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प्रारंभिक गणित शिक्षण में कैलकुलेटर का उपयोग करना

यह लेख इस बात पर चर्चा करता है कि प्रारंभिक कक्षाओं में गणित पढ़ाने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग किया जाना चाहिए या नहीं और इसका बुद्धिमानी से उपयोग कैसे किया जाए।

कैलकुलेटर के उपयोग पर "लड़ाई"।

कुछ लोगों का कहना है कि कैलकुलेटर बच्चों को कठिन गणनाओं पर समय बर्बाद करने के बजाय समझने और गणितीय अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित करने में सक्षम बनाता है। वे कहते हैं कि कैलकुलेटर संख्या बोध विकसित करने में मदद करता है, और छात्रों को उनकी गणित क्षमताओं के बारे में अधिक आश्वस्त बनाता है।

अन्य लोग निचले स्तर के गणित शिक्षण में कैलकुलेटर का उपयोग करने के खिलाफ हैं, उनका कहना है कि यह बच्चों को उनके मूल तथ्यों को सीखने से रोकता है, छात्रों को अंतर्निहित गणितीय अवधारणाओं को खोजने और समझने से रोकता है और इसके बजाय उन्हें यह समझे बिना कि वे क्या कर रहे हैं, यादृच्छिक रूप से अलग-अलग संचालन करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

वे कहते हैं कि कैलकुलेटर छात्रों को गणित सीखने के सबसे महत्वपूर्ण कारणों में से एक का लाभ उठाने से रोकते हैं: दिमाग को प्रशिक्षित और अनुशासित करना और तार्किक तर्क को बढ़ावा देना।

वहाँ एक संतुलन है

मेरी राय में, कैलकुलेटर का उपयोग शिक्षण में अच्छे या बुरे तरीके से किया जा सकता है - यह सब शिक्षक के दृष्टिकोण पर निर्भर करता है। कैलकुलेटर अपने आप में बुरा या अच्छा नहीं है - यह सिर्फ एक उपकरण है जिसका उपयोग बहुत किया जाता है आज के समाज में, इसलिए छात्रों को स्कूल खत्म होने तक इसका उपयोग करना सीख लेना चाहिए।

साथ ही, बच्चों को अपने बुनियादी तथ्य सीखने चाहिए, मानसिक गणना करने में सक्षम होना चाहिए, और लंबे विभाजन और अन्य बुनियादी पेपर-पेंसिल एल्गोरिदम में महारत हासिल करनी चाहिए। गणित अध्ययन का एक क्षेत्र है जो पहले से स्थापित तथ्यों पर आधारित है। एक बच्चा जो बुनियादी गुणन (और विभाजन) तथ्यों को नहीं जानता है, उसे गुणनखंड, अभाज्य संख्या, भिन्न सरलीकरण और अन्य भिन्न संचालन, वितरण गुण आदि सीखने में कठिनाई होगी। वगैरह। बीजगणित में बहुपदों के साथ संबंधित संक्रियाओं को समझने के लिए अंकगणित के बुनियादी एल्गोरिदम एक आवश्यक आधार हैं। लंबे पूर्ववर्ती विभाजनों में महारत हासिल करना, यह समझना कि अंश कैसे दोहराए जाने वाले (गैर-समाप्ति) दशमलव से मेल खाते हैं, जो फिर अपरिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं को समझने का मार्ग प्रशस्त करता है। यह सब एक साथ जुड़ता है!

इस कारण से, निचली कक्षाओं में कैलकुलेटर के उपयोग को प्रतिबंधित करने की सलाह दी जाती है, जब तक कि बच्चे अपने मूल तथ्यों को न जान लें और पेंसिल और कागज से बड़ी संख्याओं को भी जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकें। यह, मेरी राय में, मानसिक गणनाओं की तरह, संख्या बोध का निर्माण करता है।

इसका मतलब यह नहीं है कि आप विशेष परियोजनाओं के लिए, विशिष्ट अवधारणाओं को पढ़ाते समय, या कुछ मनोरंजन के लिए प्रारंभिक कक्षाओं में कभी-कभी कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, उदाहरण के लिए इसका उपयोग विज्ञान या भूगोल परियोजनाओं में, कुछ नई अवधारणाओं की खोज के लिए किया जा सकता है नंबर गेम, या होमवर्क जाँचने के लिए कुछ विचारों के लिए नीचे देखें।

यहां चर्चा हाई स्कूल में ग्राफिकल कैलकुलेटर पर लागू नहीं होती है। ग्राफ़िंग और कैलकुलस का अध्ययन करते समय मैं ग्राफ़िकल कैलकुलेटर या ग्राफ़िंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करने के दृढ़ता से पक्ष में हूं। हालाँकि, वहाँ भी, किसी को निश्चित रूप से बुनियादी विचार सीखने की ज़रूरत है कि कागज पर रेखांकन कैसे किया जाता है।

कैलकुलेटर का उपयोग करते समय ध्यान रखने योग्य बातें

जब कैलकुलेटर का अधिक स्वतंत्र रूप से उपयोग किया जाता है, तो निम्नलिखित बातों पर ध्यान देना चाहिए:

• कैलकुलेटर एक है औजारगणना करने के लिए. इसी प्रकार मानव मस्तिष्क और कागज़ और पेंसिल भी हैं। बच्चों को पढ़ाना चाहिए कबकैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए और जब मानसिक कंप्यूटिंग (या यहां तक ​​कि कागज और पेंसिल) अधिक प्रभावी या उपयुक्त हो। सही "उपकरण" चुनना प्रभावी समस्या-समाधान प्रक्रिया का हिस्सा है।
• यह बहुत महत्वपूर्ण है कि छात्र अनुमान लगाना सीखेंगणना करने से पहले परिणाम. कैलकुलेटर में संख्याओं को अंकित करते समय गलतियाँ करना बहुत आसान है। एक छात्र को यह जांचे बिना कि उत्तर उचित है, कैलकुलेटर पर भरोसा करना नहीं सीखना चाहिए।
• एक कैलकुलेटर का उपयोग सभी संभावित ऑपरेशनों को बेतरतीब ढंग से आज़माने और यह जांचने के लिए नहीं किया जाना चाहिए कि कौन सा सही उत्तर देता है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को सीखें और समझें ताकि वे जान सकें कि कब किसका उपयोग करना है - और यह सच है कि वास्तविक गणना मानसिक रूप से, कागज पर, या कैलकुलेटर के साथ की जाती है।

प्रारंभिक गणित में कैलकुलेटर के उपयोग के लिए विचार

यदि आप इन विचारों का उपयोग करते हैं, तो सुनिश्चित करें कि बच्चों को यह विचार न आए कि कैलकुलेटर मानसिक गणित सीखने की आवश्यकता को दूर कर देता है। यह बच्चों को अन्वेषण और निरीक्षण करने देने के लिए एक उपकरण के रूप में काम कर सकता है, लेकिन बाद में शिक्षक को अवधारणाओं को समझाना चाहिए, उचित ठहराना चाहिए गणित के नियम, और इन सबको एक साथ रखें।

• किंडरगार्टनर और पहली कक्षा के विद्यार्थी संख्याओं का पता लगा सकते हैं बार-बार 1 जोड़ना(जो पहले 1 + 1 = को दबाकर और फिर = बटन को बार-बार दबाकर किया जा सकता है) या 1 को बार-बार घटाकर किया जा सकता है। जब वे ऋणात्मक संख्याओं से टकराते हैं तो उनके चेहरों का निरीक्षण करें! या, उन्हें इसकी जांच करने दें कि जब आप किसी संख्या में शून्य जोड़ते हैं तो उसका क्या होता है।
• कैलकुलेटर पैटर्न पहेलियाँ: यह उपरोक्त विचार का विस्तार है, जहां पहली से तीसरी कक्षा के बच्चे कैलकुलेटर का उपयोग करके एक ही संख्या को बार-बार जोड़ते या घटाते हैं। जब आप बार-बार 2, 5, 10 या 100 जोड़ते हैं तो बच्चे उन पैटर्न को देखेंगे जो उभरते हैं। उदाहरण के लिए, वे 17 से शुरू कर सकते हैं और बार-बार 10 जोड़ सकते हैं या 149 से शुरू कर सकते हैं और बार-बार 10 घटा सकते हैं। एक अन्य विचार यह है कि बच्चों को अपनी खुद की "पैटर्न पहेलियाँ" बनाने दें, जो एक पैटर्न के साथ संख्या अनुक्रम हैं जहां कुछ संख्याएं छोड़ दी जाती हैं, उदाहरण के लिए 7, 14, __, __, 35, __, 49। गतिविधि इस विचार से जुड़ सकती है गुणन का बहुत आसानी से.
• कैलकुलेटर के साथ स्थानीय मान गतिविधि: छात्र कैलकुलेटर के साथ संख्याएँ बनाते हैं, उदाहरण के लिए:
  दहाई के स्थान पर 6 लेकर तीन अंकों की एक संख्या बनाएं; या इकाई के स्थान पर चार लेकर 3,500 से बड़ी चार अंकों की संख्या बनाएं; या एक चार अंकीय संख्या बनाएं जिसमें दहाई में 3 और सैकड़ा में 9 हो; वगैरह।
  इसके बाद शिक्षक बोर्ड पर कई संख्याएँ सूचीबद्ध करता है और चर्चा करता है कि छात्रों द्वारा बनाई गई संख्याओं में क्या समानता है, जैसे: सभी संख्याएँ साठ-कुछ हैं।
• बोर्ड पर दस लाख की संख्या लिखें। छात्रों से एक संख्या चुनने के लिए कहें जिसे वे उचित कक्षा समय के भीतर दस लाख तक पहुंचने के लिए कैलकुलेटर के साथ बार-बार जोड़ेंगे। यदि वे छोटी संख्याएं चुनते हैं, जैसे 68 या 125, तो वे उस तक नहीं पहुंच पाएंगे! इससे बच्चों को पता चलेगा कि दस लाख की संख्या कितनी बड़ी है!
• पाई का परिचय देते समय, छात्रों से कई गोलाकार वस्तुओं की परिधि और व्यास को मापने के लिए कहें, और एक कैलकुलेटर के साथ उनके अनुपात की गणना करें (जो समय बचाता है और अवधारणा पर ध्यान केंद्रित रखने में मदद कर सकता है)।

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टिप्पणियाँ

मैं एक बहुत छोटे स्कूल में पढ़ाता हूं और वर्तमान में मैं बीजगणित 1, 8वीं कक्षा का विज्ञान और फिर वरिष्ठों को भौतिकी पढ़ाता हूं और मेरे पास एक छोटा समूह है जिसने हाई स्कूल कैलकुलस पूरा कर लिया है और हम कुछ रैखिक बीजगणित कर रहे हैं। मैं, स्वयं, भौतिकी में स्नातकोत्तर.

