9. सतत यादृच्छिक मूल्य, इसकी संख्यात्मक विशेषताएँ
एक सतत यादृच्छिक चर को दो फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। यादृच्छिक चर X का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शनसमानता द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन कहा जाता है 
.
अभिन्न फलन देता है सामान्य विधिअसतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों के असाइनमेंट। सतत यादृच्छिक चर के मामले में. सभी घटनाओं की समान संभावना है, इस अंतराल पर अभिन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर, यानी। उदाहरण के लिए, उदाहरण 26 में निर्दिष्ट असतत यादृच्छिक चर के लिए, हमारे पास है:
इस प्रकार, विचाराधीन फ़ंक्शन के अभिन्न फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऑक्स अक्ष के समानांतर दो किरणों और तीन खंडों का एक संघ है।
उदाहरण 27. निरंतर यादृच्छिक चर X को अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है
.
इंटीग्रल फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और प्रायिकता ज्ञात करें कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर X अंतराल (0.5;1.5) में एक मान लेगा।
समाधान। अंतराल पर 
ग्राफ़ सीधी रेखा y = 0 है। 0 से 2 के अंतराल में समीकरण द्वारा दिया गया एक परवलय है 
. अंतराल पर 
ग्राफ़ सीधी रेखा y = 1 है।
संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर X अंतराल (0.5;1.5) में एक मान लेगा, सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है।
इस प्रकार, ।
अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के गुण:
किसी अन्य फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करना सुविधाजनक है, अर्थात्, संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
.
संभावना है कि यादृच्छिक चर X द्वारा ग्रहण किया गया मान अंतराल के भीतर आता है 
, समानता से निर्धारित होता है 
.
फ़ंक्शन का ग्राफ़ कहा जाता है वितरण वक्र. ज्यामितीय रूप से, एक यादृच्छिक चर 
.
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के गुण:
9.1. सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ
अपेक्षित मूल्यएक सतत यादृच्छिक चर X का (औसत मान) समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है 
.
M(X) द्वारा निरूपित किया जाता है ए. एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समान है पृथक मात्रा, गुण:
झगड़ाअसतत यादृच्छिक चर X कहा जाता है अपेक्षित मूल्यकिसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन का वर्ग, अर्थात . एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण सूत्र द्वारा दिया जाता है 
.
फैलाव में निम्नलिखित गुण हैं:
किसी सतत यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात करने के लिए अंतिम गुण का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है।
मानक विचलन की अवधारणा को इसी तरह पेश किया गया है। सतत का मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है, अर्थात 
.
उदाहरण 28. एक सतत यादृच्छिक चर X को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है 
अंतराल (10;12) में, इस अंतराल के बाहर फ़ंक्शन का मान 0 है। 1) पैरामीटर का मान ज्ञात करें ए, 2) गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), विचरण 
, मानक विचलन, 3) अभिन्न फलन 
और अभिन्न और विभेदक कार्यों के ग्राफ़ बनाएं।
1). एक पैरामीटर खोजने के लिए एसूत्र का प्रयोग करें 
. हम इसे प्राप्त कर लेंगे. इस प्रकार, 
.
2). गणितीय अपेक्षा ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है 
.
हम सूत्र का उपयोग करके विचरण ज्ञात करेंगे: 
, अर्थात। .
आइए सूत्र का उपयोग करके मानक विचलन ज्ञात करें:, जिससे हमें वह मिलता है 
.
3). अभिन्न फलन को संभाव्यता घनत्व फलन के माध्यम से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 
. इस तरह, 
पर 
, = 0 पर 
यू = 1 बजे 
.
इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 4. और अंजीर. 5.
चित्र.4 चित्र.5.
9.2. एक सतत यादृच्छिक चर का समान संभाव्यता वितरण
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण के बराबरअंतराल पर यदि इसकी संभाव्यता घनत्व इस अंतराल पर स्थिर है और इस अंतराल के बाहर शून्य के बराबर है, अर्थात। . इस मामले में यह दिखाना आसान है 
.
यदि अंतराल 
तब अंतराल में समाहित है 
.
उदाहरण 29.एक तात्कालिक सिग्नल घटना एक बजे से पांच बजे के बीच होनी चाहिए। सिग्नल प्रतीक्षा समय एक यादृच्छिक चर X है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिग्नल का पता दोपहर दो से तीन बजे के बीच लगाया जाएगा।
समाधान। यादृच्छिक चर 
.
शैक्षिक और अन्य साहित्य में, उन्हें अक्सर साहित्य में दर्शाया जाता है 
.
9.3. सतत यादृच्छिक चर का सामान्य संभाव्यता वितरण
एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को सामान्य कहा जाता है यदि इसका संभाव्यता वितरण कानून संभाव्यता घनत्व द्वारा निर्धारित किया जाता है 
. ऐसी मात्रा के लिए ए- अपेक्षित मूल्य, 
- मानक विचलन।
प्रमेय. सामान्य रूप से वितरित निरंतर यादृच्छिक चर के किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना 
सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है 
, कहाँ 
- लाप्लास समारोह.
इस प्रमेय का एक परिणाम है तीन का नियमसिग्मा, यानी यह लगभग निश्चित है कि एक सामान्य रूप से वितरित, निरंतर यादृच्छिक चर X अंतराल में अपना मान लेता है 
. यह नियम सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है 
, जो तैयार किए गए प्रमेय का एक विशेष मामला है।
उदाहरण 30.टीवी का परिचालन जीवन एक यादृच्छिक चर X है, जो सामान्य वितरण कानून के अधीन है वारंटी अवधि 15 वर्ष और 3 वर्ष का मानक विचलन। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि टीवी 10 से 20 वर्ष तक चलेगा।
समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार गणितीय अपेक्षा ए= 15, मानक विचलन.
पता लगाते हैं . इस प्रकार, टीवी के 10 से 20 वर्ष तक चलने की संभावना 0.9 से अधिक है।
9.4. चेबीशेव की असमानता
घटित होना चेबीशेव की लेम्मा. यदि एक यादृच्छिक चर X केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है और गणितीय अपेक्षा रखता है, तो किसी भी सकारात्मक के लिए वी
.
इसे विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के योग के रूप में मानते हुए, हम इसे प्राप्त करते हैं 
.
चेबीशेव का प्रमेय. यदि यादृच्छिक चर X का परिमित विचरण है 
और गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), फिर किसी भी सकारात्मक के लिए 
असमानता सत्य है
.
यह कहां से इसका अनुसरण करता है 
.
उदाहरण 31.भागों का एक बैच तैयार किया गया है. भागों की औसत लंबाई 100 सेमी है, और मानक विचलन 0.4 सेमी है। नीचे प्रायिकता का अनुमान लगाएं कि यादृच्छिक रूप से लिए गए भाग की लंबाई कम से कम 99 सेमी होगी। और 101 सेमी से अधिक नहीं।
समाधान। विचरण. गणितीय अपेक्षा 100 है। इसलिए, प्रश्न में घटना की संभावना का अनुमान नीचे से लगाया जा सकता है 
आइए हम चेबीशेव की असमानता को लागू करें, जिसमें 
, तब 
.
10. गणितीय सांख्यिकी के तत्व
सांख्यिकीय समुच्चयसजातीय वस्तुओं या घटनाओं के एक समूह को नाम दें। संख्या पीइस सेट के तत्वों को संग्रह का आयतन कहा जाता है। देखे गए मूल्य 
गुण X कहलाता है विकल्प. यदि विकल्पों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाए तो हमें प्राप्त होता है असतत भिन्नता श्रृंखला. समूहीकरण के मामले में, अंतराल द्वारा विकल्प निकलता है अंतराल भिन्नता श्रृंखला. अंतर्गत आवृत्ति टीविशिष्ट मान किसी दिए गए प्रकार के साथ जनसंख्या के सदस्यों की संख्या को समझते हैं।
किसी सांख्यिकीय जनसंख्या की आवृत्ति और आयतन के अनुपात को कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तिसंकेत: 
.
