स्टीरियोमेट्री में पॉलीहेड्रा के अनुभागों की विधि का उपयोग निर्माण समस्याओं में किया जाता है। यह एक बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने और खंड के प्रकार को निर्धारित करने की क्षमता पर आधारित है।

इस सामग्री की विशेषता निम्नलिखित विशेषताएं हैं:

1. अनुभागों की विधि का उपयोग केवल पॉलीहेड्रा के लिए किया जाता है, क्योंकि रोटेशन के निकायों के विभिन्न जटिल (तिरछे) प्रकार के अनुभाग माध्यमिक विद्यालय के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं।
2. समस्याएँ मुख्य रूप से सरलतम पॉलीहेड्रा का उपयोग करती हैं।
3. समस्याओं को उनके एकाधिक उपयोग की संभावना पैदा करने के लिए मुख्य रूप से संख्यात्मक डेटा के बिना प्रस्तुत किया जाता है।

बहुफलक के एक खंड के निर्माण की समस्या को हल करने के लिए, एक छात्र को यह जानना चाहिए:

• एक समतल के साथ बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने का क्या मतलब है;
• एक बहुफलक और एक समतल को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित किया जा सकता है;
• समतल को कैसे परिभाषित किया जाता है;
• जब एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड के निर्माण की समस्या को हल माना जाता है।

क्योंकि विमान परिभाषित किया गया है:

• तीन अंक;
• सीधी रेखा और बिंदु;
• दो समानांतर रेखाएँ;
• दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ,

सेक्शन प्लेन का निर्माण इस प्लेन की विशिष्टता पर निर्भर करता है। इसलिए, पॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण की सभी विधियों को विधियों में विभाजित किया जा सकता है।

मौजूद तीन मुख्य विधियाँपॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण:

1. ट्रेस विधि.
2. सहायक अनुभागों की विधि.
3. संयुक्त विधि.

पहली दो विधियाँ भिन्नताएँ हैं स्वयंसिद्ध विधिअनुभागों का निर्माण.

हम पॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधियों को भी अलग कर सकते हैं:

• एक बहुफलक के एक खंड का निर्माण करना जिसके बीच से एक विमान गुजर रहा हो दिया गया बिंदुकिसी दिए गए विमान के समानांतर;
• किसी दी गई रेखा से दूसरी दी गई रेखा के समानांतर गुजरने वाले एक खंड का निर्माण करना;
• दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले एक खंड का निर्माण करना;
• किसी दिए गए समतल के लंबवत दी गई रेखा से गुजरने वाले समतल के साथ बहुफलक के एक खंड का निर्माण करना;
• किसी सीधी रेखा के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ एक बहुफलक के एक खंड का निर्माण करना।

कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति पर पाठ्यपुस्तकों की संघीय सूची में निम्नलिखित लेखकों की पाठ्यपुस्तकें शामिल हैं:

• अतानास्यान एल.एस., बुटुज़ोवा वी.एफ., कदोमत्सेवा एस.बी. और अन्य (ज्यामिति, 10-11);
• पोगोरेलोवा ए.वी. (ज्यामिति, 7-11);
• अलेक्जेंड्रोवा ए.डी., वर्नेरा ए.एल., रयज़िक वी.आई. (ज्यामिति, 10-11);
• स्मिरनोवा आई.एम. (ज्यामिति, 10-11);
• शैरीगिना आई.एफ. (ज्यामिति, 10-11).

आइए एल.एस., अतानास्यान और ए.वी. पोगोरेलोव की पाठ्यपुस्तकों पर करीब से नज़र डालें।

पाठ्यपुस्तक में एल.एस. अतानास्यान को "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर दो घंटे आवंटित किए गए थे। 10वीं कक्षा में, "रेखाओं और तलों की समानता" विषय में चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज का अध्ययन करने के बाद, पैराग्राफ "खंडों के निर्माण में समस्याएँ" प्रस्तुत करने के लिए एक घंटा आवंटित किया जाता है। चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज के अनुभागों पर विचार किया जाता है। और विषय "रेखाओं और तलों की समानता" एक या दो घंटे में समस्याओं को हल करने के साथ समाप्त होता है (पाठ्यपुस्तक में अनुभागों के निर्माण के लिए कुल आठ समस्याएं हैं)।

पाठ्यपुस्तक में पोगोरेलोव ए.वी. "पॉलीहेड्रा" अध्याय में अनुभागों के निर्माण के लिए लगभग तीन घंटे आवंटित किए गए हैं: एक विषय "प्रिज्म की छवि और उसके खंडों का निर्माण" विषय का अध्ययन करने के लिए, दूसरा "पिरामिड और उसके समतल खंडों का निर्माण" विषय का अध्ययन करने के लिए और तीसरा समस्याओं के समाधान के लिए. विषय के बाद दी गई समस्याओं की सूची में लगभग दस क्रॉस-सेक्शन समस्याएं ही हैं।

हम पोगोरेलोव ए.वी. की पाठ्यपुस्तक के लिए "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर पाठों की एक प्रणाली प्रदान करते हैं।

सामग्री को उस क्रम में व्यवस्थित करने का प्रस्ताव है जिसमें इसका उपयोग छात्रों को पढ़ाने के लिए किया जा सके। "पॉलीहेड्रा" विषय की प्रस्तुति से निम्नलिखित पैराग्राफ को बाहर करने का प्रस्ताव है: "एक प्रिज्म के खंडों का निर्माण" और "एक पिरामिड के वर्गों का निर्माण" इस विषय "पॉलीहेड्रा" के अंत में इस सामग्री को व्यवस्थित करने के लिए . इसे "सरल से जटिल" सिद्धांत के लगभग पालन के साथ कार्यों की विषय वस्तु के अनुसार निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. पॉलीहेड्रा के अनुभाग का निर्धारण.
2. ट्रेस विधि का उपयोग करके प्रिज्म, पैरेललपिप्ड, पिरामिड के खंडों का निर्माण। (एक नियम के रूप में, स्टीरियोमेट्री पर एक स्कूल पाठ्यक्रम में, पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए समस्याओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें बुनियादी तरीकों से हल किया जाता है। अन्य तरीके, उनके अधिक होने के कारण उच्च स्तरजटिलता, शिक्षक इसे वैकल्पिक कक्षाओं में विचार के लिए या स्वतंत्र अध्ययन के लिए छोड़ सकते हैं। निर्माण समस्याओं में, बुनियादी तरीकों के लिए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले अनुभाग विमान के निर्माण की आवश्यकता होती है)।
3. पॉलीहेड्रा में क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र ढूँढना (क्षेत्र प्रमेय का उपयोग किए बिना)। ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणबहुभुज)।
4. पॉलीहेड्रा में क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र ढूँढना (बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करके)।

पॉलीहेड्रॉन के अनुभागों के निर्माण के लिए स्टीरियोमेट्रिक समस्याएं और ग्रेड 10-11 के पाठों में उनके उपयोग के तरीके।

("पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण" विषय पर पाठ और वैकल्पिक कक्षाओं की प्रणाली)

पाठ 1।

पाठ का विषय: "पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण।"

पाठ का उद्देश्य: पॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण की विधियों से परिचित होना।

पाठ चरण:

1. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना.
2. समस्या का निरूपण.
3. नई सामग्री सीखना:

ए) अनुभाग की परिभाषा.

बी) अनुभागों के निर्माण की विधियाँ:

ए) ट्रेस विधि;

बी) सहायक अनुभागों की विधि;

ग) संयुक्त विधि।

1. सामग्री को ठीक करना.