इससे पहले कि मैं इनमें से कुछ पोस्ट पढ़ता, मुझे लगता था कि मैं कैलकुलेटर का कट्टर विरोधी हूं, लेकिन अब मुझे लगता है कि मैं बीच रास्ते पर हूं।

कागज पर वर्गमूल निकालने के बारे में टिप्पणियाँ अच्छी हैं। नहीं, अब हमें यह जानने की ज़रूरत नहीं है कि इसे अच्छी परिशुद्धता के साथ कैसे किया जाए। हालाँकि, मैं वास्तव में चाहूंगा कि मेरे सभी छात्र आपको यह बताने में सक्षम हों कि यह किन दो संख्याओं के बीच है। उदाहरण: 8
अभी पिछले साल ही मुझे पता चला कि TI-83 में डेटा कैसे इनपुट किया जाता है और यह माध्य और मानक विचलन को कैसे उजागर करता है। भौतिकी कक्षा के संदर्भ में, मैं उन चीजों पर बहुत अधिक समय खर्च नहीं करना चाहता जो उन्हें सांख्यिकी कक्षा में सीखनी चाहिए। लेकिन अगर कैलकुलेटर इसे आसानी से करता है, तो मैं धीरे से अवधारणा का परिचय दे सकता हूं और आशा करता हूं कि प्रारंभिक एक्सपोज़र ने उन्हें सांख्यिकी में जो सीखने की ज़रूरत है उसके लिए तैयार किया है।

हालाँकि, बीजगणित 1 में, मैं छात्रों को कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति नहीं देता हूँ। और, यह मेरा स्कूल है, मुझे लगता है कि अधिकांश बच्चे मेरे पाठ्यक्रम में बिना कैलकुलेटर के आते हैं या इसका उपयोग करने की इच्छा नहीं रखते हैं। मुझे लगता है कि बुनियादी सूची बीजगणित 1 में गणित इस प्रकार होना चाहिए: 80% संख्याओं को 12x12 गुणन सारणी पर बुनियादी जानकारी का उपयोग करना चाहिए जिसे बच्चों को याद करना चाहिए। और अंतिम 5% ऐसी चीजें होनी चाहिए जिनके लिए उन्हें कैलकुलेटर की आवश्यकता हो।

मेरी राय में, आप संख्याओं के बारे में चीजें तब सीखते हैं जब आपको उन्हें अपने दिमाग में रखना होता है। यदि आप 357 के अभाज्य गुणनखंड करना चाहते हैं, तो आप इस विचार से शुरू कर सकते हैं कि यह 400 से कम है, इसलिए आपको केवल 20 तक जांच करनी होगी। आप यह भी जानते हैं कि यह अजीब है, इसलिए आपको ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है 2 या किसी भी घटना की जाँच करें। तब आप महसूस कर सकते हैं कि आपको 1 और 20 के बीच किसी भी गैर-अभाज्य संख्या की जाँच करने की ज़रूरत नहीं है। इसलिए, आपको केवल 3, 5, 7, 11, 13, 17 की जाँच करनी होगी।

इससे छात्रों को सेट से संबंधित कुछ मौलिक अवधारणाओं को विकसित करने में मदद मिलती है। संख्याओं के ऐसे समूह हैं जो समान गुण साझा करते हैं, जैसे सम, विषम और अभाज्य संख्याएँ। यह एक गहरी अवधारणा है जो आपको तब तक नहीं मिलेगी जब तक आपको अपने लिए किसी प्रक्रिया को सरल नहीं बनाना पड़ेगा।

लेकिन, साथ ही, अपने लिए किसी प्रक्रिया को सरल बनाना भी वास्तव में महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि आप स्प्रिंट कप NASCAR कार के हेड मैकेनिक हैं। वे हर समय टूटते रहते हैं। उन्हें ठीक करने के लिए आपको क्या करने की आवश्यकता है? समस्या से असंगत क्या है? चीज़ों की सबसे छोटी संख्या क्या है जिन्हें आपको परीक्षण/ठीक करने की आवश्यकता है, और आपको उन्हें किस क्रम में आज़माना चाहिए? यह हाई स्कूल की गणित कक्षा में एल्गोरिथम विचार विकसित करने से एक लंबा विस्तार है। लेकिन मैं तर्क दूंगा कि यदि आपको पूरे जीवन एक मशीन द्वारा उत्तर दिए गए हैं तो वहां तक ​​पहुंचना कठिन है।

मैं जानता हूं यह लंबे समय से चल रहा है। दो और बिंदु... मैं वास्तव में ग्राफ़ बनाने के लिए कभी भी ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग नहीं करूंगा। मेरे लैपटॉप पर 100 डॉलर का सॉफ़्टवेयर है जो किसी भी हाथ से पकड़े जाने वाले ग्राफ़िंग कैलकुलेटर को पानी से बाहर निकाल देता है।

अंततः, स्टोर क्लर्कों और कैलकुलेटरों पर टिप्पणी ने मेरा ध्यान खींचा। दुनिया को निश्चित रूप से डिपार्टमेंट स्टोर में कैश रजिस्टर चलाने के लिए लोगों की ज़रूरत है। लेकिन किसी तरह मुझे लगता है कि अच्छी शिक्षा प्राप्त करने का लक्ष्य यह है कि आप बाद में ऐसा करियर चुन सकें जिसके बारे में आप भावुक हों। खुदरा कारोबार में रुचि रखने वाले कैशियर बहुत कम हैं। मुझे आशा है कि जब मेरे छात्र स्कूल समाप्त करेंगे तो उनके पास विकल्पों का व्यापक समूह होगा।

डेविड इवरसन

मेरा मानना ​​है कि दोनों का उपयोग किया जाना चाहिए। मैं सहमत हूं कि हमें प्राथमिक विद्यालय में जोड़, घटाव आदि की मूल बातें सीखने की जरूरत है) हालांकि, जब आप मैसी, ओलिव गार्डन या मैक डोनाल्ड में जाते हैं, तो कैशियर कागज और पेंसिल का उपयोग नहीं करता है (कैलकुलेटर) का उपयोग किया जाता है। हम कंप्यूटर युग में रहते हैं। हम अब औद्योगिक क्रांति में नहीं हैं, तो आइए 21वीं सदी में आएं।

नमस्ते, मैं केली हूं। मैं सेंट कॉलेज में नया हूं। मिसौरी में चार्ल्स कम्युनिटी कॉलेज। आपकी साइट अद्भुत है. मैं इसे अपनी छोटी बहन के लिए देख रहा था। मैं वास्तव में हर किसी को और कॉलेज जाने की योजना बनाने वाले किसी भी व्यक्ति को बताना चाहूंगा कि कैलकुलेटर का उपयोग तुरंत बंद कर दें। इसका उपयोग केवल ग्राफ़िंग लॉग और उस जैसी आवश्यक चीज़ों के लिए करें। मैंने कैलकुलस कक्षा में सबसे सरल गुणा और भाग की समस्याओं के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करके हाई स्कूल की पढ़ाई पूरी की, और जब मैं कॉलेज पहुंचा तो मुझे शुरुआती बीजगणित से शुरुआत करनी पड़ी क्योंकि मुझे नहीं पता था कि कैलकुलेटर के बिना गुणा और भाग कैसे किया जाता है। इसलिए कृपया सभी पर एक उपकार करें और उनसे पूछें या उन्हें कैलकुलेटर का उपयोग बंद करने के लिए कहें। वे बाद में इसके लिए मुझे धन्यवाद देंगे।

नमस्कार, मेरा नाम रफीक है और मैं जिनेवा, न्यूयॉर्क में होबार्ट और विलियम स्मिथ कॉलेजों में नया छात्र हूं। मैं प्रौद्योगिकी और उसके प्रभावों पर एक पेपर कर रहा हूं, इसलिए मैंने कैलकुलेटर चुनने का फैसला किया। मुझे अपने शोध में यह साइट मिली। मैं केली ने जो कहा उस पर जोर देना चाहता हूं। मेरे साथ भी यही हुआ, मैं हाई स्कूल गणित में बहुत अच्छा था, व्यावहारिक रूप से सभी गणित परीक्षाओं में उत्तीर्ण हुआ, फिर मैं ओरिएंटेशन के लिए यहां आया और उन्होंने मुझसे कहा कि मुझे कैल्क के बिना गणित प्लेसमेंट परीक्षा देनी होगी। मुझे इस बात का अहसास नहीं था कि मैं बहुत सी सामान्य समस्याओं को हल नहीं कर सकता क्योंकि मैं हमेशा इसे अपने कैल्क में प्लग करता था और मुझे उत्तर मिल जाता था। यह कुछ गंभीर होता जा रहा है, मैंने पहले ही अपने छोटे भाई और बहन कैल्क को छीन लिया है। और उनसे कहा कि जब तक वे कॉलेज में हैं तब तक वे कैल्क का उपयोग नहीं करेंगे (कम से कम मेरे सामने तो नहीं)। अब मैं प्री-कैल्क ले रहा हूं. और मेरा लक्ष्य कैल्क का उपयोग न करना है। अपने कैलकुलेटर पर निर्भर न रहें!!!

जब मैं विश्वविद्यालय में अपने बीमैथ के लिए गणित पाठ्यक्रम ले रहा था तो हमें कई परीक्षाओं के लिए कैलकुलेटर की अनुमति नहीं थी (पॉकेट कंप्यूटिंग उपकरणों में लोगों की तस्करी को रोकने के लिए) मैं कहूंगा कि उच्च स्तरीय गणित करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए कागज पर योग करने में सक्षम होना आवश्यक है .

एमिली बेल

मैं गणित में कभी भी अच्छा नहीं था और इसलिए जब मैंने अपना कैलकुलेटर पकड़ लिया और हाईस्कूल में यह कितना उत्साहजनक था तो मुझे इससे प्यार हो गया। ऐसा तब तक हुआ जब तक कि मैंने अपना कॉलेज प्लेसमेंट टेस्ट नहीं दे दिया। मैंने भयानक प्रदर्शन किया। मैं ऐसा नहीं कर सका। यह भी याद रखें कि एक साधारण विभाजन समस्या को मानसिक रूप से कैसे हल किया जाए। आज स्कूलों के साथ समस्या यह है कि वे कैलकुलेटर के बारे में बहुत अधिक चिंता करते हैं और प्रोत्साहित करते हैं। कैलकुलेटर का उपयोग करना सीखने से पहले छात्रों के पास मानसिक गणित का एक अच्छा मजबूत आधार होना चाहिए और यदि आप मुझसे पूछें तो K-3 ग्रेड पर्याप्त नहीं है, इसे कॉलेज तक अनुमति नहीं दी जानी चाहिए।

मैं हाल ही में कॉलेज से स्नातक हुआ हूं। मेरा प्रमुख विषय इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग था। चूँकि मेरे अध्ययन पाठ्यक्रम में गणित का काफी विषय शामिल था, इसलिए मैं इस महत्वपूर्ण मुद्दे पर बोलने के लिए बाध्य महसूस करता हूँ। मेरी राय में, गणित की किसी भी कक्षा में, यहां तक ​​कि कॉलेज स्तर पर भी, कैलकुलेटर का उपयोग कभी नहीं किया जाना चाहिए। किसी भी विषय के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करने से उपयोगकर्ता मानसिक रूप से आलसी हो जाएगा और बुनियादी गणित कौशल में अक्षम हो जाएगा। गुणा करना, लंबा भाग करना या किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना सीखते समय आपको कभी भी कैलकुलेटर का उपयोग नहीं करना चाहिए।