विकल्पों के बीच संबंध विविधता श्रृंखलाऔर उनकी आवृत्तियाँ कहलाती हैं नमूने का सांख्यिकीय वितरण. सांख्यिकीय वितरण का चित्रमय प्रतिनिधित्व हो सकता है बहुभुजआवृत्ति
उदाहरण 32.प्रथम वर्ष के 25 छात्रों का सर्वेक्षण करके, उनकी उम्र के बारे में निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया गया: 
. लिखें सांख्यिकीय वितरणउम्र के अनुसार छात्र भिन्नता की सीमा का पता लगाएं, एक आवृत्ति बहुभुज का निर्माण करें और सापेक्ष आवृत्तियों के वितरण की एक श्रृंखला संकलित करें।
समाधान। सर्वेक्षण से प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके, हम नमूने का एक सांख्यिकीय वितरण तैयार करेंगे
|
भिन्नता नमूने की सीमा 23 - 17 = 6 है। एक आवृत्ति बहुभुज बनाने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु बनाएं 
और उन्हें श्रृंखला में जोड़ें।
सापेक्ष आवृत्ति वितरण श्रृंखला का रूप है:
|
10.1.विविधता श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताएँ
मान लीजिए कि नमूना फ़ीचर X की आवृत्ति वितरण की एक श्रृंखला द्वारा दिया गया है:
|
|
|
|
||
|
|
|
सभी आवृत्तियों का योग बराबर है पी।
नमूने का अंकगणितीय माध्यमात्रा का नाम बताएं 
.
झगड़ाया किसी विशेषता X के मानों के उसके अंकगणितीय माध्य के संबंध में फैलाव के माप को मान कहा जाता है 
. मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है, अर्थात .
नमूने के अंकगणितीय माध्य के मानक विचलन का अनुपात, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, कहा जाता है गुणांक का परिवर्तन:
.
अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरण फ़ंक्शनएक फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान के लिए किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है 
, अर्थात। 
, कहाँ 
- विकल्पों की संख्या, छोटी एक्स, ए पी- नमूने का आकार।
उदाहरण 33.उदाहरण 32 की शर्तों के तहत, संख्यात्मक विशेषताएँ खोजें 
.
समाधान। आइए, सूत्र का उपयोग करके नमूने का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें।
गुण X का विचरण सूत्र द्वारा पाया जाता है: , अर्थात। नमूने का मानक विचलन है 
. भिन्नता का गुणांक है 
.
10.2. सापेक्ष आवृत्ति द्वारा संभाव्यता अनुमान। विश्वास अंतराल
इसे क्रियान्वित किया जाये पीस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना ए के घटित होने की संभावना स्थिर और बराबर है आर. इस मामले में, संभावना है कि सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना से पूर्ण मूल्य में भिन्न होगी, इससे अधिक नहीं है, लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन के मूल्य के लगभग दोगुने के बराबर है: 
.
अंतराल अनुमानऐसे अनुमान को कॉल करें, जो दो संख्याओं द्वारा निर्धारित किया जाता है जो सांख्यिकीय जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर को कवर करने वाले अंतराल के अंत हैं।
विश्वास अंतराल
एक अंतराल कहा जाता है कि एक दिए गए के साथ आत्मविश्वास की संभावना 
सांख्यिकीय जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर को शामिल करता है। उस सूत्र पर विचार करते हुए जिसमें हम अज्ञात मात्रा को प्रतिस्थापित करते हैं आरइसके अनुमानित मूल्य तक 
नमूना डेटा से प्राप्त, हम प्राप्त करते हैं: 
. इस सूत्र का उपयोग सापेक्ष आवृत्ति द्वारा संभाव्यता का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। नंबर 
और 
क्रमशः निचला और ऊपरी कहा जाता है विश्वास की सीमाएँ, - किसी दिए गए आत्मविश्वास की संभावना के लिए अधिकतम त्रुटि 
.
उदाहरण 34. फ़ैक्टरी कार्यशाला प्रकाश बल्ब का उत्पादन करती है। 625 लैंपों की जांच की गई तो 40 खराब पाए गए। 0.95 की आत्मविश्वास संभावना के साथ, वह सीमाएँ खोजें जिनके भीतर फ़ैक्टरी कार्यशाला द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण प्रकाश बल्बों का प्रतिशत निहित है।
समाधान। कार्य की शर्तों के अनुसार. हम सूत्र का उपयोग करते हैं 
. परिशिष्ट की तालिका 2 का उपयोग करके, हम तर्क का मान पाते हैं, जिसमें लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन का मान 0.475 के बराबर है। हमें वह मिल गया 
. इस प्रकार, । इसलिए, हम 0.95 की संभावना के साथ कह सकते हैं कि कार्यशाला द्वारा उत्पादित दोषों का हिस्सा उच्च है, अर्थात्, यह 6.2% से 6.6% तक भिन्न होता है।
10.3. सांख्यिकी में पैरामीटर अनुमान
मान लीजिए अध्ययनाधीन संपूर्ण जनसंख्या की मात्रात्मक विशेषता X ( जनसंख्या) यह है सामान्य वितरण.
यदि मानक विचलन ज्ञात हो, तो विश्वास अंतराल, गणितीय अपेक्षा को कवर करते हुए ए 
, कहाँ पी- नमूने का आकार, 
- नमूना अंकगणित माध्य, टीलाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन का तर्क है, जिस पर 
. इस मामले में संख्या 
अनुमान सटीकता कहा जाता है।
यदि मानक विचलन अज्ञात है, तो नमूना डेटा से एक यादृच्छिक चर का निर्माण करना संभव है जिसमें छात्र वितरण हो पी– स्वतंत्रता की 1 डिग्री, जो केवल एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित की जाती है पीऔर अज्ञात पर निर्भर नहीं है एऔर । छोटे नमूनों के लिए भी विद्यार्थी का टी-वितरण 
काफी संतोषजनक रेटिंग देता है। फिर गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला आत्मविश्वास अंतराल एइस सुविधा का एक निश्चित आत्मविश्वास के साथ संभाव्यता स्थिति से पाई जाती है 
, जहां S सही माध्य वर्ग है, 
- छात्र का गुणांक, डेटा से पाया गया 
परिशिष्ट की तालिका 3 से।
आत्मविश्वास की संभावना के साथ इस विशेषता के मानक विचलन को कवर करने वाला आत्मविश्वास अंतराल सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है: और, कहां 
मूल्यों की तालिका से पाया गया क्यू
के अनुसार ।
10.4. यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता का अध्ययन करने के लिए सांख्यिकीय तरीके
X पर Y की सहसंबंध निर्भरता सशर्त औसत की कार्यात्मक निर्भरता है 
से एक्स।समीकरण 
X पर Y के प्रतिगमन समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है, और 
- Y पर X का प्रतिगमन समीकरण।
सहसंबंध निर्भरता रैखिक या वक्ररेखीय हो सकती है। रैखिक सहसंबंध निर्भरता के मामले में, सीधी प्रतिगमन रेखा के समीकरण का रूप होता है: 
, जहां ढलान है ए X पर प्रतिगमन Y की सीधी रेखा को X पर नमूना प्रतिगमन गुणांक Y कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है 
.
छोटे नमूनों के लिए, डेटा को समूहीकृत नहीं किया जाता है, पैरामीटर 
विधि के अनुसार पाये जाते हैं कम से कम वर्गोंसामान्य समीकरणों की प्रणाली से:
, कहाँ पी– परस्पर संबंधित मात्राओं के जोड़े के मूल्यों के अवलोकन की संख्या।
चयनात्मक रैखिक गुणांकसहसंबंध 
Y और X के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है। सहसंबंध गुणांक सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है 
, और 
, अर्थात्:
X पर सीधी प्रतिगमन रेखा Y का नमूना समीकरण इस प्रकार है:
.
