किसी कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना
किसी फ़ंक्शन के बढ़ने, घटने और चरम सीमा का अंतराल ज्ञात करना इस प्रकार है: एक स्वतंत्र कार्य, और विशेष रूप से अन्य कार्यों का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा, पूर्ण कार्य अध्ययन. फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी और चरमता के बारे में प्रारंभिक जानकारी दी गई है व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक अध्याय, जिसकी मैं प्रारंभिक अध्ययन के लिए अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ (या पुनरावृत्ति)- इस कारण से भी कि निम्नलिखित सामग्री इसी पर आधारित है मूलतः व्युत्पन्न,इस लेख की सामंजस्यपूर्ण निरंतरता होना। हालाँकि, यदि समय कम है, तो आज के पाठ से उदाहरणों का विशुद्ध रूप से औपचारिक अभ्यास भी संभव है।
और आज हवा में दुर्लभ सर्वसम्मति की भावना है, और मैं प्रत्यक्ष रूप से महसूस कर सकता हूं कि उपस्थित हर कोई इच्छा से जल रहा है किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके एक्सप्लोर करना सीखें. इसलिए, उचित, अच्छी, शाश्वत शब्दावली तुरंत आपके मॉनिटर स्क्रीन पर दिखाई देती है।
किस लिए? इनमें से एक कारण सबसे व्यावहारिक है: ताकि यह स्पष्ट हो कि किसी विशेष कार्य में आम तौर पर आपसे क्या अपेक्षित है!
समारोह की एकरसता. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु
आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें. सीधे शब्दों में कहें तो हम यह मान लेते हैं कि वह निरंतरसंपूर्ण संख्या रेखा पर:
बस मामले में, आइए तुरंत संभावित भ्रम से छुटकारा पाएं, खासकर उन पाठकों के लिए जो हाल ही में परिचित हुए हैं फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल. अब हम दिलचस्पी नहीं है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित है (ऊपर, नीचे, जहां अक्ष प्रतिच्छेद करता है)। आश्वस्त होने के लिए, मानसिक रूप से अक्षों को मिटा दें और एक ग्राफ छोड़ दें। क्योंकि यहीं रुचि निहित है।
समारोह बढ़ती हैकिसी अंतराल पर यदि संबंध से जुड़े इस अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर" तक जाता है। प्रदर्शन समारोह अंतराल के साथ बढ़ता है।
इसी प्रकार, समारोह कम हो जाती हैकिसी अंतराल पर यदि किसी दिए गए अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "ऊपर से नीचे तक" जाता है। हमारा कार्य अंतराल पर घटता जाता है 
.
यदि कोई फ़ंक्शन किसी अंतराल में बढ़ता या घटता है, तो उसे कहा जाता है सख्ती से नीरसइस अंतराल पर. एकरसता क्या है? इसे शाब्दिक रूप से लें - एकरसता।
आप भी परिभाषित कर सकते हैं गैर घटतेफ़ंक्शन (पहली परिभाषा में आराम की स्थिति) और गैर बढ़तीफ़ंक्शन (दूसरी परिभाषा में नरम स्थिति)। किसी अंतराल पर न घटने वाला या न बढ़ने वाला फलन किसी दिए गए अंतराल पर एक मोनोटोनिक फलन कहलाता है (सख्त एकरसता - विशेष मामला"सिर्फ" एकरसता).
