विभेदक समीकरण (DE) - यह समीकरण है,
स्वतंत्र चर कहां हैं, y फ़ंक्शन है और आंशिक व्युत्पन्न हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर होता है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक विभेदक समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है तो "साधारण" और "आंशिक व्युत्पन्न" शब्दों को छोड़ा जा सकता है। निम्नलिखित में सामान्य अंतर समीकरणों पर विचार किया जाता है।

विभेदक समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है.

यहां प्रथम कोटि समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहां चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी प्रथम कोटि अवकल समीकरण को अवकलों के रूप में लिखा जाता है:

इस स्थिति में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहले मामले में, y, x का एक फलन है। दूसरे मामले में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को ऐसे रूप में घटा सकते हैं जिसमें स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न y' शामिल हो।
इस समीकरण को dx से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:
.
चूंकि और, यह उसका अनुसरण करता है
.

विभेदक समीकरणों को हल करना

से व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यप्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के समाकलन को अक्सर प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है। विभेदक समीकरणों के साथ स्थिति और भी बदतर है। समाधान के परिणामस्वरूप आप प्राप्त कर सकते हैं:

• किसी चर पर फ़ंक्शन की स्पष्ट निर्भरता;

  एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन y = u है (एक्स), जिसे परिभाषित किया गया है, n गुना भिन्न, और।

• प्रकार के समीकरण के रूप में अंतर्निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;

  विभेदक समीकरण का समाकलन एक अवकल समीकरण का एक समाधान है जिसका एक अंतर्निहित रूप होता है।

• प्राथमिक कार्यों और उनसे अभिन्नों के माध्यम से व्यक्त निर्भरता;

  चतुर्भुजों में अवकल समीकरण को हल करना - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न अंग के संयोजन के रूप में एक समाधान ढूंढ रहा है।

• समाधान को प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि विभेदक समीकरणों को हल करने से अभिन्नों की गणना होती है, समाधान में स्थिरांक C 1, C 2, C 3, ... C n का एक सेट शामिल होता है। स्थिरांकों की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर है। विभेदक समीकरण का आंशिक अभिन्न अंग स्थिरांक C 1, C 2, C 3, ..., C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य अभिन्न अंग है।

सन्दर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, अंतर समीकरणों का कोर्स, "एलकेआई", 2015।
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

आज, किसी भी विशेषज्ञ के लिए सबसे महत्वपूर्ण कौशल में से एक अंतर समीकरणों को हल करने की क्षमता है। विभेदक समीकरणों को हल करना - कोई भी लागू कार्य इसके बिना पूरा नहीं हो सकता, चाहे वह किसी भौतिक पैरामीटर की गणना करना हो या अपनाई गई व्यापक आर्थिक नीतियों के परिणामस्वरूप मॉडलिंग परिवर्तन हो। ये समीकरण कई अन्य विज्ञानों, जैसे रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, चिकित्सा, आदि के लिए भी महत्वपूर्ण हैं। नीचे हम अर्थशास्त्र में विभेदक समीकरणों के उपयोग का एक उदाहरण देंगे, लेकिन उससे पहले हम मुख्य प्रकार के समीकरणों के बारे में संक्षेप में बात करेंगे।

विभेदक समीकरण - सबसे सरल प्रकार

ऋषियों ने कहा कि हमारे ब्रह्मांड के नियम इसमें लिखे हुए हैं गणितीय भाषा. बेशक, बीजगणित में विभिन्न समीकरणों के कई उदाहरण हैं, लेकिन अधिकांश भाग के लिए ये शैक्षिक उदाहरण हैं जो व्यवहार में लागू नहीं होते हैं। वास्तव में दिलचस्प गणित तब शुरू होता है जब हम होने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करना चाहते हैं वास्तविक जीवन. लेकिन हम उस समय कारक को कैसे प्रतिबिंबित कर सकते हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं-मुद्रास्फीति, आउटपुट, या जनसांख्यिकीय संकेतकों को नियंत्रित करता है?

आइए एक बात याद रखें महत्वपूर्ण परिभाषाकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से संबंधित गणित पाठ्यक्रम से। व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है, इसलिए यह समीकरण में समय कारक को प्रतिबिंबित करने में हमारी सहायता कर सकता है।

अर्थात्, हम एक फ़ंक्शन के साथ एक समीकरण बनाते हैं जो उस संकेतक का वर्णन करता है जिसमें हम रुचि रखते हैं और इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समीकरण में जोड़ते हैं। यह एक विभेदक समीकरण है. अब आइए सबसे सरल बातों पर चलते हैं डमी के लिए विभेदक समीकरणों के प्रकार.

