दो बिंदुओं के निर्देशांकों का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें। समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

किन्हीं दो असंयोजक बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

एक समतल में दो अपसारी रेखाएँ या तो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या होती हैं

समानांतर (पिछले वाले से अनुसरण करता है)।

में त्रि-आयामी स्थानदो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा— प्रथम क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा

समतल पर प्रथम डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा दिया गया है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

परिभाषा. समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं. इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है सामान्य

एक सीधी रेखा का समीकरण.स्थिरांक के मूल्यों पर निर्भर करता है ए, बीऔर साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए ≠0, बी ≠ 0- एक सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए ≠0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = सी = 0, ए ≠0- सीधी रेखा अक्ष से संपाती होती है ओह

. ए = सी = 0, बी ≠0- सीधी रेखा अक्ष से संपाती होती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी भी दिए गए आधार पर विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है

प्रारंभिक शर्तें.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक सामान्य वेक्टर का समीकरण।

परिभाषा. कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1,2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

आइए दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें, इसलिए हमें मिलता है: 3 - 2 + C = 0

सी = -1. कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),तब एक रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरना:

यदि कोई भी हर शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर x 1 ≠ x 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = कबुलाया ढलान प्रत्यक्ष.

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि रेखा का सामान्य समीकरण एक्स + वू + सी = 0नेतृत्व करने के लिए:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक निर्देशन सदिश।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1 , α 2), जिसके घटक शर्त को पूरा करते हैं

एα 1 + बीα 2 = 0बुलाया एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश।

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0.परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, अर्थात। ए = बी.

तब सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0.

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, यानी आवश्यक समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

मैं फ़िन सामान्य समीकरणसीधी रेखा Ах + Ву + С = 0 С≠0, फिर, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

या जहां

ज्यामितीय अर्थगुणांक यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

अक्ष के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0.इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्ष एक्स + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± इसलिए चुना जाना चाहिए μ*सी< 0.

आर- मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई,

ए φ - इस लम्ब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0. लिखना आवश्यक है विभिन्न प्रकारसमीकरण

यह सीधी रेखा.

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से भाग दें)

एक रेखा का समीकरण:

क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से होकर गुज़रना।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, फिर इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समान्तर हैं यदि क 1 = क 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर क 1 = -1/ क 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष एक्स + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0समानांतर जब गुणांक आनुपातिक हों

ए 1 = λए, बी 1 = λबी. यदि भी С 1 = λС, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

गुजरने वाली रेखा का समीकरण यह बिंदुइस रेखा के लंबवत.

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया गया है एम(एक्स 0, वाई 0),फिर सीधी रेखा की दूरी एक्स + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित:

सबूत. आइए बात को स्पष्ट करें एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- एक बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1 परसमीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण इससे गुजरने वाली रेखा का समीकरण है दिया गया बिंदुम0 लम्बवत्

सीधी रेखा दी गई है. यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

ए(एक्स - एक्स 0) + बी(वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा।समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.मूल्यों पर निर्भर करता है स्थिरांक ए, बीऔर C निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए ≠0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए ≠0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी ≠0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और सामान्य वेक्टर से सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) से (3, -1) के लंबवत गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. A = 3 और B = -1 के साथ, आइए सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: 3 – 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x – y – 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, ऊपर लिखी रेखा का समीकरण सरल है:

यदि x 1 ≠ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

भिन्न = k कहा जाता है ढलानप्रत्यक्ष।

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान से एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल Ax + Bu + C = 0 है, तो इस प्रकार प्राप्त करें:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणके.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण

एक सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा की परिभाषा और सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक स्थिति A α 1 + B α 2 = 0 को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहलाते हैं

एक्स + वू + सी = 0.

उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।हम वांछित रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी.

फिर सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C/ A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

खंडों में एक रेखा का समीकरण

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С≠0 है, तो, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x – y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को संख्या से गुणा किया जाता है जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

एक रेखा का सामान्य समीकरण. सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण. रेखा 12x – 5y – 65 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण. सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि इन खंडों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

समाधान।सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: , ab /2 = 8; एबी=16; ए=4, ए=-4. ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण. बिंदु A(-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान. सीधी रेखा का समीकरण है: , जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; आप 2 = -3.

