दशमलव लघुगणक का गुणनफल. लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

के संदर्भ में

दी गई अन्य दो संख्याओं में से किसी भी तीन संख्या को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। यदि ए और फिर एन दिया गया है, तो वे घातांक द्वारा पाए जाते हैं। यदि N और फिर a को घात x का मूल लेकर (या इसे घात तक बढ़ाकर) दिया जाता है। अब उस मामले पर विचार करें, जब ए और एन दिए जाने पर हमें एक्स खोजने की जरूरत है।

माना कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है:।

परिभाषा। आधार a पर संख्या N का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या N प्राप्त करने के लिए a को उठाया जाना चाहिए; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में घातांक को आधार a के लघुगणक N के रूप में पाया जाता है। पदों

एक ही अर्थ है. समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मुख्य पहचान कहा जाता है; वास्तव में यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। द्वारा यह परिभाषालघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक और एकता से भिन्न होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में कोई लघुगणक नहीं होता। यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या में एक अच्छी तरह से परिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता जरूरी है. ध्यान दें कि शर्त यहां आवश्यक है; अन्यथा, निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

समाधान। कोई संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को घात तक बढ़ाना होगा।

ऐसे उदाहरणों को हल करते समय आप निम्नलिखित रूप में नोट्स बना सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें ।

समाधान। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक संख्या का प्रतिनिधित्व करके आसानी से वांछित लघुगणक पाया। में सामान्य मामला, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस बयान से जुड़े एक मुद्दे पर ध्यान दें. पैराग्राफ 12 में, हमने किसी दिए गए सकारात्मक संख्या की किसी भी वास्तविक शक्ति को निर्धारित करने की संभावना की अवधारणा दी। लघुगणक की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्यतः अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।

आइए लघुगणक के कुछ गुणों पर नजर डालें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार बराबर हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार बराबर हैं।

सबूत। चलो एक लघुगणक की परिभाषा से हमारे पास है और कहाँ से

इसके विपरीत, परिभाषा के अनुसार फिर चलो

गुण 2. किसी भी आधार का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से

क्यू.ई.डी.

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि, तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास है।

लघुगणक की अगली संपत्ति तैयार करने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों c से अधिक या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से कम है, तो हम कहेंगे कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

गुण 3. यदि संख्या और आधार एक ही तरफ हों, तो लघुगणक धनात्मक होता है; यदि संख्या और आधार एक के विपरीत दिशा में स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक सकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक नकारात्मक है तो a की घात एक से अधिक है। एक घात एक से कम है यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक नकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक सकारात्मक है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले का विश्लेषण करने तक ही सीमित रहेंगे; बाकी पर पाठक स्वयं विचार करेगा।

माना कि समानता में घातांक न तो नकारात्मक हो सकता है और न ही शून्य के बराबर हो सकता है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जैसा कि सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

उदाहरण 3. पता लगाएं कि नीचे दिए गए लघुगणक में से कौन सा सकारात्मक है और कौन सा नकारात्मक है:

समाधान, ए) चूँकि संख्या 15 और आधार 12 एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक तरफ स्थित हैं; इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आधार लघुगणकीय संख्या से बड़ा हो;

ग) चूँकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

डी) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानकर, उनमें से प्रत्येक के उत्पाद, भागफल और डिग्री के लघुगणक को खोजने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति 4 (उत्पाद लघुगणक नियम)। अनेक धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक यह आधार योग के बराबरइन संख्याओं के लघुगणक एक ही आधार पर।

सबूत। माना कि दी गई संख्याएँ धनात्मक हैं।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम समानता (26.1) लिखते हैं जो लघुगणक को परिभाषित करता है:

यहां से हम ढूंढ लेंगे

पहले और अंतिम भाव के घातांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो के गुणनफल का लघुगणक नकारात्मक संख्याएँसमझ में आता है, लेकिन इस मामले में हम पाते हैं

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के निरपेक्ष मानों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल का लघुगणक लेने का नियम)। सकारात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक एक ही आधार पर लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। हम लगातार पाते हैं

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 ​​(शक्ति लघुगणक नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक से गुणा किये गये लघुगणक के बराबर होता है।

सबूत। आइए संख्या के लिए मुख्य पहचान (26.1) फिर से लिखें:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। किसी धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल के घातांक से विभाजित मूलांक के लघुगणक के बराबर होता है:

इस परिणाम की वैधता को कैसे और संपत्ति 6 ​​का उपयोग करके कल्पना करके सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 4. आधार a पर लघुगणक लें:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

समाधान, क) इस अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक घातों पर जाना सुविधाजनक है:

समानताओं के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर संख्याओं की तुलना में सरल संक्रियाएँ की जाती हैं: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित करते समय, उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए कंप्यूटिंग अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया जाता है (पैराग्राफ 29 देखें)।

