अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण वे समीकरण हैं जो वहां से गुजरने वाली रेखा को निर्धारित करते हैं इस बिंदुदिशा वेक्टर के संरेख।
मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, अर्थात, उनके लिए शर्त संतुष्ट है:
.
उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं।
नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक साथ शून्य के बराबर नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित प्रविष्टि की अनुमति है:
,
जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा परिभाषित वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .
उदाहरण 1।किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए समीकरण लिखें 
और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस
.
समाधान। आइए अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें आउंस. चूँकि अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं एक्स = वाई = 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है 
दिया गया विमान.
आइए अब एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में:
दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण
एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है 
और 
इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं
.
उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा निर्धारित करते हैं।
उदाहरण 2.अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान। आइए सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें:
.
चूँकि, तब वांछित सीधी रेखा अक्ष पर लंबवत होती है ओए .
समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समान सीधी
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में
सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।
उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं
समाधान। किसी रेखा के विहित समीकरण या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखने के लिए, आपको रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .
एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:
उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित पंक्ति। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है
उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .
आइए अब बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखें ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :
,
या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:
,
मान लीजिए कि रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप y-y 1 = है क (एक्स - एक्स 1), (10.6)
कहाँ क - अभी भी अज्ञात गुणांक.
चूँकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण (10.6) को संतुष्ट करना होगा: y 2 -y 1 = क (एक्स 2 - एक्स 1).
यहां से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं क
समीकरण (10.6) में, हम बिंदु एम 1 और एम 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं: 
यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
यदि x 1 = x 2, तो बिंदु M 1 (x 1,y I) और M 2 (x 2,y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .
यदि y 2 = y I, तो रेखा का समीकरण y = y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 भुज अक्ष के समानांतर है।
खंडों में एक रेखा का समीकरण
मान लीजिए कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a;0), और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0;b) पर प्रतिच्छेद करती है। समीकरण इस प्रकार बनेगा: 
वे। 
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करती है कि रेखा निर्देशांक अक्षों पर किन खंडों को काटती है.
किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
आइए इससे गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें दिया गया बिंदु Mo (x O; y o) दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत है।
आइए रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात
ए(एक्स - एक्सओ) + बी(वाई - यो) = 0. (10.8)
समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण .
वेक्टर एन= (ए; बी), रेखा के लंबवत, को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .
समीकरण (10.8) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)
जहां A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C = -Ax o - Vu o मुक्त पद है। समीकरण (10.9) रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।
चित्र.1 चित्र.2
रेखा के विहित समीकरण
,
कहाँ 
- उस बिंदु के निर्देशांक जिससे होकर रेखा गुजरती है, और 
- दिशा वेक्टर.
दूसरा क्रम वक्र वृत्त
वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समूह है, जिसे केंद्र कहा जाता है।
त्रिज्या वाले एक वृत्त का विहित समीकरण
आर एक बिंदु पर केन्द्रित 
:
विशेष रूप से, यदि दांव का केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा: 
अंडाकार
एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग होता है
और 
, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मात्रा है 
, foci के बीच की दूरी से अधिक 
.
एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका नाभि ऑक्स अक्ष पर स्थित है, और नाभियों के बीच में निर्देशांक की उत्पत्ति का रूप है 
जी 
डेए अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई;बी - अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई (चित्र 2)।
समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.
दिशा सदिश सीधा है. सामान्य वेक्टर
समतल पर एक सीधी रेखा सबसे सरल में से एक है ज्यामितीय आकार, तब से आपसे परिचित हूं कनिष्ठ वर्ग, और आज हम सीखेंगे कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके इससे कैसे निपटा जाए। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा बनाने में सक्षम होना चाहिए; जानें कि कौन सा समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, निर्देशांक के मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और निर्देशांक अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएं। यह जानकारीमैनुअल में पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण, मैंने इसे मटन के लिए बनाया है, लेकिन अनुभाग के बारे में रैखिक प्रकार्ययह बहुत सफल और विस्तृत निकला। इसलिए, प्रिय चायदानी, पहले वहां गर्म हो जाओ। इसके अलावा, आपको इसके बारे में बुनियादी जानकारी भी होनी चाहिए वैक्टर, अन्यथा सामग्री की समझ अधूरी होगी।
इस पाठ में हम उन तरीकों पर गौर करेंगे जिनसे आप एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण बना सकते हैं। मैं व्यावहारिक उदाहरणों की उपेक्षा न करने की सलाह देता हूं (भले ही यह बहुत सरल लगे), क्योंकि मैं उन्हें प्राथमिक और महत्वपूर्ण तथ्य, तकनीकी तकनीकें प्रदान करूंगा जिनकी भविष्य में आवश्यकता होगी, जिसमें उच्च गणित के अन्य अनुभाग भी शामिल हैं।
- कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
- कैसे ?
- एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करके दिशा वेक्टर कैसे खोजें?
- एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
और हम शुरू करते हैं:
ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण
सीधी रेखा समीकरण के सुप्रसिद्ध "स्कूल" रूप को कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण. उदाहरण के लिए, यदि समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी गई है, तो उसका ढलान है:। आइए इस गुणांक के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें और इसका मान रेखा के स्थान को कैसे प्रभावित करता है: 
ज्यामिति पाठ्यक्रम में यह सिद्ध हो चुका है सीधी रेखा का ढलान बराबर होता है कोण की स्पर्शरेखासकारात्मक अक्ष दिशा के बीचऔर यह पंक्ति: , और कोण वामावर्त "अनस्क्रूज़" करता है।
ड्राइंग को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने केवल दो सीधी रेखाओं के लिए कोण बनाए। आइए "लाल" रेखा और उसके ढलान पर विचार करें। उपरोक्त के अनुसार: ("अल्फा" कोण एक हरे चाप द्वारा दर्शाया गया है)। कोण गुणांक के साथ "नीली" सीधी रेखा के लिए, समानता सत्य है ("बीटा" कोण भूरे चाप द्वारा इंगित किया गया है)। और यदि कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात हो तो आवश्यकता पड़ने पर उसे ज्ञात करना आसान होता है और कोना हीव्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करना - आर्कटेंजेंट। जैसा कि वे कहते हैं, आपके हाथ में एक त्रिकोणमिति तालिका या एक माइक्रोकैलकुलेटर। इस प्रकार, कोणीय गुणांक भुज अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव की डिग्री को दर्शाता है.
ऐसे में यह संभव है निम्नलिखित मामले:
1) यदि ढलान ऋणात्मक है: तो मोटे तौर पर कहें तो रेखा ऊपर से नीचे की ओर जाती है। उदाहरण चित्र में "नीली" और "रास्पबेरी" सीधी रेखाएं हैं।
2) यदि ढलान धनात्मक है: तो रेखा नीचे से ऊपर की ओर जाती है। उदाहरण - चित्र में "काली" और "लाल" सीधी रेखाएँ।
3) यदि ढलान शून्य है:, तो समीकरण रूप लेता है, और संबंधित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होती है। एक उदाहरण "पीली" सीधी रेखा है।
4) एक अक्ष के समानांतर रेखाओं के परिवार के लिए (चित्र में अक्ष के अलावा कोई उदाहरण नहीं है), कोणीय गुणांक मौजूद नहीं (90 डिग्री का स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है).
निरपेक्ष मान में ढलान गुणांक जितना अधिक होगा, सीधी रेखा का ग्राफ उतना ही तीव्र होगा।.
उदाहरण के लिए, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। इसलिए, यहां सीधी रेखा का ढलान अधिक है। मैं आपको याद दिला दूं कि मॉड्यूल आपको उस संकेत को अनदेखा करने की अनुमति देता है, जिसमें हम केवल रुचि रखते हैं सम्पूर्ण मूल्य कोणीय गुणांक.
बदले में, एक सीधी रेखा सीधी रेखाओं की तुलना में अधिक तीव्र होती है 
.
इसके विपरीत: निरपेक्ष मान में ढलान गुणांक जितना छोटा होगा, सीधी रेखा उतनी ही अधिक सपाट होगी.
सीधी रेखाओं के लिए 
असमानता सत्य है, इस प्रकार सीधी रेखा समतल है। बच्चों की स्लाइड, ताकि खुद को चोट और चोट न लगे।
यह क्यों आवश्यक है?
अपनी पीड़ा बढ़ाएँ उपरोक्त तथ्यों का ज्ञान आपको तुरंत अपनी गलतियों को देखने की अनुमति देता है, विशेष रूप से, ग्राफ़ बनाते समय त्रुटियाँ - यदि चित्र "स्पष्ट रूप से कुछ गलत" हो जाता है। यह सलाह दी जाती है कि आप तुरंतयह स्पष्ट था कि, उदाहरण के लिए, सीधी रेखा बहुत खड़ी होती है और नीचे से ऊपर की ओर जाती है, और सीधी रेखा बहुत सपाट होती है, धुरी के करीब दबती है और ऊपर से नीचे की ओर जाती है।
ज्यामितीय समस्याओं में, कई सीधी रेखाएँ अक्सर दिखाई देती हैं, इसलिए उन्हें किसी तरह नामित करना सुविधाजनक होता है।
पदनाम: सीधी रेखाओं को छोटी नामित किया गया है लैटिन अक्षरों के साथ: . एक लोकप्रिय विकल्प उन्हें प्राकृतिक उपस्क्रिप्ट के साथ एक ही अक्षर का उपयोग करके नामित करना है। उदाहरण के लिए, जिन पाँच पंक्तियों को हमने अभी देखा, उन्हें इनके द्वारा दर्शाया जा सकता है 
.
चूँकि कोई भी सीधी रेखा विशिष्ट रूप से दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित होती है, इसे इन बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है: 
वगैरह। पदनाम से स्पष्ट रूप से तात्पर्य है कि बिंदु रेखा से संबंधित हैं।
यह थोड़ा गर्म होने का समय है:
कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
यदि किसी निश्चित रेखा से संबंधित एक बिंदु और इस रेखा का कोणीय गुणांक ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
उदाहरण 1
ढलान वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि बिंदु दी गई रेखा से संबंधित है।
समाधान: आइए सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखा का समीकरण बनाएं 
. में इस मामले में:
उत्तर:
इंतिहानसरलता से किया जाता है. सबसे पहले, हम परिणामी समीकरण को देखते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा ढलान सही जगह पर है। दूसरे, बिंदु के निर्देशांक को इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। आइए उन्हें समीकरण में जोड़ें:
सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।
निष्कर्ष: समीकरण सही पाया गया.
