कई मामलों में, बिल्ली की सांख्यिकीय आबादी में बड़ी या उससे भी अधिक शामिल होती है असीमित संख्याविकल्प, जो अक्सर निरंतर भिन्नता के साथ पाया जाता है, प्रत्येक विकल्प के लिए इकाइयों का समूह बनाना व्यावहारिक रूप से असंभव और अव्यावहारिक है। ऐसे मामलों में, सांख्यिकीय इकाइयों को समूहों में संयोजित करना केवल एक अंतराल के आधार पर संभव है, अर्थात। ऐसा समूह जिसमें विभिन्न विशेषताओं के मूल्यों के लिए कुछ सीमाएँ होती हैं। इन सीमाओं को दो संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है जो प्रत्येक समूह की ऊपरी और निचली सीमाओं को दर्शाती हैं। अंतरालों के उपयोग से अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण होता है।

अंतराल रेडएक विविधता शृंखला है, जिसके विभिन्न रूप अंतरालों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

एक अंतराल श्रृंखला समान और असमान अंतरालों के साथ बनाई जा सकती है, जबकि इस श्रृंखला के निर्माण के लिए सिद्धांत का चुनाव मुख्य रूप से सांख्यिकीय आबादी की प्रतिनिधित्वशीलता और सुविधा की डिग्री पर निर्भर करता है। यदि जनसंख्या इकाइयों की संख्या के संदर्भ में काफी बड़ी (प्रतिनिधि) है और इसकी संरचना में पूरी तरह से सजातीय है, तो अंतराल श्रृंखला के गठन को अंतराल की समानता पर आधारित करने की सलाह दी जाती है। आमतौर पर, इस सिद्धांत का उपयोग करके, उन आबादी के लिए एक अंतराल श्रृंखला बनाई जाती है जहां भिन्नता की सीमा अपेक्षाकृत छोटी होती है, यानी। अधिकतम और न्यूनतम विकल्प आमतौर पर कई बार एक-दूसरे से भिन्न होते हैं। इस मामले में, समान अंतरालों के मान की गणना किसी विशेषता की भिन्नता की सीमा और गठित अंतरालों की दी गई संख्या के अनुपात से की जाती है। बराबर निर्धारित करना औरअंतराल, स्टर्गेस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है (आमतौर पर अंतराल विशेषताओं की एक छोटी भिन्नता और सांख्यिकीय आबादी में बड़ी संख्या में इकाइयों के साथ):

कहां एक्स मैं - समान अंतराल मान; एक्स अधिकतम, एक्स न्यूनतम - सांख्यिकीय समुच्चय में अधिकतम और न्यूनतम विकल्प; एन . - कुल इकाइयों की संख्या.

उदाहरण. सीज़ियम के साथ रेडियोधर्मी संदूषण के घनत्व के अनुसार एक समान अंतराल के आकार की गणना करने की सलाह दी जाती है - मोगिलेव क्षेत्र के क्रास्नोपोलस्की जिले की 100 बस्तियों में 137, यदि यह ज्ञात हो कि प्रारंभिक (न्यूनतम) विकल्प I किमी के बराबर है /किमी 2, अंतिम (अधिकतम) - 65 कि/किमी 2. सूत्र 5.1 का उपयोग करना। हम पाते हैं:

इसलिए, एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए समान अंतराल परसीज़ियम संदूषण के घनत्व के अनुसार - क्रास्नोपोलस्की क्षेत्र की 137 बस्तियाँ, समान अंतराल का आकार 8 Ki/km 2 हो सकता है।

असमान वितरण की स्थितियों में, अर्थात्। जब अधिकतम और न्यूनतम विकल्प सैकड़ों बार होते हैं, तो अंतराल श्रृंखला बनाते समय, आप सिद्धांत लागू कर सकते हैं असमानअंतराल. जैसे-जैसे हम विशेषता के बड़े मूल्यों की ओर बढ़ते हैं, असमान अंतराल आमतौर पर बढ़ते जाते हैं।

अंतरालों का आकार बंद या खुला हो सकता है। बंद किया हुआऐसे अंतरालों को कॉल करने की प्रथा है जिनमें निचली और ऊपरी दोनों सीमाएँ होती हैं। खुलाअंतरालों की केवल एक सीमा होती है: पहले अंतराल में एक ऊपरी सीमा होती है, अंतिम में एक निचली सीमा होती है।

मूल्यांकन अंतराल श्रृंखला, विशेष रूप से असमान अंतरालों पर, इसे ध्यान में रखते हुए कार्यान्वित करने की सलाह दी जाती है वितरण घनत्व, जिसकी गणना करने का सबसे सरल तरीका स्थानीय आवृत्ति (या आवृत्ति) और अंतराल के आकार का अनुपात है।

व्यावहारिक रूप से एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए, आप तालिका लेआउट का उपयोग कर सकते हैं। 5.3.

तालिका 5.3. अंतराल श्रृंखला बनाने की प्रक्रिया बस्तियोंसीज़ियम -137 के साथ रेडियोधर्मी संदूषण के घनत्व के अनुसार क्रास्नोपोलस्की जिला

अंतराल श्रृंखला का मुख्य लाभ इसकी अधिकतमता है सघनता.उसी समय, अंतराल वितरण श्रृंखला में, विशेषता के अलग-अलग प्रकार संबंधित अंतराल में छिपे होते हैं

जब आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली में एक अंतराल श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जाता है, तो अंतराल की ऊपरी सीमाओं को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और श्रृंखला की स्थानीय आवृत्तियों को कोर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। एक अंतराल श्रृंखला का ग्राफिकल निर्माण एक वितरण बहुभुज के निर्माण से भिन्न होता है जिसमें प्रत्येक अंतराल में निचली और ऊपरी सीमाएं होती हैं, और दो एब्सिस्सा एक कोटि मान के अनुरूप होते हैं। इसलिए, एक अंतराल श्रृंखला के ग्राफ़ पर, एक बिंदु को चिह्नित नहीं किया जाता है, जैसा कि बहुभुज में होता है, बल्कि दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक रेखा को चिह्नित किया जाता है। इन क्षैतिज रेखाओं को ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा एक दूसरे से जोड़ा जाता है और एक चरणबद्ध बहुभुज की आकृति प्राप्त होती है, जिसे सामान्यतः कहा जाता है हिस्टोग्रामवितरण (चित्र 5.3)।

