किसी समीकरण में कोष्ठक खोलने का नियम. विषय: समीकरणों को हल करना

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ...विरोधाभासों के सार के बारे में आम राय तक पहुंचने के लिए चर्चाएं आज भी जारी हैं वैज्ञानिक समुदायअब तक यह संभव नहीं हो सका है... हम इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस साथ चलता है निरंतर गति. उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है संपूर्ण समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं क्या कहना चाहता हूँ विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। उपयुक्त गणितीय सिद्धांतगणितज्ञों के लिए स्वयं सेट।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम चुनते हैं फुटबॉल स्टेडियमएक ही फ़ील्ड क्षेत्र के साथ. फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन ओझा इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँकैलकुलस में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। साथ एक लंबी संख्या 12345 मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए लेख से संख्या 26 को देखें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें वह दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: एक माइनस चिह्न, संख्या चार, डिग्री का एक पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।

इस वीडियो में हम रैखिक समीकरणों के पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे जिन्हें एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है - यही कारण है कि उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें: क्या है रेखीय समीकरणऔर उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाता है?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री तक।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम बना दिया गया है:

1. कोष्ठक, यदि कोई हो, विस्तृत करें;
2. एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक ओर ले जाएँ, और बिना चर वाले पदों को दूसरी ओर ले जाएँ;
3. समान चिह्न के बाएँ और दाएँ के लिए समान पद दीजिए;
4. परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथम हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी इन सभी साजिशों के बाद चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

1. समीकरण का कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, जब $0\cdot x=8$ जैसा कुछ निकलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में हम कई कारणों पर गौर करेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
2. समाधान सभी संख्याएँ हैं। यह एकमात्र मामला है जब यह संभव है जब समीकरण को $0\cdot x=0$ की संरचना में घटा दिया गया हो। यह काफी तर्कसंगत है कि चाहे हम $x$ को किसी भी स्थान पर रखें, फिर भी यह "शून्य, शून्य के बराबर है" ही निकलेगा, यानी। सही संख्यात्मक समानता.

अब आइए देखें कि वास्तविक जीवन के उदाहरणों का उपयोग करके यह सब कैसे काम करता है।

समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों और केवल सबसे सरल समीकरणों से निपट रहे हैं। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का मतलब किसी भी समानता से होता है जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

ऐसे निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

1. सबसे पहले, आपको कोष्ठक का विस्तार करना होगा, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
2. फिर समान मिला लें
3. अंत में, वेरिएबल को अलग करें, यानी वेरिएबल से जुड़ी हर चीज को - वे शब्द जिनमें यह निहित है - एक तरफ ले जाएं, और जो कुछ भी इसके बिना रहता है उसे दूसरी तरफ ले जाएं।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान देने की आवश्यकता है, और उसके बाद जो कुछ बचा है उसे "x" के गुणांक से विभाजित करना है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह सुंदर और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल तरीके से आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं रेखीय समीकरण. आमतौर पर, त्रुटियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय या "प्लस" और "माइनस" की गणना करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है, या समाधान पूरी संख्या रेखा होती है, यानी। कोई संख्या। आज के पाठ में हम इन सूक्ष्मताओं पर गौर करेंगे। लेकिन हम शुरुआत करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, उसी से सरल कार्य.

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

सबसे पहले, मैं एक बार फिर सरलतम रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखूंगा:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
2. हम चरों को अलग करते हैं, अर्थात्। हम हर उस चीज़ को एक तरफ ले जाते हैं जिसमें "X" है, और हर चीज़ को बिना "X" के दूसरी तरफ ले जाते हैं।
3. हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।
4. हम हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है; इसमें कुछ बारीकियाँ और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य क्रमांक 1

पहले चरण में हमें कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में हमें वेरिएबल्स को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शब्दों के बारे में बात कर रहे हैं। आइए इसे लिखें:

हम बाएँ और दाएँ समान शब्द प्रस्तुत करते हैं, लेकिन यह यहाँ पहले ही किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: गुणांक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

तो हमें जवाब मिल गया.

