नमूने में गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का अनुमान। गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अनुमान, उनके गुण

अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

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गणितीय अपेक्षा परिभाषा है

में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक गणितीय सांख्यिकीऔर संभाव्यता सिद्धांत, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता। आमतौर पर इसे यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन और निरंतर और समय लेने वाली प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। है महत्वपूर्णजोखिमों का आकलन करते समय, वित्तीय बाजारों पर व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करते समय, जुए के सिद्धांत में रणनीतियों और गेमिंग रणनीति के तरीकों के विकास में इसका उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य, एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण को संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का एक माप। एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा एक्सद्वारा निरूपित एम(एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह ले सकता है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु.

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग।

गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि ऐसे निर्णय पर सिद्धांत के ढांचे के भीतर विचार किया जा सके बड़ी संख्याऔर लंबी दूरी.

गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, प्रत्येक दांव पर एक खिलाड़ी औसतन कितनी जीत हासिल कर सकता है या कितना हार सकता है। जुए की भाषा में, इसे कभी-कभी "खिलाड़ी की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "घर की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा किया जाता है, हानि की संभावना को औसत हानि से गुणा किया जाता है।

में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गणितीय सिद्धांत

यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक इसकी गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। आइए यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव के सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मान के लिए परिभाषित फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का संयुक्त वितरण कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और, संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "गणितीय अपेक्षा" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और यह "जीत के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से आया है, जो पहली बार 17वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिस्टियान के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। ह्यूजेन्स। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन पफ़नुटी लावोविच चेबीशेव (19वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक चर (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) का वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और संभावित विचलनउससे) पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका हैं।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। परिभाषा से गणितीय अपेक्षाइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभावित मान से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणितीय अपेक्षा सरल है भौतिक अर्थ: यदि आप एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखते हैं, तो कुछ बिंदुओं पर कुछ द्रव्यमान रखते हैं (के लिए)। पृथक वितरण), या इसे एक निश्चित घनत्व (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) के साथ "स्मियरिंग" करें, तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु रेखा के "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" का समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मान एक निश्चित संख्या है जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे लगभग अनुमानित गणनाओं में प्रतिस्थापित करता है। जब हम कहते हैं: "औसत लैंप परिचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है," हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं जो इसके स्थान का वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर, अर्थात "स्थिति विशेषताएँ"।

संभाव्यता सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं से महत्वपूर्ण भूमिकाएक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को निभाता है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मान भी कहा जाता है।

यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, संभावित मान होना x1, x2, …, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पी.एन. हमें एक्स-अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्या के साथ चिह्नित करने की आवश्यकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है क्सी, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मान की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के औसत की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एम |एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा - पर विचार किया। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों पर यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीब निर्भरता से जुड़ा हुआ है। यह निर्भरता आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता के समान प्रकार की है, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब (संभावना में परिवर्तित) होता है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, कोई परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध की उपस्थिति का अनुमान लगा सकता है। दरअसल, यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, एक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसका उत्पादन होने दीजिए एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। चलिए मान लेते हैं कि मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2एक बार, सामान्य अर्थ में क्सीकई बार दिखाई दिया। आइए मान X के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करते हैं एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या बढ़ती जा रही है एनआवृत्तियों अनुकरणीयसंगत संभावनाओं तक पहुँचेगा (संभावना में अभिसरण)। नतीजतन, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभावना में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के नियम के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के अवलोकनों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। कम संख्या में प्रयोगों के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग गैर-यादृच्छिक" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों पर औसत की स्थिरता को प्रयोगात्मक रूप से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब किसी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक तराजू पर तौला जाता है, तो तौलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मूल्य प्राप्त होता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणित माध्य इस वृद्धि पर कम से कम प्रतिक्रिया करता है और, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, व्यावहारिक रूप से बदलना बंद हो जाता है।

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएक यादृच्छिक चर की स्थिति - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन होता है। हालाँकि, ऐसे मामले अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, जिन यादृच्छिक चरों से हम निपटते हैं उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, गणितीय अपेक्षा होती है।

यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - व्यवहार में, स्थिति की अन्य विशेषताओं का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका।

किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है। शब्द "अतिसंभावित मूल्य" सख्ती से कहें तो केवल असंतुलित मात्राओं पर लागू होता है; के लिए निरंतर मूल्यमोड वह मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "मल्टीमॉडल" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें अधिकतम के बजाय मध्य में न्यूनतम होता है। ऐसे वितरणों को "एंटी-मॉडल" कहा जाता है।

में सामान्य मामलाकिसी यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल है (यानी एक मोड है) और गणितीय अपेक्षा है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

एक अन्य स्थिति विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है।

सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य गणितीय अपेक्षा और मोड के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है - एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

अनंत गणितीय अपेक्षा वाले यादृच्छिक चर की अवधारणा को प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। एक विशिष्ट उदाहरणकुछ यादृच्छिक यात्राओं में वापसी के समय के रूप में कार्य करें।

गणितीय अपेक्षा की सहायता से अनेक संख्यात्मक एवं कार्यात्मक विशेषताएँवितरण (एक यादृच्छिक चर से संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से फैलाव, सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की एक विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका यांत्रिकी में स्थैतिक क्षण की भूमिका के समान है - द्रव्यमान वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिनकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है जो कि यह और संबंधित बिखरने वाली विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है। गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा पूरी तरह से प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासा फेंकने पर अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकती है)। अक्सर व्यवहार में, ऐसे मूल्य के लिए, सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य होता है? प्रत्येक जोखिम भरे लेनदेन से हमारी औसत आय (या हानि) क्या होगी?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार, नियमित रूप से भाग लेना भी)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट विजेता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीम रूप से बड़ी संख्या में भागीदारी के साथ, यही होता है। तीन चौथाई मामलों में हम हारेंगे, हर तीन नुकसान पर 300 रूबल का खर्च आएगा। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार घटा लागत), यानी, चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर 25 रूबल प्रति टिकट होगी।

हम फेंकते हैं पासा. यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो एक समय में हमारे पास औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम केवल अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूँकि यह औसत है, इसलिए इस बात से नाराज़ होने की कोई ज़रूरत नहीं है कि कोई भी विशिष्ट रोल 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में ऐसी संख्या वाला कोई फलक नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

आइए अभी दिए गए चित्र को देखें। बायीं ओर यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। मान X n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिखाया गया है)। इसका कोई और अर्थ नहीं हो सकता. प्रत्येक के अंतर्गत संभव अर्थइसकी प्रायिकता नीचे लिखी गयी है. दाईं ओर सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मान का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मान इसी गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होगा।