सबसे सरल अंतर समीकरण का रूप $y'(x)=f(x)$ है, जहां $f(x)$ एक निश्चित फ़ंक्शन है, और $y'(x)$ वांछित परिवर्तन का व्युत्पन्न या दर है समारोह। इसे सामान्य एकीकरण द्वारा हल किया जा सकता है: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

दूसरा सबसे सरल प्रकारवियोज्य चरों वाला अवकल समीकरण कहलाता है। ऐसा समीकरण इस तरह दिखता है: $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$. यह देखा जा सकता है कि आश्रित चर $y$ भी निर्मित फ़ंक्शन का हिस्सा है। समीकरण को बहुत सरलता से हल किया जा सकता है - आपको "चरों को अलग करना" होगा, यानी इसे $y'(x)/g(y)=f(x)$ या $dy/g(y) के रूप में लाना होगा। =f(x)dx$. यह दोनों पक्षों को एकीकृत करने के लिए रहता है $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - यह अलग करने योग्य प्रकार के अंतर समीकरण का समाधान है।

अंतिम सरल प्रकार प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसका रूप $y'+p(x)y=q(x)$ है। यहां $p(x)$ और $q(x)$ कुछ फ़ंक्शन हैं, और $y=y(x)$ आवश्यक फ़ंक्शन है। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए पहले से ही उपयोग किया जाता है विशेष विधियाँ(एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की लैग्रेंज विधि, बर्नौली प्रतिस्थापन विधि)।

वहां अन्य हैं जटिल प्रजातियाँसमीकरण - दूसरे, तीसरे और आम तौर पर मनमाना क्रम के समीकरण, सजातीय और अमानवीय समीकरण, साथ ही विभेदक समीकरणों की प्रणालियाँ। उन्हें हल करने के लिए सरल समस्याओं को हल करने में प्रारंभिक तैयारी और अनुभव की आवश्यकता होती है।

तथाकथित आंशिक अंतर समीकरण भौतिकी और, अप्रत्याशित रूप से, वित्त के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। इसका मतलब यह है कि वांछित फ़ंक्शन एक ही समय में कई चर पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, वित्तीय इंजीनियरिंग के क्षेत्र से ब्लैक-स्कोल्स समीकरण एक विकल्प (प्रकार) के मूल्य का वर्णन करता है प्रतिभूति) इसकी लाभप्रदता, भुगतान के आकार, साथ ही भुगतान की शुरुआत और समाप्ति तिथियों पर निर्भर करता है। आंशिक अवकल समीकरण को हल करना काफी जटिल है, आमतौर पर आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता होती है विशेष कार्यक्रम, जैसे मैटलैब या मेपल।

अर्थशास्त्र में विभेदक समीकरण के अनुप्रयोग का एक उदाहरण

आइए, जैसा कि वादा किया गया था, एक अंतर समीकरण को हल करने का एक सरल उदाहरण दें। सबसे पहले, आइए कार्य निर्धारित करें।

कुछ कंपनी के लिए, उसके उत्पादों की बिक्री से सीमांत राजस्व का कार्य $MR=10-0.2q$ का होता है। यहां $MR$ फर्म का सीमांत राजस्व है, और $q$ उत्पादन की मात्रा है। हमें कुल राजस्व ज्ञात करना होगा।

जैसा कि आप समस्या से देख सकते हैं, यह सूक्ष्मअर्थशास्त्र से एक व्यावहारिक उदाहरण है। कई फर्मों और उद्यमों को अपनी गतिविधियों के दौरान लगातार ऐसी गणनाओं का सामना करना पड़ता है।

आइए समाधान से शुरू करें. जैसा कि सूक्ष्मअर्थशास्त्र से ज्ञात होता है, सीमांत राजस्व कुल राजस्व का व्युत्पन्न है, और शून्य बिक्री पर राजस्व शून्य है।

गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या को $R(0)=0$ शर्त के तहत अंतर समीकरण $R'=10-0.2q$ को हल करने तक सीमित कर दिया गया था।

आइए समीकरण को एकीकृत करें, दोनों पक्षों के प्रतिअवकलन फलन को लेते हुए, हमें प्राप्त होता है सामान्य निर्णय: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