"कुछ लोग कहते हैं कि कैलकुलेटर बच्चों को कठिन गणनाओं पर समय बर्बाद करने के बजाय गणितीय अवधारणाओं को समझने और अध्ययन करने पर ध्यान केंद्रित करने में सक्षम बनाता है। वे कहते हैं कि कैलकुलेटर संख्या की समझ विकसित करने में मदद करता है, और छात्रों को उनकी गणित क्षमताओं के बारे में अधिक आश्वस्त बनाता है।"

उपरोक्त कथन पूरी तरह बकवास है। संख्या बोध विकसित करने और गणितीय अवधारणाओं को समझने का एकमात्र तरीका घंटों की कठिन गणनाएँ करना है। किसी की गणित क्षमताओं में आत्मविश्वास विकसित करने का एकमात्र तरीका यह है कि जब भी आप गणित की समस्या का सामना करें तो एक पेंसिल और कागज का उपयोग करें। यदि कोई गणित शिक्षक उपरोक्त कथन से सहमत है, तो उसे तुरंत सार्वजनिक रूप से अपमानित किया जाना चाहिए ऐसे विनाशकारी आदर्शों के साथ चलने के लिए।

स्कूल में कैलकुलेटर का उपयोग केवल प्रयोगशाला कक्षा में किया जाना चाहिए जब आप 4 से अधिक महत्वपूर्ण अंकों वाली संख्याओं पर गणना कर रहे हों। अन्यथा, छात्र को एक कागज, एक पेंसिल और अपने मस्तिष्क पर निर्भर रहना चाहिए।

कैलकुलेटर का कोई स्थान नहीं है; रहने की कोई जगह नहीं; एक प्राथमिक विद्यालय की कक्षा में. अवधि। मैं एक हाई स्कूल गणित शिक्षक हूं और मेरे अधिकांश छात्रों को संख्या का बिल्कुल भी ज्ञान नहीं है। वे एकल-अंकीय गुणन समस्याओं को हल करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग कर रहे हैं जिन्हें उन्हें तीसरी कक्षा में सही ढंग से याद किया जाना चाहिए था। वे उनके बिना असहाय हैं। मैं प्रारंभिक कक्षाओं में कैलकुलेटर के उपयोग को 100% दोष देता हूँ।

मेरे बच्चे 4 और 2 साल के हैं। मेरी बेटी अगले साल किंडरगार्टन में जा रही है, और मैं हर साल उसके शिक्षकों को निर्देश देने जा रहा हूं, और साल भर समय-समय पर, उसे अपने किसी भी काम के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करने से मना किया जाता है जब तक कि वह अंदर न आ जाए। हाई स्कूल। प्राथमिक या मध्य विद्यालय के पाठ्यक्रम में ऐसा कुछ भी नहीं है जिसके लिए कैलकुलेटर के उपयोग की आवश्यकता हो।

इस कथन के अनुसार "गणित के राष्ट्रीय शिक्षक परिषद (1989) ने सिफारिश की है कि लंबे विभाजन और "पेंसिल और कागज की कठिन गणनाओं का अभ्यास" पर स्कूलों में ध्यान कम दिया जाए, और सभी छात्रों के लिए कैलकुलेटर हर समय उपलब्ध रहें।" मेरी समझ यह है कि यह कक्षा में गणित विषयों पर बिताए गए समय के एक सर्वेक्षण की प्रतिक्रिया थी और चौथी और पांचवीं कक्षा का लगभग एक तिहाई दशमलव और दोहरे अंक विभाजक (यानी 340/.15 या) के साथ विभाजन करना सीखने में बिताया गया था। 500/15) हाँ, शिक्षक इनमें से प्रत्येक पर दो महीने से अधिक खर्च कर रहे थे! यह वर्तमान विश्व में गणित की स्थिति को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

व्यक्तिगत रूप से, मैंने कैलकुलेटर के कई बेहतरीन उपयोग देखे हैं। वे त्रुटि मुक्त दोहराव की अनुमति देते हैं ताकि मैं पैटर्न खोज सकूं। बहुत से रूपांतरण और त्वरित तरकीबें मैं इसलिए कर सका क्योंकि प्रीकैलकुलस के दौरान मेरे पास केवल एक बुनियादी कैलकुलेटर था। वैसे, एनसीएमटी ने दूसरी और चौथी कक्षा में गणित के तथ्यों के प्रवाह को शामिल करने के लिए अपने मानकों को भी अद्यतन किया है। एक गणित शिक्षक के रूप में मैं हर समय माता-पिता से सुन रहा था कि बच्चे बुनियादी तथ्य को याद करने में स्कूल में कोई समय नहीं बिता रहे थे।

अगर मुझे कम से कम हाई स्कूल (मेरे लिए ज्योमेट्री) तक कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति नहीं दी गई होती, तो शायद मुझे यह पसंद आता गणित। मैं यह कर सकता हूँ, इसमें मुझे बहुत अधिक समय लगता है। इसके अलावा, मैं शायद ही कभी लंबा विभाजन कर पाता हूँ।

गणित, पूर्व-बीजगणित और बीजगणित I के एक जूनियर हाई और हाई स्कूल शिक्षक के रूप में, मैं खुद को हर साल यह लड़ाई लड़ते हुए पाता हूँ। हां, कैलकुलेटर उत्तर खोजने का एक त्वरित तरीका प्रदान करते हैं, मैं वर्तमान में उपयोग की जाने वाली तीन पाठ्यपुस्तकों में से किसी में भी किसी समस्या के बारे में नहीं जानता हूं जिसके लिए छात्र को दशमलव के पीछे ऊपरवें स्थान तक लंबी विभाजन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता होती है (जो कि एक है) सामान्य तर्क)।

हालाँकि मुझे उम्मीद है कि मेरे छात्र कैलकुलेटर के उपयोग के बिना बुनियादी गणित कार्य करने में सक्षम होंगे। जैसे ही वे बीजगणित में प्रवेश करते हैं, वे कैलकुलेटर पर उन चीजों को करने का प्रयास करने में बहुत अधिक समय व्यतीत करते हैं जो उनके पास मौजूद कैलकुलेटर के साथ संभव नहीं हैं, मैं उनसे परीक्षणों और क्विज़ पर अपना काम दिखाने की भी उम्मीद करता हूं (ऐसा ही नया है)। आंशिक बिंदुओं के लिए राज्य परीक्षण) ताकि मुझे पता चले कि वे प्रक्रिया जानते हैं "मैंने एक कैलकुलेटर का उपयोग किया" मुझे यह प्रदर्शित नहीं करता है कि वे प्रक्रिया और नियमों को जानते हैं या "क्यों" यह काम करता है "मुझे क्या पता चला"। और गणित का "आह-हा"।

मैं अक्सर छात्रों को याद दिलाता हूं कि कैलकुलेटर का आविष्कार गणितीय नियमों के शुरू होने के बहुत बाद हुआ था; इसलिए, सभी गणित कैलकुलेटर के उपयोग के बिना किया जा सकता है। महान दिमाग, आसान रास्ता अपनाकर महान नहीं बनें।

खुदरा श्रमिकों के संबंध में, जबकि लाइन में खड़े कई ग्राहक विक्रेता द्वारा हाथ से सब कुछ पता लगाने से अधीर हो जाते हैं, एक शिक्षक के रूप में जब मैं किसी खाद्य प्रतिष्ठान में जाता हूं, और मेरा वह बदकिस्मत छात्र वेटर/वेट्रेस/आदि है। मैं उम्मीद करता हूं कि वे मुझे भी बदलाव गिनाएंगे। जब मैं ये "जांच" करता हूं तो मैं इस बात का ध्यान रखता हूं और अधिकांश प्रबंधक (आप उन लोगों को जानते हैं जो कैलकुलेटर के बिना गणित कर सकते हैं) आमतौर पर इस बात की सराहना करते हैं कि उनके कर्मचारी जानते हैं कि बदलाव को कैसे गिनना है।

मुझे "मैसीज़", ऑलिव गार्डन, मैकडॉनल्ड्स में कैशियर...कैलकुलेटर, कंप्यूटर का उपयोग करने के बारे में टिप्पणी पर थोड़ा हंसना पड़ा।" सच है, लेकिन यह उनके उपयोग के लिए कोई तर्क नहीं है। क्या आप कभी इनमें से किसी एक में रहे हैं स्टोर जब "कंप्यूटर बंद हो जाते हैं?" कई कैशियर कंप्यूटर के बिना यह बताने में असमर्थ होते हैं कि क्या करना है। मजबूत, बुनियादी गणित कौशल बहुत महत्वपूर्ण हैं और आईएमएचओ कैलकुलेटर का उपयोग बहुत सीमित होना चाहिए हमारे युवा एक वास्तविक आपदा/आपात स्थिति में होंगे जब बिजली, सेल फोन, कंप्यूटर, इंटरनेट क्षमता आदि न हो। एक होमस्कूलिंग माता-पिता के रूप में मेरा एक लक्ष्य यह है कि मेरे बच्चे के पास अच्छे बुनियादी कौशल हों ताकि वे मजबूती से अपनी जगह बना सकें। बिना इलेक्ट्रॉनिक सहायता के किसी भी विषय में अच्छा कार्य कर सकता है।

मेरा एक लड़का तीसरी कक्षा में पढ़ता है, और मैंने उसके लिए एक अत्यंत सरल कैलकुलेटर खरीदा (सिर्फ +,-,*,/)। वह समस्या सुलझाने में बहुत अच्छा है, वह अपने गुणन सारणी जानता है, कागज पर 12 अंकों के साथ जोड़ और घटाव कर सकता है, कागज पर गुणा करना आदि सीख रहा है... और मैं वास्तव में हल करने के लिए कुछ सार्थक समस्याओं की तलाश में था एक कैलकुलेटर के साथ जब मुझे यह भावनात्मक बहस मिली।
अब, मैं इस बात से पूरी तरह सहमत हूं कि कैलकुलेटर को मानसिक ऑपरेशन करना सीखने और इसे कागज पर कैसे करना है यह सीखने का विकल्प नहीं होना चाहिए। आपको ये चीज़ें स्वयं करने में सक्षम होना चाहिए, भले ही यह अनाड़ी हो।

लेकिन मुद्दा यह है कि समाज आगे बढ़ता है। जहां एक छोटे से नोट पर 20 संख्याओं का सही और त्वरित योग करना उपयोगी था, और 40 साल पहले लोग आपको उस कौशल के लिए भुगतान भी करते थे, अब ऐसा नहीं है कि हममें से अधिकांश लोग खरगोश को मारना नहीं सीखते हैं धनुष और बाण से - जबकि गुफाओं में रहने वाले हमारे पूर्वजों के लिए यह एक आवश्यक कौशल था।

