त्रिकोणीय आधार वाले पिरामिड का आयतन। पिरामिड

प्रमेय.

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है.

सबूत:

पहले हम एक त्रिकोणीय पिरामिड के लिए प्रमेय सिद्ध करते हैं, फिर एक मनमाने पिरामिड के लिए।

1. एक त्रिकोणीय पिरामिड पर विचार करेंOABCआयतन V, आधार क्षेत्र के साथएसऔर ऊंचाई एच. आइए धुरी बनाएं ओह (ओएम2- ऊँचाई), अनुभाग पर विचार करेंए1 बी1 सी1अक्ष के लंबवत समतल वाला पिरामिडओहऔर, इसलिए, आधार के तल के समानांतर। आइए हम इसे निरूपित करेंएक्सभुज बिंदु एम1 एक्स अक्ष के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन, और इसके माध्यम सेएस(एक्स)- संकर अनुभागीय क्षेत्र। आइए व्यक्त करें एस(एक्स)के माध्यम से एस, एचऔर एक्स. ध्यान दें कि त्रिभुज A1 में1 साथ1 और एबीसी समान हैं. दरअसल ए1 में1 द्वितीय एबी, तो त्रिकोणओए 1 में 1 त्रिभुज OAB के समान। साथइसलिए, ए1 में1 : एबी=ओए 1: ओए .

समकोण त्रिभुजओए 1 में 1 और ओएवी भी समान हैं (उनका शीर्ष O के साथ एक उभयनिष्ठ न्यूनकोण है). इसलिए, ओ.ए 1: ओए = ओ 1 एम1 : ओम = एक्स: एच. इस प्रकारए 1 में 1 : ए बी = एक्स: एच।इसी प्रकार यह भी सिद्ध हो गया हैबी1 सी1:सूरज = एक्स: एचऔर ए1 सी1:एसी =एक्स: एच।तो, त्रिकोणए1 बी1 सी1और एबीसीसमानता गुणांक के साथ समानएक्स: एच।इसलिए, S(x) :एस = (एक्स: एच)², याएस(एक्स) = एस x²/ एच².

आइए अब हम पिंडों के आयतन की गणना के लिए मूल सूत्र लागू करेंए= 0, बी =एचहम पाते हैं

2. आइए अब हम ऊंचाई वाले एक मनमाने पिरामिड के लिए प्रमेय को सिद्ध करें एचऔर आधार क्षेत्र एस. ऐसे पिरामिड को कुल ऊंचाई वाले त्रिकोणीय पिरामिडों में विभाजित किया जा सकता है एच।आइए हम अपने द्वारा सिद्ध किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन व्यक्त करें और इन आयतनों को जोड़ें। सामान्य गुणनखंड 1/3h को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, हम कोष्ठक में त्रिकोणीय पिरामिडों के आधारों का योग प्राप्त करते हैं, अर्थात। मूल पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल S.

इस प्रकार, मूल पिरामिड का आयतन 1/3Sh है. प्रमेय सिद्ध है.

परिणाम:

एक काटे गए पिरामिड का आयतन V जिसकी ऊंचाई h है और जिसके आधार क्षेत्र S और S हैं1 , सूत्र द्वारा गणना की जाती है

एच - पिरामिड की ऊंचाई

रुकना - ऊपरी आधार का क्षेत्र

और धीमा - निचले आधार का क्षेत्र

किसी की मुख्य विशेषता ज्यामितीय आकृतिअंतरिक्ष में इसका आयतन है। इस लेख में हम देखेंगे कि आधार पर त्रिभुज वाला पिरामिड क्या होता है, और हम यह भी दिखाएंगे कि त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें - नियमित पूर्ण और छोटा।

यह क्या है - एक त्रिकोणीय पिरामिड?

