मान लें कि CB हालाँकि, व्यवहार में, हमारे पास बहुत बड़े नमूने नहीं हैं, इसलिए हम अधिक सटीकता की गारंटी नहीं दे सकते।

मान लीजिए b* c के लिए एक सांख्यिकीय अनुमान है। मूल्य |में* - में| अनुमान सटीकता कहलाती है. यह स्पष्ट है कि सटीकता सीबी है, क्योंकि β* एक यादृच्छिक चर है। आइए हम एक छोटी सकारात्मक संख्या 8 निर्दिष्ट करें और अनुमान की सटीकता की आवश्यकता करें |в* - в| 8 से कम था, यानी | में* - में |< 8.

विश्वसनीयता जी या आत्मविश्वास की संभावनाअनुमान in by in * संभाव्यता g है जिसके साथ असमानता |in * - in|< 8, т. е.

आमतौर पर, विश्वसनीयता g को पहले से निर्दिष्ट किया जाता है, और g को 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) के करीब की संख्या माना जाता है।

असमानता के बाद से |में * -में|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

अंतराल (* - 8 में, * + 5 में) को कॉन्फिडेंस अंतराल कहा जाता है, यानी। विश्वास अंतरालअज्ञात पैरामीटर को प्रायिकता y के साथ कवर करता है। ध्यान दें कि विश्वास अंतराल के सिरे यादृच्छिक हैं और नमूने से नमूने में भिन्न होते हैं, इसलिए यह कहना अधिक सटीक है कि अंतराल (* - 8 में, * + 8 में) अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है, बजाय इसके कि यह संबंधित है मध्यान्तर।

होने देना जनसंख्याएक यादृच्छिक चर X द्वारा दिया जाता है, जिसे सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, और मानक विचलन a ज्ञात होता है। अज्ञात है अपेक्षित मूल्यए = एम(एक्स). किसी दी गई विश्वसनीयता y के लिए विश्वास अंतराल ज्ञात करना आवश्यक है।

नमूना औसत

xr = a के लिए एक सांख्यिकीय अनुमान है।

प्रमेय. यादृच्छिक मूल्य xB के पास है सामान्य वितरण, यदि X का सामान्य वितरण है, और M (XB) = a,

ए (एक्सबी) = ए, जहां ए = वाई/बी (एक्स), ए = एम (एक्स)। एल/आई

ए के लिए विश्वास अंतराल का रूप है:

हमें 8 मिलते हैं।

अनुपात का उपयोग करना

जहां Ф(r) लाप्लास फ़ंक्शन है, हमारे पास है:

पी ( | एक्सबी - ए |<8} = 2Ф

लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका में हम t का मान ज्ञात करते हैं।

नामित होना

टी, हमें एफ(टी) = जी मिलता है क्योंकि जी दिया गया है, तो द्वारा

समानता से हम पाते हैं कि अनुमान सटीक है।

इसका मतलब यह है कि a के लिए विश्वास अंतराल का रूप इस प्रकार है:

जनसंख्या X से एक नमूना दिया गया है

एनजी	को"	एक्स2	एक्सएम
एन।	एन 1	एन 2	एनएम

n = U1 + ... + nm, तो आत्मविश्वास अंतराल होगा:

उदाहरण 6.35. नमूना माध्य Xb = 10.43, नमूना आकार n = 100 और मानक विचलन s = 5 को जानते हुए, 0.95 की विश्वसनीयता के साथ सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा ए का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतराल खोजें।

आइए सूत्र का उपयोग करें

गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास अंतराल

1. बता दें कि क्रम. मात्रा x अज्ञात माध्य μ और ज्ञात σ 2 के साथ सामान्य नियम का पालन करती है: X~N(μ,σ 2)), σ 2 दिया गया है, μ अज्ञात है। β निर्दिष्ट है. नमूने x 1, x 2, … , x n के आधार पर, I β (θ) (अब θ=μ) का निर्माण करना आवश्यक है, जो (13) को संतुष्ट करता है।

नमूना माध्य (जिसे नमूना माध्य भी कहा जाता है) समान केंद्र μ के साथ सामान्य कानून का पालन करता है, लेकिन छोटा विचरण X~N (μ, D), जहां विचरण D =σ 2 =σ 2 /n।

हमें शर्त के अनुसार ξ~N(0,1) के लिए परिभाषित संख्या K β की आवश्यकता होगी

शब्दों में: भुज अक्ष के बिंदुओं -K β और K β के बीच, मानक सामान्य कानून के घनत्व वक्र के अंतर्गत आने वाला क्षेत्र β के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, K 0.90 = मान ξ के 0.95 स्तर की 1.645 मात्रा

के 0.95 = 1.96. ; के 0.997 =3.