जब मैं यहां टिप्पणियों को देखता हूं, तो ऐसा लगता है कि कैलकुलेटर के बिना गणना करने में सक्षम नहीं होने पर लोगों को एकमात्र समस्या एक कृत्रिम सेटिंग में हुई थी जहां यह एक स्पष्ट रूप से परीक्षण की गई क्षमता थी। तीर और धनुष से खरगोश का शिकार करना भी एक समस्या पैदा करेगा यदि इसे सिखाया नहीं गया और स्पष्ट रूप से एक या अन्य परीक्षा के लिए परीक्षण नहीं किया गया। मुझे लगता है कि "वास्तविक जीवन" में अब कैलकुलेटर के साथ काम करना महत्वपूर्ण है - हालांकि किसी को निश्चित रूप से इसके बिना काम करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन शायद इसके बिना इसे कुशलतापूर्वक, सही ढंग से और तेजी से करने में *प्रशिक्षित* नहीं होना चाहिए।

वैसे, अब भी कौन जानता है कि कागज पर वर्गमूल कैसे निकाला जाता है? क्या यह एक महत्वपूर्ण कौशल नहीं है? और कौन जानता है कि गुणन करने के लिए स्लाइड नियम या लघुगणक तालिका का कुशलतापूर्वक उपयोग कैसे किया जाए? ये सभी तकनीकें थीं जो एक समय में बहुत उपयोगी थीं, और अब, उनमें महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है मैं यह नहीं कहता कि कागज पर कुछ जोड़ना लोककथा है, किसी को पता होना चाहिए कि इसे कैसे करना है, लेकिन मुझे आश्चर्य है कि इसे जल्दी और कुशलता से करने में सक्षम होने का क्या कारण है (और इसलिए) इसके लिए घंटों प्रशिक्षण लें)।क्या अब कोई उस समय का उपयोग अधिक उपयोगी कार्य करने में नहीं कर सकता?

मैं कहूंगा, जो अभी भी एक व्यावहारिक कौशल है वह है *मानसिक* गणना, सटीक मानसिक गणना, और परिमाण के क्रम का अंदाजा लगाने के लिए अनुमानित गणना। चाहे 6 या 7 अंकों वाली दो संख्याओं का गुणन करना अभी भी एक बहुत ही कठिन कार्य है। प्रशिक्षित करने के लिए उपयोगी कौशल, मुझे संदेह है - हालाँकि, फिर भी, किसी को यह जानने में सक्षम होना चाहिए कि यह कैसे किया जाता है।

जो चीजें कैलकुलेटर के साथ दिलचस्प हो जाती हैं, वे पास्कल के त्रिकोण, या फाइबोनैचि की श्रृंखला, या फैक्टोरियल, संयोजन और इस तरह की चीजें हैं, और जिन्हें हाथ से करना बहुत कठिन है।

पैट्रिक वान एश

सवाल:माध्यमिक विद्यालयों के प्रपत्र एक से तीन तक कैलकुलेटर का प्रयोग न करने के मुख्य कारण क्या हैं?

मुझे पूरा यकीन नहीं है कि एक से तीन तक कौन से फॉर्म हैं, लेकिन मुझे लगता है कि आप हाई स्कूल के बारे में बात कर रहे हैं।

मैं व्यक्तिगत रूप से हाई स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा कैलकुलेटर के उपयोग से इनकार नहीं करूंगा। बच्चों को कैलकुलेटर का उपयोग करना और इसे बुद्धिमानी से उपयोग करना सीखना होगा - जिसका अर्थ है कि उन्हें यह सीखना चाहिए कि इसका उपयोग कब करना अच्छा है और कब नहीं। हो सकता है कि कोई हाई स्कूल में कैलकुलेटर के उपयोग से इनकार कर दे यदि कोई छात्र लगातार इसका दुरुपयोग कर रहा हो, दूसरों में 6 x 7 आदि के लिए इसका उपयोग करने वाले शब्द, ऐसी स्थिति में ऐसे छात्र को निम्न ग्रेड के गणित की समीक्षा करने की आवश्यकता हो सकती है।

मैं वर्तमान में छठी कक्षा का छात्र हूं, मुझे पता है कि मेरी उम्र के अधिकांश बच्चे काम की जांच करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करना पसंद नहीं करते हैं, बल्कि अपने गणित का एक बड़ा हिस्सा कैलकुलेटर के साथ करना पसंद करते हैं। कैलकुलेटर का उपयोग केवल काम की जांच करने के लिए किया जाना चाहिए, हाल ही में मेरे गणित शिक्षक ने व्यावहारिक रूप से हमें TI30 xa कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए मजबूर किया जा रहा है, जैसा कि आप जानते हैं, स्कूल एक कैलकुलेटर प्रदान करता है जो जोड़, घटाना, गुणा और भाग कर सकता है, और यह पर्याप्त प्रतीत होता है। हाल ही में मैं अपने सभी काम करने के लिए कैलकुलेटर पर निर्भर रहने लगा हूँ काम, लेकिन आज मेरी गणित कक्षा के दौरान मैंने फैसला किया कि मैं और अधिक कैलकुलेटर नहीं निकालूंगा, एक समस्या जो मुझे हल करनी थी वह थी 3.8892 को 3 से विभाजित करना और मुझे यह याद नहीं था कि इसे कैसे करना है। और दूसरे दिन मेरी माँ ने मुझे गैस बनने के दौरान गणित की एक सरल समस्या दी और इस बुनियादी जोड़ समस्या को हल करने में मुझे 5 मिनट लगे। जब मेरे माता-पिता स्कूल में थे तो उन्होंने कैलकुलेटर का उपयोग नहीं किया था और यदि उन्हें इसकी आवश्यकता नहीं थी तो हम भी नहीं करते थे। लेकिन एक बार जब हमारे सभी वर्तमान मध्य विद्यालय के छात्र पूर्ण वयस्क हो जाएंगे, तो हमारी स्कूल प्रणाली यह देखेगी कि वयस्क होंगे। मैं गणित में बहुत पीछे हूं और सभी काम करने के लिए कंप्यूटर और कैलकुलेटर पर निर्भर हूं। मैं आधिकारिक तौर पर कैलकुलेटर विरोधी हूं!

मैं इतना भाग्यशाली था कि 8वीं कक्षा में कैलकुलेटर प्राप्त करने से पहले मैंने गणित के बुनियादी तथ्य (गुणा, भाग, भिन्न, अनुमान आदि) सीख लिए, लेकिन मैं अपने हाई स्कूल बीजगणित/प्रीकैल्क कक्षाओं के लिए वास्तव में अपने टीआई 83 रेखांकन उपयोगिता पर निर्भर हो गया। मैं द्विघात सूत्र और उस जैसी चीज़ों का उपयोग करने के बजाय शून्य खोजने के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाऊंगा।

मेरी नवसिखुआ कैलकुलस कक्षा में कैलकुलेटर की अनुमति नहीं थी, और मैं इसमें असफल हो गया। ऑनर्स हाई स्कूल प्रीकैलकुलस में काफी अच्छा प्रदर्शन करने के बाद मैं एक आसान जीवन/सामाजिक विज्ञान श्रृंखला में गया (अभी भी बी"एस/सी" के लिए संघर्ष करना पड़ा जब हाई स्कूल में मेरे पास आसान ए था) और अंततः कठिन कैलकुलस कक्षा को और अधिक तैयार किया। मेरी जीवन/सामाजिक विज्ञान श्रृंखला की कक्षाओं में 4-फ़ंक्शन की अनुमति थी, लेकिन ग्राफ़िंग उपयोगिताओं की अनुमति नहीं थी, इसके अलावा, कॉलेज में मुझे अपना काम दिखाना था। कोई भी श्रेय पाने के लिए, भले ही उत्तर सही था, मुझे लगता है कि एक समस्या यह है कि मैं प्रक्रिया सीखने के बजाय उत्तर खोजने में बहुत व्यस्त हो गया।

दूसरी ओर, मेरी बहन के पास तीसरी कक्षा से ही एक कैलकुलेटर है, और वह सचमुच बिना कैलकुलेटर के 6*7 का गुणा नहीं कर सकती है या कोई शब्द समस्या हल नहीं कर सकती है, हालाँकि उसे हाई स्कूल गणित में बी मिलता है।

प्रारंभिक बचपन/प्राथमिक शिक्षा में स्नातक होने के नाते, मैं कैलकुलेटर का उपयोग करने के बारे में ज्ञान रखने के महत्व को समझता हूं, क्योंकि हां, हम ऐसे युग में रहते हैं जहां प्रौद्योगिकी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, आप में से कई लोगों की तरह, जब मैं पहली बार कॉलेज आया और मुझे कैलकुलेटर के उपयोग के बिना परीक्षा देनी पड़ी, तो मैं बड़ी मुसीबत में पड़ गया! मैंने फिर भी बहुत अच्छा किया, लेकिन गणित के सभी बुनियादी कार्यों को दोबारा सीखने में मुझे काफी समय लगा। क्षेत्र में अपने व्यक्तिगत अनुभवों से और अपने स्वयं के पाठ्यक्रमों के माध्यम से, मैं दोनों तरीकों के बीच लगातार संतुलन की सिफारिश करता हूं !!

मैं एक ऐसे कॉलेज में गणित पढ़ाता हूँ जहाँ कैलकुलेटर वर्जित है। दुर्भाग्य से कैलकुलेटर का उपयोग करने से कई छात्र बर्बाद हो गए हैं। उन्हें सबसे सरल बीजगणित करने में भी परेशानी होती है। इससे हर जगह कॉलेजों में उपचारात्मक गणित में 95% तक की वृद्धि हुई है। डिपार्टमेंट ओ एजुकेशन (जिसे डीओई के नाम से भी जाना जाता है जिसका मतलब डोप्स ऑफ एजुकेशन होना चाहिए) के एक पूर्व व्हिसिल ब्लोअर द्वारा लिखी गई "द डेलीब्रेट डंबिंग डाउन ऑफ अमेरिका" नामक एक किताब है।

गणित पाठ मेनू

ग्रेड 1 प्रारंभिक गणित में 100 मनकों वाले अबेकस का उपयोग करना दहाई और इकाई को पढ़ाना दो अंकों की संख्याओं के साथ अभ्यास करना दस-दस के समूह में गिनती गिनती छोड़ने का अभ्यास (0-100) 2-अंकीय संख्याओं की तुलना करना सेंट और डाइम्स ग्रेड 2 तीन अंकों की संख्या 3-अंकीय संख्याओं की तुलना करना ग्रेड 3 हजारों के साथ स्थानीय मान 4 अंकीय संख्याओं की तुलना करना पूर्णांकन एवं अनुमान लगाना निकटतम 100 तक पूर्णांकित करना ग्रेड 4 स्थानीय मान - बड़ी संख्याएँ	ग्रेड 1 अनुपलब्ध परिशिष्ट अवधारणा (0-10) जोड़ तथ्य जब योग 6 हो जोड़ और घटाव कनेक्शन ग्रेड 2 तथ्य परिवार और बुनियादी जोड़/घटाव तथ्य योग जो अगले दस से अधिक हो जाते हैं पूर्ण दहाई जोड़ें/घटाएँ (0-100) मानसिक रूप से एक 2 अंकीय संख्या और एक अंकीय संख्या जोड़ें मानसिक रूप से 2-अंकीय संख्याएँ जोड़ें इसके अलावा पुनः समूह बनाना इसके अलावा दो बार पुनः समूह बनाना घटाव में पुनर्समूहन या उधार लेना ग्रेड 3 मानसिक घटाव रणनीतियाँ पूर्णांकन एवं अनुमान लगाना	ग्रेड 3 बार-बार जोड़ के रूप में गुणन की अवधारणा संख्या रेखा पर गुणन विनिमेय शून्य से गुणा करें शब्द की समस्याएं कार्रवाई के आदेश गुणन सारणी के लिए संरचित ड्रिल 2, 3, 5, या 10 की ड्रिलिंग टेबल 4, 11, 9 की ड्रिलिंग टेबल ग्रेड 4 पूरे दहाई और सैकड़े से गुणा करना वितरण की जाने वाली संपत्ति आंशिक उत्पाद - आसान तरीका आंशिक उत्पाद - वीडियो पाठ गुणन एल्गोरिथ्म गुणन एल्गोरिथ्म - दो अंकों का गुणक तराजू की समस्याएं - वीडियो पाठ गुणा करने पर अनुमान

कैटलॉग सूचना

शीर्षक

प्राथमिक रैखिक बीजगणित.