के लिए एक और अधिक पेचीदा उदाहरण स्वतंत्र निर्णय:
उदाहरण 2
एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि अक्ष की सकारात्मक दिशा में इसका झुकाव कोण है, और बिंदु इस सीधी रेखा से संबंधित है।
यदि आपको कोई कठिनाई हो तो सैद्धांतिक सामग्री दोबारा पढ़ें। अधिक सटीक, अधिक व्यावहारिक, मैं बहुत सारे साक्ष्य छोड़ देता हूँ।
बजी आखिरी कॉल, स्नातक पार्टी बीत चुकी है, और हमारे मूल विद्यालय के द्वार के बाहर, विश्लेषणात्मक ज्यामिति स्वयं हमारा इंतजार कर रही है। चुटकुले ख़त्म हो गए... या शायद वे अभी शुरुआत कर रहे हैं =)
हम पुरानी यादों में परिचितों की ओर अपनी कलम घुमाते हैं और एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से परिचित होते हैं। क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति में इसका बिल्कुल यही उपयोग किया जाता है:
सामान्य समीकरणसीधी रेखा का रूप होता है: , कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। उसी समय, गुणांक इसके साथ हीशून्य के बराबर नहीं हैं, क्योंकि समीकरण अपना अर्थ खो देता है।
आइए एक सूट पहनें और ढलान गुणांक के साथ समीकरण जोड़ें। सबसे पहले, आइए सभी शर्तों को आगे बढ़ाते हैं बाईं तरफ:
"X" वाले शब्द को पहले स्थान पर रखा जाना चाहिए:
सिद्धांत रूप में, समीकरण का रूप पहले से ही है, लेकिन गणितीय शिष्टाचार के नियमों के अनुसार, पहले पद का गुणांक (इस मामले में) सकारात्मक होना चाहिए। बदलते संकेत:
इस तकनीकी सुविधा को याद रखें!हम पहले गुणांक (अक्सर) को सकारात्मक बनाते हैं!
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक सीधी रेखा का समीकरण लगभग हमेशा दिया जाएगा सामान्य फ़ॉर्म. खैर, यदि आवश्यक हो, तो इसे आसानी से कोणीय गुणांक (ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के अपवाद के साथ) के साथ "स्कूल" रूप में कम किया जा सकता है।
आइए अपने आप से पूछें कि क्या पर्याप्तक्या आप सीधी रेखा बनाना जानते हैं? दो बिंदु। लेकिन बचपन की इस घटना के बारे में और अधिक, अब तीरों से चिपकना नियम। प्रत्येक सीधी रेखा में एक बहुत ही विशिष्ट ढलान होता है, जिसे "अनुकूलित" करना आसान होता है। वेक्टर.
एक सदिश जो किसी रेखा के समानांतर होता है, उस रेखा का दिशा सदिश कहलाता है. यह स्पष्ट है कि किसी भी सीधी रेखा में अनंत संख्या में दिशा सदिश होते हैं, और वे सभी संरेख होंगे (सह-दिशात्मक या नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।
मैं दिशा वेक्टर को इस प्रकार निरूपित करूंगा:।
लेकिन एक वेक्टर एक सीधी रेखा बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है; वेक्टर स्वतंत्र है और समतल पर किसी भी बिंदु से बंधा नहीं है। इसलिए, रेखा से संबंधित कुछ बिंदुओं को जानना अतिरिक्त रूप से आवश्यक है।
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
यदि किसी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु और इस रेखा का दिशा वेक्टर ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है:
कभी-कभी इसे कहा जाता है रेखा का विहित समीकरण .
कब क्या करना है निर्देशांकों में से एकशून्य के बराबर है, हम नीचे व्यावहारिक उदाहरणों में समझेंगे। वैसे कृपया ध्यान दें - दोनों एक साथनिर्देशांक शून्य के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि शून्य वेक्टर कोई विशिष्ट दिशा निर्दिष्ट नहीं करता है।
उदाहरण 3
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें
समाधान: आइए सूत्र का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं। इस मामले में:
अनुपात के गुणों का उपयोग करके हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं: 
और हम समीकरण लाते हैं सामान्य उपस्थिति:
उत्तर:
एक नियम के रूप में, ऐसे उदाहरणों में चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन समझने के लिए: 
चित्र में हम प्रारंभिक बिंदु, मूल दिशा वेक्टर (इसे समतल पर किसी भी बिंदु से आलेखित किया जा सकता है) और निर्मित सीधी रेखा देखते हैं। वैसे, कई मामलों में कोणीय गुणांक वाले समीकरण का उपयोग करके एक सीधी रेखा बनाना सबसे सुविधाजनक होता है। हमारे समीकरण को रूप में बदलना और एक सीधी रेखा बनाने के लिए आसानी से दूसरे बिंदु का चयन करना आसान है।
जैसा कि पैराग्राफ की शुरुआत में बताया गया है, एक सीधी रेखा में अनंत रूप से कई दिशा वैक्टर होते हैं, और वे सभी संरेख होते हैं। उदाहरण के लिए, मैंने तीन ऐसे वेक्टर बनाए: 
. हम जो भी दिशा वेक्टर चुनें, परिणाम हमेशा एक ही सीधी रेखा समीकरण होगा।
आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:
अनुपात का समाधान:
दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें और परिचित समीकरण प्राप्त करें:
जो लोग रुचि रखते हैं वे उसी तरह से वैक्टर का परीक्षण कर सकते हैं 
या कोई अन्य संरेख वेक्टर।
आइए अब उलटी समस्या को हल करें:
एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करके दिशा वेक्टर कैसे खोजें?
