अध्याय IV. अंतरिक्ष में सीधी रेखाएँ और तल। बहुकोणीय आकृति

§ 55. बहुभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र.

आइए हम याद करें कि एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण किसी दी गई रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र 164)।

प्रमेय. एक समतल पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल, बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल से बने कोण की कोज्या से गुणा किए गए प्रक्षेपित बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिनके क्षेत्रफलों का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, यह एक त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

होने देना /\ ABC को एक समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है आर. आइए दो मामलों पर विचार करें:
ए) पार्टियों में से एक /\ एबीसी विमान के समानांतर है आर;
बी) कोई भी पार्टी नहीं /\ एबीसी समानांतर नहीं है आर.

आइए विचार करें पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

आइए (AB) से होकर एक समतल बनाएं आर 1 || आरऔर ओर्थोगोनली डिज़ाइन करें /\ एबीसी चालू आर 1 और आगे आर(चित्र 165); हम पाते हैं /\ एबीसी 1 और /\ ए"बी"सी"।
प्रक्षेपण संपत्ति द्वारा हमारे पास है /\ एबीसी 1 /\ ए"बी"सी", और इसलिए

एस /\ एबीसी1=एस /\ ए"बी"सी"

आइए _|_ और खंड D 1 C 1 बनाएं। तब _|_ , a = φ समतल के बीच के कोण का मान है /\ एबीसी और विमान आर 1. इसीलिए

एस /\ एबीसी1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1 / 2 | एबी | | सीडी 1 | क्योंकि φ = एस /\ एबीसी क्योंकि φ

और इसलिए एस /\ ए"बी"सी" = एस /\ एबीसी क्योंकि φ.

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें दूसरा मामला. आइए एक हवाई जहाज़ बनाएं आर 1 || आरउस शीर्ष पर /\ एबीसी, विमान से दूरी आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।
आइए डिज़ाइन करें /\ एक हवाई जहाज़ पर ए.बी.सी आर 1 और आर(चित्र 166); इसके प्रक्षेपण क्रमशः होने दें /\ एबी 1 सी 1 और /\ ए"बी"सी"।

चलो (सूरज) पी 1 = डी. फिर

एस /\ ए"बी"सी" = एस /\ एबी1 सी1 = एस /\ ADC1-एस /\ ADB1 = (एस /\ एडीसी-एस /\ एडीबी) क्योंकि φ = एस /\ एबीसी क्योंकि φ

काम।एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के आधार पक्ष के माध्यम से उसके आधार के तल से φ = 30° के कोण पर एक विमान खींचा जाता है। परिणामी क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि प्रिज्म के आधार का किनारा ए= 6 सेमी.

आइए हम इस प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को चित्रित करें (चित्र 167)। चूँकि प्रिज्म नियमित है, इसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत हैं। मतलब, /\ एबीसी एक प्रक्षेपण है /\ अत: एडीसी

एक हवाई जहाज़ पर विचार करें पी और इसे काटने वाली सीधी रेखा . होने देना ए - अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु। आइए इस बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचें , रेखा के समानांतर . होने देना . डॉट किसी बिंदु का प्रक्षेपण कहा जाता है एविमान के लिए पीकिसी दी गई सीधी रेखा के समानांतर डिज़ाइन के साथ . विमान पी , जिस पर अंतरिक्ष के बिंदुओं को प्रक्षेपित किया जाता है उसे प्रक्षेपण तल कहा जाता है।

पी - प्रक्षेपण विमान;

- प्रत्यक्ष डिजाइन; ;

; ; ;

ऑर्थोगोनल डिज़ाइनसमानांतर डिज़ाइन का एक विशेष मामला है। ऑर्थोगोनल डिज़ाइन एक समानांतर डिज़ाइन है जिसमें डिज़ाइन रेखा प्रक्षेपण तल के लंबवत होती है। तकनीकी ड्राइंग में ऑर्थोगोनल डिज़ाइन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां एक आकृति को तीन विमानों - क्षैतिज और दो लंबवत - पर प्रक्षेपित किया जाता है।

परिभाषा: एक बिंदु का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण एमविमान के लिए पीआधार कहा जाता है एम 1सीधा एमएम 1, बिंदु से गिरा दिया गया एमविमान के लिए पी.

पद का नाम: , , .

परिभाषा: किसी आकृति का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण एफविमान के लिए पीसमतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो आकृति के बिंदुओं के समुच्चय के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण हैं एफविमान के लिए पी.

ओर्थोगोनल डिज़ाइन जैसा विशेष मामलासमानांतर डिज़ाइन में समान गुण होते हैं:

पी - प्रक्षेपण विमान;

- प्रत्यक्ष डिजाइन; ;

1) ;

2) , .

