किसी अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड के ठोस उदाहरण के रूप में, पेंडुलम की गति पर विचार करें।
भौतिक पेंडुलम कहा जाता है ठोस, होना क्षैतिज अक्षघूर्णन, जिसके चारों ओर यह अपने वजन के प्रभाव में दोलनशील गति करता है (चित्र 119)।
पेंडुलम की स्थिति पूरी तरह से संतुलन स्थिति से उसके विचलन के कोण से निर्धारित होती है, और इसलिए, पेंडुलम की गति के नियम को निर्धारित करने के लिए, समय पर इस कोण की निर्भरता का पता लगाना पर्याप्त है।
फॉर्म का समीकरण:
लोलक की गति का समीकरण (नियम) कहलाता है। यह प्रारंभिक स्थितियों, यानी कोण और कोणीय वेग पर निर्भर करता है। इस प्रकार,
भौतिक पेंडुलम का सीमित मामला एक गणितीय पेंडुलम है, जो क्षैतिज अक्ष से जुड़े एक भौतिक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है (जैसा कि पहले कहा गया है - अध्याय 2, § 3) जिसके चारों ओर यह एक कठोर भारहीन छड़ी (छवि 120) द्वारा घूमता है। घूर्णन अक्ष से किसी भौतिक बिंदु की दूरी को गणितीय लोलक की लंबाई कहा जाता है।
भौतिक और गणितीय पेंडुलम की गति के समीकरण
आइए हम निर्देशांक अक्षों की एक प्रणाली चुनें ताकि xy तल पिंड C के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से होकर गुजरे और पेंडुलम के झूलते तल के साथ संपाती हो, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (चित्र 119)। आइए आरेखण तल के लंबवत अक्ष को अपनी ओर निर्देशित करें। फिर, पिछले पैराग्राफ के परिणामों के आधार पर, हम एक भौतिक पेंडुलम की गति के समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
जहां के माध्यम से घूर्णन की धुरी के सापेक्ष पेंडुलम की जड़ता के क्षण को दर्शाया गया है
इसलिए आप लिख सकते हैं:
पेंडुलम पर कार्य करने वाला सक्रिय बल उसका भार है, जिसका भार अक्ष के सापेक्ष आघूर्ण होगा:
लोलक के घूर्णन अक्ष से उसके द्रव्यमान केन्द्र C की दूरी कहाँ है?
परिणामस्वरूप, हम भौतिक पेंडुलम की गति के निम्नलिखित समीकरण पर पहुंचते हैं:
चूंकि गणितीय पेंडुलम भौतिक पेंडुलम का एक विशेष मामला है, इसलिए ऊपर लिखा गया है अंतर समीकरणयह गणितीय लोलक के लिए भी सत्य है। यदि एक गणितीय लोलक की लंबाई और उसका वजन बराबर है तो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उसका जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है
चूँकि गणितीय लोलक के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की धुरी से दूरी बराबर होती है, गणितीय लोलक की गति का अंतिम अंतर समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
भौतिक लोलक की लंबाई कम होना
समीकरण (16.8) और (16.9) की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि भौतिक और गणितीय पेंडुलम के पैरामीटर संबंध से संबंधित हैं
तब भौतिक और गणितीय पेंडुलम की गति के नियम समान हैं (समान प्रारंभिक स्थितियों के तहत)।
अंतिम संबंध उस लंबाई को इंगित करता है जो गणितीय पेंडुलम को संबंधित भौतिक पेंडुलम के समान चलने के लिए होनी चाहिए। इस लंबाई को भौतिक लोलक की घटी हुई लंबाई कहा जाता है। इस अवधारणा का अर्थ यह है कि भौतिक पेंडुलम की गति के अध्ययन को गणितीय पेंडुलम की गति के अध्ययन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो एक सरल यांत्रिक सर्किट है।
पेंडुलम की गति के समीकरण का पहला अभिन्न अंग
भौतिक एवं गणितीय लोलकों की गति के समीकरणों का रूप एक ही होता है, अत: उनकी गति का समीकरण होगा
चूँकि इस समीकरण में ध्यान में रखा जाने वाला एकमात्र बल संभावित बल क्षेत्र से संबंधित गुरुत्वाकर्षण बल है, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम लागू होता है।
उत्तरार्द्ध प्राप्त किया जा सकता है सरल तरकीब, आइए तब तक समीकरण (16.10) को गुणा करें
