स्पर्शरेखा के साथ सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना। सरल और जटिल त्रिकोणमितीय असमानताएँ

असमानताएँ a › b के रूप के संबंध हैं, जहाँ a और b कम से कम एक चर वाले व्यंजक हैं। असमानताएँ सख्त हो सकती हैं - ‹, › और गैर-सख्त - ≥, ≤.

त्रिकोणमितीय असमानताएँ इस रूप की अभिव्यक्तियाँ हैं: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, जिसमें F(x) को एक या अधिक त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दर्शाया जाता है .

सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानता का एक उदाहरण है: पाप x ‹ 1/2। ऐसी समस्याओं को ग्राफ़िक रूप से हल करने की प्रथा है, इसके लिए दो विधियाँ विकसित की गई हैं।

विधि 1 - किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाकर असमानताओं को हल करना

एक अंतराल खोजने के लिए जो असमानता पाप x ‹ 1/2 की शर्तों को पूरा करता है, आपको निम्नलिखित कदम उठाने होंगे:

1. निर्देशांक अक्ष पर, एक साइनसॉइड y = syn x का निर्माण करें।
2. उसी अक्ष पर, असमानता के संख्यात्मक तर्क का एक ग्राफ बनाएं, यानी, कोटि ओए के बिंदु ½ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।
3. दो ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
4. उस खंड को छायांकित करें जो उदाहरण का समाधान है।

जब किसी अभिव्यक्ति में सख्त संकेत मौजूद होते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान नहीं होते हैं। चूँकि साइनसॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि 2π है, हम उत्तर इस प्रकार लिखते हैं:

यदि अभिव्यक्ति के संकेत सख्त नहीं हैं, तो समाधान अंतराल को वर्गाकार कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए - . समस्या का उत्तर निम्नलिखित असमानता के रूप में भी लिखा जा सकता है:

विधि 2 - इकाई वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना

इसी तरह की समस्याओं को त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। उत्तर खोजने का एल्गोरिदम बहुत सरल है:

1. सबसे पहले आपको एक यूनिट सर्कल बनाना होगा।
2. फिर आपको वृत्त के चाप पर असमानता के दाईं ओर के तर्क के चाप फ़ंक्शन के मूल्य को नोट करने की आवश्यकता है।
3. एब्सिस्सा अक्ष (OX) के समानांतर आर्क फ़ंक्शन के मान से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है।
4. उसके बाद, जो कुछ बचता है वह एक वृत्त के चाप का चयन करना है, जो त्रिकोणमितीय असमानता के समाधान का सेट है।
5. उत्तर आवश्यक प्रपत्र में लिखें।

आइए असमानता पाप x › 1/2 के उदाहरण का उपयोग करके समाधान के चरणों का विश्लेषण करें। वृत्त पर बिंदु α और β अंकित हैं - मान

α और β के ऊपर स्थित चाप के बिंदु दी गई असमानता को हल करने के लिए अंतराल हैं।

यदि आपको cos के लिए एक उदाहरण हल करने की आवश्यकता है, तो उत्तर चाप OX अक्ष पर सममित रूप से स्थित होगा, OY नहीं। आप पाठ में नीचे दिए गए आरेखों में पाप और कॉस के समाधान अंतराल के बीच अंतर पर विचार कर सकते हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट असमानताओं के लिए ग्राफिकल समाधान साइन और कोसाइन दोनों से भिन्न होंगे। यह कार्यों के गुणों के कारण है।

आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट एक त्रिकोणमितीय वृत्त की स्पर्शरेखाएं हैं, और दोनों कार्यों के लिए न्यूनतम सकारात्मक अवधि π है। दूसरी विधि का शीघ्र और सही ढंग से उपयोग करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी के मान किस अक्ष पर अंकित हैं।

स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर चलती है। यदि हम यूनिट सर्कल पर आर्कटान ए का मान प्लॉट करते हैं, तो दूसरा आवश्यक बिंदु विकर्ण तिमाही में स्थित होगा। एंगल्स

वे फ़ंक्शन के लिए ब्रेक पॉइंट हैं, क्योंकि ग्राफ़ उन तक जाता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।

कोटैंजेंट के मामले में, स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर चलती है, और फ़ंक्शन बिंदु π और 2π पर बाधित होता है।

जटिल त्रिकोणमितीय असमानताएँ

यदि असमानता फ़ंक्शन का तर्क केवल एक चर द्वारा नहीं, बल्कि एक अज्ञात युक्त संपूर्ण अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाता है, तो हम पहले से ही बात कर रहे हैं जटिल असमानता. इसे हल करने की प्रक्रिया और प्रक्रिया ऊपर वर्णित तरीकों से कुछ अलग है। मान लीजिए हमें निम्नलिखित असमानता का समाधान खोजने की आवश्यकता है:

ग्राफ़िकल समाधान में x के मनमाने ढंग से चयनित मानों का उपयोग करके एक साधारण साइनसॉइड y = पाप x का निर्माण शामिल है। आइए ग्राफ़ के नियंत्रण बिंदुओं के लिए निर्देशांक वाली एक तालिका की गणना करें:

परिणाम एक सुंदर वक्र होना चाहिए.