प्राचीन मिस्र के पिरामिडों के बारे में सभी ने सुना है, लेकिन वे नियमित चतुर्भुज हैं, त्रिकोणीय नहीं। आइए बताएं कि त्रिकोणीय पिरामिड कैसे प्राप्त करें।

आइए एक मनमाना त्रिभुज लें और उसके सभी शीर्षों को इस त्रिभुज के तल के बाहर स्थित किसी एक बिंदु से जोड़ें। परिणामी आकृति को त्रिकोणीय पिरामिड कहा जाएगा। इसे नीचे चित्र में दिखाया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रश्न में दी गई आकृति चार त्रिभुजों से बनी है, जो सामान्य मामलाकुछ अलग हैं। प्रत्येक त्रिभुज पिरामिड की भुजाएँ या उसका मुख है। इस पिरामिड को अक्सर टेट्राहेड्रोन कहा जाता है, यानी एक टेट्राहेड्रल त्रि-आयामी आकृति।

भुजाओं के अलावा, पिरामिड में किनारे (उनमें से 6 हैं) और शीर्ष (4 में से) भी हैं।

त्रिकोणीय आधार के साथ

एक आकृति जो एक मनमाना त्रिभुज और अंतरिक्ष में एक बिंदु का उपयोग करके प्राप्त की जाती है, सामान्य स्थिति में एक अनियमित तिरछा पिरामिड होगा। अब कल्पना करें कि मूल त्रिभुज की भुजाएँ समान हैं, और अंतरिक्ष में एक बिंदु त्रिभुज के तल से h दूरी पर इसके ज्यामितीय केंद्र के ठीक ऊपर स्थित है। इन प्रारंभिक डेटा का उपयोग करके बनाया गया पिरामिड सही होगा।

जाहिर है, एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों, भुजाओं और शीर्षों की संख्या एक मनमाने त्रिकोण से बने पिरामिड के समान होगी।

हालाँकि, सही आंकड़ा कुछ है विशिष्ट विशेषताएं:

• शीर्ष से खींची गई इसकी ऊँचाई आधार को ज्यामितीय केंद्र (मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन बिंदु) पर बिल्कुल प्रतिच्छेद करेगी;
• ऐसे पिरामिड की पार्श्व सतह तीन समान त्रिभुजों से बनती है, जो समद्विबाहु या समबाहु होते हैं।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड न केवल एक विशुद्ध सैद्धांतिक ज्यामितीय वस्तु है। प्रकृति में कुछ संरचनाओं का अपना आकार होता है, उदाहरण के लिए हीरे की क्रिस्टल जाली, जहां एक कार्बन परमाणु सहसंयोजक बंधों द्वारा चार समान परमाणुओं से जुड़ा होता है, या एक मीथेन अणु, जहां पिरामिड के शीर्ष हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा बनते हैं।

त्रिकोणीय पिरामिड

आप निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करके आधार पर एक मनमाना एन-गॉन के साथ बिल्कुल किसी भी पिरामिड का आयतन निर्धारित कर सकते हैं:

यहां प्रतीक S o आधार के क्षेत्रफल को दर्शाता है, h पिरामिड के शीर्ष से चिह्नित आधार तक खींची गई आकृति की ऊंचाई है।

चूँकि एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा a की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है और एपोटेम h a इस भुजा पर गिराया जाता है, एक त्रिभुजाकार पिरामिड के आयतन का सूत्र निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

वी = 1/6 × ए × एच ए × एच

के लिए सामान्य प्रकारऊंचाई निर्धारित करना कोई आसान काम नहीं है. इसे हल करने के लिए, सबसे आसान तरीका एक बिंदु (शीर्ष) और एक विमान (त्रिकोणीय आधार) के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना है, जिसे समीकरण द्वारा दर्शाया गया है सामान्य रूप से देखें.

सही के लिए, इसकी एक विशिष्ट उपस्थिति होती है। इसके लिए (एक समबाहु त्रिभुज का) आधार का क्षेत्रफल बराबर है:

हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं सामान्य अभिव्यक्तिवी के लिए, हमें मिलता है:

वी = √3/12 × ए 2 × एच

एक विशेष मामला वह स्थिति है जब चतुष्फलक की सभी भुजाएँ समान समबाहु त्रिभुज बन जाती हैं। इस मामले में, इसका आयतन केवल इसके किनारे के पैरामीटर के ज्ञान के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है। संबंधित अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखती है:

कटा हुआ पिरामिड

अगर शीर्ष भाग, जिसमें शीर्ष शामिल है, एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड से काटा गया है, आपको एक कटी हुई आकृति मिलती है। मूल के विपरीत, इसमें दो समबाहु त्रिकोणीय आधार और तीन समद्विबाहु समलम्बाकार शामिल होंगे।