इस समीकरण को एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है
प्रारंभिक स्थितियों से एकीकरण स्थिरांक Cu का निर्धारण करते हुए, हम पाते हैं
सापेक्ष के लिए अंतिम समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है
यह संबंध अवकल समीकरण (16.10) के पहले समाकलन का प्रतिनिधित्व करता है।
भौतिक और गणितीय पेंडुलम की समर्थन प्रतिक्रियाओं का निर्धारण
गति के समीकरणों का पहला अभिन्न अंग हमें पेंडुलम की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है। जैसा कि पिछले पैराग्राफ में बताया गया है, समर्थन प्रतिक्रियाएं समीकरणों (16.5) से निर्धारित की जाती हैं। एक भौतिक पेंडुलम के मामले में, समन्वय अक्षों के साथ सक्रिय बल के घटक और अक्षों के सापेक्ष इसके क्षण होंगे:
द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
तब समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए समीकरण रूप लेते हैं:
समस्या की स्थितियों के अनुसार शरीर की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण और समर्थनों के बीच की दूरी ज्ञात होनी चाहिए। और में कोणीय त्वरण कोणीय वेगс समीकरण (16.9) और (16.4) से इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:
इस प्रकार, समीकरण (16.12) एक भौतिक पेंडुलम की समर्थन प्रतिक्रियाओं के घटकों को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं।
यदि हम गणितीय लोलक पर विचार करें तो समीकरण (16.12) और भी सरल हो जाते हैं। वास्तव में, चूंकि गणितीय लोलक का भौतिक बिंदु समतल में स्थित होता है, इसके अलावा, चूंकि एक बिंदु स्थिर होता है, तो परिणामस्वरूप, समीकरण (16.12) इस रूप के समीकरणों में बदल जाते हैं:
समीकरण (16.13) का उपयोग करके समीकरण (16.9) से यह निष्कर्ष निकलता है कि समर्थन प्रतिक्रिया थ्रेड I (छवि 120) के साथ निर्देशित है। उत्तरार्द्ध एक स्पष्ट परिणाम है. नतीजतन, समानता के घटकों (16.13) को धागे की दिशा पर प्रक्षेपित करते हुए, हम फॉर्म के समर्थन की प्रतिक्रिया निर्धारित करने के लिए एक समीकरण पाते हैं (चित्र 120):
यहां मान को प्रतिस्थापित करते हुए और इसे ध्यान में रखते हुए हम लिखते हैं:
अंतिम संबंध गणितीय पेंडुलम की गतिशील प्रतिक्रिया को निर्धारित करता है। ध्यान दें कि इसकी स्थैतिक प्रतिक्रिया होगी
लोलक की गति की प्रकृति का गुणात्मक अध्ययन
पेंडुलम की गति के समीकरण का पहला अभिन्न अंग हमें इसकी गति की प्रकृति का गुणात्मक अध्ययन करने की अनुमति देता है। अर्थात्, हम इस अभिन्न (16.11) को इस रूप में लिखते हैं:
आंदोलन के दौरान, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति या तो सकारात्मक होनी चाहिए या कुछ बिंदुओं पर गायब हो जानी चाहिए। चलिए मान लेते हैं कि शुरुआती स्थितियां ऐसी हैं
इस मामले में, कट्टरपंथी अभिव्यक्ति कहीं भी गायब नहीं होती है। नतीजतन, चलते समय, पेंडुलम कोण के सभी मूल्यों से गुजरेगा और पेंडुलम से कोणीय वेग का एक ही संकेत होगा, जो प्रारंभिक कोणीय वेग की दिशा से निर्धारित होता है, या कोण या तो सभी को बढ़ा देगा समय या हर समय घटेगा, यानी पेंडुलम एक तरफ घूमेगा।
गति की दिशाएँ अभिव्यक्ति (16.11) में एक या दूसरे चिन्ह के अनुरूप होंगी। एक आवश्यक शर्तइस तरह की गति का एहसास एक प्रारंभिक कोणीय वेग की उपस्थिति है, क्योंकि असमानता (16.14) से यह स्पष्ट है कि यदि विक्षेपण के किसी भी प्रारंभिक कोण पर पेंडुलम की ऐसी गति प्राप्त करना असंभव है।
चलिए अभी शुरुआती हालात ऐसे हैं
इस मामले में, दो ऐसे कोण मान हैं जिन पर मूलांक अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है। मान लीजिए कि वे समानता द्वारा परिभाषित कोणों के अनुरूप हैं