पर ग्राफिक निर्माणपर्याप्त रूप से बड़ी सांख्यिकीय आबादी पर अंतराल श्रृंखला, हिस्टोग्राम दृष्टिकोण सममितवितरण का स्वरूप. उन मामलों में जहां सांख्यिकीय जनसंख्या छोटी है, एक नियम के रूप में, विषमबार चार्ट।

कुछ मामलों में, संचित आवृत्तियों की एक श्रृंखला बनाने की सलाह दी जाती है, अर्थात। संचयीपंक्ति। असतत या अंतराल वितरण श्रृंखला के आधार पर एक संचयी श्रृंखला बनाई जा सकती है। जब आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली में संचयी श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जाता है, तो वेरिएंट को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) को ऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। परिणामी घुमावदार रेखा को आमतौर पर कहा जाता है संचयीवितरण (चित्र 5.4)।

गठन और ग्राफिक प्रतिनिधित्व विभिन्न प्रकार केविविधता श्रृंखला मुख्य सांख्यिकीय विशेषताओं की सरलीकृत गणना में योगदान करती है, जिस पर विषय 6 में विस्तार से चर्चा की गई है, सांख्यिकीय जनसंख्या के वितरण के नियमों के सार को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती है। विश्लेषण विविधता श्रृंखलाउन मामलों में विशेष महत्व प्राप्त करता है जहां विकल्पों और आवृत्तियों (आवृत्तियों) के बीच संबंध को पहचानना और पता लगाना आवश्यक है। यह निर्भरता इस तथ्य में प्रकट होती है कि प्रति विकल्प मामलों की संख्या एक निश्चित तरीके से इस विकल्प के आकार से संबंधित होती है, अर्थात। अलग-अलग विशेषताओं के बढ़ते मूल्यों के साथ, इन मूल्यों की आवृत्तियों (आवृत्तियों) में निश्चित, व्यवस्थित परिवर्तन का अनुभव होता है। इसका मतलब यह है कि फ़्रीक्वेंसी (आवृत्ति) कॉलम में संख्याएँ अव्यवस्थित रूप से उतार-चढ़ाव नहीं करती हैं, बल्कि एक निश्चित दिशा में, एक निश्चित क्रम और अनुक्रम में बदलती हैं।

यदि आवृत्तियाँ अपने परिवर्तनों में एक निश्चित व्यवस्थितता दिखाती हैं, तो इसका मतलब है कि हम एक पैटर्न की पहचान करने की राह पर हैं। बदलती आवृत्तियों में व्यवस्था, क्रम, क्रम का प्रतिबिम्ब है सामान्य कारण, सामान्य परिस्थितियां, संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता।

यह नहीं माना जाना चाहिए कि वितरण पैटर्न हमेशा तैयार रूप में दिया जाता है। ऐसी बहुत सी विविधता श्रृंखलाएँ हैं जिनमें आवृत्तियाँ विचित्र रूप से उछलती हैं, कभी बढ़ती हैं, कभी घटती हैं। ऐसे मामलों में, यह पता लगाना उचित है कि शोधकर्ता किस प्रकार के वितरण से निपट रहा है: या तो इस वितरण में कोई अंतर्निहित पैटर्न नहीं है, या इसकी प्रकृति अभी तक सामने नहीं आई है: पहला मामला दुर्लभ है, लेकिन दूसरा यह मामला काफी सामान्य और बहुत व्यापक घटना है।

इस प्रकार, एक अंतराल श्रृंखला बनाते समय, सांख्यिकीय इकाइयों की कुल संख्या छोटी हो सकती है, और प्रत्येक अंतराल में छोटी संख्या में वेरिएंट होते हैं (उदाहरण के लिए, 1-3 इकाइयाँ)। ऐसे मामलों में, किसी भी पैटर्न के प्रकट होने पर भरोसा नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक अवलोकनों के आधार पर प्राकृतिक परिणाम प्राप्त करने के लिए कानून का लागू होना आवश्यक है बड़ी संख्या, अर्थात। ताकि प्रत्येक अंतराल के लिए कई नहीं, बल्कि दसियों और सैकड़ों सांख्यिकीय इकाइयाँ हों। इस प्रयोजन के लिए, हमें यथासंभव अवलोकनों की संख्या बढ़ाने का प्रयास करना चाहिए। यह सर्वाधिक है सही तरीकासामूहिक प्रक्रियाओं में पैटर्न का पता लगाना। अगर ऐसा नहीं लगता है वास्तविक अवसरप्रेक्षणों की संख्या बढ़ाएँ, फिर वितरण श्रृंखला में अंतरालों की संख्या कम करके एक पैटर्न की पहचान प्राप्त की जा सकती है। भिन्नता श्रृंखला में अंतरालों की संख्या कम करने से, प्रत्येक अंतराल में आवृत्तियों की संख्या बढ़ जाती है। इसका मतलब है कि प्रत्येक का यादृच्छिक उतार-चढ़ाव सांख्यिकीय इकाईएक दूसरे को ओवरलैप करें, "सुचारू करें", एक पैटर्न में बदल दें।

भिन्नता श्रृंखला का गठन और निर्माण हमें सांख्यिकीय जनसंख्या के वितरण की केवल एक सामान्य, अनुमानित तस्वीर प्राप्त करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, एक हिस्टोग्राम केवल मोटे रूप में किसी विशेषता के मूल्यों और उसकी आवृत्तियों (आवृत्तियों) के बीच संबंध को व्यक्त करता है। इसलिए, भिन्नता श्रृंखला अनिवार्य रूप से स्थैतिक की आंतरिक नियमितता के आगे, गहन अध्ययन का आधार है वितरण।

विषय 5 के लिए परीक्षण प्रश्न

1. भिन्नता क्या है? सांख्यिकीय जनसंख्या में किसी विशेषता में भिन्नता का क्या कारण है?

2. सांख्यिकी में किस प्रकार की भिन्न विशेषताएँ हो सकती हैं?

3. विविधता श्रृंखला क्या है? विविधता श्रृंखला किस प्रकार की हो सकती है?

4. रैंक श्रृंखला क्या है? इसके फायदे और नुकसान क्या हैं?

5. असतत श्रृंखला क्या है और इसके फायदे और नुकसान क्या हैं?

6. अंतराल श्रृंखला बनाने की प्रक्रिया क्या है, इसके फायदे और नुकसान क्या हैं?

7. क्रमबद्ध, पृथक, अंतराल वितरण श्रृंखला का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व क्या है?

8. वितरण का संचय क्या है और इसकी विशेषता क्या है?