कार्य क्रमांक 2

हम इस समस्या में कोष्ठक देख सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर दोनों पर हम लगभग एक ही डिज़ाइन देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। चरों को अलग करना:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए. इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य क्रमांक 3

तीसरा रैखिक समीकरण अधिक दिलचस्प है:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, उनके पहले बस अलग-अलग चिह्न होते हैं। आइए उन्हें तोड़ें:

हम दूसरा चरण करते हैं जो हमें पहले से ही ज्ञात है:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणित करें:

हम अंतिम चरण अपनाते हैं - हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को नजरअंदाज करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

• जैसा कि मैंने ऊपर कहा, प्रत्येक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल ही नहीं होता;
• यदि जड़ें हैं भी, तो उनमें शून्य भी हो सकता है - इसमें कुछ भी गलत नहीं है।

शून्य अन्य संख्याओं के समान ही है; आपको इसके साथ किसी भी तरह का भेदभाव नहीं करना चाहिए या यह नहीं मानना ​​चाहिए कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के खुलने से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इस सरल तथ्य को समझने से आपको हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और दुखद गलतियाँ करने से बचने में मदद मिलेगी, जब ऐसी चीजें करने को हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए अधिक जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात फलन दिखाई देगा। हालाँकि, हमें इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की योजना के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल कर रहे हैं, तो परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान द्विघात फलन वाले सभी एकपदी निश्चित रूप से रद्द हो जाएंगे।

उदाहरण क्रमांक 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता पर एक नजर डालते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, इसलिए हम इसे उत्तर में लिखेंगे:

\[\कुछ भी नहीं\]

या कोई जड़ें नहीं हैं.

उदाहरण क्रमांक 2

हम वही क्रियाएं करते हैं. पहला कदम:

आइए एक वेरिएबल के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखेंगे:

\[\कुछ नहीं\],

या कोई जड़ें नहीं हैं.

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूर्णतः हल हो गये हैं। उदाहरण के रूप में इन दो अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए, हम एक बार फिर आश्वस्त हो गए कि सबसे सरल रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक, या कोई नहीं, या अनंत रूप से कई जड़ें हो सकती हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों का कोई मूल नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक अन्य तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठकों के साथ कैसे काम करें और यदि उनके सामने ऋण चिह्न हो तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको हर चीज़ को "X" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करता है प्रत्येक व्यक्तिगत पद. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा।

और इन प्रतीत होने वाले प्राथमिक, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, क्या आप इस तथ्य के दृष्टिकोण से ब्रैकेट खोल सकते हैं कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन पूरा हो जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ बस चिह्न बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, महत्वहीन लगने वाले तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से सरल कार्यों को करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से ऐसे सरल समीकरणों को हल करना सीखते हैं।

निःसंदेह, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता की हद तक निखार लेंगे। अब आपको हर बार इतने सारे परिवर्तन नहीं करने पड़ेंगे, आप सब कुछ एक पंक्ति में लिखेंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी अधिक जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य क्रमांक 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग के सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए कुछ गोपनीयता बरतें:

यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:

आइए अंतिम चरण पूरा करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है. और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फलन वाले गुणांक थे, उन्होंने एक-दूसरे को रद्द कर दिया, जो समीकरण को द्विघात नहीं बल्कि रैखिक बनाता है।

कार्य क्रमांक 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

आइए पहले चरण को ध्यानपूर्वक पूरा करें: पहले ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल चार नए पद होने चाहिए:

आइए अब प्रत्येक पद में सावधानीपूर्वक गुणन करें:

आइए "X" वाले शब्दों को बाईं ओर और बिना वाले शब्दों को दाईं ओर ले जाएं:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

एक बार फिर हमें अंतिम उत्तर मिल गया है.