इसके अलावा, यह 0 से लेकर के बीच कहीं होगा। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि जब
मूल अभिव्यक्ति (16.11) सकारात्मक होगी और मनमाने ढंग से थोड़ा अधिक होने पर यह नकारात्मक होगी।
नतीजतन, जब पेंडुलम चलता है, तो इसका कोण सीमा में बदल जाता है:
जब लोलक का कोणीय वेग शून्य हो जाता है और कोण का मान घटने लगता है। इस स्थिति में, कोणीय वेग का चिह्न या अभिव्यक्ति में मूलांक के सामने का चिह्न (16.11) बदल जाएगा। जब पेंडुलम का कोणीय वेग पुनः शून्य पर पहुँच जाता है और कोण फिर से मान तक बढ़ने लगता है
इस प्रकार, पेंडुलम दोलनशील गति करेगा
पेंडुलम दोलनों का आयाम
जब लोलक दोलन करता है, तो ऊर्ध्वाधर से उसके विचलन का अधिकतम मान दोलन का आयाम कहलाता है। यह बराबर है जिसका निर्धारण समानता से होता है
जैसा कि अंतिम सूत्र से पता चलता है, दोलन का आयाम पेंडुलम की मुख्य विशेषताओं या इसकी कम लंबाई के प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।
विशेष मामले में, जब पेंडुलम को संतुलन स्थिति से विक्षेपित किया जाता है और प्रारंभिक गति के बिना छोड़ा जाता है, तो यह के बराबर होगा, इसलिए, आयाम कम लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।
पेंडुलम की गति का समीकरण अंतिम रूप में
माना लोलक की प्रारंभिक गति शून्य है, तो इसकी गति के समीकरण का पहला समाकलन होगा:
इस समीकरण को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं
हम समय की गणना लोलक की स्थिति से करेंगे
आइए सूत्र का उपयोग करके इंटीग्रैंड को रूपांतरित करें:
तब हमें मिलता है:
परिणामी समाकलन को प्रथम प्रकार का अण्डाकार समाकलन कहा जाता है। इसे प्रारंभिक कार्यों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसकी ऊपरी सीमा के संबंध में अण्डाकार अभिन्न (16.15) का व्युत्क्रम पेंडुलम की गति के समीकरण को दर्शाता है:
यह अच्छी तरह से अध्ययन किया गया जैकोबी अण्डाकार फ़ंक्शन होगा।
पेंडुलम दोलन की अवधि
किसी लोलक के एक पूर्ण दोलन में लगने वाले समय को उसका दोलन काल कहा जाता है। आइए हम इसे T निरूपित करें। चूंकि पेंडुलम की एक स्थिति से दूसरी स्थिति तक गति का समय वही है जो वहां से गति के समय का है, तो T को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा:
आइए डाल कर वेरिएबल्स में बदलाव करें
0 से परिवर्तित होने पर 0 से परिवर्तित हो जायेगा। आगे,
और इसलिए
अंतिम समाकलन को पहली तरह का पूर्ण अण्डाकार समाकलन कहा जाता है (इसके मान विशेष तालिकाओं में दिए गए हैं)।
जब एकीकरण एकता की ओर प्रवृत्त होता है।
पेंडुलम के छोटे दोलनों के लिए अनुमानित सूत्र
ऐसे मामले में जब पेंडुलम दोलन का आयाम छोटा हो (व्यावहारिक रूप से 20° से अधिक नहीं होना चाहिए), आप डाल सकते हैं
तब लोलक की गति का विभेदक समीकरण इस प्रकार बनता है:
गणित पेंडुलम
परिचय
दोलन काल
निष्कर्ष
साहित्य
परिचय
अब इस किंवदंती की पुष्टि करना संभव नहीं है कि कैसे गैलीलियो, गिरजाघर में प्रार्थना में खड़े होकर, कांस्य झूमर के झूलने को ध्यान से देखते थे। मैंने झूमर को आगे-पीछे घूमने में लगने वाले समय को देखा और निर्धारित किया। इस समय को बाद में दोलन काल कहा गया। गैलीलियो के पास घड़ी नहीं थी, और विभिन्न लंबाई की जंजीरों पर लटके झूमरों के दोलन की अवधि की तुलना करने के लिए, उन्होंने अपनी नाड़ी की आवृत्ति का उपयोग किया।
पेंडुलम का उपयोग घड़ियों की गति को समायोजित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि किसी भी पेंडुलम में दोलन की एक बहुत ही विशिष्ट अवधि होती है। पेंडुलम भी ढूंढता है महत्वपूर्ण अनुप्रयोगभूवैज्ञानिक अन्वेषण में. यह ज्ञात है कि दुनिया भर में विभिन्न स्थानों में मूल्य हैं जीकुछ अलग हैं। वे भिन्न हैं क्योंकि पृथ्वी पूरी तरह से नियमित क्षेत्र नहीं है। इसके अलावा, उन क्षेत्रों में जहां घनी चट्टानें पाई जाती हैं, जैसे कि कुछ धातु अयस्क, मूल्य जीअसामान्य रूप से उच्च. सटीक माप जीगणितीय लोलक की सहायता से कभी-कभी ऐसे निक्षेपों का पता लगाना संभव होता है।
