एक्स)| इयह इस प्रकार है कि राशि आर के+ 1 + पी के + 2 + … + पी एनसंभावना व्यक्त करता है
पी(|एक्स - एम(एक्स)| इ)।
यह विचार हमें असमानता (**) को इस प्रकार फिर से लिखने की अनुमति देता है:
डी(एक्स) ई 2 पी(|एक्स - एम(एक्स)| इ),
पी(|एक्स - एम(एक्स)| इ)डी(एक्स) /इ 2 (***)
(***) को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंततः प्राप्त होता है
पी(|एक्स - एम(एक्स)| <इ) 1- डी(एक्स) /इ 2 ,
क्यू.ई.डी.
टिप्पणी। चेबीशेव की असमानता का व्यावहारिक महत्व सीमित है क्योंकि यह अक्सर एक मोटा और कभी-कभी तुच्छ (बिना किसी रुचि का) अनुमान देता है। उदाहरण के लिए, यदि डी(एक्स)>इ 2 और इसलिए डी(एक्स)/इ 2 > 1 फिर 1 - डी(एक्स)/इ 2 < 0; इस प्रकार, इस मामले में, चेबीशेव की असमानता केवल यह इंगित करती है कि विचलन की संभावना गैर-नकारात्मक है, और यह पहले से ही स्पष्ट है, क्योंकि कोई भी संभावना एक गैर-नकारात्मक संख्या द्वारा व्यक्त की जाती है।
चेबीशेव की असमानता का सैद्धांतिक महत्व बहुत महान है। नीचे हम चेबीशेव के प्रमेय को प्राप्त करने के लिए इस असमानता का उपयोग करेंगे।
चेबीशेव का प्रमेय
चेबीशेव का प्रमेय. यदि एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन,…-जोड़ीवार स्वतंत्र यादृच्छिक चर, और उनके भिन्नताएं समान रूप से सीमित हैं(एक स्थिर संख्या C से अधिक न हो), तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक संख्या ई कितनी छोटी है, असमानता की संभावना है
दूसरे शब्दों में, प्रमेय की शर्तों के तहत
इस प्रकार, चेबीशेव के प्रमेय में कहा गया है कि यदि सीमित भिन्नता वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर की पर्याप्त बड़ी संख्या पर विचार किया जाता है, तो घटना को लगभग विश्वसनीय माना जा सकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य का विचलन उनके अंकगणितीय माध्य से होता है। गणितीय अपेक्षाएँ निरपेक्ष मान में मनमाने ढंग से बड़ी होंगी
सबूत। आइए हम एक नए यादृच्छिक चर का परिचय दें - यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य
=(एक्स 1 +एक्स 2 +…+एक्स एन)/एन।
आइए गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें . गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करते हुए (स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है, योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है), हम प्राप्त करते हैं
एम 
=
. (*)
चेबीशेव की असमानता को मात्रा पर लागू करने पर, हमारे पास है
दाईं ओर (***) को असमानता (**) में प्रतिस्थापित करना (यही कारण है कि बाद वाले को केवल मजबूत किया जा सकता है), हमारे पास है
यहां से, पर सीमा से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं
अंत में, यह ध्यान में रखते हुए कि संभावना एक से अधिक नहीं हो सकती, हम अंततः लिख सकते हैं
प्रमेय सिद्ध है.
ऊपर, चेबीशेव के प्रमेय को तैयार करते समय, हमने माना कि यादृच्छिक चर की अलग-अलग गणितीय अपेक्षाएँ होती हैं। व्यवहार में, अक्सर ऐसा होता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समान होती है। जाहिर है, अगर हम फिर से मान लें कि इन मात्राओं का फैलाव सीमित है, तो चेबीशेव का प्रमेय उन पर लागू होगा।
आइए हम प्रत्येक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को निरूपित करें ए;विचाराधीन मामले में, गणितीय अपेक्षाओं का अंकगणितीय माध्य, जैसा कि देखना आसान है, भी बराबर है एक।हम विचाराधीन विशेष मामले के लिए चेबीशेव का प्रमेय तैयार कर सकते हैं।
यदि एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एचपी...-जोड़ीवार स्वतंत्र यादृच्छिक चर जिनकी गणितीय अपेक्षा समान होती है, और यदि इन चरों के प्रसरण समान रूप से सीमित हैं, तो संख्या कितनी भी छोटी क्यों न हो>ओह, असमानता की संभावना
यदि यादृच्छिक चरों की संख्या काफी बड़ी है तो यह वांछित के रूप में एकता के करीब होगा।
दूसरे शब्दों में, प्रमेय की शर्तों के तहत समानता होगी
चेबीशेव के प्रमेय का सार
सिद्ध प्रमेय का सार इस प्रकार है: यद्यपि व्यक्तिगत स्वतंत्र यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षाओं से दूर मान ले सकते हैं, उच्च संभावना वाले पर्याप्त बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य एक निश्चित स्थिरांक के करीब मान लेता है संख्या, अर्थात् संख्या ( एम(एक्स 1)+ एम(एक्स 2)+...+एम(एक्स पी))/पी(या संख्या के लिए एएक विशेष मामले में)। दूसरे शब्दों में, व्यक्तिगत यादृच्छिक चर में महत्वपूर्ण प्रसार हो सकता है, और उनका अंकगणितीय माध्य काफी छोटा होता है।
इस प्रकार, कोई भी निश्चित रूप से यह अनुमान नहीं लगा सकता है कि प्रत्येक यादृच्छिक चर क्या संभावित मूल्य लेगा, लेकिन कोई यह अनुमान लगा सकता है कि उनका अंकगणितीय माध्य क्या मूल्य लेगा।
इसलिए, स्वतंत्र यादृच्छिक चर की पर्याप्त बड़ी संख्या का अंकगणितीय माध्य(जिनके भिन्नताएं समान रूप से सीमाबद्ध हैं) एक यादृच्छिक चर का चरित्र खो देता है।यह इस तथ्य से समझाया गया है कि गणितीय अपेक्षाओं से प्रत्येक मान का विचलन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है, और अंकगणितीय माध्य में वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।