ट्रेस विधि का उपयोग करके अनुभागों के निर्माण के उदाहरण।

1. पाठ का सारांश.

कक्षाओं के दौरान.

1. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना.

चलो याद करते हैं:
- एक समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन;
- विमानों का प्रतिच्छेदन;
- समानांतर विमानों के गुण।

2. समस्या का निरूपण.

कक्षा के लिए प्रश्न:
- एक समतल के साथ बहुफलक का एक खंड बनाने का क्या मतलब है?
- एक बहुफलक और एक समतल को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे रखा जा सकता है?
- विमान को कैसे परिभाषित किया जाता है?
- एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड के निर्माण की समस्या को कब हल माना जाता है?

3. नई सामग्री सीखना.

ए) तो, कार्य दो आकृतियों के प्रतिच्छेदन का निर्माण करना है: एक बहुफलक और एक समतल (चित्र 1)। ये हो सकते हैं: एक खाली आकृति (ए), एक बिंदु (बी), एक खंड (सी), एक बहुभुज (डी)। यदि एक बहुफलक और एक तल का प्रतिच्छेदन एक बहुभुज है, तो इस बहुभुज को कहा जाता है एक समतल द्वारा बहुफलक का खंड।

हम केवल उस मामले पर विचार करेंगे जब समतल बहुफलक को उसके आंतरिक भाग से काटता है। इस मामले में, पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन एक निश्चित खंड होगा। इस प्रकार, समस्या को हल माना जाता है यदि वे सभी खंड जिनके साथ विमान पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को काटता है, पाए जाते हैं।

घन के अनुभागों की जाँच करें (चित्र 2) और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें:

जब एक घन को समतल द्वारा काटा जाता है तो कौन से बहुभुज प्राप्त होते हैं? (बहुभुज की भुजाओं की संख्या महत्वपूर्ण है);

[सुझाए गए उत्तर: त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण, षट्भुज।]

क्या किसी घन को समतल द्वारा काटकर सप्तभुज बनाया जा सकता है? अष्टकोण इत्यादि के बारे में क्या? क्यों?

आइए प्रिज्म और उसके संभावित खंडों को समतल (मॉडल पर) द्वारा देखें। किस प्रकार के बहुभुज प्राप्त होते हैं?

क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? एक बहुफलक को समतल से काटने पर बहुभुज की भुजाओं की सबसे बड़ी संख्या क्या होती है?

[किसी बहुफलक को समतल द्वारा काटने पर प्राप्त बहुभुज की भुजाओं की सबसे बड़ी संख्या बहुफलक के फलकों की संख्या के बराबर होती है।]

बी ० ए) ट्रेस विधिबहुफलक के प्रत्येक फलक के तल पर एक काटने वाले तल के निशान बनाना शामिल है। ट्रेस विधि का उपयोग करके पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण आमतौर पर कटिंग प्लेन के तथाकथित मुख्य ट्रेस के निर्माण से शुरू होता है, अर्थात। बहुफलक के आधार तल पर काटने वाले तल का निशान।

बी) सहायक अनुभागों की विधिपॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण काफी सार्वभौमिक है। ऐसे मामलों में जहां कटिंग प्लेन का वांछित निशान (या निशान) ड्राइंग के बाहर है, इस विधि के कुछ फायदे भी हैं। साथ ही, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस पद्धति का उपयोग करके किए गए निर्माण अक्सर "भीड़" वाले होते हैं। फिर भी, कुछ मामलों में सहायक अनुभागों की विधि सबसे तर्कसंगत साबित होती है।

ट्रेस विधि और सहायक अनुभाग विधि भिन्नताएं हैं स्वयंसिद्ध विधिएक समतल के साथ पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण।

ग) सार संयुक्त विधिपॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण में स्वयंसिद्ध विधि के संयोजन में अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की समानता पर प्रमेयों का अनुप्रयोग शामिल है।

अब, समस्या समाधान के एक उदाहरण का उपयोग करके, आइए देखें ट्रेस विधि

4. सामग्री को ठीक करना।

कार्य 1।

बिंदु P, Q, R से गुजरने वाले समतल के साथ प्रिज्म ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का एक खंड बनाएं (बिंदु चित्र में दर्शाए गए हैं (चित्र 3))।

समाधान।

चावल। 3

1. आइए प्रिज्म के निचले आधार के तल पर काटने वाले तल का एक निशान बनाएं। फलक AA 1 B 1 B पर विचार करें। खंड बिंदु P और Q इस फलक पर स्थित हैं। आइए एक सीधी रेखा PQ खींचें।
2. आइए हम रेखा PQ को जारी रखें, जो अनुभाग से संबंधित है, जब तक कि यह रेखा AB को नहीं काटती। हमें ट्रेस से संबंधित एक बिंदु S 1 प्राप्त होता है।
3. इसी प्रकार, हम रेखाओं QR और BC के प्रतिच्छेदन से बिंदु S 2 प्राप्त करते हैं।
4. सीधी रेखा एस 1 एस 2 - प्रिज्म के निचले आधार के तल पर काटने वाले तल का निशान।
5. सीधी रेखा S 1 S 2 भुजा AD को बिंदु U पर, भुजा CD को बिंदु T पर काटती है। आइए हम बिंदु P और U को जोड़ते हैं, क्योंकि वे चेहरे AA 1 D 1 D के एक ही तल में स्थित हैं। हम इसी तरह प्राप्त करते हैं टीयू और आरटी.
6. PQRTU आवश्यक अनुभाग है.

बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल के साथ समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का एक खंड बनाएं (बिंदु चित्र में दर्शाए गए हैं (चित्र 4))।

समाधान।

1. बिंदु N और P अनुभाग तल में और समांतर चतुर्भुज के निचले आधार के तल में स्थित हैं। आइए इन बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा बनाएं। यह सीधी रेखा समांतर चतुर्भुज के आधार के तल पर काटने वाले तल का निशान है।
2. आइए हम उस सीधी रेखा को जारी रखें जिस पर समांतर चतुर्भुज का AB स्थित है। रेखाएँ AB और NP किसी बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह बिंदु अनुभाग तल से संबंधित है।
3. चूँकि बिंदु M भी अनुभाग तल से संबंधित है और रेखा AA 1 को किसी बिंदु X पर काटता है।
4. बिंदु X और N, फलक AA 1 D 1 D के एक ही तल में स्थित हैं, उन्हें जोड़ें और एक सीधी रेखा XN प्राप्त करें।
5. चूँकि समांतर चतुर्भुज के फलकों के तल समानांतर हैं, तो बिंदु M के माध्यम से हम फलक A 1 B 1 C 1 D 1 में रेखा NP के समानांतर एक रेखा खींच सकते हैं। यह सीधी रेखा भुजा B 1 C 1 को बिंदु Y पर प्रतिच्छेद करेगी।
6. इसी प्रकार, हम सीधी रेखा XN के समानांतर सीधी रेखा YZ खींचते हैं। हम Z को P से जोड़ते हैं और वांछित अनुभाग प्राप्त करते हैं - MYZPNX।

समस्या 3 (स्वतंत्र समाधान के लिए)।

बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन DACB के एक खंड का निर्माण करें (बिंदु चित्र में दर्शाए गए हैं (चित्र 5))।

5. पाठ का सारांश।

प्रश्न का उत्तर दें: क्या छायांकित आकृतियाँ PQR समतल द्वारा दर्शाए गए पॉलीहेड्रा के खंड हैं? और सही निर्माण पूरा करें (चित्र 6)।

विकल्प 1।

विकल्प 2।

पाठ का विषय: अनुभागीय क्षेत्र ढूँढना।

पाठ का उद्देश्य: एक बहुफलक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियों से परिचय कराना।

पाठ चरण:

1. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना.

बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय को याद करें।

2. क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र खोजने के लिए समस्याओं का समाधान:

बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग किए बिना;

बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करना।

3. पाठ का सारांश।

कक्षाओं के दौरान.

1. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना.

चलो याद करते हैं बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय:एक समतल पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल उसके क्षेत्रफल के गुणनफल और बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल के बीच के कोण की कोज्या के बराबर होता है।

2. समस्या को सुलझाना।

एबीसीडी - सही त्रिकोणीय पिरामिडआधार भुजा AB के बराबर एऔर ऊंचाई डीएच बराबर एच. बिंदु D, C और M से गुजरने वाले समतल के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें, जहां M भुजा AB का मध्य है, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 7)।

पिरामिड का क्रॉस सेक्शन त्रिभुज एमसीडी है। आइए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

एस = 1/2 डीएच सीएम = 1/2 =

एक किनारे वाले घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एशीर्ष D और किनारों A 1 D 1 और C 1 D 1 पर बिंदु E और F से गुजरने वाला विमान क्रमशः, यदि A 1 E = k · D 1 E और C 1 F = k · D 1 F।

अनुभाग का निर्माण:

1. चूंकि बिंदु ई और एफ अनुभाग विमान और चेहरे के विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 से संबंधित हैं, और दो विमान एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो सीधी रेखा ईएफ अनुभाग विमान का एक निशान होगा। चेहरे का A 1 B 1 C 1 D 1 (चित्र 8)।
2. डायरेक्ट ईडी और एफडी एक ही तरह से प्राप्त की जाती हैं।
3. ईडीएफ आवश्यक अनुभाग है.

समस्या 3 (स्वतंत्र समाधान के लिए)।

भुजा वाले घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 का एक खंड बनाएं एबिंदु B, M और N से होकर गुजरने वाला एक विमान, जहां L किनारे AA 1 का मध्य है, और N किनारे CC 1 का मध्य है।

हम ट्रेस विधि का उपयोग करके अनुभाग का निर्माण करते हैं।

हम बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करके क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र पाते हैं। उत्तर: एस = 1/2· एक 2.

चित्रों पर अनुभागों और अनुभागों का निर्माण

एक भाग ड्राइंग का निर्माण क्रमिक रूप से आवश्यक अनुमानों, अनुभागों और अनुभागों को जोड़कर किया जाता है। प्रारंभ में, उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट मॉडल के साथ एक कस्टम दृश्य बनाया जाता है, और मॉडल का अभिविन्यास सेट किया जाता है जो मुख्य दृश्य के लिए सबसे उपयुक्त है। इसके बाद, इसका और निम्नलिखित दृश्यों का उपयोग करके, आवश्यक कट और अनुभाग बनाए जाते हैं।

मुख्य दृश्य (सामने का दृश्य) का चयन किया जाता है ताकि यह भाग के आकार और आयामों का सबसे संपूर्ण विचार दे सके।

चित्र में अनुभाग

काटने वाले तल की स्थिति के आधार पर, निम्न प्रकार के कटों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

ए) क्षैतिज, यदि काटने वाला विमान प्रक्षेपण के क्षैतिज विमान के समानांतर स्थित है;

बी) लंबवत, यदि काटने वाला विमान प्रक्षेपण के क्षैतिज विमान के लंबवत है;

सी) झुका हुआ - काटने वाला विमान प्रक्षेपण विमानों की ओर झुका हुआ है।

लंबवत अनुभागों को इसमें विभाजित किया गया है:

· ललाट - काटने वाला विमान प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर है;

· प्रोफाइल - कटिंग प्लेन प्रक्षेपण के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर है।
काटने वाले विमानों की संख्या के आधार पर, कटौती हैं:

· सरल - एक काटने वाले विमान के साथ (चित्र 107);

· जटिल - दो या दो से अधिक काटने वाले विमानों के साथ (चित्र 108)
मानक निम्नलिखित प्रकार के जटिल कटों का प्रावधान करता है:

· चरणबद्ध, जब काटने वाले तल समानांतर होते हैं (चित्र 108 ए) और टूटे होते हैं - काटने वाले तल प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 108 बी)

चित्र 107 सरल खंड

ए) बी)

चित्र: 108 जटिल कट

कटौती का पदनाम

ऐसे मामले में जब एक साधारण खंड में छेदक तल वस्तु की समरूपता के तल के साथ मेल खाता है, तो खंड को इंगित नहीं किया जाता है (चित्र 107)। अन्य सभी मामलों में, चीरों को निर्दिष्ट किया जाता है बड़े अक्षर मेंरूसी वर्णमाला, अक्षर A से शुरू होती है, उदाहरण के लिए A-A।

ड्राइंग में कटिंग प्लेन की स्थिति को एक सेक्शन लाइन - एक मोटी खुली लाइन द्वारा दर्शाया गया है। जटिल कट के मामले में, सेक्शन लाइन के मोड़ पर भी स्ट्रोक बनाए जाते हैं। दृश्य की दिशा को इंगित करने वाले प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर तीर लगाए जाने चाहिए; तीर स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2-3 मिमी की दूरी पर होने चाहिए। देखने की दिशा बताने वाले प्रत्येक तीर के बाहर एक ही बड़ा अक्षर लगाया जाता है।

KOMPAS प्रणाली में कट और अनुभागों को नामित करने के लिए, एक ही बटन का उपयोग किया जाता है पदनाम पृष्ठ पर स्थित कटिंग लाइन (चित्र 109)।

चित्र 109 कट लाइन बटन

आधे दृश्य को आधे खंड से जोड़ना

यदि दृश्य और अनुभाग सममित आकृतियाँ हैं (चित्र 110), तो आप आधे दृश्य और आधे अनुभाग को जोड़ सकते हैं, उन्हें एक पतली डैश-बिंदीदार रेखा से अलग कर सकते हैं, जो समरूपता की धुरी है। अनुभाग का भाग आमतौर पर समरूपता अक्ष के दाईं ओर स्थित होता है, जो दृश्य के भाग को अनुभाग के भाग से या समरूपता अक्ष के नीचे अलग करता है। किसी दृश्य और अनुभाग के हिस्सों को जोड़ने वाली छिपी हुई समोच्च रेखाएँ आमतौर पर नहीं दिखाई जाती हैं। यदि किसी रेखा का प्रक्षेपण, उदाहरण के लिए, किसी पहलू वाली आकृति का किनारा, दृश्य और अनुभाग को विभाजित करने वाली अक्षीय रेखा से मेल खाता है, तो दृश्य और अनुभाग को अक्ष के बाईं ओर खींची गई एक ठोस लहरदार रेखा से अलग किया जाता है। यदि किनारा आंतरिक सतह पर है तो समरूपता, या यदि किनारा बाहरी है तो दाईं ओर।

चावल। 110 एक दृश्य और एक अनुभाग का कनेक्टिंग भाग

अनुभागों का निर्माण

हम प्रिज्म के चित्र के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके KOMPAS प्रणाली में अनुभागों के निर्माण का अध्ययन करेंगे, जिसका कार्य चित्र 111 में दिखाया गया है।

ड्राइंग का क्रम इस प्रकार है:

1. दिए गए आयामों के आधार पर, हम प्रिज्म का एक ठोस मॉडल बनाएंगे (चित्र 109 बी)। आइए मॉडल को कंप्यूटर की मेमोरी में "प्रिज़्म" नामक फ़ाइल में सहेजें।

चित्र.112 लाइन्स पैनल

3. एक प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण करने के लिए (चित्र 113) चलो एक रेखा खींचते हैं अनुभाग ए-एबटन का उपयोग करके मुख्य दृश्य परकट रेखा।

चित्र 113 प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण

देखने की दिशा और प्रतीक पाठ को स्क्रीन के नीचे कमांड कंट्रोल पैनल पर चुना जा सकता है (चित्र 114)। क्रिएट ऑब्जेक्ट बटन पर क्लिक करके कटिंग लाइन का निर्माण पूरा हो जाता है।

चित्र: 114 अनुभागों और अनुभागों के निर्माण के आदेश के लिए नियंत्रण कक्ष

4. एसोसिएटिव व्यू पैनल (चित्र 115) पर, कट लाइन बटन का चयन करें, फिर कट लाइन को इंगित करने के लिए स्क्रीन पर दिखाई देने वाले ट्रैप का उपयोग करें। यदि सब कुछ सही ढंग से किया गया है (काटने की रेखा अवश्य खींची जानी चाहिए)। सक्रिय रूप), कट लाइन लाल हो जाएगी. कट लाइन ए-ए निर्दिष्ट करने के बाद, एक समग्र आयत के रूप में एक प्रेत छवि स्क्रीन पर दिखाई देगी।

चित्र 115 पैनल सहयोगी दृश्य

गुण पैनल पर अनुभाग/अनुभाग स्विच का उपयोग करके, आप छवि प्रकार - अनुभाग (चित्र 116) और प्रदर्शित अनुभाग के पैमाने का चयन करते हैं।

चित्र: 116 अनुभागों और अनुभागों के निर्माण के आदेश के लिए नियंत्रण कक्ष

प्रोफ़ाइल अनुभाग प्रक्षेपण कनेक्शन में और मानक पदनाम के साथ स्वचालित रूप से निर्मित किया जाएगा। यदि आवश्यक हो, तो प्रक्षेपण संचार को एक स्विच से बंद किया जा सकता है प्रोजेक्शन कनेक्शन (चित्र 116)।निर्मित अनुभाग (अनुभाग) में उपयोग किए जाने वाले हैचिंग के मापदंडों को कॉन्फ़िगर करने के लिए, हैचिंग टैब पर नियंत्रणों का उपयोग करें।

चित्र 117 क्षैतिज का निर्माण अनुभाग बी-बीऔर अनुभाग बी-बी

यदि किसी अनुभाग का निर्माण करते समय चयनित कटिंग विमान भाग की समरूपता के विमान के साथ मेल खाता है, तो मानक के अनुसार ऐसा अनुभाग निर्दिष्ट नहीं है। लेकिन यदि आप किसी अनुभाग के पदनाम को आसानी से मिटा देते हैं, तो इस तथ्य के कारण कि कंप्यूटर मेमोरी में दृश्य और अनुभाग आपस में जुड़े हुए हैं, पूरा अनुभाग मिटा दिया जाएगा। इसलिए, किसी पदनाम को हटाने के लिए, आपको पहले दृश्य और अनुभाग के बीच संबंध को नष्ट करना होगा। ऐसा करने के लिए, अनुभाग का चयन करने के लिए बाईं माउस बटन पर क्लिक करें, और फिर संदर्भ मेनू लाने के लिए दाएं माउस बटन पर क्लिक करें, जिसमें से नष्ट दृश्य आइटम का चयन करें (चित्र 97)। कट चिन्ह को अब हटाया जा सकता है।

5. एक क्षैतिज खंड का निर्माण करने के लिए, सामने के दृश्य में छेद के निचले तल के माध्यम से एक कटिंग लाइन बी-बी खींचें। आपको सबसे पहले बाईं माउस बटन पर डबल-क्लिक करके सामने का दृश्य चालू करना होगा। फिर एक क्षैतिज खंड का निर्माण किया जाता है (चित्र 117)।

6. ललाट अनुभाग का निर्माण करते समय, हम दृश्य के भाग और अनुभाग के भाग को जोड़ते हैं, क्योंकि ये सममित आकृतियाँ हैं। प्रिज्म का बाहरी किनारा दृश्य और अनुभाग को विभाजित करने वाली रेखा पर प्रक्षेपित होता है, इसलिए हम अंतर करेंगे समरूपता के अक्ष के दाईं ओर खींची गई एक ठोस पतली लहरदार रेखा के साथ दृश्य और अनुभाग, क्योंकि बाहरी पसली. एक लहरदार रेखा खींचने के लिए, बटन का उपयोग करेंज्योमेट्री पैनल पर स्थित बेज़ियर वक्र, फॉर ब्रेक लाइन शैली (चित्र 118) के साथ खींचा गया है। क्रमिक रूप से उन बिंदुओं को निर्दिष्ट करें जिनसे होकर बेज़ियर वक्र गुजरना चाहिए। आप ऑब्जेक्ट बनाएं बटन पर क्लिक करके कमांड निष्पादित करना समाप्त कर सकते हैं।

चित्र 118 विराम के लिए एक पंक्ति शैली का चयन करना

अनुभागों का निर्माण

अनुभाग किसी वस्तु की एक छवि है जो किसी समतल से वस्तु को मानसिक रूप से विच्छेदित करके प्राप्त की जाती है। अनुभाग केवल वही दिखाता है जो काटने वाले तल में स्थित है।

कटिंग प्लेन की स्थिति, जिसकी मदद से सेक्शन बनता है, ड्राइंग में सेक्शन लाइन द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे कि कट्स के लिए।

अनुभागों को, चित्रों में उनके स्थान के आधार पर, विस्तारित और सुपरइम्पोज़्ड में विभाजित किया गया है। निकाले गए अनुभाग अक्सर ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र पर स्थित होते हैं और एक मुख्य रेखा के साथ रेखांकित होते हैं। आरोपित अनुभागों को सीधे वस्तु की छवि पर रखा जाता है और पतली रेखाओं से रेखांकित किया जाता है (चित्र 119)।

चित्र 119 अनुभागों का निर्माण

आइए एक ऑफसेट झुके हुए खंड बी-बी (चित्र 117) के साथ एक प्रिज्म का चित्र बनाने के क्रम पर विचार करें।

1. दृश्य पर बाईं माउस बटन को सक्रिय रूप से डबल-क्लिक करके सामने का दृश्य बनाएं और बटन का उपयोग करके एक अनुभाग रेखा बनाएं कट रेखा . शिलालेख В-В के पाठ का चयन करें।

2. एसोसिएटिव व्यू पैनल (चित्र 115) पर स्थित कट लाइन बटन का उपयोग करते हुए, दिखाई देने वाला जाल छेदक रेखा को इंगित करेगा विमान बी-बी. प्रॉपर्टी बार पर सेक्शन/सेक्शन स्विच का उपयोग करके, छवि प्रकार - सेक्शन (चित्र 116) का चयन करें, प्रदर्शित अनुभाग का स्केल स्केल विंडो से चुना जाता है।

निर्मित अनुभाग एक प्रक्षेपण लिंक में स्थित है, जो ड्राइंग में इसके आंदोलन को सीमित करता है, लेकिन प्रक्षेपण लिंक को बटन का उपयोग करके अक्षम किया जा सकता है प्रक्षेपण संचार.