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण नोट निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक से अधिक पद होते हैं, यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरा; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे तत्व से प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास चार पद होंगे।

बीजगणितीय योग के बारे में

इस अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा तात्पर्य एक साधारण निर्माण से है: एक में से सात घटाएँ। बीजगणित में, इससे हमारा तात्पर्य निम्नलिखित है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम है "शून्य सात"। इस प्रकार एक बीजगणितीय योग एक सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही, सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणन करते समय, आपको ऊपर वर्णित संरचनाओं के समान संरचनाएं दिखाई देने लगती हैं, आपको बहुपदों और समीकरणों के साथ काम करते समय बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा अभी देखे गए से भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए हमें अपने मानक एल्गोरिदम को थोड़ा विस्तारित करना होगा।

भिन्न वाले समीकरणों को हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए हमें अपने एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं आपको हमारे एल्गोरिदम की याद दिला दूं:

1. कोष्ठक खोलना।
2. अलग चर.
3. समान लाओ.
4. अनुपात से विभाजित करें.

अफसोस, यह अद्भुत एल्गोरिदम, अपनी सभी प्रभावशीलता के बावजूद, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं साबित होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, उसमें दोनों समीकरणों में बाएँ और दाएँ दोनों तरफ एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ने की आवश्यकता है, जिसे पहली क्रिया से पहले और बाद में दोनों किया जा सकता है, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाना। तो एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. भिन्नों से छुटकारा पाएं.
2. कोष्ठक खोलना।
3. अलग चर.
4. समान लाओ.
5. अनुपात से विभाजित करें.

"भिन्नों से छुटकारा पाने" का क्या मतलब है? और यह पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों समय क्यों किया जा सकता है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न अपने हर में संख्यात्मक हैं, अर्थात। हर जगह हर एक संख्या ही है. इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस संख्या से गुणा करें, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिल जाएगा।

उदाहरण क्रमांक 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

कृपया ध्यान दें: प्रत्येक चीज़ को एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो कोष्ठक हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। आइए लिखें:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

अब आइए विस्तार करें:

हम चर को अलग करते हैं:

हम समान शर्तों की कमी करते हैं:

\[-4x=-1\बाएँ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें मिला अंतिम निर्णय, चलिए दूसरे समीकरण पर चलते हैं।

उदाहरण क्रमांक 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम वही सभी क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या सुलझ गई है।

वास्तव में, मैं आज आपको बस यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

मुख्य निष्कर्ष हैं:

• रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
• कोष्ठक खोलने की क्षमता.
• यदि आप देखें तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में वे कम हो जाएंगे।
• रैखिक समीकरणों में तीन प्रकार की जड़ें होती हैं, यहां तक ​​कि सबसे सरल भी: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, और कोई जड़ नहीं होती।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको संपूर्ण गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय पर महारत हासिल करने में मदद करेगा। यदि कुछ स्पष्ट नहीं है तो साइट पर जाएं और वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, कई और दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!

समीकरण का वह भाग कोष्ठक में अभिव्यक्ति है। कोष्ठक खोलने के लिए, कोष्ठक के सामने चिह्न को देखें। यदि कोई प्लस चिह्न है, तो अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलने से कुछ भी नहीं बदलेगा: बस कोष्ठक हटा दें। यदि कोई ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक खोलते समय, आपको कोष्ठक में मूल रूप से मौजूद सभी चिह्नों को विपरीत चिह्नों में बदलना होगा। उदाहरण के लिए, -(2x-3)=-2x+3.

दो कोष्ठकों को गुणा करना।
यदि समीकरण में दो कोष्ठकों का गुणनफल है, तो कोष्ठकों को उसके अनुसार खोलें मानक नियम. पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। परिणामी संख्याओं का सारांश दिया गया है। इस मामले में, दो "प्लस" या दो "माइनस" का उत्पाद शब्द को "प्लस" चिह्न देता है, और यदि कारकों में है विभिन्न संकेत, फिर एक ऋण चिह्न प्राप्त होता है।
चलो गौर करते हैं।
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

कोष्ठक खोलकर, कभी-कभी एक अभिव्यक्ति बढ़ाकर। वर्ग और घन के फार्मूले को याद रखना चाहिए और याद रखना चाहिए।
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
तीन से बड़े व्यंजक के निर्माण के सूत्र पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके किए जा सकते हैं।

स्रोत:

• कोष्ठक विस्तार सूत्र

कोष्ठक में संलग्न गणितीय संक्रियाएँइसमें चर और अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं बदलती डिग्रीकठिनाइयाँ। ऐसे भावों को गुणा करने के लिए, आपको समाधान खोजना होगा सामान्य रूप से देखें, कोष्ठक खोलना और परिणाम को सरल बनाना। यदि कोष्ठक में चर के बिना, केवल संख्यात्मक मानों के साथ संचालन होता है, तो कोष्ठक खोलना आवश्यक नहीं है, क्योंकि यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो उसके उपयोगकर्ता के पास बहुत महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग संसाधनों तक पहुंच है - अभिव्यक्ति को सरल बनाने की तुलना में उनका उपयोग करना आसान है।

निर्देश

यदि आप सामान्य रूप में परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं तो एक कोष्ठक में मौजूद प्रत्येक (या ) को अन्य सभी कोष्ठकों की सामग्री से क्रमिक रूप से गुणा करें। उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाए: (5+x)∗(6-x)∗(x+2)। फिर अनुक्रमिक गुणन (अर्थात कोष्ठक खोलने पर) निम्नलिखित परिणाम देगा: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

भावों को छोटा करके परिणाम को सरल बनाएं। उदाहरण के लिए, पिछले चरण में प्राप्त अभिव्यक्ति को निम्नानुसार सरल बनाया जा सकता है: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

यदि आपको x को 4.75 से गुणा करना है, यानी (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2) तो कैलकुलेटर का उपयोग करें। इस मान की गणना करने के लिए, Google या निगमा खोज इंजन वेबसाइट पर जाएं और क्वेरी फ़ील्ड में अभिव्यक्ति को उसके मूल रूप (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) में दर्ज करें। Google एक बटन क्लिक किए बिना तुरंत 82.265625 दिखाएगा, लेकिन निगमा को एक बटन क्लिक करके सर्वर पर डेटा भेजना होगा।

कोष्ठकों का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति \(5·3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5·3+7 =15+7=22\). लेकिन अभिव्यक्ति \(5·(3+7)\) में कोष्ठक में जोड़ की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणन: \(5·(3+7)=5·10=50\).

उदाहरण। ब्रैकेट का विस्तार करें: \(-(4m+3)\).
समाधान : \(-(4m+3)=-4m-3\).

उदाहरण। कोष्ठक खोलें और समान पद \(5-(3x+2)+(2+3x)\) दें।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\).
समाधान : कोष्ठक में हमारे पास \(3\) और \(-x\) है, और कोष्ठक से पहले पांच है। इसका मतलब यह है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \(5\) से गुणा किया जाता है - मैं आपको यह याद दिलाता हूं प्रविष्टियों के आकार को कम करने के लिए किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न गणित में नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\).
समाधान : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक में \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं: \(5(x+y)-2(x-y)\).
समाधान : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

किसी कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\).
समाधान : हमारे पास कोष्ठक का एक उत्पाद है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत विस्तारित किया जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए आइए सब कुछ चरण दर चरण करें।
चरण 1. पहला कोष्ठक हटाएँ - उसके प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक से गुणा करें:

चरण 2. ऊपर वर्णित अनुसार कोष्ठक और कारक के उत्पादों का विस्तार करें:
- सबसे पहली बात...

फिर दूसरा.

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पद प्रस्तुत करते हैं:

सभी परिवर्तनों का इतने विस्तार से वर्णन करना आवश्यक नहीं है, आप उन्हें तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप अभी कोष्ठक खोलना, विस्तार से लिखना सीख रहे हैं तो गलतियाँ होने की संभावना कम होगी।

संपूर्ण अनुभाग पर ध्यान दें.वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की ज़रूरत नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की ज़रूरत है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि आप c के स्थान पर एक प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको नियम \((a-b)=a-b\) मिलता है। और यदि हम शून्य से एक प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) मिलता है। ठीक है, यदि आप c के स्थान पर कोई अन्य ब्रैकेट प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों के अंदर स्थित कोष्ठकों के साथ समस्याएँ आती हैं। यहां ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: अभिव्यक्ति \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाएं।

ऐसे कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के नेस्टिंग को ध्यान से समझें - कौन सा किसमें है;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, सबसे भीतर वाले से शुरू करें।