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काम1

के बारे में निम्नलिखित जानकारी उपलब्ध है वेतनउद्यम में कर्मचारी:

तालिका 1.1

	पारंपरिक शर्तों में मजदूरी की राशि. माँद इकाइयां

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना आवश्यक है जिसके द्वारा ज्ञात किया जा सके;

1) औसत वेतन;

2) औसत रैखिक विचलन;

4) मानक विचलन;

5) भिन्नता की सीमा;

6) दोलन गुणांक;

7) रैखिक गुणांकविविधताएँ;

8) भिन्नता का सरल गुणांक;

10) माध्यिका;

11) विषमता गुणांक;

12) पियर्सन असममिति सूचकांक;

13) कुर्टोसिस गुणांक।

समाधान

जैसा कि आप जानते हैं, विकल्प (मान्य मान) को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है असतत भिन्नता श्रृंखला। बड़ी संख्या के साथ विकल्प (10 से अधिक), असतत भिन्नता के मामले में भी, अंतराल श्रृंखला का निर्माण किया जाता है।

यदि एक अंतराल श्रृंखला को सम अंतरालों के साथ संकलित किया जाता है, तो भिन्नता की सीमा को अंतरालों की निर्दिष्ट संख्या से विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, यदि परिणामी मान पूर्णांक और असंदिग्ध है (जो दुर्लभ है), तो अंतराल की लंबाई इस संख्या के बराबर मानी जाती है। अन्य मामलों में उत्पादन गोलाई अनिवार्य रूप से वी ओर बढ़ोतरी, इसलिए को शेष अंतिम अंक सम था। जाहिर है, जैसे-जैसे अंतराल की लंबाई बढ़ती है अंतराल की संख्या के उत्पाद के बराबर मात्रा में भिन्नता की सीमा: अंतराल की गणना और प्रारंभिक लंबाई के बीच के अंतर से

ए) यदि भिन्नता की सीमा के विस्तार का परिमाण महत्वहीन है, तो इसे या तो विशेषता के सबसे बड़े मूल्य में जोड़ा जाता है या सबसे छोटे मूल्य से घटाया जाता है;

बी) यदि भिन्नता की सीमा के विस्तार का परिमाण ध्यान देने योग्य है, तो, ताकि सीमा का केंद्र न बदले, इसे लगभग आधे में विभाजित किया जाता है, साथ ही सबसे बड़े में जोड़ा जाता है और घटाया जाता है सबसे कम मूल्यसंकेत।

यदि असमान अंतराल वाली एक अंतराल श्रृंखला संकलित की जाती है, तो प्रक्रिया सरल हो जाती है, लेकिन फिर भी अंतराल की लंबाई को अंतिम सम अंक के साथ एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, जो संख्यात्मक विशेषताओं की बाद की गणना को बहुत सरल बनाता है।

30 नमूना आकार है.

आइए स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके एक अंतराल वितरण श्रृंखला बनाएं:

के = 1 + 3.32*लॉग एन,

के - समूहों की संख्या;

के = 1 + 3.32*एलजी 30 = 5.91=6

हम सूत्र का उपयोग करके विशेषता की सीमा - उद्यम में श्रमिकों की मजदूरी - (x) पाते हैं

आर= एक्समैक्स - एक्समिन और 6 से विभाजित करें; आर=195-112=83

तो अंतराल की लंबाई होगी एललेन=83:6=13.83

पहले अंतराल की शुरुआत 112 होगी। 112 में जोड़ने पर एलरास = 13.83, हमें इसका अंतिम मान 125.83 मिलता है, जो दूसरे अंतराल की शुरुआत भी है, आदि। पांचवें अंतराल का अंत - 195.

आवृत्तियों को खोजते समय, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: "यदि किसी सुविधा का मान आंतरिक अंतराल की सीमा के साथ मेल खाता है, तो इसे पिछले अंतराल के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।"

हमें आवृत्तियों और संचयी आवृत्तियों की एक अंतराल श्रृंखला प्राप्त होती है।

तालिका 1.2

इसलिए, 3 कर्मचारियों का वेतन है। 112 से 125.83 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों तक शुल्क। उच्चतम वेतन 181.15 से 195 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों तक शुल्क। केवल 6 कर्मचारी।

संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करने के लिए, हम अंतराल श्रृंखला को एक अलग श्रृंखला में बदलते हैं, अंतराल के मध्य को एक विकल्प के रूप में लेते हैं:

तालिका 1.3

							14131,83

भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करना

पारंपरिक मौद्रिक इकाइयाँ

औसत रैखिक विचलन:

जहां xi जनसंख्या की i-वीं इकाई के लिए अध्ययन की जा रही विशेषता का मान है,

अध्ययन किए गए गुण का औसत मूल्य।

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एलपर पोस्ट किया गया http://www.allbest.ru/

पारंपरिक मौद्रिक इकाइयाँ

मानक विचलन:

फैलाव:

भिन्नता की सापेक्ष सीमा (दोलन गुणांक): सी = आर:,

सापेक्ष रैखिक विचलन:क्यू = एल:

भिन्नता का गुणांक: वी = वाई:

दोलन गुणांक अंकगणित माध्य के आसपास किसी विशेषता के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है, और भिन्नता का गुणांक जनसंख्या की डिग्री और एकरूपता को दर्शाता है।

सी= आर: = 83 / 159.485*100% = 52.043%

इस प्रकार, चरम मूल्यों के बीच का अंतर उद्यम में कर्मचारियों के औसत वेतन से 5.16% (=94.84%-100%) कम है।

क्यू = एल: = 17.765/159.485*100% = 11.139%

वी = वाई: = 21.704/159.485*100% = 13.609%

भिन्नता का गुणांक 33% से कम है, जो उद्यम में श्रमिकों के वेतन में कमजोर भिन्नता को इंगित करता है, अर्थात। औसत मूल्य श्रमिकों के वेतन की एक विशिष्ट विशेषता है (जनसंख्या सजातीय है)।

अंतराल वितरण श्रृंखला में पहनावासूत्र द्वारा निर्धारित -

मोडल अंतराल की आवृत्ति, यानी सबसे बड़ी संख्या में विकल्पों वाला अंतराल;

मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति;

मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति;

मोडल अंतराल लंबाई;

मोडल अंतराल की निचली सीमा.

निर्धारण हेतु माध्यिकाओंअंतराल श्रृंखला में हम सूत्र का उपयोग करते हैं

माध्यिका से पहले के अंतराल की संचयी (संचित) आवृत्ति कहां है;

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा;

माध्यिका अंतराल आवृत्ति;

माध्यिका अंतराल की लंबाई.