तैयार ड्राइंग पर आपको अक्षीय रेखाएँ खींचनी चाहिए और यदि आवश्यक हो, तो आयाम जोड़ें।

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी गणित परीक्षा में मुख्य भाग के रूप में समस्या समाधान शामिल होता है। समस्याओं को हल करने की क्षमता गणितीय विकास के स्तर का मुख्य संकेतक है।

अक्सर स्कूली परीक्षाओं के साथ-साथ विश्वविद्यालयों और तकनीकी स्कूलों में आयोजित परीक्षाओं में, ऐसे मामले होते हैं जब छात्र जो सिद्धांत के क्षेत्र में अच्छे परिणाम दिखाते हैं, जो सभी आवश्यक परिभाषाओं और प्रमेयों को जानते हैं, हल करते समय बहुत भ्रमित हो जाते हैं। सरल कार्य.

स्कूली शिक्षा के वर्षों में, प्रत्येक छात्र बड़ी संख्या में समस्याओं का समाधान करता है, लेकिन साथ ही, सभी छात्रों को समान कार्य दिए जाते हैं। और अगर कुछ छात्र सीखते हैं सामान्य नियमऔर समस्याओं को हल करने के तरीके, फिर अन्य, एक अपरिचित प्रकार की समस्या का सामना करने के बाद, यह भी नहीं जानते कि इसका समाधान कैसे किया जाए।

इस स्थिति का एक कारण यह है कि यदि कुछ छात्र किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में गहराई से उतरते हैं और उसे समझने और समझने का प्रयास करते हैं सामान्य तकनीकेंऔर उन्हें हल करने के तरीके, तो अन्य लोग इसके बारे में नहीं सोचते हैं, वे प्रस्तावित समस्याओं को जितनी जल्दी हो सके हल करने का प्रयास करते हैं।

कई छात्र हल की जा रही समस्याओं का विश्लेषण नहीं करते हैं और उन्हें हल करने के लिए सामान्य तकनीकों और तरीकों की पहचान नहीं करते हैं। ऐसे मामलों में, समस्याओं का समाधान केवल वांछित उत्तर प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण के लिए, कई छात्र यह भी नहीं जानते कि निर्माण समस्याओं को हल करने का सार क्या है। लेकिन निर्माण कार्यस्टीरियोमेट्री पाठ्यक्रम में अनिवार्य कार्य हैं। ये समस्याएँ न केवल अपने समाधान के तरीकों में सुंदर और मौलिक हैं, बल्कि इनका व्यावहारिक मूल्य भी बहुत अच्छा है।

निर्माण कार्यों के लिए धन्यवाद, मानसिक रूप से किसी चीज़ की कल्पना करने की क्षमता विकसित होती है। ज्यामितीय आकृति, स्थानिक सोच विकसित होती है, तर्कसम्मत सोच, साथ ही ज्यामितीय अंतर्ज्ञान। निर्माण संबंधी समस्याएं व्यावहारिक समस्या समाधान कौशल विकसित करती हैं।

निर्माण संबंधी समस्याएं सरल नहीं हैं, क्योंकि उन्हें हल करने के लिए कोई एक नियम या एल्गोरिदम नहीं है। प्रत्येक नया कार्यअद्वितीय है और इसकी आवश्यकता है व्यक्तिगत दृष्टिकोणएक निर्णय के लिए.

किसी भी निर्माण समस्या को हल करने की प्रक्रिया कुछ मध्यवर्ती निर्माणों का एक क्रम है जो लक्ष्य तक ले जाती है।

पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण निम्नलिखित सिद्धांतों पर आधारित है:

1) यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक निश्चित तल में स्थित हों, तो पूरी रेखा इसी तल में स्थित होती है;

2) यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमेय:यदि दो समानांतर तलों को तीसरा तल प्रतिच्छेद करता है, तो प्रतिच्छेदन की सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं।

बिंदु A, B और C से गुजरने वाले समतल के साथ पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण करें। निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें।

ट्रेस विधि

मैं।निर्माण प्रिज्म क्रॉस सेक्शनप्रिज्म के आधारों और बिंदु ए में से एक के तल पर दी गई सीधी रेखा जी (ट्रेस) से गुजरने वाला एक विमान।

मामला एक।

बिंदु ए प्रिज्म के दूसरे आधार (या रेखा जी के समानांतर एक चेहरा) से संबंधित है - काटने वाला विमान इस आधार (चेहरे) को ट्रेस जी के समानांतर खंड बीसी के साथ काटता है .

केस 2.

बिंदु A प्रिज्म के पार्श्व फलक से संबंधित है:

सीधी रेखा AD का खंड BC काटने वाले तल के साथ इस फलक का प्रतिच्छेदन है।

केस 3.

चतुष्कोणीय प्रिज्म के एक खंड का निर्माण, जिसमें प्रिज्म के निचले आधार के तल में सीधी रेखा जी और पार्श्व किनारों में से एक पर बिंदु ए से गुजरने वाला एक विमान है।

द्वितीय.निर्माण पिरामिड का क्रॉस सेक्शनपिरामिड के आधार और बिंदु ए के तल पर दी गई सीधी रेखा जी (निशान) से गुजरने वाला एक विमान।

एक समतल के साथ पिरामिड के एक खंड का निर्माण करने के लिए, काटने वाले तल के साथ इसके पार्श्व फलकों के प्रतिच्छेदन का निर्माण करना पर्याप्त है।

मामला एक।

यदि बिंदु ए सीधी रेखा जी के समानांतर एक चेहरे से संबंधित है, तो काटने वाला विमान इस चेहरे को जी के निशान के समानांतर खंड बीसी के साथ काटता है।

केस 2.

यदि अनुभाग से संबंधित बिंदु A, ऐसे फलक पर स्थित है जो ट्रेस g के फलक के समानांतर नहीं है, तो:

1) बिंदु डी का निर्माण किया गया है जिस पर चेहरे का तल दिए गए ट्रेस जी को काटता है;

2) बिंदु A और D से होकर एक सीधी रेखा खींचें।

सीधी रेखा AD का खंड BC काटने वाले तल के साथ इस फलक का प्रतिच्छेदन है।

खंड BC के सिरे भी पड़ोसी फलकों से संबंधित हैं। इसलिए, वर्णित विधि का उपयोग करके, काटने वाले विमान के साथ इन चेहरों के चौराहे का निर्माण करना संभव है। वगैरह।

केस 3.

एक चतुर्भुज पिरामिड के एक खंड का निर्माण करना जिसमें आधार के किनारे से गुजरने वाला एक विमान और किनारे के किनारों में से एक पर बिंदु ए हो।

चेहरे पर एक बिंदु के माध्यम से अनुभागों के निर्माण से जुड़ी समस्याएं

1. चतुष्फलक ABCD के एक खंड की रचना शीर्ष C से गुजरने वाले एक समतल द्वारा करें और क्रमशः ACD और ABC के फलकों पर बिंदु M और N रखें।

बिंदु C और M फलक ACD पर स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखा CM इस फलक के तल में स्थित है (चित्र .1)।

मान लीजिए P सीधी रेखाओं CM और AD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इसी प्रकार, बिंदु C और N फलक ACB में स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखा CN इस फलक के तल में स्थित है। मान लीजिए Q, रेखाओं CN और AB का प्रतिच्छेदन बिंदु है। बिंदु P और Q अनुभाग तल और फलक ABD दोनों से संबंधित हैं। इसलिए, खंड PQ खंड की भुजा है। अतः, त्रिभुज CPQ आवश्यक अनुभाग है।

2. समतल MPN द्वारा चतुष्फलक ABCD का एक खंड बनाएं, जहां बिंदु M, N, P क्रमशः किनारे AD पर, फलक BCD में और फलक ABC में स्थित हैं, और MN फलक ABC के समतल के समानांतर नहीं है (अंक 2).