नीचे दी गई तस्वीर दिखाती है कि कागज से बना एक नियमित रूप से कटा हुआ त्रिकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

एक काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसकी तीन रैखिक विशेषताओं को जानना होगा: आधारों की प्रत्येक भुजा और आकृति की ऊंचाई, ऊपरी और निचले आधारों के बीच की दूरी के बराबर। आयतन का संगत सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

वी = √3/12 × एच × (ए 2 + ए 2 + ए × ए)

यहाँ h आकृति की ऊँचाई है, A और a क्रमशः बड़े (निचले) और छोटे (ऊपरी) समबाहु त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई हैं।

समस्या समाधान

लेख में दी गई जानकारी को पाठक के लिए स्पष्ट बनाने के लिए, हम एक स्पष्ट उदाहरण के साथ दिखाएंगे कि कुछ लिखित सूत्रों का उपयोग कैसे करें।

माना त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन 15 सेमी 3 है। पता चला कि आंकड़ा सही है. यदि यह ज्ञात हो कि पिरामिड की ऊंचाई 4 सेमी है, तो पार्श्व किनारे के एपोथेम ए बी को ढूंढना आवश्यक है।

चूँकि आकृति का आयतन और ऊँचाई ज्ञात है, आप इसके आधार की भुजा की लंबाई की गणना करने के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है:

वी = √3/12 × ए 2 × एच =>

ए = 12 × वी / (√3 × एच) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 सेमी

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 सेमी

आकृति के एपोथेम की गणना की गई लंबाई इसकी ऊंचाई से अधिक निकली, जो कि किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए सच है।

पिरामिड क्या है?

वह किसके जैसी लगती है?

आप देखें: पिरामिड के नीचे (वे कहते हैं " आधार पर") कुछ बहुभुज, और इस बहुभुज के सभी शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़े हुए हैं (इस बिंदु को " कहा जाता है) शिखर»).

यह पूरी संरचना अभी भी मौजूद है पार्श्व चेहरे, पार्श्व पसलियाँऔर आधार पसलियाँ. आइए एक बार फिर इन सभी नामों के साथ एक पिरामिड बनाएं:

कुछ पिरामिड देखने में बहुत अजीब लग सकते हैं, लेकिन वे फिर भी पिरामिड ही हैं।

यहाँ, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से "तिरछा" है पिरामिड.

और नामों के बारे में थोड़ा और: यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिकोण है, तो पिरामिड को त्रिकोणीय कहा जाता है, यदि यह चतुर्भुज है, तो चतुष्कोणीय, और यदि यह एक सेंटकोण है, तो... आप स्वयं अनुमान लगाएं .

उसी समय वह जिस बिंदु पर गिरा ऊंचाई, बुलाया ऊंचाई का आधार. कृपया ध्यान दें कि "टेढ़े" पिरामिडों में ऊंचाईपिरामिड के बाहर भी समाप्त हो सकता है। इस कदर:

और इसमें कुछ भी गलत नहीं है. यह एक कुंठित त्रिभुज जैसा दिखता है।

सही पिरामिड.

बहुत सारे जटिल शब्द? आइए समझें: "आधार पर - सही" - यह समझ में आता है। अब आइए याद रखें कि एक नियमित बहुभुज का एक केंद्र होता है - एक बिंदु जो और, और का केंद्र होता है।

खैर, शब्द "शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया गया है" का अर्थ है कि ऊंचाई का आधार बिल्कुल आधार के केंद्र में पड़ता है। देखो यह कितना चिकना और प्यारा लग रहा है नियमित पिरामिड.

षटकोणीय: आधार पर एक नियमित षट्भुज है, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया गया है।

चौकोर: आधार एक वर्ग है, शीर्ष इस वर्ग के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित है।

त्रिकोणीय: आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, शीर्ष को इस त्रिभुज की ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है (वे माध्यिका और समद्विभाजक भी हैं)।

बहुत महत्वपूर्ण गुण नियमित पिरामिड:

दाहिने पिरामिड में

• सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं.
• सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड का आयतन

पिरामिड के आयतन का मुख्य सूत्र:

यह वास्तव में कहां से आया? यह इतना आसान नहीं है, और सबसे पहले आपको बस यह याद रखना होगा कि सूत्र में पिरामिड और शंकु का आयतन होता है, लेकिन सिलेंडर का नहीं।

आइए अब सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के आयतन की गणना करें।

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है और किनारे का किनारा भी बराबर है। हमें खोजने की जरूरत है और.