माध्यिका अंतराल- एक अंतराल जिसकी संचित आवृत्ति (=3+3+5+7) आवृत्तियों के योग के आधे से अधिक है - (153.49; 167.32)।

आइए विषमता और कुर्टोसिस की गणना करें, जिसके लिए हम एक नई वर्कशीट बनाएंगे:

तालिका 1.4

तथ्यात्मक डेटा	गणना डेटा

आइए तीसरे क्रम के क्षण की गणना करें

इसलिए, विषमता बराबर है

0.3553 0.25 के बाद से, विषमता को महत्वपूर्ण माना जाता है।

आइए चौथे क्रम के क्षण की गणना करें

इसलिए, कर्टोसिस बराबर है

क्योंकि< 0, то эксцесс является плосковершинным.

विषमता की डिग्री पियर्सन विषमता गुणांक (एएस) का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: दोलन नमूना मूल्य कारोबार

वितरण श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य कहाँ है; -- पहनावा; -- मानक विचलन।

सममित (सामान्य) वितरण के साथ = मो, इसलिए, विषमता गुणांक शून्य है। यदि As> 0 है, तो अधिक मोड है, इसलिए, दाएं हाथ की विषमता है।

के रूप में अगर< 0, то कम फैशन, इसलिए, बाईं ओर की विषमता है। विषमता गुणांक -3 से +3 तक भिन्न हो सकता है।

वितरण सममित नहीं है, बल्कि बायीं ओर की विषमता है।

काम 2

नमूना आकार क्या होना चाहिए ताकि संभावना 0.954 के साथ नमूना त्रुटि 0.04 से अधिक न हो, यदि पिछले सर्वेक्षणों के आधार पर, यह ज्ञात हो कि भिन्नता 0.24 है?

समाधान

गैर-दोहरावीय नमूने के लिए नमूना आकार की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

टी - आत्मविश्वास गुणांक (0.954 की संभावना के साथ यह 2.0 के बराबर है; संभाव्यता अभिन्न की तालिकाओं से निर्धारित),

y2=0.24 - मानक विचलन;

10,000 लोग - नमूने का आकार;

डीएक्स =0.04 - नमूना माध्य की अधिकतम त्रुटि।

95.4% की संभावना के साथ, यह कहा जा सकता है कि नमूना आकार, 0.04 से अधिक की सापेक्ष त्रुटि सुनिश्चित करते हुए, कम से कम 566 परिवार होना चाहिए।

काम3

उद्यम की मुख्य गतिविधियों, मिलियन रूबल से आय पर निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है।

गतिशीलता की एक श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए, निम्नलिखित संकेतक निर्धारित करें:

1)श्रृंखला और बुनियादी:

पूर्ण वृद्धि;

विकास दर;

विकास दर;

2) औसत

गतिशीलता पंक्ति स्तर;

पूर्ण वृद्धि;

विकास दर;

वृद्धि की दर;

3) 1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य।

समाधान

1. पूर्ण वृद्धि (डीय)- यह श्रृंखला के अगले स्तर और पिछले (या मूल) के बीच का अंतर है:

श्रृंखला: DN = yi - yi-1,

बुनियादी: डीएन = yi - y0,

यी - पंक्ति स्तर,

मैं - पंक्ति स्तर संख्या,

y0 - आधार वर्ष स्तर.

2. विकास दर (तु)श्रृंखला के अगले स्तर और पिछले स्तर (या आधार वर्ष 2001) का अनुपात है:

श्रृंखला: तु = ;

बुनियादी: तु =

3. विकास दर (टीडी) पिछले स्तर पर पूर्ण वृद्धि का अनुपात है, जिसे % में व्यक्त किया गया है।

श्रृंखला: तु = ;

बुनियादी: तु =

4. निरपेक्ष मूल्य 1% वृद्धि (ए)- यह श्रृंखला पूर्ण वृद्धि और विकास दर का अनुपात है, जिसे % में व्यक्त किया गया है।

ए =

औसत पंक्ति स्तरअंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की गई।

4 वर्षों के लिए मुख्य गतिविधियों से आय का औसत स्तर:

औसत पूर्ण वृद्धिसूत्र द्वारा गणना:

जहाँ n श्रृंखला के स्तरों की संख्या है।

औसतन, वर्ष के लिए, मुख्य गतिविधियों से आय में 3.333 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई।

औसत वार्षिक वृद्धि दरज्यामितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

уn पंक्ति का अंतिम स्तर है,

य0 - प्रथम स्तरपंक्ति।

तु = 100% = 102.174%

औसत वार्षिक वृद्धि दरसूत्र द्वारा गणना:

टी? = टीयू - 100% = 102.74% - 100% = 2.74%।

इस प्रकार, वर्ष के दौरान औसतन उद्यम की मुख्य गतिविधियों से आय में 2.74% की वृद्धि हुई।

कार्यए4

गणना करें:

1. व्यक्तिगत मूल्य सूचकांक;

2. सामान्य व्यापार टर्नओवर सूचकांक;

3. समग्र मूल्य सूचकांक;

4. माल की बिक्री की भौतिक मात्रा का समग्र सूचकांक;

5. व्यापार टर्नओवर के मूल्य में पूर्ण वृद्धि को कारकों द्वारा विभाजित करें (कीमतों में परिवर्तन और बेची गई वस्तुओं की संख्या के कारण);

6. सभी प्राप्त संकेतकों पर संक्षिप्त निष्कर्ष निकालें।

समाधान

1. शर्त के अनुसार, उत्पाद ए, बी, सी के लिए व्यक्तिगत मूल्य सूचकांक की राशि -

आईपीए=1.20; iрБ=1.15; iрВ=1.00.