सिद्धांत किसी फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी को निर्धारित करने के लिए अन्य दृष्टिकोणों पर भी विचार करता है, जिसमें अर्ध-अंतराल, खंड शामिल हैं, लेकिन आपके सिर पर तेल-तेल-तेल न डालने के लिए, हम स्पष्ट परिभाषाओं के साथ खुले अंतराल के साथ काम करने के लिए सहमत होंगे। - यह स्पष्ट है, और कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है।
इस प्रकार, मेरे लेखों में "फ़ंक्शन की एकरसता" शब्द लगभग हमेशा छिपा रहेगा अंतरालसख्त एकरसता(सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा कार्य)।
एक बिंदु का पड़ोस. ऐसे शब्द जिनके बाद छात्र जहां भी भाग सकते हैं भाग जाते हैं और डर के मारे कोनों में छिप जाते हैं। ...हालांकि पोस्ट के बाद कॉची सीमाएँवे शायद अब छिप नहीं रहे हैं, लेकिन बस थोड़ा-सा कांप रहे हैं =) चिंता न करें, अब प्रमेयों का कोई प्रमाण नहीं होगा गणितीय विश्लेषण- मुझे परिभाषाओं को और अधिक सख्ती से तैयार करने के लिए परिवेश की आवश्यकता थी चरम बिंदु. चलो याद करते हैं:
एक बिंदु का पड़ोसउस अंतराल को कहा जाता है जिसमें शामिल है इस बिंदु, जबकि सुविधा के लिए अंतराल को अक्सर सममित माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु और उसका मानक पड़ोस:
दरअसल, परिभाषाएँ:
बिंदु कहा जाता है सख्त अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। हमारे विशिष्ट उदाहरण में, यह एक बिंदु है।
बिंदु कहा जाता है सख्त न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिसके मान, बिंदु को छोड़कर, असमानता हैं। चित्र में बिंदु "ए" है।
टिप्पणी : पड़ोस समरूपता की आवश्यकता बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, यह महत्वपूर्ण है अस्तित्व का वास्तविक तथ्यपड़ोस (चाहे छोटा हो या सूक्ष्म) जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता हो
बिन्दु कहलाते हैं सख्ती से चरम बिंदुया केवल चरम बिंदुकार्य. अर्थात्, यह अधिकतम अंक और न्यूनतम अंक के लिए एक सामान्यीकृत शब्द है।
हम "चरम" शब्द को कैसे समझते हैं? हाँ, बिल्कुल सीधे तौर पर एकरसता की तरह। रोलर कोस्टर के चरम बिंदु.
जैसा कि एकरसता के मामले में, ढीले अभिधारणाएँ मौजूद हैं और सिद्धांत में और भी अधिक सामान्य हैं (निश्चित रूप से, जिन सख्त मामलों पर विचार किया गया है वे इसके अंतर्गत आते हैं!):
बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिए
बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदु, अगर मौजूदइसका परिवेश ऐसा है सभी के लिएइस पड़ोस के मूल्यों में असमानता कायम है।
ध्यान दें कि पिछली दो परिभाषाओं के अनुसार, एक स्थिर फ़ंक्शन के किसी भी बिंदु (या किसी फ़ंक्शन का "फ्लैट सेक्शन") को अधिकतम और न्यूनतम दोनों बिंदु माना जाता है! वैसे, फ़ंक्शन गैर-बढ़ने वाला और गैर-घटने वाला, यानी मोनोटोनिक दोनों है। हालाँकि, हम इन विचारों को सिद्धांतकारों पर छोड़ देंगे, क्योंकि व्यवहार में हम लगभग हमेशा एक अद्वितीय "पहाड़ी के राजा" या "दलदल की राजकुमारी" के साथ पारंपरिक "पहाड़ियों" और "खोखले" (चित्र देखें) पर विचार करते हैं। एक किस्म के रूप में, यह होता है बख्शीश, ऊपर या नीचे निर्देशित, उदाहरण के लिए, बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम।
ओह, और रॉयल्टी की बात हो रही है:
–अर्थ कहा जाता है अधिकतमकार्य;
–अर्थ कहा जाता है न्यूनतमकार्य.
साधारण नाम - चरमकार्य.
कृपया अपने शब्दों से सावधान रहें!
चरम बिंदु- ये "X" मान हैं।
चरम- "खेल" अर्थ.
! टिप्पणी : कभी-कभी सूचीबद्ध शब्द "XY" बिंदुओं को संदर्भित करते हैं जो सीधे फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।
एक कार्य के कितने चरम हो सकते हैं?
कोई नहीं, 1, 2, 3, ... आदि। अनंत की ओर। उदाहरण के लिए, साइन में अनंत रूप से कई मिनिमा और मैक्सिमा होते हैं।
महत्वपूर्ण!शब्द "अधिकतम कार्य" समान नहींशब्द "किसी फ़ंक्शन का अधिकतम मान"। यह नोटिस करना आसान है कि मूल्य केवल स्थानीय पड़ोस में अधिकतम है, और शीर्ष बाईं ओर "कूलर कॉमरेड" हैं। इसी तरह, "फ़ंक्शन का न्यूनतम" "फ़ंक्शन का न्यूनतम मान" के समान नहीं है, और ड्राइंग में हम देखते हैं कि मान केवल एक निश्चित क्षेत्र में न्यूनतम है। इस संबंध में, चरम बिंदुओं को भी कहा जाता है स्थानीय चरम बिंदु, और चरम - स्थानीय चरम . वे चलते हैं और आस-पास घूमते हैं और वैश्विकभाइयों तो, कोई भी परवलय अपने शीर्ष पर होता है वैश्विक न्यूनतमया वैश्विक अधिकतम. इसके अलावा, मैं चरम के प्रकारों के बीच अंतर नहीं करूंगा, और स्पष्टीकरण सामान्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए अधिक व्यक्त किया गया है - अतिरिक्त विशेषण "स्थानीय"/"वैश्विक" आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए।
आइए एक परीक्षण शॉट के साथ सिद्धांत में हमारे संक्षिप्त भ्रमण को संक्षेप में प्रस्तुत करें: कार्य "फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल और चरम बिंदुओं को ढूंढें" का क्या अर्थ है?