यह एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल है.

आइए याद रखें कि इस क्षेत्र की तलाश कैसे करें। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे लिए, " " यह है, और " " भी यह है, एह।

अब आइए इसे खोजें।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

क्या फर्क पड़ता है? यह परित्रिज्या है क्योंकि पिरामिडसहीऔर, इसलिए, केंद्र।

चूँकि - माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु भी।

(पाइथागोरस प्रमेय के लिए)

आइए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

और आइए हर चीज़ को वॉल्यूम फ़ॉर्मूले में प्रतिस्थापित करें:

ध्यान:यदि आपके पास एक नियमित चतुष्फलक (अर्थात) है, तो सूत्र इस प्रकार बनता है:

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है और किनारे का किनारा भी बराबर है।

यहां देखने की कोई जरूरत नहीं है; आख़िरकार, आधार एक वर्ग है, और इसलिए।

हम इसे ढूंढ लेंगे. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

हम जानते हैं? खैर, लगभग. देखना:

(हमने इसे देखकर यह देखा)।

इसके लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

और अब हम आयतन सूत्र में स्थानापन्न करते हैं।

आधार का किनारा और पार्श्व का किनारा बराबर हो।

कैसे खोजें? देखिए, एक षट्भुज बिल्कुल छह समान नियमित त्रिभुजों से बना होता है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आयतन की गणना करते समय हमने पहले ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल की तलाश कर ली है, यहाँ हम अपने द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं;

अब आइए (इसे) खोजें।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लेकिन इससे क्या फर्क पड़ता है? यह सरल है क्योंकि (और बाकी सभी भी) सही हैं।

आइए स्थानापन्न करें:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

पिरामिड. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

पिरामिड एक बहुफलक है जिसमें कोई समतल बहुभुज (), एक बिंदु जो आधार के तल (पिरामिड के शीर्ष) में नहीं होता है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं (किनारों) से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर एक लम्ब गिराया गया।

सही पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एक नियमित बहुभुज आधार पर स्थित होता है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित पिरामिड की संपत्ति:

• एक नियमित पिरामिड में, सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं।
• सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड आयतन:

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पाठ मकसद.

शैक्षिक: पिरामिड के आयतन की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें

विकासात्मक: शैक्षणिक विषयों में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि, व्यवहार में अपने ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना।

शैक्षिक: ध्यान, सटीकता पैदा करें, छात्रों के क्षितिज का विस्तार करें।

उपकरण और सामग्री: कंप्यूटर, स्क्रीन, प्रोजेक्टर, प्रस्तुति "पिरामिड का आयतन।"

1. फ्रंटल सर्वेक्षण. स्लाइड्स 2, 3

पिरामिड किसे कहते हैं, पिरामिड का आधार, पसलियाँ, ऊँचाई, अक्ष, एपोथेम। किस पिरामिड को नियमित, चतुष्फलकीय, छिन्नित पिरामिड कहा जाता है?

पिरामिड एक बहुफलक है जिसमें एक समतल भाग होता है बहुभुज, अंक, इस बहुभुज के तल में नहीं पड़ा है और सभी खंड, इस बिंदु को बहुभुज के बिंदुओं से जोड़ना।

यह बातबुलाया शीर्षपिरामिड, और एक समतल बहुभुज पिरामिड का आधार है। सेगमेंटपिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्षों से जोड़ने को कहते हैं पसलियाँ . ऊंचाईपिरामिड - सीधा, पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया। एपोथेम - पार्श्व किनारे की ऊंचाईसही पिरामिड. पिरामिड, जो आधार परसही है एन-gon, ए ऊंचाई का आधारके साथ मेल खाता है आधार का केंद्रबुलाया सही एन-गोनल पिरामिड। धुरी एक नियमित पिरामिड की वह रेखा होती है जिसमें उसकी ऊंचाई होती है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड को टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। यदि पिरामिड को आधार के समतल के समांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाए तो यह पिरामिड को काट देगा, समानदिया गया। शेष भाग को कहा जाता है छोटा पिरामिड.