विशेष रूप से, किसी भी सामान्य कानून के केंद्र से दाईं ओर 1.96 मानक विचलन और बाईं ओर समान मानक विचलन को अलग करते हुए, हम 0.95 के बराबर घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र को पकड़ते हैं, जिसके कारण K 0 95 स्तर 0.95 की एक मात्रा है इस कानून के लिए + 1/2 * 0.005 = 0.975।

सामान्य माध्य μ के लिए आवश्यक आत्मविश्वास अंतराल I A (μ) = (x-σ, x+σ) है,

जहां δ = (15)

आइए एक तर्क दें:

जो कहा गया है उसके अनुसार शब्द। मान प्रायिकता β के साथ अंतराल J=μ±σ में आता है (चित्र 9)। इस मामले में, मात्रा केंद्र μ से δ से कम और यादृच्छिक अंतराल से विचलित होती है ± δ (एक यादृच्छिक केंद्र और J के समान चौड़ाई के साथ) बिंदु μ को कवर करेगा। वह है Є जे<=> μ Є मैंβ,और इसलिए Р(μЄІ β) = Р(Є J)=β.

तो, नमूने पर स्थिर अंतराल I β में प्रायिकता β के साथ माध्य μ होता है।

स्पष्टतः, जितना बड़ा n, उतना छोटा σ और अंतराल संकीर्ण है, और जितना बड़ा हम गारंटी β लेते हैं, विश्वास अंतराल उतना ही व्यापक होता है।

उदाहरण 21.

ज्ञात भिन्नता σ 2 = 64 के साथ सामान्य मान के लिए n=16 वाले नमूने के आधार पर, x=200 पाया गया। सामान्य माध्य (दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा के लिए) μ के लिए, β=0.95 लेते हुए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

समाधान। मैं β (μ)= ± δ, जहां δ = K β σ/ -> K β σ/ =1.96*8/ = 4

मैं 0.95 (μ)=200 4=(196;204).

यह निष्कर्ष निकालते हुए कि β=0.95 की गारंटी के साथ वास्तविक औसत अंतराल (196,204) से संबंधित है, हम समझते हैं कि एक त्रुटि संभव है।

100 आत्मविश्वास अंतरालों में से I 0.95 (μ), औसतन 5 में μ नहीं होता है।

उदाहरण 22.

पिछले उदाहरण 21 की स्थितियों में, विश्वास अंतराल को आधा करने के लिए क्या n लिया जाना चाहिए? 2δ=4 पाने के लिए, हमें लेना होगा

व्यवहार में, एकतरफा आत्मविश्वास अंतराल का अक्सर उपयोग किया जाता है। इसलिए, यदि μ के उच्च मान उपयोगी हैं या खतरनाक नहीं हैं, लेकिन कम मान अप्रिय हैं, जैसे कि ताकत या विश्वसनीयता के मामले में, तो एकतरफा अंतराल का निर्माण करना उचित है। ऐसा करने के लिए, आपको इसकी ऊपरी सीमा को यथासंभव बढ़ाना चाहिए। यदि हम, उदाहरण 21 के अनुसार, किसी दिए गए β के लिए दो-तरफा आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण करते हैं, और फिर सीमाओं में से एक की कीमत पर इसे जितना संभव हो उतना विस्तारित करते हैं, तो हमें अधिक गारंटी β के साथ एक-तरफा विश्वास अंतराल प्राप्त होता है। = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, उदाहरण के लिए, यदि β = 0.90, तो β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95।

उदाहरण के लिए, हम मान लेंगे कि हम उत्पाद की ताकत के बारे में बात कर रहे हैं और अंतराल की ऊपरी सीमा को बढ़ा देंगे। फिर उदाहरण 21 में μ के लिए हमें 196 की निचली सीमा और आत्मविश्वास संभावना β"=0.95+0.05/2=0.975 के साथ एक तरफा विश्वास अंतराल (196,°°) प्राप्त होता है।

सूत्र (15) का एक व्यावहारिक नुकसान यह है कि यह इस धारणा के तहत प्राप्त किया गया है कि विचरण = σ 2 (इसलिए = σ 2 /एन) ज्ञात है; और जीवन में ऐसा कम ही होता है। अपवाद तब होता है जब नमूना आकार बड़ा होता है, मान लीजिए, n को सैकड़ों या हजारों में मापा जाता है, और फिर σ 2 के लिए कोई व्यावहारिक रूप से इसका अनुमान s 2 या ले सकता है।

उदाहरण 23.