बहुत सरल:
यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, तो वेक्टर इस रेखा का दिशा वेक्टर है।
सीधी रेखाओं के दिशा सदिश खोजने के उदाहरण: 
कथन हमें अनंत संख्या में से केवल एक दिशा वेक्टर खोजने की अनुमति देता है, लेकिन हमें और अधिक की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि कुछ मामलों में दिशा वैक्टर के निर्देशांक को कम करने की सलाह दी जाती है:
इस प्रकार, समीकरण एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करता है जो अक्ष के समानांतर है और परिणामी दिशा वेक्टर के निर्देशांक को आसानी से -2 से विभाजित किया जाता है, जिससे दिशा वेक्टर के रूप में बिल्कुल आधार वेक्टर प्राप्त होता है। तार्किक.
इसी प्रकार, समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करता है, और वेक्टर के निर्देशांक को 5 से विभाजित करके, हम इकाई वेक्टर को दिशा वेक्टर के रूप में प्राप्त करते हैं।
अब चलो यह करते हैं जाँच उदाहरण 3. उदाहरण ऊपर चला गया, इसलिए मैं आपको याद दिला दूं कि इसमें हमने एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के समीकरण को संकलित किया था
पहले तो, सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करके हम इसकी दिशा वेक्टर का पुनर्निर्माण करते हैं: 
- सब कुछ ठीक है, हमें मूल वेक्टर प्राप्त हो गया है (कुछ मामलों में परिणाम मूल वेक्टर के लिए एक संरेख वेक्टर हो सकता है, और यह आमतौर पर संबंधित निर्देशांक की आनुपातिकता द्वारा नोटिस करना आसान होता है)।
दूसरे, बिंदु के निर्देशांक को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। हम उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
सही समानता प्राप्त हुई, जिससे हम बहुत खुश हैं।'
निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ।
उदाहरण 4
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं। अभी चर्चा किए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके जांच करना अत्यधिक उचित है। हमेशा (यदि संभव हो तो) ड्राफ्ट की जांच करने का प्रयास करें। ऐसी गलतियाँ करना मूर्खता है जहाँ उनसे 100% बचा जा सकता है।
इस घटना में कि दिशा वेक्टर का एक निर्देशांक शून्य है, बहुत सरलता से आगे बढ़ें:
उदाहरण 5
समाधान: सूत्र उपयुक्त नहीं है क्योंकि दाहिनी ओर का हर शून्य है। वहाँ एक निकास है! अनुपात के गुणों का उपयोग करते हुए, हम सूत्र को फॉर्म में फिर से लिखते हैं, और बाकी को एक गहरी रट के साथ घुमाते हैं:
उत्तर:
इंतिहान:
1) सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को पुनर्स्थापित करें:
- परिणामी वेक्टर मूल दिशा वेक्टर के संरेख है।
2) बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में रखें: 
सही समानता प्राप्त होती है
निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ
सवाल उठता है कि अगर कोई सार्वभौमिक संस्करण है जो किसी भी मामले में काम करेगा तो सूत्र से परेशान क्यों हों? दो कारण हैं. सबसे पहले, सूत्र भिन्न के रूप में होता है बहुत बेहतर ढंग से याद किया गया. और दूसरी बात, नुकसान सार्वभौमिक सूत्रयह है कि भ्रमित होने का जोखिम काफी बढ़ जाता हैनिर्देशांक प्रतिस्थापित करते समय।
उदाहरण 6
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।
आइए सर्वव्यापी दो बिंदुओं पर वापस लौटें:
दो बिंदुओं का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण सूत्र का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है:
वास्तव में, यह एक प्रकार का सूत्र है और इसका कारण यह है: यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो वेक्टर दी गई रेखा का दिशा वेक्टर होगा। सबक पर डमी के लिए वेक्टरहमने माना सबसे सरल कार्य- दो बिंदुओं से एक वेक्टर के निर्देशांक कैसे खोजें। इस समस्या के अनुसार, दिशा वेक्टर के निर्देशांक हैं: 
टिप्पणी
: बिंदुओं को "स्वैप" किया जा सकता है और सूत्र का उपयोग किया जा सकता है 
. ऐसा समाधान समतुल्य होगा.
उदाहरण 7
दो बिंदुओं का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें 
.
समाधान: हम सूत्र का उपयोग करते हैं: 
हरों का संयोजन:
और डेक को फेरें: 
अब समय आ गया है छुटकारा पाने का भिन्नात्मक संख्याएँ. इस मामले में, आपको दोनों पक्षों को 6 से गुणा करना होगा: 
कोष्ठक खोलें और समीकरण को ध्यान में रखें: 
उत्तर:
इंतिहानस्पष्ट - निर्देशांक प्रारंभ विंदुपरिणामी समीकरण को संतुष्ट करना होगा:
1) बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें: 
सच्ची समानता.
2) बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें: 
सच्ची समानता.