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

.

यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं। यदि k 1 = -1/ k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।

प्रमेय.रेखाएँ Ax + Bу + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 = λA, B 1 = λB आनुपातिक हैं। यदि C 1 = λC भी है, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए रेखा के लंबवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय.यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा Ax + Bу + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए रेखा के लंबवत बिंदु M 0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

के 1 = -3; के 2 = 2; टीजीφ = ; φ= π /4.

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 x = 6 y – 6;

2 एक्स – 3 वाई + 3 = 0;

आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। क = . फिर y = . क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहाँ से b = 17. कुल: .

उत्तर: 3 x + 2 y – 34 = 0.

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण हैं जो दिशा वेक्टर के संरेख में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, अर्थात, उनके लिए शर्त संतुष्ट है:

.

उपरोक्त समीकरण हैं विहित समीकरणप्रत्यक्ष।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक साथ शून्य के बराबर नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित प्रविष्टि की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा परिभाषित वेक्टर और रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .

उदाहरण 1.किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए समीकरण लिखें और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस .

समाधान। आइए अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें आउंस. चूँकि अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं एक्स = वाई = 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है दिया गया विमान.

आइए अब एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के लिए आवश्यक समीकरण लिखें ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा निर्धारित करते हैं।

उदाहरण 2.अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। आइए सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए फॉर्म में आवश्यक सीधी रेखा समीकरण लिखें:

.

चूँकि, तब वांछित सीधी रेखा अक्ष पर लंबवत होती है ओए .

समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समान सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान। किसी रेखा के विहित समीकरण या, वही बात, दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखने के लिए, आपको रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .

एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित पंक्ति। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

आइए अब बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखें ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

मान लीजिए कि रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप y-y 1 = है के (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ के - अभी भी अज्ञात गुणांक.

चूँकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण (10.6) को संतुष्ट करना होगा: y 2 -y 1 = के (एक्स 2 - एक्स 1).

यहां से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं के समीकरण (10.6) में, हम बिंदु एम 1 और एम 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

यदि x 1 = x 2, तो बिंदु M 1 (x 1,y I) और M 2 (x 2,y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 = y I, तो रेखा का समीकरण y = y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 भुज अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a;0), और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0;b) पर प्रतिच्छेद करती है। समीकरण इस प्रकार बनेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करती है कि रेखा निर्देशांक अक्षों पर किन खंडों को काटती है.

किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

आइए रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात

ए(एक्स - एक्सओ) + बी(वाई - यो) = 0. (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण .

वेक्टर n= (ए; बी), रेखा के लंबवत, को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहां A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C = -Ax o - Vu o मुक्त पद है। समीकरण (10.9) रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

चित्र.1 चित्र.2

रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ
- उस बिंदु के निर्देशांक जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर.

दूसरा क्रम वक्र वृत्त

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समूह है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या वाले एक वृत्त का विहित समीकरण आर बिंदु पर केंद्र के साथ
:

विशेष रूप से, यदि दांव का केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग होता है और , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मात्रा है
, foci के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका नाभि ऑक्स अक्ष पर स्थित है, और नाभियों के बीच में निर्देशांक की उत्पत्ति का रूप है
जी डेए अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई;बी - अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई (चित्र 2)।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशेष मामले:

ए) यदि सी= 0, समीकरण (2) का रूप होगा

कुल्हाड़ी + द्वारा = 0,

और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि मूल के निर्देशांक हैं एक्स = 0, य= 0 इस समीकरण को संतुष्ट करें।

बी) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) बी= 0, तब समीकरण रूप लेता है

कुल्हाड़ी + साथ= 0, या .

समीकरण में कोई चर नहीं है य, और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है ओए.

ग) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) ए= 0, तो यह समीकरण रूप ले लेगा

द्वारा + साथ= 0, या ;

समीकरण में कोई चर नहीं है एक्स, और यह जिस सीधी रेखा को परिभाषित करता है वह अक्ष के समानांतर है बैल.

यह याद रखना चाहिए: यदि एक सीधी रेखा किसी निर्देशांक अक्ष के समानांतर है, तो उसके समीकरण में इस अक्ष के समान नाम के निर्देशांक वाला कोई पद नहीं है।

घ) कब सी= 0 और ए= 0 समीकरण (2) का रूप लेता है द्वारा= 0, या य = 0.