गणितीय पेंडुलम की गति का समीकरण
गणितीय पेंडुलम एक भारी भौतिक बिंदु है जो या तो एक ऊर्ध्वाधर वृत्त (सपाट गणितीय पेंडुलम) या एक गोले (गोलाकार पेंडुलम) के साथ चलता है। पहले सन्निकटन के अनुसार, एक गणितीय पेंडुलम को एक अवितानीय लचीले धागे पर लटका हुआ एक छोटा भार माना जा सकता है।
आइए हम त्रिज्या के एक वृत्त के अनुदिश एक सपाट गणितीय पेंडुलम की गति पर विचार करें एलएक बिंदु पर केन्द्रित के बारे में(चित्र .1)। हम बिंदु की स्थिति निर्धारित करेंगे एम(पेंडुलम) विचलन का कोण जे त्रिज्या ॐऊर्ध्वाधर से. स्पर्शरेखा को निर्देशित करना एम t धनात्मक कोण j की ओर, हम गति का एक प्राकृतिक समीकरण बनाएंगे। यह समीकरण गति के समीकरण से बनता है
मेगावाट=एफ+एन, (1)
कहाँ एफबिंदु पर कार्य करने वाला सक्रिय बल है, और एन- संचार प्रतिक्रिया.
चित्र 1
हमने न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार समीकरण (1) प्राप्त किया, जो गतिकी का मौलिक नियम है और बताता है कि किसी भौतिक बिंदु के संवेग का समय व्युत्पन्न उस पर लगने वाले बल के बराबर है, अर्थात।
यह मानते हुए कि द्रव्यमान स्थिर है, हम पिछले समीकरण को इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं
कहाँ डब्ल्यूबिंदु का त्वरण है.
तो टी अक्ष पर प्रक्षेपण में समीकरण (1) हमें दिए गए निश्चित चिकनी वक्र के साथ एक बिंदु की गति के लिए प्राकृतिक समीकरणों में से एक देगा:
हमारे मामले में, हम t अक्ष पर प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं
,
कहाँ एमपेंडुलम का एक द्रव्यमान है.
चूँकि या , यहाँ से हम पाते हैं
.
द्वारा कम करना एमऔर विश्वास करना
, (3)
अंततः हमारे पास होगा:
,
,
,
. (4)
आइए पहले हम छोटे दोलनों के मामले पर विचार करें। भीतर आएं आरंभिक क्षणलोलक ऊर्ध्वाधर से एक कोण द्वारा विक्षेपित होता है जेऔर प्रारंभिक गति के बिना नीचे उतारा गया। तब प्रारंभिक शर्तें होंगी:
पर टी= 0, 
. (5)
ऊर्जा अभिन्न से:
, (6)
कहाँ वी- संभावित ऊर्जा, और एचएकीकरण स्थिरांक है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इन परिस्थितियों में किसी भी समय कोण jЈj 0 होता है। नियत मान एचप्रारंभिक डेटा से निर्धारित किया गया। आइए मान लें कि कोण j 0 छोटा है (j 0 Ј1); तब कोण j भी छोटा होगा और हम लगभग synj»j सेट कर सकते हैं। इस स्थिति में, समीकरण (4) का रूप लेगा
. (7)
समीकरण (7) एक सरल हार्मोनिक दोलन का अंतर समीकरण है। सामान्य निर्णयइस समीकरण का रूप है
, (8)
कहाँ एऔर बीया एऔर ई एकीकरण के स्थिरांक हैं।
यहां से हमें तुरंत अवधि मिल जाती है ( टी) एक गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलन (अवधि - समय की वह अवधि जिसके दौरान बिंदु उसी गति से अपनी पिछली स्थिति में लौट आता है)
और 
,
क्योंकि पाप की अवधि 2पी के बराबर है, फिर डब्ल्यू टी=2पी यु
(9)
प्रारंभिक स्थितियों (5) के तहत गति का नियम खोजने के लिए, हम गणना करते हैं:
. (10)
मान (5) को समीकरण (8) और (10) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
ज 0 = ए, 0 = डब्ल्यू बी,
वे। बी=0. नतीजतन, शर्तों (5) के तहत छोटे दोलनों के लिए गति का नियम होगा:
जे = जे 0 कॉस डब्ल्यूटी। (ग्यारह)
आइए अब हम एक सपाट गणितीय लोलक की समस्या का सटीक समाधान खोजें। आइए सबसे पहले गति के समीकरण (4) का पहला समाकलन निर्धारित करें। क्योंकि
,
तो (4) के रूप में दर्शाया जा सकता है
.
