ग्राफ़िक आदिम का निर्माण. सतहों और वस्तुओं के गणितीय मॉडल

पांच उत्तल नियमित बहुफलक के नाम टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन हैं। पॉलीहेड्रा का नाम प्लेटो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने ऑप में। टिमियस (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) ने उन्हें रहस्यवाद दिया। अर्थ; प्लेटो से पहले ज्ञात थे... गणितीय विश्वकोश

नियमित पॉलीहेड्रा के समान... बड़ा सोवियत विश्वकोश

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फ़ेदो, या आत्मा की अमरता पर, जिसका नाम सुकरात के छात्र, फ़ेदो (देखें) के नाम पर रखा गया है, प्लेटो का संवाद सबसे उत्कृष्ट में से एक है। यह प्लेटो का एकमात्र संवाद है जिसे अरस्तू ने नाम दिया है, और उन कुछ संवादों में से एक है जिन्हें प्रामाणिक माना जाता है... ...

विश्वकोश शब्दकोशएफ। ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

प्लेटो के सर्वश्रेष्ठ कलात्मक और दार्शनिक संवादों में से एक, जिसे प्राचीनता और आधुनिक विज्ञान दोनों के सर्वसम्मत फैसले द्वारा प्रामाणिक माना गया है। नवीनतम प्लेटोनिक आलोचना में, उन्होंने केवल इसके लेखन के समय के बारे में तर्क दिया: कुछ ने कहा... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

प्लेटो के लेखन में दार्शनिक विचार- संक्षेप में प्लेटो की दार्शनिक विरासत व्यापक है, इसमें 34 कार्य शामिल हैं, जो लगभग पूरी तरह से संरक्षित हैं और हमारे पास आए हैं। ये रचनाएँ मुख्यतः संवाद के रूप में और सबसे महत्वपूर्ण रूप में लिखी गई हैं अभिनेताउनमें अधिकांश भाग के लिए यह है ... ... विश्व दर्शन का लघु कोश

डोडेकाहेड्रोन नियमित पॉलीहेड्रॉन, या प्लेटोनिक ठोस, सबसे बड़ी संभव समरूपता वाला एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है। एक बहुफलक को नियमित कहा जाता है यदि: यह उत्तल है; इसके सभी फलक इसके प्रत्येक में समान नियमित बहुभुज हैं... विकिपीडिया

प्लेटोनिक ठोस, उत्तल बहुफलक, जिसके सभी फलक समान नियमित बहुभुज हैं और शीर्षों पर सभी बहुफलकीय कोण नियमित और समान हैं (चित्र 1a 1e)। यूक्लिडियन स्पेस ई 3 में पांच पी.एम. हैं, जिन पर डेटा दिया गया है... गणितीय विश्वकोश

आत्मा- [ग्रीक ψυχή], शरीर के साथ मिलकर, एक स्वतंत्र सिद्धांत होने के साथ-साथ एक व्यक्ति की संरचना बनाता है (लेख द्विभाजनवाद, मानवविज्ञान देखें); मनुष्य की छवि में ईश्वर की छवि समाहित है (कुछ चर्च फादरों के अनुसार; दूसरों के अनुसार, ईश्वर की छवि हर चीज़ में निहित है...) रूढ़िवादी विश्वकोश

पुस्तकें

• टिमियस (2011 संस्करण), प्लेटो। प्लेटो का टाइमियस प्लेटो के ब्रह्माण्ड विज्ञान की एकमात्र व्यवस्थित रूपरेखा है, जो अब तक बिखरे हुए और यादृच्छिक रूप में ही सामने आती थी। इसने तिमाईस की महिमा पैदा की...
• आत्मा के बारे में चर्चा प्रश्न. अध्ययन 6, एक्विनास एफ.. 'विवादात्मक प्रश्नों' की शैली (क्वेस्टियोन्स डिस्प्यूटेटे) मध्ययुगीन विश्वविद्यालयों में उपयोग की जाने वाली एक विशेष शैक्षिक शैली है, 'आत्मा के बारे में बहस योग्य प्रश्न' इनमें से एक हैं...

प्रमुख: रुस्तमोवा आर.एम.

प्लेटोनिक ठोसों के घूर्णन के आंकड़े

अनुसंधान समस्या: क्या प्लेटोनिक ठोसों का घूर्णन हमेशा घूर्णन के प्रसिद्ध आंकड़े उत्पन्न करता है: शंकु, सिलेंडर, गेंद।

अध्ययन का उद्देश्य:कई स्थानिक निकाय और आकृतियाँ।

अध्ययन का विषय:प्लेटोनिक ठोस.

इस अध्ययन का उद्देश्य:नियमित पॉलीहेड्रा (प्लेटोनिक ठोस) के घूर्णन आंकड़ों के समूहों की पहचान करें।

परिकल्पना:यदि आप प्लेटोनिक ठोसों में समरूपता के अक्ष पाते हैं, तो इन अक्षों के चारों ओर घूमकर आप घूर्णन के प्रसिद्ध आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं। अनुसंधान के उद्देश्य:

1. प्लेटोनिक ठोसों और उनके गुणों का अध्ययन करें।
2. प्रायोगिक तौर पर नियमित पॉलीहेड्रा (प्लेटोनिक ठोस) के घूर्णन का परीक्षण करें, उनके घूर्णन अक्षों को बदलें।
3. प्लेटोनिक ठोसों के घूर्णन के अक्षों को ढूंढें और पहचानें जो इन पिंडों को घूर्णन के समान आंकड़ों में "रूपांतरित" करने की अनुमति देते हैं।
4. प्लेटोनिक ठोसों को घुमाकर प्राप्त घूर्णन आकृतियों के समूह निर्धारित करें।

अनुसंधान चरण:

पहला चरण सैद्धांतिक है.इस स्तर पर मैंने प्लेटो के ठोस पदार्थों और उनके गुणों का अध्ययन किया।

दूसरा चरण- प्रायोगिक.इसमें नियमित पॉलीहेड्रा के घूर्णन अक्षों को चुनकर प्लेटोनिक ठोसों के घूर्णन पर एक प्रयोग शामिल था

तीसरा चरण - अंतिम।यह प्रयोग के परिणामों को सामान्य बनाने के लिए समर्पित था; नियमित पॉलीहेड्रा को घुमाकर प्राप्त किए गए समान घूर्णन आंकड़ों के समूह बनाए गए थे

घूर्णन के आंकड़े: शंकु, सिलेंडर, एकल-शीट हाइपरबोलॉइड।

प्लेटोनिक ठोस: टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन (घन), इकोसाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन।

घन और इकोसाहेड्रोन में समरूपता के सामान्य अक्ष होते हैं: विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा; इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन के लिए - विपरीत फलकों के केंद्रों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा, जिस पर घूर्णन के समान आंकड़े प्राप्त होते हैं।

नतीजतन, एक टेट्राहेड्रोन के लिए हम घूर्णन की अक्षों का चयन करते हैं: विपरीत चेहरे के केंद्र के साथ टेट्राहेड्रोन के शीर्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा; विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा। टेट्राहेड्रोन को छोड़कर सभी प्लेटोनिक ठोसों में घूर्णन की धुरी समान होती है: विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा; विपरीत फलकों के केंद्रों से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा; दो विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

यदि सीधी रेखा (सतह उत्पन्न करने वाली) घूर्णन अक्ष के लंबवत है, तो एक समतल प्राप्त होता है।

यदि सीधी रेखा (सतह उत्पन्न करने वाली) घूर्णन अक्ष के समानांतर हो, तो एक बेलनाकार सतह प्राप्त होती है।

यदि एक सीधी रेखा (सतह उत्पन्न करने वाली) घूर्णन अक्ष को काटती है, तो एक शंक्वाकार सतह प्राप्त होती है।

यदि एक सीधी रेखा (सतह उत्पन्न करने वाली) घूर्णन अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करती है, तो क्रांति का एक एकल-शीट हाइपरबोलाइड प्राप्त होता है।

प्लेटोनिक ठोसों को घुमाते समय, आप समान घूर्णन आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं:

• टेट्राहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन के घूमने परघूर्णन का आंकड़ा एक एकल-शीट हाइपरबोलॉइड और एक सामान्य आधार के साथ दो शंकु भी है;
• इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन के घूमने पर- दो काटे गए शंकु और एक एकल-शीट हाइपरबोलाइड की एक प्रणाली;
• इकोसाहेड्रोन और क्यूब के घूमने पर- दो शंकु और एक एकल-शीट हाइपरबोलॉइड की एक प्रणाली।

प्लैटोनियन ठोसों की ज्यामिति

परिवर्तन 06/24/2013 से - (जोड़ा गया)

मुख्य पांच प्लेटोनिक ठोस हैं: ऑक्टाहेड्रोन, स्टार टेट्राहेड्रोन, क्यूब, डोडेकाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन।

प्रत्येक ज्यामितीय पैटर्न, चाहे वह परमाणु नाभिक, माइक्रोक्लस्टर, वैश्विक जाली, या ग्रहों, सितारों, आकाशगंगाओं के बीच की दूरी हो, पांच मुख्य "प्लेटोनिक ठोस" में से एक है।

प्रकृति में समान पैटर्न इतनी बार क्यों होते हैं? पहले संकेतों में से एक: गणितज्ञ जानते थे कि इन आकृतियों में हमारे द्वारा बनाई जा सकने वाली किसी भी त्रि-आयामी ज्यामिति की तुलना में अधिक "समरूपता" थी।

रॉबर्ट लॉलर की पुस्तक से "पवित्र ज्यामिति"हम सीख सकते हैं कि हिंदुओं ने प्लेटोनिक सॉलिड्स की ज्यामिति को ध्वनि और प्रकाश (नोट्स और रंग) के लिए देखी जाने वाली ऑक्टेव संरचना में बदल दिया। ग्रीक गणितज्ञ और दार्शनिक पाइथागोरस ने, आवृत्ति को पांच से क्रमिक रूप से विभाजित करने की प्रक्रिया के माध्यम से, सबसे पहले आठ "शुद्ध" ऑक्टेव टोन विकसित किए, जिन्हें डायटोनिक स्केल के रूप में जाना जाता है। उन्होंने एक सिंगल-स्ट्रिंग "मोनोकॉर्ड" लिया और विभिन्न नोट्स बजाते समय सटीक तरंग दैर्ध्य को मापा। पाइथागोरस ने दिखाया कि प्रत्येक नोट की आवृत्ति (या कंपन की दर) को स्ट्रिंग के दो हिस्सों या दो संख्याओं के बीच अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए इसे "डायटोनिक अनुपात" कहा जाता है।

नीचे दी गई तालिका ज्यामिति को हेलिक्स संख्या से संबंधित करते हुए एक विशिष्ट क्रम में सूचीबद्ध करती है फाई(). यह इस बात की पूरी और संपूर्ण तस्वीर देता है कि विभिन्न कंपन एक साथ कैसे काम करते हैं। यह घन के किनारों को "के बराबर लंबाई निर्दिष्ट करने पर आधारित है" 1 " फिर हम अन्य सभी आकृतियों के किनारों की तुलना इस मान से करते हैं, चाहे वे बड़े हों या छोटे। हम जानते हैं कि प्लेटोनिक सॉलिड्स में, प्रत्येक फलक का आकार समान होता है, प्रत्येक कोण समान होता है, प्रत्येक नोड प्रत्येक दूसरे नोड से समान दूरी पर होता है, और प्रत्येक रेखा की लंबाई समान होती है।

1 गोला (कोई चेहरा नहीं) 2 केंद्रीय इकोसाहेड्रोन 1/phi 2 3 ऑक्टाहेड्रोन 1/ √2 4 सितारा चतुष्फलक √2 5 घन 1 6 डोडेकाहेड्रोन 1/फी 7 इकोसाहेड्रोन फी 8 गोला (कोई चेहरा नहीं)

इससे यह समझने में मदद मिलेगी कि कैसे, फाई सर्पिल के कंपन की मदद से, प्लेटोनिक ठोस धीरे-धीरे एक दूसरे में प्रवाहित होते हैं।

ब्रह्मांड की बहुआयामीता

उच्च तलों के साथ प्लेटोनिक ज्यामिति के संबंध की अवधारणा ही उत्पन्न होती है क्योंकि वैज्ञानिक जानते हैं: वहां ज्यामिति होनी चाहिए; उन्होंने इसे समीकरणों में पाया। अदृश्य अतिरिक्त अक्षों को "छिपे हुए" 90° मोड़ों में प्रदर्शित होने के लिए "अधिक स्थान" प्रदान करने के लिए, प्लेटोनिक ज्यामिति की आवश्यकता होती है। जिस तरह से डेटा का विश्लेषण किया जाता है, हर पहलू ज्यामितीय आकारएक भिन्न अक्ष या तल का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें यह घूम सकता है। जब हम फुलर और जेनी के काम को देखना शुरू करते हैं, तो हम देखते हैं कि "छिपे हुए" 90° मोड़ों में मौजूद अन्य विमानों का विचार ज्यामिति के बीच "पवित्र" कनेक्शन के ज्ञान की कमी के आधार पर एक गलत व्याख्या है। और कंपन.

यह बहुत संभव है कि पारंपरिक वैज्ञानिक कभी यह नहीं समझ पाएंगे कि प्राचीन संस्कृतियों में एक "मिस्ड कनेक्शन" रहा होगा जो अंतरिक्ष भौतिकी के सभी आधुनिक सिद्धांतों को काफी सरल और एकीकृत करता है। हालांकि यह अविश्वसनीय लग सकता है कि एक "आदिम" संस्कृति के पास इस प्रकार की जानकारी तक पहुंच रही होगी, सबूत स्पष्ट है। प्रसाद की क्लासिक पुस्तक पढ़ें, अब कोई यह देख सकता है कि वैदिक ब्रह्मांड विज्ञान में वैज्ञानिक महारत हासिल है।

आपको क्या लगता है आप क्या देखते हैं? - यह एक विस्फोटित तारा है जिसमें से धूल निकल रही है... लेकिन यहां स्पष्ट रूप से किसी प्रकार का ऊर्जा क्षेत्र है, जो धूल को एक बहुत ही सटीक ज्यामितीय पैटर्न में विस्तारित होने के कारण संरचित करता है:

समस्या वही विशिष्ट है चुंबकीय क्षेत्रपारंपरिक भौतिक मॉडल ऐसी ज्यामितीय परिशुद्धता की अनुमति ही नहीं देते। वैज्ञानिक वास्तव में नहीं जानते कि ऐसी चीज़ों को कैसे समझा जाए!

नीचे दी गई छवि नई नीहारिका है, जो एक पूर्ण "वर्ग" है। हालाँकि, यह अभी भी द्वि-आयामी सोच है। तीन आयामों में एक वर्ग क्या है?
बेशक, एक घन!