चलिए फिर से उसी प्लेइंग क्यूब पर लौटते हैं। फेंकते समय अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना स्वयं करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। परिणाम 4 और 6 थे। औसत 5 था, जो 3.5 से बहुत दूर है। उन्होंने इसे एक बार और फेंका, उन्हें 3 मिला, यानी औसतन (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... गणितीय अपेक्षा से कुछ दूर। अब एक अनोखा प्रयोग करें - घन को 1000 बार घुमाएँ! और भले ही औसत बिल्कुल 3.5 न भी हो, यह उसके करीब ही होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। प्लेट इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है:

दूसरी बात यह है कि यदि अधिक विकल्प होते तो इसे बिना किसी सूत्र के "उंगलियों पर" करना मुश्किल होता। ठीक है, मान लीजिए कि 75% हारने वाले टिकट होंगे, 20% जीतने वाले टिकट होंगे और 5% विशेष रूप से जीतने वाले होंगे।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

यह साबित करना आसान है:

स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत के रूप में निकाला जा सकता है, अर्थात:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

माना कि X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तब:

यह सिद्ध करना भी आसान है) कार्य XYस्वयं एक यादृच्छिक चर है, और यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एमतदनुसार, मान XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं कई गुना बढ़ जाती हैं। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभावना घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह अनिवार्य रूप से उस स्थिति को दर्शाता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, और कुछ कम बार लेता है। उदाहरण के लिए, इस ग्राफ़ पर विचार करें:

यहाँ एक्स- वास्तविक यादृच्छिक चर, एफ(एक्स)- वितरण घनत्व. इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान मूल्य एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी. संभावनाएँ पार हो गई हैं 3 या छोटा हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक.

उदाहरण के लिए, एक समान वितरण हो:

यह सहज समझ के साथ काफी सुसंगत है। मान लीजिए, यदि हमें प्रत्येक खंड में एक समान वितरण के साथ कई यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती हैं |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, यहां भी लागू होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के बीच संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटनाओं की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। भिन्नता संकेतकों का अक्सर कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और इनका उपयोग आगे के डेटा विश्लेषण के लिए किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता को दर्शाता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

अधिकांश महत्वपूर्ण सूचक, एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता की विशेषता है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से सबसे निकट और सीधे संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। औसत रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी माध्य मान के आसपास डेटा के प्रसार की सीमा को दर्शाता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। इससे पता चलता है कि विचरण विचलनों का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच का अंतर लिया जाता है, वर्ग किया जाता है, जोड़ा जाता है, और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और औसत के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे वर्गित किया जाता है ताकि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्याएं बन जाएं और उन्हें जोड़ते समय सकारात्मक और नकारात्मक विचलनों के पारस्परिक विनाश से बचा जा सके। फिर, वर्ग विचलनों को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन. विचलनों का वर्ग किया जाता है और औसत की गणना की जाती है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर केवल तीन शब्दों में है।

हालाँकि, में शुद्ध फ़ॉर्म, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, विचरण का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। इसमें माप की कोई सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र के आधार पर, यह मूल डेटा की माप की इकाई का वर्ग है।

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस बार मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। औसत मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को बड़ी संख्या में पलटेंगे। प्रत्येक फेंके गए पासे पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकती है। सभी पासे फेंकने के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय औसत भी एक यादृच्छिक चर है, लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या - गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होता है एमएक्स. में इस मामले मेंएमएक्स = 3.5.

आपको यह मूल्य कैसे मिला? भीतर आएं एनपरीक्षण एन 1एक बार जब आपको 1 अंक मिल जाए, एन 2एक बार - 2 अंक वगैरह। फिर उन परिणामों की संख्या जिनमें एक अंक गिरा:

इसी प्रकार परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक रोल किए जाते हैं।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x संभावनाओं p1, p2, ..., के साथ x1, x2, ..., xk मान ले सकता है। पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx इसके बराबर है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। तो, औसत का अनुमान लगाने के लिए वेतनमाध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात्, ऐसा मान कि माध्यिका से कम और अधिक वेतन पाने वाले लोगों की संख्या मेल खाती हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम होगा, और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से अधिक होगा, समान हैं और 1/2 के बराबर हैं। सभी वितरणों के लिए माध्यिका विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जाती है।

मानक या मानक विचलनसांख्यिकी में, औसत मूल्य से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। s या s अक्षरों से दर्शाया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा क्लस्टर माध्य के आसपास हैं, जबकि एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे दूर स्थित है। मानक विचलनके बराबर होती है वर्गमूलमात्रा को फैलाव कहा जाता है। यह प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है जो औसत मूल्य से विचलित होता है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। किसी लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, यादृच्छिक चर के फैलाव और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- जनसंख्या की इकाइयों के बीच किसी विशेषता के मूल्य में उतार-चढ़ाव, परिवर्तनशीलता। अध्ययनाधीन जनसंख्या में पाई जाने वाली किसी विशेषता के व्यक्तिगत संख्यात्मक मूल्यों को मूल्यों के प्रकार कहा जाता है। के लिए अपर्याप्त औसत मूल्य पूर्ण विशेषताएँजनसंख्या हमें औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करने के लिए मजबूर करती है जो अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाती है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भिन्नता की सीमा(आर) अध्ययन की जा रही आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। यह सूचक सबसे अधिक देता है सामान्य विचारअध्ययन की गई विशेषता की परिवर्तनशीलता के बारे में, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच अंतर दिखाता है। किसी विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता के दायरे को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र प्रदान करती है।

औसत रैखिक विचलनविश्लेषण की गई जनसंख्या के सभी मूल्यों के उनके औसत मूल्य से पूर्ण (मॉड्यूलो) विचलन के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा हैकिसी जुआरी द्वारा दिए गए दांव पर जीतने या हारने की औसत राशि। यह खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह अधिकांश गेमिंग स्थितियों के मूल्यांकन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और गेमिंग स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी इष्टतम उपकरण है।