1. समानांतर रेखाओं के प्रक्षेपण समानांतर होते हैं।

एक सपाट आकृति का प्रक्षेपण क्षेत्र

प्रमेय: एक निश्चित विमान पर एक विमान बहुभुज के प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

चरण 1: प्रक्षेपित आकृति एक त्रिभुज ABC है, जिसकी भुजा AC प्रक्षेपण तल a (प्रक्षेपण तल a के समानांतर) में स्थित है।

दिया गया:

सिद्ध करना:

सबूत:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. तीन लंबों के प्रमेय द्वारा;

वीडी - ऊंचाई; बी 1 डी - ऊंचाई;

5. - डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण;

6. ; ; ; ;

चरण 2: प्रक्षेपित आकृति एक त्रिभुज ABC है, जिसकी कोई भी भुजा प्रक्षेपण तल a में नहीं है और इसके समानांतर नहीं है।

दिया गया:

सिद्ध करना:

सबूत:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(प्रथम चरण);

5. ; ; ;

(प्रथम चरण);

चरण: डिज़ाइन किया गया चित्र एक मनमाना बहुभुज है।

सबूत:

बहुभुज को एक शीर्ष से खींचे गए विकर्णों द्वारा सीमित संख्या में त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए प्रमेय सत्य है। इसलिए, प्रमेय उन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के लिए भी सत्य होगा जिनके तल प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

टिप्पणी: सिद्ध प्रमेय किसी के लिए भी मान्य है सपाट आकृति, एक बंद वक्र से घिरा हुआ।

अभ्यास:

1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल प्रक्षेपण तल से एक कोण पर झुका हुआ है, यदि इसका प्रक्षेपण भुजा a वाला एक नियमित त्रिभुज है।

2. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल प्रक्षेपण तल से एक कोण पर झुका हुआ है, यदि इसका प्रक्षेपण एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 10 सेमी और आधार 12 सेमी है।

3. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका तल प्रक्षेपण तल से एक कोण पर झुका हुआ है, यदि इसका प्रक्षेपण 9, 10 और 17 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज है।

4. एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें, जिसका तल एक कोण पर प्रक्षेपण तल पर झुका हुआ है, यदि इसका प्रक्षेपण एक समद्विबाहु समलंब है, जिसका बड़ा आधार 44 सेमी, भुजा 17 सेमी और विकर्ण है 39 सेमी है.

5. 8 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज के प्रक्षेपण क्षेत्र की गणना करें, जिसका तल प्रक्षेपण तल से एक कोण पर झुका हुआ है।

6. 12 सेमी भुजा और न्यून कोण वाला एक समचतुर्भुज किसी दिए गए तल के साथ एक कोण बनाता है। इस तल पर समचतुर्भुज के प्रक्षेपण के क्षेत्र की गणना करें।

7. 20 सेमी भुजा और 32 सेमी विकर्ण वाला एक समचतुर्भुज किसी दिए गए तल के साथ एक कोण बनाता है। इस तल पर समचतुर्भुज के प्रक्षेपण के क्षेत्र की गणना करें।

8. क्षैतिज तल पर एक छत्र का प्रक्षेपण भुजाओं और के साथ एक आयत है। छत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि पार्श्व फलक क्षैतिज तल पर एक कोण पर झुके हुए समान आयत हैं, और छत्र का मध्य भाग प्रक्षेपण तल के समानांतर एक वर्ग है।

11. "अंतरिक्ष में रेखाएँ और तल" विषय पर अभ्यास:

त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 65 सेमी, 75 सेमी के बराबर हैं। त्रिभुज के बड़े कोण के शीर्ष से इसके तल पर 60 सेमी के बराबर एक लम्ब खींचा गया है। लम्ब के सिरों से दूरी ज्ञात कीजिए त्रिभुज की बड़ी भुजा.

2. समतल से सेमी की दूरी पर स्थित एक बिंदु से, दो झुके हुए खींचे जाते हैं, जो समतल के साथ समान कोण बनाते हैं, और उनके बीच एक समकोण होता है। झुके हुए तलों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

3. एक नियमित त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। बिंदु M को इसलिए चुना गया है ताकि बिंदु M को त्रिभुज के सभी शीर्षों से जोड़ने वाले खंड इसके तल के साथ कोण बनाएं। बिंदु M से त्रिभुज के शीर्षों और भुजाओं तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

4. वर्ग की भुजा से वर्ग के विकर्ण के कोण पर एक समतल खींचा गया है। वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वर्ग की दो भुजाएँ समतल पर झुकी हुई हैं।