अवरक्त प्रकाश में देखे जाने पर, निहारिका आकाश में चमकदार सफेद आंतरिक कोर के साथ एक विशाल चमकते बक्से जैसा दिखता है। मरता हुआ सितारा MWC 922 सिस्टम के केंद्र में स्थित है और विपरीत ध्रुवों से अपनी अंतड़ियों को अंतरिक्ष में फैलाता है। MWC 922 द्वारा अपनी अधिकांश सामग्री को अंतरिक्ष में उत्सर्जित करने के बाद, यह एक घने तारकीय पिंड में ढह जाएगा, जिसे सफेद बौने के रूप में जाना जाता है, जो मलबे के बादलों में छिपा हुआ है।

हालाँकि यह दूर से संभव है कि तारे का विस्फोट केवल एक ही दिशा में यात्रा करता है, जिससे एक पिरामिड आकार बनता है, आप जो देखते हैं वह अंतरिक्ष में एक पूर्ण घन है। चूँकि घन की चारों भुजाएँ समान लंबाई की हैं और एक-दूसरे से बिल्कुल 90° के कोण पर हैं, और फिर, घन में संरचित "चरण" हैं जो हमने पिछली छवि में देखे थे, वैज्ञानिक पूरी तरह से चकित हैं। घन में "आयताकार" नीहारिका से भी अधिक समरूपता है!

ऐसे पैटर्न सिर्फ अंतरिक्ष की विशालता में ही नहीं दिखते. वे परमाणुओं और अणुओं के सबसे छोटे स्तर पर भी उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, साधारण टेबल नमक की घन संरचना में या सोडियम क्लोराइड. एक पैंग त्साया (जापान) ने एक डोडेकाहेड्रोन के रूप में एल्यूमीनियम-तांबा-लौह मिश्र धातु और एक दशकीय (दस-पक्षीय) प्रिज्म के रूप में एल्यूमीनियम-निकल-कोबाल्ट मिश्र धातु के क्वासिक क्रिस्टल की तस्वीर खींची (फोटो देखें)। समस्या यह है कि आप एकल परमाणुओं को आपस में जोड़कर ऐसे क्रिस्टल नहीं बना सकते.

दूसरा उदाहरण बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट है। संक्षेप में, बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट परमाणुओं का एक बड़ा समूह है जो एक "कण" की तरह व्यवहार करता है प्रत्येक घटक परमाणु एक साथ संपूर्ण संरचना में सभी स्थान और सभी समय पर कब्जा करता है. सभी परमाणुओं को एक ही आवृत्ति पर कंपन करने, एक ही गति से चलने और अंतरिक्ष के एक ही क्षेत्र में स्थित होने के लिए मापा जाता है। यह विरोधाभासी है, लेकिन सिस्टम के विभिन्न हिस्से एक पूरे के रूप में कार्य करते हैं, जिससे व्यक्तित्व के सभी लक्षण खो जाते हैं. यह बिल्कुल "सुपरकंडक्टर" के लिए आवश्यक संपत्ति है। आमतौर पर, बोस-आइंस्टीन संघनन बेहद कम तापमान पर बन सकते हैं। हालाँकि, यह ठीक यही प्रक्रियाएँ हैं जिन्हें हम व्यक्तिगत परमाणु पहचान से रहित माइक्रोक्लस्टर और क्वासिक क्रिस्टल में देखते हैं।

इसी तरह की एक अन्य प्रक्रिया लेजर प्रकाश की क्रिया है, जिसे "सुसंगत" प्रकाश के रूप में जाना जाता है। अंतरिक्ष और समय सभी में लेज़र किरण एकल "फोटॉन" की तरह व्यवहार करती है, यानी, लेजर बीम में अलग-अलग फोटॉन को अलग करना असंभव है।

इसके अलावा, 1960 के दशक के अंत में, अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी हर्बर्ट फ्रोलिच ने सुझाव दिया कि जीवित प्रणालियाँ अक्सर बोस-आइंस्टीन संघनन की तरह व्यवहार करती हैं, केवल बड़े पैमाने पर।

निहारिका की तस्वीरें इस बात का आश्चर्यजनक साक्ष्य पेश करती हैं कि इसमें ज्यामिति काम कर रही है। हेब्रह्माण्ड की शक्तियों में इसकी भूमिका उससे भी बड़ी है जितना अधिकांश लोग विश्वास कर सकते हैं। हमारे वैज्ञानिक इस घटना को मौजूदा पारंपरिक मॉडलों के ढांचे के भीतर ही समझने के लिए संघर्ष कर सकते हैं।

स्टाखोव ए.पी.

"दा विंची कोड", प्लैटोनिक और आर्किमिडीयन ठोस, क्वासिक क्रिस्टल, फुलरीन, पेनरोज़ लैटिस और मदर टीया क्रशेक की कलात्मक दुनिया

टिप्पणी

स्लोवेनियाई कलाकार मत्युष्का तेजा क्रॉसेक के काम के बारे में रूसी भाषी पाठक बहुत कम जानते हैं। वहीं, पश्चिम में इसे "पूर्वी यूरोपीय एस्चर" और विश्व सांस्कृतिक समुदाय के लिए "स्लोवेनियाई उपहार" कहा जाता है। उनकी कलात्मक रचनाएँ नवीनतम वैज्ञानिक खोजों (फुलरीन, डैन शेख्टमैन क्वासिक क्रिस्टल, पेनरोज़ टाइल्स) से प्रेरित हैं, जो बदले में, नियमित और अर्धनियमित बहुभुज (प्लैटोनिक और आर्किमिडीयन ठोस), गोल्डन अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं पर आधारित हैं।

दा विंची कोड क्या है?

निश्चित रूप से प्रत्येक व्यक्ति ने इस सवाल के बारे में एक से अधिक बार सोचा है कि प्रकृति ऐसी अद्भुत सामंजस्यपूर्ण संरचनाएं क्यों बनाने में सक्षम है जो आंखों को प्रसन्न और प्रसन्न करती हैं। क्यों कलाकार, कवि, संगीतकार, वास्तुकार सदी दर सदी कला की अद्भुत कृतियाँ बनाते हैं। उनके सामंजस्य का रहस्य क्या है और इन सामंजस्यपूर्ण प्राणियों के पीछे क्या नियम हैं?

इन कानूनों, "ब्रह्मांड की सद्भाव के नियम" की खोज प्राचीन विज्ञान में शुरू हुई। मानव इतिहास की इसी अवधि के दौरान वैज्ञानिकों ने कई आश्चर्यजनक खोजें कीं जो विज्ञान के पूरे इतिहास में व्याप्त हैं। उनमें से पहले को उचित रूप से हार्मनी को व्यक्त करने वाला एक अद्भुत गणितीय अनुपात माना जाता है। इसे अलग तरह से कहा जाता है: "सुनहरा अनुपात", "सुनहरा नंबर", "सुनहरा औसत", "सुनहरा अनुपात"और भी "दिव्य अनुपात" सुनहरा अनुपातयह भी कहा जाता है पीएचआई की संख्यामहान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िडियास के सम्मान में, जिन्होंने अपनी मूर्तियों में इस संख्या का उपयोग किया था।

लोकप्रिय अंग्रेजी लेखक डैन ब्राउन द्वारा लिखित थ्रिलर "द दा विंची कोड" 21वीं सदी की बेस्टसेलर बन गई है। लेकिन दा विंची कोड का क्या मतलब है? इस प्रश्न के अलग-अलग उत्तर हैं। यह ज्ञात है कि प्रसिद्ध "गोल्डन सेक्शन" लियोनार्डो दा विंची के करीबी ध्यान और आकर्षण का विषय था। इसके अलावा, "गोल्डन सेक्शन" नाम ही लियोनार्डो दा विंची द्वारा यूरोपीय संस्कृति में पेश किया गया था। लियोनार्डो की पहल पर, प्रसिद्ध इतालवी गणितज्ञ और वैज्ञानिक भिक्षु लुका पैसिओली, जो लियोनार्डो दा विंची के मित्र और वैज्ञानिक सलाहकार थे, ने गोल्डन सेक्शन पर विश्व साहित्य में पहला गणितीय कार्य "डिविना प्रोपोर्टियोन" पुस्तक प्रकाशित की, जिसे लेखक ने "डिवाइन" कहा। अनुपात"। यह भी ज्ञात है कि लियोनार्डो ने स्वयं इस प्रसिद्ध पुस्तक का चित्रण किया, इसके लिए 60 अद्भुत चित्र बनाए। ये वे तथ्य हैं, जो सामान्य वैज्ञानिक समुदाय को बहुत अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, जो हमें इस परिकल्पना को आगे बढ़ाने का अधिकार देते हैं कि "दा विंची कोड" "गोल्डन रेशियो" से ज्यादा कुछ नहीं है। और इस परिकल्पना की पुष्टि हार्वर्ड विश्वविद्यालय में छात्रों के लिए एक व्याख्यान में पाई जा सकती है, जो याद दिलाता है मुख्य चरित्रप्रोफेसर द्वारा पुस्तकें "द दा विंची कोड"। लैंगडन:

“अपनी लगभग रहस्यमय उत्पत्ति के बावजूद, PHI नंबर ने अपने तरीके से एक अनूठी भूमिका निभाई। पृथ्वी पर समस्त जीवन के निर्माण की नींव में एक ईंट की भूमिका। सभी पौधे, जानवर और यहां तक ​​कि मनुष्य भी पीएचआई संख्या के मूल अनुपात 1 के बराबर भौतिक अनुपात से संपन्न हैं। प्रकृति में पीएचआई की यह सर्वव्यापकता... सभी जीवित चीजों के संबंध को इंगित करती है। पहले यह माना जाता था कि PHI संख्या ब्रह्मांड के निर्माता द्वारा पूर्व निर्धारित थी। प्राचीन काल के वैज्ञानिकों ने एक दशमलव छह सौ अठारह हज़ारवें भाग को "दिव्य अनुपात" कहा था।

इस प्रकार, प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या PHI = 1.618, जिसे लियोनार्डो दा विंची ने "गोल्डन रेशियो" कहा, "दा विंची कोड" है!

प्राचीन विज्ञान की एक और गणितीय खोज है नियमित पॉलीहेड्राजिनका नाम रखा गया "प्लेटोनिक ठोस"और "अर्धनियमित पॉलीहेड्रा", बुलाया "आर्किमिडीयन ठोस"।ये आश्चर्यजनक रूप से सुंदर स्थानिक ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जो 20वीं शताब्दी की दो सबसे बड़ी वैज्ञानिक खोजों का आधार हैं - quasicrystals(खोज के लेखक इजरायली भौतिक विज्ञानी डैन शेख्टमैन हैं) और फुलरीन(नोबेल पुरस्कार 1996)। ये दो खोजें इस तथ्य की सबसे महत्वपूर्ण पुष्टि हैं कि यह सुनहरा अनुपात है जो प्रकृति का सार्वभौमिक कोड ("दा विंची कोड") है, जो ब्रह्मांड का आधार है।

क्वासीक्रिस्टल और फुलरीन की खोज ने कई समकालीन कलाकारों को ऐसी रचनाएँ बनाने के लिए प्रेरित किया है जो 20वीं सदी की सबसे महत्वपूर्ण भौतिक खोजों को कलात्मक रूप में चित्रित करती हैं। इन्हीं कलाकारों में से एक हैं स्लोवेनियाई कलाकार माँ तेया क्रशेक.यह लेख नवीनतम वैज्ञानिक खोजों के चश्मे से मदर तेया क्रशेक की कलात्मक दुनिया का परिचय देता है।

प्लेटोनिक ठोस

एक व्यक्ति अपनी संपूर्ण सचेत गतिविधि के दौरान नियमित बहुभुजों और बहुफलकों में रुचि दिखाता है - से दो साल का बच्चालकड़ी के घनों से खेलने से लेकर एक परिपक्व गणितज्ञ तक। कुछ नियमित और अर्ध-नियमित पिंड प्रकृति में क्रिस्टल के रूप में पाए जाते हैं, अन्य - वायरस के रूप में जिनकी जांच इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप का उपयोग करके की जा सकती है।

एक नियमित बहुफलक क्या है? नियमित बहुफलक एक ऐसा बहुफलक होता है, जिसके सभी फलक एक-दूसरे के बराबर (या सर्वांगसम) होते हैं और साथ ही नियमित बहुभुज होते हैं। कितने नियमित पॉलीहेड्रा हैं? पहली नज़र में, इस प्रश्न का उत्तर बहुत सरल है - जितने नियमित बहुभुज हैं उतने ही हैं। हालाँकि, ऐसा नहीं है. यूक्लिड के तत्वों में हमें इस बात का पुख्ता प्रमाण मिलता है कि केवल पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं, और उनके फलक केवल तीन प्रकार के नियमित बहुभुज हो सकते हैं: त्रिभुज, चौकोंऔर पंचकोण (नियमित पंचकोण).

कई पुस्तकें पॉलीहेड्रा के सिद्धांत के प्रति समर्पित हैं। सबसे प्रसिद्ध में से एक अंग्रेजी गणितज्ञ एम. वेनिगर की पुस्तक "मॉडल्स ऑफ पॉलीहेड्रा" है। यह पुस्तक 1974 में मीर पब्लिशिंग हाउस द्वारा रूसी अनुवाद में प्रकाशित की गई थी। पुस्तक का पुरालेख बर्ट्रेंड रसेल का एक बयान है: "गणित में न केवल सच्चाई है, बल्कि उच्च सुंदरता भी है - सुंदरता जो तीक्ष्ण और सख्त है, बेहद शुद्ध है और सच्ची पूर्णता के लिए प्रयासरत है, जो केवल कला के महानतम उदाहरणों की विशेषता है।"

पुस्तक तथाकथित के विवरण से शुरू होती है नियमित पॉलीहेड्रा, अर्थात्, एक ही प्रकार के सरलतम नियमित बहुभुजों द्वारा निर्मित बहुफलक। इन्हें आमतौर पर पॉलीहेड्रा कहा जाता है प्लेटोनिक ठोस(चित्र .1) , इसका नाम प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने लेखन में नियमित पॉलीहेड्रा का उपयोग किया था ब्रह्माण्ड विज्ञान

चित्र 1।प्लेटोनिक ठोस: (ए) ऑक्टाहेड्रोन ("अग्नि"), (बी) हेक्साहेड्रोन या क्यूब ("पृथ्वी"),

(सी) ऑक्टाहेड्रोन ("वायु"), (डी) इकोसाहेड्रोन ("जल"), (ई) डोडेकाहेड्रोन ("यूनिवर्सल माइंड")

हम अपना विचार इससे शुरू करेंगे नियमित पॉलीहेड्रा, जिनके चेहरे हैं समबाहु त्रिभुज.पहला है चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-ए)। चतुष्फलक में, तीन समबाहु त्रिभुज एक शीर्ष पर मिलते हैं; साथ ही, उनके आधार एक नया समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। टेट्राहेड्रोन में प्लेटोनिक ठोसों के बीच चेहरों की संख्या सबसे कम होती है और यह एक सपाट नियमित त्रिभुज का त्रि-आयामी एनालॉग होता है, जिसमें नियमित बहुभुजों के बीच भुजाओं की संख्या सबसे कम होती है।

अगला पिंड, जो समबाहु त्रिभुजों से बनता है, कहलाता है अष्टफलक(चित्र 1-बी)। एक अष्टफलक में, चार त्रिभुज एक शीर्ष पर मिलते हैं; परिणाम एक चतुष्कोणीय आधार वाला एक पिरामिड है। यदि आप ऐसे दो पिरामिडों को उनके आधारों से जोड़ते हैं, तो आपको मिलता है सममित शरीरआठ त्रिकोणीय चेहरों के साथ - अष्टफलक.

