लाइन में सीमित प्रतीक्षा समय के साथ एसएमओ। लाइन में प्रतीक्षा को कम निराशाजनक बनाने के पाँच तरीके

हम मल्टी-चैनल क्यूएस (ऑनलाइन) के सेवा संकेतकों की गणना करते हैं:
सेवा प्रवाह तीव्रता:

1. भार तीव्रता.
ρ = λ t ओब्स = 120 1/60 = 2
लोड तीव्रता ρ=2 सेवा चैनल के अनुरोधों के इनपुट और आउटपुट प्रवाह की स्थिरता की डिग्री दिखाती है और सिस्टम की स्थिरता निर्धारित करती है कतार.
3. प्रायिकता कि चैनल मुफ़्त है(चैनल डाउनटाइम का अनुपात)।

परिणामस्वरूप, एक घंटे के भीतर 12% चैनल निष्क्रिय हो जाएगा, निष्क्रिय समय t pr = 7.1 मिनट के बराबर है।
संभावना है कि सेवा:
1 चैनल व्यस्त:
पी 1 = ρ 1 /1! पी 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
2 चैनल व्यस्त हैं:
पी 2 = ρ 2 /2! पी 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
3 चैनल व्यस्त हैं:
पी 3 = ρ 3 /3! पी 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. अस्वीकृत आवेदनों का अनुपात.

इसका मतलब यह है कि प्राप्त आवेदनों में से 3% सेवा के लिए स्वीकार नहीं किए जाते हैं।
5. आने वाले अनुरोधों को पूरा करने की संभावना.
विफलताओं वाले सिस्टम में, विफलता और रखरखाव की घटनाएं घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, इसलिए:
पी ओपन + पी ओब्स = 1
सापेक्ष थ्रूपुट: क्यू = पी अवलोकन।
पी ओब्स = 1 - पी ओपन = 1 - 0.0311 = 0.97
परिणामस्वरूप, प्राप्त आवेदनों में से 97% का निपटान कर दिया जाएगा। स्वीकार्य सेवा स्तर 90% से ऊपर होना चाहिए।
6. सेवा द्वारा प्राप्त चैनलों की औसत संख्या.
एन з = ρ पी ओब्स = 2 0.97 = 1.9 चैनल
निष्क्रिय चैनलों की औसत संख्या.
एन पीआर = एन - एन जेड = 3 - 1.9 = 1.1 चैनल
7. सेवा चैनल अधिभोग दर.

नतीजतन, सिस्टम 60% रखरखाव में व्यस्त है।
8. पूर्ण थ्रूपुट.
ए = पी ओब्स λ = 0.97 120 = 116.3 अनुरोध/घंटा।
.
टी पीआर = पी ओपन टी ओब्स = 0.0311 0.0166 = 0 घंटा।
10. कतार में आवेदनों की औसत संख्या.

इकाइयां
(किसी एप्लिकेशन को कतार में प्रस्तुत करने के लिए औसत प्रतीक्षा समय)।
घंटा।
12. सेवा प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या.
एल ओब्स = ρ क्यू = 2 0.97 = 1.94 इकाइयाँ।
13. सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या.
एल सीएमओ = एल ओच + एल ओब्स = 0.51 + 1.94 = 2.45 यूनिट।
13. किसी एप्लिकेशन के सीएमओ में रहने का औसत समय.
घंटा।
एक घंटे के भीतर अस्वीकृत आवेदनों की संख्या: λ p 1 = प्रति घंटे 4 आवेदन।
क्यूएस की नाममात्र उत्पादकता: 3 / 0.0166 = 181 आवेदन प्रति घंटा।
एसएमओ का वास्तविक प्रदर्शन: 116.3/181 = नाममात्र क्षमता का 64%।

हम प्राथमिकता वर्ग से अनुरोधों की कतार में औसत प्रतीक्षा समय के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे पी - Wp, और इस वर्ग की आवश्यकताओं के लिए सिस्टम में बिताया गया औसत समय - टी.पी:

हम सापेक्ष प्राथमिकता वाली प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। आइए प्राथमिकता वर्ग से एक निश्चित अनुरोध आने के क्षण से प्रक्रिया पर विचार करें पी. हम आगे इस आवश्यकता को लेबल्ड कहेंगे। टैग किए गए अनुरोध के लिए विलंबता का पहला घटक सर्वर पर आने वाले अनुरोध से संबंधित है। यह घटक किसी अन्य अनुरोध के शेष सेवा समय के बराबर है। आइए अब हम सेवा में किसी अन्य आवश्यकता की उपस्थिति से जुड़ी एक लेबल आवश्यकता की औसत देरी को दर्शाते हैं और इस नोटेशन का उपयोग करना जारी रखते हैं। डब्ल्यू 0. आसन्न आगमन के बीच समय वितरण को जानना इनपुट आवश्यकताएँप्रत्येक प्राथमिकता वर्ग के लिए, आप हमेशा इस मान की गणना कर सकते हैं। प्रत्येक वर्ग के अनुप्रयोगों के प्रवाह के लिए पॉइसन कानून की हमारी धारणा के तहत, हम लिख सकते हैं

.

टैग की गई आवश्यकता के लिए प्रतीक्षा समय का दूसरा घटक इस तथ्य से निर्धारित होता है कि टैग की गई आवश्यकता से पहले, अन्य अनुरोधों की सेवा की जाती है कि टैग की गई आवश्यकता कतार में है। आइए आगे वर्ग से आवश्यकताओं की संख्या को निरूपित करें मैं, जिसने कतार में (कक्षा से) चिह्नित आवश्यकता को पकड़ लिया पी) और जो इसके पहले परोसे जाते हैं जापानी. इस संख्या का औसत इस विलंब घटक के औसत का मूल्य निर्धारित करेगा

देरी का तीसरा घटक उन अनुरोधों से जुड़ा है जो टैग किए गए अनुरोध के आने के बाद आए, लेकिन इससे पहले सेवा प्राप्त हुई। आइए हम ऐसी आवश्यकताओं की संख्या बताएं एम आईपी. इस विलंब घटक का औसत मान इसी प्रकार पाया जाता है और है

सभी तीन घटकों को जोड़ने पर, हम पाते हैं कि टैग किए गए अनुरोध के लिए कतार में औसत प्रतीक्षा समय सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह स्पष्ट है कि, सेवा अनुशासन की परवाह किए बिना, आवश्यकताओं की संख्या जापानीऔर एम आईपीसिस्टम में मनमाना नहीं हो सकता है, इसलिए रिश्तों का एक निश्चित समूह होता है जो प्रत्येक प्राथमिकता वर्ग के लिए देरी को आपस में जोड़ता है। क्यूएस के लिए इन रिश्तों का महत्व हमें उन्हें संरक्षण कानून कहने की अनुमति देता है। देरी के लिए संरक्षण कानूनों का आधार यह तथ्य है कि किसी भी व्यस्त समय अंतराल के दौरान किसी भी क्यूएस में अधूरा काम सेवा के क्रम पर निर्भर नहीं होता है यदि सिस्टम रूढ़िवादी है (सिस्टम के भीतर आवश्यकताएं गायब नहीं होती हैं और जब सर्वर निष्क्रिय नहीं होता है) कतार खाली नहीं है)।

प्रतीक्षा समय का वितरण सेवा के क्रम पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है, लेकिन यदि कोई सेवा अनुशासन अपने सेवा समय (या सेवा समय पर निर्भर किसी भी उपाय) की परवाह किए बिना आवश्यकताओं का चयन करता है, तो मांगों की संख्या और प्रतीक्षा समय का वितरण सेवा के क्रम के संबंध में प्रणाली अपरिवर्तनीय है।

प्रकार एम/जी/1 के क्यूएस के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी सेवा अनुशासन के लिए निम्नलिखित महत्वपूर्ण समानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए:

इस समानता का अर्थ है कि प्रतीक्षा समय का भारित योग कभी नहीं बदलता, चाहे सेवा अनुशासन कितना भी जटिल या चतुर क्यों न हो। यदि कुछ आवश्यकताओं के लिए विलंबता को कम किया जा सकता है, तो यह दूसरों के लिए तुरंत बढ़ जाएगी।

अधिक जानकारी के लिए सामान्य प्रणालीआवश्यकताओं के आगमन समय G/G/1 के मनमाने ढंग से वितरण के साथ, संरक्षण कानून को फॉर्म में लिखा जा सकता है

.