मान लीजिए कि आप किसी मित्र के साथ सिक्के का खेल खेल रहे हैं और हर बार समान रूप से $1 का दांव लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी आए। टेल्स का मतलब है कि आप जीत गए, हेड्स का मतलब है कि आप हार गए। संभावनाएँ एक-से-एक हैं कि यह सिर पर आएगा, इसलिए आप $1 से $1 तक का दांव लगाएं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय दृष्टिकोण से, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो थ्रो के बाद नेतृत्व करेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है. प्रति घंटे की जीत वह रकम है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक सिक्के को एक घंटे में 500 बार उछाल सकते हैं, लेकिन आप जीतेंगे या हारेंगे नहीं क्योंकि... आपकी संभावनाएँ न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। अगर देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी के नजरिए से यह सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह महज़ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम पर आपके $1 के बदले $2 का दांव लगाना चाहता है। तब आपको तुरंत प्रत्येक दांव से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद हो जाती है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक शर्त जीतते हैं और दूसरी हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और आप $1 खो देंगे, दूसरे पर दांव लगाएं और आप $2 जीत जाएंगे। आप दो बार $1 का दांव लगाते हैं और $1 से आगे रहते हैं। तो आपके प्रत्येक एक-डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।

यदि एक सिक्का एक घंटे में 500 बार दिखाई देता है, तो आपकी प्रति घंटा जीत पहले से ही $250 होगी, क्योंकि... औसतन, आपने 250 बार एक डॉलर खोया और 250 बार दो डॉलर जीते। $500 घटा $250 बराबर $250, जो कुल जीत है। कृपया ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो आपके द्वारा प्रति दांव जीतने वाली औसत राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर का दांव लगाकर 250 डॉलर जीते, जो प्रति दांव 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 का दांव लगाने का फैसला किया है, वह आपको लगातार पहले दस रोल में हरा सकता है, लेकिन 2 से 1 सट्टेबाजी का लाभ होने पर, अन्य सभी चीजें बराबर होने पर, आप किसी भी $1 के दांव पर 50 सेंट अर्जित करेंगे। परिस्थितियाँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक दांव जीतते हैं या हारते हैं या कई दांव, जब तक आपके पास आराम से लागतों को कवर करने के लिए पर्याप्त नकदी है। अगर आप इसी तरह सट्टा लगाते रहेंगे तो लंबी अवधिसमय के साथ, आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग के करीब पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभदायक हो सकता है), जब हालात आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ न कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे हारें या नहीं। दिया गया हाथ. इसके विपरीत, यदि आप अंडरडॉग दांव (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभहीन है) लगाते हैं, जब परिस्थितियां आपके खिलाफ होती हैं, तो आप कुछ हारते हैं, भले ही आप जीतें या हार जाएं।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, और यदि संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। जब आप सबसे खराब परिणाम वाला दांव लगाते हैं, तो आपकी नकारात्मक अपेक्षा होती है, जो तब होता है जब परिस्थितियां आपके विरुद्ध होती हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सर्वोत्तम परिणाम पर दांव लगाते हैं; यदि सबसे खराब परिणाम होता है, तो वे दांव लगा देते हैं। आपके पक्ष में संभावनाओं का क्या मतलब है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत सकते हैं। लैंडिंग हेड की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन संभावना अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में, हालात आपके पक्ष में हैं। प्रति दांव 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सर्वोत्तम परिणाम मिलेगा।

यहां गणितीय अपेक्षा का एक अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। एक मित्र एक से पाँच तक की संख्याएँ लिखता है और आपके $1 के बदले $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या का अनुमान नहीं लगा पाएंगे। क्या आपको ऐसी शर्त के लिए सहमत होना चाहिए? यहाँ क्या अपेक्षा है?

औसतन आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 है। एक प्रयास में आपके एक डॉलर खोने की संभावना है। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो औसतन आप चार बार $1 हारेंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप प्रति दांव 20 सेंट की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो जितना दांव लगाता है उससे अधिक जीतने वाला है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है, वह जोखिम ले रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अपने मौके बर्बाद कर देता है। एक दांव लगाने वाले की या तो सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षा हो सकती है, जो इस पर निर्भर करता है कि वह जीतता है या बाधाओं को बर्बाद कर देता है।

यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $10 जीतने के लिए $50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी क्योंकि औसतन, आप चार बार $10 जीतेंगे और एक बार $50 हारेंगे, जो दर्शाता है कि प्रति दांव हानि $10 होगी। लेकिन यदि आप $10 जीतने के लिए $30 का दांव लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार बार $10 जीतते हैं और एक बार $30 खोते हैं। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि पहला दांव ख़राब है और दूसरा अच्छा है।

गणितीय अपेक्षा किसी भी गेमिंग स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $10 जीतने के लिए $11 का दांव लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उसे प्रत्येक $10 पर 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसीनो पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो कैसीनो की सकारात्मक उम्मीद प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 होगी, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि जो कोई भी इस लाइन पर दांव लगाता है वह औसतन 50.7% हारता है और कुल समय का 49.3% जीतता है। निस्संदेह, यह न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा ही है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों को भारी मुनाफा दिलाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने कहा, "काफी लंबी दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा बर्बाद हो जाएगा सबसे अमीर आदमीइस दुनिया में।"

पोकर खेलते समय अपेक्षा

पोकर का खेल गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के दृष्टिकोण से सबसे अधिक उदाहरणात्मक और उदाहरणात्मक उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य किसी विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है। एक सफल पोकर गेम हमेशा सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ चालों को स्वीकार करना है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, सट्टेबाजी के बाद के दौर में कौन से कार्ड आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो बताता है कि पर्याप्त बड़े नमूने के साथ, यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, निम्नलिखित पोकर में सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फ़ोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, बैंक की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का आकलन करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि एक तह की हमेशा शून्य अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड को त्यागना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

अपेक्षा आपको बताती है कि आप अपने जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उनमें खेले जाने वाले सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। गेम की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, आप उम्मीद कर सकते हैं कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावनाएं" कैसीनो के पक्ष में हैं। हालाँकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएँ बढ़ जाती हैं। निवेश के लिए भी यही बात लागू होती है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। प्रत्याशा प्रति जीत आपके लाभ का प्रतिशत है जो आपके औसत लाभ से गुणा किया जाता है, आपके नुकसान की संभावना को आपके औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के दृष्टिकोण से भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सर्वोत्तम नहीं हो सकता है क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लीजिए कि आपने पांच-कार्ड ड्रा पोकर में पूरा घर हासिल कर लिया। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है. आप जानते हैं कि यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो वह जवाब देगा। इसलिए, उठाना सबसे अच्छी युक्ति प्रतीत होती है। लेकिन यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से दांव लगा देंगे। लेकिन यदि आप कॉल करते हैं, तो आपको पूरा विश्वास है कि आपके पीछे के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप अपना दांव बढ़ाते हैं तो आपको एक यूनिट मिलती है, और जब आप कॉल करते हैं तो आपको दो यूनिट मिलती हैं। इस प्रकार, कॉल करने से आपको उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति होगी।