अब आप पांच समबाहु त्रिभुजों को एक बिंदु पर जोड़ने का प्रयास कर सकते हैं। परिणाम 20 त्रिकोणीय फलकों वाली एक आकृति होगी - विंशतिफलक(चित्र 1-डी)।

अगला सही फार्मबहुभुज - वर्ग।यदि हम तीन वर्गों को एक बिंदु पर जोड़ते हैं और फिर तीन और जोड़ते हैं, तो हमें छह भुजाओं वाला एक आदर्श आकार मिलता है षट्फलकया घनक्षेत्र(चित्र 1-सी)।

अंत में, निम्नलिखित नियमित बहुभुज के उपयोग के आधार पर, एक नियमित बहुफलक के निर्माण की एक और संभावना है - पंचकोण. यदि हम 12 पंचकोणों को इस प्रकार एकत्रित करें कि तीन पंचकोण प्रत्येक बिंदु पर मिलें, तो हमें एक और प्लेटोनिक ठोस मिलता है, जिसे कहा जाता है द्वादशफ़लक(चित्र 1-डी)।

अगला नियमित बहुभुज है षट्भुज. हालाँकि, यदि हम तीन षट्भुजों को एक बिंदु पर जोड़ते हैं, तो हमें एक सतह मिलती है, अर्थात षट्भुजों से त्रि-आयामी आकृति बनाना असंभव है। षट्भुज के ऊपर कोई भी अन्य नियमित बहुभुज बिल्कुल भी ठोस नहीं बन सकता है। इन विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है कि केवल पाँच नियमित बहुफलक हैं, जिनके फलक केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और पंचकोण हो सकते हैं।

सभी के बीच अद्भुत ज्यामितीय संबंध हैं नियमित पॉलीहेड्रा. उदाहरण के लिए, घनक्षेत्र(चित्र.1-बी) और अष्टफलक(चित्र 1-सी) दोहरे हैं, अर्थात्। एक दूसरे से प्राप्त होते हैं यदि एक के चेहरे के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को दूसरे के शीर्ष के रूप में लिया जाता है और इसके विपरीत। इसी प्रकार द्वैत विंशतिफलक(चित्र.1-डी) और द्वादशफ़लक(चित्र.1-डी) . चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-ए) अपने आप में दोहरा है। एक डोडेकाहेड्रोन को एक घन से उसके किनारों पर "छत" बनाकर प्राप्त किया जाता है (यूक्लिडियन विधि); एक टेट्राहेड्रोन के शीर्ष घन के कोई भी चार शीर्ष होते हैं जो एक किनारे के साथ जोड़ीदार रूप से सटे नहीं होते हैं, अर्थात, अन्य सभी नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं घन से प्राप्त किया गया। केवल पांच सही मायने में नियमित बहुफलक के अस्तित्व का तथ्य आश्चर्यजनक है - आखिरकार, विमान पर अनंत रूप से कई नियमित बहुभुज हैं!

प्लेटोनिक ठोसों की संख्यात्मक विशेषताएँ

मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ प्लेटोनिक ठोसचेहरे के किनारों की संख्या है एम,प्रत्येक शीर्ष पर मिलने वाले चेहरों की संख्या, एम,चेहरों की संख्या जी, शीर्षों की संख्या में,पसलियों की संख्या आरऔर समतल कोणों की संख्या यूएक बहुफलक की सतह पर, यूलर ने प्रसिद्ध सूत्र की खोज की और उसे सिद्ध किया

बी पी + जी = 2,

किसी भी उत्तल बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की कनेक्टिंग संख्या। उपरोक्त संख्यात्मक विशेषताएँ तालिका में दी गई हैं। 1.

तालिका नंबर एक

प्लेटोनिक ठोसों की संख्यात्मक विशेषताएँ

बहुतल	किनारे की भुजाओं की संख्या एम	एक शीर्ष पर मिलने वाले चेहरों की संख्या एन	चेहरों की संख्या	शीर्षों की संख्या	पसलियों की संख्या	सतह पर समतल कोणों की संख्या
चतुर्पाश्वीय
हेक्साहेड्रोन (घन)
विंशतिफलक
द्वादशफ़लक

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन में स्वर्णिम अनुपात

डोडेकाहेड्रोन और इसके दोहरे इकोसाहेड्रोन (चित्र 1-डी, ई) के बीच एक विशेष स्थान है प्लेटोनिक ठोस. सबसे पहले इस बात पर जोर देना जरूरी है कि ज्योमेट्री द्वादशफ़लकऔर विंशतिफलकसीधे तौर पर स्वर्णिम अनुपात से संबंधित। दरअसल, किनारे द्वादशफ़लक(चित्र.1-डी) हैं पंचकोण, अर्थात। सुनहरे अनुपात पर आधारित नियमित पंचकोण। अगर आप गौर से देखेंगे विंशतिफलक(चित्र 1-डी), तो आप देख सकते हैं कि इसके प्रत्येक शीर्ष पर पाँच त्रिभुज मिलते हैं, जिनकी बाहरी भुजाएँ बनती हैं पंचकोण. ये तथ्य ही हमें यह समझाने के लिए पर्याप्त हैं कि स्वर्णिम अनुपात इन दोनों के डिज़ाइन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है प्लेटोनिक ठोस.

लेकिन स्वर्णिम अनुपात द्वारा निभाई गई मौलिक भूमिका के लिए गहरे गणितीय प्रमाण मौजूद हैं विंशतिफलकऔर द्वादशफ़लक. यह ज्ञात है कि इन पिंडों में तीन विशिष्ट क्षेत्र होते हैं। पहला (आंतरिक) गोला शरीर में अंकित है और उसके चेहरों को छूता है। आइए हम इस आंतरिक गोले की त्रिज्या को इससे निरूपित करें आर मैं. दूसरा या मध्य गोला इसकी पसलियों को छूता है। आइए हम इस गोले की त्रिज्या को इससे निरूपित करें आरएम.अंत में, तीसरा (बाहरी) क्षेत्र शरीर के चारों ओर वर्णित है और इसके शीर्षों से होकर गुजरता है। आइए हम इसकी त्रिज्या को इससे निरूपित करें आर सी. ज्यामिति में यह सिद्ध हो चुका है कि संकेतित गोले की त्रिज्याओं का मान द्वादशफ़लकऔर विंशतिफलक, इकाई लंबाई का एक किनारा होने पर, सुनहरे अनुपात टी (तालिका 2) के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

तालिका 2

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के क्षेत्रों में स्वर्णिम अनुपात

विंशतिफलक
द्वादशफ़लक

ध्यान दें कि त्रिज्या = का अनुपात समान है विंशतिफलक, और के लिए द्वादशफ़लक. इस प्रकार, यदि द्वादशफ़लकऔर विंशतिफलकसमान अंकित गोले हैं, तो उनके परिबद्ध गोले भी एक दूसरे के बराबर हैं। इस गणितीय परिणाम का प्रमाण इसमें दिया गया है शुरुआतयूक्लिड.

ज्यामिति में, अन्य संबंधों के लिए जाना जाता है द्वादशफ़लकऔर विंशतिफलक, सुनहरे अनुपात के साथ उनके संबंध की पुष्टि करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम लें विंशतिफलकऔर द्वादशफ़लकएक के बराबर किनारे की लंबाई के साथ, और उनके बाहरी क्षेत्र और आयतन की गणना करें, फिर उन्हें सुनहरे अनुपात (तालिका 3) के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

टेबल तीन

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के बाहरी क्षेत्र और आयतन में स्वर्णिम अनुपात

	विंशतिफलक	द्वादशफ़लक
बाह्य क्षेत्र

इस प्रकार, प्राचीन गणितज्ञों द्वारा प्राप्त रिश्तों की एक बड़ी संख्या है, जो वास्तव में उल्लेखनीय तथ्य की पुष्टि करती है स्वर्णिम अनुपात डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन का मुख्य अनुपात है, और यह तथ्य तथाकथित के दृष्टिकोण से विशेष रूप से दिलचस्प है "डोडेकाहेड्रल-आइकोसाहेड्रल सिद्धांत"जिसे हम नीचे देखेंगे.

प्लेटो का ब्रह्माण्ड विज्ञान

ऊपर चर्चा की गई नियमित पॉलीहेड्रा कहलाती है प्लेटोनिक ठोस, क्योंकि उन्होंने ब्रह्मांड की संरचना के बारे में प्लेटो की दार्शनिक अवधारणा में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया था।

प्लेटो (427-347 ईसा पूर्व)

चार पॉलीहेड्रॉन ने इसमें चार सार या "तत्वों" का प्रतिनिधित्व किया। चतुर्पाश्वीयप्रतीकात्मक आग, चूँकि इसका शीर्ष ऊपर की ओर निर्देशित है; विंशतिफलक — पानी, क्योंकि यह सबसे "सुव्यवस्थित" बहुफलक है; घनक्षेत्र — धरती, सबसे "स्थिर" बहुफलक के रूप में; अष्टफलक — वायु, सबसे "हवादार" बहुफलक के रूप में। पाँचवाँ बहुफलक द्वादशफ़लक, सन्निहित "जो कुछ भी मौजूद है", "यूनिवर्सल माइंड", पूरे ब्रह्मांड का प्रतीक था और माना जाता था ब्रह्माण्ड की मुख्य ज्यामितीय आकृति।

प्राचीन यूनानी सामंजस्यपूर्ण संबंधों को ब्रह्मांड का आधार मानते थे, इसलिए उनके चार तत्व निम्नलिखित अनुपात से जुड़े थे: पृथ्वी/जल = वायु/अग्नि। प्लेटो द्वारा "तत्वों" के परमाणुओं को एक वीणा के चार तारों की तरह, पूर्ण सामंजस्य में ट्यून किया गया था। आइए याद रखें कि संगति एक सुखद संगति है। इन पिंडों के संबंध में यह कहना उचित होगा कि तत्वों की ऐसी प्रणाली, जिसमें चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि शामिल थे, को अरस्तू द्वारा विहित किया गया था। ये तत्व कई शताब्दियों तक ब्रह्मांड की चार आधारशिलाएं बने रहे। हमें ज्ञात पदार्थ की चार अवस्थाओं से उनकी पहचान करना काफी संभव है: ठोस, तरल, गैसीय और प्लाज्मा।

इस प्रकार, प्राचीन यूनानियों ने अस्तित्व के "अंत-से-अंत" सामंजस्य के विचार को प्लेटोनिक ठोस पदार्थों में इसके अवतार के साथ जोड़ा। प्रसिद्ध यूनानी विचारक प्लेटो का प्रभाव भी इस पर पड़ा शुरुआतयूक्लिड. यह पुस्तक, जो सदियों से ज्यामिति पर एकमात्र पाठ्यपुस्तक थी, "आदर्श" रेखाओं और "आदर्श" आकृतियों का वर्णन करती है। सबसे "आदर्श" पंक्ति है सीधा, और सबसे "आदर्श" बहुभुज है नियमित बहुभुज,होना बराबर भुजाएँऔर समान कोण. सबसे सरल नियमित बहुभुज पर विचार किया जा सकता है समान भुजाओं वाला त्रिकोण,चूँकि इसमें भुजाओं की संख्या सबसे कम है जो समतल के भाग को सीमित कर सकती है। मुझे आश्चर्य है कि यह क्या शुरुआतयूक्लिड निर्माण के विवरण से शुरू होता है नियमित त्रिकोणऔर पाँच के अध्ययन के साथ समाप्त करें प्लेटोनिक ठोस.नोटिस जो प्लेटोनिक ठोसअंतिम अर्थात् 13वीं पुस्तक समर्पित है शुरू कियायूक्लिड. वैसे, यह तथ्य, अर्थात् नियमित पॉलीहेड्रा के सिद्धांत को अंतिम (अर्थात, मानो सबसे महत्वपूर्ण) पुस्तक में स्थान देना है शुरू कियायूक्लिड ने, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ प्रोक्लस को जन्म दिया, जो यूक्लिड पर एक टिप्पणीकार थे, उन्होंने उन सच्चे लक्ष्यों के बारे में एक दिलचस्प परिकल्पना को सामने रखा, जिन्हें यूक्लिड ने अपना निर्माण करते समय अपनाया था। शुरुआत. प्रोक्लस के अनुसार यूक्लिड ने रचना की शुरुआतज्यामिति को इस रूप में प्रस्तुत करने के उद्देश्य से नहीं, बल्कि "आदर्श" आकृतियों के निर्माण का एक पूर्ण व्यवस्थित सिद्धांत देने के लिए, विशेष रूप से पांच प्लेटोनिक ठोस, साथ ही कुछ पर प्रकाश डाल रहे हैं नवीनतम उपलब्धियाँअंक शास्त्र!