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कार्य का लक्ष्य:
स्थानिक अवधारणाओं का विकास.
कार्य:
1. अनुभागों के निर्माण के नियमों का परिचय दें।
2. अनुभागों के निर्माण में कौशल विकसित करें
चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज अलग-अलग हैं
काटने वाले विमान को निर्दिष्ट करने के मामले।
3. नियम लागू करने की क्षमता विकसित करें
समस्याओं को हल करते समय अनुभागों का निर्माण करना
विषय "पॉलीहेड्रा"।

बहुतों को सुलझाने के लिए
ज्यामितिक
आवश्यक कार्य
अनुभाग बनाएं
बहुकोणीय आकृति
विभिन्न
विमान.

कटिंग प्लेन की अवधारणा

काटनेवाला
विमान
समानांतर खात
(चतुष्फलक)
किसी को भी बुलाया
समतल, दोनों तरफ
पक्षों से
जो है
किसी दिए गए अंक
समानांतर खात
(टेट्राहेड्रोन)।

एक बहुफलकीय खंड की अवधारणा

विमान काटना
किनारों को पार करता है
चतुर्पाश्वीय
(समानांतर चतुर्भुज) द्वारा
खंड.
बहुभुज, भुजाएँ
कौन सा डेटा है
खंड कहलाते हैं
टेट्राहेड्रोन का क्रॉस सेक्शन
(समानांतर चतुर्भुज)।

रेखाचित्रों से कार्य करना

कितने विमान खींचे जा सकते हैं
चयनित तत्वों के माध्यम से?
आपने कौन से सिद्धांत और प्रमेय लागू किए?

एक अनुभाग का निर्माण करना
बिंदुओं को आलेखित करने की आवश्यकता है
सेकेंट चौराहा
किनारों के साथ विमान और
उन्हें खंडों से जोड़ें.

अनुभागों के निर्माण के नियम

1. आप केवल दो को जोड़ सकते हैं
एक के तल में स्थित बिंदु
किनारों.
2. काटने वाला तल प्रतिच्छेद करता है
साथ में समानांतर चेहरे
समानांतर खंड.

अनुभागों के निर्माण के नियम

3. यदि चेहरे का तल अंकित हो
से संबंधित केवल एक बिंदु
अनुभाग विमान, तो यह आवश्यक है
एक अतिरिक्त बिंदु का निर्माण करें.
ऐसा करने के लिए आपको अंक ढूंढने होंगे
पहले से ही निर्मित के चौराहे
अन्य सीधी रेखाओं के साथ सीधी रेखाएँ,
उन्हीं किनारों पर पड़ा हुआ.

10. चतुष्फलकीय खंडों का निर्माण

11.

एक चतुष्फलक के 4 फलक होते हैं
खंडों में यह निकल सकता है
त्रिभुज
चतुर्भुज

12.

चतुष्फलक के एक क्रॉस सेक्शन का निर्माण करें
डीएबीसी विमान गुजर रहा है
बिंदु M,N,K के माध्यम से
1. आइए एक सीधी रेखा खींचें
अंक एम और के, क्योंकि वे झूठ बोलते हैं
एक चेहरे में (एडीसी)।
डी
एम
ए.ए.
एन
क
बी बी
सीसी
2. आइए एक सीधी रेखा खींचें
अंक K और N, क्योंकि वे
एक ही करवट लेट जाओ
(सीडीबी)।
3. इसी प्रकार तर्क करते हुए,
एक सीधी रेखा खींचिए एम.एन.
4. त्रिभुज एमएनके -
वांछित अनुभाग.

13. एबीसी के समानांतर बिंदु एम से गुजरना।

डी
1. आइए बिंदु M से होकर चित्र बनाएं
सीधा समानांतर
किनारा एबी
2.
एम
आर
ए
को
साथ
में
आइए बिंदु M से गुज़रें
सीधा समानांतर
एज ए.सी
3. आइए एक सीधी रेखा खींचें
बिंदु K और P, क्योंकि वे झूठ बोलते हैं
एक चेहरा (डीबीसी)
4. त्रिभुज एमपीके -
वांछित अनुभाग.

14.

एक समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें,
बिंदु E, F, K से होकर गुजरना।
डी
1. हम केएफ करते हैं।
2. हम एफई करते हैं।
3. चलिए जारी रखें
ईएफ, आइए एसी जारी रखें।
एफ
4.ईएफ एसी =एम
5. हम करते हैं
एम.के.
इ
एम
एबी=एल
6.
एमके
सी
ए
7. आचरण ईएल
एल
ईएफकेएल - आवश्यक अनुभाग
क
बी

15.

एक समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें,
बिंदु E, F, K से होकर गुजरना
जो लोग
क्यासीधा
बिंदु,
में लेटा हुआ
कर सकना
जोड़ना
परिणामस्वरूप
कौन
अंक
कर सकना
तुरंत
वह
वही
किनारों
कर सकना
जारी रखना,
को
पाना
अंक,
झूठ बोलना
वी
एक
जोड़ना?
जोड़ना
प्राप्त
अतिरिक्त
बिंदु?
किनारे,
नाम
अनुभाग।
अतिरिक्त बिंदु?
डी
एसी
ईएलएफके
एफएसईसी
और एक बिंदु
के, और ई
और एफ.के
एफ
एल
सी
एम
ए
इ
क
बी

16.

एक अनुभाग का निर्माण करें
चतुष्फलकीय विमान,
बिंदुओं से गुजरना
ई, एफ, के.
डी
एफ
एल
सी
ए
इ
क
बी
के बारे में

17.

निष्कर्ष: तरीका कोई भी हो
निर्माण अनुभाग समान हैं

18. समांतर चतुर्भुज खंडों का निर्माण

19.

एक चतुष्फलक के 6 फलक होते हैं
त्रिभुज
पेंटागन
इसके अनुभागों में यह सामने आ सकता है
चतुर्भुज
षटकोण

20. समतल के समांतर बिंदु X से गुजरने वाले समतल के साथ समांतर चतुर्भुज के एक खंड की रचना करें (OSV)

पहले में
ए 1
वाई
एक्स
डी1
एस
में
ए
डी
जेड
1. आइए आपको बताते हैं
सी 1
बिंदु X सीधी रेखा
किनारे के समानांतर
D1C1
2. बिंदु X से होकर
प्रत्यक्ष
किनारे के समानांतर
डी1डी
3. बिंदु Z से होकर एक सीधी रेखा गुजरती है
किनारे के समानांतर
साथ
डीसी
4. आइए एक सीधी रेखा खींचें
अंक S और Y, क्योंकि वे झूठ बोलते हैं
एक चेहरा (BB1C1)
XYSZ - आवश्यक अनुभाग

21.

समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें
विमान बिंदुओं से गुजर रहा है
पागल
पहले में
डी1
इ
ए 1
सी 1
में
ए
1. ई.पू
2. एमडी
3. ME//AD, क्योंकि (एबीसी)//(ए1बी1सी1)
4. ए.ई.
5. एईएमडी - आवश्यक अनुभाग
एम
डी
साथ

22. बिंदु M, K, T से गुजरने वाले समतल के साथ समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करें

एन
एम
को
आर
एस
एक्स
टी

23. कार्य स्वयं पूर्ण करें

एम
टी
को
एम
डी
को
टी
एक अनुभाग का निर्माण करें: ए) एक समानांतर चतुर्भुज;
बी) टेट्राहेड्रोन
विमान बिंदु M, T, K से होकर गुजर रहा है।

24. प्रयुक्त संसाधन

सोबोलेवा एल.आई. अनुभागों का निर्माण
तकाचेवा वी.वी. अनुभागों का निर्माण
चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज
गोबोज़ोवा एल.वी. निर्माण समस्याएं
धारा
डीवीडी. किरिल और से ज्यामिति पाठ
मेथोडियस। 10वीं कक्षा, 2005
प्रशिक्षण एवं परीक्षण कार्य.
ज्यामिति। 10वीं कक्षा (नोटबुक)/एलेशिना
टी.एन. - एम.: इंटेलेक्ट-सेंटर, 1998

दिमित्रीव एंटोन, किरीव अलेक्जेंडर

यह प्रस्तुति स्पष्ट रूप से, चरण दर चरण, सरल से अधिक जटिल समस्याओं तक अनुभागों के निर्माण के उदाहरण दिखाती है। एनिमेशन आपको अनुभागों के निर्माण के चरणों को देखने की अनुमति देता है

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प्रिज्म के उदाहरण का उपयोग करके पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण ® निर्माता: एंटोन दिमित्रीव, अलेक्जेंडर किरीव। की सहायता से: ओल्गा विक्टोरोव्ना गुडकोवा

पाठ योजना अनुभागों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम स्व-परीक्षण प्रदर्शन कार्य सामग्री को समेकित करने के लिए कार्य

आंतरिक डिजाइन के काटने वाले विमान के समानांतर स्थानांतरण की समानांतर रेखाओं के निशान के अनुभागों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम, एक त्रिकोणीय प्रिज्म में एन-गोनल प्रिज्म को जोड़ने की एक संयुक्त विधि। विधि का उपयोग करके एक अनुभाग का निर्माण:

ट्रेस विधि का उपयोग करके एक अनुभाग का निर्माण करना बुनियादी अवधारणाएं और कौशल एक समतल पर एक सीधी रेखा का एक निशान बनाना एक काटने वाले विमान का एक निशान बनाना एक अनुभाग का निर्माण करना

ट्रेस विधि का उपयोग करके एक अनुभाग के निर्माण के लिए एल्गोरिदम पता लगाएं कि क्या एक चेहरे पर दो अनुभाग बिंदु हैं (यदि हां, तो आप उनके माध्यम से अनुभाग के किनारे को खींच सकते हैं)। पॉलीहेड्रॉन के आधार के तल पर एक सेक्शन ट्रेस का निर्माण करें। पॉलीहेड्रॉन के किनारे पर एक अतिरिक्त अनुभाग बिंदु ढूंढें (अनुभाग बिंदु वाले चेहरे के आधार पक्ष को तब तक बढ़ाएं जब तक कि यह ट्रेस के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए)। ट्रेस पर परिणामी अतिरिक्त बिंदु और चयनित चेहरे में अनुभाग बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, चेहरे के किनारों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। पूरा चरण 1.

प्रिज्म के एक खंड का निर्माण, एक ही फलक से संबंधित कोई भी दो बिंदु नहीं हैं। बिंदु R आधार के तल में स्थित है। आइए आधार तल पर सीधी रेखा KQ का निशान ढूंढें: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R अनुभाग का निशान है। 3. T1R ∩CD=E. 4. आइए एक EQ करें। EQ∩DD1=N. 5. आइए एनके को अंजाम दें। एनके ∩AA1=M. 6. एम और आर को कनेक्ट करें। गुजरने वाले समतल α द्वारा एक खंड का निर्माण करें अंक K,Q,R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB।

समानांतर रेखाओं की विधि यह विधि समानांतर विमानों की संपत्ति पर आधारित है: “यदि दो समानांतर विमानों को एक तिहाई द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखाएं समानांतर होती हैं। बुनियादी कौशल और अवधारणाएँ किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान का निर्माण करना, विमानों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करना, एक खंड का निर्माण करना

समानांतर रेखाओं की विधि का उपयोग करके एक खंड के निर्माण के लिए एल्गोरिदम। हम अनुभाग को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के अनुमान बनाते हैं। दो दिए गए बिंदुओं (उदाहरण के लिए पी और क्यू) और उनके प्रक्षेपणों के माध्यम से हम एक विमान बनाते हैं। तीसरे बिंदु (उदाहरण के लिए आर) के माध्यम से हम इसके समानांतर एक विमान बनाते हैं α। हम बिंदु P और Q वाले बहुफलक के फलकों के साथ समतल α की प्रतिच्छेदन रेखाएँ (उदाहरण के लिए m और n) पाते हैं। बिंदु R से होकर हम PQ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। हम रेखाओं m और n के साथ रेखा a के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। हम संगत फलक के किनारों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं।

(प्रिज्म) हम ऊपरी और निचले आधारों के तल पर बिंदु पी और क्यू के प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं। हम समतल P1Q1Q2P2 बनाते हैं। बिंदु R वाले किनारे के माध्यम से, हम P1Q1Q2 के समानांतर एक विमान α खींचते हैं। हम समतल α के साथ समतल ABB1 और CDD1 की प्रतिच्छेदन रेखाएँ पाते हैं। बिंदु R से होकर हम एक सीधी रेखा a||PQ खींचते हैं। a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR आवश्यक अनुभाग है. गुजरने वाले समतल α द्वारा एक खंड का निर्माण करें अंक पी, क्यू, आर; पी = एबीबी1, क्यू = सीडीडी1, आर = ईई1।

कटिंग प्लेन के समानांतर अनुवाद की विधि हम इस पॉलीहेड्रॉन के एक सहायक खंड का निर्माण करते हैं जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है: यह कटिंग प्लेन के समानांतर है; किसी दिए गए बहुफलक की सतह के प्रतिच्छेदन पर यह एक त्रिभुज बनाता है। हम त्रिभुज के शीर्ष के प्रक्षेपण को बहुफलक के फलक के शीर्षों से जोड़ते हैं जिसे सहायक खंड प्रतिच्छेद करता है, और इस फलक में स्थित त्रिभुज के किनारे के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। त्रिभुज के शीर्ष को इन बिंदुओं से जोड़ें। वांछित खंड के बिंदु के माध्यम से हम पिछले पैराग्राफ में निर्मित खंडों के समानांतर सीधी रेखाएं खींचते हैं और पॉलीहेड्रॉन के किनारों के साथ चौराहे के बिंदु ढूंढते हैं।

प्रिज्म आर = एए1, पी = ईडीडी1, क्यू = सीडीडी1। आइए सहायक अनुभाग AMQ1 ||RPQ का निर्माण करें। आइए हम AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1 निष्पादित करें। पी1 - एबीसी पर बिंदु पी और एम का प्रक्षेपण। आइए P1B और P1C को अंजाम दें। Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. बिंदु P से होकर हम क्रमशः MO1 और MO2 के समानांतर रेखाएँ m और n खींचते हैं। m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. आरकेएलटीएस - आवश्यक अनुभाग बिंदु पी, क्यू, आर से गुजरने वाले विमान α द्वारा प्रिज्म के एक अनुभाग का निर्माण करें; पी = ईडीडी1, क्यू = सीडीडी1, आर = एए1।