गणितीय अपेक्षा यह भी अंदाजा दे सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक हैं और कौन सी अधिक लाभदायक हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक निश्चित हैंड से खेलते हैं और आपको लगता है कि आपकी हानि पूर्व सहित औसतन 75 सेंट होगी, तो आपको उस हैंड से खेलना चाहिए क्योंकि जब कीमत 1 डॉलर हो तो यह फोल्ड करने से बेहतर है।

एक और महत्वपूर्ण कारणगणितीय अपेक्षा के सार को समझने के लिए यह है कि यह आपको शांति की भावना देता है चाहे आप शर्त जीतें या नहीं: यदि आपने अच्छा दांव लगाया है या समय पर मोड़ा है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है। कमजोर खिलाड़ी बचाव नहीं कर पाता। यदि आप इस बात से परेशान हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी ने एक मजबूत हाथ खींचा है तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। इन सबके साथ, सट्टेबाजी न खेलकर आप जो पैसा बचाते हैं, वह रात या महीने के लिए आपकी जीत में जोड़ दिया जाता है।

बस याद रखें कि यदि आपने अपना हाथ बदल दिया, तो आपके प्रतिद्वंद्वी ने आपको बुलाया होगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक सिद्धांत लेख में देखेंगे, यह आपके फायदों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुश होना चाहिए. आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं क्योंकि आप जानते हैं कि आपकी स्थिति में अन्य खिलाड़ियों ने बहुत अधिक खोया होगा।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का गेम उदाहरण में चर्चा की गई है, प्रति घंटा लाभ अनुपात गणितीय अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणापेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण। जब आप पोकर खेलने जाएं तो आपको मानसिक रूप से अनुमान लगाना चाहिए कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणित का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप ड्रॉ लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $10 का दांव लगाते हैं और फिर दो कार्डों का व्यापार करते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, आप यह समझ सकते हैं कि हर बार जब वे $10 का दांव लगाते हैं, तो वे लगभग $2 हार जाते हैं। उनमें से प्रत्येक प्रति घंटे आठ बार ऐसा करता है, जिसका अर्थ है कि उन तीनों को प्रति घंटे लगभग $48 का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और उनमें से आपको) को $48 विभाजित करना होगा, प्रत्येक को $12 प्रति घंटे का लाभ होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा संभावना एक घंटे में तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोई गई धनराशि में आपके हिस्से के बराबर है।

लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत व्यक्तिगत हाथों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होती है। आप जितने अधिक हाथों से सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतना अधिक आप जीतेंगे, और इसके विपरीत, जितने अधिक हाथों से आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतनी अधिक आप हारेंगे। परिणामस्वरूप, आपको ऐसा खेल चुनना चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपकी नकारात्मक अपेक्षा को नकार सके ताकि आप अपनी प्रति घंटा जीत को अधिकतम कर सकें।

गेमिंग रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप कार्ड गिनना जानते हैं, तो आपको कैसीनो पर लाभ हो सकता है, जब तक कि वे नोटिस न करें और आपको बाहर न फेंक दें। कैसीनो नशे में धुत खिलाड़ियों को पसंद करते हैं और कार्ड गिनने वाले खिलाड़ियों को बर्दाश्त नहीं करते हैं। एक लाभ आपको समय के साथ हारने की तुलना में अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। अच्छा प्रबंधनअपेक्षित मूल्य गणना का उपयोग करते समय पूंजी आपको अपने लाभ से अधिक लाभ निकालने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकती है। लाभ के बिना, आपके लिए पैसा दान में देना बेहतर है। स्टॉक एक्सचेंज पर गेम में, गेम सिस्टम द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। किसी भी प्रकार का धन प्रबंधन खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचा सकता।

सकारात्मक अपेक्षा को शून्य से अधिक मान के रूप में परिभाषित किया गया है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मॉड्यूल जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो प्रतीक्षा ब्रेक-ईवन है। आप केवल तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा और उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान से खेलना विनाश की ओर ले जाता है।

गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार करते समय गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग ट्रेडिंग की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि यह मूल्य जितना अधिक होगा, अध्ययन किए जा रहे व्यापार को सफल मानने के उतने ही अधिक कारण होंगे। बेशक, किसी व्यापारी के काम का विश्लेषण अकेले इस पैरामीटर का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, परिकलित मूल्य, कार्य की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवादों में ऐसी रणनीतियाँ शामिल हैं जो "बाहर बैठना" लाभहीन व्यापार का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए उसके काम में कोई घाटा नहीं होगा। इस मामले में, केवल गणितीय अपेक्षा द्वारा निर्देशित होना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाजार व्यापार में, किसी भी व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या किसी व्यापारी की पिछली ट्रेडिंग के सांख्यिकीय डेटा के आधार पर उसकी आय की भविष्यवाणी करते समय गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

धन प्रबंधन के संबंध में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक उम्मीदों के साथ व्यापार करते समय, ऐसी कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन परिस्थितियों में शेयर बाजार में खेलना जारी रखते हैं, तो चाहे आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह सिद्धांत न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या व्यापारों के लिए सत्य है, बल्कि यह समान अवसरों वाले खेलों के लिए भी सत्य है। इसलिए, लंबी अवधि में आपके पास केवल तभी लाभ का मौका होता है जब आप सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ व्यापार करते हैं।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; मायने यह रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद वाला खेल ढूंढना चाहिए।

यदि आपके पास वह गेम नहीं है, तो दुनिया का सारा धन प्रबंधन आपको नहीं बचा पाएगा। दूसरी ओर, यदि आपकी कोई सकारात्मक अपेक्षा है, तो आप उचित धन प्रबंधन के माध्यम से इसे घातीय वृद्धि फ़ंक्शन में बदल सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एकल अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक ऐसा सिस्टम है जो प्रति ट्रेड (कमीशन और स्लिपेज के बाद) प्रति अनुबंध 10 डॉलर जीतता है, तो आप इसे उस सिस्टम की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं, जो प्रति ट्रेड औसतन $1,000 (कमीशन और स्लिपेज की कटौती के बाद) जीतता है।