यह कोई संयोग नहीं है कि फुलरीन की खोज के लेखकों में से एक, नोबेल पुरस्कार विजेताहेरोल्ड क्रोटो ने अपने नोबेल व्याख्यान में, समरूपता के बारे में "भौतिक दुनिया की हमारी धारणा का आधार" और इसकी "इसे व्यापक रूप से समझाने के प्रयासों में भूमिका" के बारे में अपनी बात शुरू की। प्लेटोनिक ठोसऔर "सभी चीज़ों के तत्व": "संरचनात्मक समरूपता की अवधारणा प्राचीन काल से चली आ रही है..." सबसे अधिक प्रसिद्ध उदाहरणबेशक, प्लेटो के संवाद "टाइमियस" में पाया जा सकता है, जहां धारा 53 में, "तत्वों" से संबंधित, वह लिखते हैं: "सबसे पहले, यह हर किसी के लिए स्पष्ट है (!) कि आग और पृथ्वी, पानी और वायु शरीर हैं, और प्रत्येक शरीर ठोस है" (!!) प्लेटो इन चार तत्वों की भाषा में रसायन शास्त्र की समस्याओं पर चर्चा करता है और उन्हें चार प्लेटोनिक ठोसों से जोड़ता है (उस समय केवल चार, जब तक कि हिप्पार्कस ने पांचवें की खोज नहीं की - द) डोडेकाहेड्रोन)। हालाँकि पहली नज़र में ऐसा दर्शन कुछ हद तक अनुभवहीन लग सकता है, लेकिन यह इस बात की गहरी समझ का संकेत देता है कि प्रकृति वास्तव में कैसे काम करती है।"

आर्किमिडीयन ठोस

अर्धनियमित पॉलीहेड्रा

और भी बहुत से उत्तम शरीर ज्ञात हैं, कहे जाते हैं अर्धनियमित पॉलीहेड्राया आर्किमिडीयन निकाय.उनके सभी बहुफलकीय कोण समान हैं और सभी फलक नियमित बहुभुज हैं, लेकिन अनेक हैं अलग - अलग प्रकार. 13 अर्धनियमित पॉलीहेड्रा हैं, जिनकी खोज का श्रेय आर्किमिडीज़ को दिया जाता है।

आर्किमिडीज़ (287 ईसा पूर्व - 212 ईसा पूर्व)

गुच्छा आर्किमिडीयन ठोसकई समूहों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से पहले में पाँच पॉलीहेड्रा शामिल हैं, जिनसे प्राप्त किया जाता है प्लेटोनिक ठोसउनके परिणामस्वरूप काट-छाँटकटा हुआ शरीर वह शरीर होता है जिसका ऊपरी भाग कटा हुआ होता है। के लिए प्लेटोनिक ठोसकाट-छाँट इस प्रकार की जा सकती है कि परिणामी नए फलक और पुराने फलक के शेष भाग दोनों नियमित बहुभुज होंगे। जैसे, चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-ए) को छोटा किया जा सकता है ताकि इसके चार त्रिकोणीय चेहरे चार षट्कोणीय चेहरों में बदल जाएं, और उनमें चार नियमित त्रिकोणीय चेहरे जुड़ जाएं। इस प्रकार पाँच प्राप्त किये जा सकते हैं आर्किमिडीयन ठोस: काटे गए टेट्राहेड्रोन, काटे गए हेक्साहेड्रोन (घन), काटे गए ऑक्टाहेड्रोन, काटे गए डोडेकाहेड्रोनऔर काट दिया गया इकोसाहेड्रोन(अंक 2)।

(ए)	(बी)	(वी)

(जी)	(डी)

चित्र 2. आर्किमिडीयन ठोस: (ए) काटे गए टेट्राहेड्रोन, (बी) काटे गए घन, (सी) काटे गए ऑक्टाहेड्रोन, (डी) काटे गए डोडेकाहेड्रोन, (ई) काटे गए इकोसाहेड्रोन

अपने नोबेल व्याख्यान में, फुलरीन की प्रायोगिक खोज के लेखकों में से एक, अमेरिकी वैज्ञानिक स्माले, विशेष रूप से, काटे गए पॉलीहेड्रा के पहले शोधकर्ता के रूप में आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) की बात करते हैं। काट दिया गया इकोसाहेड्रोनहालाँकि, इस चेतावनी के साथ कि शायद आर्किमिडीज़ इसका श्रेय लेता है और, शायद, इकोसाहेड्रोन को उससे बहुत पहले ही काट दिया गया था। स्कॉटलैंड में पाए गए और 2000 ईसा पूर्व के आसपास के लोगों का उल्लेख करना पर्याप्त है। गोले और विभिन्न रूपों में सैकड़ों पत्थर की वस्तुएं (स्पष्ट रूप से अनुष्ठान प्रयोजनों के लिए)। बहुकोणीय आकृति(शरीर सभी तरफ से सपाट से बंधे हुए हैं किनारों), जिसमें इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन शामिल हैं। आर्किमिडीज़ का मूल कार्य, दुर्भाग्य से, बच नहीं पाया है, और इसके परिणाम हमारे पास आए हैं, जैसा कि वे कहते हैं, "सेकंड-हैंड।" पुनर्जागरण के दौरान सब कुछ आर्किमिडीयन ठोसएक के बाद एक फिर से "खोजा" गया। आख़िरकार, केप्लर ने 1619 में अपनी पुस्तक "वर्ल्ड हार्मनी" ("हार्मोनिस मुंडी") में आर्किमिडीयन ठोस - पॉलीहेड्रा के पूरे सेट का व्यापक विवरण दिया, जिसका प्रत्येक चेहरा प्रतिनिधित्व करता है नियमित बहुभुज, और सभी चोटियोंसमतुल्य स्थिति में हैं (जैसे सी 60 अणु में कार्बन परमाणु)। आर्किमिडीज़ ठोस में कम से कम दो होते हैं विभिन्न प्रकार केबहुभुज, 5 के विपरीत प्लेटोनिक ठोस, जिसके सभी फलक समान हैं (उदाहरण के लिए, C 20 अणु में)।

चित्र 3. आर्किमिडीयन काटे गए इकोसाहेड्रोन का निर्माण
प्लेटोनिक आइकोसाहेड्रोन से

तो कैसे डिजाइन करें आर्किमिडीज़ ने इकोसाहेड्रोन को छोटा कर दियासे प्लेटोनिक इकोसाहेड्रोन? उत्तर चित्र का उपयोग करके दर्शाया गया है। 3. वास्तव में, जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है। 1, 5 फलक इकोसाहेड्रोन के 12 शीर्षों में से किसी एक पर एकत्रित होते हैं। यदि प्रत्येक शीर्ष पर इकोसाहेड्रोन के 12 भागों को एक समतल से काट दिया जाए, तो 12 नए पंचकोणीय फलक बनते हैं। मौजूदा 20 चेहरों के साथ, जो इस तरह के काटने के बाद त्रिकोणीय से हेक्सागोनल में बदल गए, वे काटे गए इकोसाहेड्रोन के 32 चेहरे बनाएंगे। इस स्थिति में, 90 किनारे और 60 शीर्ष होंगे।

दूसरा समूह आर्किमिडीयन ठोसदो निकायों से मिलकर बना है जिन्हें कहा जाता है अर्ध-नियमितबहुफलक "अर्ध" कण इस बात पर जोर देता है कि इन पॉलीहेड्रा के चेहरे केवल दो प्रकार के नियमित बहुभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक एक प्रकार का चेहरा दूसरे प्रकार के बहुभुज से घिरा हुआ है। ये दो शरीर कहलाते हैं rhombicuboctahedronऔर icosidodecahedron(चित्र 4)।

चित्र 5. आर्किमिडीयन ठोस: (ए) रंबोक्यूबोक्टाहेड्रॉन, (बी) रंबिकोसिडोडेकेहेड्रॉन

अंत में, दो तथाकथित "स्नब" संशोधन हैं - एक क्यूब के लिए ( स्नब क्यूब), डोडेकाहेड्रोन के लिए दूसरा ( स्नब डोडेकाहेड्रोन) (चित्र 6)।

(ए)	(बी)

चित्र 6.आर्किमिडीयन ठोस: (ए) स्नब क्यूब, (बी) स्नब डोडेकाहेड्रोन

वेनिगर की उपरोक्त पुस्तक "मॉडल्स ऑफ पॉलीहेड्रा" (1974) में पाठक 75 पा सकते हैं विभिन्न मॉडलनियमित पॉलीहेड्रा. "पॉलीहेड्रा का सिद्धांत, विशेष रूप से उत्तल पॉलीहेड्रा, ज्यामिति के सबसे आकर्षक अध्यायों में से एक है"यह रूसी गणितज्ञ एल.ए. की राय है। ल्यूस्टर्नक, जिन्होंने गणित के इस क्षेत्र में बहुत कुछ किया। इस सिद्धांत का विकास उत्कृष्ट वैज्ञानिकों के नाम से जुड़ा है। जोहान्स केपलर (1571-1630) ने पॉलीहेड्रा के सिद्धांत के विकास में महान योगदान दिया। एक समय में उन्होंने एक स्केच "अबाउट ए स्नोफ्लेक" लिखा था, जिसमें उन्होंने निम्नलिखित टिप्पणी की थी: "नियमित पिंडों में, सबसे पहला, आरंभ और बाकियों का पूर्वज घन है, और यदि मैं ऐसा कह सकूं तो इसका जीवनसाथी अष्टफलक है, क्योंकि अष्टफलक में उतने ही कोण होते हैं जितने घन के फलक होते हैं।"केपलर सबसे पहले प्रकाशित हुआ था पूरी सूचीतेरह आर्किमिडीयन ठोसऔर उन्हें वे नाम दिये जिनसे वे आज जाने जाते हैं।

केप्लर तथाकथित का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे स्टार पॉलीहेड्रा,जो, प्लेटोनिक और आर्किमिडीयन ठोसों के विपरीत, नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा हैं। पिछली शताब्दी की शुरुआत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ और मैकेनिक एल. पॉइन्सॉट (1777-1859), जिनके तारकीय पॉलीहेड्रा से संबंधित ज्यामितीय कार्य थे, ने केप्लर के कार्य को विकसित किया और दो और प्रकार के नियमित गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा के अस्तित्व की खोज की। तो, केप्लर और पॉइन्सॉट के काम के लिए धन्यवाद, चार प्रकार की ऐसी आकृतियाँ ज्ञात हुईं (चित्र 7)। 1812 में, ओ. कॉची ने साबित किया कि कोई अन्य नियमित तारकीय पॉलीहेड्रा मौजूद नहीं है।

चित्र 7.नियमित तारकीय पॉलीहेड्रा (पॉइंसॉट ठोस)

कई पाठक पूछ सकते हैं: “आख़िर नियमित पॉलीहेड्रा का अध्ययन क्यों करें? इनका क्या उपयोग है? इस प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है: “संगीत या कविता का क्या लाभ है? क्या हर सुन्दर चीज़ उपयोगी है? चित्र में दिखाए गए पॉलीहेड्रा के मॉडल। 1-7, सबसे बढ़कर, हम पर सौंदर्यात्मक प्रभाव डालते हैं और इन्हें सजावटी सजावट के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। लेकिन वास्तव में, प्राकृतिक संरचनाओं में नियमित पॉलीहेड्रा की व्यापक उपस्थिति ने ज्यामिति की इस शाखा में भारी रुचि पैदा कर दी है आधुनिक विज्ञान.

मिस्र के कैलेंडर का रहस्य

कैलेंडर क्या है?

एक रूसी कहावत है: "समय इतिहास की आँख है।" ब्रह्माण्ड में जो कुछ भी मौजूद है: सूर्य, पृथ्वी, तारे, ग्रह, ज्ञात और अज्ञात दुनिया, और जो कुछ भी प्रकृति में मौजूद है, जीवित और निर्जीव, हर चीज का एक स्थान-समय आयाम है। समय को एक निश्चित अवधि की समय-समय पर दोहराई जाने वाली प्रक्रियाओं का अवलोकन करके मापा जाता है।

प्राचीन काल में भी, लोगों ने देखा कि दिन हमेशा रात का रास्ता देता है, और मौसम एक सख्त क्रम में गुजरते हैं: सर्दी के बाद वसंत आता है, वसंत के बाद गर्मी आती है, गर्मी के बाद शरद ऋतु आती है। इन घटनाओं के समाधान की तलाश में, मनुष्य ने स्वर्गीय पिंडों - सूर्य, चंद्रमा, सितारों - और आकाश में उनकी गतिविधियों की सख्त आवधिकता पर ध्यान दिया। ये पहले अवलोकन थे जो सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक - खगोल विज्ञान के जन्म से पहले थे।

खगोल विज्ञान समय को मापने के लिए गति को आधार के रूप में उपयोग करता है। खगोलीय पिंड, जो तीन कारकों को दर्शाता है: पृथ्वी का अपनी धुरी के चारों ओर घूमना, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की परिक्रमा और सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति। समय की विभिन्न अवधारणाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि समय की माप इनमें से किस घटना पर आधारित है। खगोल विज्ञान जानता है तारकीयसमय, धूप वालासमय, स्थानीयसमय, कमरसमय, प्रसूति अवकाशसमय, परमाणुसमय, आदि

सूर्य, अन्य सभी प्रकाशमानों की तरह, आकाश में गति में भाग लेता है। दैनिक गति के अलावा, सूर्य की एक तथाकथित वार्षिक गति भी होती है, और आकाश में सूर्य की वार्षिक गति के पूरे पथ को कहा जाता है क्रांतिवृत्त।यदि, उदाहरण के लिए, हम शाम के एक निश्चित समय पर नक्षत्रों की स्थिति को देखते हैं, और फिर हर महीने इस अवलोकन को दोहराते हैं, तो आकाश की एक अलग तस्वीर हमारे सामने आएगी। तारों वाले आकाश की उपस्थिति लगातार बदलती रहती है: प्रत्येक मौसम में शाम के नक्षत्रों का अपना पैटर्न होता है, और ऐसा प्रत्येक पैटर्न हर साल दोहराया जाता है। परिणामस्वरूप, एक वर्ष के बाद, सूर्य तारों के सापेक्ष अपने मूल स्थान पर लौट आता है।

तारों की दुनिया में अभिविन्यास की आसानी के लिए, खगोलविदों ने पूरे आकाश को 88 नक्षत्रों में विभाजित किया है। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है। 88 नक्षत्रों में से, खगोल विज्ञान में एक विशेष स्थान उन नक्षत्रों का है जिनसे होकर क्रांतिवृत्त गुजरता है। इन नक्षत्रों के अपने नाम के अतिरिक्त एक सामान्य नाम भी होता है - राशि(ग्रीक शब्द "ज़ूप" = जानवर से), साथ ही दुनिया भर में व्यापक रूप से जाने जाने वाले प्रतीक (संकेत) और कैलेंडर प्रणालियों में शामिल विभिन्न रूपक छवियां।

यह ज्ञात है कि क्रांतिवृत्त के साथ घूमने की प्रक्रिया में, सूर्य 13 नक्षत्रों को पार करता है। हालाँकि, खगोलविदों ने सूर्य के पथ को 13 नहीं, बल्कि 12 भागों में विभाजित करना आवश्यक समझा, जिसके तहत वृश्चिक और ओफ़िचस नक्षत्रों को एक में मिला दिया गया। साधारण नामवृश्चिक (क्यों?)