(क्रेडिट घंटे: व्याख्यान घंटे: प्रयोगशाला घंटे)

की पेशकश की

शर्त

न्यूनतम सीखने के परिणाम

इस पाठ्यक्रम के पूरा होने पर, सफल छात्र सक्षम होंगे:

1. निम्नलिखित सभी करने के लिए गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करें: कम पंक्ति सोपानक रूप के साथ एक रैखिक प्रणाली को हल करें, पंक्ति सोपानक रूप और पिछड़े प्रतिस्थापन के साथ एक रैखिक प्रणाली को हल करें, किसी दिए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजें, और किसी दिए गए मैट्रिक्स का निर्धारक ढूंढें।
2. मैट्रिक्स बीजगणित में दक्षता प्रदर्शित करें। मैट्रिक्स गुणन के लिए साहचर्य कानून, व्युत्क्रम और स्थानान्तरण के लिए रिवर्स ऑर्डर कानून, और क्रमविनिमेय कानून और रद्दीकरण कानून की विफलता की समझ प्रदर्शित करें।
3. रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए क्रैमर नियम का प्रयोग करें।
4. किसी दिए गए मैट्रिक्स का व्युत्क्रम और किसी दिए गए मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करने के लिए सहकारकों का उपयोग करें।
5. निर्धारित करें कि क्या जोड़ और अदिश गुणन की दी गई धारणा वाला एक सेट एक सदिश समष्टि है। यहां, और नीचे दी गई प्रासंगिक संख्याओं में, परिमित और अनंत दोनों आयामी उदाहरणों से परिचित हों।
6. निर्धारित करें कि सदिश समष्टि का दिया गया उपसमुच्चय एक उपसमष्टि है या नहीं।
7. निर्धारित करें कि क्या वैक्टर का दिया गया सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, फैला हुआ है, या एक आधार है।
8. किसी दिए गए सदिश समष्टि या दिए गए उपसमष्टि का आयाम निर्धारित करें।
9. किसी दिए गए मैट्रिक्स के शून्य स्थान, पंक्ति स्थान और स्तंभ स्थान के लिए आधार ढूंढें और उसकी रैंक निर्धारित करें।
10. रैंक-शून्यता प्रमेय और उसके अनुप्रयोगों की समझ प्रदर्शित करें।
11. एक रैखिक परिवर्तन के विवरण को देखते हुए, दिए गए आधारों के सापेक्ष इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व खोजें।
12. समानता और आधार परिवर्तन के बीच संबंध की समझ प्रदर्शित करें।
13. एक आंतरिक उत्पाद स्थान में एक वेक्टर का मानदण्ड और दो वैक्टरों के बीच का कोण ज्ञात करें।
14. किसी आंतरिक उत्पाद स्थान में एक वेक्टर को वैक्टर के ऑर्थोगोनल सेट के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए आंतरिक उत्पाद का उपयोग करें।
15. किसी दिए गए उपस्थान का ऑर्थोगोनल पूरक खोजें।
16. ऑर्थोगोनल पूरकों के माध्यम से मैट्रिक्स के पंक्ति स्थान, स्तंभ स्थान और नलस्पेस (और इसके स्थानान्तरण) के संबंध की समझ प्रदर्शित करें।
17. कॉची-श्वार्ट्ज असमानता और उसके अनुप्रयोगों की समझ प्रदर्शित करें।
18. निर्धारित करें कि क्या (सेसक्विलिनियर) रूप वाला एक सदिश स्थान एक आंतरिक उत्पाद स्थान है।
19. आंतरिक उत्पाद स्थान का ऑर्थोनॉर्मल आधार खोजने के लिए ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करें। दोनों में ऐसा करने में सक्षम रहें आर n और फ़ंक्शन स्पेस में जो आंतरिक उत्पाद स्पेस हैं।
20. एक पंक्ति में फिट होने के लिए कम से कम वर्गों का उपयोग करें ( य = कुल्हाड़ी + बी) डेटा की एक तालिका में, रेखा और डेटा बिंदुओं को प्लॉट करें, और ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के संदर्भ में न्यूनतम वर्गों का अर्थ समझाएं।
21. उप-स्थानों पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण खोजने और बहुपद वक्र फिटिंग के लिए कम से कम वर्गों के विचार का उपयोग करें।
22. 2 × 2 या 3 × 3 आव्यूहों के (वास्तविक और जटिल) eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।
23. निर्धारित करें कि क्या दिया गया मैट्रिक्स विकर्णीय है। यदि ऐसा है, तो एक मैट्रिक्स ढूंढें जो समानता के माध्यम से इसे विकर्ण करता है।
24. एक वर्ग मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और उसके निर्धारक, उसके ट्रेस, और उसकी व्युत्क्रमता/एकवचनता के बीच संबंध की समझ प्रदर्शित करें।
25. सममित आव्यूह और ऑर्थोगोनल आव्यूह की पहचान करें।
26. एक मैट्रिक्स ढूंढें जो किसी दिए गए सममित मैट्रिक्स को लंबवत रूप से विकर्ण करता है।
27. सममित आव्यूहों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को जानें और उसे लागू करने में सक्षम हों।
28. एकवचन मूल्य अपघटन को जानें और उसे लागू करने में सक्षम हों।
29. शब्दों को सही ढंग से परिभाषित करें और उपरोक्त अवधारणाओं से संबंधित उदाहरण दें।
30. उपरोक्त अवधारणाओं के बारे में बुनियादी प्रमेय सिद्ध करें।
31. उपरोक्त अवधारणाओं से संबंधित कथनों को सिद्ध या अस्वीकृत करें।
32. पंक्ति कटौती, मैट्रिक्स व्युत्क्रम और इसी तरह की समस्याओं के लिए हाथ से गणना करने में कुशल बनें; इसके अलावा, रैखिक बीजगणित समस्याओं के लिए MATLAB या समान प्रोग्राम का उपयोग करें।

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या में, n शहरों के आसपास एक इष्टतम मार्ग बनाने के लिए, आपको (n-1) में से सबसे अच्छा मार्ग चुनना होगा! समय, लागत या मार्ग की लंबाई के आधार पर विकल्प। इस समस्या में न्यूनतम लंबाई का हैमिल्टनियन चक्र निर्धारित करना शामिल है। ऐसे मामलों में, सभी संभावित समाधानों के सेट को एक पेड़ के रूप में दर्शाया जाना चाहिए - एक जुड़ा हुआ ग्राफ जिसमें चक्र या लूप नहीं होते हैं। पेड़ की जड़ विकल्पों के पूरे सेट को एकजुट करती है, और पेड़ के शीर्ष आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समाधान विकल्पों के उपसमूह हैं।

सेवा का उद्देश्य. सेवा का उपयोग करके, आप अपने समाधान की जांच कर सकते हैं या दो तरीकों का उपयोग करके ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का नया समाधान प्राप्त कर सकते हैं: शाखा और बाउंड विधि और हंगेरियन विधि।

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का गणितीय मॉडल

तैयार की गई समस्या एक पूर्णांक समस्या है। मान लीजिए कि यदि यात्री i-वें शहर से j-वें की ओर जाता है तो x ij =1 और यदि ऐसा नहीं है तो x ij =0 है।
औपचारिक रूप से, हम (n+1) एक ऐसे शहर का परिचय देते हैं जो पहले शहर के समान स्थान पर स्थित है, अर्थात। (n+1) शहरों से पहले शहर के अलावा किसी अन्य शहर की दूरी पहले शहर से दूरी के बराबर है। इसके अलावा, यदि आप केवल पहला शहर छोड़ सकते हैं, तो आप केवल (n+1) शहर में ही आ सकते हैं।
आइए रास्ते में इस शहर की यात्राओं की संख्या के बराबर अतिरिक्त पूर्णांक चर पेश करें। यू 1 =0, यू एन +1 =एन. बंद रास्तों से बचने के लिए, पहले शहर को छोड़ें और (n+1) पर लौटें, हम वेरिएबल x ij और वेरिएबल u i (u i गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं) को जोड़ने वाले अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं।

U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, i=1 j≠n+1 के साथ
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n

ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या को हल करने के तरीके

1. शाखा और बाउंड विधि (लिटिल का एल्गोरिदम या उपचक्र उन्मूलन)। एक शाखा और बाध्य समाधान का एक उदाहरण;
2. हंगेरियन पद्धति. हंगेरियन पद्धति का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण।