शब्दांकन आपको खोजने के लिए प्रोत्साहित करता है:
- बढ़ते/घटते कार्य के अंतराल (गैर-घटते, गैर-बढ़ते बहुत कम बार दिखाई देते हैं);
- अधिकतम और/या न्यूनतम अंक (यदि कोई हो)। खैर, विफलता से बचने के लिए, न्यूनतम/अधिकतम स्वयं खोजना बेहतर है ;-)
यह सब कैसे निर्धारित करें?व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करना!
बढ़ने, घटने के अंतराल कैसे ज्ञात करें,
फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु?
वास्तव में, कई नियम पहले से ही ज्ञात और समझे जाते हैं व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में पाठ.
स्पर्शरेखा व्युत्पन्न 
यह ख़ुशी की ख़बर लेकर आया है कि कार्य हर जगह बढ़ रहा है परिभाषा का क्षेत्र.
कोटैंजेंट और उसके व्युत्पन्न के साथ 
स्थिति बिल्कुल विपरीत है.
अंतराल के साथ आर्क्साइन बढ़ता है - यहां व्युत्पन्न सकारात्मक है: 
.
जब फ़ंक्शन परिभाषित है, लेकिन अवकलनीय नहीं है। हालाँकि, महत्वपूर्ण बिंदु पर एक दाएँ हाथ का व्युत्पन्न और एक दाएँ हाथ का स्पर्शरेखा है, और दूसरे किनारे पर उनके बाएँ हाथ के समकक्ष हैं।
मुझे लगता है कि आर्क कोसाइन और उसके व्युत्पन्न के लिए समान तर्क देना आपके लिए बहुत मुश्किल नहीं होगा।
उपरोक्त सभी मामले, जिनमें से कई हैं सारणीबद्ध व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिलाता हूं, से सीधे अनुसरण करें व्युत्पन्न परिभाषाएँ.
किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके अन्वेषण क्यों करें?
यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है: जहां यह "नीचे से ऊपर" जाता है, जहां "ऊपर से नीचे", जहां यह न्यूनतम और अधिकतम तक पहुंचता है (यदि यह बिल्कुल पहुंचता है)। सभी फ़ंक्शन इतने सरल नहीं होते - अधिकांश मामलों में हमें किसी विशेष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में बिल्कुल भी पता नहीं होता है।
अब अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ने और विचार करने का समय आ गया है किसी फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजने के लिए एल्गोरिदम:
उदाहरण 1
फ़ंक्शन की वृद्धि/कमी और चरम सीमा के अंतराल ज्ञात करें
समाधान:
1) पहला कदम खोजना है किसी फ़ंक्शन का डोमेन, और ब्रेक पॉइंट्स (यदि वे मौजूद हैं) पर भी ध्यान दें। में इस मामले मेंफ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, और यह क्रिया कुछ हद तक औपचारिक है। लेकिन कई मामलों में, यहां गंभीर भावनाएं भड़क उठती हैं, तो आइए इस पैराग्राफ को बिना किसी तिरस्कार के देखें।
2) एल्गोरिथम का दूसरा बिंदु किसके कारण है
चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त:
यदि किसी बिंदु पर चरम सीमा है, तो या तो मान मौजूद नहीं है.
अंत से भ्रमित हैं? "मापांक x" फ़ंक्शन का चरम .