2. हम सूत्र का उपयोग करके सामान्य व्यापार टर्नओवर सूचकांक की गणना करेंगे:

मैं w = = 1470/1045*100% = 140.67%

व्यापार कारोबार में 40.67% (140.67%-100%) की वृद्धि हुई।

औसतन, कमोडिटी की कीमतों में 10.24% की वृद्धि हुई।

मूल्य वृद्धि से खरीदारों की अतिरिक्त लागत की राशि:

डब्ल्यू(पी) = ? p1q1 - ? p0q1 = 1470 - 1333.478 = 136.522 मिलियन रूबल।

बढ़ती कीमतों के परिणामस्वरूप, खरीदारों को अतिरिक्त 136.522 मिलियन रूबल खर्च करने पड़े।

4. व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा का सामान्य सूचकांक:

व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा में 27.61% की वृद्धि हुई।

5. आइए पहली अवधि की तुलना में दूसरी अवधि में व्यापार कारोबार में समग्र परिवर्तन का निर्धारण करें:

डब्ल्यू = 1470-1045 = 425 मिलियन रूबल।

मूल्य परिवर्तन के कारण:

डब्ल्यू(पी) = 1470 - 1333.478 = 136.522 मिलियन रूबल।

भौतिक आयतन में परिवर्तन के कारण:

डब्ल्यू(क्यू) = 1333.478 - 1045 = 288.478 मिलियन रूबल।

माल के कारोबार में 40.67% की वृद्धि हुई। 3 वस्तुओं की कीमतों में औसतन 10.24% की वृद्धि हुई। व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा में 27.61% की वृद्धि हुई।

सामान्य तौर पर, बिक्री की मात्रा में 425 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई, जिसमें बढ़ती कीमतों के कारण 136.522 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई, और बिक्री की मात्रा में वृद्धि के कारण - 288.478 मिलियन रूबल की वृद्धि हुई।

काम5

एक उद्योग में 10 कारखानों के लिए निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है।

पौधे की संख्या	उत्पाद आउटपुट, हजार पीसी। (एक्स)

दिए गए डेटा के आधार पर:

I) कारक विशेषता (उत्पाद मात्रा) और परिणामी विशेषता (बिजली की खपत) के बीच एक रैखिक सहसंबंध की उपस्थिति के बारे में तार्किक विश्लेषण के प्रावधानों की पुष्टि करने के लिए, सहसंबंध क्षेत्र के ग्राफ पर प्रारंभिक डेटा प्लॉट करें और फॉर्म के बारे में निष्कर्ष निकालें रिश्ते का, उसका सूत्र बताएं;

2) कनेक्शन समीकरण के पैरामीटर निर्धारित करें और परिणामी सैद्धांतिक रेखा को सहसंबंध क्षेत्र के ग्राफ पर प्लॉट करें;

3) रैखिक सहसंबंध गुणांक की गणना करें,

4) पैराग्राफ 2) और 3 में प्राप्त संकेतकों का अर्थ स्पष्ट करें);

5) परिणामी मॉडल का उपयोग करके, 4.5 हजार इकाइयों की उत्पादन मात्रा वाले संयंत्र में संभावित ऊर्जा खपत के बारे में पूर्वानुमान लगाएं।

समाधान

विशेषता का डेटा - उत्पादन की मात्रा (कारक), xi द्वारा दर्शाया जाएगा; संकेत - वाईआई के माध्यम से बिजली की खपत (परिणाम); निर्देशांक (x, y) वाले बिंदुओं को सहसंबंध क्षेत्र OXY पर प्लॉट किया जाता है।

सहसंबंध क्षेत्र के बिंदु एक निश्चित सीधी रेखा के साथ स्थित होते हैं। इसलिए, संबंध रैखिक है; हम एक सीधी रेखा Уx=ax+b के रूप में एक प्रतिगमन समीकरण की तलाश करेंगे। इसे खोजने के लिए, हम सामान्य समीकरणों की प्रणाली का उपयोग करते हैं:

आइए एक गणना तालिका बनाएं।

पाए गए औसत का उपयोग करके, हम एक प्रणाली बनाते हैं और इसे पैरामीटर ए और बी के संबंध में हल करते हैं:

तो, हमें x पर y के लिए प्रतिगमन समीकरण मिलता है: = 3.57692 x + 3.19231

हम सहसंबंध क्षेत्र पर एक प्रतिगमन रेखा बनाते हैं।

कॉलम 2 से x मानों को प्रतिगमन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिकलित (कॉलम 7) प्राप्त करते हैं और उनकी तुलना y डेटा से करते हैं, जो कॉलम 8 में परिलक्षित होता है। वैसे, गणना की शुद्धता की पुष्टि की जाती है y और के औसत मानों का संयोग।

गुणकरैखिक सहसंबंधविशेषताओं x और y के बीच संबंध की निकटता का मूल्यांकन करता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है

प्रत्यक्ष प्रतिगमन का कोणीय गुणांक (x पर) पहचान की दिशा को दर्शाता हैनिर्भरताएँसंकेत: a>0 के लिए वे समान हैं, a के लिए<0- противоположны. यह पूर्ण है मूल्य - माप की एक इकाई द्वारा कारक विशेषता में परिवर्तन होने पर परिणामी विशेषता में परिवर्तन का एक माप।

प्रत्यक्ष प्रतिगमन का मुक्त पद दिशा को प्रकट करता है, और इसका पूर्ण मूल्य परिणामी विशेषता पर अन्य सभी कारकों के प्रभाव का एक मात्रात्मक माप है।

अगर< 0, तो किसी व्यक्तिगत वस्तु की कारक विशेषता का संसाधन कम और कब प्रयोग किया जाता है>0 साथवस्तुओं के पूरे सेट के लिए औसत से अधिक दक्षता।

आइए एक पोस्ट-रिग्रेशन विश्लेषण करें।

प्रत्यक्ष प्रतिगमन के x पर गुणांक 3.57692 >0 के बराबर है, इसलिए, उत्पादन उत्पादन में वृद्धि (कमी) के साथ, बिजली की खपत बढ़ जाती है (घट जाती है)। उत्पादन उत्पादन में 1 हजार यूनिट की वृद्धि। बिजली की खपत में 3.57692 हजार kWh की औसत वृद्धि देता है।

2. प्रत्यक्ष प्रतिगमन की मुक्त अवधि 3.19231 के बराबर है, इसलिए, अन्य कारकों के प्रभाव से बिजली की खपत पर उत्पाद उत्पादन के प्रभाव की ताकत बढ़ जाती है पूर्ण माप 3.19231 हजार kWh द्वारा।

3. 0.8235 का सहसंबंध गुणांक उत्पाद उत्पादन पर बिजली की खपत की बहुत करीबी निर्भरता को दर्शाता है।

Eq के अनुसार. प्रतिगमन मॉडलभविष्यवाणी करना आसान. ऐसा करने के लिए, x के मान - उत्पादन की मात्रा - को प्रतिगमन समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और बिजली की खपत का अनुमान लगाया जाता है। इस स्थिति में, x का मान न केवल किसी दी गई सीमा के भीतर, बल्कि उसके बाहर भी लिया जा सकता है।

आइए 4.5 हजार इकाइयों की उत्पादन मात्रा वाले संयंत्र में संभावित ऊर्जा खपत के बारे में पूर्वानुमान लगाएं।

3.57692*4.5 + 3.19231= 19.288 45 हजार किलोवाट।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. ज़खरेंकोव एस.एन. सामाजिक-आर्थिक आँकड़े: पाठ्यपुस्तक और व्यावहारिक मार्गदर्शिका। -एमएन.: बीएसईयू, 2002।

2. एफिमोवा एम.आर., पेट्रोवा ई.वी., रुम्यंतसेव वी.एन. सांख्यिकी का सामान्य सिद्धांत. - एम.: इन्फ्रा - एम., 2000.

