भाषण: प्रतिच्छेदी, समानांतर और क्रॉसिंग रेखाएं; रेखाओं की लंबवतता
प्रतिच्छेदी रेखाएँ
यदि किसी समतल पर कई सीधी रेखाएँ हैं, तो देर-सबेर वे या तो मनमाने ढंग से, या समकोण पर प्रतिच्छेद करेंगी, या समानांतर होंगी। आइए प्रत्येक मामले पर नजर डालें।
वे रेखाएँ जिनमें कम से कम एक प्रतिच्छेद बिंदु हो, प्रतिच्छेदी कहलाती हैं।
आप पूछ सकते हैं कि कम से कम एक सीधी रेखा दूसरी सीधी रेखा को दो या तीन बार क्यों नहीं काट सकती। आप ठीक कह रहे हैं! लेकिन सीधी रेखाएं एक दूसरे से पूरी तरह मेल खा सकती हैं। इस मामले में, सामान्य बिंदुओं की अनंत संख्या होगी।
समानता
समानांतरआप उन रेखाओं के नाम बता सकते हैं जो अनंत पर भी कभी नहीं कटतीं।
दूसरे शब्दों में, समानांतर वे हैं जिनमें एक भी उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। कृपया ध्यान दें कि यह परिभाषा केवल तभी मान्य है जब रेखाएँ एक ही तल में हों, यदि अलग-अलग तलों में होने के कारण उनमें उभयनिष्ठ बिंदु न हों, तो उन्हें प्रतिच्छेदी माना जाता है।
जीवन में समानांतर रेखाओं के उदाहरण: मॉनिटर स्क्रीन के दो विपरीत किनारे, नोटबुक में रेखाएं, साथ ही चीजों के कई अन्य हिस्से जिनमें वर्गाकार, आयताकार और अन्य आकार होते हैं।
जब वे लिखित रूप में यह दिखाना चाहते हैं कि एक पंक्ति दूसरी पंक्ति के समानांतर है, तो वे निम्नलिखित संकेतन a||b का उपयोग करते हैं। यह प्रविष्टि कहती है कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है।
इस विषय का अध्ययन करते समय, एक और कथन को समझना महत्वपूर्ण है: विमान पर एक निश्चित बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, कोई एक समानांतर रेखा खींच सकता है। लेकिन ध्यान दें, फिर से सुधार विमान पर है। यदि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर विचार करें, तो हम अनंत संख्या में रेखाएँ खींच सकते हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करेंगी, लेकिन प्रतिच्छेद करेंगी।
ऊपर वर्णित कथन कहा जाता है समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत.
खड़ापन
सीधी रेखाएं केवल तभी कही जा सकती हैं यदि सीधा, यदि वे 90 डिग्री के बराबर कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतरिक्ष में, एक रेखा पर एक निश्चित बिंदु के माध्यम से, अनंत संख्या में लंबवत रेखाएं खींची जा सकती हैं। हालाँकि, अगर हम एक समतल के बारे में बात कर रहे हैं, तो एक रेखा पर एक बिंदु के माध्यम से आप एक लंबवत रेखा खींच सकते हैं।
सीधी रेखाओं को पार किया। काटनेवाला
यदि कुछ रेखाएँ किसी बिंदु पर मनमाने कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उन्हें कहा जा सकता है अंतर प्रजनन.
किसी भी प्रतिच्छेदी रेखा में ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोण होते हैं।
यदि दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बने कोणों की एक भुजा उभयनिष्ठ हो, तो वे आसन्न कहलाते हैं:
आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।
प्रमेय. यदि एक रेखा किसी दिए गए तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये दोनों रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। क्रॉसिंग लाइनों का संकेत प्रमाण। मान लीजिए रेखा a समतल में स्थित है, और रेखा b समतल को बिंदु B पर काटती है, जो रेखा a से संबंधित नहीं है। यदि रेखाएँ a और b एक ही तल में हों, तो बिंदु B भी इसी तल में स्थित होगा क्योंकि रेखा से केवल एक तल गुजरता है और इस रेखा के बाहर एक बिंदु है, तो यह तल अवश्य ही एक तल होगा। लेकिन तब सीधी रेखा बी समतल में स्थित होगी, जो स्थिति का खंडन करती है। नतीजतन, सीधी रेखाएं ए और बी एक ही विमान में नहीं हैं, यानी। अंतरजातीय.
तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं जिनमें एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के किनारे होते हैं? समाधान: आधारों के प्रत्येक किनारे के लिए तीन किनारे हैं जो उससे प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक पार्श्व किनारे के लिए दो पसलियाँ होती हैं जो इसके साथ प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की आवश्यक संख्या अभ्यास 5 है
तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं जिनमें एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के किनारे होते हैं? समाधान: आधारों का प्रत्येक किनारा 8 जोड़ी क्रॉसिंग लाइनों में भाग लेता है। प्रत्येक पार्श्व किनारा 8 जोड़ी क्रॉसिंग लाइनों में भाग लेता है। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की आवश्यक संख्या अभ्यास 6 है
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति.