समय मापने की समस्याओं को एक विशेष विज्ञान द्वारा निपटाया जाता है जिसे कहा जाता है कालक्रमयह मानव जाति द्वारा बनाई गई सभी कैलेंडर प्रणालियों का आधार है। प्राचीन काल में कैलेंडरों का निर्माण इन्हीं में से एक था सबसे महत्वपूर्ण कार्यखगोल विज्ञान

"कैलेंडर" क्या है और यह कितने प्रकार का होता है? कैलेंडर सिस्टम? शब्द पंचांगलैटिन शब्द से आया है कैलेन्डेरियम, जिसका शाब्दिक अर्थ है "ऋण बही"; ऐसी पुस्तकों में प्रत्येक माह के पहले दिन दर्शाए जाते थे - कलेंड्स,जिसमें प्राचीन रोम में देनदार ब्याज चुकाते थे।

प्राचीन काल से ही पूर्वी और दक्षिण पूर्व एशिया के देशों में कैलेंडरों का संकलन किया जाता रहा है बडा महत्वसूर्य, चंद्रमा और अन्य की गतिविधियों को भी आवधिकता दी बृहस्पतिऔर शनि ग्रह, दो विशाल ग्रह सौर परिवार. यह मानने का कारण है कि सृजन का विचार जोवियन कैलेंडरघूर्णन से जुड़े 12-वर्षीय पशु चक्र के खगोलीय प्रतीकवाद के साथ बृहस्पतिसूर्य के चारों ओर, जो लगभग 12 वर्षों (11.862 वर्ष) में सूर्य के चारों ओर एक पूर्ण परिक्रमा करता है। वहीं, सौर मंडल का दूसरा विशाल ग्रह है शनि ग्रहलगभग 30 वर्षों (29.458 वर्ष) में सूर्य के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति करता है। विशाल ग्रहों की गति के चक्रों में सामंजस्य बिठाने की चाहत में, प्राचीन चीनी सौर मंडल के 60-वर्षीय चक्र को शुरू करने का विचार लेकर आए। इस चक्र के दौरान, शनि सूर्य के चारों ओर 2 पूर्ण चक्कर लगाता है, और बृहस्पति 5 चक्कर लगाता है।

वार्षिक कैलेंडर बनाते समय, खगोलीय घटनाओं का उपयोग किया जाता है: दिन और रात का परिवर्तन, परिवर्तन चंद्र चरणऔर ऋतुओं का परिवर्तन. विभिन्न खगोलीय घटनाओं के उपयोग से विभिन्न लोगों के बीच तीन प्रकार के कैलेंडर का निर्माण हुआ: चंद्र,चंद्रमा की गति के आधार पर, धूप वाला,सूर्य की गति पर आधारित, और चंद्र-सौर.

मिस्र के कैलेंडर की संरचना

पहले सौर कैलेंडरों में से एक था मिस्र के, चौथी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बनाया गया। मूल मिस्री कैलेंडर वर्ष में 360 दिन होते थे। वर्ष को ठीक 30 दिनों के 12 महीनों में विभाजित किया गया था। हालाँकि, बाद में यह पता चला कि कैलेंडर वर्ष की यह लंबाई खगोलीय वर्ष के अनुरूप नहीं है। और फिर मिस्रवासियों ने कैलेंडर वर्ष में 5 और दिन जोड़ दिए, जो, हालांकि, महीने के दिन नहीं थे। 5 बज रहे थे छुट्टियां, पड़ोसी कैलेंडर वर्षों को जोड़ना। इस प्रकार, मिस्र के कैलेंडर वर्ष की संरचना निम्नलिखित थी: 365 = 12ґ 30 + 5। ध्यान दें कि मिस्र का कैलेंडर आधुनिक कैलेंडर का प्रोटोटाइप है।

सवाल उठता है: मिस्रवासियों ने कैलेंडर वर्ष को 12 महीनों में क्यों विभाजित किया? आख़िरकार, साल में महीनों की अलग-अलग संख्या वाले कैलेंडर मौजूद थे। उदाहरण के लिए, माया कैलेंडर में, वर्ष में प्रति माह 20 दिनों के साथ 18 महीने होते थे। मिस्र के कैलेंडर के संबंध में अगला प्रश्न: प्रत्येक महीने में ठीक 30 दिन (अधिक सटीक रूप से, दिन) क्यों होते थे? मिस्र की समय माप प्रणाली के बारे में भी कुछ प्रश्न उठाए जा सकते हैं, विशेष रूप से समय की ऐसी इकाइयों की पसंद के संबंध में घंटा, मिनट, सेकंड.विशेष रूप से, सवाल उठता है: घंटे की इकाई को इस तरह से क्यों चुना गया कि यह एक दिन में बिल्कुल 24 बार फिट बैठता है, यानी, 1 दिन = 24 (2½ 12) घंटे क्यों? अगला: 1 घंटा = 60 मिनट, और 1 मिनट = 60 सेकंड क्यों? यही प्रश्न विशेष रूप से कोणीय मात्राओं की इकाइयों के चयन पर भी लागू होते हैं: वृत्त को 360° में क्यों विभाजित किया जाता है, अर्थात 2p =360° =12ґ 30° क्यों? इन प्रश्नों में अन्य प्रश्न भी शामिल हैं, विशेष रूप से: खगोलविदों को यह विश्वास करना क्यों उचित लगा कि 12 हैं राशिसंकेत, हालाँकि वास्तव में, अण्डाकार के साथ अपनी गति के दौरान, सूर्य 13 नक्षत्रों को पार करता है? और एक और "अजीब" प्रश्न: बेबीलोनियाई संख्या प्रणाली का आधार बहुत ही असामान्य क्यों था - संख्या 60?

मिस्र के कैलेंडर और डोडेकाहेड्रोन की संख्यात्मक विशेषताओं के बीच संबंध

मिस्र के कैलेंडर के साथ-साथ समय और कोणीय मूल्यों को मापने के लिए मिस्र की प्रणालियों का विश्लेषण करते हुए, हम पाते हैं कि चार संख्याओं को आश्चर्यजनक निरंतरता के साथ दोहराया जाता है: 12, 30, 60 और उनसे प्राप्त संख्या 360 = 12ґ 30। प्रश्न उठता है: है क्या कोई मौलिक वैज्ञानिक विचार है जो मिस्र प्रणालियों में इन संख्याओं के उपयोग के लिए एक सरल और तार्किक स्पष्टीकरण प्रदान कर सके?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक बार फिर से देखें द्वादशफ़लक, चित्र में दिखाया गया है। 1-डी. आइए याद रखें कि डोडेकाहेड्रोन के सभी ज्यामितीय अनुपात सुनहरे अनुपात पर आधारित हैं।

क्या मिस्रवासी डोडेकाहेड्रोन को जानते थे? गणित के इतिहासकार मानते हैं कि प्राचीन मिस्रवासियों को नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में जानकारी थी। लेकिन क्या वे विशेष रूप से सभी पांच नियमित पॉलीहेड्रा को जानते थे द्वादशफ़लकऔर विंशतिफलकसबसे कठिन क्या हैं? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ प्रोक्लस नियमित पॉलीहेड्रा के निर्माण का श्रेय पाइथागोरस को देते हैं। लेकिन कई गणितीय प्रमेय और परिणाम (विशेष रूप से पाइथागोरस प्रमेय) पाइथागोरस ने मिस्र की अपनी बहुत लंबी "व्यावसायिक यात्रा" के दौरान प्राचीन मिस्रवासियों से उधार लिया था (कुछ जानकारी के अनुसार, पाइथागोरस 22 वर्षों तक मिस्र में रहे थे!)। इसलिए, हम मान सकते हैं कि पाइथागोरस ने प्राचीन मिस्रवासियों (और शायद प्राचीन बेबीलोनियों से) से नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में ज्ञान उधार लिया होगा, क्योंकि किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस रहते थे प्राचीन बेबीलोन 12 साल पुराना)। लेकिन अन्य, अधिक ठोस सबूत हैं कि मिस्रवासियों को सभी पांच नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में जानकारी थी। विशेष रूप से, ब्रिटिश संग्रहालय में टॉलेमिक युग की एक डाई रखी हुई है, जिसका आकार वैसा ही है विंशतिफलक, वह है, "प्लेटोनिक सॉलिड", दोहरा द्वादशफ़लक. ये सभी तथ्य हमें यह परिकल्पना प्रस्तुत करने का अधिकार देते हैं डोडेकाहेड्रोन मिस्रवासियों को ज्ञात था।और यदि ऐसा है, तो इस परिकल्पना से एक बहुत सामंजस्यपूर्ण प्रणाली निकलती है, जो हमें मिस्र के कैलेंडर की उत्पत्ति की व्याख्या करने की अनुमति देती है, और साथ ही समय अंतराल और ज्यामितीय कोणों को मापने की मिस्र प्रणाली की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

पहले, हमने स्थापित किया था कि डोडेकाहेड्रोन की सतह पर 12 फलक, 30 किनारे और 60 समतल कोण होते हैं (तालिका 1)। उस परिकल्पना के आधार पर जिसे मिस्रवासी जानते थे द्वादशफ़लकऔर इसकी संख्यात्मक विशेषताएँ 12, 30.60 हैं, तो उन्हें आश्चर्य क्या हुआ जब उन्हें पता चला कि वही संख्याएँ सौर मंडल के चक्रों को व्यक्त करती हैं, अर्थात्, बृहस्पति का 12-वर्षीय चक्र, शनि का 30-वर्षीय चक्र और, अंततः, सौर मंडल का 60-वर्षीय ग्रीष्म चक्र। इस प्रकार, इस तरह के एक आदर्श स्थानिक आकृति के बीच द्वादशफ़लक, और सौर मंडल, एक गहरा गणितीय संबंध है! यह निष्कर्ष प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा बनाया गया था। इससे यह तथ्य सामने आया कि द्वादशफ़लकको "मुख्य व्यक्ति" के रूप में अपनाया गया जो प्रतीक था ब्रह्मांड की सद्भावना. और फिर मिस्रवासियों ने निर्णय लिया कि उनकी सभी मुख्य प्रणालियाँ (कैलेंडर प्रणाली, समय माप प्रणाली, कोण माप प्रणाली) संख्यात्मक मापदंडों के अनुरूप होनी चाहिए द्वादशफ़लक! चूंकि, पूर्वजों के अनुसार, क्रांतिवृत्त के साथ सूर्य की गति सख्ती से गोलाकार थी, तो, राशि चक्र के 12 संकेतों को चुनकर, जिनके बीच चाप की दूरी बिल्कुल 30 डिग्री थी, मिस्रवासियों ने आश्चर्यजनक रूप से सूर्य की वार्षिक गति का समन्वय किया। उनके कैलेंडर वर्ष की संरचना के साथ क्रांतिवृत्त के साथ: एक महीना राशि चक्र के दो पड़ोसी राशियों के बीच क्रांतिवृत्त के साथ सूर्य की गति के अनुरूप होता है!इसके अलावा, सूर्य की एक डिग्री की गति मिस्र के कैलेंडर वर्ष में एक दिन के अनुरूप होती है! इस स्थिति में, क्रांतिवृत्त स्वचालित रूप से 360° में विभाजित हो गया। डोडेकाहेड्रोन का अनुसरण करते हुए, प्रत्येक दिन को दो भागों में विभाजित करने के बाद, मिस्रवासियों ने दिन के प्रत्येक आधे हिस्से को 12 भागों (12 मुखों) में विभाजित किया द्वादशफ़लक) और इस प्रकार परिचय हुआ घंटा- समय की सबसे महत्वपूर्ण इकाई. एक घंटे को 60 मिनट में विभाजित करना (सतह पर 60 समतल कोण)। द्वादशफ़लक), मिस्रवासियों ने इस तरह से परिचय दिया मिनट- समय की अगली महत्वपूर्ण इकाई। इसी तरह उन्होंने परिचय दिया मुझे एक सेकंड दे- उस अवधि के लिए समय की सबसे छोटी इकाई।

इस प्रकार, चयन द्वादशफ़लकब्रह्मांड की मुख्य "हार्मोनिक" आकृति के रूप में, और डोडेकाहेड्रॉन 12, 30, 60 की संख्यात्मक विशेषताओं का सख्ती से पालन करते हुए, मिस्रवासी एक बेहद सामंजस्यपूर्ण कैलेंडर, साथ ही समय और कोणीय मूल्यों को मापने के लिए सिस्टम बनाने में कामयाब रहे। ये प्रणालियाँ सुनहरे अनुपात पर आधारित उनके "सद्भाव के सिद्धांत" के साथ पूरी तरह से सुसंगत थीं, क्योंकि यह वह अनुपात है जो इसका आधार है द्वादशफ़लक.

तुलना से ये आश्चर्यजनक निष्कर्ष निकलते हैं: द्वादशफ़लकसौर मंडल के साथ. और यदि हमारी परिकल्पना सही है (कोई इसका खंडन करने का प्रयास करे), तो इसका तात्पर्य यह है कि कई सहस्राब्दियों से मानवता जीवित रही है स्वर्णिम अनुपात के चिह्न के अंतर्गत! और हर बार हम अपनी घड़ी के डायल को देखते हैं, जो संख्यात्मक विशेषताओं के उपयोग पर भी बनाया गया है द्वादशफ़लक 12, 30 और 60, हम मुख्य "ब्रह्मांड के रहस्य" को छूते हैं - सुनहरा अनुपात, इसे जाने बिना भी!