3. एलिसेवा आई.आई. सांख्यिकी. - एम.: प्रॉस्पेक्ट, 2002।

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5. सामाजिक-आर्थिक आँकड़े: शैक्षिक और व्यावहारिक। भत्ता / ज़खरेंकोव एस.एन. और अन्य - एमएन.: येरेवन स्टेट यूनिवर्सिटी, 2004।

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10. आर्थिक आँकड़े/एड. यु.एन. इवानोवा - एम., 2000.

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गणितीय आँकड़ों पर एक परीक्षण को हल करने का एक उदाहरण

समस्या 1

आरंभिक डेटा : 30 लोगों वाले एक निश्चित समूह के छात्रों ने "सूचना विज्ञान" पाठ्यक्रम में एक परीक्षा उत्तीर्ण की। छात्रों द्वारा प्राप्त ग्रेड संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाते हैं:

I. आइए एक विविधता श्रृंखला बनाएं

	एम एक्स	डब्ल्यू एक्स	एम एक्स एन ए	डब्ल्यू एक्स एन ए
कुल:

द्वितीय. सांख्यिकीय जानकारी का ग्राफिक प्रतिनिधित्व।

तृतीय. नमूने की संख्यात्मक विशेषताएँ.

1. अंकगणितीय माध्य

2. ज्यामितीय माध्य

3. फैशन

4. माध्यिका

222222333333333 | 3 34444444445555

5. नमूना विचरण

7. भिन्नता का गुणांक

8. विषमता

9. विषमता गुणांक

10. अति

11. कुर्टोसिस गुणांक

समस्या 2

आरंभिक डेटा : कुछ समूह के छात्रों ने अपना अंतिम परीक्षण लिखा। समूह में 30 लोग शामिल हैं। छात्रों द्वारा प्राप्त अंक संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाते हैं

समाधान

I. चूंकि विशेषता कई अलग-अलग मान लेती है, हम इसके लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करेंगे। ऐसा करने के लिए, पहले अंतराल मान सेट करें एच. आइए स्टेंजर के सूत्र का उपयोग करें

आइए एक अंतराल पैमाना बनाएं। इस मामले में, हम पहले अंतराल की ऊपरी सीमा के रूप में सूत्र द्वारा निर्धारित मान लेंगे:

हम निम्नलिखित आवर्ती सूत्र का उपयोग करके बाद के अंतरालों की ऊपरी सीमाएँ निर्धारित करते हैं:

, तब

हम अंतराल पैमाने का निर्माण समाप्त करते हैं, क्योंकि अगले अंतराल की ऊपरी सीमा अधिकतम नमूना मूल्य से अधिक या उसके बराबर हो गई है
.

द्वितीय. अंतराल भिन्नता श्रृंखला का ग्राफिक प्रदर्शन

तृतीय. नमूने की संख्यात्मक विशेषताएँ

नमूने की संख्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे

जोड़:

1. अंकगणितीय माध्य

2. ज्यामितीय माध्य

3. फैशन

4. माध्यिका

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. नमूना विचरण

6. नमूना मानक विचलन

7. भिन्नता का गुणांक

8. विषमता

9. विषमता गुणांक

10. अति

11. कुर्टोसिस गुणांक

समस्या 3

स्थिति : एमीटर स्केल डिवीजन मान 0.1 ए है। रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में गोल किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पढ़ने के दौरान 0.02 ए से अधिक की त्रुटि हो जाएगी।

समाधान।

नमूने की पूर्णांकन त्रुटि को एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है एक्स, जो दो आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच के अंतराल में समान रूप से वितरित किया जाता है। समान वितरण घनत्व

कहाँ
- संभावित मानों वाले अंतराल की लंबाई एक्स; इस अंतराल के बाहर
इस समस्या में, संभावित मानों वाले अंतराल की लंबाई है एक्स, 0.1 के बराबर है, इसलिए

यदि रीडिंग त्रुटि अंतराल (0.02; 0.08) में है तो 0.02 से अधिक हो जाएगी। तब

उत्तर: आर=0,6

समस्या 4

आरंभिक डेटा: सामान्य रूप से वितरित विशेषता की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 10 और 2 के बराबर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (12, 14) में निहित मान लेगा।

समाधान।

आइए सूत्र का उपयोग करें

और सैद्धांतिक आवृत्तियाँ

समाधान

उसके एक्स के लिए अपेक्षित मूल्यएम(एक्स) और विचरण डी(एक्स)। समाधान. आइए वितरण फलन F(x) ज्ञात करें अनियमित परिवर्तनशील वस्तु... नमूनाकरण त्रुटि)। आइए रचना करें परिवर्तन संबंधी पंक्तिअंतराल की चौड़ाई होगा: प्रत्येक मान के लिए पंक्तिआइए हिसाब लगाएं कि कितने...

समाधान: वियोज्य समीकरण

समाधान

भागफल ज्ञात करने के लिए के रूप में समाधान अमानवीय समीकरण चलो श्रृंगार करते हैंसिस्टम आइए परिणामी सिस्टम को हल करें... ; +47; +61; +10; -8. अंतराल बनाएँ परिवर्तन संबंधी पंक्ति. औसत मूल्य का सांख्यिकीय अनुमान दें...

समाधान: आइए श्रृंखला और बुनियादी निरपेक्ष वृद्धि, विकास दर, विकास दर की गणना करें। हम प्राप्त मूल्यों को तालिका 1 में संक्षेपित करते हैं

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समाधान

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ग्रेड 10-11 के लिए जीव विज्ञान में कार्य पाठ्यक्रम, संकलित: पोलिकारपोवा एस.वी.

कार्यरत प्रशिक्षण कार्यक्रम

सबसे सरल क्रॉसिंग योजनाएं" 5 एल.आर. " समाधानप्राथमिक आनुवंशिक समस्याएँ" 6 एल.बी. " समाधानप्राथमिक आनुवंशिक समस्याएँ" 7 एल.आर. "..., 110, 115, 112, 110. लिखें परिवर्तन संबंधी पंक्ति, खींचना परिवर्तन संबंधीवक्र, विशेषता का औसत मान ज्ञात करें...