निष्कर्ष: रेखा का समीकरण सही लिखा गया है।
अगर कम से कम एकअंकों का समीकरण समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, त्रुटि की तलाश करें।
यह ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में ग्राफिकल सत्यापन कठिन है, क्योंकि एक सीधी रेखा बनाएं और देखें कि क्या बिंदु उससे संबंधित हैं 
, इतना आसान नहीं।
मैं समाधान के कुछ और तकनीकी पहलुओं पर ध्यान दूंगा। शायद इस समस्या में दर्पण सूत्र का उपयोग करना अधिक लाभदायक है 
और, उन्हीं बिंदुओं पर 
एक समीकरण बनाएं: 
कम अंश. आप चाहें तो समाधान को अंत तक ले जा सकते हैं, परिणाम वही समीकरण होना चाहिए।
दूसरा बिंदु अंतिम उत्तर को देखना और यह पता लगाना है कि क्या इसे और सरल बनाया जा सकता है? उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण मिलता है, तो इसे दो से कम करने की सलाह दी जाती है: - समीकरण उसी सीधी रेखा को परिभाषित करेगा। हालाँकि, यह पहले से ही चर्चा का विषय है रेखाओं की सापेक्ष स्थिति.
जवाब मिल गया 
उदाहरण 7 में, बस मामले में, मैंने जाँच की कि क्या समीकरण के सभी गुणांक 2, 3 या 7 से विभाज्य हैं। हालाँकि, अक्सर ऐसी कटौती समाधान के दौरान की जाती है।
उदाहरण 8
बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें 
.
यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, जो आपको गणना तकनीकों को बेहतर ढंग से समझने और अभ्यास करने की अनुमति देगा।
पिछले पैराग्राफ के समान: यदि सूत्र में 
हर में से एक (दिशा वेक्टर का निर्देशांक) शून्य हो जाता है, फिर हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं। फिर, ध्यान दें कि वह कितनी अजीब और भ्रमित दिखती है। मुझे लाने का कोई खास मतलब नजर नहीं आता व्यावहारिक उदाहरण, चूँकि हमने वास्तव में ऐसी समस्या का समाधान पहले ही कर लिया है (देखें क्रमांक 5, 6)।
प्रत्यक्ष सामान्य वेक्टर (सामान्य वेक्टर)
सामान्य क्या है? सरल शब्दों में, सामान्य लंबवत है। अर्थात्, किसी रेखा का सामान्य सदिश किसी दी गई रेखा पर लंबवत होता है। जाहिर है, किसी भी सीधी रेखा में उनकी अनंत संख्या होती है (साथ ही दिशा सदिश भी), और सीधी रेखा के सभी सामान्य सदिश संरेख होंगे (कोडायरेक्शनल या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।
गाइड वैक्टर की तुलना में उनसे निपटना और भी आसान होगा:
यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, तो वेक्टर इस रेखा का सामान्य वेक्टर है।
यदि दिशा वेक्टर के निर्देशांक को समीकरण से सावधानीपूर्वक "बाहर निकालना" है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को आसानी से "हटाया" जा सकता है।
सामान्य वेक्टर हमेशा रेखा के दिशा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होता है। आइए हम इन वैक्टरों की ऑर्थोगोनैलिटी का उपयोग करके सत्यापित करें डॉट उत्पाद:
मैं दिशा वेक्टर के समान समीकरणों के साथ उदाहरण दूंगा: 
क्या एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए जाने पर एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना संभव है? मैं इसे अपने पेट में महसूस करता हूं, यह संभव है। यदि सामान्य वेक्टर ज्ञात है, तो सीधी रेखा की दिशा स्वयं स्पष्ट रूप से परिभाषित होती है - यह 90 डिग्री के कोण के साथ एक "कठोर संरचना" है।
एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
यदि किसी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु और इस रेखा का सामान्य वेक्टर ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
यहां सब कुछ भिन्न और अन्य आश्चर्यों के बिना ठीक हो गया। यह हमारा सामान्य वेक्टर है. उसे प्यार करें। और सम्मान =)
उदाहरण 9
एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण लिखें। रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।
समाधान: हम सूत्र का उपयोग करते हैं: 
सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त हो गया है, आइए जाँच करें:
1) समीकरण से सामान्य वेक्टर के निर्देशांक "हटाएं": 
- हाँ, वास्तव में, मूल वेक्टर स्थिति से प्राप्त किया गया था (या एक संरेख वेक्टर प्राप्त किया जाना चाहिए)।
2) आइए जाँच करें कि क्या बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है: 
सच्ची समानता.
जब हम आश्वस्त हो जाएं कि समीकरण सही ढंग से बना है, तो हम कार्य का दूसरा, आसान भाग पूरा करेंगे। हम सीधी रेखा का निर्देशन सदिश निकालते हैं: 
उत्तर: 
चित्र में स्थिति इस प्रकार दिखती है: 
प्रशिक्षण उद्देश्यों के लिए, स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए एक समान कार्य:
उदाहरण 10
एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण लिखें। रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।
पाठ का अंतिम भाग समतल पर एक रेखा के कम सामान्य, लेकिन महत्वपूर्ण प्रकार के समीकरणों के लिए समर्पित होगा
खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.