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को निम्नलिखित तीन संभावनाओं द्वारा दर्शाया जाता है।
रेखाएँ एक ही तल में होती हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता - समानांतर रेखाएँ।
रेखाएँ एक ही तल पर स्थित होती हैं और उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है - रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ इस प्रकार भी स्थित हो सकती हैं कि वे किसी तल में न हों। ऐसी रेखाओं को तिरछा कहा जाता है (वे प्रतिच्छेद नहीं करतीं या समानांतर होती हैं)।
उदाहरण:
समस्या 434 त्रिभुज ABC एक समतल, a में स्थित है
त्रिभुज ABC समतल में स्थित है, लेकिन बिंदु D इस समतल में नहीं है। बिंदु एम, एन और के क्रमशः खंड डीए, डीबी और डीसी के मध्य बिंदु हैंप्रमेय.यदि दो रेखाओं में से एक एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
चित्र में. 26 सीधी रेखा a समतल में स्थित है, और सीधी रेखा c बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती है। रेखाएँ a और c प्रतिच्छेद कर रही हैं।
प्रमेय.दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक से दूसरी रेखा के समानांतर केवल एक तल गुजरता है।
चित्र में. 26 रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद करती हैं। एक सीधी रेखा खींची जाती है और एक समतल खींचा जाता है (अल्फा) || b (तल B (बीटा) में सीधी रेखा a1 || b इंगित की गई है)।
प्रमेय 3.2.
एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
इस संपत्ति को कहा जाता है संक्रामितारेखाओं की समानता.
सबूत
मान लीजिए रेखाएँ a और b एक साथ रेखा c के समानांतर हैं। मान लीजिए कि a, b के समानांतर नहीं है, तो रेखा a, रेखा b को किसी बिंदु A पर काटती है, जो शर्त के अनुसार रेखा c पर स्थित नहीं है। नतीजतन, हमारे पास दो रेखाएं ए और बी हैं, जो एक बिंदु ए से होकर गुजरती हैं, जो किसी दी गई रेखा सी पर नहीं होती हैं, और एक ही समय में इसके समानांतर होती हैं। यह अभिगृहीत 3.1 का खंडन करता है। प्रमेय सिद्ध है.
प्रमेय 3.3.
किसी दिए गए रेखा पर स्थित नहीं होने वाले बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर एक और केवल एक रेखा खींची जा सकती है।
सबूत
मान लीजिए (AB) एक दी गई रेखा है, C एक बिंदु है जो उस पर नहीं है। रेखा AC समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है। बिंदु B उनमें से एक में स्थित है। अभिगृहीत 3.2 के अनुसार, किरण सी ए से कोण (सीएबी) के बराबर एक कोण (एसीडी) को दूसरे आधे तल में जमा करना संभव है। ACD और CAB, रेखाओं AB और CD और छेदक (AC) के साथ समान आंतरिक क्रॉसवाइज हैं, फिर, प्रमेय 3.1 (AB) के अनुसार || (सीडी)। अभिगृहीत 3.1 को ध्यान में रखते हुए। प्रमेय सिद्ध है.
समानांतर रेखाओं का गुण प्रमेय 3.1 के विपरीत निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।
प्रमेय 3.4.
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो प्रतिच्छेद करने वाले आंतरिक कोण बराबर होते हैं।
सबूत
चलो (एबी) || (सीडी)। आइए मान लें कि ACD ≠ BAC. बिंदु A से होकर हम एक सीधी रेखा AE खींचते हैं ताकि EAC = ACD हो। लेकिन फिर, प्रमेय 3.1 (एई) || द्वारा (सीडी), और शर्त के अनुसार - (एबी) || (सीडी)। प्रमेय 3.2 (एई) के अनुसार || (एबी). यह प्रमेय 3.3 का खंडन करता है, जिसके अनुसार एक बिंदु A के माध्यम से जो रेखा CD पर नहीं है, कोई उसके समानांतर एक अद्वितीय रेखा खींच सकता है। प्रमेय सिद्ध है.
चित्र 3.3.1.इस प्रमेय के आधार पर निम्नलिखित गुणों को आसानी से उचित ठहराया जा सकता है।
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो संगत कोण बराबर होते हैं।
यदि दो समानांतर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।
परिणाम 3.2.
यदि कोई रेखा किसी एक समानांतर रेखा पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है।
समानता की अवधारणा हमें निम्नलिखित नई अवधारणा पेश करने की अनुमति देती है, जिसकी बाद में अध्याय 11 में आवश्यकता होगी।
दो किरणें कहलाती हैं समान रूप से निर्देशित, यदि कोई रेखा ऐसी है कि, सबसे पहले, वे इस रेखा के लंबवत हैं, और दूसरी बात, किरणें इस रेखा के सापेक्ष एक ही आधे तल में स्थित हैं।
दो किरणें कहलाती हैं विपरीत दिशा में निर्देशित, यदि उनमें से प्रत्येक को दूसरे के पूरक किरण के साथ समान रूप से निर्देशित किया जाता है।
हम समान रूप से निर्देशित किरणों AB और CD को निरूपित करेंगे: और विपरीत दिशा वाली किरणों AB और CD को -
चित्र 3.3.2.
