पहला अद्भुत सीमा उदाहरण. पहली उल्लेखनीय सीमा: सिद्धांत और उदाहरण

अद्भुत सीमाएँ खोजेंयह न केवल प्रथम और द्वितीय वर्ष के कई छात्रों के लिए कठिन है जो सीमा के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं, बल्कि कुछ शिक्षकों के लिए भी कठिन है।

पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए सूत्र

पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणाम आइए इसे सूत्रों में लिखें
1. 2. 3. 4. लेकिन अपने दम पर सामान्य सूत्रउल्लेखनीय सीमाएँ किसी परीक्षा या परीक्षण में किसी की मदद नहीं करती हैं। मुद्दा यह है कि वास्तविक कार्यों का निर्माण इस प्रकार किया जाता है कि आपको अभी भी ऊपर लिखे सूत्रों तक पहुंचने की आवश्यकता है। और अधिकांश छात्र जो कक्षाएं छोड़ देते हैं, अनुपस्थिति में इस पाठ्यक्रम का अध्ययन करते हैं, या ऐसे शिक्षक हैं जो स्वयं हमेशा यह नहीं समझते हैं कि वे क्या समझा रहे हैं, उल्लेखनीय सीमा तक सबसे प्राथमिक उदाहरणों की गणना नहीं कर सकते हैं। पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्रों से हम देखते हैं कि उनकी मदद से त्रिकोणमितीय कार्यों वाले अभिव्यक्तियों के लिए शून्य से विभाजित प्रकार की अनिश्चितताओं का अध्ययन करना संभव है। आइए पहले हम अनेक उदाहरणों पर विचार करें अद्भुत सीमा y, और फिर हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा का अध्ययन करेंगे।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन पाप(7*x)/(5*x) की सीमा ज्ञात करें
समाधान: जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा के अंतर्गत फ़ंक्शन पहली उल्लेखनीय सीमा के करीब है, लेकिन फ़ंक्शन की सीमा निश्चित रूप से एक के बराबर नहीं है। सीमा पर इस प्रकार के कार्यों में, किसी को हर में उसी गुणांक वाले एक चर का चयन करना चाहिए जो साइन के तहत चर में निहित है। में इस मामले में 7 से विभाजित और गुणा किया जाना चाहिए

कुछ के लिए, ऐसा विवरण अनावश्यक लगेगा, लेकिन अधिकांश छात्रों के लिए जिन्हें सीमाओं के साथ कठिनाई होती है, इससे उन्हें नियमों को बेहतर ढंग से समझने और सैद्धांतिक सामग्री में महारत हासिल करने में मदद मिलेगी।
साथ ही, यदि किसी फलन का व्युत्क्रम रूप हो तो यह पहली अद्भुत सीमा भी है। और सब इसलिए क्योंकि अद्भुत सीमा एक के बराबर है

पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणामों पर भी यही नियम लागू होता है। इसलिए, यदि आपसे पूछा जाए, "पहली उल्लेखनीय सीमा क्या है?" आपको बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देना चाहिए कि यह एक इकाई है।

उदाहरण 2. फ़ंक्शन पाप(6x)/tan(11x) की सीमा ज्ञात करें
समाधान: अंतिम परिणाम को समझने के लिए, आइए फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखें

उल्लेखनीय सीमा के नियमों को लागू करने के लिए गुणनखंडों से गुणा और भाग करें

इसके बाद, हम सीमाओं के उत्पाद के माध्यम से कार्यों के उत्पाद की सीमा लिखते हैं

बिना जटिल सूत्रहमें चस्का सीमा मिली त्रिकोणमितीय कार्य. आत्मसात करने के लिए सरल सूत्रअद्भुत सीमा के परिणाम 1 के सूत्र, 2 और 4 पर सीमा खोजने का प्रयास करें। हम और अधिक जटिल समस्याओं पर गौर करेंगे।

उदाहरण 3: सीमा (1-cos(x))/x^2 की गणना करें
समाधान: प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करने पर, हमें 0/0 की अनिश्चितता मिलती है। बहुत से लोग यह नहीं जानते कि ऐसे उदाहरण को एक उल्लेखनीय सीमा तक कैसे कम किया जाए। यहां त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए

इस स्थिति में सीमा स्पष्ट रूप में परिवर्तित हो जायेगी

हम फ़ंक्शन को एक उल्लेखनीय सीमा के वर्ग तक कम करने में कामयाब रहे।

उदाहरण 4. सीमा ज्ञात कीजिए
समाधान: प्रतिस्थापित करने पर, हमें परिचित विशेषता 0/0 प्राप्त होती है। हालाँकि, चर शून्य के बजाय पाई की ओर प्रवृत्त होता है। इसलिए, पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने के लिए, हम वेरिएबल x में ऐसा परिवर्तन करेंगे ताकि नया वेरिएबल शून्य हो जाए। ऐसा करने के लिए, हम हर को एक नए चर Pi-x=y के रूप में निरूपित करते हैं

इस प्रकार, पिछले कार्य में दिए गए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, उदाहरण को 1 उल्लेखनीय सीमा तक घटा दिया गया है।

उदाहरण 5: सीमा की गणना करें
समाधान: पहले तो यह स्पष्ट नहीं है कि सीमाओं को कैसे सरल बनाया जाए। लेकिन जब उदाहरण है तो जवाब भी तो होगा ही. तथ्य यह है कि चर एकता में जाता है, प्रतिस्थापित करते समय, प्रपत्र शून्य को अनंत से गुणा करने की एक विशेषता देता है, इसलिए स्पर्शरेखा को सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

इसके बाद हमें अपेक्षित अनिश्चितता 0/0 प्राप्त होती है। इसके बाद, हम सीमा में चरों का परिवर्तन करते हैं और कोटैंजेंट की आवधिकता का उपयोग करते हैं

अंतिम प्रतिस्थापन हमें उल्लेखनीय सीमा के उपफल 1 का उपयोग करने की अनुमति देते हैं।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा घातांक के बराबर है

यह एक क्लासिक है जिसे वास्तविक सीमा की समस्याओं तक पहुंचाना हमेशा आसान नहीं होता है।
गणना में आपको आवश्यकता होगी सीमाएँ दूसरी उल्लेखनीय सीमा के परिणाम हैं:
1. 2. 3. 4.
दूसरी उल्लेखनीय सीमा और उसके परिणामों के लिए धन्यवाद, अनिश्चितताओं का पता लगाना संभव है जैसे शून्य को शून्य से विभाजित करना, एक को अनंत की शक्ति से विभाजित करना, और अनंत को अनंत से विभाजित करना, और यहां तक ​​कि एक ही डिग्री तक

आइए सरल उदाहरणों से शुरुआत करें।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: दूसरी उल्लेखनीय सीमा को सीधे लागू करने से काम नहीं चलेगा। सबसे पहले, आपको घातांक को इस प्रकार बदलना चाहिए कि वह कोष्ठक में दिए गए पद के व्युत्क्रम जैसा दिखे

यह दूसरी उल्लेखनीय सीमा को कम करने और संक्षेप में, सीमा के परिणाम के लिए दूसरा सूत्र प्राप्त करने की तकनीक है।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: हमारे पास अद्भुत सीमा के उपफल 2 के सूत्र 3 के लिए कार्य हैं। शून्य को प्रतिस्थापित करने से 0/0 के रूप की एक विलक्षणता प्राप्त होती है। किसी नियम की सीमा बढ़ाने के लिए, हम हर को घुमाते हैं ताकि चर का गुणांक लघुगणक के समान हो

इसे समझना और परीक्षा में प्रदर्शन करना भी आसान है। सीमा की गणना करने में विद्यार्थियों की कठिनाइयाँ निम्नलिखित समस्याओं से शुरू होती हैं।

उदाहरण 8. किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करें[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
समाधान: हमारे पास अनंत की घात के लिए प्रकार 1 विलक्षणता है। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप हर जगह "X" के स्थान पर अनंत को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और इसे सुनिश्चित कर सकते हैं। एक नियम बनाने के लिए, हम अंश को कोष्ठक में हर से विभाजित करते हैं; ऐसा करने के लिए, हम पहले जोड़-तोड़ करते हैं

आइए अभिव्यक्ति को सीमा में प्रतिस्थापित करें और इसे 2 अद्भुत सीमा में बदल दें

सीमा 10 की घातांकीय घात के बराबर है। वे स्थिरांक जो कोष्ठक और डिग्री दोनों में एक चर के साथ पद हैं, किसी भी "मौसम" का परिचय नहीं देते हैं - इसे याद रखना चाहिए। और यदि आपके शिक्षक आपसे पूछते हैं, "आप संकेतक को परिवर्तित क्यों नहीं करते?" (इस उदाहरण के लिए x-3 में), फिर कहें कि "जब कोई चर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, तब भी उसमें 100 जोड़ दें या 1000 घटा दें, और सीमा वैसी ही रहेगी जैसी थी!"
इस प्रकार की सीमाओं की गणना करने का एक दूसरा तरीका है। हम इसके बारे में अगले कार्य में बात करेंगे।