इस संबंध का सामान्य अर्थ यह है कि विलंब समय का भारित योग स्थिर रहता है। यह सिर्फ इतना है कि दाईं ओर औसत कार्य प्रगति और शेष सेवा समय के बीच का अंतर है। यदि हम इनपुट प्रवाह की पॉइसन प्रकृति को मानते हैं, तो प्रगति पर कार्य के लिए अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

इसे पिछली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम तुरंत एम/जी/1 प्रकार क्यूएस के लिए पहले दिए गए संरक्षण कानून को प्राप्त करते हैं।

आइए अब प्राथमिकता फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट प्राथमिकता के क्रम में सेवा के साथ क्यूएस के लिए औसत प्रतीक्षा समय की गणना पर विचार करें

चित्र 1 ऐसे सेवा अनुशासन के साथ QS की कार्यप्रणाली का एक आरेख दिखाता है: एक आने वाला अनुरोध समान या अधिक प्राथमिकता वाले अनुरोध के बाईं ओर पंक्तिबद्ध होता है।

चावल। प्राथमिकता सेवा के साथ 1 सीएमओ।

आइए इसके लिए सूत्र का उपयोग करें Wp. कार्यप्रणाली के आधार पर हम तुरंत लिख सकते हैं

चिह्नित प्राथमिकता से ऊपर के सभी अनुरोधों को पहले पूरा किया जाएगा। लिटिल के सूत्र से, वर्ग आवश्यकताओं की संख्या मैंकतार में इसके बराबर होगा:

उच्च प्राथमिकता वाले वर्गों के अनुरोध जो कतार में रहते हुए टैग किए गए अनुरोध के बाद सिस्टम में प्रवेश करते हैं, उन्हें भी इससे पहले सेवित किया जाएगा। चूंकि टैग की गई आवश्यकता औसतन कतार में होगी Wpसेकंड, तो ऐसे अनुरोधों की संख्या बराबर होगी

सीधे सूत्र (*) से हम प्राप्त करते हैं:

समीकरणों की इस प्रणाली को पुनरावर्ती रूप से शुरू करके हल किया जा सकता है डब्ल्यू 1, डब्ल्यू 2वगैरह।

परिणामी सूत्र आपको सभी प्राथमिकता वर्गों के लिए सेवा विशेषताओं की गुणवत्ता की गणना करने की अनुमति देता है। चित्र 7.2 में। यह दर्शाता है कि प्रत्येक प्राथमिकता वर्ग के लिए अनुरोधों की समान प्रवाह दर और प्रत्येक वर्ग के अनुरोधों के लिए समान औसत सेवा समय के साथ पांच प्राथमिकता वर्गों वाले क्यूएस के लिए कतार में सामान्यीकृत प्रतीक्षा समय कैसे बदलता है (नीचे का आंकड़ा कम लोड मानों के लिए वक्र का विवरण देता है) ).

चित्र 2. सापेक्ष प्राथमिकताओं के मामले में प्राथमिकता क्रम में सेवा (P=5, l P = l/5, )।

एक विशेष कार्य प्रतीक्षा समय के वितरण के नियमों को निर्धारित करना है।

आइए अब हम अतिरिक्त सेवा के साथ प्राथमिकता के क्रम में पूर्ण प्राथमिकताओं और सेवा वाली एक प्रणाली पर विचार करें। आइए एक ऐसे दृष्टिकोण का उपयोग करें जो पहले चर्चा की गई पूरी तरह से समान हो। टैग की गई आवश्यकता के सिस्टम में औसत विलंब में भी तीन घटक होते हैं: पहला घटक औसत सेवा समय है, दूसरा सिस्टम में टैग की गई आवश्यकता के बराबर या उच्च प्राथमिकता वाले उन अनुरोधों की सेवा के कारण होने वाली देरी है। टैग की गई आवश्यकता की औसत विलंबता का तीसरा घटक किसी भी अनुरोध के कारण होने वाली देरी है जो टैग की गई आवश्यकता के समाप्त होने से पहले सिस्टम में प्रवेश करता है और जिसकी प्राथमिकता बहुत अधिक होती है। सिस्टम में बिताए गए कुल समय के इन तीनों घटकों का वर्णन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.

अनुप्रयोगों के लिए प्राथमिकताएँ चुनना एक बहुत ही दिलचस्प कार्य है। विभिन्न वर्ग. चूँकि संरक्षण कानून लागू है, अनुकूलन केवल तभी समझ में आता है जब आवश्यकताओं के प्रत्येक वर्ग की कुछ अतिरिक्त विशेषताओं पर विचार किया जाता है। आइए मान लें कि प्राथमिकता वर्ग पी के आवेदन में देरी के प्रत्येक सेकंड का अनुमान कुछ लागत पर लगाया जा सकता है सी पी. फिर सिस्टम के लिए एक सेकंड की देरी की औसत लागत को सिस्टम में मौजूद प्रत्येक वर्ग के अनुरोधों की औसत संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

आइए हम एम/जी/1 प्रणाली के लिए सापेक्ष प्राथमिकताओं के साथ एक सेवा अनुशासन खोजने की समस्या का समाधान करें जो औसत विलंब लागत को कम करता है सी. उसको रहनो दो पीकिसी निश्चित आगमन दर और औसत सेवा समय के साथ अनुरोधों की प्राथमिकता श्रेणियां। चलिए आगे बढ़ते हैं बाईं तरफएक स्थिर योग और व्यक्त दाहिनी ओरज्ञात मापदंडों के माध्यम से

कार्य उचित सेवा अनुशासन का चयन करके इस समानता के दाईं ओर की राशि को कम करना है, अर्थात। सूचकांक अनुक्रम चयन पी.

चलो निरूपित करें

इस नोटेशन में, समस्या इस तरह दिखती है: हमें अधीन उत्पादों के योग को कम करने की आवश्यकता है

कार्यों के योग की स्वतंत्रता के लिए शर्त जी पीसेवा अनुशासन का चुनाव संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित होता है। दूसरे शब्दों में, समस्या दो कार्यों के उत्पाद के वक्र के नीचे के क्षेत्र को कम करने की है, बशर्ते कि उनमें से एक के वक्र के नीचे का क्षेत्र स्थिर हो।

समाधान यह है कि पहले मूल्यों के अनुक्रम को क्रमबद्ध किया जाए एफ पी: .

और फिर हम प्रत्येक के लिए चयन करते हैं एफ पीइसका अर्थ जी पी, ताकि उनके उत्पादों का योग कम से कम किया जा सके। यह सहज रूप से स्पष्ट है इष्टतम रणनीतिचयन में चयन शामिल है सबसे कम मूल्य जी पीमहानतम के लिए एफ पी, तो शेष मानों के लिए आपको उसी तरह आगे बढ़ना चाहिए। तब से जी पी=डब्ल्यू पी आर पी, फिर औसत विलंब मूल्यों को न्यूनतम करने के लिए न्यूनतमकरण नीचे आता है। इस प्रकार, विचाराधीन अनुकूलन समस्या का समाधान सापेक्ष प्राथमिकता वाले सभी संभावित सेवा विषयों में से न्यूनतम औसत लागत असमानताओं के अनुसार आदेशित प्राथमिकताओं वाले अनुशासन द्वारा प्रदान किया जाता है।

.