पैरामीट्रिक रूप में एक रेखा का समीकरण
खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है, जहां शून्येतर स्थिरांक होते हैं। कुछ प्रकार के समीकरणों को इस रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता (चूंकि मुक्त पद शून्य के बराबर है और किसी को दाईं ओर लाने का कोई तरीका नहीं है)।
यह, लाक्षणिक रूप से, एक "तकनीकी" प्रकार का समीकरण है। एक सामान्य कार्य एक रेखा के सामान्य समीकरण को खंडों में एक रेखा के समीकरण के रूप में प्रस्तुत करना है। यह कैसे सुविधाजनक है? खंडों में एक रेखा का समीकरण आपको समन्वय अक्षों के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को तुरंत खोजने की अनुमति देता है, जो उच्च गणित की कुछ समस्याओं में बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है।
आइए अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हम "y" को शून्य पर रीसेट करते हैं, और समीकरण रूप लेता है। वांछित बिंदु स्वचालित रूप से प्राप्त होता है:।
अक्ष के साथ भी ऐसा ही 
- वह बिंदु जिस पर सीधी रेखा कोटि अक्ष को काटती है।
परिभाषा।समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है
एक्स + वू + सी = 0,
इसके अलावा, स्थिरांक A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.मूल्यों पर निर्भर करता है स्थिरांक ए, बीऔर C निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है
ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा
बी = 0, ए ≠0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा
बी = सी = 0, ए ≠0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है
ए = सी = 0, बी ≠0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है
एक सीधी रेखा के समीकरण को इसमें दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपों मेंकिसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर।
एक बिंदु और सामान्य वेक्टर से सीधी रेखा का समीकरण
परिभाषा।कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।
उदाहरण. बिंदु A(1, 2) से (3, -1) के लंबवत गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान. A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 3 – 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x – y – 1 = 0.
दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण
मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश शून्य के बराबर होना चाहिए। समतल पर, ऊपर लिखी रेखा का समीकरण सरल है:
यदि x 1 ≠ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।
भिन्न = k कहा जाता है ढलानसीधा।
उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान।ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:
एक बिंदु और ढलान से एक सीधी रेखा का समीकरण
यदि कुल Ax + Bu + C = 0 है, तो इस प्रकार प्राप्त करें:
और नामित करें 
, तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.
एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण
एक सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा की परिभाषा और सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।
परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक स्थिति A α 1 + B α 2 = 0 को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहलाते हैं
एक्स + वू + सी = 0.
उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान।हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को शर्तों को पूरा करना होगा:
1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी.
फिर सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C/ A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात। आवश्यक समीकरण:
खंडों में एक रेखा का समीकरण
यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С≠0 है, तो, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: 
या
ज्यामितीय अर्थगुणांक वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।
उदाहरण।रेखा x – y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।
सी = 1, , ए = -1, बी = 1.
एक रेखा का सामान्य समीकरण
यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को संख्या से गुणा किया जाता है 
जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
एक रेखा का सामान्य समीकरण. सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
उदाहरण. सीधी रेखा 12x – 5y – 65 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए आपको लिखना होगा विभिन्न प्रकार केइस रेखा के समीकरण.
खंडों में इस रेखा का समीकरण: 
ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)
; क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5.
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।
उदाहरण. सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि इन खंडों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।
समाधान।सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: , ab /2 = 8; एबी=16; ए=4, ए=-4. ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
उदाहरण. बिंदु A(-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।
समाधान.
सीधी रेखा का समीकरण है: 
, जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; आप 2 = -3.
समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण
परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा
.
यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं। यदि k 1 = -1/ k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।
प्रमेय.रेखाएँ Ax + Bу + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 = λA, B 1 = λB आनुपातिक हैं। यदि C 1 = λC भी है, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।
किसी दिए गए रेखा के लंबवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:
बिंदु से रेखा की दूरी
प्रमेय.यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा Ax + Bу + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है
.
सबूत।मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:
(1)
समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:
सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए रेखा के लंबवत बिंदु M 0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:
इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
के 1 = -3; के 2 = 2; टीजीφ = 
; φ= π /4.
उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।
समाधान. हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।
उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 एक्स - 3 वाई + 3 = 0;
आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। क = . फिर y = . क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: 
जहाँ से b = 17. कुल: . 
उत्तर: 3 x + 2 y – 34 = 0.
यह लेख एक समतल पर एक रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: हम इस प्रकार के समीकरण को एक रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानेंगे। आइए हम प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक रेखा का अपूर्ण सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में परिवर्तन कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को उदाहरणों और व्यावहारिक समस्याओं के समाधान के साथ सुदृढ़ करेंगे।
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मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y निर्दिष्ट की गई है।
प्रमेय 1
पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C = 0 है, जहां A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएं हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं), एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी मानों के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।
सबूत
इस प्रमेय में दो बिंदु हैं; हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।
- आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
मान लीजिए कि कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के अनुरूप हैं। इस प्रकार: A x 0 + B y 0 + C = 0. समीकरण A x + B y + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्षों से समीकरण A x 0 + B y 0 + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्षों को घटाएँ, हमें एक नया समीकरण प्राप्त होता है जो A (x) जैसा दिखता है - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।
परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 आवश्यक है तथा पर्याप्त स्थितिसदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) की लंबवतता। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट एम (एक्स, वाई) वेक्टर एन → = (ए, बी) की दिशा के लंबवत एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।
नतीजतन, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C = 0 परिभाषित करता है एक ही पंक्ति. इस प्रकार हमने प्रमेय का पहला भाग सिद्ध किया।
- आइए हम एक प्रमाण प्रदान करें कि एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में किसी भी सीधी रेखा को पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।
आइए हम एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a को परिभाषित करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिससे होकर यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A, B) है।
मान लीजिए कि कोई बिंदु M (x, y) भी है - एक रेखा पर एक तैरता हुआ बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C को परिभाषित करें: C = - A x 0 - B y 0 और अंतिम परिणाम के रूप में हमें समीकरण A x + B y + C = मिलता है। 0.