उदाहरण 9. सीमा ज्ञात करें
समाधान: अब अंश और हर में से वेरिएबल को हटा दें और एक विशेषता को दूसरे में बदल दें। अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, हम उल्लेखनीय सीमा के उपफल 2 के सूत्र का उपयोग करते हैं

उदाहरण 10. किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
समाधान: हर कोई दी गई सीमा का पता नहीं लगा सकता। सीमा को 2 तक बढ़ाने के लिए, कल्पना करें कि पाप (3x) एक चर है, और आपको घातांक को घुमाने की आवश्यकता है

इसके बाद, हम संकेतक को एक शक्ति से एक शक्ति के रूप में लिखते हैं


मध्यवर्ती तर्कों का वर्णन कोष्ठकों में किया गया है। पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाओं का उपयोग करने के परिणामस्वरूप, हमने घन में घातांक प्राप्त किया।

उदाहरण 11. किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करेंपाप(2*x)/ln(3*x+1)
समाधान: हमारे पास 0/0 के रूप की अनिश्चितता है। इसके अलावा, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन को दोनों अद्भुत सीमाओं का उपयोग करने के लिए परिवर्तित किया जाना चाहिए। आइए पिछले गणितीय परिवर्तन करें

इसके अलावा, बिना किसी कठिनाई के, सीमा मूल्य ले लेगी

यदि आप कार्यों को जल्दी से लिखना और उन्हें पहली या दूसरी अद्भुत सीमा तक कम करना सीख जाते हैं, तो आप असाइनमेंट, परीक्षण, मॉड्यूल पर इस तरह से स्वतंत्र महसूस करेंगे। यदि आपके लिए सीमाएं खोजने के लिए दिए गए तरीकों को याद रखना मुश्किल है, तो आप हमेशा ऑर्डर कर सकते हैं परीक्षाहमारी सीमा तक.
ऐसा करने के लिए, फ़ॉर्म भरें, डेटा प्रदान करें और उदाहरणों के साथ एक फ़ाइल संलग्न करें। हमने कई छात्रों की मदद की है - हम आपकी भी मदद कर सकते हैं!

सबूत:

आइए पहले अनुक्रम के मामले के लिए प्रमेय को सिद्ध करें

न्यूटन के द्विपद सूत्र के अनुसार:

मान लीजिए कि हमें मिलता है

इस समानता (1) से यह निष्कर्ष निकलता है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, दाईं ओर सकारात्मक पदों की संख्या बढ़ती है। इसके अलावा, जैसे-जैसे n बढ़ता है, संख्या घटती जाती है, वैसे-वैसे मान भी घटते हैं बढ़ रहे हैं। इसलिए क्रम बढ़ रहा है, और (2)*हम दिखाते हैं कि यह घिरा हुआ है। समानता के दाईं ओर प्रत्येक कोष्ठक को एक से बदलें, दाहिना भागबढ़ती है, हमें असमानता मिलती है

आइए परिणामी असमानता को मजबूत करें, भिन्नों के हर में मौजूद 3,4,5, ... को संख्या 2 से बदलें: हम पदों के योग सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक में योग पाते हैं ज्यामितीय अनुक्रम: इसीलिए (3)*

तो, अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, और असमानताएं (2) और (3) संतुष्ट हैं: इसलिए, वीयरस्ट्रैस प्रमेय (किसी अनुक्रम के अभिसरण के लिए मानदंड) के आधार पर, अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ता है और सीमित होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है, जिसे अक्षर ई द्वारा दर्शाया गया है। वे।

यह जानते हुए कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा x के प्राकृतिक मानों के लिए सत्य है, हम वास्तविक x के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सिद्ध करते हैं, अर्थात हम सिद्ध करते हैं कि . आइए दो मामलों पर विचार करें:

1. मान लीजिए कि x का प्रत्येक मान दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच है: ,कहां है संपूर्ण भागएक्स। => =>

यदि , तो इसलिये , सीमा के अनुसार हमारे पास है

सीमाओं के अस्तित्व की कसौटी (एक मध्यवर्ती कार्य की सीमा के बारे में) के आधार पर

2. चलो । आइए प्रतिस्थापन करें - x = t, फिर

इन दो मामलों से यह निष्कर्ष निकलता है असली एक्स के लिए.