एक कतार प्रणाली को प्रतीक्षा प्रणाली कहा जाता है यदि एक अनुरोध जो सभी चैनलों को व्यस्त पाता है वह एक कतार में आ जाता है और तब तक प्रतीक्षा करता है जब तक कि कुछ चैनल खाली नहीं हो जाते।

यदि कतार में किसी आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय असीमित है, तो सिस्टम को "शुद्ध प्रतीक्षा प्रणाली" कहा जाता है। यदि यह कुछ शर्तों द्वारा सीमित है, तो सिस्टम को "मिश्रित प्रकार की प्रणाली" कहा जाता है। यह विफलताओं वाली शुद्ध प्रणाली और प्रतीक्षा वाली शुद्ध प्रणाली के बीच का एक मध्यवर्ती मामला है।

अभ्यास के लिए, यह मिश्रित प्रकार की प्रणालियाँ हैं जो सबसे अधिक रुचि रखती हैं।

प्रतीक्षा पर लगाई गई सीमाएँ हो सकती हैं विभिन्न प्रकार. अक्सर ऐसा होता है कि कतार में किसी आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय पर एक सीमा लगा दी जाती है; ऐसा माना जाता है कि यह ऊपर से कुछ अवधि तक सीमित है, जिसे या तो सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है या यादृच्छिक। इस मामले में, केवल लाइन में प्रतीक्षा की अवधि सीमित है, और जो सेवा शुरू हो गई है वह पूरी हो गई है, भले ही प्रतीक्षा कितनी देर तक चली (उदाहरण के लिए, हेयरड्रेसर में एक ग्राहक, एक कुर्सी पर बैठ गया, आमतौर पर ऐसा नहीं होता) सेवा के अंत तक छोड़ें)। अन्य समस्याओं में, कतार में प्रतीक्षा समय पर नहीं, बल्कि सिस्टम में अनुरोध के बने रहने के कुल समय पर सीमा लगाना अधिक स्वाभाविक है (उदाहरण के लिए, एक हवाई लक्ष्य केवल सीमित समय के लिए फायरिंग क्षेत्र में रह सकता है) और इसे इस बात की परवाह किए बिना छोड़ देता है कि गोलाबारी समाप्त हुई है या नहीं)। अंत में, हम ऐसी मिश्रित प्रणाली पर विचार कर सकते हैं (यह गैर-आवश्यक वस्तुओं को बेचने वाले व्यापारिक उद्यमों के प्रकार के सबसे करीब है), जब कोई एप्लिकेशन कतार में तभी आता है जब कतार की लंबाई बहुत लंबी न हो। यहां, कतार में आवेदनों की संख्या पर एक सीमा लगाई गई है।

प्रतीक्षा प्रणालियों में, तथाकथित "कतारबद्ध अनुशासन" एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। लंबित अनुरोधों को या तो पहले आओ, पहले पाओ के आधार पर (जल्दी आने वालों को पहले परोसा जाता है) या यादृच्छिक, असंगठित तरीके से सेवा के लिए बुलाया जा सकता है। "फायदे के साथ" कतार प्रणाली हैं, जहां कुछ अनुरोधों को दूसरों पर प्राथमिकता दी जाती है ("जनरलों और कर्नल आउट ऑफ टर्न")।

प्रत्येक प्रकार की प्रतीक्षा प्रणाली की अपनी विशेषताएं होती हैं गणितीय सिद्धांत. उनमें से कई का वर्णन किया गया है, उदाहरण के लिए, वी.वी. गेदेंको की पुस्तक "कतार लगाने के सिद्धांत पर व्याख्यान।"

यहां हम केवल मिश्रित प्रणाली के सबसे सरल मामले पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जो विफलताओं वाले सिस्टम के लिए एरलांग समस्या का एक स्वाभाविक सामान्यीकरण है। इस मामले के लिए हम एर्लांग के समीकरणों के समान अंतर समीकरण प्राप्त करेंगे और एर्लांग के सूत्रों के समान स्थिर अवस्था में राज्यों की संभावनाओं के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे।

आइए चैनलों के साथ मिश्रित कतार प्रणाली पर विचार करें निम्नलिखित शर्तें. सिस्टम इनपुट घनत्व के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है। एक अनुरोध के लिए सेवा समय पैरामीटर के साथ सांकेतिक है। एक अनुरोध जो सभी चैनलों को व्यस्त पाता है उसे कतार में रखा जाता है और सेवा की प्रतीक्षा की जाती है; प्रतीक्षा समय एक निश्चित अवधि तक सीमित है; यदि इस अवधि की समाप्ति से पहले आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है, तो यह कतार से बाहर हो जाता है और बिना सेवा के रह जाता है। प्रतीक्षा अवधि को यादृच्छिक माना जाएगा और घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाएगा

जहां पैरामीटर औसत प्रतीक्षा समय का व्युत्क्रम है:

; .

पैरामीटर पूरी तरह से अनुरोध प्रवाह और "रिलीज़ प्रवाह" दोनों के मापदंडों के समान है। इसे कतार में खड़े एप्लिकेशन के "प्रस्थान के प्रवाह" के घनत्व के रूप में समझा जा सकता है। दरअसल, आइए एक ऐसे एप्लिकेशन की कल्पना करें जो कतार में शामिल होने और प्रतीक्षा अवधि समाप्त होने तक प्रतीक्षा करने के अलावा कुछ नहीं करता है, जिसके बाद वह चला जाता है और तुरंत कतार में फिर से शामिल हो जाता है। फिर कतार से ऐसे एप्लिकेशन के "प्रस्थान प्रवाह" का घनत्व होगा।

जाहिर है, जब मिश्रित प्रकार की प्रणाली विफलताओं के साथ एक शुद्ध प्रणाली में बदल जाती है; जब यह प्रतीक्षा के साथ एक शुद्ध प्रणाली में बदल जाता है।

ध्यान दें कि प्रतीक्षा समय के लिए एक घातीय वितरण कानून के साथ, सिस्टम क्षमता इस पर निर्भर नहीं करती है कि आवेदन कतार में या यादृच्छिक क्रम में परोसे जाते हैं: प्रत्येक आवेदन के लिए, शेष प्रतीक्षा समय के लिए वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कितनी देर तक आवेदन पहले से ही कतार में है.

सिस्टम की स्थितियों में परिवर्तन के लिए अग्रणी घटनाओं के सभी प्रवाहों की पॉइसन प्रकृति की धारणा के लिए धन्यवाद, इसमें होने वाली प्रक्रिया मार्कोवियन होगी। आइए सिस्टम स्थितियों की संभावनाओं के लिए समीकरण लिखें। ऐसा करने के लिए सबसे पहले हम इन राज्यों को सूचीबद्ध करते हैं। हम उन्हें कब्जे वाले चैनलों की संख्या के आधार पर नहीं, बल्कि सिस्टम से जुड़े अनुप्रयोगों की संख्या के आधार पर क्रमांकित करेंगे। यदि कोई अनुरोध रखरखाव की स्थिति में है या लाइन में प्रतीक्षा कर रहा है तो हम उसे "सिस्टम से संबद्ध" कहेंगे। संभावित सिस्टम स्थितियाँ होंगी:

कोई भी चैनल व्यस्त नहीं है (कोई कतार नहीं),

बिल्कुल एक चैनल पर कब्जा है (कोई कतार नहीं),

बिल्कुल चैनल व्यस्त हैं (कोई कतार नहीं),

सभी चैनल व्यस्त हैं (कोई कतार नहीं),

सभी चैनल व्यस्त हैं, एक आवेदन कतार में है,

सभी चैनल व्यस्त हैं, आवेदन कतार में हैं,

हमारी स्थितियों में कतार में आवेदनों की संख्या इच्छानुसार बड़ी हो सकती है। इस प्रकार, सिस्टम में राज्यों का एक अनंत (यद्यपि गणनीय) सेट होता है। तदनुसार, इसका वर्णन करने वालों की संख्या विभेदक समीकरणभी अनंत होगा.