डैन शेख्टमैन द्वारा क्वासिक्रिस्टल

12 नवंबर, 1984 को प्रतिष्ठित पत्रिका फिजिकल रिव्यू लेटर्स में इजरायली भौतिक विज्ञानी डैन शेचटमैन द्वारा प्रकाशित एक लघु पेपर ने असाधारण गुणों वाले धातु मिश्र धातु के अस्तित्व के लिए प्रायोगिक साक्ष्य प्रदान किए। जब इलेक्ट्रॉन विवर्तन विधियों द्वारा अध्ययन किया गया, तो इस मिश्र धातु में क्रिस्टल के सभी लक्षण दिखाई दिए। इसका विवर्तन पैटर्न बिल्कुल क्रिस्टल की तरह चमकीले और नियमित रूप से दूरी वाले बिंदुओं से बना है। हालाँकि, यह चित्र "आइकोसाहेड्रल" या "पेंटागोनल" समरूपता की उपस्थिति की विशेषता है, जो कि ज्यामितीय कारणों से क्रिस्टल में सख्त वर्जित है। ऐसे असामान्य मिश्रधातु कहलाये quasicrystals.एक वर्ष से भी कम समय में, इस प्रकार की कई अन्य मिश्रधातुओं की खोज की गई। उनमें से इतने सारे थे कि क्वासिक्रिस्टलाइन अवस्था किसी की कल्पना से कहीं अधिक सामान्य हो गई।

इज़राइली भौतिक विज्ञानी डैन शेख्टमैन

क्वासिक क्रिस्टल की अवधारणा मौलिक रुचि की है क्योंकि यह क्रिस्टल की परिभाषा को सामान्यीकृत और पूर्ण करती है। इस अवधारणा पर आधारित एक सिद्धांत सदियों पुराने विचार को प्रतिस्थापित करता है " संरचनात्मक इकाई, अंतरिक्ष में कड़ाई से आवधिक तरीके से दोहराया गया", मुख्य अवधारणा लंबी दूरी का आदेश.जैसा कि प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी डी. ग्रेटिया के लेख "क्वासिक्रिस्टल" में जोर दिया गया है, “इस अवधारणा ने क्रिस्टलोग्राफी के विस्तार को जन्म दिया, नई खोजी गई संपदा जिसकी हमने अभी खोज शुरू ही की है। खनिजों की दुनिया में इसके महत्व को गणित में तर्कसंगत संख्याओं में अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को जोड़ने के बराबर रखा जा सकता है।"

क्वासिक्रिस्टल क्या है? इसके गुण क्या हैं और इसका वर्णन कैसे किया जा सकता है? जैसा कि ऊपर बताया गया है, के अनुसार क्रिस्टलोग्राफी का मूल नियमक्रिस्टल संरचना पर सख्त प्रतिबंध लगाए गए हैं। शास्त्रीय अवधारणाओं के अनुसार, एक क्रिस्टल एक एकल कोशिका से अनंत काल तक बना होता है, जिसे बिना किसी प्रतिबंध के पूरे तल को कसकर (आमने-सामने) "कवर" करना चाहिए।

जैसा कि ज्ञात है, विमान की सघन फिलिंग का उपयोग करके किया जा सकता है त्रिभुज(चित्र.7-ए), चौकों(चित्र.7-बी) और षट्कोण(चित्र.7-डी). का उपयोग करके पंचकोण (पेंटागन) ऐसा भरना असंभव है (चित्र 7-सी)।

ए)	बी)	वी)	जी)

चित्र 7.समतल का सघन भराव त्रिभुज (ए), वर्ग (बी) और षट्कोण (डी) का उपयोग करके किया जा सकता है।

ये पारंपरिक क्रिस्टलोग्राफी के सिद्धांत थे, जो एल्यूमीनियम और मैंगनीज के एक असामान्य मिश्र धातु की खोज से पहले मौजूद थे, जिसे क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता है। ऐसा मिश्रधातु 10 6 K प्रति सेकंड की दर से पिघले हुए पदार्थ के अति-तेज़ ठंडा होने से बनता है। इसके अलावा, ऐसे मिश्र धातु के विवर्तन अध्ययन के दौरान, स्क्रीन पर एक क्रमबद्ध पैटर्न दिखाई देता है, जो एक इकोसाहेड्रोन की समरूपता की विशेषता है, जिसमें प्रसिद्ध निषिद्ध 5-क्रम समरूपता अक्ष हैं।

अगले कुछ वर्षों में दुनिया भर के कई वैज्ञानिक समूहों ने इस असामान्य मिश्र धातु का अध्ययन किया इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपीउच्च संकल्प। उन सभी ने पदार्थ की आदर्श एकरूपता की पुष्टि की, जिसमें परमाणुओं (कई दसियों नैनोमीटर) के करीब आयामों के साथ मैक्रोस्कोपिक क्षेत्रों में 5 वें क्रम की समरूपता संरक्षित की गई थी।

आधुनिक विचारों के अनुसार, क्वासिक क्रिस्टल की क्रिस्टल संरचना प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित मॉडल विकसित किया गया है। यह मॉडल "मूल तत्व" की अवधारणा पर आधारित है। इस मॉडल के अनुसार, एल्यूमीनियम परमाणुओं का एक आंतरिक इकोसाहेड्रोन मैंगनीज परमाणुओं के एक बाहरी इकोसाहेड्रोन से घिरा हुआ है। इकोसाहेड्रोन मैंगनीज परमाणुओं के अष्टफलक से जुड़े होते हैं। "आधार तत्व" में 42 एल्यूमीनियम परमाणु और 12 मैंगनीज परमाणु होते हैं। जमने की प्रक्रिया के दौरान, "बुनियादी तत्वों" का तेजी से निर्माण होता है, जो कठोर अष्टफलकीय "पुलों" द्वारा जल्दी से एक दूसरे से जुड़े होते हैं। याद रखें कि इकोसाहेड्रोन के फलक समबाहु त्रिभुज हैं। एक अष्टफलकीय मैंगनीज पुल बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि दो ऐसे त्रिकोण (प्रत्येक कोशिका में एक) एक-दूसरे के काफी करीब आएं और समानांतर में पंक्तिबद्ध हों। इसके चलते यह हुआ भौतिक प्रक्रियाऔर "आइकोसाहेड्रल" समरूपता के साथ एक अर्धक्रिस्टलीय संरचना बनती है।

हाल के दशकों में, कई प्रकार के क्वासिक्रिस्टलाइन मिश्र धातुओं की खोज की गई है। "आइकोसाहेड्रल" समरूपता (5वां क्रम) वाले मिश्रधातुओं के अलावा, दशकोणीय समरूपता (10वां क्रम) और डोडेकागोनल समरूपता (12वां क्रम) वाले मिश्रधातु भी होते हैं। क्वासीक्रिस्टल के भौतिक गुणों का अध्ययन हाल ही में शुरू हुआ है।

क्वासीक्रिस्टल की खोज का व्यावहारिक महत्व क्या है? जैसा कि ग्रैटिया के ऊपर उल्लिखित लेख में बताया गया है, « यांत्रिक शक्तिक्वासिक्रिस्टलाइन मिश्र धातु तेजी से बढ़ती है; आवधिकता की अनुपस्थिति पारंपरिक धातुओं की तुलना में अव्यवस्थाओं के प्रसार में मंदी की ओर ले जाती है... यह संपत्ति बहुत व्यावहारिक महत्व की है: इकोसाहेड्रल चरण के उपयोग से छोटे कणों को पेश करके प्रकाश और बहुत मजबूत मिश्र धातु प्राप्त करना संभव हो जाएगा। एल्यूमीनियम मैट्रिक्स में क्वासिक्रिस्टल।"

क्वासिक्रिस्टल की खोज का पद्धतिगत महत्व क्या है? सबसे पहले, क्वासिक क्रिस्टल की खोज "डोडेकाहेड्रल-इकोसाहेड्रल सिद्धांत" की महान विजय का क्षण है, जो प्राकृतिक विज्ञान के पूरे इतिहास में व्याप्त है और गहरे और उपयोगी वैज्ञानिक विचारों का स्रोत है। दूसरे, क्वासिक क्रिस्टल ने खनिजों की दुनिया के बीच एक दुर्गम विभाजन के पारंपरिक विचार को नष्ट कर दिया, जिसमें "पेंटागोनल" समरूपता निषिद्ध थी, और जीवित प्रकृति की दुनिया, जहां "पेंटागोनल" समरूपता सबसे आम में से एक है। और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि इकोसाहेड्रोन का मुख्य अनुपात "सुनहरा अनुपात" है। और क्वासिक्रिस्टल की खोज एक और वैज्ञानिक पुष्टि है कि, शायद, यह "सुनहरा अनुपात" है, जो जीवित प्रकृति की दुनिया और खनिजों की दुनिया दोनों में प्रकट होता है, जो ब्रह्मांड का मुख्य अनुपात है।

पेनरोज़ टाइलें

जब डैन शेख्टमैन ने क्वासिक्रिस्टल के अस्तित्व का प्रायोगिक प्रमाण दिया इकोसाहेड्रल समरूपताक्वासिक क्रिस्टल की घटना के लिए सैद्धांतिक स्पष्टीकरण की तलाश में भौतिकविदों ने 10 साल पहले अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ द्वारा की गई गणितीय खोज की ओर ध्यान आकर्षित किया। क्वासिक क्रिस्टल के "फ्लैट एनालॉग" के रूप में, हमने चुना पेनरोज़ टाइल्स, जो "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात का पालन करते हुए, "मोटे" और "पतले" रोम्बस द्वारा बनाई गई एपेरियोडिक नियमित संरचनाएं हैं। बिल्कुल पेनरोज़ टाइल्सघटना को समझाने के लिए क्रिस्टलोग्राफरों द्वारा अपनाया गया था quasicrystals. उसी समय, भूमिका पेनरोज़ हीरेतीन आयामों के स्थान में खेलना शुरू हुआ icosahedrons, जिसकी सहायता से त्रि-आयामी स्थान का सघन भराव किया जाता है।

आइए चित्र में पंचकोण पर करीब से नज़र डालें। 8.

आंकड़ा 8।पंचकोण

इसमें विकर्ण बनाने के बाद मूल पंचभुज को तीन प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। केंद्र में विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्मित एक नया पंचभुज है। इसके अलावा, चित्र में पेंटागन। 8 में पांच समद्विबाहु त्रिभुज शामिल हैं, जो रंगीन हैं पीला, और पाँच समद्विबाहु त्रिभुज लाल रंग के हैं। पीले त्रिकोण "सुनहरे" होते हैं क्योंकि कूल्हे और आधार का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होता है; उनके शीर्ष पर न्यून कोण 36° और आधार पर न्यून कोण 72° होते हैं। लाल त्रिकोण भी "सुनहरे" होते हैं, क्योंकि कूल्हे और आधार का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होता है; उनके शीर्ष पर 108° का अधिक कोण और आधार पर 36° का न्यून कोण होता है।

अब दो पीले त्रिभुजों और दो लाल त्रिभुजों को उनके आधारों से जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप हमें दो मिलते हैं "सुनहरा" रोम्बस. उनमें से पहले (पीले) का न्यून कोण 36° और अधिक कोण 144° है (चित्र 9)।

(ए)	(बी)

चित्र 9. "सुनहरा" समचतुर्भुज: ए) "पतला" समचतुर्भुज; (बी) "मोटा" रोम्बस

चित्र में हीरा। हम इसे 9 कहेंगे पतला रोम्बस,और चित्र में समचतुर्भुज। 9-बी - मोटा रोम्बस.

अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर्स पेनरोज़ ने चित्र में "सुनहरे" हीरे का उपयोग किया। 9 "सुनहरा" लकड़ी की छत के निर्माण के लिए, जिसे कहा जाता था पेनरोज़ टाइल्स.पेनरोज़ टाइल्स मोटे और पतले हीरों का एक संयोजन है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 10.

चित्र 10. पेनरोज़ टाइलें

उस पर ज़ोर देना ज़रूरी है पेनरोज़ टाइल्स"पंचकोणीय" समरूपता या 5वें क्रम की समरूपता है, और मोटे समचतुर्भुजों की संख्या और पतले समचतुर्भुजों की संख्या का अनुपात सुनहरे अनुपात की ओर जाता है!

फुलरीन

अब बात करते हैं एक और बेहतरीन चीज़ की आधुनिक खोजरसायन विज्ञान के क्षेत्र में. यह खोज 1985 में की गई थी, यानी क्वासिक्रिस्टल के कई साल बाद। हम तथाकथित "फुलरीन" के बारे में बात कर रहे हैं। शब्द "फुलरीन" का तात्पर्य C 60, C 70, C 76, C 84 प्रकार के बंद अणुओं से है, जिसमें सभी कार्बन परमाणु एक गोलाकार या गोलाकार सतह पर स्थित होते हैं। इन अणुओं में, कार्बन परमाणु नियमित षट्कोण या पंचकोण के शीर्षों पर व्यवस्थित होते हैं जो एक गोले या गोलाकार की सतह को कवर करते हैं। फुलरीन के बीच केंद्रीय स्थान सी 60 अणु द्वारा कब्जा कर लिया गया है, जो कि सबसे बड़ी समरूपता और, परिणामस्वरूप, सबसे बड़ी स्थिरता की विशेषता है। इस टायर के आकार के अणु में सॉकर बॉलऔर एक नियमित रूप से काटे गए इकोसाहेड्रोन (चित्र 2-ई और चित्र 3) की संरचना वाले, कार्बन परमाणु 20 नियमित षट्भुज और 12 नियमित पंचकोणों के शीर्ष पर एक गोलाकार सतह पर स्थित होते हैं ताकि प्रत्येक षट्भुज तीन षट्भुज और तीन पंचकोणों की सीमा में हो। , और प्रत्येक पंचकोण की सीमा षट्कोण पर होती है।

शब्द "फुलरीन" की उत्पत्ति अमेरिकी वास्तुकार बकमिन्स्टर फुलर के नाम से हुई है, जिन्होंने इमारतों के गुंबदों का निर्माण करते समय ऐसी संरचनाओं का उपयोग किया था (काटे गए इकोसाहेड्रोन का एक और उपयोग!)।

"फुलरीन" अनिवार्य रूप से मौलिक भौतिकी अनुसंधान से उत्पन्न "मानव निर्मित" संरचनाएं हैं। इन्हें सबसे पहले वैज्ञानिक जी. क्रोटो और आर. स्माले (जिन्हें इस खोज के लिए 1996 में नोबेल पुरस्कार मिला था) द्वारा संश्लेषित किया गया था। लेकिन वे प्रीकैम्ब्रियन काल की चट्टानों में अप्रत्याशित रूप से खोजे गए थे, यानी फुलरीन न केवल "मानव निर्मित" थे, बल्कि प्राकृतिक संरचनाएं भी थीं। फुलरीन का अब प्रयोगशालाओं में गहन अध्ययन किया जा रहा है। विभिन्न देश, उनके गठन, संरचना, गुणों और आवेदन के संभावित क्षेत्रों की स्थितियों को स्थापित करने का प्रयास कर रहे हैं। फुलरीन परिवार का सबसे अधिक अध्ययन किया गया प्रतिनिधि फुलरीन-60 (सी 60) है (इसे कभी-कभी बकमिन्स्टर फुलरीन भी कहा जाता है। फुलरीन सी 70 और सी 84 भी जाने जाते हैं। फुलरीन सी 60 हीलियम वातावरण में ग्रेफाइट को वाष्पित करके प्राप्त किया जाता है। यह उत्पन्न होता है एक महीन, कालिख जैसा पाउडर, जिसमें 10% कार्बन होता है, जब बेंजीन में घुल जाता है, तो पाउडर एक लाल घोल देता है, जिससे सी 60 क्रिस्टल विकसित होते हैं और इसमें असामान्य रासायनिक गुण होते हैं। भौतिक गुण. हाँ कब उच्च रक्तचाप 60 से यह हीरे जैसा कठोर हो जाता है। इसके अणु एक क्रिस्टलीय संरचना बनाते हैं, जैसे कि पूरी तरह से चिकनी गेंदों से मिलकर बने होते हैं, जो एक फलक-केंद्रित घन जाली में स्वतंत्र रूप से घूमते हैं। इस गुण के कारण, C 60 का उपयोग ठोस स्नेहक के रूप में किया जा सकता है। फुलरीन में चुंबकीय और अतिचालक गुण भी होते हैं।