अलग-अलग विशेषताओं के लिए एक अलग भिन्नता श्रृंखला का निर्माण किया जाता है।

एक अलग भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करने की आवश्यकता है: 1) विशेषता के अध्ययन किए गए मूल्य के बढ़ते क्रम में अवलोकन की इकाइयों को व्यवस्थित करें,

2) विशेषता x i के सभी संभावित मान निर्धारित करें, उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें,

विशेषता का मूल्य, मैं .

विशेषता मान की आवृत्ति और निरूपित करें एफ मैं . किसी श्रृंखला की सभी आवृत्तियों का योग अध्ययन की जा रही जनसंख्या में तत्वों की संख्या के बराबर है।

उदाहरण 1 .

परीक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त ग्रेडों की सूची: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

यहाँ संख्या है एक्स - श्रेणीएक असतत यादृच्छिक चर है, और अनुमानों की परिणामी सूची हैसांख्यिकीय (अवलोकन योग्य) डेटा .

अध्ययन की गई विशेषता मान के आरोही क्रम में अवलोकन इकाइयों को व्यवस्थित करें:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) विशेषता x i के सभी संभावित मान निर्धारित करें, उन्हें आरोही क्रम में क्रमबद्ध करें:

इस उदाहरण में, सभी अनुमानों को निम्नलिखित मानों के साथ चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: 2; 3; 4; 5.

प्रेक्षित डेटा के किसी विशेष समूह के अनुरूप यादृच्छिक चर के मान को कहा जाता है विशेषता का मूल्य, विकल्प (विकल्प) और x निर्दिष्ट करें मैं .

वह संख्या जो दर्शाती है कि किसी विशेषता का संगत मान कई अवलोकनों में कितनी बार आता है, कहलाती है विशेषता मान की आवृत्ति और निरूपित करें एफ मैं .

हमारे उदाहरण के लिए

स्कोर 2 होता है - 8 बार,

स्कोर 3 होता है - 12 बार,

स्कोर 4 होता है - 23 बार,

स्कोर 5 होता है - 17 बार।

कुल मिलाकर 60 रेटिंग हैं।

4) प्राप्त डेटा को दो पंक्तियों (कॉलम) - x i और f i की तालिका में लिखें।

इन आंकड़ों के आधार पर, एक अलग भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करना संभव है

असतत भिन्नता श्रृंखला - यह एक तालिका है जिसमें अध्ययन की जा रही विशेषता के घटित मूल्यों को आरोही क्रम में व्यक्तिगत मूल्यों और उनकी आवृत्तियों के रूप में दर्शाया गया है

1. अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के अलावा, अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला जैसे डेटा को समूहीकृत करने की एक विधि अक्सर सामने आती है।

एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण किया जाता है यदि:

संकेत में परिवर्तन की निरंतर प्रकृति होती है;

बहुत सारे अलग-अलग मूल्य थे (10 से अधिक)

असतत मूल्यों की आवृत्तियाँ बहुत छोटी हैं (अपेक्षाकृत बड़ी संख्या में अवलोकन इकाइयों के साथ 1-3 से अधिक नहीं);

समान आवृत्तियों वाली किसी सुविधा के कई अलग-अलग मान।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक तालिका के रूप में डेटा को समूहीकृत करने का एक तरीका है जिसमें दो कॉलम होते हैं (मानों के अंतराल के रूप में विशेषता के मान और प्रत्येक अंतराल की आवृत्ति)।

भिन्न असतत श्रृंखलाअंतराल श्रृंखला विशेषता के मानों को व्यक्तिगत मानों द्वारा नहीं, बल्कि मानों के अंतराल ("से - से") द्वारा दर्शाया जाता है।

वह संख्या जो दर्शाती है कि प्रत्येक चयनित अंतराल में कितनी अवलोकन इकाइयाँ गिरीं, कहलाती हैं विशेषता मान की आवृत्ति और निरूपित करें एफ मैं . किसी श्रृंखला की सभी आवृत्तियों का योग अध्ययन की जा रही जनसंख्या में तत्वों (अवलोकन की इकाइयों) की संख्या के बराबर है।

यदि किसी इकाई का विशेषता मान बराबर है ऊपरी सीमाअंतराल, तो इसे अगले अंतराल को सौंपा जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, 100 सेमी की ऊंचाई वाला एक बच्चा दूसरे अंतराल में गिरेगा, पहले में नहीं; और 130 सेमी की ऊंचाई वाला बच्चा अंतिम अंतराल में गिरेगा, तीसरे में नहीं।

इन आंकड़ों के आधार पर, एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण किया जा सकता है।

प्रत्येक अंतराल में एक निचली सीमा (xn), एक ऊपरी सीमा (xw) और एक अंतराल चौड़ाई ( मैं).

अंतराल सीमा उस विशेषता का मान है जो दो अंतरालों की सीमा पर स्थित है।

बच्चों की ऊंचाई (सेमी)	बच्चों की ऊंचाई (सेमी)			बच्चों की मात्रा
130 से अधिक

यदि किसी अंतराल की ऊपरी और निचली सीमा होती है, तो उसे कहा जाता है बंद अंतराल. यदि किसी अंतराल की केवल निचली या केवल ऊपरी सीमा है, तो वह है - खुला अंतराल.केवल सबसे पहला या सबसे आखिरी अंतराल ही खुला हो सकता है। उपरोक्त उदाहरण में, अंतिम अंतराल खुला है।

अंतराल चौड़ाई (मैं) - ऊपरी और निचली सीमा के बीच का अंतर.