अतः, समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें डी j और एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:
. (12)
आइए हम यहां j 0 को पेंडुलम के अधिकतम विक्षेपण के कोण को निरूपित करें; तब j = j 0 के लिए हमारे पास होगा, कहाँ से सी= w 2 cosj 0 . परिणामस्वरूप, अभिन्न (12) देता है:
, (13)
जहाँ w समानता (3) द्वारा निर्धारित होता है।
यह समाकलन ऊर्जा समाकलन है और इसे सीधे समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है
, (14)
जहां चलने का काम चल रहा है एम 0 एमसक्रिय बल एफ, अगर हम अपने मामले में इसे ध्यान में रखते हैं वी 0 =0, और (आंकड़ा देखें)।
समीकरण (13) से यह स्पष्ट है कि जब पेंडुलम चलता है, तो कोण j मान +j 0 और -j 0 (|j|Јj 0, चूँकि) के बीच बदल जाएगा, अर्थात। पेंडुलम दोलनशील गति करेगा। आइए समय गिनने के लिए सहमत हों टीउस क्षण से जब पेंडुलम ऊर्ध्वाधर से होकर गुजरता है ओ.ए.जब यह दाहिनी ओर जाता है (चित्र देखें)। तब हमारे पास प्रारंभिक शर्त होगी:
पर टी=0, जे=0. (15)
इसके अलावा, एक बिंदु से आगे बढ़ते समय एइच्छा ; दोनों पक्षों से समानताएं निकालना (13) वर्गमूल, हम पाते हैं:
.
यहां चरों को अलग करने पर, हमारे पास है:
. (16)
, 
,
वह
.
इस परिणाम को समीकरण (16) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
दोलन गति- किसी पिंड की आवधिक या लगभग आवधिक गति, जिसका समन्वय, गति और त्वरण समय के समान अंतराल पर लगभग समान मान लेते हैं।
यांत्रिक कंपन तब होते हैं, जब किसी पिंड को संतुलन स्थिति से हटाया जाता है, तो एक बल प्रकट होता है जो शरीर को वापस लौटाने की प्रवृत्ति रखता है।
विस्थापन x संतुलन स्थिति से शरीर का विचलन है।
आयाम ए शरीर के अधिकतम विस्थापन का मापांक है।
दोलन अवधि टी - एक दोलन का समय:
दोलन आवृत्ति
समय की प्रति इकाई किसी पिंड द्वारा किए गए दोलनों की संख्या: दोलनों के दौरान, गति और त्वरण समय-समय पर बदलते रहते हैं। संतुलन स्थिति में गति अधिकतम और त्वरण शून्य होता है। अधिकतम विस्थापन के बिंदुओं पर त्वरण अधिकतम तक पहुँच जाता है और गति शून्य हो जाती है।
हार्मोनिक कंपन अनुसूची
लयबद्धसाइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले कंपन कहलाते हैं:
जहां x(t) समय t पर सिस्टम का विस्थापन है, A आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है।
यदि आप ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ संतुलन स्थिति से शरीर के विचलन और क्षैतिज अक्ष के साथ समय की साजिश रचते हैं, तो आपको दोलन x = x(t) का एक ग्राफ मिलेगा - समय पर शरीर के विस्थापन की निर्भरता। मुक्त हार्मोनिक दोलनों के लिए, यह एक साइन तरंग या कोसाइन तरंग है। यह चित्र समय पर विस्थापन x की निर्भरता, वेग V x के प्रक्षेपण और त्वरण a x का ग्राफ दिखाता है।
जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, अधिकतम विस्थापन x पर, दोलन करने वाले शरीर की गति V शून्य है, त्वरण a, और इसलिए शरीर पर कार्य करने वाला बल, अधिकतम है और विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित है। संतुलन स्थिति में विस्थापन एवं त्वरण शून्य हो जाता है तथा गति अधिकतम होती है। त्वरण प्रक्षेपण में सदैव विस्थापन का विपरीत चिह्न होता है।
कंपन गति की ऊर्जा
एक दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है और घर्षण की अनुपस्थिति में स्थिर रहती है:
जिस समय विस्थापन अधिकतम x = A तक पहुंचता है, गति और उसके साथ गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।
इस मामले में, कुल ऊर्जा संभावित ऊर्जा के बराबर है:
किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसके दोलनों के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।