नतीजे:

9 .) अतिसूक्ष्मों की तुलना. सीमा में अतिसूक्ष्मों को समकक्षों से बदलने पर प्रमेय और अतिसूक्ष्मों के मुख्य भाग पर प्रमेय।

मान लीजिए फ़ंक्शन a( एक्स) और बी( एक्स) – बी.एम. पर एक्स ® एक्स 0 .

परिभाषाएँ।

1)ए( एक्स) बुलाया बहुत अधिक उच्च स्तरकैसे बी (एक्स) अगर

लिखो: ए( एक्स) = ओ(बी( एक्स)) .

2)ए( एक्स) औरबी( एक्स)कहा जाता है एक ही क्रम के अतिसूक्ष्म, अगर

जहां सीÎℝ और सी¹ 0 .

लिखो: ए( एक्स) = हे(बी( एक्स)) .

3)ए( एक्स) औरबी( एक्स) कहा जाता है समकक्ष , अगर

लिखो: ए( एक्स) ~बी( एक्स).

4)ए( एक्स) k सापेक्ष कोटि का अपरिमेय कहलाता है
बिल्कुल असीमबी( एक्स), यदि अतिसूक्ष्मए( एक्स)और(बी( एक्स))क एक ही क्रम है, यानी अगर

जहां सीÎℝ और सी¹ 0 .

प्रमेय 6 (इनफिनिटिमल्स को समकक्ष के साथ बदलने पर)।

होने देनाए( एक्स), बी( एक्स), ए 1 ( एक्स), बी 1 ( एक्स)– बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 . अगरए( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स),

वह

प्रमाण: मान लीजिए a( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स), तब

प्रमेय 7 (अतिसूक्ष्म के मुख्य भाग के बारे में)।

होने देनाए( एक्स)औरबी( एक्स)– बी.एम. एक्स पर ® एक्स 0 , औरबी( एक्स)– बी.एम. की तुलना में उच्च आदेशए( एक्स).

= , ए चूँकि बी( एक्स) - a( से अधिक ऑर्डर एक्स), फिर, यानी से यह स्पष्ट है कि ए( एक्स) + बी( एक्स) ~ए( एक्स)

10) एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता (एप्सिलॉन-डेल्टा, ज्यामितीय सीमाओं की भाषा में) एक तरफा निरंतरता। एक अंतराल पर, एक खंड पर निरंतरता। सतत कार्यों के गुण.

1. मूल परिभाषाएँ

होने देना एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है एक्स 0 .

परिभाषा 1. फ़ंक्शन एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि समानता सत्य है

टिप्पणियाँ.

1) प्रमेय 5 §3 के आधार पर समानता (1) को रूप में लिखा जा सकता है

शर्त (2)- एक तरफा सीमा की भाषा में किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की परिभाषा.

2) समानता (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

वे कहते हैं: “यदि कोई फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर है एक्स 0, तो सीमा का चिह्न और फ़ंक्शन की अदला-बदली की जा सकती है।"

परिभाषा 2 (ई-डी भाषा में)।

फ़ंक्शन एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर"ई>0 $डी>0 ऐसा, क्या

यदि एक्सओयू( एक्स 0 , डी) (यानी | एक्स – एक्स 0 | < d),

फिर एफ(एक्स)यू( एफ(एक्स 0), ई) (अर्थात् | एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) | < e).

होने देना एक्स, एक्स 0 Î डी(एफ) (एक्स 0 - निश्चित, एक्स -मनमाना)

आइए निरूपित करें: डी एक्स= एक्स – एक्स 0 – तर्क वृद्धि

डी एफ(एक्स 0) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) – बिंदुx पर फ़ंक्शन की वृद्धि 0

परिभाषा 3 (ज्यामितीय).

फ़ंक्शन एफ(एक्स) पर बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि इस बिंदु पर तर्क में एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन में एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात।

कार्य करने दो एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ एक्स 0 ; एक्स 0 + d) (अंतराल पर ( एक्स 0 - डी; एक्स 0 ]).

परिभाषा। फ़ंक्शन एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 दायी ओर (बाएं ), यदि समानता सत्य है

यह तो स्पष्ट है एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 Û एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 दाएँ और बाएँ।

परिभाषा। फ़ंक्शन एफ(एक्स) बुलाया एक अंतराल के लिए निरंतर इ ( ए; बी) यदि यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है.

फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड पर निरंतर कहा जाता है [ए; बी] यदि यह अंतराल पर निरंतर है (ए; बी) और सीमा बिंदुओं पर एकतरफा निरंतरता है(अर्थात बिंदु पर निरंतर एदाईं ओर, बिंदु पर बी- बाएं)।

11) ब्रेक पॉइंट, उनका वर्गीकरण

परिभाषा। यदि फ़ंक्शन f(एक्स) बिंदु x के कुछ पड़ोस में परिभाषित 0 , लेकिन फिर भी, इस बिंदु पर यह निरंतर नहीं है एफ(एक्स) बिंदु x पर असंतत कहा जाता है 0 , और बात ही एक्स 0 ब्रेक प्वाइंट कहा जाता है कार्य एफ(एक्स) .

टिप्पणियाँ.

1) एफ(एक्स) को बिंदु के अपूर्ण पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 0 .

फिर फ़ंक्शन की संगत एक-तरफ़ा निरंतरता पर विचार करें।

2) Þ बिंदु की परिभाषा से एक्स 0 फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट है एफ(एक्स) दो मामलों में:

ए) यू( एक्स 0 , डी)ओ डी(एफ) , लेकिन के लिए एफ(एक्स) समानता कायम नहीं है

बी) यू * ( एक्स 0 , डी)ओ डी(एफ) .

प्राथमिक कार्यों के लिए, केवल केस बी) संभव है।

होने देना एक्स 0 - फ़ंक्शन ब्रेक पॉइंट एफ(एक्स) .

परिभाषा। प्वाइंट एक्स 0 बुलाया विराम बिंदु मैं की तरह यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)इस बिंदु पर बाएँ और दाएँ पर सीमित सीमाएँ हैं.

यदि ये सीमाएँ समान हैं, तो बिंदु x 0 बुलाया हटाने योग्य ब्रेक पॉइंट , अन्यथा - कूद बिंदु .

परिभाषा। प्वाइंट एक्स 0 बुलाया विराम बिंदु द्वितीय की तरह यदि फ़ंक्शन f की एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक(एक्स)इस बिंदु पर बराबर है¥ या अस्तित्व में नहीं है.

12) एक अंतराल पर निरंतर फलनों के गुण (वीयरस्ट्रैस (बिना प्रमाण के) और कॉची के प्रमेय)।

वीयरस्ट्रैस का प्रमेय

मान लीजिए कि फलन f(x) अंतराल पर सतत है

1)f(x) तक सीमित है

2)f(x) अंतराल पर अपना सबसे छोटा मान लेता है उच्चतम मूल्य

परिभाषा: फ़ंक्शन m=f का मान सबसे छोटा कहा जाता है यदि m≤f(x) किसी x€ D(f) के लिए।

फ़ंक्शन m=f का मान सबसे बड़ा कहा जाता है यदि m≥f(x) किसी x € D(f) के लिए।

फ़ंक्शन खंड के कई बिंदुओं पर सबसे छोटा/सबसे बड़ा मान ले सकता है।

f(x 3)=f(x 4)=अधिकतम

कॉची का प्रमेय.

मान लें कि फ़ंक्शन f(x) खंड पर निरंतर है और मान लीजिए कि x, f(a) और f(b) के बीच निहित संख्या है, तो कम से कम एक बिंदु x 0 € है जैसे कि f(x 0)= g

यह लेख: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा" फॉर्म की अनिश्चितताओं की सीमा के भीतर प्रकटीकरण के लिए समर्पित है:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ और $ ^\infty $।

साथ ही, ऐसी अनिश्चितताओं को घातीय फ़ंक्शन के लघुगणक का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है, लेकिन यह एक अन्य समाधान विधि है, जिसे किसी अन्य लेख में शामिल किया जाएगा।

सूत्र और परिणाम

FORMULAदूसरी उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text(where ) e \लगभग 2.718 $$

यह सूत्र से चलता है नतीजे, जो सीमाओं के साथ उदाहरणों को हल करने के लिए उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( जहां ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

यह ध्यान देने योग्य है कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा हमेशा एक घातीय फ़ंक्शन पर लागू नहीं की जा सकती है, लेकिन केवल उन मामलों में जहां आधार एकता की ओर जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले मानसिक रूप से आधार की सीमा की गणना करें, और फिर निष्कर्ष निकालें। इस सब पर उदाहरण समाधानों में चर्चा की जाएगी।

समाधान के उदाहरण

आइए प्रत्यक्ष सूत्र और उसके परिणामों का उपयोग करके समाधान के उदाहरण देखें। हम उन मामलों का भी विश्लेषण करेंगे जिनमें सूत्र की आवश्यकता नहीं है। केवल तैयार उत्तर लिखना ही पर्याप्त है।