महत्वपूर्ण बात यह नहीं है कि सिस्टम कितना लाभदायक था, बल्कि यह है कि सिस्टम भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाने के लिए कितना निश्चित कहा जा सकता है। इसलिए, एक व्यापारी जो सबसे महत्वपूर्ण तैयारी कर सकता है वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाएगा।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य पाने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि जितना संभव हो उतने सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़ा गया प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाया गया प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किया गया प्रत्येक छोटा परिवर्तन स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आपको एक काफी आदिम और निर्माण करने की आवश्यकता है सरल प्रणाली, जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार छोटे लाभ उत्पन्न करेगा। फिर, आपके लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक वह लाभदायक है। ट्रेडिंग से आप जो पैसा कमाते हैं, वह इसके माध्यम से कमाया जाएगा प्रभावी प्रबंधनधन।

एक ट्रेडिंग सिस्टम बस एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक अपेक्षित मूल्य देता है ताकि आप धन प्रबंधन का उपयोग कर सकें। ऐसी प्रणालियाँ जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करती हैं (कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाती हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर रखती हैं, वे संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगी। अधिकांश तकनीकी रूप से उन्मुख व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे अनुकूलन पर बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं अलग नियमऔर ट्रेडिंग सिस्टम मापदंडों के मूल्य। इससे बिल्कुल विपरीत परिणाम मिलते हैं. ट्रेडिंग सिस्टम का मुनाफा बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की खोज करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह पद्धति कितनी तार्किक है और क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। सही तरीकेधन प्रबंधन, किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे की व्यापारिक पद्धति पर भी लागू किया जाए, तो बाकी काम खुद ही कर लेगा।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए तीन चीजों को सबसे ज्यादा हल करने की जरूरत होती है महत्वपूर्ण कार्य: . यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक हो; अपना ट्रेडिंग सिस्टम स्थापित करें ताकि आपको जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों से स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहां, हम कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षा बहुत मददगार हो सकती है। यह शब्द संभाव्यता सिद्धांत में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसकी सहायता से आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है, यदि आप विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

किसी व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों और उनके घटित होने की संभावना के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी लेनदेन का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए इस प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन $1,708 प्राप्त होंगे। चूँकि परिणामी दक्षता रेटिंग शून्य से अधिक है, ऐसी प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति लेनदेन लाभ की राशि को % के रूप में सापेक्ष मूल्य के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

– प्रति 1 लेनदेन आय का प्रतिशत - 5%;

– सफल ट्रेडिंग संचालन का प्रतिशत - 62%;

– प्रति 1 लेनदेन हानि का प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत व्यापार 1.96% लाएगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है जो लाभहीन व्यापारों की प्रबलता के बावजूद लाभ दे सकारात्मक परिणाम, चूँकि इसका MO>0 है।

हालाँकि, अकेले इंतज़ार करना पर्याप्त नहीं है। यदि सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। मान लीजिए कि प्रत्येक ऑपरेशन से औसतन केवल 0.5 डॉलर का उत्पादन होता है, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम में प्रति वर्ष 1000 ऑपरेशन शामिल हों? अपेक्षाकृत कम समय में यह बहुत महत्वपूर्ण राशि होगी। इससे तार्किक रूप से यह निष्कर्ष निकलता है कि दूसरा बानगीएक अच्छी ट्रेडिंग प्रणाली पर विचार किया जा सकता है लघु अवधिपदों पर आसीन.

स्रोत और लिंक

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एक यादृच्छिक चर का वितरण (वितरण जनसंख्या) आमतौर पर कई संख्यात्मक विशेषताओं द्वारा चित्रित किया जाता है:

• सामान्य वितरण के लिए N(a, σ) गणितीय अपेक्षा a और मानक विचलन σ है;
• के लिए समान वितरण R(a,b) उस अंतराल की सीमाएँ हैं जिसमें इस यादृच्छिक चर के मान देखे जाते हैं।

ऐसी संख्यात्मक विशेषताएँ, जो आमतौर पर अज्ञात होती हैं, कहलाती हैं जनसंख्या पैरामीटर . पैरामीटर अनुमान - नमूने से गणना की गई संबंधित संख्यात्मक विशेषता। जनसंख्या पैरामीटर अनुमान दो वर्गों में आते हैं: बिंदुऔर अंतराल.

जब कोई अंक किसी एक संख्या से निर्धारित होता है तो उसे कहा जाता है बिंदु लागत. बिंदु लागतनमूने के एक कार्य के रूप में, एक यादृच्छिक चर है और बार-बार प्रयोगों के साथ नमूने से नमूने में भिन्न होता है।
बिंदु अनुमानों की आवश्यकताएं होती हैं जिन्हें किसी भी अर्थ में "सौम्य" होने के लिए पूरा करना होगा। यह विस्थापित, क्षमताऔर संपत्ति.

अंतराल अनुमानदो संख्याओं द्वारा निर्धारित होते हैं - अंतराल के सिरे जो अनुमानित पैरामीटर को कवर करते हैं। बिंदु अनुमानों के विपरीत, जो यह अंदाज़ा नहीं देते कि अनुमानित पैरामीटर उनसे कितना दूर हो सकता है, अंतराल अनुमान हमें अनुमानों की सटीकता और विश्वसनीयता स्थापित करने की अनुमति देते हैं।

गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन के बिंदु अनुमान के रूप में, नमूना विशेषताओं का उपयोग क्रमशः नमूना माध्य, नमूना फैलाव और नमूना मानक विचलन किया जाता है।

निष्पक्ष आकलन की संपत्ति.
मूल्यांकन के लिए एक वांछनीय आवश्यकता व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति है, अर्थात। जब पैरामीटर के बजाय बार-बार इसका अनुमान लगाया जाता है, तो सन्निकटन त्रुटि का औसत मान शून्य होता है - यह है निष्पक्ष आकलन की संपत्ति.