स्थिरांक $C$ ज्ञात करने के लिए, शर्त $R(0)=0$ को याद करें। आइए प्रतिस्थापित करें: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ तो C=0 और हमारा कुल राजस्व फ़ंक्शन $R(q)=10q-0.1q^2$ का रूप लेता है। समस्या सुलझ गई है।

द्वारा अन्य उदाहरण अलग - अलग प्रकाररिमोट कंट्रोल पृष्ठ पर एकत्र किए गए हैं:

निर्देश

यदि समीकरण इस रूप में प्रस्तुत किया गया है: dy/dx = q(x)/n(y), तो उन्हें अलग-अलग चर वाले अंतर समीकरणों के रूप में वर्गीकृत करें। उन्हें इस प्रकार अंतरों में स्थिति लिखकर हल किया जा सकता है: n(y)dy = q(x)dx। फिर दोनों पक्षों को एकीकृत करें। कुछ मामलों में, समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए अभिन्नों के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, dy/dx = x/y के मामले में, हमें q(x) = x, n(y) = y मिलता है। इसे ydy = xdx के रूप में लिखें और एकीकृत करें। यह y^2 = x^2 + c होना चाहिए।

रैखिक करने के लिए समीकरणसमीकरणों को "पहले" से जोड़ें। एक अज्ञात फलन अपने व्युत्पन्नों के साथ ऐसे समीकरण में केवल पहली डिग्री तक ही प्रवेश करता है। रैखिक का रूप dy/dx + f(x) = j(x) है, जहां f(x) और g(x) x पर निर्भर कार्य हैं। समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए इंटीग्रल्स का उपयोग करके लिखा गया है।

कृपया ध्यान दें कि कई अंतर समीकरण दूसरे क्रम के समीकरण हैं (दूसरे व्युत्पन्न युक्त)। उदाहरण के लिए, सरल हार्मोनिक गति का समीकरण सामान्य रूप में लिखा गया है: md 2x/dt 2 = -kx। ऐसे समीकरणों के, विशेष समाधान होते हैं। सरल आवर्त गति का समीकरण एक महत्वपूर्ण उदाहरण है: रैखिक अवकल समीकरण स्थिर गुणांक.

यदि कार्य की शर्तों में केवल एक ही है रेखीय समीकरण, तो आपको दिया गया है अतिरिक्त शर्तों, जिसकी बदौलत समाधान पाया जा सकता है। इन स्थितियों का पता लगाने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। अगर चर x और y दूरी, गति, वजन दर्शाते हैं - बेझिझक सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करें। यह बहुत संभव है कि x या y सेबों आदि की संख्या छिपा दे। – तो मान केवल हो सकते हैं। यदि x बेटे की उम्र है, तो यह स्पष्ट है कि वह अपने पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की शर्तों में इसे इंगित करें।

स्रोत:

• एक चर वाले समीकरण को कैसे हल करें

विभेदक और अभिन्न कलन समस्याएँ हैं महत्वपूर्ण तत्वसिद्धांत का समेकन गणितीय विश्लेषण, विश्वविद्यालयों में पढ़ाई जाने वाली उच्च गणित की एक शाखा। अंतर समीकरणएकीकरण विधि द्वारा हल किया जाता है।

निर्देश

डिफरेंशियल कैलकुलस के गुणों की पड़ताल करता है। और इसके विपरीत, किसी फ़ंक्शन को एकीकृत करने से दिए गए गुणों की अनुमति मिलती है, यानी। किसी फ़ंक्शन को स्वयं खोजने के लिए उसका व्युत्पन्न या अंतर। यह अवकल समीकरण का हल है.

कोई भी चीज़ अज्ञात मात्रा और ज्ञात डेटा के बीच का संबंध है। विभेदक समीकरण के मामले में, अज्ञात की भूमिका एक फ़ंक्शन द्वारा निभाई जाती है, और ज्ञात मात्राओं की भूमिका उसके व्युत्पन्न द्वारा निभाई जाती है। इसके अलावा, संबंध में एक स्वतंत्र चर हो सकता है: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, जहां x एक अज्ञात है चर, y (x) निर्धारित किया जाने वाला कार्य है, समीकरण का क्रम है अधिकतम आदेशव्युत्पन्न (एन)।

ऐसे समीकरण को साधारण अवकल समीकरण कहा जाता है। यदि संबंध में इन चर के संबंध में फ़ंक्शन के कई स्वतंत्र चर और आंशिक व्युत्पन्न (अंतर) शामिल हैं, तो समीकरण को आंशिक अंतर समीकरण कहा जाता है और इसका रूप होता है: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , जहां z(x, y) आवश्यक फलन है।