जब सिस्टम संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो विस्थापन और संभावित ऊर्जा शून्य होती है: x = 0, E p = 0. इसलिए, कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर है:
किसी दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा संतुलन स्थिति में उसकी गति के वर्ग के समानुपाती होती है। इस तरह:
गणितीय पेंडुलम
1. गणित पेंडुलमभारहीन अवितानीय धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु है।
संतुलन स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल की भरपाई धागे के तनाव से होती है। यदि पेंडुलम विक्षेपित और मुक्त हो जाता है, तो बल एक-दूसरे की क्षतिपूर्ति करना बंद कर देंगे, और परिणामी बल संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होगा। न्यूटन का दूसरा नियम:
छोटे दोलनों के लिए, जब विस्थापन x, l से बहुत कम है, तो सामग्री बिंदु लगभग क्षैतिज x अक्ष के साथ घूमेगा। तब त्रिभुज MAB से हमें प्राप्त होता है:
क्योंकि पाप ए = एक्स/एल, तो x अक्ष पर परिणामी बल R का प्रक्षेपण बराबर है
ऋण चिन्ह दर्शाता है कि बल R हमेशा विस्थापन x के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।
2. तो, एक गणितीय पेंडुलम के दोलन के दौरान, साथ ही एक स्प्रिंग पेंडुलम के दोलन के दौरान, पुनर्स्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।
आइए गणितीय और स्प्रिंग पेंडुलम की पुनर्स्थापन शक्ति के लिए अभिव्यक्तियों की तुलना करें:
यह देखा जा सकता है कि mg/l k का एक एनालॉग है। स्प्रिंग पेंडुलम की अवधि के सूत्र में k को mg/l से प्रतिस्थापित करना
हमें गणितीय पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र प्राप्त होता है:
गणितीय लोलक के छोटे दोलनों की अवधि आयाम पर निर्भर नहीं करती है।
गणितीय पेंडुलम का उपयोग समय को मापने और पृथ्वी की सतह पर किसी दिए गए स्थान पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
विक्षेपण के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन हार्मोनिक होते हैं। वे गुरुत्वाकर्षण के परिणामी बल और धागे के तनाव बल के साथ-साथ भार की जड़ता के कारण घटित होते हैं। इन बलों का परिणाम पुनर्स्थापना बल है।
उदाहरण।उस ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निर्धारित करें जहां 6.25 मीटर लंबे पेंडुलम की मुक्त दोलन अवधि 3.14 सेकेंड है।
गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि धागे की लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है:
समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
उत्तर:गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 25 m/s 2 है।
"विषय 4. "यांत्रिकी" विषय पर समस्याएं और परीक्षण। दोलन और लहरें।"
- अनुप्रस्थ एवं अनुदैर्ध्य तरंगें। वेवलेंथ
पाठ: 3 कार्य: 9 परीक्षण: 1
- ध्वनि तरंगें। ध्वनि की गति - यांत्रिक कंपन और तरंगें। ध्वनि 9वीं कक्षा
गणितीय पेंडुलम क्या है?
पिछले पाठों से आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि एक पेंडुलम, एक नियम के रूप में, एक शरीर का मतलब है जो गुरुत्वाकर्षण संपर्क के प्रभाव में दोलन करता है। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि भौतिकी में, इस अवधारणा को आम तौर पर एक ठोस पिंड माना जाता है, जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, एक निश्चित बिंदु या अक्ष के आसपास होने वाली दोलन संबंधी गतिविधियाँ करता है।
गणितीय पेंडुलम का संचालन सिद्धांत
आइए अब गणितीय पेंडुलम के संचालन के सिद्धांत को देखें और जानें कि यह क्या है।
गणितीय पेंडुलम के संचालन का सिद्धांत यह है कि जब एक भौतिक बिंदु संतुलन स्थिति से एक छोटे कोण a से विचलित हो जाता है, अर्थात वह कोण जिस पर स्थिति sina=a संतुष्ट होगी, तो एक बल F = -mgsina = - एमजीए शरीर पर असर करेगा.