जाहिर है, पहले अंतर समीकरण संबंधित एर्लांग समीकरणों से किसी भी तरह से भिन्न नहीं होंगे:

नए समीकरणों और एर्लांग समीकरणों के बीच अंतर शुरू होगा। वास्तव में, विफलताओं वाली प्रणाली केवल राज्य से राज्य में ही परिवर्तित हो सकती है; प्रतीक्षा प्रणाली के लिए, यह न केवल से, बल्कि (सभी चैनल व्यस्त हैं, एक अनुरोध कतार में है) से भी राज्य में जा सकता है।

आइए इसके लिए एक विभेदक समीकरण बनाएं। आइए क्षण को ठीक करें और इस बात की प्रायिकता ज्ञात करें कि सिस्टम इस समय किस स्थिति में होगा। इसे तीन तरीकों से किया जा सकता है:

1) फिलहाल सिस्टम पहले से ही चालू स्थिति में था, लेकिन इस दौरान वह इससे बाहर नहीं निकला (एक भी अनुरोध नहीं आया और कोई भी चैनल मुफ़्त नहीं हुआ);

2) फिलहाल सिस्टम राज्य में था, और समय के साथ यह राज्य में बदल गया (एक अनुरोध आया);

3) फिलहाल सिस्टम एक स्थिति में था (सभी चैनल व्यस्त हैं, एक अनुरोध कतार में है), और उस समय के दौरान यह चला गया (या तो एक चैनल मुक्त हो गया और कतार में खड़े अनुरोध ने उस पर कब्जा कर लिया, या अवधि समाप्त होने के कारण छोड़ी गई कतार में खड़े होने का अनुरोध करें)।

आइए अब किसी के लिए गणना करें - संभावना है कि इस समय सभी चैनल व्यस्त होंगे और कतार में आवेदनों की ठीक संख्या होगी। यह घटना पुनः तीन प्रकार से घटित हो सकती है:

1) फिलहाल सिस्टम पहले से ही स्थिति में था, और इस दौरान यह स्थिति नहीं बदली (इसका मतलब है कि एक भी आवेदन नहीं आया, एक भी बूंद जारी नहीं हुई और कतार में खड़े एक भी आवेदन नहीं हुआ) बाएं);

2) फिलहाल सिस्टम राज्य में था, और समय के साथ यह राज्य में बदल गया (यानी, एक अनुरोध आया);

3) फिलहाल सिस्टम राज्य में था, और उस समय के दौरान यह राज्य में बदल गया (इसके लिए, चैनलों में से किसी एक को मुक्त होना होगा, और फिर कतार में खड़े अनुप्रयोगों में से एक इसे ले लेगा, या एक कतार में खड़े आवेदनों में से अवधि समाप्त होने के कारण चले जाना चाहिए)।

इस तरह:

इस प्रकार, हमने राज्य संभावनाओं के लिए प्रणाली प्राप्त की है असीमित संख्याविभेदक समीकरण:

(19.10.1)

समीकरण (19.10.1) सीमित प्रतीक्षा समय के साथ मिश्रित प्रकार की प्रणाली के मामले में एरलांग समीकरणों का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है। इन समीकरणों में पैरामीटर या तो स्थिर या परिवर्तनशील हो सकते हैं। सिस्टम (19.10.1) को एकीकृत करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि यद्यपि सैद्धांतिक रूप से सिस्टम की संभावित स्थितियों की संख्या अनंत है, व्यवहार में संभावनाएँ बढ़ने के साथ नगण्य हो जाती हैं, और संबंधित समीकरणों को खारिज किया जा सकता है।

आइए हम स्थिर-अवस्था सेवा मोड (पर) के तहत सिस्टम राज्यों की संभावनाओं के लिए एरलांग के सूत्रों के समान सूत्र प्राप्त करें। समीकरण (19.10.1) से, सभी स्थिरांकों और सभी व्युत्पन्नों को शून्य के बराबर मानते हुए, हम प्रणाली प्राप्त करते हैं बीजगणितीय समीकरण:

(19.10.2)

आपको उनमें एक शर्त जोड़नी होगी:

आइए सिस्टम का समाधान खोजें (19.10.2)।

ऐसा करने के लिए, हम वही तकनीक लागू करेंगे जो हमने विफलताओं वाले सिस्टम के मामले में उपयोग की थी: आइए पहले समीकरण को अपेक्षाकृत हल करें और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें, आदि। किसी के लिए, जैसा कि विफलताओं वाले सिस्टम के मामले में, हमने प्राप्त:

आइए इसके समीकरणों पर चलते हैं . उसी प्रकार हमें प्राप्त होता है:

,

,

और सामान्य तौर पर किसी के लिए भी

. (19.10.5)

दोनों सूत्र (19.10.4) और (19.10.5) में संभाव्यता को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है। आइए इसे स्थिति (19.10.3) से निर्धारित करें। इसके लिए और इसमें अभिव्यक्ति (19.10.4) और (19.10.5) को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

. (19.10.6)

आइए हम अभिव्यक्तियों (19.10.4), (19.10.5) और (19.10.6) को रूपांतरित करें, घनत्व के बजाय उनमें "कम" घनत्व का परिचय दें:

(19.10.7)

पैरामीटर और व्यक्त, क्रमशः, आवेदनों की औसत संख्या और एक आवेदन के औसत सेवा समय के अनुसार कतार में खड़े एक आवेदन के प्रस्थान की औसत संख्या।

नए अंकन में, सूत्र (19.10.4), (19.10.5) और (19.10.6) रूप लेंगे:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

(19.10.10) को (19.10.8) और (19.10.9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम सिस्टम स्थितियों की संभावनाओं के लिए अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

सिस्टम की सभी स्थितियों की संभावनाओं को जानकर, हम आसानी से हमारे लिए रुचि की अन्य विशेषताओं को निर्धारित कर सकते हैं, विशेष रूप से, संभावना है कि एक अनुरोध सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देगा। आइए इसे निम्नलिखित विचारों से निर्धारित करें: एक स्थिर स्थिति में, एक एप्लिकेशन के सिस्टम से बिना सेवा के चले जाने की संभावना, प्रति यूनिट समय में कतार छोड़ने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या और आने वाले अनुप्रयोगों की औसत संख्या के अनुपात से अधिक कुछ नहीं है। समय की प्रति इकाई. आइए समय की प्रति इकाई कतार छोड़ने वाले आवेदनों की औसत संख्या ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले कतार में अनुप्रयोगों की संख्या की गणितीय अपेक्षा की गणना करते हैं:

. (19.10.13)

प्राप्त करने के लिए, आपको एक एप्लिकेशन के औसत "प्रस्थान के घनत्व" से गुणा करना होगा और अनुप्रयोगों के औसत घनत्व से विभाजित करना होगा, यानी गुणांक से गुणा करना होगा

आइए प्रतीक्षा के साथ एक एन-चैनल (एन > 1) क्यूएस के संचालन का अध्ययन करें, जिसके इनपुट को अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त होता है पी इनपुटतीव्रता के साथ. तीव्रता µ के साथ प्रत्येक चैनल का सेवा प्रवाह भी सबसे सरल माना जाता है। कतार की लंबाई पर कोई प्रतिबंध नहीं है, लेकिन कतार में प्रत्येक आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय एक यादृच्छिक अवधि तक सीमित है टी ठंडाएक औसत मूल्य के साथ, जिसके बाद अनुरोध सिस्टम को असेवित छोड़ देता है। समय अंतराल टी ठंडाएक सतत यादृच्छिक चर है जो कोई भी सकारात्मक मान ले सकता है गणितीय अपेक्षाकौन सा।

यदि यह प्रवाह पॉइसन है, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया मार्कोवियन होगी।

ऐसी प्रणालियाँ अक्सर व्यवहार में सामने आती हैं। इन्हें कभी-कभी "उत्सुक" बोली प्रणाली कहा जाता है।

आइए सिस्टम में सेवा और कतार दोनों में अनुप्रयोगों की संख्या के अनुसार क्यूएस की स्थिति को क्रमांकित करें: एस के (के = 0.1,…एन) - के सेवा के अंतर्गत आवेदन (केचैनल व्यस्त हैं, कोई कतार नहीं है), एस एन+आर (आर = 1,2,…) - एनसेवा के अंतर्गत आवेदन (सभी) एनचैनल व्यस्त हैं) और आर अनुप्रयोग कतार में हैं।

इस प्रकार, एक QS अनंत राज्यों में से एक में हो सकता है।

लेबल किया गया राज्य ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 1.

चावल। 1.