इसलिए, विभेदक समीकरणों को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको प्रतिअवकलन खोजने में सक्षम होना चाहिए, अर्थात। विभेदीकरण के विपरीत समस्या का समाधान करें। उदाहरण के लिए: पहले क्रम के समीकरण y' = -y/x को हल करें।

समाधान y' को dy/dx से बदलें: dy/dx = -y/x।

एकीकरण के लिए सुविधाजनक रूप में समीकरण को छोटा करें। ऐसा करने के लिए, दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और y:dy/y = -dx/x से विभाजित करें।

एकीकृत करें: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - एलएन |एक्स| + सी.

इस समाधान को सामान्य अवकल समीकरण कहा जाता है। C एक स्थिरांक है जिसके मानों का समुच्चय समीकरण के समाधानों के समुच्चय को निर्धारित करता है। C के किसी विशिष्ट मान के लिए, समाधान अद्वितीय होगा। यह समाधान अवकल समीकरण का आंशिक समाधान है।

अधिकांश उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना डिग्रीवर्गमूल ज्ञात करने का कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है समीकरण. हालाँकि, कई कटौती विधियाँ हैं जो आपको उच्च डिग्री समीकरण को अधिक दृश्य रूप में बदलने की अनुमति देती हैं।

निर्देश

उच्च डिग्री समीकरणों को हल करने की सबसे आम विधि विस्तार है। यह दृष्टिकोण पूर्णांक जड़ों, मुक्त पद के विभाजक और बाद में सामान्य बहुपद के रूप (x - x0) में विभाजन का चयन करने का एक संयोजन है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0 को हल करें। समाधान: इस बहुपद का मुक्त पद -3 है, इसलिए, इसके पूर्णांक विभाजक संख्याएँ ±1 और ±3 हो सकते हैं। उन्हें समीकरण में एक-एक करके रखें और पता करें कि क्या आपको पहचान मिलती है: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0।

दूसरा मूल x = -1. व्यंजक (x + 1) से विभाजित करें। परिणामी समीकरण (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0 लिखें। डिग्री को घटाकर दूसरे कर दिया गया है, इसलिए, समीकरण के दो और मूल हो सकते हैं। उन्हें खोजने के लिए, द्विघात समीकरण को हल करें: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

विवेचक एक ऋणात्मक मान है, जिसका अर्थ है कि समीकरण की अब वास्तविक जड़ें नहीं हैं। समीकरण के जटिल मूल खोजें: x = (-2 + i·√11)/2 और x = (-2 – i·√11)/2.

उच्च डिग्री समीकरण को हल करने की एक अन्य विधि इसे द्विघात बनाने के लिए चर को बदलना है। इस दृष्टिकोण का उपयोग तब किया जाता है जब समीकरण की सभी घातें सम हों, उदाहरण के लिए: x^4 – 13 x² + 36 = 0

अब मूल समीकरण के मूल खोजें: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

टिप 10: रिडॉक्स समीकरण कैसे निर्धारित करें

रासायनिक प्रतिक्रिया पदार्थों के परिवर्तन की एक प्रक्रिया है जो उनकी संरचना में परिवर्तन के साथ होती है। जो पदार्थ प्रतिक्रिया करते हैं उन्हें प्रारंभिक पदार्थ कहा जाता है, और जो इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप बनते हैं उन्हें उत्पाद कहा जाता है। ऐसा होता है कि दौरान रासायनिक प्रतिक्रियाप्रारंभिक पदार्थ बनाने वाले तत्व अपनी ऑक्सीकरण अवस्था बदलते हैं। अर्थात्, वे किसी और के इलेक्ट्रॉन स्वीकार कर सकते हैं और अपना इलेक्ट्रॉन दे सकते हैं। दोनों ही स्थितियों में उनका चार्ज बदल जाता है. ऐसी प्रतिक्रियाओं को रेडॉक्स प्रतिक्रियाएं कहा जाता है।

या तो व्युत्पन्न के संबंध में पहले ही हल कर लिया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

अंतराल पर प्रकार के विभेदक समीकरणों का सामान्य समाधान एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

हम पाते हैं .

यदि आप संपत्तियों को देखें अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो हमें वांछित सामान्य समाधान मिलता है:

वाई = एफ(एक्स) + सी,

कहाँ एफ(एक्स)- आदिम कार्यों में से एक एफ(एक्स)बीच में एक्स, ए साथ- मनमाना स्थिरांक.