आप और मैं देखते हैं कि F के पास वह बल है नकारात्मक सूचक, और इससे यह पता चलता है कि ऋण चिह्न हमें बताता है कि यह बल उस दिशा में निर्देशित है जो विस्थापन के विपरीत है। और चूँकि बल F, विस्थापन S के समानुपाती होता है, इसलिए यह इस प्रकार है कि ऐसे बल के प्रभाव में भौतिक बिंदु हार्मोनिक दोलन करेगा।
पेंडुलम के गुण
यदि हम कोई अन्य लोलक लें तो उसके दोलन की अवधि कई कारकों पर निर्भर करती है। इन कारकों में शामिल हैं:
सबसे पहले, शरीर का आकार और आकार;
दूसरे, निलंबन बिंदु और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच जो दूरी होती है;
तीसरा, किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष शरीर के वजन का वितरण भी।
पेंडुलम की इन विभिन्न परिस्थितियों के संबंध में, लटकते हुए शरीर की अवधि निर्धारित करना काफी कठिन है।
और यदि हम एक गणितीय पेंडुलम लें, तो इसमें वे सभी गुण हैं जिन्हें ज्ञात का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है भौतिक नियमऔर इसकी अवधि की गणना सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है।
ऐसी यांत्रिक प्रणालियों पर कई अलग-अलग अवलोकन करने के बाद, भौतिक विज्ञानी ऐसे पैटर्न निर्धारित करने में सक्षम थे:
सबसे पहले, पेंडुलम की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है। अर्थात्, यदि हम पेंडुलम की समान लंबाई के साथ, अलग-अलग द्रव्यमान वाले भारों को इससे लटकाते हैं, तो उनके दोलन की अवधि अभी भी समान होगी, भले ही उनके द्रव्यमान में काफी अंतर हो।
दूसरे, यदि हम सिस्टम शुरू करते समय पेंडुलम को छोटे लेकिन अलग-अलग कोणों से विक्षेपित करते हैं, तो इसके दोलनों की अवधि समान होगी, लेकिन आयाम अलग होंगे। संतुलन के केंद्र से छोटे विचलन के साथ, उनके रूप में कंपन का चरित्र लगभग हार्मोनिक होगा। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि ऐसे लोलक की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। ग्रीक से अनुवादित, इस यांत्रिक प्रणाली की इस संपत्ति को आइसोक्रोनिज्म कहा जाता है, जहां "आइसोस" का अर्थ बराबर है, और "क्रोनोस" का अर्थ समय है।
पेंडुलम दोलनों का व्यावहारिक उपयोग
के लिए गणितीय पेंडुलम विभिन्न अध्ययनभौतिकविदों, खगोलविदों, सर्वेक्षणकर्ताओं और अन्य वैज्ञानिकों द्वारा उपयोग किया जाता है। ऐसे पेंडुलम की मदद से वे खनिजों की खोज करते हैं। गणितीय पेंडुलम के त्वरण को देखकर और उसके दोलनों की संख्या की गणना करके, कोई हमारी पृथ्वी के आंत्र में कोयले और अयस्क के भंडार का पता लगा सकता है।
प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और प्रकृतिवादी के. फ्लेमरियन ने दावा किया कि गणितीय पेंडुलम की मदद से वह कई काम पूरा करने में कामयाब रहे। महत्वपूर्ण खोजेंजिसमें तुंगुस्का उल्कापिंड की उपस्थिति और एक नए ग्रह की खोज शामिल है।
आजकल, कई मनोविज्ञानी और तांत्रिक लापता लोगों की खोज करने और भविष्यवाणियाँ करने के लिए ऐसी यांत्रिक प्रणाली का उपयोग करते हैं।
परिभाषा
गणित पेंडुलम- यह विशेष मामलाएक भौतिक लोलक जिसका द्रव्यमान एक बिंदु पर स्थित होता है।
आमतौर पर, एक गणितीय पेंडुलम को एक बड़ी द्रव्यमान वाली एक छोटी गेंद (भौतिक बिंदु) माना जाता है, जो एक लंबे अविभाज्य धागे (निलंबन) पर निलंबित होती है। यह एक आदर्श प्रणाली है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में दोलन करती है। केवल 50-100 के क्रम के कोणों के लिए, एक गणितीय पेंडुलम एक हार्मोनिक थरथरानवाला है, अर्थात यह हार्मोनिक दोलन करता है।
एक लंबी श्रृंखला पर झूमर के झूले का अध्ययन करके, गैलीलियो ने गणितीय पेंडुलम के गुणों का अध्ययन किया। उन्होंने महसूस किया कि किसी दिए गए सिस्टम के दोलन की अवधि विक्षेपण के छोटे कोणों पर आयाम पर निर्भर नहीं करती है।
गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए सूत्र