चेबीशेव का प्रमेय न केवल असतत, बल्कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य है; वह होती है एक ज्वलंत उदाहरण, अवसर और आवश्यकता के बीच संबंध के बारे में द्वंद्वात्मक भौतिकवाद के सिद्धांत की वैधता की पुष्टि करता है।
अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, मानों की एक सीमित संख्या लेते हुए एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, राशि कहलाती है:
गणितीय अपेक्षासतत यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):
(6बी)
अनुचित अभिन्न (6 बी) को बिल्कुल अभिसरण माना जाता है (अन्यथा वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं होना)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है औसत मूल्यअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. इसका आयाम यादृच्छिक चर के आयाम से मेल खाता है।
गणितीय अपेक्षा के गुण:
फैलाव. झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सनंबर कहा जाता है:
भिन्नता है बिखरने की विशेषतायादृच्छिक चर मान एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स). विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) और एक सतत यादृच्छिक चर के लिए (6) की परिभाषाओं के आधार पर, हम विचरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
(9)
यहाँ एम = एम(एक्स).
फैलाव गुण:
मानक विचलन:
(11)
औसत के आयाम के बाद से वर्ग विचलनयादृच्छिक चर के समान, इसे अक्सर विचरण की तुलना में फैलाव के माप के रूप में उपयोग किया जाता है।
वितरण के क्षण. गणितीय अपेक्षा और फैलाव की अवधारणाएँ अधिक के विशेष मामले हैं सामान्य सिद्धांतयादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण के क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के बारे में क्षण एक्स= 0 कहलाते हैं प्रारंभिक क्षणऔर नामित हैं:
(12)
पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र है:
(13)
वितरण के केंद्र के बारे में क्षण एक्स= एमकहा जाता है केंद्रीय बिंदुऔर नामित हैं:
(14)
(7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रथम क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:
केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, जब से एक स्थिर मूल्य द्वारा स्थानांतरित किया जाता है साथइसके वितरण का केंद्र समान मान से बदल जाता है साथ, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – साथ) – (एम – साथ).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- यह दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:
विषमता। तीसरा क्रम केंद्रीय क्षण:
(17)
मूल्यांकन के लिए कार्य करता है वितरण विषमताएँ. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षणों की तरह)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का आकलन आयामहीन का उपयोग करके किया जाता है विषमता गुणांक:
(18)
असममिति गुणांक का चिह्न (18) दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता को दर्शाता है (चित्र 2)।
चावल। 2. वितरण विषमता के प्रकार.
अधिकता। चौथा क्रम केंद्रीय क्षण:
(19)
तथाकथित का मूल्यांकन करने का कार्य करता है अधिकता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण के केंद्र के निकट वितरण वक्र की स्थिरता (शिखरता) की डिग्री निर्धारित करता है। चूँकि सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में लिया गया मान है:
(20)
चित्र में. चित्र 3 विभिन्न कर्टोसिस मानों के साथ वितरण वक्रों के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. जो वक्र सामान्य से अधिक नुकीले होते हैं उनमें सकारात्मक कर्टोसिस होता है, जो अधिक सपाट-शीर्ष वाले होते हैं उनमें नकारात्मक कर्टोसिस होता है।
चावल। 3. वितरण वक्र के साथ बदलती डिग्रीशीतलता (अतिरिक्त)।
इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उच्च-क्रम के क्षण गणितीय सांख्यिकीआमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता.
पहनावा
अलगएक यादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मान है। पहनावा निरंतरएक यादृच्छिक चर उसका मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहा जाता है unimodal. यदि किसी वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्रों में अधिकतम के बजाय न्यूनतम होता है। ऐसे वितरण कहलाते हैं मॉडल विरोधी. में सामान्य मामलाकिसी यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, सममित वितरण होना और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।
मंझला अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स- यही इसका अर्थ है हुंह, जिसके लिए समानता है: यानी यह भी उतना ही संभावित है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा हुंह. ज्यामितीय MEDIANउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, मोड और गणितीय अपेक्षा समान हैं।