आइए मान लें कि एक बड़े शहर में, निवासियों की रहने की स्थिति के एक नमूना सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप, डेटा की निम्नलिखित तालिका प्राप्त हुई (कार्य से उदाहरण)।

तालिका 8

उदाहरण के लिए स्रोत डेटा

ऐसा मानना ​​स्वाभाविक है मान X - कुल (उपयोगी) क्षेत्र (m2 में) प्रति व्यक्ति सामान्य कानून का पालन करता है। माध्य μ और प्रसरण σ 2 अज्ञात हैं। μ के लिए, 95% विश्वास अंतराल का निर्माण करने की आवश्यकता है। समूहीकृत डेटा का उपयोग करके नमूना माध्य और विचरण खोजने के लिए, हम गणना की निम्नलिखित तालिका (तालिका 9) संकलित करेंगे।

तालिका 9

समूहीकृत डेटा से X और 5 की गणना

एन समूह 3	प्रति व्यक्ति कुल क्षेत्रफल, एम2	समूह आर जे में निवासियों की संख्या	अंतराल के मध्य x j	आर जे एक्स जे	आरजेएक्सजे 2
	5.0 तक		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	30.0 से अधिक		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

इस सहायक तालिका में, पहले और दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षणों की गणना सूत्र (2) का उपयोग करके की जाती है एक 1और ए 2

हालाँकि यहाँ प्रसरण σ 2 अज्ञात है, बड़े नमूने के आकार के कारण, हम व्यावहारिक रूप से इसमें σ = = 7.16 डालकर सूत्र (15) लागू कर सकते हैं।

फिर δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

β=0.95 पर सामान्य औसत के लिए विश्वास अंतराल I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) के बराबर है।

नतीजतन, 0.95 की गारंटी के साथ किसी दिए गए शहर में प्रति व्यक्ति क्षेत्र का औसत मूल्य अंतराल (18.54; 19.46) में निहित है।

2. सामान्य मान के अज्ञात विचरण σ 2 के मामले में गणितीय अपेक्षा μ के लिए विश्वास अंतराल। किसी दी गई गारंटी β के लिए यह अंतराल सूत्र के अनुसार बनाया गया है, जहां ν = n-1,

(16)

गुणांक t β,ν का स्वतंत्रता की ν डिग्री के साथ t वितरण के लिए वही अर्थ है जो वितरण N(0,1) के लिए β है, अर्थात्:

.

दूसरे शब्दों में, sl. मान tν प्रायिकता β के साथ अंतराल (-t β,ν ; +t β,ν) में आता है। t β,ν का मान तालिका 10 में β=0.95 और β=0.99 के लिए दिया गया है।

तालिका 10.

मान टी β,ν

उदाहरण 23 पर लौटते हुए, हम देखते हैं कि इसमें आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण सूत्र (16) के अनुसार गुणांक t β,υ =k 0..95 =1.96 के साथ किया गया था, क्योंकि n=1000।

मान लीजिए कि जनसंख्या के यादृच्छिक चर X को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, यह ध्यान में रखते हुए कि इस वितरण के विचरण और मानक विचलन ज्ञात हैं। नमूना माध्य का उपयोग करके अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाना आवश्यक है। इस मामले में, कार्य विश्वसनीयता बी के साथ गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल खोजने के लिए नीचे आता है। यदि आप आत्मविश्वास संभाव्यता (विश्वसनीयता) बी का मान निर्दिष्ट करते हैं, तो आप सूत्र (6.9ए) का उपयोग करके अज्ञात गणितीय अपेक्षा के अंतराल में गिरने की संभावना पा सकते हैं:

जहां Ф(t) लाप्लास फ़ंक्शन (5.17a) है।

परिणामस्वरूप, यदि विचरण D = s 2 ज्ञात हो तो हम गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल की सीमाओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार कर सकते हैं:

1. विश्वसनीयता मान निर्धारित करें - बी.
2. (6.14) से Ф(t) = 0.5× b व्यक्त करें। मान Ф(t) के अनुसार लाप्लास फ़ंक्शन के लिए तालिका से t का मान चुनें (परिशिष्ट 1 देखें)।
3. सूत्र (6.10) का उपयोग करके विचलन ई की गणना करें।
4. सूत्र (6.12) का उपयोग करके एक आत्मविश्वास अंतराल लिखें, ताकि संभावना बी के साथ असमानता बनी रहे:

.

उदाहरण 5.

यादृच्छिक चर X का सामान्य वितरण होता है। अज्ञात गणितीय अपेक्षा ए की विश्वसनीयता बी = 0.96 के साथ एक अनुमान के लिए विश्वास अंतराल खोजें, यदि दिया गया हो:

1) सामान्य मानक विचलन s = 5;

2) नमूना औसत;

3) नमूना आकार n = 49।

गणितीय अपेक्षा के अंतराल अनुमान के लिए सूत्र (6.15) में ए विश्वसनीयता b के साथ t को छोड़कर सभी मात्राएँ ज्ञात हैं। t का मान (6.14) का उपयोग करके पाया जा सकता है: b = 2Ф(t) = 0.96। एफ(टी) = 0.48.

लाप्लास फ़ंक्शन Ф(t) = 0.48 के लिए परिशिष्ट 1 में तालिका का उपयोग करके, संबंधित मान t = 2.06 ज्ञात करें। इस तरह, . ई के परिकलित मान को सूत्र (6.12) में प्रतिस्थापित करके, आप एक विश्वास अंतराल प्राप्त कर सकते हैं: 30-1.47< a < 30+1,47.

अज्ञात गणितीय अपेक्षा की विश्वसनीयता बी = 0.96 के साथ एक अनुमान के लिए आवश्यक आत्मविश्वास अंतराल बराबर है: 28.53< a < 31,47.

विश्वास अंतराल- एक सांख्यिकीय मात्रा के सीमित मूल्य, जो किसी दिए गए आत्मविश्वास की संभावना के साथ, बड़ी मात्रा का नमूना लेते समय इस अंतराल में होंगे। P(θ - ε) के रूप में दर्शाया जाता है। व्यवहार में, विश्वास संभावना γ को एकता के काफी करीब मूल्यों से चुना जाता है: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99।

सेवा का उद्देश्य. इस सेवा का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल, विचरण के लिए विश्वास अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य शेयर के लिए विश्वास अंतराल;

परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा गया है (उदाहरण देखें)। प्रारंभिक डेटा कैसे भरें, इस पर एक वीडियो निर्देश नीचे दिया गया है।

उदाहरण क्रमांक 1. एक सामूहिक फार्म पर, 1000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण कतरन से गुजरना पड़ा। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ औसतन 4.2 किलोग्राम ऊन की कतरन स्थापित की गई। प्रति भेड़ औसत ऊन कतरन का निर्धारण करते समय नमूने की औसत वर्ग त्रुटि 0.99 की संभावना के साथ निर्धारित करें और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य किस सीमा के भीतर निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है.
उदाहरण क्रमांक 2. मॉस्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के एक बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक दोहराया नमूने द्वारा लिए गए थे। परीक्षण के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी सामग्री स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% के बराबर निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी सामग्री की सीमा 0.683 संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण संख्या 3. 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला कि शैक्षणिक वर्ष के दौरान उनके द्वारा पढ़ी गई पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 के बराबर थी। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, खोजें : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) हम किस संभावना के साथ कह सकते हैं कि इस नमूने से गणना की गई प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं भटकेगी।

आत्मविश्वास अंतराल का वर्गीकरण

मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार के अनुसार:

नमूना प्रकार के अनुसार:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

नमूने को पुनः नमूनाकरण कहा जाता है, यदि चयनित वस्तु अगले वस्तु को चुनने से पहले जनसंख्या में वापस कर दी जाती है। नमूने को गैर-दोहराना कहा जाता है, यदि चयनित वस्तु जनसंख्या में वापस नहीं आती है। व्यवहार में, हम आम तौर पर गैर-दोहराव वाले नमूनों से निपटते हैं।