विशेषताओं X और Y की बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, समान मान के साथ दो इनपुट के साथ एक सहसंबंध तालिका संकलित की जाती है एक्सदेखा 
समय, वही अर्थ परदेखा 
समय, वही जोड़ी 
देखा 
एक बार।
उदाहरण 35.चिह्न X और Y के अवलोकनों की एक तालिका दी गई है।
|
X पर सीधी समाश्रयण रेखा Y का नमूना समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। अध्ययन की गई विशेषताओं के बीच संबंध को एक्स पर वाई के प्रतिगमन की सीधी रेखा के समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:। समीकरण के गुणांकों की गणना करने के लिए, हम एक गणना तालिका बनाएंगे:
अवलोकन नं. |
|
|
||
अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।
§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।
सतत यादृच्छिक चर के मानों का समुच्चय बेशुमार होता है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।
संभाव्यता स्थान (W, S, P) में परिभाषित एक यादृच्छिक चर x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) डब्ल्यू, यदि कोई गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है जैसे कि किसी भी एक्स के लिए वितरण फ़ंक्शन एफएक्स (एक्स) को एक अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है
फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.
परिभाषा से पता चलता है कि वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण:
1..gif" width=”97″ ऊंचाई=”51″>
3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:।
4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना निर्धारित करता है:
5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: . इसलिए, निम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:
वितरण घनत्व फलन का ग्राफ कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एकता के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।
कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:
स्थिरांक C निर्धारित करें, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करें और संभाव्यता की गणना करें।
समाधान।स्थिरांक C हमारे पास मौजूद स्थिति से पाया जाता है:
जहां से C=3/8.
वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल तर्क x (संख्यात्मक अक्ष) के मानों की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" चौड़ाई = "264" ऊँचाई = "49">
चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में
अंततः, अंतिम स्थिति में, जब x>2,
चूँकि अर्ध-अक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण फलन प्राप्त होता है
संभावना आइए सूत्र का उपयोग करके गणना करें। इस प्रकार,
§ 2. एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ
अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width='205' ऊंचाई='56 src='> द्वारा निर्धारित किया जाता है,
यदि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग पूर्णतया अभिसरण करता है।
फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है 
, और साथ ही, अलग मामले में, सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" ऊंचाई="49 src="> के अनुसार।
असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।
समस्या 2. समस्या 1 से यादृच्छिक चर x के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें .
समाधान।
और उसका अर्थ यह निकलता है
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width=”184” ऊंचाई=”69 src=”>
घनत्व ग्राफ वर्दी वितरणअंजीर देखें. .
चित्र.6.2. वितरण कार्य और वितरण घनत्व। एकसमान कानून
एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन Fx(x) के बराबर है
एफएक्स(एक्स)= 
अपेक्षा और भिन्नता; .
घातीय (घातांकीय) वितरण।गैर-नकारात्मक मान लेने वाले एक सतत यादृच्छिक चर x में पैरामीटर l>0 के साथ एक घातीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व वितरण बराबर है
рx(x)= 
चावल। 6.3. घातांकीय नियम का वितरण फलन और वितरण घनत्व।
घातांकीय वितरण के वितरण फलन का रूप होता है
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width=”17” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”15”> और यदि इसका वितरण घनत्व बराबर है
.
के माध्यम से पैरामीटर पैरामीटर और के साथ एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को दर्शाता है।
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन किसके बराबर होता है?
.
चावल। 6.4. वितरण कार्य और सामान्य वितरण घनत्व
सामान्य वितरण के पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width=”64 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”>
विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width='44' ऊंचाई='21 src='> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों के वर्ग को https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" ऊंचाई="49"> द्वारा दर्शाया गया है,
और वितरण समारोह
इस तरह के अभिन्न अंग की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाएँ संकलित की गई हैं। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 में प्रस्तुत लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है
,
निम्नलिखित संबंध द्वारा 
. मनमाना पैरामीटर मानों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width='21' ऊंचाई='21 src='> एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन संबंध का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है:
.
इसलिए, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के एक अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
.
एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर x को लॉगसामान्य रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य नियम का पालन करता है। लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और विचरण Mx= और Dx= हैं।
कार्य 3.मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width='81' ऊंचाई='23'> दिया गया है।
समाधान।यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" ऊंचाई="45">
लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif' width='23' ऊंचाई='41'> द्वारा दिया गया है और कर्टोसिस gx=3 है।
चित्र.6.5. लाप्लास वितरण घनत्व फ़ंक्शन।
यादृच्छिक चर x को वितरित किया गया है वेइबुल का नियम, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width='189' ऊंचाई='53'> के बराबर है
वेइबुल वितरण कई तकनीकी उपकरणों के विफलता-मुक्त संचालन समय को नियंत्रित करता है। इस प्रोफ़ाइल के कार्यों में महत्वपूर्ण विशेषताआयु टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल(टी) है, जो संबंध एल(टी)= द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि a=1, तो वेइबुल वितरण एक घातीय वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।
वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width=”219” ऊंचाई=”45 src=”>, जहां Г(а) यूलर है समारोह। ।
में विभिन्न कार्यव्यावहारिक आँकड़ों में, तथाकथित "काटे गए" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय कर कानूनों द्वारा स्थापित एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है। ये वितरण लगभग पेरेटो वितरण से मेल खाते हैं। पेरेटो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया
एफएक्स(एक्स)=पी(एक्स
यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif' width='60' ऊंचाई='21 src='>.
कार्य 4.यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।
समाधान।समस्या की स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है
अगला, फ़ंक्शन एक अंतराल पर एक नीरस और अवकलनीय फलन है और इसका एक व्युत्क्रम फलन है 
, जिसका व्युत्पन्न इसलिए के बराबर है,
§ 5. सतत यादृच्छिक चरों का युग्म
मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। फिर जोड़ी (x, h) विमान पर एक "यादृच्छिक" बिंदु को परिभाषित करती है। युग्म (x, h) कहलाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।
संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif' width='173' ऊंचाई='25'> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h के संभाव्यता वितरण को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जैसे कि 
.
संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, इसकी गणना एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में की जाती है - सतह से घिरा एक "वक्ररेखीय" सिलेंडर https://pandia.ru/ टेक्स्ट/78/107/इमेज/इमेज098_3
दो यादृच्छिक चरों के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए कि क्षेत्र के साथ एक परिबद्ध समुच्चय M दिया गया है, इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा परिभाषित जोड़ी (x, h) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:
कार्य 5.मान लीजिए कि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित है। असमानता x>h की संभावना की गणना करें।
समाधान।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (चित्र संख्या देखें?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है
एक घटना एक सेट से मेल खाती है 
एक समतल पर, अर्थात अर्ध-तल पर। फिर संभावना
अर्ध-तल B पर, सेट https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" ऊंचाई="17"> के बाहर संयुक्त घनत्व शून्य है। इस प्रकार, अर्ध-तल B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width='17' ऊंचाई='23'> और, और दूसरा इंटीग्रल बराबर है शून्य, चूँकि वहाँ संयुक्त घनत्व शून्य के बराबर है। इसीलिए
यदि एक जोड़ी (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया गया है, तो दोनों घटकों x और h के घनत्व को कहा जाता है निजी घनत्वऔर सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif' width='224' ऊंचाई='23 src='>
घनत्व рx(х), рh(у) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है कि
कार्य 6.पिछली समस्या की स्थितियों में, निर्धारित करें कि क्या यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं?
समाधान. आइए आंशिक घनत्व की गणना करें और। हमारे पास है:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width=”283” ऊंचाई=”61 src=”>
जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif' width='64' ऊंचाई='25'> मात्राओं x और h का संयुक्त घनत्व है, और j( x, y) तो दो तर्कों का एक फलन है
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width=”184” ऊंचाई=”152 src=”>
कार्य 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।
समाधान।उपरोक्त सूत्र के अनुसार हमारे पास है:
.
त्रिभुज को इस रूप में निरूपित करना
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width=”479” ऊंचाई=”59”>
§ 5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व
मान लीजिए कि x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width='43' ऊंचाई='25'>। यादृच्छिक चर का घनत्व x + h की गणना सूत्र द्वारा की जाती है कनवल्शन
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif' width='39' ऊंचाई='19 src='>. योग के घनत्व की गणना करें.