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश समस्याओं में अंतराल एक्सइंगित न करें. इसका मतलब है कि हर किसी के लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य य, और मूल समीकरणसही बात।

यदि आपको किसी विभेदक समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है आप(एक्स 0) = आप 0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना करने के बाद वाई = एफ(एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी 0, प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हुए। यानी एक स्थिरांक सी = सी 0समीकरण से निर्धारित होता है एफ(एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित आंशिक समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ(एक्स) + सी 0.

आइए एक उदाहरण देखें:

आइए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें और परिणाम की शुद्धता की जांच करें। आइए हम इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अंतर समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हमें मिलता है:

.

आइए भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके इस अभिन्न अंग को लें:

वह।, अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणाम सही है, आइए जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए समीकरण में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

तभी मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अंतर समीकरण का सामान्य समाधान सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो समाधान पाया वह तर्क के प्रत्येक वास्तविक मूल्य के लिए अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है एक्स.

ओडीई के लिए एक विशेष समाधान की गणना करना बाकी है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगा। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है साथ, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2 ODE के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके अवकलज को हल किया जा सकता है एफ(एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ(एक्स)किसी भी परिस्थिति में शून्य नहीं होता एक्सविभेदक समीकरण के एकीकरण अंतराल से एक्स.

ऐसी संभावित स्थितियाँ होती हैं, जब तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सकार्य एफ(एक्स)और जी(एक्स)एक साथ शून्य हो जाते हैं. समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान कोई फलन होता है य, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

यदि कुछ तर्क मानों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

बाकी सबके लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य समाधान परिवर्तित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1।

आइए ODE का एक सामान्य समाधान खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन प्राकृतिकगैर-नकारात्मक तर्क मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए अभिव्यक्ति का दायरा है एलएन(x+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसका मतलब यह है कि दिया गया अंतर समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . इन तर्क मानों के लिए, अभिव्यक्ति एक्स+3गायब नहीं होता है, इसलिए आप 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के लिए ODE को हल कर सकते हैं एक्स + 3.

हम पाते हैं .

इसके बाद, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस अभिन्न को लेने के लिए, हम इसे अवकल चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि का उपयोग करते हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) से संबंधित है।

विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम कहा जाता है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए, संक्षिप्तता के लिए, हम "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

विभेदक समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनवें क्रम में आवश्यक रूप से एक स्पष्ट फ़ंक्शन, पहले से लेकर इसके सभी व्युत्पन्न शामिल होना आवश्यक नहीं है एन-वां क्रम और स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, फ़ंक्शन या स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से कोई तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही एक फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और फ़ंक्शन; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

एक विभेदक समीकरण को हल करना प्रत्येक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1।अवकल समीकरण का हल खोजें.

समाधान। आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से खोजा जाए। मूल फ़ंक्शन, जैसा कि इंटीग्रल कैलकुलस से जाना जाता है, एक एंटीडेरिवेटिव है, यानी।

यह वही है इस विभेदक समीकरण का समाधान . इसमें बदलाव हो रहा है सी, हम अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है, जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान वह समाधान जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिया जाता है, कहलाता है।

उदाहरण 2.अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें .

समाधान। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को अंतर समीकरण के क्रम के बराबर कई बार एकीकृत करें।

,

.

परिणामस्वरूप, हमें एक सामान्य समाधान प्राप्त हुआ -

किसी दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का।

आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . समीकरण के सामान्य समाधान में मानों को प्रतिस्थापित करें और एक मनमाना स्थिरांक का मान ज्ञात करें सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.

उदाहरण 3.उदाहरण 1 के अधीन अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। आइए हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है

हम इस प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित अच्छे एकीकरण और व्युत्पन्न कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4.अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि आप तुरंत दोनों पक्षों को एकीकृत कर सकते हैं।

.

हम चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन) द्वारा एकीकरण की विधि लागू करते हैं। फिर रहने दो.

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर वहां है जटिल कार्य("सेब" - निष्कर्षण वर्गमूलया, एक ही चीज़ क्या है - "डेढ़" की शक्ति बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" मूल के नीचे की अभिव्यक्ति है):

हम अभिन्न पाते हैं:

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:

.

यह इस प्रथम डिग्री अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.