यह अक्ष का समीकरण है बैल.

घ) कब सी= 0 और बी= 0 समीकरण (2) के रूप में लिखा जायेगा कुल्हाड़ी= 0 या एक्स = 0.

यह अक्ष का समीकरण है ओए.

पारस्परिक स्थितिसमतल पर सीधी रेखाएँ। समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण। समानांतर रेखाओं के लिए शर्त. रेखाओं की लम्बवत स्थिति.

एल 1 एल 2 एल 1: ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0
एल 2: ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0

S 2 S 1 वेक्टर S 1 और S 2 को उनकी रेखाओं के लिए मार्गदर्शक कहा जाता है।

सीधी रेखाओं l 1 और l 2 के बीच का कोण दिशा सदिशों के बीच के कोण से निर्धारित होता है।
प्रमेय 1: l 1 और l 2 के बीच के कोण का cos = cos(l 1 ; l 2) =

प्रमेय 2: 2 पंक्तियों के बराबर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:

प्रमेय 3:दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:

एल 1 एल 2 ó ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0

सामान्य समतल समीकरण और उसके विशेष मामले। खंडों में एक समतल का समीकरण.

सामान्य समतल समीकरण:

Ax + By + Cz + D = 0

विशेष स्थितियां:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है

2. С=0 Ax+By+D = 0 – समतल || आउंस

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – समतल || ओए

4. A=0 By+Cz+D = 0 – समतल || बैल

5. A=0 और D=0 By+Cz = 0 - विमान OX से होकर गुजरता है

6. B=0 और D=0 Ax+Cz = 0 - विमान OY से होकर गुजरता है

7. C=0 और D=0 Ax+By = 0 - विमान OZ से होकर गुजरता है

अंतरिक्ष में समतलों और सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति:

1. अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है।

कॉस (एल 1 ; एल 2) = कॉस (एस 1 ; एस 2) = =

2. तलों के बीच का कोण उनके सामान्य सदिशों के बीच के कोण से निर्धारित होता है।

कॉस (एल 1 ; एल 2) = कॉस(एन 1 ; एन 2) = =

3. रेखा और तल के बीच के कोण की कोज्या रेखा के दिशा सदिश और तल के सामान्य सदिश के बीच के कोण के पाप के माध्यम से पाई जा सकती है।

4. 2 सीधे || अंतरिक्ष में जब उनके || वेक्टर गाइड

5. 2 विमान || जब || सामान्य वेक्टर

6. रेखाओं और तलों की लंबवतता की अवधारणाओं को इसी तरह पेश किया गया है।

प्रश्न क्रमांक 14

विभिन्न प्रकारएक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण (कोण गुणांक आदि के साथ खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण)

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण:
आइए मान लें कि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।

2. ए = 0 वीयू + सी = 0 वाई =

3. बी = 0 एक्स + सी = 0 एक्स =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण:

कोई भी सीधी रेखा जो ऑप-एम्प अक्ष (बी नहीं = 0) के बराबर नहीं है, उसे अगली पंक्ति में लिखा जा सकता है। रूप:

k = tanα α - सीधी रेखा और सकारात्मक रूप से निर्देशित रेखा OX के बीच का कोण

बी - ऑप-एम्प की धुरी के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु

दस्तावेज़:

एक्स+बाय+सी = 0

वू= -आह-एस |:बी

दो बिंदुओं पर आधारित एक सीधी रेखा का समीकरण:

प्रश्न क्रमांक 16

एक बिंदु पर और x→∞ के लिए किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा

x0 पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x→x 0 के लिए फ़ंक्शन y = f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी E > 0 के लिए b > 0 मौजूद है जैसे कि x ≠x 0 के लिए असमानता को संतुष्ट करना |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

सीमा को निम्न द्वारा दर्शाया गया है: = ए

बिंदु +∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x पर फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है → + ∞ , यदि किसी E > 0 के लिए C > 0 मौजूद है जैसे कि x > C के लिए असमानता |f(x) - A|< Е

सीमा को निम्न द्वारा दर्शाया गया है: = ए

बिंदु पर अंतिम सीमा -∞:

संख्या A को फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है x→-∞,यदि किसी ई के लिए< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е