परिभाषा. एक अनुमान को निष्पक्ष कहा जाता है यदि इसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के सही मूल्य के बराबर है:

नमूना अंकगणित माध्य गणितीय अपेक्षा और नमूना विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान है - सामान्य विचरण का पक्षपातपूर्ण अनुमान डी. सामान्य विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान अनुमान है

मूल्यांकन निरंतरता की संपत्ति.
किसी अनुमान के लिए दूसरी आवश्यकता - उसकी स्थिरता - का अर्थ है कि नमूना आकार बढ़ने के साथ अनुमान में सुधार होता है।

परिभाषा. श्रेणी इसे सुसंगत कहा जाता है यदि यह संभाव्यता में अनुमानित पैरामीटर θ को n→∞ के रूप में परिवर्तित करता है।

संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है कि बड़े नमूना आकार के साथ, वास्तविक मूल्य से अनुमान के बड़े विचलन की संभावना छोटी है।

प्रभावी अनुमान संपत्ति.
तीसरी आवश्यकता आपको एक ही पैरामीटर के कई अनुमानों में से सर्वोत्तम अनुमान चुनने की अनुमति देती है।

परिभाषा. एक निष्पक्ष अनुमानक तभी कुशल होता है जब उसमें सभी निष्पक्ष अनुमानकों के बीच सबसे छोटा अंतर हो।

इसका मतलब यह है कि प्रभावी अनुमान में पैरामीटर के वास्तविक मूल्य के सापेक्ष न्यूनतम फैलाव होता है। ध्यान दें कि एक प्रभावी अनुमान हमेशा मौजूद नहीं होता है, लेकिन दो अनुमानों में से आमतौर पर अधिक प्रभावी को चुनना संभव होता है, यानी। कम विचरण के साथ. उदाहरण के लिए, सामान्य जनसंख्या N(a,σ) के अज्ञात पैरामीटर a के लिए, नमूना अंकगणितीय माध्य और नमूना माध्यिका दोनों को एक निष्पक्ष अनुमान के रूप में लिया जा सकता है। लेकिन नमूना माध्यिका का प्रसरण अंकगणितीय माध्य के प्रसरण से लगभग 1.6 गुना अधिक है। इसलिए, एक अधिक प्रभावी अनुमान नमूना अंकगणितीय माध्य है।

उदाहरण क्रमांक 1. एक उपकरण (व्यवस्थित त्रुटियों के बिना) का उपयोग करके कुछ यादृच्छिक चर के माप के विचरण का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करें, जिसके माप परिणाम (मिमी में): 13,15,17।
समाधान। संकेतकों की गणना के लिए तालिका।

एक्स	|एक्स - एक्स एवी |	(x - x औसत) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

सरल अंकगणित औसत(गणितीय अपेक्षा का निष्पक्ष अनुमान)


फैलाव- इसके औसत मूल्य के आसपास फैलाव के माप को दर्शाता है (फैलाव का एक माप, यानी औसत से विचलन - पक्षपातपूर्ण अनुमान)।


निष्पक्ष विचरण अनुमानक- विचरण का सुसंगत अनुमान (संशोधित विचरण)।

उदाहरण क्रमांक 2. एक उपकरण (व्यवस्थित त्रुटियों के बिना) द्वारा एक निश्चित यादृच्छिक चर के माप की गणितीय अपेक्षा का निष्पक्ष अनुमान खोजें, जिसके माप परिणाम (मिमी में): 4,5,8,9,11।
समाधान। एम = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

उदाहरण संख्या 3. यदि नमूना विचरण D = 180 है, तो n=10 के नमूना आकार के लिए सही प्रसरण S2 खोजें।
समाधान। एस 2 = एन*डी/(एन-1) = 10*180/(10-1) = 200

मान लीजिए कि यादृच्छिक नमूना प्रेक्षित यादृच्छिक चर ξ, गणितीय अपेक्षा और विचरण द्वारा उत्पन्न होता है जो अज्ञात हैं. इन विशेषताओं के अनुमान के रूप में नमूना औसत का उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था

और नमूना विचरण

. (3.14)

आइए गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अनुमानों के कुछ गुणों पर विचार करें।

1. नमूना औसत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इसलिए, नमूना माध्य एक निष्पक्ष अनुमानक है।

2. याद रखें कि परिणाम अवलोकन स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, जिनमें से प्रत्येक का मूल्य के समान वितरण कानून होता है, जिसका अर्थ है , , . हम मान लेंगे कि विचरण परिमित है। फिर, बड़ी संख्या के नियम पर चेबीशेव के प्रमेय के अनुसार, किसी भी ε > 0 के लिए समानता कायम रहती है ,

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: . (3.16) स्थिरता गुण (3.11) की परिभाषा के साथ (3.16) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि अनुमान गणितीय अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है।

3. नमूना माध्य का प्रसरण ज्ञात कीजिए:

. (3.17)

इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा अनुमान का विचरण नमूना आकार के विपरीत अनुपात में घटता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि यादृच्छिक चर ξ को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो नमूना माध्य गणितीय अपेक्षा का एक प्रभावी अनुमान है, अर्थात विचरण लेता है सबसे छोटा मूल्यगणितीय अपेक्षा के किसी भी अन्य अनुमान की तुलना में। अन्य वितरण कानूनों के लिए ξ यह मामला नहीं हो सकता है।

नमूना विचरण, विचरण का एक पक्षपाती अनुमान है क्योंकि . (3.18)

दरअसल, गणितीय अपेक्षा और सूत्र (3.17) के गुणों का उपयोग करके, हम पाते हैं

.

विचरण का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, अनुमान (3.14) को सही किया जाना चाहिए, अर्थात, से गुणा किया जाना चाहिए। तब हमें निष्पक्ष नमूना विचरण मिलता है

. (3.19)

ध्यान दें कि सूत्र (3.14) और (3.19) केवल हर में भिन्न होते हैं, और बड़े मूल्यों के लिए नमूना और निष्पक्ष भिन्नताएं बहुत कम भिन्न होती हैं। हालाँकि, छोटे नमूना आकार के साथ, संबंध (3.19) का उपयोग किया जाना चाहिए।

किसी यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए, तथाकथित "सही" मानक विचलन का उपयोग किया जाता है, जो निष्पक्ष विचरण के वर्गमूल के बराबर होता है:।

अंतराल अनुमान

आंकड़ों में, वितरण के अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाने के दो दृष्टिकोण हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु अनुमान के अनुसार, जिस पर पिछले अनुभाग में चर्चा की गई थी, केवल वह बिंदु दर्शाया गया है जिसके चारों ओर अनुमानित पैरामीटर स्थित है। हालाँकि, यह जानना वांछनीय है कि यह पैरामीटर वास्तव में टिप्पणियों की विभिन्न श्रृंखलाओं में अनुमानों की संभावित प्राप्ति से कितना दूर हो सकता है।

इस प्रश्न का उत्तर - अनुमानित भी - मापदंडों के आकलन की एक अन्य विधि - अंतराल द्वारा दिया गया है। इस अनुमान पद्धति के अनुसार, एक अंतराल पाया जाता है, जो एकता के करीब होने की संभावना के साथ, अज्ञात को कवर करता है संख्यात्मक मानपैरामीटर.