तो, हमने प्रमेय का दूसरा भाग सिद्ध कर लिया है, और हमने संपूर्ण प्रमेय सिद्ध कर दिया है।
परिभाषा 1
प्रपत्र का एक समीकरणए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह एक रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल परऑक्सी.
सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर परिभाषित एक सीधी रेखा और उसके सामान्य समीकरण का अटूट संबंध है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा इसके सामान्य समीकरण से मेल खाती है; किसी रेखा का सामान्य समीकरण किसी दी गई रेखा से मेल खाता है।
प्रमेय के प्रमाण से यह भी पता चलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो रेखा A x + B y + C = के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है 0.
आइए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।
मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से मेल खाता है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) . आइए ड्राइंग में दी गई सीधी रेखा खींचें।
हम निम्नलिखित भी बता सकते हैं: रेखाचित्र में जो सीधी रेखा हम देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित होती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा पर सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।
हम रेखा के सामान्य समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के बराबर न होने वाली संख्या λ से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल पर उसी सीधी रेखा का वर्णन करेगा।
परिभाषा 2एक रेखा का सामान्य समीकरण पूरा करें- सीधी रेखा A x + B y + C = 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्या A, B, C शून्य से भिन्न हों। अन्यथा समीकरण है अधूरा.
आइए हम एक रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।
- जब A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C = 0 का रूप लेता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए चर y मान लेगा - सी बी . दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C = 0 का सामान्य समीकरण, जब A = 0, B ≠ 0, बिंदुओं (x, y) का स्थान निर्दिष्ट करता है, जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी .
- यदि A = 0, B ≠ 0, C = 0, तो सामान्य समीकरण y = 0 का रूप लेता है। यह अधूरा समीकरणभुज अक्ष O x को परिभाषित करता है।
- जब A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, तो हमें एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 प्राप्त होता है, जो कोटि के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
- मान लीजिए A ≠ 0, B = 0, C = 0, तो अधूरा सामान्य समीकरण x = 0 का रूप लेगा, और यह निर्देशांक रेखा O y का समीकरण है।
- अंततः, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 के लिए, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y = 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0, 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0.
आइए हम एक सीधी रेखा के उपरोक्त सभी प्रकार के अपूर्ण सामान्य समीकरणों को ग्राफिक रूप से चित्रित करें।
उदाहरण 1
यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7, - 11 से होकर गुजरती है। दी गई रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।
समाधान
कोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C = 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A ≠ 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात। समानता सत्य है:
ए 2 7 + सी = 0
इससे सी का निर्धारण करना संभव है यदि हम ए को कुछ गैर-शून्य मान देते हैं, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 · 2 7 + सी = 0 ⇔ सी = - 2. हम दोनों गुणांक A और C जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और आवश्यक सीधी रेखा समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0
उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0
उदाहरण 2
चित्र एक सीधी रेखा दिखाता है; आपको उसका समीकरण लिखना होगा।
समाधान
दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। चित्र में हम देखते हैं कि दी गई सीधी रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।
सीधी रेखा, जो भुज के समानांतर है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + C = 0 द्वारा निर्धारित होती है। आइए B और C का मान ज्ञात करें। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई रेखा इसके माध्यम से गुजरती है, रेखा B y + C = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: B · 3 + C = 0. आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लीजिए कि बी = 1, इस स्थिति में समानता बी · 3 + सी = 0 से हम सी: सी = - 3 पा सकते हैं। हम उपयोग करते हैं ज्ञात मूल्यबी और सी, हमें सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण प्राप्त होता है: y - 3 = 0.
उत्तर:आप - 3 = 0 .
किसी समतल में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का सामान्य समीकरण
मान लीजिए कि दी गई रेखा बिंदु M 0 (x 0 , y 0) से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0. आइए हम इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सामान्य के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ पूरा समीकरणसीधा। हमें मिलता है: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, यह समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और इसका एक सामान्य समीकरण है वेक्टर एन → = (ए, बी) .
हमने जो परिणाम प्राप्त किया, उससे सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना संभव हो जाता है ज्ञात निर्देशांकएक रेखा का सामान्य वेक्टर और इस रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक।
उदाहरण 3
एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिससे होकर एक रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर एन → = (1 , - 2) . दी गई रेखा का समीकरण लिखना आवश्यक है।
समाधान
प्रारंभिक स्थितियाँ हमें समीकरण बनाने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए = 1, बी = - 2, एक्स 0 = - 3, वाई 0 = 4। तब:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण A x + B y + C = 0 है। दिया गया सामान्य वेक्टर हमें गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
आइए अब समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें, जिससे होकर सीधी रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी = 0. अत: C = 11. आवश्यक सीधी रेखा समीकरण इस प्रकार है: x - 2 · y + 11 = 0.
उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0 .