शर्त तो जरूरी है, लेकिन पर्याप्त नहीं, और इसका विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है। इसलिए, समानता से यह अभी तक नहीं निकला है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम तक पहुंचता है। एक क्लासिक उदाहरण पहले ही ऊपर हाइलाइट किया जा चुका है - यह एक घन परवलय और इसका महत्वपूर्ण बिंदु है।
लेकिन जैसा भी हो, आवश्यक शर्तचरम सीमा संदिग्ध बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता तय करती है। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें और समीकरण हल करें:
पहले लेख की शुरुआत में फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे मेंमैंने आपको एक उदाहरण का उपयोग करके शीघ्रता से एक परवलय बनाने का तरीका बताया था 
: "...हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं: ...तो, हमारे समीकरण का समाधान: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है..."। अब, मुझे लगता है, हर कोई समझता है कि परवलय का शीर्ष ठीक इसी बिंदु पर क्यों स्थित है =) सामान्य तौर पर, हमें यहां एक समान उदाहरण से शुरुआत करनी चाहिए, लेकिन यह बहुत सरल है (चायदानी के लिए भी)। इसके अलावा, पाठ के बिल्कुल अंत में एक एनालॉग है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. इसलिए, आइए डिग्री बढ़ाएँ:
उदाहरण 2
फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल खोजें
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में कार्य का एक अनुमानित अंतिम नमूना।
भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के साथ बैठक का लंबे समय से प्रतीक्षित क्षण आ गया है:
उदाहरण 3
पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण करें
इस बात पर ध्यान दें कि एक ही कार्य को कितने परिवर्तनीय ढंग से दोबारा तैयार किया जा सकता है।
समाधान:
1) फ़ंक्शन को बिंदुओं पर अनंत असंततता का सामना करना पड़ता है।
2) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाते हैं। आइए पहला व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें: 
आइए समीकरण हल करें. एक भिन्न तब शून्य होती है जब उसका अंश शून्य हो:
इस प्रकार, हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं: 
3) हम सभी ज्ञात बिंदुओं को संख्या रेखा पर आलेखित करते हैं अंतराल विधिहम व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं:
मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपको अंतराल में कुछ बिंदु लेने और उस पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है 
और उसका चिन्ह निर्धारित करें। गिनना भी नहीं, बल्कि मौखिक रूप से "अनुमान लगाना" अधिक लाभदायक है। आइए, उदाहरण के लिए, अंतराल से संबंधित एक बिंदु लें और प्रतिस्थापन करें: 
. 
इसलिए, दो "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देते हैं, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न पूरे अंतराल पर नकारात्मक है।
जैसा कि आप समझते हैं, कार्रवाई छह अंतरालों में से प्रत्येक के लिए की जानी चाहिए। वैसे, ध्यान दें कि किसी भी अंतराल में किसी भी बिंदु के लिए अंश कारक और हर सख्ती से सकारात्मक होते हैं, जो कार्य को बहुत सरल बनाता है।
तो, व्युत्पन्न ने हमें बताया कि फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है 
और घट जाती है. जॉइन आइकन के साथ एक ही प्रकार के अंतराल को जोड़ना सुविधाजनक है।
इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है:
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: 
इस बारे में सोचें कि आपको दूसरे मान की पुनर्गणना क्यों नहीं करनी पड़ती ;-)
किसी बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए फ़ंक्शन का वहां कोई चरम नहीं होता है - यह दोनों घटता है और घटता रहता है।
! आइए दोहराएँ महत्वपूर्ण बिंदु : बिंदुओं को महत्वपूर्ण नहीं माना जाता - उनमें एक फ़ंक्शन होता है निर्धारित नहीं है. तदनुसार, यहाँ सिद्धांततः कोई चरम सीमा नहीं हो सकती(भले ही व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाए)।
उत्तर: फ़ंक्शन बढ़ता है 
और घटता है उस बिंदु पर जब फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंच जाता है: 
, और बिंदु पर - न्यूनतम: .
एकरसता अंतराल और एक्स्ट्रेमा का ज्ञान, स्थापित के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुखपहले से ही इसका बहुत अच्छा विचार देता है उपस्थितिफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स. औसत प्रशिक्षण वाला व्यक्ति मौखिक रूप से यह निर्धारित करने में सक्षम होता है कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो लंबवत अनंतस्पर्शी और एक तिरछा अनंतस्पर्शी होता है। यहाँ हमारा हीरो है: 
इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ अध्ययन के परिणामों को सहसंबंधित करने के लिए एक बार फिर प्रयास करें।
महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, लेकिन है संक्रमण का बिन्दु(जो, एक नियम के रूप में, समान मामलों में होता है)।
उदाहरण 4
फलन का चरम ज्ञात कीजिए
उदाहरण 5
फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल, मैक्सिमा और मिनिमा खोजें
...आज यह लगभग किसी प्रकार की "एक्स इन ए क्यूब" छुट्टी जैसा है....