अंतराल अनुमान की अवधारणा

बिंदु लागत एक यादृच्छिक चर है और संभावित नमूना कार्यान्वयन के लिए पैरामीटर के वास्तविक मान के लगभग बराबर मान लेता है। अंतर जितना कम होगा, अनुमान उतना ही सटीक होगा। इस प्रकार, जिसके लिए एक सकारात्मक संख्या , अनुमान की सटीकता को दर्शाता है और कहा जाता है अनुमान त्रुटि (या सीमांत त्रुटि)।

आत्मविश्वास की संभावना(या विश्वसनीयता)संभाव्यता कहा जाता है β , जिससे असमानता का एहसास होता है , यानी

. (3.20)

असमानता का प्रतिस्थापन समकक्ष दोहरी असमानता , या , हम पाते हैं

अंतराल , संभाव्यता के साथ कवर करना β , , अज्ञात पैरामीटर, कहा जाता है विश्वास अंतराल (या अंतराल अनुमान),संगत आत्मविश्वास संभावना β .

एक यादृच्छिक चर न केवल एक अनुमान है, बल्कि एक त्रुटि भी है: इसका मूल्य संभावना पर निर्भर करता है β और, एक नियम के रूप में, नमूने से। इसलिए, विश्वास अंतराल यादृच्छिक है और अभिव्यक्ति (3.21) को इस प्रकार पढ़ा जाना चाहिए: "अंतराल संभाव्यता के साथ पैरामीटर को कवर करेगा β ”, और इस तरह नहीं: “पैरामीटर संभाव्यता के साथ अंतराल में गिर जाएगा β ”.

अर्थ विश्वास अंतरालयह है कि जब एक नमूना मात्रा को कई बार मामलों के सापेक्ष अनुपात में दोहराया जाता है β , आत्मविश्वास संभावना के अनुरूप आत्मविश्वास अंतराल β , अनुमानित पैरामीटर का सही मान शामिल करता है। इस प्रकार, आत्मविश्वास की संभावना β की विशेषता विश्वसनीयताआत्मविश्वास का आकलन: जितना अधिक β , अधिक संभावना यह है कि विश्वास अंतराल के कार्यान्वयन में एक अज्ञात पैरामीटर शामिल है।

अनुमानित मापदंडों का अच्छा अनुमान प्रदान करने के लिए सांख्यिकीय अनुमानों के लिए, उन्हें निष्पक्ष, कुशल और सुसंगत होना चाहिए।

निष्पक्षसांख्यिकीय पैरामीटर अनुमान कहा जाता है , जिसकी गणितीय अपेक्षा किसी भी नमूना आकार के अनुमानित पैरामीटर के बराबर है।

विस्थापितसांख्यिकीय अनुमान कहा जाता है
पैरामीटर , जिसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर नहीं है।

असरदारसांख्यिकीय अनुमान कहा जाता है
पैरामीटर , जो किसी दिए गए नमूना आकार के लिए है सबसे छोटा फैलाव है.

धनवानसांख्यिकीय अनुमान कहा जाता है
पैरामीटर , जो पर
संभाव्यता में अनुमानित पैरामीटर की ओर रुझान होता है।

यानी किसी के लिए

.

विभिन्न आकारों के नमूनों के लिए, अंकगणितीय माध्य और सांख्यिकीय फैलाव के विभिन्न मान प्राप्त होते हैं। इसलिए, अंकगणित माध्य और सांख्यिकीय विचरण यादृच्छिक चर हैं जिनके लिए गणितीय अपेक्षा और विचरण होता है।

आइए अंकगणितीय माध्य और विचरण की गणितीय अपेक्षा की गणना करें। आइए हम इसे निरूपित करें एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

यहां निम्नलिखित को यादृच्छिक चर के रूप में माना जाता है: - एस.वी., जिसका मान विभिन्न वॉल्यूम नमूनों के लिए प्राप्त पहले मूल्यों के बराबर है सामान्य जनता से,
-एस.वी., जिसका मान विभिन्न आयतन नमूनों के लिए प्राप्त दूसरे मानों के बराबर है सामान्य आबादी से,...,
– एस.वी., जिनके मान समान हैं -विभिन्न वॉल्यूम नमूनों के लिए प्राप्त मान सामान्य जनता से. ये सभी यादृच्छिक चर एक ही कानून के अनुसार वितरित होते हैं और उनकी गणितीय अपेक्षाएँ समान होती हैं।

सूत्र (1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है, क्योंकि अंकगणितीय माध्य की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के बराबर है। यह आकलन भी मान्य है. इस अनुमान की प्रभावशीलता यादृच्छिक चर के वितरण के प्रकार पर निर्भर करती है
.
यदि, उदाहरण के लिए,

सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, अंकगणित माध्य का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाना प्रभावी होगा।

आइए अब फैलाव का एक सांख्यिकीय अनुमान खोजें।

(2)

सांख्यिकीय विचरण की अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है

. (3)

आइए अब सांख्यिकीय विचरण की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें
(4)

ध्यान में रख कर

हम (3) से प्राप्त करते हैं -
सूत्र (6) से यह स्पष्ट है कि सांख्यिकीय फैलाव की गणितीय अपेक्षा फैलाव से एक कारक से भिन्न होती है, अर्थात। जनसंख्या भिन्नता का एक पक्षपातपूर्ण अनुमान है। इसका कारण यह है कि वास्तविक मूल्य के बजाय .

, जो अज्ञात है, विचरण का अनुमान लगाने में सांख्यिकीय माध्य का उपयोग किया जाता है

(7)

तब संशोधित सांख्यिकीय विचरण की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है

वे। संशोधित सांख्यिकीय विचरण जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान है। परिणामी अनुमान भी सुसंगत है।

परीक्षण परिणामों के आधार पर गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने की आवश्यकता समस्याओं में प्रकट होती है जब किसी प्रयोग के परिणाम को यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित किया जाता है और इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को अध्ययन के तहत वस्तु की गुणवत्ता के संकेतक के रूप में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, विश्वसनीयता के संकेतक के रूप में, किसी सिस्टम के विफलता-मुक्त संचालन के समय की गणितीय अपेक्षा को लिया जा सकता है, और उत्पाद उत्पादन की दक्षता का आकलन करते समय, उपयोग करने योग्य उत्पादों की संख्या की गणितीय अपेक्षा आदि को लिया जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने की समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है। आइए मान लें कि यह निर्धारित करना है अज्ञात मूल्ययादृच्छिक चर X को n स्वतंत्र और व्यवस्थित त्रुटियों से मुक्त माप माना जाता है एक्स वी एक्स 2 ,..., एक्स पी.आपको गणितीय अपेक्षा का सर्वोत्तम अनुमान चुनना होगा।

व्यवहार में गणितीय अपेक्षा का सबसे अच्छा और सबसे आम अनुमान परीक्षण परिणामों का अंकगणितीय माध्य है

भी कहा जाता है सांख्यिकीयया नमूना माध्य।

आइये दिखाते हैं वो अनुमान टी एक्सकिसी भी पैरामीटर का आकलन करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

1. व्यंजक (5.10) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

यानी मूल्यांकन टी" एक्स- निष्पक्ष अनुमान.