मान लीजिए पेंडुलम का निलंबन बिंदु स्थिर है। पेंडुलम धागे से लटका हुआ भार त्वरण के साथ एक गोलाकार चाप (छवि 1 (ए)) के साथ चलता है, और एक निश्चित पुनर्स्थापना बल ($\overline(F)$) द्वारा कार्य किया जाता है। भार बढ़ने पर यह बल बदल जाता है। परिणामस्वरूप, गति की गणना जटिल हो जाती है। आइए कुछ सरलीकरण प्रस्तुत करें। मान लीजिए कि पेंडुलम एक समतल में नहीं, बल्कि एक शंकु में दोलन करता है (चित्र 1 (बी))। इस स्थिति में, भार एक चक्र में चलता है। दोलनों की वह अवधि जिसमें हमारी रुचि है, भार की शंक्वाकार गति की अवधि के साथ मेल खाएगी। एक वृत्त के चारों ओर एक शंक्वाकार पेंडुलम की क्रांति की अवधि वृत्त के चारों ओर एक चक्कर पर भार द्वारा खर्च किए गए समय के बराबर होती है:
जहां $L$ परिधि है; $v$ भार की गति की गति है। यदि ऊर्ध्वाधर से धागे के विचलन के कोण छोटे (छोटे कंपन आयाम) हैं, तो यह माना जाता है कि पुनर्स्थापन बल ($F_1$) उस वृत्त की त्रिज्या के साथ निर्देशित होता है जो भार का वर्णन करता है। तब यह बल अभिकेन्द्रीय बल के बराबर होता है:
चलो गौर करते हैं समरूप त्रिभुज: एओबी और डीबीसी (चित्र 1 (बी))।
हम अभिव्यक्ति (2) और (3) के दाहिने पक्षों को बराबर करते हैं और भार की गति को व्यक्त करते हैं:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
हम परिणामी गति को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है:
\ \
सूत्र (5) से हम देखते हैं कि गणितीय पेंडुलम की अवधि केवल उसके निलंबन की लंबाई (निलंबन बिंदु से भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी) और मुक्त गिरावट के त्वरण पर निर्भर करती है। गणितीय पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र (5) को ह्यूजेन्स सूत्र कहा जाता है; यह तब संतुष्ट होता है जब पेंडुलम का निलंबन बिंदु हिलता नहीं है।
गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि की निर्भरता का उपयोग करके, इस त्वरण का परिमाण निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, बड़ी संख्या में दोलनों पर विचार करते हुए पेंडुलम की लंबाई मापें, अवधि $T$ ज्ञात करें, फिर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण की गणना करें।
समाधान सहित समस्याओं के उदाहरण
उदाहरण 1
व्यायाम।जैसा कि ज्ञात है, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का परिमाण अक्षांश पर निर्भर करता है। मॉस्को के अक्षांश पर गुरुत्वाकर्षण का त्वरण क्या है यदि $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m लंबाई वाले गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि T=1 s के बराबर है?\textit()
समाधान।समस्या को हल करने के आधार के रूप में, हम गणितीय पेंडुलम की अवधि के लिए सूत्र लेते हैं:
आइए हम (1.1) से मुक्त गिरावट के त्वरण को व्यक्त करें:
आइए आवश्यक त्वरण की गणना करें:
उत्तर।$g=9.81\frac(m)(s^2)$
उदाहरण 2
व्यायाम।एक गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि क्या होगी यदि इसके निलंबन का बिंदु लंबवत नीचे की ओर बढ़ता है 1) साथ में निरंतर गति? 2) त्वरण $a$ के साथ? इस लोलक के धागे की लंबाई $l.$ है
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं.
1) एक गणितीय पेंडुलम की अवधि जिसका निलंबन बिंदु समान रूप से चलता है, एक निश्चित निलंबन बिंदु वाले पेंडुलम की अवधि के बराबर है:
2) पेंडुलम के निलंबन बिंदु के त्वरण को $F=ma$ के बराबर एक अतिरिक्त बल की उपस्थिति के रूप में माना जा सकता है, जो त्वरण के विरुद्ध निर्देशित होता है। अर्थात्, यदि त्वरण को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, तो अतिरिक्त बल को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि यह गुरुत्वाकर्षण बल ($mg$) में जुड़ जाता है। यदि निलंबन बिंदु नीचे की ओर त्वरण के साथ चलता है, तो अतिरिक्त बल गुरुत्वाकर्षण बल से घटा दिया जाता है।
हम एक गणितीय पेंडुलम की अवधि पाते हैं जो दोलन करता है और जिसका निलंबन बिंदु त्वरण के साथ चलता है:
उत्तर। 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