किसी एक कोष्ठक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को न छुएं, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए ऊपर लिखे कार्य को एक उदाहरण के रूप में देखें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलें और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दें।
समाधान:

उदाहरण। कोष्ठक खोलें और समान पद \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\) दें।
समाधान :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यहां कोष्ठकों की ट्रिपल नेस्टिंग है। आइए अंतरतम से शुरू करें (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, इसलिए यह आसानी से निकल जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट, मध्यवर्ती ब्रैकेट खोलने की आवश्यकता है। लेकिन उससे पहले, हम इस दूसरे कोष्ठक में भूत-जैसे शब्दों की अभिव्यक्ति को सरल बनाएंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक से पहले एक गुणनखंड है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को उससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और आखिरी ब्रैकेट खोलें. कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न है, इसलिए सभी चिह्न उलटे हैं।

गणित में कोष्ठकों का विस्तार करना एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, 8वीं और 9वीं कक्षा में सी से ऊपर ग्रेड प्राप्त करना असंभव है। इसलिए, मेरा सुझाव है कि आप इस विषय को अच्छी तरह से समझें।

इस लेख में हम गणित पाठ्यक्रम में प्रारंभिक कोष्ठक जैसे महत्वपूर्ण विषय के बुनियादी नियमों पर विस्तृत नज़र डालेंगे। आपको उन समीकरणों को सही ढंग से हल करने के लिए कोष्ठक खोलने के नियमों को जानना होगा जिनमें उनका उपयोग किया जाता है।

जोड़ते समय कोष्ठक को सही ढंग से कैसे खोलें

"+" चिह्न से पहले वाले कोष्ठक का विस्तार करें

यह सबसे सरल मामला है, क्योंकि यदि कोष्ठक के सामने कोई अतिरिक्त चिह्न है, तो कोष्ठक खोलने पर उनके अंदर के चिह्न नहीं बदलते हैं। उदाहरण:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

में इस मामले मेंआपको कोष्ठक के बिना सभी शब्दों को फिर से लिखना होगा, लेकिन साथ ही उनके अंदर के सभी चिह्नों को विपरीत चिह्नों में बदलना होगा। चिह्न केवल उन कोष्ठक के पदों के लिए बदलते हैं जिनके पहले चिह्न "-" लगा होता है। उदाहरण:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

गुणा करते समय कोष्ठक कैसे खोलें

कोष्ठक के पहले गुणक संख्या होती है

इस मामले में, आपको प्रत्येक पद को एक कारक से गुणा करना होगा और चिह्नों को बदले बिना कोष्ठक खोलना होगा। यदि गुणक में "-" चिन्ह हो तो गुणन के दौरान पदों के चिन्ह उलट जाते हैं। उदाहरण:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

दो कोष्ठकों को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ कैसे खोलें

इस मामले में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। उदाहरण:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

वर्ग में कोष्ठक कैसे खोलें

यदि दो पदों के योग या अंतर का वर्ग किया जाए तो कोष्ठक को निम्नलिखित सूत्र के अनुसार खोला जाना चाहिए:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

कोष्ठक के अंदर ऋण की स्थिति में, सूत्र नहीं बदलता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

कोष्ठकों को दूसरी डिग्री तक कैसे विस्तारित करें

यदि पदों का योग या अंतर, उदाहरण के लिए, तीसरी या चौथी घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो आपको बस कोष्ठक की घात को "वर्गों" में तोड़ने की आवश्यकता है। समान कारकों की शक्तियों को जोड़ा जाता है, और विभाजित करते समय, भाजक की शक्ति को लाभांश की शक्ति से घटा दिया जाता है। उदाहरण:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 ब्रैकेट कैसे खोलें

ऐसे समीकरण हैं जिनमें 3 कोष्ठकों को एक साथ गुणा किया जाता है। इस स्थिति में, आपको पहले पहले दो कोष्ठक के पदों को एक साथ गुणा करना होगा, और फिर इस गुणन के योग को तीसरे कोष्ठक के पदों से गुणा करना होगा। उदाहरण:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

कोष्ठक खोलने के ये नियम रैखिक और त्रिकोणमितीय समीकरण दोनों को हल करने के लिए समान रूप से लागू होते हैं।