अनुप्रयोगों के समान आने वाले प्रवाह के प्रभाव में क्यूएस एक राज्य से दूसरे राज्य में बाएं से दाएं चलता रहता है पी इनपुटतीव्रता के साथ. नतीजतन, इन संक्रमणों की संभाव्यता घनत्व

k-1,k = , k = 1,2,… (1)

कतार के बिना राज्य से क्यूएस का संक्रमण एस के , के = 1,…,एन, बायीं ओर के निकटवर्ती राज्य में एस के-1 , (के = 1,…,एन)(जिसमें कोई कतार भी नहीं होगी) व्यस्त चैनलों के k सेवा प्रवाह से युक्त कुल प्रवाह के प्रभाव में होता है, जिसकी तीव्रता, जो कि सारांशित सेवा प्रवाह की तीव्रता का योग है, के बराबर है kµ. इसलिए, राज्य s n से राज्य s 0 तक बाईं ओर तीर के नीचे, संक्रमण संभाव्यता घनत्व इंगित किए जाते हैं

क,क-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

सिस्टम पर एक कतार वाली स्थिति में एस एन+आर , आर = 1,2,…, कुल प्रवाह प्रभाव में है - एन सेवा प्रवाह के सुपरपोजिशन का परिणाम और आरदेखभाल का प्रवाह. इसलिए, कुल प्रवाह की तीव्रता घटक प्रवाह की तीव्रता के योग के बराबर है nµ+rш. यह कुल प्रवाह राज्य से दाएं से बाएं ओर क्यूएस का संक्रमण उत्पन्न करता है एस एन+आर ,(आर = 1,2,…)औसत के लिए एस n+r-1 ,(आर = 1,2,…)और इस तरह

क,क-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)

तो, (2) और (3) को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम के दाएं से बाएं ओर संक्रमण की संभावना घनत्व को संयुक्त रूप में लिखा जा सकता है

ग्राफ़ की संरचना से पता चलता है कि QS में होने वाली प्रक्रिया मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया है।

आइए सूत्र में k=1,…,n+m के स्थान पर (1) और (4) रखें

आइए हम एक ऐसे मूल्य पर विचार करें जिसे प्रस्थान के प्रवाह की कम तीव्रता कहा जा सकता है, और जो एक आवेदन की सर्विसिंग के औसत समय के लिए असेवित अनुप्रयोगों की कतार से प्रस्थान की औसत संख्या को दर्शाता है। (5) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

चूँकि विचाराधीन क्यूएस में कतार की लंबाई पर कोई प्रतिबंध नहीं है, आने वाले प्रवाह में प्राप्त आवेदन स्वीकार किया जाएगा; सिस्टम में, यानी सिस्टम द्वारा आवेदन अस्वीकार नहीं किया गया है. इसलिए, "अधीर" अनुप्रयोगों वाले क्यूएस के लिए, सिस्टम में स्वीकार किए जाने की संभावना है पी बहन =1, और सिस्टम में स्वीकार किए जाने से इंकार करने की संभावना पी खुला =0 . "सिस्टम में स्वीकार करने में विफलता" की अवधारणा को "सेवा से इनकार" की अवधारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि, "अधीरता" के कारण, सिस्टम में प्राप्त (स्वीकृत) प्रत्येक आवेदन की सेवा नहीं की जाएगी। इस प्रकार, किसी एप्लिकेशन के कतार छोड़ने की संभावना के बारे में बात करना समझ में आता है पी xyऔर संभावना है कि आवेदन तामील हो जाएगा, पी के बारे में. उसी समय, संभावना पी के बारे मेंसापेक्ष थ्रूपुट का प्रतिनिधित्व करता है क्यूऔर पी xy =1-पी के बारे में .

आइए कतार में आवेदनों की औसत संख्या की गणना करें। ऐसा करने के लिए, एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एन बहुत अच्छाकतार में आवेदनों की संख्या का प्रतिनिधित्व करना। अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एन बहुत अच्छाकिसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान को ले सकता है, और इसके वितरण कानून का रूप है

एन बहुत अच्छा
		पी एन+1	पी एन+2		पी एन+आर

कहाँ पी = पी 0 +पी 1 +…+ पी एन. इस तरह,

या यहां (7) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

कतार में प्रत्येक अनुरोध तीव्रता के साथ "प्रस्थान" पूह के प्रवाह के अधीन है अनुप्रयोगों से युक्त औसत कतार, "प्रस्थान" के प्रवाह और तीव्रता वाले कुल प्रवाह के अधीन होगी। इसका मतलब यह है कि कतार में आवेदनों की औसत संख्या में से, औसतन प्रति यूनिट समय में आवेदन सेवा की प्रतीक्षा किए बिना चले जाएंगे, और शेष आवेदन परोस दिए जाएंगे। नतीजतन, समय की प्रति इकाई सेवा प्राप्त आवेदनों की औसत संख्या, यानी। QS की पूर्ण क्षमता

फिर, सापेक्ष क्षमता की परिभाषा के अनुसार,

क्यू = ए/ = (-)/ = 1 - (डब्ल्यू/),

जहां u/ = आने वाले प्रवाह में दो पड़ोसी अनुप्रयोगों के आगमन के बीच के औसत समय के लिए असेवित अनुप्रयोगों की कतार से प्रस्थान की औसत संख्या दिखाता है पी इनपुट .

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या (सेवा के तहत अनुरोधों की औसत संख्या) को एक चैनल µ के प्रदर्शन के लिए पूर्ण क्षमता ए के अनुपात के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। समानता (11) का उपयोग करते हुए, हमारे पास होगा:

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या की गणना कतार में अनुरोधों की औसत संख्या से स्वतंत्र रूप से की जा सकती है, अर्थात् एक अलग की गणितीय अपेक्षा के रूप में अनियमित परिवर्तनशील वस्तु को,जो कब्जे वाले चैनलों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके वितरण कानून का रूप है

	पी 0	पी 1	पी 2		पी एन-1

कहाँ पी = पी एन +पी एन+1 +…+ पी एन+1+... लेकिन चूँकि यह घटना कि सभी n चैनल व्यस्त हैं, इस घटना के विपरीत है कि सभी n चैनल व्यस्त नहीं हैं, और इसकी संभावना भी है अंतिम कार्यक्रमके बराबर

पी 0 +पी 1 +पी 2 +…+ पी एन-1, वह पी = 1 - (पी 0 +पी 1 +पी 2 +…+ पी n-1) .

लेकिन फिर (11) से हमें मिलता है:

सूत्र (11) और (13) का उपयोग करके, हम सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

आइए कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए औसत प्रतीक्षा समय के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। यह आवेदन के कतार में रहने की अवधि को सीमित करने वाले दिए गए औसत समय पर निर्भर करेगा, जिसके लिए या तो

या होगा प्राकृतिक संख्या i > 2 ऐसे कि

असमानताओं (14) और (15) को गुणा करने पर, हमें क्रमशः असमानताएँ प्राप्त होती हैं

आइए केस (14) और असंगत परिकल्पनाओं पर विचार करें जिसमें यह तथ्य शामिल है कि सिस्टम एक स्थिति में है। इन परिकल्पनाओं की संभावनाएँ

यदि आवेदन सीएमओ को परिकल्पना के तहत प्राप्त होता है। जब सिस्टम उन राज्यों में से एक में है जहां सभी चैनल व्यस्त नहीं हैं, तो अनुरोध को कतार में इंतजार नहीं करना पड़ेगा - यह तुरंत मुफ्त चैनल की सेवा के अंतर्गत आ जाएगा। इसलिए, परिकल्पना के तहत कतार में एक आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय के यादृच्छिक मूल्य की सशर्त गणितीय अपेक्षा, जो परिकल्पना के तहत कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय है, शून्य के बराबर है:

यदि एप्लिकेशन परिकल्पना के तहत सिस्टम में प्रवेश करता है। जब क्यूएस उन राज्यों में से एक में है जिसमें सब कुछ है एन के-पीअनुप्रयोग (यदि को= एनकतार में कोई एप्लिकेशन नहीं हैं), तो किसी एक को जारी करने का औसत समय एनव्यस्त चैनल बराबर है, और औसत सेवा समय के-पीसिस्टम में प्राप्त आवेदन से पहले कतार में खड़े आवेदन बराबर हैं, इसलिए, आने वाले आवेदन को सेवा देने के लिए कतार के लिए आवश्यक औसत समय बराबर है, सही असमानता (14) के कारण।