लघुगणक की व्युत्क्रम क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा किसी संख्या के दिए गए लघुगणक से संख्या स्वयं पाई जाती है। मूलतः, पोटेंशिएशन नहीं है विशेष क्रिया: यह आधार को एक घात (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए आता है। शब्द "पोटेंशियेशन" को "एक्सपोनेंशियेशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशिएट करते समय, आपको लघुगणक के नियमों के विपरीत नियमों का उपयोग करना चाहिए: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलें, आदि। विशेष रूप से, यदि सामने कोई कारक है लघुगणक के चिह्न के, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के चिह्न के तहत घातांक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. यदि यह ज्ञात हो तो N ज्ञात कीजिए

समाधान। पोटेंशिएशन के अभी बताए गए नियम के संबंध में, हम इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने खड़े कारक 2/3 और 1/3 को इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक में स्थानांतरित करेंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले भिन्न को हर में अतार्किकता से मुक्त कर दिया (खंड 25)।

गुण 7. यदि आधार एक से बड़ा हो तो बड़ी संख्याइसका लघुगणक बड़ा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक होता है), यदि आधार एक से कम है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक छोटा होता है (और छोटी संख्या का बड़ा होता है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक लेने के नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों पक्ष सकारात्मक हैं:

जब असमानताओं को एक से बड़े आधार पर लघुगणक किया जाता है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, और जब एक से कम आधार पर लघुगणक किया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है (पैराग्राफ 80 भी देखें)।

प्रमाण गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस मामले पर विचार करें जब यदि, तब और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से

स्थिति इस प्रकार है, पाठक स्वयं ही इसका पता लगा लेगा।

जैसा कि आप जानते हैं, जब भावों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b *a c = a b+c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज़ द्वारा तैयार किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक घातांक की एक तालिका बनाई। यह वे ही थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए काम किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां आपको सरल जोड़ द्वारा बोझिल गुणन को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट बिताते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करना है। सरल और सुलभ भाषा में.

गणित में परिभाषा

एक लघुगणक निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति है: log a b=c, अर्थात, किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या (अर्थात, कोई भी सकारात्मक) का लघुगणक "b" से उसके आधार "a" को घात "c" माना जाता है। ” जिससे अंततः मूल्य “बी” प्राप्त करने के लिए आधार “ए” को ऊपर उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करके लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी शक्ति ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक शक्ति तक आपको 8 प्राप्त हो। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें संख्या 3 मिलती है! और यह सच है, क्योंकि 2 की घात 3 का उत्तर 8 होता है।

लघुगणक के प्रकार

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना है। वहाँ तीन हैं व्यक्तिगत प्रजातिलघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. किसी भी संख्या b से आधार a>1 का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लघुगणक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एकल लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें हल करते समय उनके गुणों और क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में ऐसे कई नियम-बाधाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा का विषय नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता और मूल निकालना भी असंभव है सम डिग्रीऋणात्मक संख्याओं से. लघुगणक के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप लंबी और क्षमता वाले लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के साथ भी आसानी से काम करना सीख सकते हैं:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि किसी भी डिग्री पर "1" और "0" हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b >0, तो यह पता चलता है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, कार्य समीकरण 10 x = 100 का उत्तर खोजने के लिए दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको संख्या दस को बढ़ाकर एक घात चुनना होगा जिससे हमें 100 प्राप्त होगा। यह, निश्चित रूप से, 10 2 = है 100.

आइए अब इस अभिव्यक्ति को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करें। हमें लघुगणक 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए एकत्रित होती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लघुगणक के आधार में प्रवेश करना आवश्यक होता है।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी दिमाग और गुणन सारणी का ज्ञान है तो कुछ घातांकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, बड़े मूल्यों के लिए आपको एक पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है जिससे संख्या a बढ़ा दी गई है। प्रतिच्छेदन पर, कोशिकाओं में संख्या मान होते हैं जो उत्तर हैं (एसी =बी)। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 वाली पहली सेल लें और इसे वर्गित करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारी दो कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समानता के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को चार के बराबर 81 के आधार 3 लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक घातों के लिए नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम इसे लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लघुगणक 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक अनुभागों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, नीचे दिए गए समीकरणों के उदाहरण और समाधान देखेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में भी दो मात्राओं की तुलना की गई है: वांछित संख्या का आधार दो का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 x = √9) एक या अधिक विशिष्ट उत्तर दर्शाते हैं। संख्यात्मक मूल्य, जबकि असमानता को हल करते समय, अनुमेय मूल्यों की सीमा और इस फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट दोनों निर्धारित किए जाते हैं। परिणामस्वरूप, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि किसी समीकरण के उत्तर में होता है, बल्कि यह होता है सतत श्रृंखलाया संख्याओं का एक सेट.