समाधान ढूंढना आसान बनाने के लिए, आइए जटिल फ़ंक्शन तर्क को बदलें

इकाई वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना

प्रपत्र की त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करते समय, जहां --- त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक, असमानता के समाधानों को सबसे स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने और उत्तर लिखने के लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की मुख्य विधि उन्हें सरलतम प्रकार की असमानताओं तक कम करना है। आइए एक उदाहरण देखें कि ऐसी असमानताओं को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण असमानता को हल करें.

समाधान। आइए एक त्रिकोणमितीय वृत्त बनाएं और उस पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनके लिए कोटि श्रेष्ठ है।

इस असमानता को हल करना होगा. यह भी स्पष्ट है कि यदि कोई निश्चित संख्या किसी संख्या से निर्दिष्ट अंतराल से भिन्न हो तो वह भी कम नहीं होगी। इसलिए, आपको बस पाए गए खंड के सिरों पर समाधान जोड़ने की जरूरत है। अंत में, हम पाते हैं कि मूल असमानता के सभी समाधान होंगे।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की एक रेखा की अवधारणा उपयोगी है। ये सीधी रेखाएं हैं और क्रमशः (चित्र (1) और (2) में), त्रिकोणमितीय वृत्त की स्पर्शरेखा हैं।

यह देखना आसान है कि यदि हम निर्देशांक के मूल पर एक किरण बनाते हैं, जो भुज अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाता है, तो बिंदु से इस किरण के प्रतिच्छेदन बिंदु तक खंड की लंबाई होती है स्पर्शरेखा रेखा उस कोण की स्पर्शरेखा के बिल्कुल बराबर होती है जो यह किरण भुज अक्ष के साथ बनाती है। कोटैंजेंट के लिए भी ऐसा ही अवलोकन होता है।

उदाहरण असमानता को हल करें.

समाधान। आइए निरूपित करें, फिर असमानता सबसे सरल रूप ले लेगी:। आइए स्पर्शरेखा की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि (एलपीपी) के बराबर लंबाई के अंतराल पर विचार करें। इस खंड पर, स्पर्श रेखा का उपयोग करके, हम उसे स्थापित करते हैं। आइए अब याद रखें कि एनपीपी के कार्य करने के बाद क्या जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए, । वेरिएबल पर लौटने पर, हमें वह मिलता है

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों वाली असमानताओं को हल करना सुविधाजनक है। आइए एक उदाहरण से दिखाएं कि यह कैसे किया जाता है।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को रेखांकन द्वारा हल करना

ध्यान दें कि यदि --- आवधिक कार्य, तो असमानता को हल करने के लिए एक खंड पर इसका समाधान ढूंढना आवश्यक है जिसकी लंबाई फ़ंक्शन की अवधि के बराबर है। मूल असमानता के सभी समाधानों में पाए गए मान शामिल होंगे, साथ ही वे सभी जो फ़ंक्शन की अवधियों की किसी भी पूर्णांक संख्या से पाए गए से भिन्न होंगे

आइए असमानता के समाधान पर विचार करें ()।

तब से, असमानता का कोई समाधान नहीं है। यदि, तो असमानता के समाधान का सेट --- गुच्छासभी वास्तविक संख्याएँ.

रहने दो। साइन फ़ंक्शन में सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होती है, इसलिए असमानता को पहले लंबाई के खंड पर हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए हम फ़ंक्शन और () के ग्राफ़ बनाते हैं।

खंड पर, साइन फ़ंक्शन बढ़ता है, और समीकरण, जहां, एक जड़ है। खंड पर, साइन फ़ंक्शन कम हो जाता है, और समीकरण का एक मूल होता है। संख्यात्मक अंतराल पर, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होता है। इसलिए, अंतराल से सभी के लिए) असमानता कायम है। साइन फ़ंक्शन की आवधिकता के कारण, असमानता के सभी समाधान फॉर्म की असमानताओं द्वारा दिए गए हैं:।

हम इकाई वृत्त का उपयोग करके स्पर्शरेखा वाली असमानताओं को हल करेंगे।

स्पर्शरेखा के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. उपरोक्त चित्र में दिखाए गए क्लिच को फिर से बनाएं;
2. स्पर्श रेखा पर हम $a$ अंकित करते हैं और मूल बिंदु से इस बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचते हैं;
3. अर्धवृत्त के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को छायांकित किया जाएगा यदि असमानता सख्त नहीं है और यदि यह सख्त है तो छायांकित नहीं किया जाएगा;
4. यदि असमानता में "$>$" चिन्ह है तो क्षेत्र रेखा के नीचे और वृत्त तक स्थित होगा, और यदि असमानता में "$" चिन्ह है तो क्षेत्र रेखा के नीचे और वृत्त तक स्थित होगा।<$”;
5. प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, चापस्पर्शरेखा $a$ को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. प्रत्युत्तर में, परिणामी अंतराल को अंत में $+ \pi n$ जोड़कर लिखा जाता है।

एल्गोरिथम का उपयोग करके असमानताओं को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1:असमानता का समाधान करें:

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

इस प्रकार, समाधान यह रूप लेगा:

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$

महत्वपूर्ण!स्पर्शरेखा पर बिंदु $-\frac(\pi)(2)$ और $\frac(\pi)(2)$ हमेशा (असमानता के संकेत की परवाह किए बिना)छेद करना!