इस प्रकार, सिस्टम में प्राप्त किसी आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार करने के लिए आवश्यक औसत समय, आवेदन के कतार में रहने को सीमित करने वाले समय से अधिक है। इसलिए, प्राप्त आवेदन कतार में औसत समय के लिए विलंबित हो जाएगा और सिस्टम को असेवित छोड़ देगा। नतीजतन, परिकल्पना के तहत मूल्य की सशर्त गणितीय अपेक्षा

अब केस (15) में उन्हीं परिकल्पनाओं पर विचार करें। इस मामले में, समानताएं (16) भी मान्य हैं।

यदि कोई एप्लिकेशन किसी एक परिकल्पना के तहत सिस्टम में प्रवेश करता है, यानी, जब क्यूएस उन राज्यों में से एक में होता है जिसमें सभी एनचैनल व्यस्त हैं और प्राप्त आवेदन के सामने पहले से ही कतारें हैं के-पीअनुप्रयोग (यदि को- n कतार में कोई अनुरोध नहीं है), तो, मामले (14) की तरह, इस अनुरोध को सेवा में आने के लिए आवश्यक औसत समय अनुरोध के सीमित रहने के बराबर है। तो किसी तरह, वाम असमानता (15) के कारण,

इस प्रकार, किसी एप्लिकेशन को सेवा के लिए स्वीकार किए जाने के लिए सिस्टम में प्रवेश करने के लिए आवश्यक औसत समय, एप्लिकेशन के कतार में रहने को सीमित करने वाले औसत समय से अधिक नहीं है। इसलिए, प्राप्त आवेदन कतार नहीं छोड़ेगा और सेवा के लिए स्वीकार किए जाने की प्रतीक्षा करेगा, कतार में प्रतीक्षा करने में औसत समय व्यतीत करेगा, इसलिए परिकल्पना के तहत यादृच्छिक चर टी की सशर्त गणितीय अपेक्षा

अब एप्लिकेशन को किसी एक परिकल्पना के तहत सिस्टम में प्रवेश करने दें एन यू के = एन+आई-यानी, जब क्यूएस उन राज्यों में से एक में था..., जिसमें सब कुछ था एनचैनल व्यस्त हैं और पहले से ही कतार में हैं के-पीअनुप्रयोग. चूँकि यह असमानता (15) से है:

और इसलिए आने वाले एप्लिकेशन को औसत समय के लिए कतार में विलंबित किया जाएगा, इसलिए परिकल्पना के तहत यादृच्छिक चर टी की सशर्त गणितीय अपेक्षा

कुल गणितीय अपेक्षा के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

मामले (15) में, प्राप्त आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा यदि इसकी प्राप्ति के समय क्यूएस किसी एक राज्य में है, तो संभावना है कि आवेदन की सेवा की जाएगी

जब / = 1, सूत्र (25) (24) में बदल जाता है, तो सेवा की संभावना के लिए हम एक सूत्र लिख सकते हैं:

सेवा की संभावना जानने के बाद, आप किसी अनुरोध के कतार में सेवा न मिलने की संभावना की गणना कर सकते हैं:

किसी एप्लिकेशन के सिस्टम में रहने के औसत समय की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

एक आवेदन के लिए औसत सेवा समय कहां है, सभी आवेदनों से संबंधित, दोनों सेवा और जो कतार छोड़ चुके हैं, जिसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

6. कतारबद्ध प्रणालियों के एक मॉडल का निर्माण और विश्लेषण

आइए कतार की लंबाई पर प्रतिबंध के बिना, लेकिन कतार में प्रतीक्षा समय पर प्रतिबंध के साथ क्यूएस का उपयोग करने की व्यावहारिक समस्या पर विचार करें।

नॉन-स्टॉप उड़ानों की सीमा बढ़ाने के लिए विमानों में हवा में ही ईंधन भरा जाता है। ईंधन भरने वाले दो विमान ईंधन भरने वाले क्षेत्र में लगातार ड्यूटी पर हैं। एक विमान में ईंधन भरने में औसतन लगभग 10 मिनट का समय लगता है। यदि दोनों ईंधन भरने वाले विमान व्यस्त हैं, तो ईंधन भरने की आवश्यकता वाले विमान कुछ समय के लिए "प्रतीक्षा" (ईंधन भरने वाले क्षेत्र में एक सर्कल में उड़ना) कर सकते हैं। औसत प्रतीक्षा समय 20 मिनट है. विमान, जो ईंधन भरने के लिए इंतजार नहीं कर सका, एक वैकल्पिक हवाई अड्डे पर उतरने के लिए मजबूर है। उड़ानों की तीव्रता ऐसी है कि हर 1 घंटे में औसतन 12 विमान ईंधन भरने वाले क्षेत्र में पहुंचते हैं। परिभाषित करना:

संभावना है कि विमान में ईंधन भरा जाएगा.

नियोजित ईंधन भरने वालों की औसत संख्या।

कतार में विमानों की औसत संख्या.

सेवा में विमानों की औसत संख्या.

इस QS की दक्षता की मुख्य विशेषताओं की गणना करना आवश्यक है, बशर्ते कि निम्नलिखित इनपुट पैरामीटर निर्दिष्ट हों:

• · सेवा चैनलों की संख्या;
• · अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता;
• · सेवा प्रवाह की तीव्रता;
• · कतार में अनुप्रयोगों के रहने को सीमित करने वाला औसत समय।

प्रश्न में QS है मल्टीचैनल प्रणालीकतार की लंबाई की सीमा के बिना, लेकिन प्रतीक्षा समय की सीमा के साथ कतार में लगना। चैनलों की संख्या, आने वाले अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता, सेवा प्रवाह की तीव्रता और कतार में स्थानों की संख्या निर्दिष्ट की जाती है।

इस QS में, प्रत्येक चैनल प्रत्येक समय एक अनुरोध प्रस्तुत करता है। यदि नया अनुरोध प्राप्त होने के समय कम से कम एक चैनल मुफ़्त है, तो आने वाला अनुरोध सेवा के लिए प्राप्त होता है, यदि कोई अनुरोध नहीं है, तो सिस्टम निष्क्रिय है;

आइए निर्धारित करें कि क्या होता है, जब अनुरोध आने तक, सभी चैनल व्यस्त होते हैं - यह एक कतार में खड़ा हो जाता है और चैनलों में से एक के मुक्त होने की प्रतीक्षा करता है। यदि किसी आवेदन की प्राप्ति के समय कतार में सभी स्थानों पर कब्जा हो जाता है, तो यह एप्लिकेशन सिस्टम छोड़ देता है।

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मानदंड:

• · सिस्टम डाउनटाइम की संभावना;
• · सिस्टम विफलता की संभावना;
• · सापेक्ष थ्रूपुट.
• · किसी एप्लिकेशन द्वारा कतार में बिताया गया औसत समय।

इस प्रणाली को "अधीर" अनुरोधों के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस के रूप में तैयार किया गया है।

सिस्टम पैरामीटर:

सेवा चैनलों की संख्या एन=2;

अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता = 12 (प्रति घंटे हवाई जहाज);

सेवा प्रवाह तीव्रता µ = 6(प्रति घंटे हवाई जहाज);

कतार में किसी एप्लिकेशन के रहने को सीमित करने वाला औसत समय, इसलिए, प्रस्थान के प्रवाह की तीव्रता = 1/= 3 (विमान) प्रति घंटा।

गणना टर्बो पास्कल में विकसित एक प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी। टर्बो-पास्कल भाषा सबसे आम कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक है। टर्बो-पास्कल भाषा के महत्वपूर्ण लाभों में कंपाइलर का छोटा आकार शामिल है, उच्च गतिकार्यक्रम अनुवाद, संकलन और संयोजन। इसके अलावा, सुविधा और उच्च गुणवत्ताडायलॉग शेल डिज़ाइन, लेखन और डिबगिंग प्रोग्राम को नई पीढ़ी की वैकल्पिक भाषाओं की तुलना में अधिक सुविधाजनक बनाता है।