लिटिल का एल्गोरिदम या उपचक्र उन्मूलन

1. पंक्तियों के साथ कटौती ऑपरेशन: मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में, न्यूनतम तत्व d मिनट पाया जाता है और संबंधित पंक्ति के सभी तत्वों से घटाया जाता है। निचली सीमा: H=∑d मिनट।
2. कॉलम द्वारा कमी ऑपरेशन: मैट्रिक्स के प्रत्येक कॉलम में, न्यूनतम तत्व डी मिनट का चयन करें और इसे संबंधित कॉलम के सभी तत्वों से घटाएं। निचली सीमा: H=H+∑d मिनट।
3. कमी स्थिरांक H सभी स्वीकार्य हैमिल्टनियन समोच्चों के सेट की निचली सीमा है।
4. पंक्तियों और स्तंभों द्वारा दिए गए मैट्रिक्स के लिए शून्य की शक्तियाँ ढूँढना। ऐसा करने के लिए, अस्थायी रूप से मैट्रिक्स में शून्य को "∞" चिह्न से बदलें और इस शून्य के अनुरूप पंक्ति और स्तंभ के न्यूनतम तत्वों का योग ज्ञात करें।
5. उस चाप (i,j) का चयन करें जिसके लिए शून्य तत्व की डिग्री अधिकतम मान तक पहुँचती है।
6. सभी हैमिल्टनियन आकृतियों के सेट को दो उपसमुच्चयों में विभाजित किया गया है: हैमिल्टनियन आकृतियों का उपसमुच्चय जिसमें चाप (i,j) है और जो इसमें शामिल नहीं है (i*,j*)। चाप (i,j) सहित आकृति का एक मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स में पंक्ति i और स्तंभ j को काट दें। गैर-हैमिल्टनियन समोच्च के गठन को रोकने के लिए, सममित तत्व (जे,आई) को "∞" चिह्न से बदलें। मैट्रिक्स में तत्व को ∞ से प्रतिस्थापित करके आर्क उन्मूलन प्राप्त किया जाता है।
7. हैमिल्टनियन आकृति के मैट्रिक्स को कमी स्थिरांक H(i,j) और H(i*,j*) की खोज के साथ कम किया गया है।
8. हैमिल्टनियन आकृति H(i,j) और H(i*,j*) के उपसमुच्चय की निचली सीमाओं की तुलना की जाती है। यदि H(i,j)
9. यदि, ब्रांचिंग के परिणामस्वरूप, एक (2x2) मैट्रिक्स प्राप्त होता है, तो ब्रांचिंग द्वारा प्राप्त हैमिल्टनियन समोच्च और इसकी लंबाई निर्धारित की जाती है।
10. हैमिल्टनियन समोच्च की लंबाई की तुलना लटकती शाखाओं की निचली सीमाओं से की जाती है। यदि समोच्च की लंबाई उनकी निचली सीमाओं से अधिक नहीं है, तो समस्या हल हो जाती है। अन्यथा, परिणामी समोच्च से कम निचली सीमा वाली उपसमुच्चय की शाखाएं तब तक विकसित की जाती हैं जब तक कि कम लंबाई वाला मार्ग प्राप्त न हो जाए।

उदाहरण। लिटिल के एल्गोरिदम का उपयोग करके मैट्रिक्स के साथ ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या को हल करें

	1	2	3	4
1	-	5	8	7
2	5	-	6	15
3	8	6	-	10
4	7	15	10	-

समाधान. आइए एक मनमाने मार्ग के रूप में लें: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)। तब F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
सेट की निचली सीमा निर्धारित करने के लिए, हम उपयोग करते हैं कमी ऑपरेशनया मैट्रिक्स पंक्ति को पंक्ति दर पंक्ति कम करना, जिसके लिए मैट्रिक्स D की प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तत्व खोजना आवश्यक है: d i = min(j) d ij

मैं जे	1	2	3	4	5	डी मैं
1	एम	20	18	12	8	8
2	5	एम	14	7	11	5
3	12	18	एम	6	11	6
4	11	17	11	एम	12	11
5	5	5	5	5	एम	5

फिर हम विचाराधीन पंक्ति के तत्वों में से d i घटाते हैं। इस संबंध में, नए प्राप्त मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक शून्य होगा।

मैं जे	1	2	3	4	5
1	एम	12	10	4	0
2	0	एम	9	2	6
3	6	12	एम	0	5
4	0	6	0	एम	1
5	0	0	0	0	एम

हम स्तंभों के साथ समान कटौती ऑपरेशन करते हैं, जिसके लिए हम प्रत्येक स्तंभ में न्यूनतम तत्व पाते हैं:
डी जे = मिनट (आई) डी आईजे

मैं जे	1	2	3	4	5
1	एम	12	10	4	0
2	0	एम	9	2	6
3	6	12	एम	0	5
4	0	6	0	एम	1
5	0	0	0	0	एम
डीजे	0	0	0	0	0

न्यूनतम तत्वों को घटाने के बाद, हमें एक पूरी तरह से कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है, जहां मान d i और d j कहा जाता है कास्टिंग स्थिरांक.

मैं जे	1	2	3	4	5
1	एम	12	10	4	0
2	0	एम	9	2	6
3	6	12	एम	0	5
4	0	6	0	एम	1
5	0	0	0	0	एम

कमी स्थिरांक का योग H की निचली सीमा निर्धारित करता है: H = ∑d i + ∑d j = 8+5+6+11+5+0+0+0+0+0 = 35
मैट्रिक्स d ij के तत्व बिंदु i से बिंदु j तक की दूरी के अनुरूप हैं।
चूँकि मैट्रिक्स में n शहर हैं, तो D गैर-नकारात्मक तत्वों वाला एक nxn मैट्रिक्स है d ij ≥ 0
प्रत्येक वैध मार्ग एक चक्र का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें यात्रा करने वाला सेल्समैन केवल एक बार शहर का दौरा करता है और मूल शहर में लौट आता है।
मार्ग की लंबाई अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है: F(M k) = ∑d ij
इसके अलावा, प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ को केवल एक बार तत्व d ij के साथ मार्ग में शामिल किया जाता है।
स्टेप 1.
शाखा किनारे का निर्धारण

मैं जे	1	2	3	4	5	डी मैं
1	एम	12	10	4	0(5)	4
2	0(2)	एम	9	2	6	2
3	6	12	एम	0(5)	5	5
4	0(0)	6	0(0)	एम	1	0
5	0(0)	0(6)	0(0)	0(0)	एम	0
डीजे	0	6	0	0	1	0

डी(1,5) = 4 + 1 = 5; डी(2,1) = 2 + 0 = 2; डी(3,4) = 5 + 0 = 5; डी(4,1) = 0 + 0 = 0; डी(4,3) = 0 + 0 = 0; डी(5,1) = 0 + 0 = 0; डी(5,2) = 0 + 6 = 6; डी(5,3) = 0 + 0 = 0; डी(5,4) = 0 + 0 = 0;
किनारे (5,2) के लिए कमी स्थिरांक का सबसे बड़ा योग (0 + 6) = 6 है, इसलिए, सेट को दो उपसमुच्चय (5,2) और (5*,2*) में विभाजित किया गया है।
किनारे का बहिष्कार(5.2) तत्व डी 52 = 0 को एम के साथ प्रतिस्थापित करके किया जाता है, जिसके बाद हम परिणामी उपसमुच्चय (5*,2*) के लिए दूरी मैट्रिक्स की अगली कमी करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

मैं जे	1	2	3	4	5	डी मैं
1	एम	12	10	4	0	0
2	0	एम	9	2	6	0
3	6	12	एम	0	5	0
4	0	6	0	एम	1	0
5	0	एम	0	0	एम	0
डीजे	0	6	0	0	0	6

इस उपसमुच्चय के हैमिल्टनियन चक्र की निचली सीमा है: H(5*,2*) = 35 + 6 = 41
बढ़त को सक्षम करना(5.2) 5वीं पंक्ति और 2रे कॉलम के सभी तत्वों को हटाकर किया जाता है, जिसमें गैर-हैमिल्टनियन चक्र के गठन को खत्म करने के लिए तत्व डी 25 को एम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	0	0
2	0	9	2	एम	0
3	6	एम	0	5	0
4	0	0	एम	1	0
डीजे	0	0	0	0	0

उपसमुच्चय (5,2) की निचली सीमा इसके बराबर है: एच(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
चूँकि इस उपसमुच्चय (5,2) की निचली सीमा उपसमुच्चय (5*,2*) से कम है, हम एक नई सीमा एच = 35 के साथ मार्ग में किनारे (5,2) को शामिल करते हैं।
चरण दो.
शाखा किनारे का निर्धारणऔर इस किनारे से संबंधित मार्गों के पूरे सेट को दो उपसमूहों (i,j) और (i*,j*) में विभाजित करें।
इस प्रयोजन के लिए, शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स की सभी कोशिकाओं के लिए, हम शून्य को एक-एक करके एम (अनंत) से प्रतिस्थापित करते हैं और उनके लिए परिणामी कमी स्थिरांक का योग निर्धारित करते हैं, वे कोष्ठक में दिए गए हैं।

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	0(5)	4
2	0(2)	9	2	एम	2
3	6	एम	0(7)	5	5
4	0(0)	0(9)	एम	1	0
डीजे	0	9	2	1	0

डी(1,5) = 4 + 1 = 5; डी(2,1) = 2 + 0 = 2; डी(3,4) = 5 + 2 = 7; डी(4,1) = 0 + 0 = 0; डी(4,3) = 0 + 9 = 9;
किनारे (4,3) के लिए कमी स्थिरांक का सबसे बड़ा योग (0 + 9) = 9 है, इसलिए, सेट को दो उपसमुच्चय (4,3) और (4*,3*) में विभाजित किया गया है।
किनारे का बहिष्कार(4.3) तत्व d 43 = 0 को एम के साथ प्रतिस्थापित करके किया जाता है, जिसके बाद हम परिणामी उपसमुच्चय (4*,3*) के लिए दूरी मैट्रिक्स की अगली कमी करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	0	0
2	0	9	2	एम	0
3	6	एम	0	5	0
4	0	एम	एम	1	0
डीजे	0	9	0	0	9

इस उपसमुच्चय के हैमिल्टनियन चक्र की निचली सीमा है: H(4*,3*) = 35 + 9 = 44
बढ़त को सक्षम करना(4.3) चौथी पंक्ति और तीसरे कॉलम के सभी तत्वों को हटाकर किया जाता है, जिसमें गैर-हैमिल्टनियन चक्र के गठन को खत्म करने के लिए तत्व डी 34 को एम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

कमी ऑपरेशन के बाद, कम किया गया मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

मैं जे	1	4	5	डी मैं
1	एम	4	0	0
2	0	2	एम	0
3	6	एम	5	5
डीजे	0	2	0	7

कम मैट्रिक्स के कमी स्थिरांक का योग: ∑d i + ∑d j = 7
उपसमुच्चय (4,3) की निचली सीमा इसके बराबर है: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
42 > 41 के बाद से, हम आगे की शाखा के लिए उपसमुच्चय (5,2) को बाहर कर देते हैं।
हम पिछली योजना X 1 पर लौटते हैं।
प्लान एक्स 1.

मैं जे	1	2	3	4	5
1	एम	12	10	4	0
2	0	एम	9	2	6
3	6	12	एम	0	5
4	0	6	0	एम	1
5	0	एम	0	0	एम

न्यूनीकरण क्रिया.