2. चेबीशेव के प्रमेय के अनुसार, परीक्षण के परिणामों का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा की संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात।

नतीजतन, अनुमान (5.10) गणितीय अपेक्षा का एक सुसंगत अनुमान है।

3. अनुमान विचरण टी एक्स,बराबर

जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, n बिना किसी सीमा के घटता जाता है। यह सिद्ध हो चुका है कि यदि कोई यादृच्छिक चर X सामान्य वितरण कानून के अधीन है, तो किसी के लिए भी एनफैलाव (5.11) न्यूनतम होगा, और अनुमान टी एक्स- गणितीय अपेक्षा का प्रभावी अनुमान. किसी अनुमान के विचरण को जानने से व्यक्ति को इस अनुमान का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा के अज्ञात मूल्य को निर्धारित करने की सटीकता के बारे में निर्णय लेने की अनुमति मिलती है।

अंकगणित माध्य का उपयोग गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में किया जाता है यदि माप परिणाम समान रूप से सटीक होते हैं (विचरण डी, मैं = 1, 2, ..., एनहर आयाम में समान)। हालाँकि, व्यवहार में किसी को उन समस्याओं से जूझना पड़ता है जिनमें माप परिणाम असमान होते हैं (उदाहरण के लिए, परीक्षण के दौरान, माप विभिन्न उपकरणों द्वारा किए जाते हैं)। इस मामले में, गणितीय अपेक्षा के अनुमान का रूप है

कहाँ - zth आयाम का वजन.

सूत्र (5.12) में, प्रत्येक माप का परिणाम उसके अपने वजन के साथ शामिल होता है साथ.. इसलिए, माप परिणामों का मूल्यांकन टी एक्सबुलाया भारित औसत।

यह दिखाया जा सकता है कि अनुमान (5.12) गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष, सुसंगत और कुशल अनुमान है। अनुमान का न्यूनतम विचरण किसके द्वारा दिया गया है?

कंप्यूटर पर मॉडलों के साथ प्रयोग करते समय, समान समस्याएं तब उत्पन्न होती हैं जब परीक्षणों की कई श्रृंखलाओं के परिणामों से अनुमान पाए जाते हैं और प्रत्येक श्रृंखला में परीक्षणों की संख्या भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, वॉल्यूम के साथ परीक्षणों की दो श्रृंखलाएँ की गईं एन 1और पी 2, जिसके परिणामों के आधार पर अनुमान प्राप्त किए गए थे टीग्यारहवीं और टी एक्स_.गणितीय अपेक्षा के निर्धारण की सटीकता और विश्वसनीयता बढ़ाने के लिए, परीक्षणों की इन श्रृंखलाओं के परिणामों को संयोजित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग करें (5.12)

गुणांक सी की गणना करते समय, भिन्नता डी के बजाय, प्रत्येक श्रृंखला में परीक्षण परिणामों से प्राप्त उनके अनुमान प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

परीक्षणों की एक श्रृंखला के परिणामों के आधार पर किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना का निर्धारण करते समय एक समान दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, नमूना औसत के अलावा, अन्य आँकड़ों का उपयोग किया जा सकता है। इन उद्देश्यों के लिए सदस्यों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। विविधता श्रृंखला, यानी, क्रमिक आँकड़े, जिसके आधार पर अनुमान आधारित होते हैं,

मुख्य आवश्यकताओं को पूरा करना, अर्थात् स्थिरता और निष्पक्षता।

आइए मान लें कि भिन्नता श्रृंखला में शामिल है एन = 2kसदस्य. फिर किसी भी औसत को गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में लिया जा सकता है:

एक ही समय पर के-ईऔसत

यादृच्छिक चर X के वितरण के सांख्यिकीय माध्यिका से अधिक कुछ नहीं है, क्योंकि एक स्पष्ट समानता है

सांख्यिकीय माध्यिका का लाभ यह है कि यह विसंगतिपूर्ण अवलोकन परिणामों के प्रभाव से मुक्त है, जो कि पहले औसत का उपयोग करते समय अपरिहार्य है, अर्थात भिन्नता श्रृंखला की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का औसत।

एक विषम नमूना आकार के लिए एन = 2k- 1 सांख्यिकीय माध्यिका इसका मध्य तत्व है, अर्थात। कोविविधता श्रृंखला का वां सदस्य मी = एक्स के.

ऐसे वितरण हैं जिनके लिए अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का प्रभावी अनुमान नहीं है, उदाहरण के लिए, लाप्लास वितरण। यह दिखाया जा सकता है कि लाप्लास वितरण के लिए, गणितीय अपेक्षा का एक प्रभावी अनुमान नमूना माध्यिका है।

यह सिद्ध हो चुका है कि यदि यादृच्छिक चर X का सामान्य वितरण है, तो पर्याप्त बड़े नमूना आकार के साथ सांख्यिकीय माध्यिका का वितरण कानून संख्यात्मक विशेषताओं के साथ सामान्य के करीब है

सूत्रों (5.11) और (5.14) की तुलना से यह पता चलता है कि सांख्यिकीय माध्यिका का फैलाव अंकगणितीय माध्य के फैलाव से 1.57 गुना अधिक है। नतीजतन, गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में अंकगणितीय माध्य सांख्यिकीय माध्यिका की तुलना में कई गुना अधिक प्रभावी है। हालाँकि, गणना की सरलता और असामान्य माप परिणामों (नमूने का "संदूषण") के प्रति असंवेदनशीलता के कारण, व्यवहार में, सांख्यिकीय माध्यिका का उपयोग गणितीय अपेक्षा के अनुमान के रूप में किया जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निरंतर सममित वितरण के लिए गणितीय अपेक्षा और माध्यिका समान हैं। इसलिए, सांख्यिकीय माध्य गणितीय अपेक्षा के अच्छे अनुमान के रूप में तभी काम कर सकता है जब यादृच्छिक चर का वितरण सममित हो।

असममित वितरण के लिए, सांख्यिकीय माध्यिका मुझेगणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक महत्वपूर्ण पूर्वाग्रह है, इसलिए यह इसके मूल्यांकन के लिए अनुपयुक्त है।