उदाहरण 1

सीमा ज्ञात करें $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

समाधान

आइए अनंत को सीमा में प्रतिस्थापित करें और अनिश्चितता को देखें: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ आइए आधार की सीमा ज्ञात करें: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ हमने एक के बराबर आधार प्राप्त कर लिया है, जिसका अर्थ है कि हम पहले से ही दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए फ़ंक्शन के आधार को एक घटाकर और जोड़कर सूत्र में समायोजित करें: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ आइए दूसरे परिणाम को देखें और उत्तर लिखें: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

उदाहरण 4

सीमा को हल करें $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

समाधान

हम आधार की सीमा पाते हैं और देखते हैं कि $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, जिसका अर्थ है कि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू कर सकते हैं। मानक योजना के अनुसार, हम डिग्री के आधार से एक जोड़ते और घटाते हैं: $$ \lim_(x\to \infty) \big (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \big) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \बड़ा (1+\frac(6)(3x^2-2) \बड़ा) ^(3x) = $$ हम भिन्न को दूसरे नोट के सूत्र के अनुसार समायोजित करते हैं। सीमा: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ अब डिग्री को समायोजित करते हैं। घात में आधार $ \frac(3x^2-2)(6) $ के हर के बराबर एक अंश होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, डिग्री को उससे गुणा और भाग करें, और हल करना जारी रखें: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ पर घात में स्थित सीमा इसके बराबर है: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. इसलिए, हमारे पास जो समाधान है उसे जारी रखते हुए:

उत्तर

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

आइए उन मामलों की जांच करें जहां समस्या दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है, लेकिन इसके बिना हल किया जा सकता है।

लेख में: "दूसरी उल्लेखनीय सीमा: समाधान के उदाहरण" सूत्र, इसके परिणामों का विश्लेषण किया गया और इस विषय पर सामान्य प्रकार की समस्याएं दी गईं।

उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि इसकी सीमा क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? हो सकता है कि आप यह न समझें कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल कर लें; हो सकता है कि आप यह बिल्कुल भी न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और आप उन्हें "ए" के साथ पाते हैं; लेकिन अगर आप यह नहीं समझेंगे कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। नमूना समाधानों और मेरी डिज़ाइन अनुशंसाओं से स्वयं को परिचित करना भी एक अच्छा विचार होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत की गई है।

और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए हमें निम्नलिखित शिक्षण सामग्री की आवश्यकता होगी: अद्भुत सीमाएँऔर त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं. मैनुअल को प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह अधिक सुविधाजनक है, और इसके अलावा, आपको अक्सर उन्हें ऑफ़लाइन देखना होगा।

उल्लेखनीय सीमाओं के बारे में ऐसा क्या खास है? इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञों के महान दिमागों द्वारा सिद्ध किया गया था, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक, शक्तियों के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। अर्थात्, सीमाएँ ज्ञात करते समय, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई अद्भुत सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में, अंशकालिक छात्रों के पास दो अद्भुत सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक बहुत ही विशिष्ट चीज़ से होता है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा से।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री प्रस्तुत करने के दृष्टिकोण से अधिक सुविधाजनक है)।

सीमाएं खोजने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें)। सीमाएँ. समाधान के उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की ज्या शून्य है), और हर में, जाहिर है, शून्य भी है। इस प्रकार, हमें फॉर्म की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, जिसे सौभाग्य से प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। मुझे पता है गणितीय विश्लेषण, यह सिद्ध है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूँगा, लेकिन यहाँ यह है: ज्यामितीय अर्थहम इसके बारे में कक्षा में देखेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर में व्यावहारिक कार्यकार्यों को अलग ढंग से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में कोई सीमा दी गई है तो उसे बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए उसी रूप में हल करना होगा।

व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक पैरामीटर के रूप में भी कार्य कर सकता है प्राथमिक कार्य, जटिल कार्य. केवल यह महत्वपूर्ण है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त हो.