मैं जे	1	2	3	4	5
1	एम	6	10	4	0
2	0	एम	9	2	6
3	6	6	एम	0	5
4	0	0	0	एम	1
5	0	एम	0	0	एम

स्टेप 1.
शाखा किनारे का निर्धारणऔर इस किनारे से संबंधित मार्गों के पूरे सेट को दो उपसमूहों (i,j) और (i*,j*) में विभाजित करें।
इस प्रयोजन के लिए, शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स की सभी कोशिकाओं के लिए, हम शून्य को एक-एक करके एम (अनंत) से प्रतिस्थापित करते हैं और उनके लिए परिणामी कमी स्थिरांक का योग निर्धारित करते हैं, वे कोष्ठक में दिए गए हैं।

मैं जे	1	2	3	4	5	डी मैं
1	एम	6	10	4	0(5)	4
2	0(2)	एम	9	2	6	2
3	6	6	एम	0(5)	5	5
4	0(0)	0(6)	0(0)	एम	1	0
5	0(0)	एम	0(0)	0(0)	एम	0
डीजे	0	6	0	0	1	0

डी(1,5) = 4 + 1 = 5; डी(2,1) = 2 + 0 = 2; डी(3,4) = 5 + 0 = 5; डी(4,1) = 0 + 0 = 0; डी(4,2) = 0 + 6 = 6; डी(4,3) = 0 + 0 = 0; डी(5,1) = 0 + 0 = 0; डी(5,3) = 0 + 0 = 0; डी(5,4) = 0 + 0 = 0;
किनारे (4,2) के लिए कमी स्थिरांक का सबसे बड़ा योग (0 + 6) = 6 है, इसलिए, सेट को दो उपसमुच्चय (4,2) और (4*,2*) में विभाजित किया गया है।
किनारे का बहिष्कार(4.2) तत्व d 42 = 0 को एम के साथ प्रतिस्थापित करके किया जाता है, जिसके बाद हम परिणामी उपसमुच्चय (4*,2*) के लिए दूरी मैट्रिक्स की अगली कमी करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

मैं जे	1	2	3	4	5	डी मैं
1	एम	6	10	4	0	0
2	0	एम	9	2	6	0
3	6	6	एम	0	5	0
4	0	एम	0	एम	1	0
5	0	एम	0	0	एम	0
डीजे	0	6	0	0	0	6

इस उपसमुच्चय के हैमिल्टनियन चक्र की निचली सीमा है: H(4*,2*) = 41 + 6 = 47
बढ़त को सक्षम करना(4.2) चौथी पंक्ति और दूसरे कॉलम के सभी तत्वों को हटाकर किया जाता है, जिसमें गैर-हैमिल्टनियन चक्र के गठन को खत्म करने के लिए तत्व डी 24 को एम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
परिणाम एक और घटा हुआ मैट्रिक्स (4 x 4) है, जो कमी ऑपरेशन के अधीन है।
कमी ऑपरेशन के बाद, कम किया गया मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	0	0
2	0	9	एम	6	0
3	6	एम	0	5	0
5	0	0	0	एम	0
डीजे	0	0	0	0	0

कम मैट्रिक्स के कमी स्थिरांक का योग: ∑d i + ∑d j = 0
उपसमुच्चय (4,2) की निचली सीमा इसके बराबर है: एच(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
चूँकि इस उपसमुच्चय (4,2) की निचली सीमा उपसमुच्चय (4*,2*) से कम है, हम एक नई सीमा एच = 41 के साथ मार्ग में किनारे (4,2) को शामिल करते हैं।
चरण दो.
शाखा किनारे का निर्धारणऔर इस किनारे से संबंधित मार्गों के पूरे सेट को दो उपसमूहों (i,j) और (i*,j*) में विभाजित करें।
इस प्रयोजन के लिए, शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स की सभी कोशिकाओं के लिए, हम शून्य को एक-एक करके एम (अनंत) से प्रतिस्थापित करते हैं और उनके लिए परिणामी कमी स्थिरांक का योग निर्धारित करते हैं, वे कोष्ठक में दिए गए हैं।

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	0(9)	4
2	0(6)	9	एम	6	6
3	6	एम	0(5)	5	5
5	0(0)	0(9)	0(0)	एम	0
डीजे	0	9	0	5	0

डी(1,5) = 4 + 5 = 9; डी(2,1) = 6 + 0 = 6; डी(3,4) = 5 + 0 = 5; डी(5,1) = 0 + 0 = 0; डी(5,3) = 0 + 9 = 9; डी(5,4) = 0 + 0 = 0;
किनारे (1,5) के लिए कमी स्थिरांक का सबसे बड़ा योग (4 + 5) = 9 है, इसलिए, सेट को दो उपसमुच्चय (1,5) और (1*,5*) में विभाजित किया गया है।
किनारे का बहिष्कार(1.5) तत्व d 15 = 0 को M से प्रतिस्थापित करके किया जाता है, जिसके बाद हम परिणामी उपसमुच्चय (1*,5*) के लिए दूरी मैट्रिक्स की अगली कमी करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

मैं जे	1	3	4	5	डी मैं
1	एम	10	4	एम	4
2	0	9	एम	6	0
3	6	एम	0	5	0
5	0	0	0	एम	0
डीजे	0	0	0	5	9

इस उपसमुच्चय के हैमिल्टनियन चक्र की निचली सीमा है: H(1*,5*) = 41 + 9 = 50
बढ़त को सक्षम करना(1.5) पहली पंक्ति और 5वें कॉलम के सभी तत्वों को हटाकर किया जाता है, जिसमें गैर-हैमिल्टनियन चक्र के गठन को खत्म करने के लिए तत्व डी 51 को एम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
परिणामस्वरूप, हमें एक और घटा हुआ मैट्रिक्स (3 x 3) प्राप्त होता है, जो कमी ऑपरेशन के अधीन है।
कमी ऑपरेशन के बाद, कम किया गया मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

मैं जे	1	3	4	डी मैं
2	0	9	एम	0
3	6	एम	0	0
5	एम	0	0	0
डीजे	0	0	0	0

कम मैट्रिक्स के कमी स्थिरांक का योग: ∑d i + ∑d j = 0
उपसमुच्चय (1,5) की निचली सीमा इसके बराबर है: एच(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
चूँकि इस उपसमुच्चय (1,5) की निचली सीमा उपसमुच्चय (1*,5*) से कम है, हम एक नई सीमा H = 41 के साथ मार्ग में किनारे (1,5) को शामिल करते हैं।
चरण 3.
शाखा किनारे का निर्धारणऔर इस किनारे से संबंधित मार्गों के पूरे सेट को दो उपसमूहों (i,j) और (i*,j*) में विभाजित करें।
इस प्रयोजन के लिए, शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स की सभी कोशिकाओं के लिए, हम शून्य को एक-एक करके एम (अनंत) से प्रतिस्थापित करते हैं और उनके लिए परिणामी कमी स्थिरांक का योग निर्धारित करते हैं, वे कोष्ठक में दिए गए हैं।

मैं जे	1	3	4	डी मैं
2	0(15)	9	एम	9
3	6	एम	0(6)	6
5	एम	0(9)	0(0)	0
डीजे	6	9	0	0

डी(2,1) = 9 + 6 = 15; डी(3,4) = 6 + 0 = 6; डी(5,3) = 0 + 9 = 9; डी(5,4) = 0 + 0 = 0;
किनारे (2,1) के लिए कमी स्थिरांक का सबसे बड़ा योग (9 + 6) = 15 है, इसलिए, सेट को दो उपसमुच्चय (2,1) और (2*,1*) में विभाजित किया गया है।
किनारे का बहिष्कार(2.1) तत्व डी 21 = 0 को एम के साथ प्रतिस्थापित करके किया जाता है, जिसके बाद हम परिणामी उपसमुच्चय (2*,1*) के लिए दूरी मैट्रिक्स की अगली कमी करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक कम मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

मैं जे	1	3	4	डी मैं
2	एम	9	एम	9
3	6	एम	0	0
5	एम	0	0	0
डीजे	6	0	0	15

इस उपसमुच्चय के हैमिल्टनियन चक्र की निचली सीमा है: H(2*,1*) = 41 + 15 = 56
बढ़त को सक्षम करना(2.1) दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम के सभी तत्वों को हटाकर किया जाता है, जिसमें गैर-हैमिल्टनियन चक्र के गठन को खत्म करने के लिए तत्व डी 12 को एम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
परिणामस्वरूप, हमें एक और घटा हुआ मैट्रिक्स (2 x 2) प्राप्त होता है, जो कमी ऑपरेशन के अधीन है।
कमी ऑपरेशन के बाद, कम किया गया मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

मैं जे	3	4	डी मैं
3	एम	0	0
5	0	0	0
डीजे	0	0	0

कम मैट्रिक्स के कमी स्थिरांक का योग:
∑d i + ∑d j = 0
उपसमुच्चय (2,1) की निचली सीमा इसके बराबर है: एच(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
चूँकि इस उपसमुच्चय (2,1) की निचली सीमा उपसमुच्चय (2*,1*) से कम है, हम किनारे (2,1) को एक नई सीमा H = 41 के साथ मार्ग में शामिल करते हैं।
इस मैट्रिक्स के अनुसार, हम हैमिल्टनियन मार्ग में किनारों (3,4) और (5,3) को शामिल करते हैं।
परिणामस्वरूप, हैमिल्टनियन चक्र के शाखाओं वाले पेड़ के साथ, किनारे बनते हैं:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4)। मार्ग की लंबाई F(Mk) = 41 है

निर्णय वृक्ष।

																														1
								(5*,2*), एच=41																																												(5,2)
(4*,2*), एच=47																	(4,2)																															(4*,3*), एच=44								(4,3)
								(1*,5*), एच=50																	(1,5)
																(2*,1*), एच=56																		(2,1)
																												(3,4)												(3*,4*), एच=41
																								(5,3)								(5*,3*), एच=41

निर्देश। परिवहन समस्या का ऑनलाइन समाधान प्राप्त करने के लिए, टैरिफ मैट्रिक्स के आयाम (आपूर्तिकर्ताओं की संख्या और दुकानों की संख्या) का चयन करें।

इस कैलकुलेटर के साथ निम्नलिखित का भी उपयोग किया जाता है:
ZLP को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि
ZLP को हल करने के लिए सिंप्लेक्स विधि
मैट्रिक्स गेम को हल करना
ऑनलाइन सेवा का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स गेम (निचली और ऊपरी सीमा) की कीमत निर्धारित कर सकते हैं, सैडल पॉइंट की उपस्थिति की जांच कर सकते हैं, निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके मिश्रित रणनीति का समाधान ढूंढ सकते हैं: मिनिमैक्स, सिम्प्लेक्स विधि, ग्राफिकल (ज्यामितीय) ) विधि, ब्राउन की विधि।

दो चरों वाले किसी फलन का चरम
गतिशील प्रोग्रामिंग समस्याएं

परिवहन समस्या को हल करने का पहला चरणइसका प्रकार (खुला या बंद, या अन्यथा संतुलित या असंतुलित) निर्धारित करना है। अनुमानित तरीके ( संदर्भ योजना खोजने की विधियाँ) के लिए अनुमति समाधान का दूसरा चरणकम संख्या में चरणों में समस्या का स्वीकार्य, लेकिन हमेशा इष्टतम समाधान नहीं मिलता है। विधियों के इस समूह में निम्नलिखित विधियाँ शामिल हैं:

• विलोपन (दोहरी प्राथमिकता विधि);
• उत्तर पश्चिमी कोना;
• न्यूनतम तत्व;
• वोगेल सन्निकटन.