तो, गैलरी में किसने इसके लिए पीने की पेशकश की? =)
प्रत्येक कार्य की अपनी महत्वपूर्ण बारीकियाँ और तकनीकी सूक्ष्मताएँ होती हैं, जिन पर पाठ के अंत में टिप्पणी की जाती है।
समारोह y=f(x)बुलाया की बढ़तीअंतराल पर (ए;बी), यदि किसी के लिए एक्स 1और एक्स 2 एक्स 1
बढ़ते हुए फ़ंक्शन का ग्राफ़
· समारोह वाई = एफ(एक्स)बुलाया घटतेअंतराल पर (ए; बी), यदि कोई हो एक्स 1और एक्स 2इस अंतराल से ऐसे कि एक्स 1
घटते फ़ंक्शन का ग्राफ़
घटते और बढ़ते कार्य मिलकर एक वर्ग बनाते हैं नीरसकार्य. मोनोटोन फ़ंक्शंस में कई विशेष गुण होते हैं।
समारोह एफ(एक्स),अंतराल पर मोनोटोनिक [ ए,बी], इस खंड पर सीमित;
· बढ़ते (घटते) कार्यों का योग एक बढ़ता हुआ (घटता हुआ) कार्य है;
· यदि कार्य एफबढ़ता है (घटता है) और एन– एक विषम संख्या, यह बढ़ती (घटती) भी है;
· अगर f"(x)>0सभी के लिए एक्सओ(ए,बी),फिर फ़ंक्शन y=f(x)अंतराल पर बढ़ रहा है (ए,बी);
· अगर च"(x)<0 सभी के लिए एक्सओ(ए,बी),फिर फ़ंक्शन y=f(x)अंतराल पर घट रहा है (ए,बी);
· अगर एफ(एक्स) –सेट पर निरंतर और मोनोटोनिक फ़ंक्शन एक्स, फिर समीकरण एफ(एक्स)=सी, कहाँ साथ- यह स्थिरांक हो सकता है एक्सएक से अधिक समाधान नहीं;
· यदि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र पर f(x)=g(x)समारोह एफ(एक्स)बढ़ता है, और कार्य जी(एक्स)घटता है, तो समीकरण के एक से अधिक हल नहीं हो सकते।
प्रमेय. (किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए पर्याप्त शर्त)। यदि खंड पर निरंतर है [ ए, बी] समारोह वाई = एफ(एक्स) अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर ( ए, बी) का एक धनात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है, तो यह फलन खंड पर बढ़ता (घटता) है [ ए, बी].
सबूत। मान लीजिए सभी के लिए >0 है xО(ए,बी). दो मनमाना मान x 2 पर विचार करें > एक्स 1,से संबंधित [ ए, बी]. लैग्रेंज के सूत्र के अनुसार एक्स 1<с < х 2 . (साथ) > 0 और एक्स 2 – एक्स 1 > 0, इसलिए > 0, जहाँ से > , अर्थात्, फलन f(x) अंतराल पर बढ़ता है [ ए, बी]. प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।
प्रमेय 3. (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत)। यदि फ़ंक्शन बिंदु c पर अवकलनीय है पर=एफ(एक्स) इस बिंदु पर एक चरम है, तो।
सबूत। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को मान लीजिए पर= एफ(एक्स) का बिंदु c पर अधिकतम है। इसका मतलब यह है कि बिंदु c का एक छिद्रित पड़ोस है जैसे कि सभी बिंदुओं के लिए एक्सयह पड़ोस संतुष्ट है एफ(एक्स) < f (सी), वह है एफ(सी) इस पड़ोस में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। फिर फ़र्मेट के प्रमेय द्वारा।
बिंदु c पर न्यूनतम का मामला इसी प्रकार सिद्ध होता है।
टिप्पणी। किसी फ़ंक्शन का एक चरम उस बिंदु पर हो सकता है जिस पर उसका व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु x पर होता है = 0, हालाँकि यह अस्तित्व में नहीं है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है, फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु कहलाते हैं। हालाँकि, फ़ंक्शन में सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर चरम सीमा नहीं होती है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x 3इसका कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है, हालाँकि यह व्युत्पन्न है =0.
प्रमेय 4. (एक चरम के अस्तित्व का पर्याप्त संकेत)। अगर सतत कार्य वाई = एफ(एक्स) एक निश्चित अंतराल के सभी बिंदुओं पर एक व्युत्पन्न होता है जिसमें महत्वपूर्ण बिंदु सी होता है (शायद, इस बिंदु को छोड़कर), और यदि व्युत्पन्न, जब तर्क महत्वपूर्ण बिंदु सी के माध्यम से बाएं से दाएं गुजरता है, तो प्लस से संकेत बदलता है माइनस में, तब बिंदु C पर फ़ंक्शन अधिकतम होता है, और जब साइन माइनस से प्लस में बदलता है, तो न्यूनतम होता है।
सबूत। मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण बिंदु है और उदाहरण के लिए, जब तर्क बिंदु c से होकर गुजरता है तो चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है। इसका मतलब है कि कुछ अंतराल पर (सी-ई; सी)फलन बढ़ता है, और अंतराल पर (सी; सी+ई)– घट जाती है (पर इ>0). इसलिए, बिंदु c पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है। न्यूनतम का मामला इसी प्रकार सिद्ध होता है।
टिप्पणी। यदि तर्क के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन में कोई चरम सीमा नहीं होती है।
चूंकि कई चर के एक फ़ंक्शन के लिए सीमा और निरंतरता की परिभाषाएं व्यावहारिक रूप से एक चर के एक फ़ंक्शन के लिए संबंधित परिभाषाओं के साथ मेल खाती हैं, तो कई चर के कार्यों के लिए सीमाओं और निरंतर कार्यों के सभी गुण संरक्षित हैं
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पेज निर्माण दिनांक: 2016-02-12
संख्यात्मक सेट एक्सगिनता सममितशून्य के सापेक्ष, यदि कोई हो एक्सЄ एक्सअर्थ - एक्ससेट का भी है एक्स.