रूसी वैज्ञानिक ए.वी. एलेत्स्की और बी.एम. स्मिरनोव ने अपने लेख "फुलेरेन्स" में, "उस्पेखी फ़िज़िचेस्किख नौक" (1993, खंड 163, संख्या 2) पत्रिका में प्रकाशित किया, ध्यान दें कि "फुलरीन, जिसका अस्तित्व स्थापित हो चुका है 80 के दशक के मध्य में, और कुशल प्रौद्योगिकीजिसका अलगाव 1990 में विकसित किया गया था, अब दर्जनों वैज्ञानिक समूहों द्वारा गहन शोध का विषय बन गया है। इन अध्ययनों के परिणामों की अनुप्रयोग फर्मों द्वारा बारीकी से निगरानी की जाती है। चूँकि कार्बन के इस संशोधन ने वैज्ञानिकों को कई आश्चर्यों के साथ प्रस्तुत किया है, इसलिए अगले दशक में फुलरीन के अध्ययन के पूर्वानुमानों और संभावित परिणामों पर चर्चा करना नासमझी होगी, लेकिन नए आश्चर्यों के लिए तैयार रहना चाहिए।

स्लोवेनियाई कलाकार मत्युष्का तेजा क्रासेक की कलात्मक दुनिया

मत्जुस्का तेजा क्रासेक ने विजुअल आर्ट्स कॉलेज (लजुब्लजाना, स्लोवेनिया) से पेंटिंग में बीए की उपाधि प्राप्त की और एक स्वतंत्र कलाकार हैं। ज़ुब्लज़ाना में रहता है और काम करता है। उनका सैद्धांतिक और व्यावहारिक कार्य कला और विज्ञान के बीच एक सेतु अवधारणा के रूप में समरूपता पर केंद्रित है। उनकी कलाकृति को कई जगहों पर प्रस्तुत किया गया है अंतर्राष्ट्रीय प्रदर्शनियाँऔर में प्रकाशित किया गया अंतर्राष्ट्रीय पत्रिकाएँ(लियोनार्डो जर्नल, लियोनार्डो ऑन-लाइन)।

एम.टी. क्रेसेक अपनी प्रदर्शनी 'कैलीडोस्कोपिक फ्रेगरेंस' में, ज़ुब्लज़ाना, 2005

मदर टीया क्रशेक की कलात्मक रचनात्मकता विभिन्न प्रकार की समरूपता, पेनरोज़ टाइल्स और रोम्बस, क्वासिक क्रिस्टल, समरूपता के मुख्य तत्व के रूप में सुनहरा अनुपात, फाइबोनैचि संख्या आदि से जुड़ी हुई है। प्रतिबिंब, कल्पना और अंतर्ज्ञान की मदद से, वह कोशिश करती है नए रिश्तों, संरचना के नए स्तरों, नए और का चयन करें विभिन्न प्रकारइन तत्वों और संरचनाओं में क्रम। अपने कार्यों में वह निर्माण के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण के रूप में कंप्यूटर ग्राफिक्स का व्यापक रूप से उपयोग करती हैं कलाकृति, जो विज्ञान, गणित और कला के बीच की कड़ी है।

चित्र में. 11 टी.एम. की रचना दर्शाता है। क्रशेक फाइबोनैचि संख्याओं से संबंधित है। यदि हम इस स्पष्ट रूप से अस्थिर संरचना में पेनरोज़ हीरे की साइड की लंबाई के लिए फाइबोनैचि संख्याओं में से एक (उदाहरण के लिए, 21 सेमी) चुनते हैं, तो हम देख सकते हैं कि संरचना में कुछ खंडों की लंबाई फाइबोनैचि अनुक्रम कैसे बनाती है।

चित्र 11.मदर तेया क्रशेक "फाइबोनैचि नंबर", कैनवास, 1998।

कलाकार की बड़ी संख्या में कलात्मक रचनाएँ शेचटमैन क्वासिक क्रिस्टल और पेनरोज़ लैटिस (चित्र 12) को समर्पित हैं।

(ए)	(बी)

(वी)	(जी)

चित्र 12.टीया क्रशेक की दुनिया: (ए) क्वासिक क्रिस्टल की दुनिया। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, 1996.
(बी) सितारे. कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, 1998 (सी) 10/5। कैनवास, 1998 (डी) अर्ध-घन। कैनवस, 1999

मदर थिया क्रशेक और क्लिफोर्ड पिकओवर की रचना बायोजेनेसिस, 2005 (चित्र 13) में पेनरोज़ हीरों से बना एक दशमांश दिखाया गया है। पेट्रोज़ के समचतुर्भुजों के बीच संबंधों को देखा जा सकता है; प्रत्येक दो निकटवर्ती पेनरोज़ हीरे एक पंचकोणीय तारा बनाते हैं।

चित्र 13.माँ थिया क्रेशेक और क्लिफ़ोर्ड पिकओवर। बायोजेनेसिस, 2005.

चित्र में डबल स्टार जीए(चित्र 14) हम देखते हैं कि कैसे पेनरोज़ टाइलें एक दशकोणीय आधार के साथ संभावित हाइपरडायमेंशनल वस्तु का द्वि-आयामी प्रतिनिधित्व बनाने के लिए संयोजित होती हैं। पेंटिंग का चित्रण करते समय, कलाकार ने लियोनार्डो दा विंची द्वारा प्रस्तावित कठोर किनारे विधि का उपयोग किया। यह चित्रण की यह विधि है जो किसी को एक विमान पर चित्र के प्रक्षेपण में बड़ी संख्या में पेंटागन और पेंटाकल्स को देखने की अनुमति देती है, जो पेनरोज़ रोम्बस के व्यक्तिगत किनारों के प्रक्षेपण से बनते हैं। इसके अलावा, एक समतल पर चित्र के प्रक्षेपण में हम 10 आसन्न पेनरोज़ समचतुर्भुज के किनारों से बना एक दशमांश देखते हैं। मूलतः, इस चित्र में, मदर टीया क्रेशेक को एक नया नियमित बहुफलक मिला, जो संभवतः वास्तव में प्रकृति में मौजूद है।

चित्र 14.माँ तेया क्रशेक. डबल स्टार जीए

क्रशेक की रचना "स्टार्स फॉर डोनाल्ड" (चित्र 15) में हम रचना के केंद्रीय बिंदु की ओर घटते हुए पेनरोज़ रोम्बस, पेंटाग्राम, पेंटागन की अंतहीन बातचीत का निरीक्षण कर सकते हैं। स्वर्णिम अनुपात अनुपातों को विभिन्न पैमानों पर कई अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जाता है।

चित्र 15.मदर थिया क्रशेक "स्टार्स फॉर डोनाल्ड", कंप्यूटर ग्राफिक्स, 2005।

मदर तेया क्रशेक की कलात्मक रचनाओं ने विज्ञान और कला के प्रतिनिधियों का बहुत ध्यान आकर्षित किया। उनकी कला को मॉरिट्स एस्चर की कला के बराबर माना जाता है और स्लोवेनियाई कलाकार को "पूर्वी यूरोपीय एस्चर" और विश्व कला के लिए "स्लोवेनियाई उपहार" कहा जाता है।

स्टाखोव ए.पी. "दा विंची कोड", प्लैटोनिक और आर्किमिडीयन ठोस, क्वासिक क्रिस्टल, फुलरीन, पेनरोज़ लैटिस और मदर टीया क्रशेक की कलात्मक दुनिया // "अकादमी ऑफ ट्रिनिटेरियनिज्म", एम., एल नंबर 77-6567, पब। 2005

प्लेटोनिक ठोस

नियमित पॉलीहेड्रा की आश्चर्यजनक रूप से कम संख्या है, लेकिन यह बहुत ही मामूली दस्ता विभिन्न विज्ञानों की गहराई तक पहुंचने में कामयाब रहा।

एल. कैरोल

मनुष्य ने सदैव पॉलीहेड्रा में रुचि दिखाई है। कुछ नियमित और अर्ध-नियमित पिंड प्रकृति में क्रिस्टल के रूप में पाए जाते हैं, अन्य - वायरस के रूप में जिनकी जांच इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप का उपयोग करके की जा सकती है। बहुफलक क्या है? एक बहुफलक अंतरिक्ष का एक भाग है जो सीमित संख्या में समतल बहुभुजों के संग्रह से घिरा होता है।

वैज्ञानिकों की लंबे समय से "आदर्श" या नियमित बहुभुजों में रुचि रही है, यानी समान भुजाओं और समान कोणों वाले बहुभुज। सबसे सरल नियमित बहुभुज को एक समबाहु त्रिभुज माना जा सकता है, क्योंकि इसमें भुजाओं की संख्या सबसे कम होती है जो समतल के भाग को सीमित कर सकती है। समबाहु त्रिभुज के साथ-साथ नियमित बहुभुजों की सामान्य तस्वीर जो हमें रुचिकर लगती है, वे हैं: वर्ग (चार भुजाएँ), पंचकोण (पाँच भुजाएँ), षट्कोण (छह भुजाएँ), अष्टकोण (आठ भुजाएँ), दशभुज (दस भुजाएँ), आदि। जाहिर है, सैद्धांतिक रूप से एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है, यानी नियमित बहुभुज की संख्या अनंत है।

एक नियमित बहुफलक क्या है? नियमित बहुफलक एक ऐसा बहुफलक होता है, जिसके सभी फलक एक-दूसरे के बराबर (या सर्वांगसम) होते हैं और साथ ही नियमित बहुभुज होते हैं। कितने नियमित पॉलीहेड्रा हैं? यूक्लिड के तत्वों की XIII पुस्तक में, जो नियमित पॉलीहेड्रा, या प्लेटोनिक ठोस को समर्पित है (प्लेटो ने टिमियस संवाद में उनकी चर्चा की है), हमें इस बात का पुख्ता सबूत मिलता है कि केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा हैं, और उनके चेहरे केवल तीन प्रकार के नियमित बहुभुज हो सकते हैं: त्रिकोण, वर्ग और पंचकोण।

यह प्रमाण कि वास्तव में पाँच नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा हैं, बहुत सरल है।

जाहिर है, एक बहुफलक का प्रत्येक शीर्ष तीन या अधिक फलकों से संबंधित हो सकता है। सबसे पहले, उस स्थिति पर विचार करें जब बहुफलक के फलक समबाहु त्रिभुज हों। चूँकि एक समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण 60° होता है, एक समतल पर रखे गए ऐसे तीन कोणों का योग 180° होगा। यदि अब हम इन कोनों को आंतरिक किनारों के साथ मोड़ते हैं और उन्हें बाहरी किनारों के साथ एक साथ चिपकाते हैं, तो हमें टेट्राहेड्रोन का एक बहुफलकीय कोना मिलता है - एक नियमित पॉलीहेड्रॉन, जिसके प्रत्येक शीर्ष पर तीन नियमित त्रिकोणीय चेहरे मिलते हैं। तीन नियमित त्रिभुज सामान्य शीर्षचतुष्फलकीय शीर्ष का विकास कहलाता है। यदि आप शीर्ष विकास में एक और त्रिभुज जोड़ते हैं, तो कुल 240° होता है। यह अष्टफलक के शीर्ष का विकास है। पाँचवाँ त्रिभुज जोड़ने पर 300° का कोण मिलेगा - हमें इकोसाहेड्रोन के शीर्ष का विकास मिलता है। यदि हम एक और छठा त्रिभुज जोड़ते हैं, तो कोणों का योग 360° के बराबर हो जाता है - यह विकास, स्पष्ट रूप से, किसी भी उत्तल बहुफलक के अनुरूप नहीं हो सकता है।

अब चौकोर फलकों की ओर बढ़ते हैं। तीन वर्गाकार फलकों के विकास का कोण 3 x 90° = 270° होता है - इससे एक घन का शीर्ष बनता है, जिसे हेक्साहेड्रोन भी कहा जाता है। एक और वर्ग जोड़ने से कोण 360° तक बढ़ जाएगा - यह विकास अब किसी भी उत्तल बहुफलक से मेल नहीं खाता है।

तीन पंचकोणीय फलक 3 x 108° = 324° का स्कैन कोण देते हैं - डोडेकाहेड्रोन का शीर्ष। यदि हम एक और पंचकोण जोड़ें, तो हमें 360° से अधिक प्राप्त होता है।

षट्कोणों के लिए, पहले से ही तीन फलक 3 x 120° = 360° का स्कैन कोण देते हैं, इसलिए षट्कोणीय फलकों वाला कोई नियमित उत्तल बहुफलक नहीं है। यदि चेहरे पर और भी अधिक कोण हैं, तो स्कैन का कोण और भी बड़ा होगा। इसका मतलब यह है कि छह या अधिक कोण वाले फलकों वाले कोई नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा नहीं होते हैं।

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि केवल पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं - त्रिकोणीय फलकों वाला टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन, वर्गाकार फलकों वाला घन (हेक्साहेड्रोन) और पंचकोणीय फलकों वाला डोडेकाहेड्रोन।

पांच नियमित पॉलीहेड्रा या प्लेटोनिक ठोस उपयोग में थे और प्लेटो के समय से बहुत पहले से ज्ञात थे। केट क्रिचलो ने अपनी पुस्तक टाइम स्टैंड्स स्टिल में इस बात के पुख्ता सबूत दिए हैं कि वे प्लेटो से कम से कम 1000 साल पहले ब्रिटेन के नवपाषाणकालीन लोगों को ज्ञात थे। यह दावा ऑक्सफोर्ड के एशमोलियन संग्रहालय में रखे कई गोलाकार पत्थरों की मौजूदगी पर आधारित है। हाथ में फिट होने लायक आकार के ये पत्थर क्यूब, टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन के ज्यामितीय रूप से सटीक गोलाकार आकृतियों के साथ-साथ कुछ अतिरिक्त मिश्रित और छद्म-नियमित ठोस जैसे कि क्यूबोक्टाहेड्रोन और इकोडोडेकेड्रोन से ढके हुए थे। क्रिचलो कहते हैं: "हमारे पास ऐसी वस्तुएं हैं जो निस्संदेह डिग्री का संकेत देती हैं गणितीय क्षमताएँजिसे अब तक कुछ पुरातत्ववेत्ताओं या गणित के इतिहासकारों द्वारा नवपाषाणकालीन मानव के संबंध में नकारा जाता रहा है।”

प्लेटो के समकालीन, एथेंस के थेएटेटस (417-369 ईसा पूर्व) ने नियमित पॉलीहेड्रा का गणितीय विवरण दिया और पहला ज्ञात प्रमाण दिया कि उनमें से बिल्कुल पांच हैं।