उदाहरण:
, , ,

यहाँ , , , , और सब कुछ अच्छा है - पहली अद्भुत सीमा लागू है।

लेकिन निम्नलिखित प्रविष्टि विधर्म है:

क्यों? चूँकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे, एक त्वरित प्रश्न: सीमा क्या है? ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना सहज नहीं है; लगभग कभी भी किसी छात्र को निःशुल्क सीमा हल करने और आसान पास प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाती है। हम्म्म... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर है, इससे परीक्षा में अमूल्य मदद मिल सकती है, जब प्रश्न आएगा "दो" और "तीन" के बीच निर्णय लिया जाए, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या हल करने की पेशकश करने का निर्णय लेता है सबसे सरल उदाहरण("शायद वह अभी भी जानता है क्या?")।

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें व्यावहारिक उदाहरण:

उदाहरण 1

सीमा ज्ञात करें

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में करते हैं):

इसलिए हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में. सीमा चिन्ह के नीचे की अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा के समान है, लेकिन यह वास्तव में नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।

ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम तकनीक का उपयोग करके पहली उल्लेखनीय सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें हर में भी आने की आवश्यकता है।"
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब हमारी रिकॉर्डिंग ने एक परिचित आकार ले लिया है.
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो पहली उल्लेखनीय सीमा को एक साधारण पेंसिल से चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, हमारी गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई और कार्य में गायब हो गई:

अब जो कुछ बचा है वह तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना है:

जो लोग बहु-स्तरीय भिन्नों के सरलीकरण को भूल गए हैं, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लिए हॉट सूत्र .

तैयार। अंतिम उत्तर:

यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं तो समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

“

आइए पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करें

“

उदाहरण 2

सीमा ज्ञात करें

पुनः हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली अद्भुत सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएँ. समाधान के उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है। यहाँ भी वही बात है, हम डिग्रियों को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

पिछले उदाहरण के समान, हम उल्लेखनीय सीमाओं (यहाँ उनमें से दो हैं) के चारों ओर एक पेंसिल खींचते हैं, और इंगित करते हैं कि वे एकता की ओर प्रवृत्त हैं:

दरअसल, उत्तर तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मैं सोचता हूं कि नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले से ही समझते हैं।

उदाहरण 3

सीमा ज्ञात करें

हम सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसका खुलासा करना आवश्यक है। यदि सीमा में कोई स्पर्शरेखा है, तो इसे लगभग हमेशा प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके साइन और कोसाइन में परिवर्तित किया जाता है (वैसे, वे कोटैंजेंट के साथ लगभग यही काम करते हैं, चित्र देखें)। कार्यप्रणाली सामग्री गर्म त्रिकोणमितीय सूत्र पेज पर गणितीय सूत्र, तालिकाएँ और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर होती है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर प्रवृत्त होती है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर बोलते हुए, इसे एक इकाई में बदलना होगा, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहां सब कुछ बिना किसी गुणा-भाग के सरल हो गया। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

परिणामस्वरूप अनंत की प्राप्ति होती है और ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

अनिश्चितता प्राप्त होती है (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने वाली सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

आइए स्थिर कारकों को सीमा आइकन से आगे ले जाएं:

आइए पहली अद्भुत सीमा व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक उल्लेखनीय सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष ज्या शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

एक वेरिएबल को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं सीमाएँ हल करने की विधियाँ.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध हो चुका है कि:

इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी अद्भुत सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है.

पैरामीटर न केवल एक चर हो सकता है, बल्कि एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है। एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

जब सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति एक डिग्री में होती है, तो यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, जिस सिद्धांत से यह किया जाता है उस पर पाठ में चर्चा की गई है सीमाएँ. समाधान के उदाहरण.

यह नोटिस करना आसान है कि कब डिग्री का आधार है, और प्रतिपादक है , यानी, फॉर्म की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से सटीक रूप से प्रकट होती है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली में नहीं होती, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। आप इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में पैरामीटर है, जिसका अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को घात तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति न बदले, हम इसे घात तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से पूरा हो जाता है, तो हम एक पेंसिल से निशान लगाते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक अच्छे पत्र में बदल गई है:

इस मामले में, हम लिमिट आइकन को ही संकेतक पर ले जाते हैं:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत बार होती है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

आइए सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

परिणाम अनिश्चितता है. लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? हमें डिग्री का आधार बदलना होगा. हम इस प्रकार तर्क करते हैं: हर में हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि अंश में भी हमें व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।

पहली उल्लेखनीय सीमा निम्नलिखित समानता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, वे कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, किसी भी अभिव्यक्ति को साइन चिह्न के नीचे और हर में रखा जा सकता है, जब तक कि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से प्राप्त परिणामों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्र (2)-(4) के प्रमाण के लिए समर्पित है। उदाहरण संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 और संख्या 5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान शामिल हैं। उदाहरण संख्या 6-10 में वस्तुतः कोई टिप्पणी नहीं के साथ समाधान शामिल हैं, क्योंकि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिए गए थे। समाधान कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करता है जिन्हें पाया जा सकता है।