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मान ज्ञात करने की आदिम समस्याओं को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल पाता है। हालाँकि, जब लघुगणक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम समीकरणों के उदाहरण बाद में देखेंगे; आइए पहले प्रत्येक संपत्ति को अधिक विस्तार से देखें।

1. मुख्य पहचान इस तरह दिखती है: एक logaB =B. यह तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद का लघुगणक निम्नलिखित सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2। इस मामले में शर्तहै: डी, ​​एस 1 और एस 2 > 0; a≠1. आप उदाहरण और समाधान के साथ इस लघुगणकीय सूत्र का प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए कि log a s 1 = f 1 है और log a s 2 = f 2 है, तो a f1 = s 1, a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (के गुण डिग्री ), और फिर परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1/ एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्रियों के गुणों से मिलता जुलता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सारा गणित प्राकृतिक अभिधारणाओं पर आधारित है। आइए सबूत देखें.

मान लीजिए a b = t लॉग करें, तो यह a t = b निकलता है। यदि हम दोनों भागों को घात m तक बढ़ाएँ: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n, इसलिए log a q b n = (n*t)/t, फिर log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध है.

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

लघुगणक पर सबसे आम प्रकार की समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित परीक्षा का एक आवश्यक हिस्सा भी हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही ढंग से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, समाधान और निर्धारण के लिए कोई एक योजना या योजना नहीं है अज्ञात मूल्यलघुगणक जैसी कोई चीज़ नहीं है, लेकिन प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है या आगे बढ़ाया जा सकता है सामान्य उपस्थिति. यदि आप लंबी लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो आप उन्हें सरल बना सकते हैं। आइए जल्दी से उनके बारे में जानें।

लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करना होगा कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक उदाहरण अभिव्यक्ति में प्राकृतिक लघुगणक या दशमलव हो सकता है।

यहां उदाहरण हैं एलएन100, एलएन1026। उनका समाधान इस तथ्य पर आधारित है कि उन्हें उस शक्ति को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके लिए आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। समाधान के लिए प्राकृतिक लघुगणकआपको लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करने की आवश्यकता है। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां इसका विस्तार करना आवश्यक है बडा महत्वसंख्याएँ b को सरल गुणनखंडों में बाँटें। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक शक्ति की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम एक प्रतीत होता है जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। आपको बस आधार का गुणनखंड करना होगा और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना होगा।

एकीकृत राज्य परीक्षा से असाइनमेंट

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में कई लघुगणकीय समस्याएं। आमतौर पर, ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे जटिल और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान आवश्यक है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान आधिकारिक से लिए जाते हैं एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. समाधान:
आइए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सरल बनाएं लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें मिलता है कि 2x-1 = 2 4, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5.

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को सकारात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, जब किसी अभिव्यक्ति का घातांक जो लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है और उसका आधार गुणक के रूप में निकाला जाता है, तो लघुगणक के अंतर्गत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

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जैसे-जैसे समाज विकसित हुआ और उत्पादन अधिक जटिल होता गया, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति. जोड़ और घटाव की विधि का उपयोग करके सामान्य लेखांकन से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, हम गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। गुणन की बार-बार होने वाली क्रिया को कम करना घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली सारणी 8वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा संकलित की गई थी। उनसे आप लघुगणक के घटित होने का समय गिन सकते हैं।

ऐतिहासिक रेखाचित्र

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने भी यांत्रिकी के विकास को प्रेरित किया। टी बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता हैबहुअंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन मेज़ें बहुत उपयोगी थीं। उन्होंने जटिल संक्रियाओं को सरल संक्रियाओं - जोड़ और घटाव - से बदलना संभव बना दिया। 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल का काम एक बड़ा कदम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को साकार किया। इससे न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में घातों के लिए, बल्कि मनमानी तर्कसंगत संख्याओं के लिए भी तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार नया शब्द "संख्या का लघुगणक" पेश किया। नया जटिल तालिकाएँसाइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखा की गणना के लिए। इससे खगोलशास्त्रियों का काम बहुत कम हो गया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा तीन शताब्दियों तक सफलतापूर्वक उपयोग किया गया। पहले काफी समय बीत गया नया ऑपरेशनबीजगणित में इसने अपना पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। लघुगणक को परिभाषित किया गया और उसके गुणों का अध्ययन किया गया।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानवता ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक काम करती थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं जो कि b बनाने के लिए a की शक्ति है। इसे एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b).