टिमियस में, जो प्लेटो के किसी भी अन्य कार्य के चरित्र में सबसे मजबूत पाइथोगोरियन है, उन्होंने कहा है कि दुनिया के चार मूल तत्व पृथ्वी, वायु, अग्नि और जल हैं, और इनमें से प्रत्येक तत्व स्थानिक तत्वों में से एक से संबंधित है। आंकड़े. परंपरा घन को पृथ्वी से, चतुष्फलक को अग्नि से, अष्टफलक को वायु से और इकोसाहेड्रोन को जल से जोड़ती है। प्लेटो ने ब्रह्मांड के निर्माण में निर्माता द्वारा उपयोग की गई "एक निश्चित पांचवीं संरचना" का उल्लेख किया है। इस प्रकार, डोडेकाहेड्रोन पांचवें तत्व: ईथर के साथ जुड़ गया। ब्रह्मांड के आयोजक प्लेटो ने मौलिक रूपों और संख्याओं की मदद से इन तत्वों की आदिम अराजकता से व्यवस्था स्थापित की। अधिक के लिए संख्या और आकार के अनुसार व्यवस्था करना उच्च स्तरभौतिक ब्रह्मांड में पांच तत्वों की नियत व्यवस्था का नेतृत्व किया। तब मौलिक रूप और संख्याएँ उच्च और निम्न दुनिया के बीच विभाजन रेखा के रूप में कार्य करने लगीं। स्वयं और अन्य तत्वों के साथ अपनी सादृश्यता के आधार पर, उनमें भौतिक संसार को आकार देने की क्षमता थी।

वही पांच नियमित पिंड, शास्त्रीय परंपरा के अनुसार, इस तरह से खींचे जाते हैं कि वे नौ संकेंद्रित गेंदों में समाहित होते हैं, और प्रत्येक पिंड एक गोले के संपर्क में होता है, जो उसके अंदर स्थित अगले पिंड के चारों ओर वर्णित होता है। यह रचना कई महत्वपूर्ण रिश्तों को प्रदर्शित करती है और इसे एक अनुशासन से उधार लिया गया है जिसे कहा जाता है कॉर्पो पारदर्शी, पारदर्शी सामग्री से बने और एक को दूसरे के अंदर रखे गए गोले की धारणा से संबंधित। यह निर्देश फ्रा लुका पैसिओली द्वारा पुनर्जागरण के कई महान लोगों को दिया गया था, जिनमें लियोनार्डो और ब्रुनुलेस्ची भी शामिल थे।

अपनी पुस्तक "द सीक्रेट ऑफ द वर्ल्ड" में (मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम), जो 1596 में प्रकाशित हुआ था। जोहान्स केपलर ने सुझाव दिया कि पांच प्लेटोनिक ठोस और उस समय तक खोजे गए सौर मंडल के छह ग्रहों के बीच एक संबंध है। इस धारणा के अनुसार, शनि की कक्षा के गोले में एक घन अंकित किया जा सकता है, जिसमें बृहस्पति की कक्षा का गोला फिट बैठता है। मंगल की कक्षा के गोले के पास वर्णित टेट्राहेड्रोन, बदले में, इसमें फिट बैठता है। डोडेकाहेड्रोन मंगल की कक्षा के गोले में फिट बैठता है, जिसमें पृथ्वी की कक्षा का गोला फिट बैठता है। और इसका वर्णन आइकोसाहेड्रोन के पास किया गया है, जिसमें शुक्र की कक्षा का गोला अंकित है। इस ग्रह का गोला अष्टफलक के चारों ओर वर्णित है, जिसमें बुध का गोला फिट बैठता है। सौरमंडल के इस मॉडल को केपलर का "कॉस्मिक कप" कहा गया। केपलर के मॉडल और कक्षाओं के वास्तविक आयामों (कई प्रतिशत के क्रम में) के बीच विसंगति को आई. केपलर ने "पदार्थ के प्रभाव" के रूप में समझाया था।

20वीं शताब्दी में, सिद्धांत में प्लेटोनिक ठोस का उपयोग किया गया था इलेक्ट्रॉन शैल मॉडलरॉबर्ट मून, जिसे चंद्रमा सिद्धांत के नाम से भी जाना जाता है। चंद्रमा ने देखा कि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की ज्यामितीय व्यवस्था परमाणु नाभिकनेस्टेड प्लेटोनिक ठोसों के शीर्षों की स्थिति से संबंधित है। यह अवधारणा जे. केप्लर के मिस्टेरियम कॉस्मोग्राफ़िकम से प्रेरित थी।

पॉलीहेड्रा के लिए यूलर का सूत्र है:

एफ + वी = ई + 2

इस सूत्र में एफ- चेहरों की संख्या, वी- शीर्षों की संख्या, इ– पसलियों की संख्या. प्लेटोनिक ठोसों के लिए ये संख्यात्मक विशेषताएँ तालिका में दी गई हैं।

प्लेटोनिक ठोसों की मात्रात्मक विशेषताएं

किनारों, खुदे हुए और घिरे हुए गोले के व्यास, नियमित पॉलीहेड्रा के क्षेत्रों और आयतन के बीच महत्वपूर्ण संबंध अपरिमेय संख्याओं के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं। नीचे दी गई तालिका पांच प्लेटोनिक ठोसों में से प्रत्येक के लिए किनारे की लंबाई और परिचालित गोले के व्यास के अनुपात को दर्शाती है।

प्राप्त प्रत्येक परिणाम एक अपरिमेय संख्या है जिसे केवल निष्कर्षण के माध्यम से पाया जा सकता है वर्गमूल. हम देखते हैं कि यहाँ वे संख्याएँ दिखाई देती हैं जो पवित्र गणित में महत्वपूर्ण और विशेष हैं।

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन की ज्यामिति सुनहरे अनुपात से संबंधित है। दरअसल, डोडेकेहेड्रोन के चेहरे पेंटागन हैं, यानी सुनहरे अनुपात के आधार पर नियमित पेंटागन। यदि आप इकोसाहेड्रोन को करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक शीर्ष पर पांच त्रिकोण मिलते हैं, जिनकी बाहरी भुजाएँ एक पंचकोण बनाती हैं। ये तथ्य ही हमें यह समझाने के लिए पर्याप्त हैं कि सुनहरा अनुपात इन दो प्लेटोनिक ठोस पदार्थों के डिजाइन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ये दोनों आकृतियाँ एक दूसरे के विपरीत हैं: दोनों में 30 किनारे हैं, लेकिन इसके बावजूद, इकोसाहेड्रोन में 20 चेहरे और 12 शीर्ष हैं, और डोडेकाहेड्रोन में 12 चेहरे और 20 शीर्ष हैं। इसके अलावा अष्टफलक और हेक्साहेड्रोन और स्वयं थियेटाहेड्रोन एक दूसरे के विपरीत हैं।

सभी के बीच अद्भुत ज्यामितीय संबंध हैं नियमित पॉलीहेड्रा. उदाहरण के लिए, घनक्षेत्रऔर अष्टफलकदोहरे हैं, अर्थात, वे एक दूसरे से प्राप्त होते हैं यदि एक के चेहरे के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को दूसरे के शीर्ष के रूप में लिया जाता है और इसके विपरीत। इसी प्रकार द्वैत विंशतिफलकऔर डोडेकाहेड्रोन. चतुर्पाश्वीयअपने आप से द्वैत. एक डोडेकाहेड्रोन को एक घन से उसके किनारों पर "छत" बनाकर प्राप्त किया जाता है (यूक्लिडियन विधि); एक टेट्राहेड्रोन के शीर्ष घन के कोई भी चार शीर्ष होते हैं जो एक किनारे के साथ जोड़ीदार रूप से सटे नहीं होते हैं, अर्थात, अन्य सभी नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं घन से प्राप्त किया गया।

रॉबर्ट लॉलर ने अपने काम में दर्शाया है कि आइकोसाहेड्रोन के आधार पर प्लेटोनिक ठोस का निर्माण किया जा सकता है। वह लिखते हैं: "यदि हम इकोसाहेड्रोन के सभी आंतरिक शीर्षों को उनमें से प्रत्येक से तीन रेखाएँ खींचकर जोड़ते हैं, प्रत्येक शीर्ष को उसके विपरीत शीर्ष से जोड़ते हैं, और फिर दो ऊपरी शीर्षों से दो विपरीत शीर्षों पर चार रेखाएँ खींचते हैं, ताकि ये रेखाएँ केंद्र में मिलती हैं, हम, जो कहा गया है उसके अनुसार कार्य करते हुए, स्वाभाविक रूप से डोडेकाहेड्रोन के किनारों का निर्माण करेंगे। यह निर्माण तब स्वचालित रूप से होता है जब इकोसाहेड्रोन की आंतरिक रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं। डोडेकाहेड्रोन बनाने के बाद, हम एक घन बनाने के लिए इसके छह शीर्षों और केंद्र का उपयोग कर सकते हैं। घन के विकर्णों का उपयोग करके, हम एक तारे के आकार का या आपस में जुड़े हुए चतुष्फलक का निर्माण कर सकते हैं। घन के साथ तारा चतुष्फलक का प्रतिच्छेदन हमें उत्कीर्ण अष्टफलक के निर्माण के लिए सटीक स्थान देता है। फिर, ऑक्टाहेड्रोन में ही, इकोसाहेड्रोन की आंतरिक रेखाओं और ऑक्टाहेड्रोन के शीर्षों का उपयोग करके, एक दूसरा इकोसाहेड्रोन प्राप्त किया जाता है। हम पूरे चक्र से गुज़रे हैं, बीज से बीज तक पाँच चरण। और ऐसी क्रियाएं एक अंतहीन क्रम का प्रतिनिधित्व करती हैं।

चतुर्पाश्वीय

नियमित पॉलीहेड्रा का सबसे सरल टेट्राहेड्रोन है। प्लेटो के लिए यह अग्नि तत्व से मेल खाता है। भौतिकी में, "अग्नि" को प्लाज्मा की स्थिति से सहसंबद्ध किया जा सकता है। टेट्राहेड्रोन में प्लेटोनिक ठोसों के बीच चेहरों की संख्या सबसे कम होती है और यह एक सपाट नियमित त्रिभुज का त्रि-आयामी एनालॉग होता है, जिसमें नियमित बहुभुजों के बीच भुजाओं की संख्या सबसे कम होती है। इसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हैं। चार किनारों की सबसे छोटी संख्या है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक हिस्से को अलग करती है। इसका प्रत्येक शीर्ष तीन त्रिभुजों का शीर्ष है। चतुष्फलक के सभी बहुफलकीय कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, एक चतुष्फलक में 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।

अष्टफलक

अष्टफलक आठ समबाहु त्रिभुजों से बना है। प्लेटो के लिए यह वायु तत्व से मेल खाता है। भौतिकी में, "वायु" को पदार्थ की गैसीय अवस्था से सहसंबद्ध किया जा सकता है। इसका प्रत्येक शीर्ष चार त्रिभुजों का शीर्ष है। विपरीत फलक समानांतर तल में स्थित होते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 240° होता है। इस प्रकार, अष्टफलक में 8 फलक, 6 शीर्ष और 12 किनारे हैं।

विंशतिफलक

इकोसाहेड्रोन पांच प्लेटोनिक ठोस पदार्थों में से एक है, जो सरलता में टेट्राहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन के बाद आता है। प्लेटो के लिए यह जल तत्व से मेल खाता है। भौतिकी में, "पानी" को पदार्थ की तरल अवस्था से सहसंबद्ध किया जा सकता है। इकोसाहेड्रोन बीस समबाहु त्रिभुजों से बना है। इसका प्रत्येक शीर्ष पाँच त्रिभुजों का शीर्ष है। प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 300° होता है। इस प्रकार, इकोसाहेड्रोन में 20 फलक, 12 शीर्ष और 30 किनारे हैं।

षट्फलक

एक षट्कोण या घन छह वर्गों से बना होता है। प्लेटो के लिए यह पृथ्वी के तत्व से मेल खाता है। भौतिकी में, "पृथ्वी" को पदार्थ की ठोस अवस्था से सहसंबद्ध किया जा सकता है। इसका प्रत्येक शीर्ष तीन वर्गों का शीर्ष है। प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 270° होता है। इस प्रकार, एक घन में 6 फलक, 8 शीर्ष और 12 किनारे होते हैं।

द्वादशफ़लक

डोडेकाहेड्रोन बारह समबाहु पंचभुजों से बना है। प्लेटो के लिए यह पांचवें तत्व - ईथर से मेल खाता है। इसका प्रत्येक शीर्ष तीन पंचभुजों का शीर्ष है। प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 324° होता है। इस प्रकार, डोडेकाहेड्रोन में 12 फलक, 20 शीर्ष और 30 किनारे हैं।

नियमित पॉलीहेड्रा जीवित प्रकृति में पाए जाते हैं। 20वीं सदी की शुरुआत में, अर्न्स्ट हेकेल ( अर्न्स्ट हेकेल) ऐसे कई जीवों का वर्णन किया गया है जिनके कंकाल का आकार विभिन्न नियमित पॉलीहेड्रा के समान है। उदाहरण के लिए: सर्कोपोरस ऑक्टाहेड्रस, सर्कोगोनिया इकोसाहेड्रा, लिथोक्यूबस जियोमेट्रिकस और सर्कोरेग्मा डोडेकाहेड्रा. इन जीवों के कंकाल का आकार उनके नामों में परिलक्षित होता है।

एककोशिकीय जीव फ़ियोडेरिया का कंकाल ( सर्कोगोनियाइकोसाहेड्रा) एक इकोसाहेड्रोन के आकार का है। अधिकांश फ़ियोडेरिया समुद्र की गहराई में रहते हैं और मूंगा मछली के शिकार के रूप में काम करते हैं। लेकिन सबसे सरल जानवर खुद को बचाने की कोशिश करता है: कंकाल की 12 चोटियों से 12 खोखली सुइयां निकलती हैं। सुइयों के सिरों पर कांटे होते हैं जो सुई को सुरक्षा में और भी प्रभावी बनाते हैं।

कई वायरस, उदा. हरपीज, एक नियमित इकोसाहेड्रोन का आकार है। वायरल संरचनाएं दोहराई जाने वाली प्रोटीन उपइकाइयों से निर्मित होती हैं, और इन संरचनाओं को पुन: उत्पन्न करने के लिए इकोसाहेड्रोन सबसे उपयुक्त आकार है।

कई खनिजों की क्रिस्टल जाली प्लेटोनिक ठोस के आकार की होती है।

सल्फ्यूरिक एसिड, लोहा और विशेष प्रकार के सीमेंट का उत्पादन सल्फर पाइराइट के बिना पूरा नहीं होता है ( फेज़). इसके क्रिस्टल रासायनिक पदार्थइनका आकार डोडेकाहेड्रोन जैसा है। खनिज सिल्वाइट में घन के आकार की क्रिस्टल जाली होती है। पाइराइट क्रिस्टल का आकार डोडेकाहेड्रोन जैसा होता है, जबकि क्यूप्राइट ऑक्टाहेड्रोन के आकार में क्रिस्टल बनाता है।

पवित्र गणित और प्राकृतिक विज्ञान दोनों के दृष्टिकोण से, प्लेटोनिक ठोस अध्ययन के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण वस्तु हैं। प्लैटोनिक ठोस हर जगह दिखाई देते हैं, वायरस से, जिनमें से कई आकार में इकोसाहेड्रल हैं, सौर मंडल जैसे जटिल मैक्रोस्ट्रक्चर तक।

एंटोन मुखिन

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