समारोह य = एफ(एक्सएक्स, मायने रखता है यहां तक की एक्स एक्सЄ एक्स, एफ(एक्स) = एफ(-एक्स).
एक सम फ़ंक्शन के लिए, ग्राफ़ ओए अक्ष के बारे में सममित है।
समारोह य = एफ(एक्स), जिसे सेट पर परिभाषित किया गया है एक्स, मायने रखता है विषम, यदि पूरा हो गया निम्नलिखित शर्तें: ए) अनेक एक्सशून्य के बारे में सममित; बी) किसी के लिए भी एक्सЄ एक्स, एफ(एक्स) = -एफ(-एक्स).
एक विषम फ़ंक्शन के लिए, ग्राफ़ मूल बिंदु के बारे में सममित है।
समारोह पर = एफ(एक्स), एक्सЄ एक्स, बुलाया आवधिकपर एक्स, यदि कोई संख्या है टी (टी ≠ 0) (अवधिफ़ंक्शन) कि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
- एक्स - टीऔर एक्स + टीबहुतों से एक्सकिसी के लिए भी एक्सЄ एक्स;
- किसी के लिए भी एक्सЄ एक्स, एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स - टी) = एफ(एक्स)।
यदि टीफ़ंक्शन की अवधि है, फिर फॉर्म की कोई भी संख्या मीट्रिक टन, कहाँ एमЄ जेड, एम≠ 0, यह इस फलन की अवधि भी है। किसी दिए गए फ़ंक्शन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि (यदि यह मौजूद है) को इसकी मुख्य अवधि कहा जाता है।
यदि टीफ़ंक्शन की मुख्य अवधि है, तो इसका ग्राफ़ बनाने के लिए, आप लंबाई निर्धारित करने के डोमेन के किसी भी अंतराल पर ग्राफ़ का हिस्सा प्लॉट कर सकते हैं टी, और फिर O अक्ष के साथ ग्राफ़ के इस खंड का समानांतर स्थानांतरण करें एक्स± द्वारा टी, ±2 टी, ....
समारोह य = एफ(एक्स), नीचे बंधा हुआएक सेट पर एक्स एवह किसी के लिए भी एक्सЄ एक्स, ए ≤ एफ(एक्स). किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो सेट पर नीचे दिया गया है एक्स, पूरी तरह से सीधी रेखा के ऊपर स्थित है पर = ए(यह एक क्षैतिज रेखा है).
समारोह पर = एफ(एक्स), ऊपर से घिरा हुआएक सेट पर एक्स(इसे इस सेट पर परिभाषित किया जाना चाहिए), यदि कोई संख्या है मेंवह किसी के लिए भी एक्सЄ एक्स, एफ(एक्स) ≤ में. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो सेट X पर ऊपर घिरा हुआ है, पूरी तरह से रेखा के नीचे स्थित है पर = में(यह एक क्षैतिज रेखा है).
कार्य पर विचार किया गया सीमितएक सेट पर एक्स(इसे इस सेट पर परिभाषित किया जाना चाहिए) यदि यह इस सेट पर ऊपर और नीचे से घिरा हुआ है, यानी ऐसी संख्याएं हैं एऔर मेंवह किसी के लिए भी एक्सЄ एक्सअसमानताएँ संतुष्ट हैं ए ≤ एफ(एक्स) ≤ बी. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो एक सेट पर घिरा हुआ है एक्स, पूरी तरह से सीधी रेखाओं के बीच स्थित है पर = एऔर पर = में(ये क्षैतिज रेखाएँ हैं)।
समारोह पर = एफ (एक्स), सेट पर बंधा हुआ माना जाता है एक्स(इसे इस सेट पर परिभाषित किया जाना चाहिए), यदि कोई संख्या है साथ> 0, जो किसी के लिए है एक्सЄ एक्स, │एफ(एक्स)│≤ साथ.