समाधान।चूँकि x और h को पैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, इसलिए उनका घनत्व बराबर होता है
इस तरह,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width=”339 ऊंचाई=51″ ऊंचाई=”51”>
यदि एक्स<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए. इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif' width='359 ऊंचाई=101' ऊंचाई='101'>
इस प्रकार हमें उत्तर मिला:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width=”40” ऊंचाई=”41 “> आम तौर पर पैरामीटर 0 और 1 के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र होते हैं और सामान्य वितरण होते हैं क्रमशः पैरामीटर a1, और a2 के साथ साबित करें कि x1 + x2 का सामान्य वितरण है। यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और उनका वितरण घनत्व कार्य समान है।
.
मानों के वितरण फलन और वितरण घनत्व का पता लगाएं:
ए) एच1 = मिनट (एक्स1, एक्स2, ...एक्सएन) ; बी) एच(2) = अधिकतम (x1,x2,...xn)
यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और अंतराल [a, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण के वितरण फलन और घनत्व फलन खोजें
x(1) = न्यूनतम (x1,x2, ...xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।
साबित करें कि Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width='176' ऊंचाई='47'>.
यादृच्छिक चर को कॉची के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल (-1, 1) में गिरने की संभावना। दिखाएँ कि x की गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर पैरामीटर l (l>0) के साथ लाप्लास के नियम के अधीन है: गुणांक a खोजें; वितरण घनत्व और वितरण फलन के ग्राफ़ बना सकेंगे; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
वितरण घनत्व के लिए एक सूत्र लिखें, एमएक्स और डीएक्स खोजें।
कम्प्यूटेशनल कार्य.
एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मान r2 खंड पर समान रूप से वितरित है। 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें 
एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है: 
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), विचरण और संभाव्यता की गणना करें। एक यादृच्छिक चर में एक वितरण फलन होता है 
एक यादृच्छिक चर के घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की गणना करें जांचें कि फ़ंक्शन = 
एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण फलन ज्ञात कीजिए। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x के बराबर है
.
स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और संभाव्यता ज्ञात करें
पी (0.25 कंप्यूटर का विफलता-मुक्त संचालन समय पैरामीटर एल = 0.05 (प्रति घंटे विफलता) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी, इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है पी(एक्स) = एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए 15 मिनट तक मशीन के परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि किसी समस्या को हल करते समय कोई विफलता होती है, तो समाधान पूरा होने के बाद ही त्रुटि का पता चलता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: ए) संभावना है कि समस्या के समाधान के दौरान एक भी विफलता नहीं होगी; बी) औसत समय जिसमें समस्या हल हो जाएगी। 24 सेमी लंबी एक छड़ दो भागों में टूट गई है; हम मान लेंगे कि ब्रेक पॉइंट रॉड की पूरी लंबाई पर समान रूप से वितरित है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई का एक टुकड़ा यादृच्छिक रूप से दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु को खंड की पूरी लंबाई में समान रूप से वितरित किया जाता है। खंड के छोटे भाग की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए a) h1 = 2x + 1; बी) h2 =-ln(1-x); ग) h3 = . दिखाएँ कि यदि x का सतत वितरण फलन है एफ(एक्स) = पी(एक्स क्रमशः खंडों पर समान वितरण कानूनों के साथ दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और क्रमशः खंडों पर समान रूप से वितरित हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण होता है वितरण समारोहअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सफ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स), प्रत्येक के लिए व्यक्त करना एक्ससंभावना है कि यादृच्छिक चर एक्ससे कम मूल्य लेगा एक्स:. समारोह एफ(एक्स) को कभी-कभी कहा जाता है अभिन्न वितरण समारोह,या वितरण का अभिन्न नियम. यादृच्छिक मूल्य एक्सबुलाया निरंतर, यदि इसका वितरण कार्य किसी भी बिंदु पर निरंतर है और व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह भिन्न है। उदाहरणनिरंतर यादृच्छिक चर: उस हिस्से का व्यास जिसे टर्नर किसी दिए गए आकार में पीसता है, किसी व्यक्ति की ऊंचाई, प्रक्षेप्य की उड़ान सीमा, आदि। प्रमेय.सतत यादृच्छिक चर के किसी भी व्यक्तिगत मान की संभावना शून्य है परिणाम।अगर एक्सएक सतत यादृच्छिक चर है, तो यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना यदि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सके बीच में केवल मान ले सकते हैं एपहले बी(कहाँ एऔर बी- कुछ स्थिरांक), तो इसका वितरण फलन सभी मानों के लिए शून्य के बराबर होता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों के लिए भी संतुष्ट हैं। वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना एकमात्र तरीका नहीं है। संभावित गहराई
(वितरण घनत्वया घनत्व)
आर(एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके वितरण फलन का व्युत्पन्न कहा जाता है संभावित गहराई आर(एक्स), साथ ही वितरण कार्य भी एफ(एक्स), वितरण कानून के रूपों में से एक है, लेकिन वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, यह केवल के लिए मौजूद है निरंतरयादृच्छिक चर। संभाव्यता घनत्व को कभी-कभी कहा जाता है विभेदक कार्य, या विभेदक वितरण कानून. संभाव्यता घनत्व ग्राफ को वितरण वक्र कहा जाता है। गुणएक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व: चावल। 8.1 चावल। 8.2 4.
ज्यामितीय रूप से, संभाव्यता घनत्व के गुणों का अर्थ है कि इसका ग्राफ - वितरण वक्र - भुज अक्ष से नीचे नहीं है, और वितरण वक्र और भुज अक्ष से घिरे चित्र का कुल क्षेत्रफल एक के बराबर है। उदाहरण 8.1.विद्युत घड़ी की मिनट की सुई हर मिनट छलांग और सीमा में घूमती है। आपने अपनी घड़ी पर नज़र डाली। वे दिखा रहे हैं एमिनट। तब आपके लिए किसी दिए गए क्षण का सही समय एक यादृच्छिक चर होगा। इसका वितरण फलन ज्ञात कीजिए। समाधान।जाहिर है, वास्तविक समय वितरण फ़ंक्शन सभी के लिए 0 के बराबर है के बारे में चावल। 8.3 उदाहरण 8.2.क्या किसी यादृच्छिक चर का वितरण फलन फलन है समाधान। इस फ़ंक्शन के सभी मान सेगमेंट से संबंधित हैं समानताएं भी रखती हैं: इसलिए, फ़ंक्शन उदाहरण 8.3.क्या किसी यादृच्छिक चर का वितरण फलन फलन है समाधान।यह फ़ंक्शन किसी यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि बीच में चावल। 8.5 उदाहरण 8.4.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया गुणांक ज्ञात कीजिए एऔर यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व एक्स. असमानता की संभावना निर्धारित करें समाधान।वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के बराबर है गुणक एहम समानता का उपयोग करके परिभाषित करते हैं फ़ंक्शन की निरंतरता का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है इस तरह, इसलिए संभाव्यता घनत्व का रूप है संभावना उदाहरण 8.5.यादृच्छिक मूल्य एक्ससंभाव्यता घनत्व है (कॉची का नियम) गुणांक ज्ञात कीजिए एऔर संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से कुछ मान लेगा समाधान।आइए गुणांक ज्ञात करें एसमानता से इस तरह, इसलिए, संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक्सअंतराल से कुछ मान लेगा आइए इस यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात करें पी चावल। 8.6 समाधान।ग्राफ का उपयोग करते हुए, हम किसी दिए गए यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति लिखते हैं आइए वितरण फलन खोजें। अगर अगर अगर अगर इसलिए, वितरण फ़ंक्शन का रूप है
अध्याय 1। असतत यादृच्छिक चर
§
1. यादृच्छिक चर की अवधारणाएँ। असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम। परिभाषा
: यादृच्छिक एक मात्रा है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, अपने मूल्यों के संभावित सेट में से केवल एक मान लेती है, जो पहले से अज्ञात है और यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करती है। यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर। परिभाषा
: यादृच्छिक चर X कहा जाता है अलग