यादृच्छिक नमूनाकरण के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संबंधित मापदंडों के बीच विसंगति को कहा जाता है प्रतिनिधित्व संबंधी त्रुटि.
सामान्य और नमूना आबादी के मुख्य मापदंडों के पदनाम।

औसत नमूनाकरण त्रुटि सूत्र
पुनः चयन		गैर-दोहरावीय चयन
औसत के लिए	शेयर के लिए	औसत के लिए	शेयर के लिए

नमूना त्रुटि सीमा (Δ) के बीच संबंध कुछ संभावना के साथ गारंटीकृत है Р(टी),और औसत नमूनाकरण त्रुटि का रूप है: या Δ = t·μ, जहां टी- आत्मविश्वास गुणांक, लाप्लास इंटीग्रल फ़ंक्शन की तालिका के अनुसार संभाव्यता स्तर पी (टी) के आधार पर निर्धारित किया जाता है।

विशुद्ध रूप से यादृच्छिक नमूनाकरण विधि का उपयोग करके नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र

सांख्यिकी में अनुमान दो प्रकार के होते हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु लागतएक एकल नमूना आँकड़ा है जिसका उपयोग जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, नमूना माध्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा और नमूना विचरण का एक बिंदु अनुमान है एस 2- जनसंख्या भिन्नता का बिंदु अनुमान σ 2. यह दिखाया गया है कि नमूना माध्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है। एक नमूना माध्य को निष्पक्ष कहा जाता है क्योंकि सभी नमूना माध्य का औसत (समान नमूना आकार के साथ) एन) सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

नमूना विचरण के लिए एस 2जनसंख्या भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमान बन गया σ 2, नमूना विचरण के हर को बराबर सेट किया जाना चाहिए एन – 1 , लेकिन नहीं एन. दूसरे शब्दों में, जनसंख्या भिन्नता सभी संभावित नमूना भिन्नताओं का औसत है।

जनसंख्या मापदंडों का अनुमान लगाते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि नमूना आँकड़े जैसे , विशिष्ट नमूनों पर निर्भर करते हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखना, प्राप्त करना अंतराल अनुमानसामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा, नमूना साधनों के वितरण का विश्लेषण करें (अधिक जानकारी के लिए, देखें)। निर्मित अंतराल को एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर की विशेषता होती है, जो इस संभावना को दर्शाता है कि वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर का सही अनुमान लगाया गया है। किसी विशेषता के अनुपात का अनुमान लगाने के लिए समान आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग किया जा सकता है आरऔर जनसंख्या का मुख्य वितरित जनसमूह।

नोट को प्रारूप में डाउनलोड करें, प्रारूप में उदाहरण

ज्ञात मानक विचलन के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना

जनसंख्या में किसी विशेषता की हिस्सेदारी के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करना

यह खंड विश्वास अंतराल की अवधारणा को श्रेणीबद्ध डेटा तक विस्तारित करता है। इससे हमें जनसंख्या में विशेषता की हिस्सेदारी का अनुमान लगाने की अनुमति मिलती है आरनमूना शेयर का उपयोग करना आरएस= एक्स/एन. जैसा कि संकेत दिया गया है, यदि मात्राएँ एनआरऔर एन(1 - पी)संख्या 5 से अधिक होने पर, द्विपद वितरण को सामान्य के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इसलिए, जनसंख्या में किसी विशेषता के हिस्से का अनुमान लगाना आरएक ऐसे अंतराल का निर्माण करना संभव है जिसका आत्मविश्वास स्तर बराबर हो (1 - α)x100%.

कहाँ पीएस- विशेषता का नमूना अनुपात बराबर एक्स/एन, अर्थात। सफलताओं की संख्या को नमूना आकार से विभाजित किया गया, आर- सामान्य जनसंख्या में विशेषता का हिस्सा, जेड- मानकीकृत सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य, एन- नमूने का आकार।

उदाहरण 3.आइए मान लें कि पिछले महीने के दौरान भरे गए 100 चालानों का एक नमूना सूचना प्रणाली से निकाला गया है। मान लीजिए कि इनमें से 10 चालान त्रुटियों के साथ संकलित किए गए थे। इस प्रकार, आर= 10/100 = 0.1. 95% विश्वास स्तर महत्वपूर्ण मान Z = 1.96 से मेल खाता है।