समारोह पर = एफ(एक्स), एक्सЄ एक्स, बुलाया बढ़ रहा है (न घट रहा है)एक उपसमुच्चय पर एमसाथ एक्सजब सबके लिए एक्स 1 और एक्स 2 का एमऐसा है कि एक्स 1 < एक्स 2, निष्पक्ष एफ(एक्स 1) < एफ(एक्स 2) (एफ(एक्स 1) ≤ एफ(एक्स 2)). या फ़ंक्शन y को कॉल किया जाता है की बढ़तीएक सेट पर को, यदि इस सेट से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।
समारोह पर = एफ(एक्स), एक्सЄX, कहा जाता है घट रहा है (बढ़ नहीं रहा है)एक उपसमुच्चय पर एमसाथ एक्सजब सबके लिए एक्स 1 और एक्स 2 का एमऐसा है कि एक्स 1 < एक्स 2, निष्पक्ष एफ(एक्स 1) > एफ(एक्स 2) (एफ(एक्स 1) ≥ एफ(एक्स 2)). या कार्य परसेट पर घटना कहा जाता है को, यदि इस सेट से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।
समारोह पर = एफ(एक्स), एक्सЄ एक्स, बुलाया नीरसएक उपसमुच्चय पर एमसाथ एक्स, यदि यह घट रहा है (न बढ़ रहा है) या बढ़ रहा है (न घट रहा है)। एम.
यदि फ़ंक्शन पर = एफ(एक्स), एक्सЄ एक्स, किसी उपसमुच्चय पर घट रहा है या बढ़ रहा है एमसाथ एक्स, तो ऐसे फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सख्ती से नीरसएक सेट पर एम.
संख्या एमबुलाया फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मानआप सेट पर हैं को, यदि यह संख्या x के एक निश्चित मान पर फ़ंक्शन का मान है 0 सेट से तर्कको, और सेट K से तर्क के अन्य मानों के लिए फ़ंक्शन y का मान संख्या से अधिक नहीं हैएम.
संख्या एमबुलाया सबसे कम मूल्य सेट पर y कार्य करता है को, यदि यह संख्या किसी निश्चित मान पर फ़ंक्शन का मान है एक्ससेट से 0 तर्क को, और सेट से तर्क x के अन्य मानों के लिए कोफ़ंक्शन y का मान संख्या से कम नहीं है एम.
किसी फ़ंक्शन के मूल गुण , जहां से इसका अध्ययन और अनुसंधान शुरू करना बेहतर है, वही इसकी परिभाषा और महत्व का क्षेत्र है। आपको याद रखना चाहिए कि ग्राफ़ कैसे दर्शाए जाते हैं प्राथमिक कार्य. केवल तभी आप अधिक जटिल ग्राफ़ बनाने की ओर आगे बढ़ सकते हैं। "फ़ंक्शन" विषय का अर्थशास्त्र और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग है। फ़ंक्शंस का अध्ययन पूरे गणित पाठ्यक्रम के दौरान किया जाता है और इसका अध्ययन जारी रहता हैउच्च शिक्षण संस्थान . वहां, पहले और दूसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके कार्यों का अध्ययन किया जाता है।
हम पहली बार 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में मिले थे। फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखते हुए, हमने संबंधित जानकारी को नीचे ले लिया: यदि, ग्राफ़ के साथ बाएं से दाएं चलते हुए, हम एक ही समय में नीचे से ऊपर की ओर बढ़ते हैं (जैसे कि किसी पहाड़ी पर चढ़ रहे हों), तो हमने फ़ंक्शन को घोषित कर दिया बढ़ रहा है (चित्र 124); यदि हम ऊपर से नीचे की ओर बढ़ते हैं (पहाड़ी से नीचे जाते हैं), तो हमने फलन को घटते हुए घोषित किया है (चित्र 125)।
हालाँकि, गणितज्ञों को किसी फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करने की यह विधि बहुत पसंद नहीं है। उनका मानना है कि अवधारणाओं की परिभाषाएँ किसी रेखाचित्र पर आधारित नहीं होनी चाहिए - रेखाचित्र को किसी फ़ंक्शन के केवल एक या किसी अन्य गुण को चित्रित करना चाहिए GRAPHICS. आइए हम बढ़ते और घटते कार्यों की अवधारणाओं की सख्त परिभाषा दें।
परिभाषा 1.