उदाहरण 4
एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और इस रेखा पर स्थित एक बिंदु M 0 दिया गया है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात है, और यह -3 के बराबर है। किसी दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान
आइए हम बिंदु M 0 के निर्देशांक को x 0 और y 0 के रूप में निर्दिष्ट करें। स्रोत डेटा इंगित करता है कि x 0 = - 3. चूँकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं। तब समानता सत्य होगी:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
परिभाषित करें y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
उत्तर: - 5 2
किसी रेखा के सामान्य समीकरण से रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत
जैसा कि हम जानते हैं, एक समतल पर एक ही सीधी रेखा के लिए कई प्रकार के समीकरण होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसे हल करने के लिए जो अधिक सुविधाजनक हो उसे चुनना संभव है। एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल यहाँ बहुत उपयोगी है।
सबसे पहले, आइए प्रपत्र A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।
यदि A ≠ 0 है, तो हम पद B y को स्थानांतरित करते हैं दाहिनी ओरसामान्य समीकरण. बाईं ओर हम कोष्ठक से A निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: ए एक्स + सी ए = - बी वाई।
इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A.
यदि B ≠ 0 है, तो हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल पद A x छोड़ते हैं, अन्य को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: A x = - B y - C. हम कोष्ठक से - B निकालते हैं, फिर: A x = - B y + C B .
आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A.
निस्संदेह, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित समीकरण की ओर बढ़ते समय क्रियाओं के एल्गोरिदम को जानना पर्याप्त है।
उदाहरण 5
रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे विहित समीकरण में बदलना आवश्यक है।
समाधान
चलो इसे लिख लें मूल समीकरणजैसे 3 y - 4 = 0 . आगे, हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाहिनी ओर हम कोष्ठक में से - 3 डालते हैं; हमें मिलता है: 0 x = - 3 y - 4 3।
आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0। इस प्रकार, हमें विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त हुआ है।
उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.
किसी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक समीकरण में बदलने के लिए, पहले विहित रूप में परिवर्तन करें, और फिर से परिवर्तन करें विहित समीकरणपैरामीट्रिक समीकरणों के लिए सीधी रेखा।
उदाहरण 6
सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस पंक्ति के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।
समाधान
आइए हम सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
अब हम परिणामी विहित समीकरण के दोनों पक्षों को λ के बराबर लेते हैं, फिर:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
उत्तर:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
सामान्य समीकरण को ढलान y = k · x + b के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B ≠ 0 हो। संक्रमण के लिए, हम शब्द B y को बाईं ओर छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं। हमें मिलता है: बी वाई = - ए एक्स - सी। आइए परिणामी समानता के दोनों पक्षों को शून्य से भिन्न, B से विभाजित करें: y = - A B x - C B.
उदाहरण 7
रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0. आपको उस समीकरण को ढलान समीकरण में बदलना होगा।
समाधान
आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
उत्तर: y = - 2 7 x .
एक रेखा के सामान्य समीकरण से, x a + y b = 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करना पर्याप्त है। ऐसा परिवर्तन करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर ले जाते हैं, परिणामी समानता के दोनों पक्षों को - C से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांकों को हर में स्थानांतरित करते हैं:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
उदाहरण 8
रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों वाली रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।
समाधान
आइए 1 2 को दाहिनी ओर ले जाएँ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।
आइए समानता के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।
उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।
सामान्य तौर पर, विपरीत संक्रमण भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य समीकरणों तक।
खंडों में एक रेखा के समीकरण और कोणीय गुणांक वाले समीकरण को समानता के बाईं ओर के सभी पदों को एकत्रित करके आसानी से एक सामान्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य समीकरण में परिवर्तित किया जाता है:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
पैरामीट्रिक से आगे बढ़ने के लिए, पहले विहित की ओर जाएं, और फिर सामान्य की ओर:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
उदाहरण 9
रेखा x = - 1 + 2 · λ y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।
समाधान
आइए हम पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित समीकरणों में परिवर्तन करें:
x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
आइए विहित से सामान्य की ओर चलें:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
उत्तर: y - 4 = 0
उदाहरण 10
खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य स्वरूप में परिवर्तन करना आवश्यक है।
समाधान:
हम बस समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
एक रेखा का सामान्य समीकरण बनाना
हमने ऊपर कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित की जाती है। वहां हमने संबंधित उदाहरण का भी विश्लेषण किया।
अब आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें, जिसमें सबसे पहले हमें सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता है।
उदाहरण 11
रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M 0 (4, 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई रेखा का समीकरण लिखना आवश्यक है।
समाधान
प्रारंभिक स्थितियाँ हमें बताती हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं, फिर, रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में, जिसका समीकरण लिखने की आवश्यकता है, हम रेखा का दिशा वेक्टर लेते हैं n → = (2, - 3): 2 x - 3 य + 3 3 = 0. अब हम रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:
ए (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।
उदाहरण 12
दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 के लंबवत गुजरती है। किसी दी गई रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण बनाना आवश्यक है।
समाधान
किसी दी गई रेखा का सामान्य वेक्टर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा वेक्टर होगा।
फिर n → = (3, 5) . सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, अर्थात। बिंदु O (0, 0) से होकर। आइए किसी दी गई रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण बनाएं:
ए (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
उत्तर: 3 एक्स + 5 वाई = 0 .
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