2. पिरामिड के आयतन की गणना के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति V=SH/3 स्लाइड 4, 5, 6

1. मान लीजिए SABC शीर्ष S और आधार ABC वाला एक त्रिकोणीय पिरामिड है।

2. आइए इस पिरामिड को समान आधार और ऊंचाई वाले त्रिकोणीय प्रिज्म में जोड़ें।

3. यह प्रिज्म तीन पिरामिडों से बना है:

1) इस SABC पिरामिड का।

2) पिरामिड एससीसी 1 बी 1।

3) और पिरामिड एससीबीबी 1।

4. दूसरे और तीसरे पिरामिड के आधार CC 1 B 1 और B 1 BC समान हैं और शीर्ष S से समांतर चतुर्भुज BB 1 C 1 C के फलक तक खींची गई कुल ऊँचाई है। इसलिए, उनका आयतन समान है।

5. पहले और तीसरे पिरामिड के आधार SAB और BB 1 S भी समान हैं और शीर्ष C से समांतर चतुर्भुज ABB 1 S के फलक तक खींची गई ऊँचाईयाँ संपाती हैं। इसलिए, उनका आयतन भी समान है।

इसका मतलब है कि तीनों पिरामिडों का आयतन समान है। चूँकि इन आयतनों का योग प्रिज्म के आयतन के बराबर है, पिरामिडों का आयतन SH/3 के बराबर है।

किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है।

3. नई सामग्री का समेकन. व्यायाम का समाधान.

1) समस्या № 33 पाठ्यपुस्तक से ए.एन. पोगोरेलोवा. स्लाइड 7, 8, 9

आधार पक्ष पर? और पार्श्व किनारा बी, एक नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात करें, जिसके आधार पर स्थित है:

1)त्रिकोण,

2) चतुर्भुज,

3) षट्कोण.

एक नियमित पिरामिड में, ऊँचाई आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। फिर: (परिशिष्ट)

4. ऐतिहासिक जानकारीपिरामिडों के बारे में. स्लाइड 15, 16, 17

पिरामिड से जुड़ी कई असामान्य घटनाओं को स्थापित करने वाले हमारे समकालीनों में से पहले फ्रांसीसी वैज्ञानिक एंटोनी बोवी थे। बीसवीं सदी के 30 के दशक में चेप्स पिरामिड की खोज करते समय, उन्होंने पाया कि छोटे जानवरों के शव जो गलती से शाही कमरे में पहुँच गए थे, ममीकृत थे। बोवे ने इसका कारण पिरामिड के आकार से स्वयं को समझाया और, जैसा कि बाद में पता चला, उनसे गलती नहीं हुई थी। उनके कार्यों ने आधार बनाया आधुनिक अनुसंधानजिसके परिणामस्वरूप, पिछले 20 वर्षों में, कई किताबें और प्रकाशन इस बात की पुष्टि करते हुए सामने आए हैं कि पिरामिडों की ऊर्जा का व्यावहारिक महत्व हो सकता है।

पिरामिडों का रहस्य

कुछ शोधकर्ताओं का तर्क है कि पिरामिड में ब्रह्मांड, सौर मंडल और मनुष्य की संरचना के बारे में भारी मात्रा में जानकारी होती है, जो इसके ज्यामितीय आकार में, या अधिक सटीक रूप से, एक ऑक्टाहेड्रोन के आकार में एन्कोडेड होती है, जिसका आधा हिस्सा पिरामिड दर्शाता है। पिरामिड जिसका शीर्ष ऊपर की ओर है वह जीवन का प्रतीक है, जिसका शीर्ष नीचे की ओर है वह मृत्यु का प्रतीक है। दूसरी दुनिया. ठीक स्टार ऑफ डेविड (मैगन डेविड) के घटकों की तरह, जहां ऊपर की ओर निर्देशित त्रिकोण उच्च मन, ईश्वर की ओर आरोहण का प्रतीक है, और नीचे की ओर शीर्ष वाला त्रिकोण आत्मा के पृथ्वी, भौतिक अस्तित्व पर अवतरण का प्रतीक है...