रेखाओं को पार करने का संकेत.
यदि दो रेखाओं में से एक एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था के मामले।
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की व्यवस्था के चार अलग-अलग मामले हैं:
- सीधे क्रॉसिंग वाले, यानी एक ही तल में न लेटें;
- सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात्। एक ही तल में लेटें और एक उभयनिष्ठ बिंदु रखें;
- समानांतर रेखाएं, यानी एक ही तल में लेटें और प्रतिच्छेद न करें;
- रेखाएँ मेल खाती हैं।
आइए हम विहित समीकरणों द्वारा दी गई रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के इन मामलों की विशेषताएँ प्राप्त करें
कहाँ - रेखाओं से संबंधित बिंदुऔर तदनुसार, ए— दिशा सदिश (चित्र 4.34)। आइए हम इसे निरूपित करेंदिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला एक वेक्टर।निम्नलिखित विशेषताएँ ऊपर सूचीबद्ध रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के अनुरूप हैं:
- सीधे और क्रॉसिंग वेक्टर समतलीय नहीं हैं;
- सीधी रेखाएँ और प्रतिच्छेदी सदिश समतलीय होते हैं, लेकिन सदिश संरेख नहीं होते;
- प्रत्यक्ष और समानांतर सदिश संरेख होते हैं, लेकिन सदिश संरेख नहीं होते हैं;
- सीधी रेखाएँ और संपाती सदिश संरेख होते हैं।
इन शर्तों को मिश्रित और वेक्टर उत्पादों के गुणों का उपयोग करके लिखा जा सकता है। याद रखें कि सही आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर का मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:
और निर्धारक प्रतिच्छेद शून्य है, और इसकी दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात।- सारणिक की सीधी और समानांतर दूसरी और तीसरी रेखाएँ आनुपातिक हैं, अर्थात। और पहली दो पंक्तियाँ आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात
- सीधी रेखाएँ और सारणिक की सभी रेखाएँ संपाती होती हैं और आनुपातिक होती हैं, अर्थात।
यदि दो रेखाओं में से एक एक तल में स्थित है, और दूसरी इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये दोनों रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं।
सबूत
मान लीजिए a, α से संबंधित है, b, α = A को प्रतिच्छेद करता है, A, a से संबंधित नहीं है (चित्र 2.1.2)। आइए मान लें कि रेखाएं ए और बी नॉन-क्रॉसिंग हैं, यानी वे प्रतिच्छेद करती हैं। फिर वहाँ एक समतल β मौजूद है जिससे रेखाएँ a और b संबंधित हैं। इस तल में β एक रेखा a और एक बिंदु A स्थित है। चूँकि रेखा a और उसके बाहर का बिंदु A एक ही तल को परिभाषित करते हैं, तो β = α। लेकिन b, β को चलाता है और b, α से संबंधित नहीं है, इसलिए समानता β = α असंभव है।
यदि अंतरिक्ष में दो रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो कहा जाता है कि ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। निम्नलिखित आकृति में, रेखाएँ a और b बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखाएँ a और c प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
किन्हीं दो सीधी रेखाओं में या तो केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है या कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता।
समानांतर रेखाएं
अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें। समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए एक विशेष चिह्न - || का उपयोग करें।
अंकन a||b का अर्थ है कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है। ऊपर प्रस्तुत चित्र में, रेखाएँ a और c समानांतर हैं।
समांतर रेखाएं प्रमेय
अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है और इसके अलावा, केवल एक।
पार लाइनों
एक ही तल में स्थित दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं या समानांतर हो सकती हैं। लेकिन अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जरूरी नहीं कि इसी तल से संबंधित हों। वे दो अलग-अलग विमानों में स्थित हो सकते हैं।
यह स्पष्ट है कि विभिन्न तलों में स्थित रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करतीं और समानांतर रेखाएँ नहीं हैं। दो रेखाएँ जो एक ही तल में नहीं होती हैं, कहलाती हैं सीधी रेखाओं को पार करना.
निम्नलिखित चित्र दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं a और b को दर्शाता है, जो विभिन्न तलों में स्थित हैं।
तिरछी रेखाओं पर परीक्षण और प्रमेय
यदि दो रेखाओं में से एक एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
तिरछी रेखाओं पर प्रमेय: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से दूसरी रेखा के समानांतर एक तल गुजरता है, और, इसके अलावा, केवल एक।
इस प्रकार, हमने अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के सभी संभावित मामलों पर विचार किया है। उनमें से केवल तीन हैं.
1. रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। (अर्थात्, उनमें केवल एक ही बात समान है।)
2. रेखाएँ समानान्तर होती हैं। (अर्थात्, उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं और वे एक ही तल में स्थित हैं।)
3. सीधी रेखाएं काटती हैं। (अर्थात, वे विभिन्न तलों में स्थित हैं।)