आंतरिक डिज़ाइन विधि का उपयोग करके एक अनुभाग के निर्माण के लिए एल्गोरिदम। सहायक अनुभागों का निर्माण करें और उनके प्रतिच्छेदन की रेखा ज्ञात करें। एक बहुफलक के किनारे पर एक सेक्शन ट्रेस का निर्माण करें। यदि अनुभाग के निर्माण के लिए पर्याप्त अनुभाग बिंदु नहीं हैं, तो चरण 1-2 दोहराएं।

सहायक अनुभागों का निर्माण. PRISMA समानांतर डिजाइन।

एक किनारे पर एक सेक्शन ट्रेस का निर्माण

संयुक्त विधि. दूसरी रेखा q और पहली रेखा p के किसी बिंदु W से होकर एक समतल β खींचिए। β तल में, बिंदु W से होकर, q के समानांतर एक सीधी रेखा q' खींचें। प्रतिच्छेदी रेखाएँ p और q' समतल α को परिभाषित करती हैं। समतल α द्वारा बहुफलक के एक खंड का सीधा निर्माण विधि का सार स्वयंसिद्ध विधि के साथ संयोजन में अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की समानता पर प्रमेय का अनुप्रयोग है। समांतरता की स्थिति के साथ बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जाता है। 1. किसी अन्य दी गई रेखा q के समानांतर दी गई रेखा p से गुजरने वाले समतल α के साथ एक बहुफलक के एक खंड का निर्माण करना।

PRISM AE1 के समानांतर रेखा PQ से गुजरने वाले समतल α के साथ प्रिज्म के एक खंड का निर्माण करें; पी = बीई, क्यू = ई1सी1। 1. रेखा AE1 और बिंदु P से होकर एक समतल खींचिए। 2. बिंदु P से होकर जाने वाले समतल AE1P में AE1 के समानांतर एक रेखा q" खींचिए। q"∩E1S'=K. 3. आवश्यक समतल α प्रतिच्छेदी रेखाओं PQ और PK द्वारा निर्धारित होता है। 4. P1 और K1, A1B1C1 पर बिंदु P और K के प्रक्षेपण हैं। P1K1∩PK=S।” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”', S”'L∩AE=T, TP∩BC=V. टीवीएमएनएल आवश्यक अनुभाग है।

एक त्रिकोणीय प्रिज्म (पिरामिड) में एन-गोनल प्रिज्म (पिरामिड) को पूरक करने की विधि। यह प्रिज्म (पिरामिड) उन चेहरों से एक त्रिकोणीय प्रिज्म (पिरामिड) बनाया जाता है जिनके पार्श्व किनारों या चेहरों पर ऐसे बिंदु होते हैं जो वांछित अनुभाग को परिभाषित करते हैं। परिणामी त्रिकोणीय प्रिज्म (पिरामिड) का एक क्रॉस सेक्शन बनाया गया है। वांछित अनुभाग एक त्रिकोणीय प्रिज्म (पिरामिड) के अनुभाग के भाग के रूप में प्राप्त किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाएं और कौशल सहायक अनुभागों का निर्माण एक किनारे पर एक अनुभाग ट्रेस का निर्माण एक अनुभाग का निर्माण केंद्रीय डिजाइन समानांतर डिजाइन

प्रिज्म Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. हम प्रिज्म को त्रिकोणीय बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, निचले आधार की भुजाओं का विस्तार करें: AE, BC, ED और ऊपरी आधार: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. हम आंतरिक डिजाइन विधि का उपयोग करके PQR विमान का उपयोग करके परिणामी प्रिज्म KLEK1L1E1 का एक खंड बनाते हैं। यह अनुभाग हम जो खोज रहे हैं उसका हिस्सा है। हम आवश्यक अनुभाग का निर्माण करते हैं।

आत्म-नियंत्रण के लिए नियम यदि बहुफलक उत्तल है, तो अनुभाग उत्तल बहुभुज है। बहुभुज के शीर्ष सदैव बहुफलक के किनारों पर स्थित होते हैं। यदि अनुभाग बिंदु बहुफलक के किनारों पर स्थित हैं, तो वे बहुभुज के शीर्ष हैं जो अनुभाग में प्राप्त होंगे। यदि खंड बिंदु बहुफलक के फलकों पर स्थित हैं, तो वे बहुभुज के किनारों पर स्थित हैं जो खंड में प्राप्त होंगे। खंड में प्राप्त बहुभुज की दोनों भुजाएँ बहुफलक के एक ही फलक से संबंधित नहीं हो सकतीं। यदि अनुभाग दो समानांतर चेहरों को काटता है, तो खंड (बहुभुज की भुजाएँ जो अनुभाग में प्राप्त होंगी) समानांतर होंगी।

पॉलीहेड्रा के अनुभागों के निर्माण के लिए बुनियादी समस्याएं यदि दो विमानों में दो सामान्य बिंदु हैं, तो इन बिंदुओं के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा इन विमानों के चौराहे की रेखा है। एम = एडी, एन = डीसीसी1, डी1; ABCDA1B1C1D1 - घन M = ADD1, D1 = ADD1, MD1। D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. एम = एबीसी, क्यू = एबीसी, एमक्यू। द्वितीय. यदि दो समानान्तर तलों को एक तिहाई द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखाएँ समानान्तर होती हैं। एम = सीसी1, एडी1; ABCDA1B1C1D1- घन एमके||एडी1, के є बीसी। एम = डीसीसी1, डी1 = डीसीसी1, एमडी1। ए = एबीसी, के = एबीसी, एके।

तृतीय. तीन तलों का उभयनिष्ठ बिंदु (त्रिफलकीय कोण का शीर्ष) उनके युग्मित प्रतिच्छेदन (त्रिफलकीय कोण के किनारों) की रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु होता है। एम = एबी, एन = एए1, के = ए1डी1; ABCDA1B1C1D1- घन NK∩AD=F1 - समतल α, ABC, ADD1 द्वारा निर्मित त्रिफलकीय कोण का शीर्ष। F1M∩CD=F2 - समतल α, ABC, CDD1 द्वारा निर्मित त्रिफलकीय कोण का शीर्ष। F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - समतल α, D1DC, ADD1 द्वारा निर्मित त्रिफलकीय कोण का शीर्ष। F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. चतुर्थ. यदि एक विमान दूसरे विमान के समानांतर एक रेखा से होकर गुजरता है और उसे काटता है, तो प्रतिच्छेदन रेखा इस रेखा के समानांतर होती है। A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - प्रिज्म। α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. A1,P और C कनेक्ट करें.

V. यदि कोई रेखा खंड तल में स्थित है, तो बहुफलक के मुख के तल के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु खंड, फलक और इस रेखा वाले सहायक तल द्वारा निर्मित त्रिफलकीय कोण का शीर्ष होता है। एम = ए1बी1सी1, के = बीसीसी1, एन = एबीसी; ABCDA1B1C1 एक समांतर चतुर्भुज है। 1 . सहायक विमान MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S विमानों द्वारा गठित त्रिफलकीय कोण का शीर्ष है: α, ABC, MKK1। 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

कार्य. कौन सी आकृति एबीसी विमान का उपयोग करके घन के एक खंड को दिखाती है? चयनित तत्वों के माध्यम से कितने तल खींचे जा सकते हैं? आपने कौन से सिद्धांत और प्रमेय लागू किए? निष्कर्ष निकालें कि घन में एक खंड का निर्माण कैसे करें? आइए चतुष्फलक (समानांतर चतुर्भुज, घन) के खंडों के निर्माण के चरणों को याद करें। इसका परिणाम किस बहुभुज में हो सकता है?