(असंतत) यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या अनंत है, लेकिन गणनीय है। दूसरे शब्दों में, संभावित मानएक असतत यादृच्छिक चर को पुनः क्रमांकित किया जा सकता है। एक यादृच्छिक चर को उसके वितरण नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। परिभाषा
: असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार को कॉल करें। असतत यादृच्छिक चर मूल्य, यानी जहां р1+ р2+…+ рn=1 ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है। यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट अनंत है, तो श्रृंखला p1+ p2+…+ pn+… अभिसरण करती है और इसका योग 1 के बराबर होता है। एक असतत यादृच्छिक चर परिणामी पंक्ति कहलाती है वितरण बहुभुज
(चित्र .1)। ऑर्गेनिक केमिस्ट्री" href='/text/category/organichesky_hiimya/' rel='bookmark'>ऑर्गेनिक केमिस्ट्री क्रमशः 0.7 और 0.8 हैं। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - परीक्षा की संख्या जो छात्र उत्तीर्ण करेगा। समाधान।
परीक्षा के परिणामस्वरूप माना गया यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मानों में से एक ले सकता है: x1=0, x2=1, x3=2। आइए इन मानों की प्रायिकता ज्ञात करें आइए घटनाओं को निरूपित करें: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width=”259” ऊंचाई=”66 src=”> तो, यादृच्छिक चर X का वितरण कानून तालिका द्वारा दिया गया है: नियंत्रण: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. वितरण समारोह वितरण फ़ंक्शन द्वारा यादृच्छिक चर का पूरा विवरण भी दिया जाता है। परिभाषा: असतत यादृच्छिक चर X का वितरण फलन
एक फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है, जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा: एफ(एक्स)=पी(एक्स<х) ज्यामितीय रूप से, वितरण फ़ंक्शन की व्याख्या इस संभावना के रूप में की जाती है कि यादृच्छिक चर X वह मान लेगा जो संख्या रेखा पर बिंदु x के बाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है।
1)0≤ एफ(एक्स) ≤1; 2) F(x) (-∞;+∞) पर एक गैर-घटता हुआ फलन है; 3) F(x) - बिंदु x= xi (i=1,2,...n) पर बाईं ओर निरंतर और अन्य सभी बिंदुओं पर निरंतर; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. यदि असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम एक तालिका के रूप में दिया गया है: तब वितरण फलन F(x) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'> x≤ x1 के लिए 0, x1 पर р1< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 x2 पर< х≤ х3 x>xn के लिए 1. इसका ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है: §
3. असतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ। महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। परिभाषा: गणितीय अपेक्षा एम(एक्स)
असतत यादृच्छिक चर X उसके सभी मानों और उनकी संगत संभावनाओं के उत्पादों का योग है: एम(एक्स) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य की विशेषता के रूप में कार्य करती है। गणितीय अपेक्षा के गुण:
1)M(C)=C, जहां C एक स्थिर मान है; 2)एम(सी एक्स)=सी एम(एक्स), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं; 5)M(X±C)=M(X)±C, जहां C एक स्थिर मान है; किसी असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के उसके माध्य मान के आसपास फैलाव की डिग्री को चिह्नित करने के लिए, फैलाव का उपयोग किया जाता है। परिभाषा:
झगड़ा
डी
(
एक्स
)
यादृच्छिक चर X अपनी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:
फैलाव गुण:
1)D(C)=0, जहां C एक स्थिर मान है; 2)D(X)>0, जहां X एक यादृच्छिक चर है; 3)D(CX)=C2 D(X), जहां C एक स्थिर मान है; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), जहां X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं; विचरण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है: D(X)=M(X2)-(M(X))2, जहाँ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn प्रसरण D(X) में एक वर्गाकार यादृच्छिक चर का आयाम है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। इसलिए, मान √D(X) का उपयोग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के फैलाव के संकेतक के रूप में भी किया जाता है। परिभाषा: मानक विचलन σ(एक्स)
यादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है: कार्य क्रमांक 2.असतत यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है: P2, वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), σ(X) प्लॉट करें। समाधान:
चूँकि यादृच्छिक चर X के संभावित मानों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 आइए वितरण फ़ंक्शन F(x)=P(X खोजें ज्यामितीय रूप से, इस समानता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: F(x) संभावना है कि यादृच्छिक चर वह मान लेगा जो बिंदु x के बाईं ओर स्थित बिंदु द्वारा संख्या अक्ष पर दर्शाया गया है। यदि x≤-1, तो F(x)=0, क्योंकि (-∞;x) पर इस यादृच्छिक चर का एक भी मान नहीं है; यदि -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; यदि 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) दो मान हैं x1=-1 और x2=0; यदि 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; यदि 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; यदि x>3, तो F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, क्योंकि चार मान x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 अंतराल (-∞;x) और x5=3 में आते हैं। https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width='14 ऊंचाई=2' ऊंचाई=2'> 0 x≤-1 पर, 0.1 पर -1<х≤0, 0.2 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.5<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर आइए फ़ंक्शन F(x) को आलेखीय रूप से निरूपित करें (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width=”158 ऊंचाई=29” ऊंचाई=”29”>≈1.2845. §
4. द्विपद वितरण नियम असतत यादृच्छिक चर, पॉइसन का नियम। परिभाषा: द्विपद
असतत यादृच्छिक चर फिर P(X=m) - n परीक्षणों में घटना A के बिल्कुल m बार घटित होने की संभावना की गणना बर्नौली सूत्र का उपयोग करके की जाती है: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m एक द्विआधारी कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन क्रमशः सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> प्रत्येक परीक्षण में घटना A - "पांच को बाहर निकालना" की संभावना समान है और 1/6 के बराबर है , यानी। P(A)=p=1/6, फिर P(A)=1-p=q=5/6, कहां - "पांच में से गिरना।" यादृच्छिक चर X निम्नलिखित मान ले सकता है: 0;1;2;3. हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके एक्स के प्रत्येक संभावित मान की संभावना पाते हैं: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. वह। यादृच्छिक चर X के वितरण नियम का रूप है: नियंत्रण: 125/216+75/216+15/216+1/216=1। आइए यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें: एम(एक्स)=एनपी=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, टास्क नंबर 4.एक स्वचालित मशीन भागों पर मुहर लगाती है। निर्मित हिस्से के ख़राब होने की प्रायिकता 0.002 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 चयनित भागों में से होंगे: क) 5 दोषपूर्ण; बी) कम से कम एक ख़राब है। समाधान:
संख्या n=1000 बड़ी है, दोषपूर्ण भाग p=0.002 उत्पन्न होने की संभावना छोटी है, और विचाराधीन घटनाएँ (भाग दोषपूर्ण निकला) स्वतंत्र हैं, इसलिए पॉइसन सूत्र मानता है: Рn(m)= इ-
λ
λm आइए λ=np=1000 0.002=2 खोजें। a) 5 दोषपूर्ण भागों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (m=5): Р1000(5)= इ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 बी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक भाग दोषपूर्ण होगा। घटना ए - "चयनित भागों में से कम से कम एक दोषपूर्ण है" है विपरीत घटना- "सभी चयनित हिस्से ख़राब नहीं हैं।" इसलिए, P(A) = 1-P()। इसलिए वांछित संभावना इसके बराबर है: P(A)=1-P1000(0)=1- इ-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य.
1.1
1.2.
फैला हुआ यादृच्छिक चर X वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट है: वितरण फलन F(X) p4 ढूंढें और उसका ग्राफ, साथ ही M(X), D(X), σ(X) आलेखित करें। 1.3.
बॉक्स में 9 मार्कर हैं, जिनमें से 2 पर अब लिखना बंद हो गया है। यादृच्छिक रूप से 3 मार्कर लें। रैंडम वेरिएबल X लिए गए लेखन मार्करों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.4.
लाइब्रेरी शेल्फ पर 6 पाठ्यपुस्तकें बेतरतीब ढंग से व्यवस्थित हैं, जिनमें से 4 जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन यादृच्छिक रूप से 4 पाठ्यपुस्तकें लेता है। रैंडम वेरिएबल X ली गई पाठ्यपुस्तकों में से बाध्य पाठ्यपुस्तकों की संख्या है। यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम बनाएं। 1.5.