मुझे ध्यान दें कि अनिश्चितता $\frac (0) (0)$ के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब यह नहीं है अनिवार्य आवेदनपहली उल्लेखनीय सीमा. कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण क्रमांक 1

साबित करो कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) चूँकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तो:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूँकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , वह:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए परिवर्तन करें $\alpha=\sin(y)$. चूँकि $\sin(0)=0$, तो स्थिति $\alpha\to(0)$ से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

ग) चलिए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करते हैं। चूँकि $\tg(0)=0$, तो स्थितियाँ $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ समतुल्य हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों के आधार पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण क्रमांक 2

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी। और भिन्न का अंश और हर एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, यानी। हो गया। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल खाते हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी हो गई हैं। इससे यह पता चलता है कि सूत्र लागू है, अर्थात। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

उत्तर: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

उदाहरण संख्या 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, तो हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac (0 )(0)$, अर्थात्। हो गया। हालाँकि, साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव मेल नहीं खाते हैं। यहां आपको हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करने की आवश्यकता है। हमें अभिव्यक्ति $9x$ को हर में रखने की आवश्यकता है, तभी यह सत्य हो जाएगा। अनिवार्य रूप से, हम हर में $9$ का एक कारक खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है - बस हर में अभिव्यक्ति को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा की क्षतिपूर्ति के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

अब हर में और साइन चिह्न के नीचे के भाव मेल खाते हैं। सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. और इसका मतलब यह है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण संख्या 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac(0)(0)$. हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा के स्वरूप का उल्लंघन किया गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश में $5x$ के हर की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका अंश को $5x$ से विभाजित करना और तुरंत $5x$ से गुणा करना है। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ को कम करने और स्थिरांक $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर ले जाने पर, हमें मिलता है:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

उदाहरण क्रमांक 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने के लिए, आपको अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए, साइन पर आगे बढ़ना चाहिए (फिर सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (फिर सूत्र को लागू करने के लिए)। यह निम्नलिखित परिवर्तन के साथ किया जा सकता है:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले से ही पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा तक समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए प्रश्न की सीमा पर वापस जाएँ:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2)=25. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण संख्या 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तो हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से प्रकट करें। ऐसा करने के लिए, आइए कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तो:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

दी गई सीमा में ज्याओं को पार करने पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण संख्या 7

$\alpha\neq के अधीन सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ की गणना करें \ बीटा$.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिए गए थे, लेकिन यहां हम केवल यह ध्यान देते हैं कि फिर से अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

इस सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ पाप\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फ़ा^2)(2)$.

उदाहरण संख्या 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस प्रकार तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

उदाहरण संख्या 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, तो $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha \to 0$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=x-3$ का परिचय देना है। हालाँकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना उचित है: $t=\frac(x-3)(2)$. मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू हैं, बात बस इतनी है कि दूसरा प्रतिस्थापन आपको भिन्नों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूँकि $x\to(3)$, तो $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

उदाहरण संख्या 10

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

एक बार फिर हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha\to(0)$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=\frac(\pi)(2)-x$ का परिचय देना है। चूँकि $x\to\frac(\pi)(2)$, तो $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण संख्या 11

सीमाएँ ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें कि पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में केवल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और संख्याएँ शामिल हैं। अक्सर इस प्रकार के उदाहरणों में सीमा चिह्न के नीचे स्थित अभिव्यक्ति को सरल बनाना संभव होता है। इसके अलावा, उपरोक्त सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक ही उद्देश्य के लिए दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग नहीं है।

चूँकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (मैं आपको याद दिला दूं कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हमारे पास है $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपटना। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तिका (नंबर 475) में एक समान समाधान है। जहां तक ​​दूसरी सीमा का सवाल है, इस खंड में पिछले उदाहरणों की तरह, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उत्पन्न होता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का लक्ष्य अंश और हर में योग को गुणनफल के रूप में लिखना है। वैसे, अक्सर एक समान प्रकार के भीतर एक वेरिएबल को बदलना सुविधाजनक होता है, जिसे इस तरह से बनाया जाता है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाता है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या नंबर 10 देखें)। हालाँकि, इस उदाहरण में प्रतिस्थापित करने का कोई मतलब नहीं है, हालाँकि यदि वांछित है, तो वेरिएबल $t=x-\frac(2\pi)(3)$ को प्रतिस्थापित करना लागू करना मुश्किल नहीं है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ पाप\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यदि आप चाहें तो ऐसा कर सकते हैं (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या है? छिपा हुया दिखाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए हमें यह मिलता है:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.