मैं = एक्स एन - एक्स इन

खुले अंतराल की चौड़ाई आसन्न बंद अंतराल की चौड़ाई के समान मानी जाती है।

बच्चों की ऊंचाई (सेमी)		बच्चों की मात्रा	अंतराल चौड़ाई (i)
	गणना के लिए 130+20=150		20 (क्योंकि आसन्न बंद अंतराल की चौड़ाई 20 है)

सभी अंतराल श्रृंखलाओं को समान अंतराल वाली अंतराल श्रृंखला और असमान अंतराल वाली अंतराल श्रृंखला में विभाजित किया गया है . समान अंतराल वाली पंक्तियों में, सभी अंतरालों की चौड़ाई समान होती है। असमान अंतराल वाली अंतराल श्रृंखला में अंतराल की चौड़ाई अलग-अलग होती है।

विचाराधीन उदाहरण में - असमान अंतरालों वाली एक अंतराल श्रृंखला।

यदि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर निरंतर है, तो देखे गए मूल्यों की रैंकिंग और समूहीकरण अक्सर पहचान की अनुमति नहीं देता है चरित्र लक्षणइसके मूल्यों को अलग-अलग करना। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि एक यादृच्छिक चर के अलग-अलग मान एक-दूसरे से इच्छानुसार कम भिन्न हो सकते हैं, और इसलिए, देखे गए डेटा की समग्रता में, किसी मात्रा के समान मान शायद ही कभी हो सकते हैं, और की आवृत्तियाँ वैरिएंट एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं।

एक अलग यादृच्छिक चर, संख्या के लिए एक अलग श्रृंखला का निर्माण करना भी अव्यावहारिक है संभावित मानजो महान है। ऐसे मामलों में, आपको निर्माण करना चाहिए अंतराल भिन्नता श्रृंखला वितरण.

ऐसी श्रृंखला का निर्माण करने के लिए, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों की भिन्नता के पूरे अंतराल को एक श्रृंखला में विभाजित किया जाता है आंशिक अंतराल और प्रत्येक आंशिक अंतराल में मूल्य मानों की घटना की आवृत्ति की गणना करना।

मध्यान्तर विविधता श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के अलग-अलग मानों के अंतरालों के एक क्रमबद्ध सेट को संबंधित आवृत्तियों या उनमें से प्रत्येक में आने वाले चर के मूल्यों की सापेक्ष आवृत्तियों के साथ कॉल करें।

एक अंतराल श्रृंखला बनाने के लिए आपको चाहिए:

1. परिभाषित करना आकार आंशिक अंतराल;
2. परिभाषित करना चौड़ाई अंतराल;
3. इसे प्रत्येक अंतराल के लिए सेट करें शीर्ष और निचली सीमा ;
4. अवलोकन परिणामों को समूहित करें।

1 . समूहीकरण अंतरालों की संख्या और चौड़ाई चुनने का प्रश्न प्रत्येक विशिष्ट मामले के आधार पर तय किया जाना है लक्ष्य अनुसंधान, आयतन नमूने और भिन्नता की डिग्री नमूने में विशेषता.

अंतरालों की अनुमानित संख्या क केवल नमूना आकार के आधार पर अनुमान लगाया जा सकता है एन निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से:

• सूत्र के अनुसार स्टर्गेस : के = 1 + 3.32 लॉग एन ;
• तालिका 1 का उपयोग करना।

तालिका नंबर एक

2 . आम तौर पर समान चौड़ाई वाले स्थानों को प्राथमिकता दी जाती है। अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करने के लिए एच गणना करें:

• भिन्नता की सीमा आर - नमूना मान: आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट ,

कहाँ xmax और xmin - अधिकतम और न्यूनतम नमूनाकरण विकल्प;

• प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई एच निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित: एच = आर/के .

3 . जमीनी स्तर पहला अंतराल एक्स एच1 न्यूनतम नमूना विकल्प इसलिए चुना गया है xmin लगभग इस अंतराल के मध्य में गिरा: x h1 = x मिनट - 0.5 घंटे .

मध्यवर्ती अंतरालपिछले अंतराल के अंत में आंशिक अंतराल की लंबाई जोड़कर प्राप्त किया गया एच :

x हाय = x हाय-1 +h.

अंतराल सीमाओं की गणना के आधार पर अंतराल पैमाने का निर्माण मान तक जारी रहता है एक्स हाय संबंध को संतुष्ट करता है:

एक्स हाय< x max + 0,5·h .

4 . अंतराल पैमाने के अनुसार, विशेषता मानों को समूहीकृत किया जाता है - प्रत्येक आंशिक अंतराल के लिए आवृत्तियों के योग की गणना की जाती है एन मैं विकल्प शामिल है मैं वें अंतराल. इस मामले में, अंतराल में यादृच्छिक चर के मान शामिल होते हैं जो निचली सीमा से अधिक या उसके बराबर होते हैं और अंतराल की ऊपरी सीमा से कम होते हैं।

बहुभुज और हिस्टोग्राम

स्पष्टता के लिए, विभिन्न सांख्यिकीय वितरण ग्राफ़ बनाए गए हैं।

एक असतत भिन्नता श्रृंखला के डेटा के आधार पर, वे निर्माण करते हैं बहुभुज आवृत्तियाँ या सापेक्ष आवृत्तियाँ।

आवृत्ति बहुभुज एक्स 1 ; एन 1 ), (एक्स 2 ; एन 2 ), ..., (एक्स क ; एन के ). बारंबारता बहुभुज का निर्माण करने के लिए, भुज अक्ष पर विकल्प आलेखित किए जाते हैं। एक्स मैं , और कोटि पर - संगत आवृत्तियाँ एन मैं . अंक ( एक्स मैं ; एन मैं ) सीधे खंडों से जुड़े होते हैं और एक आवृत्ति बहुभुज प्राप्त होता है (चित्र 1)।

सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुजएक टूटी हुई रेखा कहलाती है जिसके खंड बिंदुओं को जोड़ते हैं ( एक्स 1 ; डब्ल्यू 1 ), (एक्स 2 ; डब्ल्यू 2 ), ..., (एक्स क ; सप्त ). सापेक्ष आवृत्तियों का बहुभुज बनाने के लिए, भुज अक्ष पर विकल्प प्लॉट किए जाते हैं एक्स मैं , और कोटि पर - संगत सापेक्ष आवृत्तियाँ डब्ल्यू मैं . अंक ( एक्स मैं ; डब्ल्यू मैं ) सीधे खंडों से जुड़े होते हैं और सापेक्ष आवृत्तियों का एक बहुभुज प्राप्त होता है।

कब निरंतर संकेत निर्माण करना उचित है हिस्टोग्राम .

आवृत्ति हिस्टोग्रामइसे आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति कहा जाता है, जिसके आधार लंबाई के आंशिक अंतराल होते हैं एच , और ऊंचाइयां अनुपात के बराबर हैं एनआईएच (आवृत्ति घनत्व)।

फ़्रीक्वेंसी हिस्टोग्राम बनाने के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर आंशिक अंतराल बिछाए जाते हैं, और एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर खंड उनके ऊपर कुछ दूरी पर खींचे जाते हैं। एनआईएच .