क्यूएस के संचालन का विश्लेषण करने के लिए, विभिन्न इनपुट मापदंडों के लिए इस प्रणाली के व्यवहार का अध्ययन करना आवश्यक है।

पहले संस्करण में, l=12, µ=6, n=3, चैनलों की संख्या n=2।

दूसरे विकल्प में, l=12, µ=6, n=3, चैनलों की संख्या n=3।

तीसरे विकल्प में, l=12, µ=6, n=4, चैनलों की संख्या n=2।

सभी गणना परिणाम परिशिष्ट 2 में दिए गए हैं।

प्राप्त आंकड़ों (परिशिष्ट 2) के विश्लेषण के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले गए।

जैसे-जैसे चैनलों की संख्या बढ़ती है, सिस्टम डाउनटाइम की संभावना और ईंधन भरने की संभावना 50% बढ़ जाती है।

जब चैनलों की संख्या में वृद्धि किए बिना केवल कतार में बिताए गए अनुरोध के समय को बदल दिया गया, तो प्रस्थान प्रवाह की तीव्रता बदल गई, परिणामस्वरूप, परोसे गए विमानों की संख्या और कतार में विमानों की संख्या कम हो गई।

मेरी राय में, अतिरिक्त भर्ती और प्रशिक्षण आवश्यक है सेवा कर्मी, प्रस्थान के प्रवाह की तीव्रता को बढ़ाने के लिए, ईंधन भरने वालों के डाउनटाइम पर कम समय खर्च किया जाएगा और अतिरिक्त चैनल की कोई आवश्यकता नहीं होगी।

यद्यपि, सबसे इष्टतम मापदंडों का चयन करते समय जिसके तहत स्वास्थ्य देखभाल सेवा का संचालन सबसे प्रभावी होगा, अतिरिक्त सेवा चैनल के अधिग्रहण या तीव्रता में बदलाव के बाद से तकनीकी और आर्थिक कारकों को ध्यान में रखना भी आवश्यक है। देखभाल के प्रवाह के लिए कुछ भौतिक लागतों और कार्मिक प्रशिक्षण लागतों की आवश्यकता होती है।

1. प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस और कतार की लंबाई पर एक सीमा।व्यवहार में, कतार वाले एकल-चैनल चिकित्सा सेवा प्रदाता काफी आम हैं (एक डॉक्टर मरीजों की सेवा करता है; एक कैशियर वेतन जारी करता है)। कतारबद्ध सिद्धांत में, कतार के साथ एकल-चैनल क्यूएस भी एक विशेष स्थान रखता है: गैर-मार्कोव प्रणालियों के लिए अब तक प्राप्त अधिकांश विश्लेषणात्मक सूत्र ऐसे क्यूएस से संबंधित हैं।

आइए एकल-चैनल क्यूएस पर विचार करें, जिसके इनपुट को तीव्रता के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त होता है λ . आइए मान लें कि सेवा प्रवाह भी तीव्रता के साथ सबसे सरल है μ . इसका मतलब यह है कि लगातार व्यस्त रहने वाला चैनल औसतन सेवा देता है μ समय की प्रति इकाई अनुप्रयोग. क्यूएस द्वारा उस समय प्राप्त अनुरोध जब चैनल व्यस्त होता है, विफलताओं वाले क्यूएस के विपरीत, सिस्टम नहीं छोड़ता है, बल्कि कतारबद्ध हो जाता है और सेवा की प्रतीक्षा करता है।

आगे, हम मानते हैं कि इस प्रणाली में कतार की लंबाई पर एक सीमा है, जिसका अर्थ है कतार में स्थानों की अधिकतम संख्या, अर्थात्, हम मानते हैं कि अधिकतम हो सकता है एम≥1 अनुप्रयोग. इसलिए, एक एप्लिकेशन जो QS के प्रवेश द्वार पर आता है, उस समय जब कतार में पहले से ही लोग मौजूद होते हैं एमअनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है और सिस्टम को सेवाहीन छोड़ दिया जाता है।

इस प्रकार, विचाराधीन क्यूएस कतार की लंबाई पर एक सीमा के साथ मिश्रित प्रकार की प्रणालियों से संबंधित है।

आइए हम सिस्टम में अनुप्रयोगों की संख्या के अनुसार क्यूएस की स्थिति को क्रमांकित करें, अर्थात। सेवा के अंतर्गत और कतार में:

एस 0 - चैनल मुफ़्त है (इसलिए, कोई कतार नहीं है);

एस 1 - चैनल व्यस्त है और कोई कतार नहीं है, यानी। सीएमओ में एक आवेदन (सेवा के तहत) है;

एस 2 - चैनल व्यस्त है और कतार में एक अनुरोध है;

……………………………………………………..

एस एम +1 - चैनल व्यस्त है और कतार में है एमअनुप्रयोग.

इस QS का राज्य ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 6 और मृत्यु और प्रजनन की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले ग्राफ़ के साथ मेल खाता है, इस अंतर के साथ कि यदि केवल एक सेवा चैनल है, तो सभी सेवा प्रवाह तीव्रताएं बराबर हैं μ .

चावल। 6. एकल-चैनल प्रणाली में कतार के साथ आरेख बताएं

क्यूएस के सीमित ऑपरेटिंग मोड का वर्णन करने के लिए, आप बताए गए नियमों और सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। आइए हम तुरंत उन अभिव्यक्तियों को लिखें जो राज्यों की सीमित संभावनाओं को निर्धारित करते हैं:

कहाँ ρ = λ/μ -चैनल लोड तीव्रता.

अगर λ = μ , तो हमें मिलता है .

अभी रहने दो
. के लिए अभिव्यक्ति पी 0 में संभव है इस मामले मेंइस तथ्य का उपयोग करके लिखना आसान है कि हर में योग होता है एम+ 2 सदस्यों ज्यामितीय अनुक्रमहर के साथ ρ :

.

ध्यान दें कि कब एम= 0 हम विफलताओं के साथ पहले से ही विचार किए गए एकल-चैनल क्यूएस पर आगे बढ़ते हैं। इस मामले में।

आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस की मुख्य विशेषताओं को निर्धारित करें: सापेक्ष और पूर्ण थ्रूपुट, विफलता की संभावना, साथ ही औसत कतार की लंबाई और कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

QS के इनपुट पर प्राप्त आवेदन तभी अस्वीकार किया जाता है जब चैनल व्यस्त हो और कतार में प्रतीक्षा कर रहा हो। एमअनुप्रयोग, यानी जब सिस्टम किसी स्थिति में हो एस एम +1 . इसलिए, विफलता की संभावना स्थिति घटित होने की संभावना से निर्धारित होती है एस एम +1 :

सापेक्ष थ्रूपुट, या समय की प्रति इकाई आने वाले सेवित अनुरोधों का हिस्सा, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ध्यान दें कि सापेक्ष थ्रूपुट क्यूसभी प्राप्त आवेदनों के बीच सिस्टम में स्वीकार किए गए (यानी, अस्वीकार नहीं किए गए) आवेदनों की औसत हिस्सेदारी के साथ मेल खाता है, क्योंकि कतार में आने वाले आवेदन को निश्चित रूप से सेवा प्रदान की जाएगी।

पूर्ण सिस्टम थ्रूपुट

.

आवेदनों की औसत संख्या एल बहुत अच्छासेवा के लिए कतार लगाना एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के रूप में परिभाषित किया गया है के- कतार में आवेदनों की संख्या:

.