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 की घात तक बढ़ा दें, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध निर्धारित करती है: संख्याएं ए और बी वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक के प्रकार

क्लासिक परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और रुचिकर नहीं है। ध्यान दें: किसी भी घात के लिए 1, 1 के बराबर होता है।

लघुगणक का वास्तविक मानकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिन्हें उनके आधार के आकार के आधार पर नाम दिया जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए(बी) + लॉग ए(पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में यह होगा: लॉग सी(बी/पी) = लॉग सी(बी) - लॉग सी(पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए(बी पी) = पी * लॉग ए(बी)।

अन्य संपत्तियों में शामिल हैं:

टिप्पणी। सामान्य गलती न करें - किसी योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं होता है।

कई शताब्दियों तक, लघुगणक खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने प्रयोग किया सुप्रसिद्ध सूत्रबहुपद विस्तार का लघुगणकीय सिद्धांत:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), जहां n - प्राकृतिक संख्या 1 से अधिक, जो गणना की सटीकता निर्धारित करता है।

अन्य आधारों वाले लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति के बारे में प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।

चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयकार्यान्वयन में कठिनाई के कारण, हमने लघुगणक की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे सभी कार्यों में काफी तेजी आई।

कुछ मामलों में, विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए लघुगणक ग्राफ़ का उपयोग किया गया, जिससे सटीकता कम हुई, लेकिन खोज में काफी तेजी आई वांछित मूल्य. फ़ंक्शन का वक्र y = log a(x), जो कई बिंदुओं पर बना है, आपको किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने के लिए एक नियमित रूलर का उपयोग करने की अनुमति देता है। इंजीनियर्स लंबे समय तकइन उद्देश्यों के लिए, तथाकथित ग्राफ़ पेपर का उपयोग किया गया था।

17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियाँ सामने आईं, जो 19 वीं सदीएक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड रूल कहा गया। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया, और इसे कम करके आंकना मुश्किल है। फिलहाल इस डिवाइस से कम ही लोग परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण के उपयोग को निरर्थक बना दिया।

समीकरण और असमानताएँ

लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण: लॉग ए(बी) = लॉग सी(बी) / लॉग सी(ए);
• पिछले विकल्प के परिणामस्वरूप: लॉग ए(बी) = 1 / लॉग बी(ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी सकारात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फ़ंक्शन को असमानता के दाएं और बाएं पक्षों पर लागू किया जाता है, और लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है; अन्यथा यह बदल जाता है.

नमूना समस्याएँ

आइए लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने वाले उदाहरण:

लघुगणक को घात में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• समस्या 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, प्रविष्टि निम्नलिखित (5^2)^लॉग5(3) या 5^(2 * लॉग 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या फ़ंक्शन तर्क के रूप में किसी संख्या का वर्ग फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह अभिव्यक्ति 3^2 के बराबर है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 मिलता है।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह बहुत दूर लगता है वास्तविक जीवनवास्तविक दुनिया में वस्तुओं का वर्णन करने के लिए लघुगणक ने अचानक बहुत महत्व प्राप्त कर लिया। ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग न किया जाता हो। यह न केवल प्राकृतिक, बल्कि ज्ञान के मानवीय क्षेत्रों पर भी पूरी तरह लागू होता है।

लघुगणकीय निर्भरताएँ

यहां संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा उपयोग करके विकसित हुए हैं गणितीय तरीकेअनुसंधान और साथ ही लघुगणक सहित गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा गया है। आइए विवरण के केवल दो उदाहरण दें भौतिक नियमलघुगणक का उपयोग करना।

रॉकेट की गति जैसी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को त्सोल्कोव्स्की सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = आई * एलएन (एम1/एम2), कहां

• V विमान की अंतिम गति है।
• मैं - इंजन का विशिष्ट आवेग.
• एम 1 - रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- इसका उपयोग एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में किया जाता है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), कहां

• एस - थर्मोडायनामिक संपत्ति।
• k - बोल्ट्जमैन स्थिरांक।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

रसायन विज्ञान में लघुगणक के अनुपात वाले सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट है। आइए केवल दो उदाहरण दें:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोलिसिस सूचकांक और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना नहीं की जा सकती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि संवेदना की ताकत को इस फ़ंक्शन द्वारा उत्तेजना तीव्रता मूल्य और निम्न तीव्रता मूल्य के व्युत्क्रम अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लघुगणक का विषय जीव विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लघुगणकीय सर्पिलों के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस फ़ंक्शन के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। विशेषकर जब प्रकृति के नियमों से संबंधित हो ज्यामितीय अनुक्रम. यह MatProfi वेबसाइट की ओर रुख करने लायक है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है. इस फ़ंक्शन के बुनियादी सिद्धांतों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉग ए एक्सऔर लॉग करें ए य. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स+ लॉग ए य=लॉग ए (एक्स · य);
2. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स− लॉग ए य=लॉग ए (एक्स : य).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

इसे नोटिस करना आसान है अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी≠ 1, समानता सत्य है:

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विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

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चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

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आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

दरअसल, नंबर से क्या होगा बीइतनी घात तक बढ़ाएँ कि संख्या बीइस शक्ति को संख्या देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलेगा ए. इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा ए ए= 1 एक लघुगणकीय इकाई है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणक एइसी से आधार एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है. आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।