फ़ंक्शन y = f(x) को अंतराल X पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि, असमानता x 1 से< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
परिभाषा 2. फ़ंक्शन y = f(x) को अंतराल X पर घटता हुआ कहा जाता है यदि असमानता x 1 है< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует असमानताएफ(एक्स 1) > एफ(एक्स 2).
व्यवहार में, निम्नलिखित फॉर्मूलेशन का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है:
यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है तो फ़ंक्शन बढ़ जाता है;
यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है तो फ़ंक्शन घट जाता है।
इन परिभाषाओं और § 33 में स्थापित संख्यात्मक असमानताओं के गुणों का उपयोग करके, हम पहले अध्ययन किए गए कार्यों की वृद्धि या कमी के बारे में निष्कर्ष को प्रमाणित करने में सक्षम होंगे।
1. रैखिक फलन y = kx +m
यदि k > 0, तो फलन संपूर्ण रूप से बढ़ता है (चित्र 126); यदि के< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
सबूत। मान लीजिए f(x) = kx +m. यदि x 1< х 2 и k >ओह, फिर, 3 संख्यात्मक असमानताओं की संपत्ति के अनुसार (§ 33 देखें), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. रेखीयफलन y = kx+ m.
यदि x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , और संपत्ति 2 के अनुसार, kx 1 > kx 2 से यह इस प्रकार है कि kx 1 + m> kx 2 + अर्थात।
तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что f(х 1) >एफ(एक्स 2). इसका मतलब फ़ंक्शन y = f(x) में कमी है, यानी। रैखिक प्रकार्यवाई = केएक्स + एम.
यदि कोई फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता (घटता) है, तो इसे अंतराल को इंगित किए बिना बढ़ाना (घटना) कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x - 3 के बारे में हम कह सकते हैं कि यह संपूर्ण संख्या रेखा के साथ बढ़ रहा है, लेकिन हम इसे और अधिक संक्षेप में भी कह सकते हैं: y = 2x - 3 - बढ़ रहा है
समारोह।
2. फलन y = x2
1. किरण पर फलन y = x 2 पर विचार करें। आइए दो गैर-धनात्मक संख्याएँ x 1 और x 2 लें जैसे कि x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- एक्स 2. चूँकि संख्याएँ - x 1 और - x 2 गैर-ऋणात्मक हैं, तो अंतिम असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें समान अर्थ (-x 1) 2 > (-x 2) 2, यानी की असमानता प्राप्त होती है। इसका मतलब यह है कि f(x 1) >f(x 2).
तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что f(х 1) >एफ(एक्स 2).
इसलिए, फलन y = x 2 किरण (- 00, 0] पर घटता है (चित्र 128)।
1. अंतराल (0, + 00) पर एक फ़ंक्शन पर विचार करें।
चलो x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >एफ(एक्स 2).
तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что f(x 1) >एफ(एक्स 2). इसका मतलब यह है कि खुली किरण (0, + 00) पर फलन घटता है (चित्र 129)।
2. अंतराल (-oo, 0) पर एक फ़ंक्शन पर विचार करें। चलो x 1< х 2 , х 1 и х 2 - नकारात्मक संख्याएँ. फिर - x 1 > - x 2, और अंतिम असमानता के दोनों पक्ष सकारात्मक संख्याएं हैं, और इसलिए (हमने § 33 से उदाहरण 1 में सिद्ध असमानता का फिर से उपयोग किया)। आगे हमारे पास है, हम कहां से प्राप्त करते हैं।
तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) अर्थात खुली किरण पर फलन घटता है (- 00 , 0)
आमतौर पर शब्द "बढ़ता कार्य" और "घटता कार्य" संयुक्त होते हैं साधारण नाममोनोटोनिक फ़ंक्शन, और किसी फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अध्ययन को मोनोटोनिटी के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन कहा जाता है।
समाधान।
1) आइए फलन y = 2x2 आलेखित करें और इस परवलय की शाखा x पर लें< 0 (рис. 130).
2) खंड पर इसके भाग का निर्माण और चयन करें (चित्र 131)।
3) आइए एक हाइपरबोला बनाएं और खुली किरण (4, + 00) पर उसके भाग का चयन करें (चित्र 132)।
4) आइए हम सभी तीन "टुकड़ों" को एक समन्वय प्रणाली में चित्रित करें - यह फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ है (चित्र 133)।
आइए फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ पढ़ें।
1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।
2. y = 0 x = 0 पर; x > 0 के लिए y > 0.
3. फलन किरण पर घटता है (-oo, 0], खंड पर बढ़ता है, किरण पर घटता है, खंड पर ऊपर की ओर उत्तल होता है, किरण पर नीचे की ओर उत्तल होता है)