कोड का डिजिटल मान जिसके साथ ब्रह्मांड के बारे में जानकारी पिरामिड में एन्क्रिप्ट की गई है, संख्या 365, को संयोग से नहीं चुना गया था। सबसे पहले, यह हमारे ग्रह का वार्षिक जीवन चक्र है। साथ ही, संख्या 365 तीन अंकों 3, 6 और 5 से बनी है। उनका क्या मतलब है? मैं फ़िन सौर परिवारसूर्य 1, बुध - 2, शुक्र - 3, पृथ्वी - 4, मंगल - 5, बृहस्पति - 6, शनि - 7, यूरेनस - 8, नेपच्यून - 9, प्लूटो - 10, फिर 3 पर शुक्र, 6 पर गुजरता है - बृहस्पति और 5 - मंगल। परिणामस्वरूप, पृथ्वी इन ग्रहों से एक विशेष तरीके से जुड़ी हुई है। संख्या 3, 6 और 5 को जोड़ने पर हमें 14 प्राप्त होता है, जिसमें से 1 सूर्य है, और 4 पृथ्वी है।

अंक 14 का आम तौर पर वैश्विक महत्व है: विशेष रूप से, मानव हाथों की संरचना इस पर आधारित है, जिनमें से प्रत्येक की उंगलियों की कुल संख्या भी 14 है। यह कोड नक्षत्र से भी संबंधित है उर्सा मेजर, जिसमें हमारा सूर्य भी शामिल है, और जिसमें एक बार एक और तारा था जिसने मंगल और बृहस्पति के बीच स्थित ग्रह फेथॉन को नष्ट कर दिया था, जिसके बाद प्लूटो सौर मंडल में दिखाई दिया, और शेष ग्रहों की विशेषताएं बदल गईं।

कई गूढ़ स्रोतों का दावा है कि पृथ्वी पर मानवता पहले ही चार बार विश्वव्यापी तबाही का अनुभव कर चुकी है। तीसरी लेमुरियन जाति ब्रह्मांड के दिव्य विज्ञान को जानती थी, तब यह गुप्त सिद्धांत केवल दीक्षार्थियों को ही प्रसारित किया जाता था। नाक्षत्र वर्ष के चक्रों और आधे चक्रों की शुरुआत में, उन्होंने पिरामिड बनाए। वे जीवन की संहिता की खोज के करीब थे। अटलांटिस की सभ्यता कई चीजों में सफल रही, लेकिन ज्ञान के कुछ स्तर पर उन्हें एक अन्य ग्रहीय आपदा के साथ-साथ नस्ल परिवर्तन ने रोक दिया। संभवतः, दीक्षार्थी हमें यह बताना चाहते थे कि पिरामिडों में ब्रह्मांडीय नियमों का ज्ञान है...

पिरामिड के रूप में विशेष उपकरण कंप्यूटर, टीवी, रेफ्रिजरेटर और अन्य विद्युत घरेलू उपकरणों से किसी व्यक्ति पर नकारात्मक विद्युत चुम्बकीय विकिरण को बेअसर करते हैं।

पुस्तकों में से एक में एक ऐसे मामले का वर्णन किया गया है जिसमें एक कार के यात्री डिब्बे में स्थापित पिरामिड ने ईंधन की खपत को कम कर दिया और निकास गैसों में सीओ सामग्री को कम कर दिया।

पिरामिडों में रखी उद्यान फसलों के बीजों का अंकुरण और उपज बेहतर होती थी। प्रकाशनों ने बुआई से पहले बीजों को पिरामिड के पानी में भिगोने की भी सिफारिश की।

यह पाया गया कि पिरामिडों का पारिस्थितिक स्थिति पर लाभकारी प्रभाव पड़ता है। अपार्टमेंट, कार्यालयों और ग्रीष्मकालीन कॉटेज में रोगजनक क्षेत्रों को हटा दें, एक सकारात्मक आभा बनाएं।

डच शोधकर्ता पॉल डिकेंस ने अपनी पुस्तक में पिरामिडों के उपचार गुणों का उदाहरण दिया है। उन्होंने देखा कि उनकी मदद से आप सिरदर्द, जोड़ों के दर्द से राहत पा सकते हैं, छोटे घावों से रक्तस्राव रोक सकते हैं और पिरामिड की ऊर्जा चयापचय को उत्तेजित करती है और प्रतिरक्षा प्रणाली को मजबूत करती है।