टिकट पर दो कार्य हैं। पहली समस्या को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.9 है, दूसरी 0.7 है। रैंडम वेरिएबल X टिकट में सही ढंग से हल की गई समस्याओं की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं, इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें, और वितरण फ़ंक्शन F(x) भी ढूंढें और इसका ग्राफ़ बनाएं। 1.6.
तीन निशानेबाज एक लक्ष्य पर निशाना साध रहे हैं. एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना पहले निशानेबाज के लिए 0.5, दूसरे के लिए 0.8 और तीसरे के लिए 0.7 है। यदि निशानेबाज एक समय में एक गोली चलाते हैं तो रैंडम वेरिएबल एक्स लक्ष्य पर हिट की संख्या है। वितरण नियम, M(X),D(X) ज्ञात कीजिए। 1.7.
एक बास्केटबॉल खिलाड़ी 0.8 की प्रत्येक शॉट मारने की संभावना के साथ गेंद को टोकरी में फेंकता है। प्रत्येक हिट के लिए, उसे 10 अंक मिलते हैं, और यदि वह चूक जाता है, तो उसे कोई अंक नहीं दिया जाता है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - एक बास्केटबॉल खिलाड़ी द्वारा 3 शॉट्स में प्राप्त अंकों की संख्या। M(X),D(X), साथ ही संभावना ज्ञात करें कि उसे 10 से अधिक अंक मिले। 1.8.
कार्ड पर अक्षर लिखे गए हैं, कुल 5 स्वर और 3 व्यंजन। 3 कार्ड यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, और हर बार लिया गया कार्ड वापस लौटा दिया जाता है। यादृच्छिक चर X लिए गए स्वरों में से स्वरों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और M(X),D(X),σ(X) खोजें। 1.9.
औसतन, 60% अनुबंध बीमा कंपनीकिसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करता है। यादृच्छिक चर X के लिए एक वितरण कानून बनाएं - उन अनुबंधों की संख्या जिनके लिए बीमा राशि का भुगतान यादृच्छिक रूप से चुने गए चार अनुबंधों के बीच किया गया था। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए। 1.10.
दोतरफा संचार स्थापित होने तक रेडियो स्टेशन निश्चित अंतराल पर कॉल संकेत (चार से अधिक नहीं) भेजता है। कॉल साइन पर प्रतिक्रिया प्राप्त करने की संभावना 0.3 है। यादृच्छिक चर X भेजे गए कॉल संकेतों की संख्या है। एक वितरण कानून बनाएं और F(x) खोजें। 1.11.
इसमें 3 चाबियाँ हैं, जिनमें से केवल एक ही ताले में फिट होती है। यदि आज़माई गई कुंजी बाद के प्रयासों में भाग नहीं लेती है, तो ताला खोलने के प्रयासों की यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। एम(एक्स),डी(एक्स) खोजें। 1.12.
तीन उपकरणों की लगातार स्वतंत्र विश्वसनीयता परीक्षण किए जाते हैं। प्रत्येक अगले उपकरण का परीक्षण केवल तभी किया जाता है जब पिछला विश्वसनीय निकला हो। प्रत्येक डिवाइस के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करने की संभावना 0.9 है। परीक्षण किए गए उपकरणों के यादृच्छिक चर एक्स-संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। 1.13
.असतत यादृच्छिक चर X के तीन संभावित मान हैं: x1=1, x2, x3, और x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
इलेक्ट्रॉनिक डिवाइस ब्लॉक में 100 समान तत्व होते हैं। समय T के दौरान प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.002 है। तत्व स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि समय T के दौरान दो से अधिक तत्व विफल नहीं होंगे। 1.15.
पाठ्यपुस्तक 50,000 प्रतियों के संचलन में प्रकाशित हुई थी। पाठ्यपुस्तक के गलत तरीके से बंधे होने की प्रायिकता 0.0002 है। संभाव्यता ज्ञात कीजिए कि संचलन में शामिल हैं: क) चार दोषपूर्ण पुस्तकें, ख) दो से कम दोषपूर्ण पुस्तकें। 1
.16.
हर मिनट पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार पैरामीटर λ=1.5 के साथ वितरित की जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक मिनट में निम्नलिखित आ जाएगा: ए) दो कॉल; बी) कम से कम एक कॉल। 1.17.
यदि Z=3X+Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। 1.18.
दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के वितरण के नियम दिए गए हैं: यदि Z=X+2Y है तो M(Z),D(Z) खोजें। उत्तर:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" ऊंचाई='110'> 1.1.
p3=0.4; 0 x≤-2 पर, 0.3 पर -2<х≤0, F(x)= 0.5 पर 0<х≤2, 2 बजे 0.9<х≤5, 1 x>5 पर -1 पर 0.3<х≤0, 0.4 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 0.6 1 पर<х≤2, 2 बजे 0.7<х≤3, 1 x>3 पर एम(एक्स)=1; डी(एक्स)=2.6; σ(एक्स) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width=”2 ऊंचाई=98” ऊंचाई=”98”> 0 x≤0 पर, 0.03 पर 0<х≤1, एफ(एक्स)= 1 पर 0.37<х≤2, x>2 के लिए 1 एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=0.62 एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.48, पी(एक्स>10)=0.896 1.
8
.
एम(एक्स)=15/8; डी(एक्स)=45/64; σ(Х) ≈ एम(एक्स)=2.4; डी(एक्स)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
एम(एक्स)=2; डी(एक्स)=2/3 1.14.
1.22 ई-0.2≈0.999 1.15.
ए)0.0189; बी) 0.00049 1.16.
ए)0.0702; बी)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. अध्याय दो। निरंतर यादृच्छिक चर
परिभाषा: निरंतर
वे एक मात्रा को सभी संभावित मान कहते हैं जो संख्या रेखा के एक सीमित या अनंत विस्तार को पूरी तरह से भर देते हैं। जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है। एक सतत यादृच्छिक चर को वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। परिभाषा:एफ वितरण समारोह
एक सतत यादृच्छिक चर आर वितरण फलन को कभी-कभी संचयी वितरण फलन भी कहा जाता है। वितरण फलन के गुण:
1)1≤ एफ(एक्स) ≤1 2) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फ़ंक्शन किसी भी बिंदु पर निरंतर होता है और व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह भिन्न होता है। 3) एक यादृच्छिक चर बिंदु ए और बी पर, यानी आर(ए)<Х 4) एक सतत यादृच्छिक चर X के एक अलग मान लेने की प्रायिकता 0 है। 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना एकमात्र तरीका नहीं है। आइए हम संभाव्यता वितरण घनत्व (वितरण घनत्व) की अवधारणा का परिचय दें। परिभाषा
:
संभाव्यता वितरण घनत्व
एफ
(
एक्स
)
एक सतत यादृच्छिक चर का X इसके वितरण फलन का व्युत्पन्न है, अर्थात: संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को कभी-कभी अंतर वितरण फ़ंक्शन या अंतर वितरण कानून कहा जाता है। संभाव्यता घनत्व वितरण का ग्राफ f(x) कहलाता है संभाव्यता वितरण वक्र
.
संभाव्यता घनत्व वितरण के गुण:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width='285' ऊंचाई='141'>.gif' width='14' ऊंचाई पर = "62 src = "> 0 x≤2 पर, f(x)= c(x-2) 2 पर<х≤6, x>6 के लिए 0. खोजें: ए) सी का मूल्य; बी) वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; सी) पी(3≤x<5) समाधान:
+
∞ a) हम सामान्यीकरण स्थिति से c का मान पाते हैं: ∫ f(x)dx=1। इसलिए, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> -∞ 2 2 x यदि 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; जीआईएफ" चौड़ाई = "14" ऊंचाई = "62"> 0 x≤2 पर, F(x)= (x-2)2/16 2 पर<х≤6, x>6 के लिए 1. फ़ंक्शन F(x) का ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width='14' ऊंचाई='62 src='> 0 x≤0 पर, F(x)= (3 आर्कटान x)/π 0 पर<х≤√3, x>√3 के लिए 1. विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x) खोजें समाधान:
चूँकि f(x)= F'(x), तो https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" ऊंचाई="24"> बिखरे हुए यादृच्छिक चर के लिए पहले चर्चा की गई गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण, निरंतर वाले के लिए भी मान्य हैं। कार्य क्रमांक 3.यादृच्छिक चर X को अंतर फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" ऊंचाई='38'> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> पी(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.