उदाहरण 2:असमानता का समाधान करें:

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

हम स्पर्शरेखा रेखा पर बिंदु $- \sqrt(3)$ को चिह्नित करते हैं और मूल बिंदु से उस तक एक सीधी रेखा खींचते हैं। अर्धवृत्त के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को छायांकित नहीं किया जाएगा, क्योंकि असमानता सख्त है। क्षेत्र सीधी रेखा के ऊपर और वृत्त तक स्थित होगा, क्योंकि असमानता का चिह्न $>$ है। आइए प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$

आइए मूल चर पर वापस लौटें:

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\दाएं).$

उत्तरार्द्ध असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

जिसे हल करने पर हमें उत्तर मिल जाएगा। वास्तव में,

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

और अंततः हमें मिलता है:

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$

त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं को हल करते समय, उन्हें cos(t)>a, synt(t)=a और इसी तरह की सबसे सरल असमानताओं में बदल दिया जाता है। और सबसे सरल असमानताएँ पहले ही हल हो चुकी हैं। आइए सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीकों के विभिन्न उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. असमानता पाप(t) > = -1/2 को हल करें।

एक इकाई वृत्त बनाएं. चूँकि परिभाषा के अनुसार पाप(t) y निर्देशांक है, हम Oy अक्ष पर बिंदु y = -1/2 अंकित करते हैं। हम इसके माध्यम से ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। इकाई वृत्त के ग्राफ़ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर, बिंदु Pt1 और Pt2 चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों द्वारा बिंदु Pt1 और Pt2 से जोड़ते हैं।

इस असमानता का समाधान इन बिंदुओं के ऊपर स्थित इकाई वृत्त के सभी बिंदु होंगे। दूसरे शब्दों में, समाधान चाप l होगा। अब उन शर्तों को इंगित करना आवश्यक है जिनके तहत एक मनमाना बिंदु चाप l से संबंधित होगा।

Pt1 दाहिने अर्धवृत्त में स्थित है, इसकी कोटि -1/2 है, तो t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. बिंदु Pt1 का वर्णन करने के लिए, आप निम्नलिखित सूत्र लिख सकते हैं:
t2 = pi - आर्क्सिन(-1/2) = 7*pi/6. परिणामस्वरूप, हमें t के लिए निम्नलिखित असमानता प्राप्त होती है:

हम असमानताओं को संरक्षित करते हैं। और चूँकि साइन फ़ंक्शन आवधिक है, इसका मतलब है कि समाधान हर 2*pi पर दोहराया जाएगा। हम इस शर्त को t के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

उदाहरण 2. cos(t) असमानता को हल करें<1/2.

आइए एक इकाई वृत्त बनाएं। चूँकि, परिभाषा के अनुसार, cos(t) x निर्देशांक है, हम ऑक्स अक्ष पर ग्राफ़ पर बिंदु x = 1/2 अंकित करते हैं।
हम ओए अक्ष के समानांतर इस बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। इकाई वृत्त के ग्राफ़ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर, बिंदु Pt1 और Pt2 चिह्नित करें। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को दो खंडों द्वारा बिंदु Pt1 और Pt2 से जोड़ते हैं।

समाधान इकाई वृत्त के वे सभी बिंदु होंगे जो चाप l से संबंधित हैं। आइए बिंदु t1 और t2 खोजें।

टी1 = आर्ककोस(1/2) = पीआई/3.

t2 = 2*pi - आर्ककोस(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

हमें t: pi/3 के लिए असमानता मिली

चूँकि कोसाइन एक आवधिक फलन है, इसलिए समाधान प्रत्येक 2*pi पर दोहराया जाएगा। हम इस शर्त को t के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: pi/3+2*pi*n

उदाहरण 3.असमानता को हल करें tg(t)< = 1.

स्पर्शरेखा अवधि पाई के बराबर है। आइए ऐसे समाधान खोजें जो अंतराल (-pi/2;pi/2) दाएं अर्धवृत्त से संबंधित हों। इसके बाद, स्पर्शरेखा की आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम इस असमानता के सभी समाधान लिखते हैं। आइए एक इकाई वृत्त बनाएं और उस पर स्पर्श रेखाओं की एक रेखा अंकित करें।

यदि t असमानता का समाधान है, तो बिंदु T = tg(t) की कोटि 1 से कम या उसके बराबर होनी चाहिए। ऐसे बिंदुओं का समुच्चय किरण AT बनाएगा। बिंदु Pt का वह समुच्चय जो इस किरण के बिंदुओं के अनुरूप होगा, चाप l है। इसके अलावा, बिंदु P(-pi/2) इस चाप से संबंधित नहीं है।