अनियमित परिवर्तनशील वस्तु केमान 0, 1, 2,… लेता है एम, जिसकी संभावनाएँ सिस्टम राज्यों की संभावनाओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं पी के . इस प्रकार, एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून केनिम्नलिखित रूप है:

इसलिए, एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को परिभाषित करके (राज्य संभावनाओं के लिए सूत्रों को ध्यान में रखते हुए), हम प्राप्त करते हैं:

(16)

चलिए मान लेते हैं ρ ≠ 1 . जाहिर है हमारे पास है:

लेकिन रकम प्रथम का योग है एमएक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य

. (17)

व्यंजक (17) को (16) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

या, समानता का उपयोग करते हुए
(के साथ प्राप्त किया गया ρ ≠ 1 ), हमारे पास है

अगर ρ = 1 , फिर समानता से (16)
और इस मामले में यह दिया गया है
और
(जोड़ एमअंकगणितीय प्रगति की शर्तें), हम अंततः प्राप्त करते हैं

.

फिर कतार में आवेदनों की औसत संख्या

(18)

प्रतीक्षा के साथ क्यूएस की एक महत्वपूर्ण विशेषता कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए औसत प्रतीक्षा समय है
. होने देना टी बहुत अच्छा - कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए प्रतीक्षा समय का प्रतिनिधित्व करने वाला एक सतत यादृच्छिक चर। हम इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के रूप में कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए औसत प्रतीक्षा समय की गणना करते हैं:

.

गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, हम कुल गणितीय अपेक्षा के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: यदि हम प्रयोग की शर्तों के बारे में कर सकते हैं एन(जोड़ीवार) असंगत परिकल्पनाएँ
फिर यादृच्छिक चर की कुल गणितीय अपेक्षा एक्ससूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है

कहाँ एम (एक्स | एच के ) - मूल्य की सशर्त गणितीय अपेक्षा एक्सपरिकल्पना के अंतर्गत एच के .

आइए विचार करें एम+ 2 असंगत परिकल्पनाएँ एच के , के= 0,1,..., एम+ 1 , इस तथ्य में शामिल है कि क्यूएस क्रमशः राज्यों में है एस के , के= 0,1,..., एम+ 1 . इन परिकल्पनाओं की संभावनाएँ पी (एच के ) = पी के , के= 0,1,..., एम+1 .

यदि आवेदन परिकल्पना के तहत क्यूएस पर आता है एच 0 एस 0 , जिसमें चैनल मुफ़्त है, तो अनुरोध को लाइन में खड़ा नहीं होना पड़ेगा और इसलिए, सशर्त गणितीय अपेक्षा एम (
| एच 0 ) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु
परिकल्पना के अंतर्गत एच 0 , परिकल्पना के तहत कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय के साथ मेल खाता है एच 0 , शून्य के बराबर है.

परिकल्पना के तहत क्यूएस द्वारा प्राप्त एक आवेदन के लिए एच 1 , यानी जब QS किसी स्थिति में हो एस 1 , जिसमें चैनल व्यस्त है, लेकिन कोई कतार, सशर्त गणितीय अपेक्षा नहीं है एम (
| एच 1 ) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु
परिकल्पना के अंतर्गत एच 1 , परिकल्पना के तहत कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय के साथ मेल खाता है एच 1 , एक अनुरोध को पूरा करने के औसत समय के बराबर होगा
.

सशर्त गणितीय अपेक्षा एम (
| एच 2 ) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु
परिकल्पना के अंतर्गत एच 2 , यानी बशर्ते कि आवेदन सीएमओ को प्राप्त हो गया हो, जो कि स्थिति में है एस 2 , जिसमें चैनल व्यस्त है और एक अनुरोध पहले से ही कतार में प्रतीक्षा कर रहा है, के बराबर है 2/ μ (औसत सेवा समय को दोगुना करें, क्योंकि दो अनुरोधों को पूरा करने की आवश्यकता है: एक जो सेवा चैनल में है और एक जो कतार में प्रतीक्षा कर रहा है)। और इसी तरह।

यदि कोई एप्लिकेशन परिकल्पना के तहत सिस्टम में प्रवेश करता है एच एम, यानी जब चैनल व्यस्त हो और वे लाइन में इंतजार कर रहे हों एम− 1 अनुप्रयोग, फिर एम (
| एच एम).

अंतत: परिकल्पना के तहत क्यूएस के पास जो आवेदन आया एच एम +1 , यानी जब चैनल व्यस्त हो, एमएप्लिकेशन कतार में हैं, और कतार में कोई खाली स्थान नहीं है, अस्वीकार कर दिया जाता है और सिस्टम छोड़ देता है। इसलिए इस मामले में एम (
| एच एम +1 ) = 0.

इसलिए, कुल गणितीय अपेक्षा के सूत्र के अनुसार, कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय है

यहां संभावनाओं के लिए भावों को प्रतिस्थापित किया जा रहा है पी के (के=1,2,...,एम), हम पाते हैं:
(19)

यदि चैनल लोड तीव्रता ρ ≠ 1 , फिर समानता (19) से सूत्र (17), (18), साथ ही अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए पी 0 हम देखतें है:

अगर ρ = 1 , फिर, अभिव्यक्ति को समानता (19) में प्रतिस्थापित करना पी 0 = 1/(एम+2), राशि मूल्य
, सूत्र (18) का उपयोग करते हुए ρ = 1 और इस मामले में उस पर विचार कर रहे हैं μ = λ , हमारे पास होगा

तो, किसी भी ρ के लिए हमें एक एप्लिकेशन के कतार में रहने के औसत समय के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है, जिसे लिटिल का सूत्र कहा जाता है:
वे। कतार में किसी आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय
कतार में आवेदनों की औसत संख्या के बराबर एल बहुत अच्छा, तीव्रता से विभाजित λ अनुरोधों का आने वाला प्रवाह .

उदाहरण।एक गैस स्टेशन (गैस स्टेशन) पर एक पंप होता है। स्टेशन का वह क्षेत्र जहां कारें ईंधन भरने के लिए प्रतीक्षा कर रही हैं, वहां एक समय में तीन से अधिक कारें नहीं रह सकती हैं; यदि उस पर कब्जा है, तो स्टेशन पर आने वाली अगली कार कतार में नहीं लगती है, बल्कि पड़ोसी गैस स्टेशन पर जाती है। औसतन हर 2 मिनट में कारें स्टेशन पर पहुंचती हैं। एक कार में ईंधन भरने की प्रक्रिया औसतन 2.5 मिनट तक चलती है। सिस्टम की मुख्य विशेषताएं निर्धारित करें।

समाधान।इस गैस स्टेशन का गणितीय मॉडल एक एकल-चैनल क्यूएस है जिसमें प्रतीक्षा और कतार की लंबाई की एक सीमा है ( एम=3). यह माना जाता है कि ईंधन भरने के लिए गैस स्टेशन पर आने वाली कारों का प्रवाह और सेवाओं का प्रवाह सरल है।

चूँकि कारें औसतन हर 2 मिनट में आती हैं, आने वाले प्रवाह की तीव्रता बराबर होती है λ =1/2 = 0.5 (मशीनें प्रति मिनट)। प्रति मशीन औसत सेवा समय
= 2.5 मिनट, इसलिए, सेवा प्रवाह की तीव्रता μ =1/2.5 = 0.4 (कारें प्रति मिनट)।

हम चैनल लोड तीव्रता निर्धारित करते हैं: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.

विफलता की संभावना की गणना
सापेक्ष बैंडविड्थ कहाँ से आता है? और पूर्ण थ्रूपुट ए= λ क्यू≈ 0,5⋅0,703 ≈ 0,352.

ईंधन भरने के लिए कतार में प्रतीक्षा कर रही कारों की औसत संख्या

हम लिटिल के सूत्र का उपयोग करके कतार में कार के लिए औसत प्रतीक्षा समय ज्ञात करते हैं
= एल बहुत अच्छा/λ ≈1.559/0.5 = 3.118.

इस प्रकार, क्यूएस के संचालन के विश्लेषण से यह पता चलता है कि आने वाली प्रत्येक 100 कारों में से 30 को मना कर दिया जाता है ( पी खुला≈ 29.7%), यानी। 2/3 आवेदनों की सेवा ली जा चुकी है। इसलिए, या तो एक मशीन के सेवा समय को कम करना (सेवा प्रवाह की तीव्रता बढ़ाना), या पंपों की संख्या बढ़ाना, या प्रतीक्षा क्षेत्र को बढ़ाना आवश्यक है।