परिवहन समस्या का संदर्भ समाधान

परिवहन समस्या का संदर्भ समाधानक्या कोई व्यवहार्य समाधान है जिसके लिए सकारात्मक निर्देशांक के अनुरूप स्थिति वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। स्वीकार्य समाधान के निर्देशांक के अनुरूप स्थितियों के वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता की जांच करने के लिए, चक्रों का उपयोग किया जाता है।
चक्रट्रांसपोर्ट टास्क टेबल में सेल्स के अनुक्रम को कहा जाता है जिसमें दो और केवल आसन्न सेल एक ही पंक्ति या कॉलम में स्थित होते हैं, और पहले और आखिरी भी एक ही पंक्ति या कॉलम में होते हैं। परिवहन समस्या स्थितियों के वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है यदि और केवल तभी जब तालिका की संबंधित कोशिकाओं से कोई चक्र नहीं बनाया जा सकता है। इसलिए, परिवहन समस्या का एक स्वीकार्य समाधान, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n केवल तभी एक संदर्भ है जब इसके कब्जे वाली तालिका कोशिकाओं से कोई चक्र नहीं बनाया जा सकता है।

परिवहन समस्या को हल करने के लिए अनुमानित तरीके।
क्रॉस-आउट विधि (दोहरी वरीयता विधि). यदि किसी तालिका की पंक्ति या स्तंभ में एक व्याप्त सेल है, तो इसे किसी भी चक्र में शामिल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक चक्र में प्रत्येक कॉलम में दो और केवल दो सेल होते हैं। इसलिए, आप तालिका की उन सभी पंक्तियों को काट सकते हैं जिनमें एक व्याप्त सेल है, फिर उन सभी स्तंभों को काट सकते हैं जिनमें एक व्याप्त सेल है, फिर पंक्तियों पर वापस लौटें और पंक्तियों और स्तंभों को काटना जारी रखें। यदि, हटाने के परिणामस्वरूप, सभी पंक्तियों और स्तंभों को काट दिया जाता है, तो इसका मतलब है कि तालिका के कब्जे वाले कक्षों से एक चक्र बनाने वाले भाग का चयन करना असंभव है, और स्थितियों के संबंधित वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और समाधान एक संदर्भ है. यदि, हटाने के बाद, कुछ कोशिकाएँ रह जाती हैं, तो ये कोशिकाएँ एक चक्र बनाती हैं, स्थितियों के संगत वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है, और समाधान कोई संदर्भ नहीं है।
वायव्य कोण विधिइसमें क्रमिक रूप से परिवहन तालिका की पंक्तियों और स्तंभों से गुजरना, बाएं कॉलम और शीर्ष पंक्ति से शुरू करना और तालिका के संबंधित कक्षों में अधिकतम संभव शिपमेंट लिखना शामिल है ताकि आपूर्तिकर्ता की क्षमताओं या उपभोक्ता की जरूरतों को बताया जा सके। कार्य पूरा नहीं हुआ है. इस पद्धति में, डिलीवरी कीमतों पर कोई ध्यान नहीं दिया जाता है, क्योंकि शिपमेंट के और अनुकूलन की कल्पना की जाती है।
न्यूनतम तत्व विधि. सादगी की विशेषता यह विधिउदाहरण के लिए, नॉर्थवेस्ट एंगल विधि की तुलना में अभी भी अधिक प्रभावी है। इसके अलावा, न्यूनतम तत्व विधि स्पष्ट और तार्किक है। इसका सार यह है कि परिवहन तालिका में, सबसे कम टैरिफ वाले सेल पहले भरे जाते हैं, और फिर उच्च टैरिफ वाले सेल भरे जाते हैं। यानी हम कार्गो डिलीवरी की न्यूनतम लागत के साथ परिवहन चुनते हैं। यह एक स्पष्ट और तार्किक कदम है. सच है, यह हमेशा इष्टतम योजना की ओर नहीं ले जाता है।
वोगेल सन्निकटन विधि. वोगेल सन्निकटन विधि से, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, सभी स्तंभों और सभी पंक्तियों के लिए उनमें लिखे दो न्यूनतम टैरिफ के बीच का अंतर पाया जाता है। ये अंतर समस्या स्थितियों की तालिका में एक विशेष रूप से निर्दिष्ट पंक्ति और स्तंभ में दर्ज किए गए हैं। संकेतित अंतरों में से न्यूनतम को चुना जाता है। उस पंक्ति (या स्तंभ) में जिससे यह अंतर मेल खाता है, न्यूनतम टैरिफ निर्धारित किया जाता है। जिस कक्ष में यह लिखा गया है वह इस पुनरावृत्ति पर भर जाता है।

उदाहरण क्रमांक 1. टैरिफ मैट्रिक्स (यहां आपूर्तिकर्ताओं की संख्या 4 है, दुकानों की संख्या 6 है):

	1	2	3	4	5	6	भंडार
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	10	1	100	60
ज़रूरत	10	30	40	50	70	30

समाधान. प्रारंभिक अवस्थापरिवहन समस्या का समाधान उसके प्रकार को निर्धारित करने पर निर्भर करता है, चाहे वह खुला हो या बंद। आइए समस्या के समाधान के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति की जाँच करें।
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑बी = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
शेष शर्त पूरी हो गई है. समान आवश्यकताओं की पूर्ति करता है। तो, परिवहन समस्या का मॉडल बंद है. यदि मॉडल खुला होता, तो अतिरिक्त आपूर्तिकर्ताओं या उपभोक्ताओं को पेश करना आवश्यक होता।
पर दूसरे चरणसंदर्भ योजना को ऊपर दिए गए तरीकों का उपयोग करके खोजा जाता है (सबसे आम कम लागत वाली विधि है)।
एल्गोरिथ्म को प्रदर्शित करने के लिए, हम केवल कुछ पुनरावृत्तियाँ प्रस्तुत करते हैं।
पुनरावृत्ति क्रमांक 1. न्यूनतम मैट्रिक्स तत्व शून्य है. इस तत्व के लिए, सूची 60 है और आवश्यकताएँ 30 हैं। हम उनमें से न्यूनतम संख्या 30 चुनते हैं और उसे घटाते हैं (तालिका देखें)। उसी समय, हम तालिका से छठे कॉलम को काट देते हैं (इसकी आवश्यकताएं 0 के बराबर हैं)।

3	20	8	13	4	एक्स	80
4	4	18	14	3	0	60 - 30 = 30
10	4	18	8	6	एक्स	30
7	19	17	0	1	एक्स	60
10	30	40	50	70	30 - 30 = 0	0

पुनरावृत्ति क्रमांक 2. फिर से हम न्यूनतम (0) की तलाश कर रहे हैं। जोड़ी (60;50) से हम न्यूनतम संख्या 50 चुनते हैं। पांचवें कॉलम को काट दें।

3	20	8	एक्स	4	एक्स	80
4	4	18	एक्स	3	0	30
10	4	18	एक्स	6	एक्स	30
7	19	17	0	1	एक्स	60 - 50 = 10
10	30	40	50 - 50 = 0	70	0	0

पुनरावृत्ति क्रमांक 3. हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि हम सभी आवश्यकताओं और आपूर्तियों का चयन नहीं कर लेते।
पुनरावृत्ति संख्या एन. आप जिस तत्व की तलाश कर रहे हैं वह 8 है। इस तत्व के लिए, आपूर्ति आवश्यकताओं (40) के बराबर है।

3	एक्स	8	एक्स	4	एक्स	40 - 40 = 0
एक्स	एक्स	एक्स	एक्स	3	0	0
एक्स	4	एक्स	एक्स	एक्स	एक्स	0
एक्स	एक्स	एक्स	0	1	एक्स	0
0	0	40 - 40 = 0	0	0	0	0

	1	2	3	4	5	6	भंडार
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
ज़रूरत	10	30	40	50	70	30

आइए तालिका में व्याप्त कक्षों की संख्या गिनें, उनमें से 8 हैं, लेकिन यह m + n - 1 = 9 होना चाहिए। इसलिए, समर्थन योजना ख़राब है। हम एक नई योजना बना रहे हैं. कभी-कभी आपको एक गैर-अपक्षयी योजना खोजने से पहले कई संदर्भ योजनाएं बनानी पड़ती हैं।

	1	2	3	4	5	6	भंडार
1	3	20	8	13	4	100	80
2	4	4	18	14	3	0	60
3	10	4	18	8	6	0	30
4	7	19	17	0	1	100	60
ज़रूरत	10	30	40	50	70	30

परिणामस्वरूप, पहली समर्थन योजना प्राप्त होती है, जो मान्य है, क्योंकि तालिका में व्याप्त कोशिकाओं की संख्या 9 है और सूत्र m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9 से मेल खाती है, अर्थात। संदर्भ योजना है गैर पतित.
तीसरा चरणइसमें पाई गई संदर्भ योजना में सुधार करना शामिल है। यहां वे संभावित विधि या वितरण विधि का उपयोग करते हैं। इस स्तर पर, लागत फ़ंक्शन F(x) के माध्यम से समाधान की शुद्धता की निगरानी की जा सकती है। यदि यह घट जाती है (लागत न्यूनतम करने के अधीन), तो समाधान सही है।

उदाहरण संख्या 2. न्यूनतम टैरिफ पद्धति का उपयोग करते हुए परिवहन समस्या के समाधान के लिए एक प्रारंभिक योजना प्रस्तुत करें। संभावित विधि का उपयोग करके इष्टतमता की जाँच करें।

	30	50	70	10	30	10
40	2	4	6	1	1	2
80	3	4	5	9	9	6
60	4	3	2	7	8	7
20	5	1	3	5	7	9

उदाहरण संख्या 3. चार कन्फेक्शनरी कारखाने तीन प्रकार के कन्फेक्शनरी उत्पादों का उत्पादन कर सकते हैं। प्रत्येक कारखाने द्वारा कन्फेक्शनरी उत्पादों के एक क्विंटल (क्विंटल) की उत्पादन लागत, कारखानों की उत्पादन क्षमता (प्रति माह क्विंटल) और कन्फेक्शनरी उत्पादों की दैनिक आवश्यकताएं (प्रति माह क्विंटल) तालिका में दर्शाई गई हैं। एक कन्फेक्शनरी उत्पादन योजना बनाएं जो कुल उत्पादन लागत को कम करे।

टिप्पणी. यहां, आप पहले लागत तालिका को स्थानांतरित कर सकते हैं, क्योंकि परिवहन समस्या के शास्त्रीय सूत्रीकरण के लिए, क्षमताएं (उत्पादन) पहले आती हैं, और फिर उपभोक्ता।

उदाहरण संख्या 4. सुविधाओं के निर्माण के लिए ईंटों की आपूर्ति तीन (I, II, III) कारखानों से की जाती है। कारखानों के गोदामों में क्रमशः 50, 100 और 50 हजार इकाइयाँ हैं। ईंटों वस्तुओं के लिए क्रमशः 50, 70, 40 और 40 हजार टुकड़ों की आवश्यकता होती है। ईंटों टैरिफ (डेन यूनिट/हजार यूनिट) तालिका में दिए गए हैं। एक परिवहन योजना बनाएं जो कुल परिवहन लागत को कम करे।

बंद कर दिया जाएगा यदि:
ए) ए=40, बी=45
बी) ए=45, बी=40
बी) ए=11, बी=12
बंद परिवहन समस्या की स्थिति: ∑a = ∑b
हम पाते हैं, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑बी = 60+ए
हमें मिलता है: 55+बी = 60+ए
समानता तभी आएगी जब a=40, b=45