2.1.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= - cos 3x π/6 पर<х≤ π/3, x> π/3 के लिए 1. विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x), और भी खोजें Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 x≤2 पर, f(x)= c x 2 पर<х≤4, x>4 के लिए 0. 2.4.
एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: 0 x≤0 पर, f(x)= c √x 0 पर<х≤1, x>1 के लिए 0. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स), डी(एक्स)। 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width=”36” ऊंचाई=”39”> x पर, x पर 0. खोजें: ए) एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स); ग) संभावना है कि चार में स्वतंत्र परीक्षणमान X अंतराल (1;4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना लेगा। 2.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: f(x)= 2(x-2) x पर, x पर 0. खोजें: ए) एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ (एक्स); ग) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मूल्य खंड से संबंधित मूल्य का ठीक 2 गुना होगा। 2.7.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[-√ 3/2; √3/2]। 2.8.
फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width=”45” ऊंचाई=”36 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[- π /4 ; π /4]. खोजें: ए) स्थिरांक सी का मान जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर एक्स की संभाव्यता घनत्व होगा; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स)। 2.9.
यादृच्छिक चर X, अंतराल (3;7) पर केंद्रित है, वितरण फ़ंक्शन F(x)= द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं। 2.10.
यादृच्छिक चर X, अंतराल पर केंद्रित (-1;4), वितरण फलन F(x)= द्वारा दिया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 2 से कम, b) 4 से कम नहीं। 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”44 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>. खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स); सी) संभाव्यता पी(एक्स> एम(एक्स)). 2.12.
यादृच्छिक चर को अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width=”60” ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16 ऊंचाई=15” ऊंचाई=”15”> . खोजें: ए) एम(एक्स); बी) संभावना P(X≤M(X)) 2.13.
रेम वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया गया है: x ≥0 के लिए https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg' width='46' ऊंचाई='37'>। साबित करें कि f(x) वास्तव में एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है। 2.14.
एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width=”174” ऊंचाई=”136 src=”>(चित्र 4) 2.16.
यादृच्छिक चर X को कानून के अनुसार वितरित किया जाता है " सही त्रिकोण"अंतराल में (0;4) (चित्र 5)। संपूर्ण संख्या रेखा पर संभाव्यता घनत्व f(x) के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें। जवाब
0 x≤0 पर, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए, F(x)= 3sin 3x π/6 पर<х≤ π/3, x> π/3 के लिए 0। एक सतत यादृच्छिक चर X है एकसमान कानूनएक निश्चित अंतराल (ए; बी) पर वितरण, जिसमें एक्स के सभी संभावित मान शामिल हैं, यदि संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) इस अंतराल पर स्थिर है और इसके बाहर 0 के बराबर है, यानी। x≤a के लिए 0, f(x)= a के लिए<х x≥b के लिए 0. फलन f(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width=”30” ऊंचाई=”37”>, D(X)=, σ(X)=. कार्य संख्या 1.यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) और इसे प्लॉट करें; बी) वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें; सी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स)। समाधान:
ऊपर चर्चा किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, a=3, b=7 के साथ, हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width=”22” ऊंचाई=”39”> 3≤х≤7 पर, x>7 के लिए 0 आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width='14' ऊंचाई='86 src='> 0 x≤3 पर, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width=”203” ऊंचाई=”119 src=”>चित्र 4 डी(एक्स) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width='37' ऊंचाई='43'>==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width=”14” ऊंचाई=”49 src=”> 0 x पर<0, f(x)= λе-λх x≥0 के लिए। घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर X का वितरण फलन सूत्र द्वारा दिया गया है: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width=”191″ ऊंचाई=”126 src=”>fig..jpg” width=”22” ऊंचाई=”30”> , डी(एक्स)=, σ (Х)= इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा और घातांकीय वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं। X के अंतराल (a;b) में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: पी(ए<Х कार्य क्रमांक 2.डिवाइस का औसत विफलता-मुक्त संचालन समय 100 घंटे है, यह मानते हुए कि डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन समय में एक घातीय वितरण कानून है, खोजें: ए) संभाव्यता वितरण घनत्व; बी) वितरण समारोह; ग) संभावना है कि डिवाइस का विफलता-मुक्त संचालन समय 120 घंटे से अधिक होगा। समाधान:
शर्त के अनुसार, गणितीय वितरण M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" ऊंचाई='43 src='> 0 x पर<0, a) x≥0 के लिए f(x)= 0.01e -0.01x। बी) एफ(एक्स)= 0 x पर<0, 1-e -0.01x x≥0 पर। ग) हम वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3. सामान्य वितरण कानून परिभाषा:
एक सतत यादृच्छिक चर X है सामान्य वितरण नियम (गॉस का नियम),
यदि इसके वितरण घनत्व का रूप है: जहां m=M(X), σ2=D(X), σ>0. सामान्य वितरण वक्र कहलाता है सामान्य या गाऊसी वक्र
(चित्र.7) एक यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, लाप्लास फ़ंक्शन Ф (x) के माध्यम से सूत्र के अनुसार व्यक्त किया जाता है: लाप्लास फ़ंक्शन कहां है. टिप्पणी:
फ़ंक्शन Ф(x) विषम है (Ф(-х)=-Ф(х)), इसके अलावा, x>5 के लिए हम Ф(х) ≈1/2 मान सकते हैं। वितरण फलन F(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width=”218” ऊंचाई=”33”> संभावना यह है कि निरपेक्ष मूल्यधनात्मक संख्या δ से कम विचलन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: विशेष रूप से, m=0 के लिए निम्नलिखित समानता कायम है: "तीन सिग्मा नियम"
यदि एक यादृच्छिक चर https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width=”157” ऊंचाई=”57 src=”>a) ख) आइए सूत्र का उपयोग करें: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width=”369″ ऊंचाई=”38 src=”> फ़ंक्शन मानों की तालिका से Ф(х) हम Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 पाते हैं। तो, वांछित संभावना: पी(28 स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य
3.1.
यादृच्छिक चर X को अंतराल (-3;5) में समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; डी) संभाव्यता पी(4<х<6). 3.2.
यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) वितरण समारोह एफ(एक्स); ग) संख्यात्मक विशेषताएँ; d) प्रायिकता P(3≤x≤6). 3.3.
राजमार्ग पर एक स्वचालित ट्रैफिक लाइट होती है, जिसमें हरी बत्ती 2 मिनट के लिए, पीली बत्ती 3 सेकंड के लिए, लाल बत्ती 30 सेकंड के लिए जलती है, आदि। एक कार यादृच्छिक समय पर राजमार्ग पर चलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक कार बिना रुके ट्रैफिक लाइट से गुजर जाएगी। 3.4.
सबवे ट्रेनें नियमित रूप से 2 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। एक यात्री यादृच्छिक समय पर प्लेटफार्म में प्रवेश करता है। इसकी क्या संभावना है कि किसी यात्री को ट्रेन के लिए 50 सेकंड से अधिक इंतजार करना पड़ेगा? यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें - ट्रेन के लिए प्रतीक्षा समय। 3.5.
वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिए गए घातांकीय वितरण का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: F(x)= 0 x पर<0, x≥0 के लिए पहला-8x। 3.6.
एक सतत यादृच्छिक चर X संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है: x पर f(x)= 0<0, 0.7 e-0.7x x≥0 पर। ए) विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण कानून का नाम बताइए। बी) वितरण फ़ंक्शन F(X) और यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। 3.7.