कुछ आधुनिक प्रकाशनों में कहा गया है कि पिरामिड में रखी दवाएं उपचार के पाठ्यक्रम को छोटा कर देती हैं, और सकारात्मक ऊर्जा से भरपूर ड्रेसिंग सामग्री घाव भरने को बढ़ावा देती है।

कॉस्मेटिक क्रीम और मलहम उनके प्रभाव में सुधार करते हैं।

अल्कोहल वाले पेय सहित, उनके स्वाद में सुधार होता है, और 40% वोदका में मौजूद पानी उपचारकारी हो जाता है। सच है, एक मानक 0.5 लीटर की बोतल को सकारात्मक ऊर्जा से चार्ज करने के लिए, आपको एक ऊंचे पिरामिड की आवश्यकता होगी।

एक अखबार के लेख में कहा गया है कि यदि आभूषणों को पिरामिड के नीचे रखा जाता है, तो यह स्वयं साफ हो जाता है और एक विशेष चमक प्राप्त कर लेता है, और कीमती और अर्ध-कीमती पत्थर सकारात्मक बायोएनर्जी जमा करते हैं और फिर धीरे-धीरे इसे छोड़ते हैं।

अमेरिकी वैज्ञानिकों के अनुसार, अनाज, आटा, नमक, चीनी, कॉफी, चाय जैसे खाद्य उत्पाद पिरामिड में रहने के बाद अपने स्वाद में सुधार करते हैं और सस्ती सिगरेट अपने कुलीन भाइयों के समान हो जाती हैं।

यह कई लोगों के लिए प्रासंगिक नहीं हो सकता है, लेकिन एक छोटे पिरामिड में पुराने रेजर ब्लेड खुद को तेज करते हैं, और एक बड़े पिरामिड में पानी -40 डिग्री सेल्सियस पर नहीं जमता है।

अधिकांश शोधकर्ताओं के अनुसार, यह सब पिरामिड ऊर्जा के अस्तित्व का प्रमाण है।

अपने अस्तित्व के 5000 वर्षों में, पिरामिड एक प्रकार का प्रतीक बन गए हैं, जो मनुष्य की ज्ञान के शिखर तक पहुँचने की इच्छा को व्यक्त करते हैं।

5. पाठ का सारांश।

प्रयुक्त साहित्य की सूची.

1) http://schools.techno.ru

2) पोगोरेलोव ए.वी. ज्योमेट्री 10-11, प्रोस्वेशचेनी पब्लिशिंग हाउस।

3) विश्वकोश "ज्ञान का वृक्ष" मार्शल के.

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरण देखेंगे। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन का सूत्र जानना चाहिए:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है. लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा की अधिकांश समस्याओं में, स्थिति आमतौर पर नियमित पिरामिड के बारे में होती है। मैं आपको इसके एक गुण की याद दिलाना चाहता हूँ:

एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिडों के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप ब्लॉग पर जा सकते हैं, जहां पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से संबंधित समस्याओं पर चर्चा की गई थी।आइए कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हैं और जिसकी ऊँचाई तीन के मूल के बराबर है।

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आइए पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह एक नियमित त्रिभुज है। आइए सूत्र का उपयोग करें - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 2 के बराबर हैं और जिसका आयतन तीन के मूल के बराबर है।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताएँ जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र से संबंधित हैं:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम स्वयं आयतन जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि हम त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं, जो कि आधार है। संकेतित मानों को जानकर हम आसानी से ऊंचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है.

उत्तर: 3

27109. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 6 और पार्श्व किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं. आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड एक पैर है जो वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस चरण की गणना कर सकते हैं:

इसका मतलब है BD = 16. आइए चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करें:

इस तरह:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 12 और आयतन 200 है। इस पिरामिड का पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन ज्ञात है, जिसका अर्थ है कि हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो आधार है। किसी वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

आइए वर्ग का क्षेत्रफल (पिरामिड का आधार) ज्ञात करें:

आइए वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, भुजा पचास के मूल के बराबर होगी और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे भाग में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है पैर सही त्रिकोणओबी = 5.

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. चित्र में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है, जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और पार्श्व किनारों में से एक आधार के तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि कई बार कहा गया है, पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन के बराबर है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 और 4 हैं। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।