इस प्रकार, 4.12% से 15.88% चालानों में त्रुटियाँ होने की संभावना 95% है।

किसी दिए गए नमूना आकार के लिए, जनसंख्या में विशेषता के अनुपात वाला आत्मविश्वास अंतराल एक सतत यादृच्छिक चर की तुलना में व्यापक दिखाई देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि निरंतर यादृच्छिक चर के माप में श्रेणीबद्ध डेटा के माप की तुलना में अधिक जानकारी होती है। दूसरे शब्दों में, श्रेणीबद्ध डेटा जो केवल दो मान लेता है, उसमें उनके वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए अपर्याप्त जानकारी होती है।

मेंएक सीमित जनसंख्या से निकाले गए अनुमानों की गणना करना

गणितीय अपेक्षा का अनुमान.अंतिम जनसंख्या के लिए सुधार कारक ( पांचवें वेतन आयोग) का उपयोग किसी कारक द्वारा मानक त्रुटि को कम करने के लिए किया गया था। जनसंख्या पैरामीटर अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल की गणना करते समय, एक सुधार कारक उन स्थितियों में लागू किया जाता है जहां नमूने वापस किए बिना खींचे जाते हैं। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल का आत्मविश्वास स्तर बराबर होता है (1 - α)x100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 4.एक सीमित जनसंख्या के लिए सुधार कारक के उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, आइए ऊपर उदाहरण 3 में चर्चा की गई चालान की औसत राशि के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने की समस्या पर वापस आएं। मान लीजिए कि एक कंपनी प्रति माह 5,000 चालान जारी करती है, और एक्स=110.27 डॉलर, एस= $28.95, एन = 5000, एन = 100, α = 0.05, टी 99 = 1.9842. सूत्र (6) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

किसी सुविधा की हिस्सेदारी का अनुमान.रिटर्न के बिना चुनते समय, आत्मविश्वास स्तर वाले गुण के अनुपात के लिए विश्वास अंतराल बराबर होता है (1 - α)x100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

आत्मविश्वास अंतराल और नैतिक मुद्दे

किसी जनसंख्या का नमूना लेते समय और सांख्यिकीय निष्कर्ष निकालते समय, अक्सर नैतिक मुद्दे उठते हैं। मुख्य बात यह है कि नमूना आँकड़ों के आत्मविश्वास अंतराल और बिंदु अनुमान कैसे सहमत होते हैं। संबंधित विश्वास अंतराल (आमतौर पर 95% विश्वास स्तर पर) और जिस नमूना आकार से वे प्राप्त होते हैं उसे निर्दिष्ट किए बिना प्रकाशन बिंदु अनुमान भ्रम पैदा कर सकते हैं। इससे उपयोगकर्ता को यह आभास हो सकता है कि बिंदु अनुमान बिल्कुल वही है जो उसे पूरी आबादी के गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए चाहिए। इस प्रकार, यह समझना आवश्यक है कि किसी भी शोध में बिंदु अनुमान पर नहीं, बल्कि अंतराल अनुमान पर ध्यान केंद्रित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, नमूना आकारों के सही चयन पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए।

अक्सर, सांख्यिकीय हेरफेर की वस्तुएँ कुछ राजनीतिक मुद्दों पर जनसंख्या के समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण के परिणाम होते हैं। इसी समय, सर्वेक्षण के परिणाम समाचार पत्रों के पहले पन्ने पर प्रकाशित होते हैं, और नमूना त्रुटि और सांख्यिकीय विश्लेषण पद्धति बीच में कहीं प्रकाशित होती है। प्राप्त बिंदु अनुमानों की वैधता साबित करने के लिए, नमूना आकार को इंगित करना आवश्यक है जिसके आधार पर उन्हें प्राप्त किया गया था, आत्मविश्वास अंतराल की सीमाएं और इसके महत्व का स्तर।

अगला नोट

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री का उपयोग प्रबंधकों के लिए किया जाता है। - एम.: विलियम्स, 2004. - पी. 448-462

केंद्रीय सीमा प्रमेयबताता है कि पर्याप्त बड़े नमूना आकार के साथ, साधनों के नमूना वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह संपत्ति जनसंख्या के वितरण के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।