यादृच्छिक चर X को संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: x पर f(x)= 0<0, 0.4 e-0.4 x x≥0 पर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (2.5;5) से एक मान लेगा। 3.8.
एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है: F(x)= 0 x पर<0, 1st-0.6x x≥0 पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X खंड से एक मान लेगा। 3.9.
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और मानक विचलन क्रमशः 8 और 2 हैं: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (10;14) से एक मान लेगा। 3.10.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः 3.5 की गणितीय अपेक्षा और 0.04 के भिन्नता के साथ वितरित किया जाता है। खोजो: ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स); बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स खंड से एक मूल्य लेगा। 3.11.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। इनमें से कौन सी घटना: |X|≤0.6 या |X|≥0.6 अधिक संभावित है? 3.12.
यादृच्छिक चर 3.13.
प्रति शेयर मौजूदा कीमत को एम(एक्स)=10 डेन के साथ सामान्य वितरण कानून का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इकाइयां और σ (X)=0.3 डेन. इकाइयां खोजो: ए) संभावना है कि मौजूदा शेयर की कीमत 9.8 डेन से होगी। इकाइयां 10.4 दिन तक इकाइयाँ; बी) "थ्री सिग्मा नियम" का उपयोग करके, उन सीमाओं का पता लगाएं जिनके भीतर वर्तमान स्टॉक मूल्य स्थित होगा। 3.14.
पदार्थ को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक वजन त्रुटियां माध्य वर्ग अनुपात σ=5g के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार स्वतंत्र प्रयोगों में तीन भारों में त्रुटि निरपेक्ष मान 3r में नहीं होगी। 3.15.
यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12.6 के साथ वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के अंतराल (11.4;13.8) में गिरने की संभावना 0.6826 है। मानक विचलन ज्ञात करें σ. 3.16.
यादृच्छिक चर 3.17.
स्वचालित मशीन द्वारा निर्मित एक भाग को दोषपूर्ण माना जाता है यदि इसके नियंत्रित पैरामीटर का नाममात्र मूल्य से विचलन माप की मॉड्यूलो 2 इकाइयों से अधिक हो। यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और σ(X)=0.7 के साथ वितरित किया जाता है। मशीन कितने प्रतिशत ख़राब हिस्से बनाती है? 3.18.
भाग का एक्स पैरामीटर सामान्य रूप से नाममात्र मूल्य के बराबर 2 की गणितीय अपेक्षा और 0.014 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नाममात्र मूल्य से X का विचलन नाममात्र मूल्य के 1% से अधिक नहीं होगा। जवाब
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width=”14” ऊंचाई=”110 src=”> बी) x≤-3 के लिए 0, एफ(एक्स)=बाएं"> 3.10.
ए)एफ(एक्स)= , बी) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185। 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
ए) पी(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562। 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण ऑक्स अक्ष से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है: सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर को उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f(x) या वितरण फलन F(x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में आपको ढूंढने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फ़ंक्शन f(x) और F(x) के प्लॉट ग्राफ़. निर्देश। स्रोत डेटा का प्रकार चुनें: वितरण घनत्व f(x) या वितरण फ़ंक्शन F(x)। वितरण घनत्व f(x) दिया गया है: वितरण फलन F(x) दिया गया है: एक सतत यादृच्छिक चर को संभाव्यता घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है यादृच्छिक चर X कहा जाता है निरंतर
, यदि इसका वितरण फलन F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात करें, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातांकीय वितरण है। पी खोजें 
, यदि x में है: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) खंड पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण वर्ग समान है
के = (एक्स, वाई): |एक्स| +|y|£2). संभाव्यता खोजें 
. क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी त्रिभुज K= के अंदर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए. यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और खंडों और [-1,1] पर समान रूप से वितरित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए. एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) शीर्षों (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) वाले एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। एक यादृच्छिक वेक्टर (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के अंदर समान रूप से वितरित किया जाता है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभाव्यता की गणना करें. यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से बिंदुओं (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) पर शीर्षों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के अंदर वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर की इस जोड़ी और घटकों के घनत्व के लिए संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात करें। क्या x और h आश्रित हैं? एक यादृच्छिक युग्म (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व बराबर है 
.
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एम(एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर फाइंड के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं
.
यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि यह अंतराल खुला है या बंद है, अर्थात।
और मूल्यों के लिए इकाई 
.एक सतत यादृच्छिक चर के लिए
.
.
और इकाई के लिए 
. समय समान रूप से बहता है. अत: वास्तविक समय होने की सम्भावना कम है ए+ 0.5 मिनट, 0.5 के बराबर, क्योंकि यह समान रूप से संभव है कि यह इसके बाद गुजरा एआधे मिनट से कम या अधिक. सही समय होने की सम्भावना कम है ए+ 0.25 मिनट, 0.25 के बराबर (इस समय की संभावना इस संभावना से तीन गुना कम है कि वास्तविक समय अधिक है) ए+ 0.25 मिनट, और उनका योग एक के बराबर है, विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के योग के रूप में)। इसी प्रकार तर्क करने पर हम पाते हैं कि वास्तविक समय की सम्भावना कम है ए+ 0.6 मिनट, 0.6 के बराबर। सामान्य तौर पर, संभावना यह है कि सही समय कम है ए
+ + α
मिन 
, बराबर है α
. इसलिए, वास्तविक समय वितरण फ़ंक्शन में निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:
on हर जगह निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर निरंतर है, दो को छोड़कर: एक्स = एऔर एक्स = ए+ 1. इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है (चित्र 8.3):
, अर्थात। 
. समारोह एफ(एक्स) गैर-घटता नहीं है: अंतराल में 
यह अंतराल में स्थिर, शून्य के बराबर है 
बीच-बीच में बढ़ जाता है 
यह भी स्थिर है, इकाई के बराबर है (चित्र 8.4 देखें)। कार्य प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 इसकी परिभाषा का क्षेत्र - अंतराल 
, इसलिए बाईं ओर निरंतर है, अर्थात। समानता रखती है
,
.
,
.
वितरण फलन की सभी विशेषताओं को संतुष्ट करता है। तो यह फ़ंक्शन 
कुछ यादृच्छिक चर का वितरण कार्य है एक्स.
यह घटता है और निरंतर नहीं रहता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 8.5.
.
,
.
बिंदु पर 
,
.
.
एक यादृच्छिक चर के हिट एक्सकिसी निश्चित अवधि में सूत्र द्वारा गणना की जाती है
.
. इस यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए।
,
.
.
, बराबर है
उदाहरण 8.6.एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व प्लॉट एक्सचित्र में दिखाया गया है 8.6 (सिम्पसन का नियम)। इस यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व और वितरण फ़ंक्शन के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें।
, वह 
.
, वह ।
, वह
, वह
1.2.
p4=0.1; 0 x≤-1 पर,
(चित्र.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> x≤a के लिए 0,
,
सामान्य वक्र सीधी रेखा x=m के संबंध में सममित है, x=a पर अधिकतम है, के बराबर।
,
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। M(x) , D(x) खोजें।
किसी निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में यादृच्छिक चर के गिरने की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी(α< X < β)=F(β) - F(α)
इसके अलावा, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएँ इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व
एक सतत यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f(x)=F'(x), वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।वितरण घनत्व के गुण
1. x के सभी मानों के लिए यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व गैर-नकारात्मक (f(x) ≥ 0) है।
2. सामान्यीकरण की स्थिति:
सामान्यीकरण स्थिति का ज्यामितीय अर्थ: वितरण घनत्व वक्र के अंतर्गत क्षेत्र एकता के बराबर है।
3. एक यादृच्छिक चर X के α से β के अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है 
ज्यामितीय रूप से, एक निरंतर यादृच्छिक चर X के अंतराल (α, β) में गिरने की संभावना इस अंतराल के आधार पर वितरण घनत्व वक्र के तहत घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।
4. वितरण फलन को घनत्व के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
बिंदु x पर वितरण घनत्व का मान इस मान को लेने की संभावना के बराबर नहीं है; एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए हम केवल दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। होने देना )