5. समद्विबाहु पैर सही त्रिकोणएक कोण पर कर्ण से गुजरते हुए समतल की ओर झुका हुआ। सिद्ध कीजिए कि समतल a और त्रिभुज के समतल के बीच का कोण बराबर होता है।

6. त्रिभुज ABC और DBC के तलों के बीच का द्विफलकीय कोण बराबर होता है। AD ज्ञात कीजिए यदि AB = AC = 5 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = DC = सेमी।

"अंतरिक्ष में रेखाएँ और तल" विषय पर परीक्षण प्रश्न

1. स्टीरियोमेट्री की बुनियादी अवधारणाओं की सूची बनाएं। स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों का निरूपण करें।

2. अभिगृहीतों से परिणाम सिद्ध कीजिए।

3. यह कैसा है सापेक्ष स्थितिअंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ? प्रतिच्छेदी, समानांतर और तिरछी रेखाओं की परिभाषाएँ दीजिए।

4. तिरछी रेखाओं का चिन्ह सिद्ध करें।

5. रेखा और तल की सापेक्ष स्थिति क्या है? प्रतिच्छेदी, समांतर रेखाओं और तलों की परिभाषाएँ दीजिए।

6. एक रेखा और एक तल के बीच समानता का चिह्न सिद्ध कीजिए।

7. दोनों तलों की सापेक्ष स्थिति क्या है?

8. समांतर तलों को परिभाषित करें। एक संकेत सिद्ध कीजिए कि दो तल समानांतर हैं। समांतर तलों के बारे में प्रमेय बताएं।

9. सीधी रेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करें।

10. एक रेखा और एक तल के लंबता का चिह्न सिद्ध कीजिए।

11. एक लम्ब का आधार, एक झुके हुए का आधार, एक समतल पर झुके हुए का प्रक्षेपण परिभाषित करें। एक बिंदु से एक समतल पर गिराई गई लंब और झुकी हुई रेखाओं के गुणधर्म निरूपित करें।

12. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण को परिभाषित करें।

13. तीन लंबों के बारे में प्रमेय सिद्ध करें।

14. द्विफलकीय कोण, द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की परिभाषा दीजिए।

15. दो तलों के लंबता का चिह्न सिद्ध कीजिए।

16. दो भिन्न बिंदुओं के बीच की दूरी परिभाषित करें।

17. एक बिंदु से एक रेखा की दूरी परिभाषित करें।

18. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी परिभाषित करें।

19. एक सीधी रेखा और उसके समानांतर एक तल के बीच की दूरी परिभाषित करें।

20. समांतर तलों के बीच की दूरी परिभाषित करें।

21. प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी परिभाषित करें।

22. एक समतल पर एक बिंदु के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण को परिभाषित करें।

23. एक समतल पर किसी आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण को परिभाषित करें।

24. एक समतल पर प्रक्षेपणों के गुणों का निरूपण करें।

25. एक समतल बहुभुज के प्रक्षेपण क्षेत्र पर एक प्रमेय बनाइये और सिद्ध कीजिये।

ज्यामिति समस्याओं में, सफलता न केवल सिद्धांत के ज्ञान पर निर्भर करती है, बल्कि उच्च गुणवत्ता वाली ड्राइंग पर भी निर्भर करती है।
सपाट रेखाचित्रों से सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है। लेकिन स्टीरियोमेट्री में स्थिति अधिक जटिल है। आख़िर चित्रित करना तो ज़रूरी है तीन आयामीशरीर पर समतलड्राइंग, और ताकि आप स्वयं और आपके ड्राइंग को देखने वाले व्यक्ति दोनों को एक ही वॉल्यूमेट्रिक बॉडी दिखाई दे।

यह कैसे करें?
निःसंदेह, किसी समतल पर किसी आयतन पिंड की कोई भी छवि सशर्त होगी। हालाँकि, नियमों का एक निश्चित सेट है। चित्र बनाने का एक आम तौर पर स्वीकृत तरीका है - समानांतर प्रक्षेपण.

आइए एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी लें।
आइए चुनें प्रक्षेपण विमान.
आयतन पिंड के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से हम एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं और प्रक्षेपण तल को किसी भी कोण पर काटते हैं। इनमें से प्रत्येक रेखा प्रक्षेपण तल को किसी बिंदु पर काटती है। और ये सब मिलकर ये बिंदु बनते हैं अनुमानएक समतल पर एक आयतन पिंड की, अर्थात उसकी सपाट छवि।

वॉल्यूमेट्रिक निकायों के प्रक्षेपण का निर्माण कैसे करें?
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक आयतन पिंड का एक फ्रेम है - एक प्रिज्म, पिरामिड या सिलेंडर। इसे प्रकाश की समानांतर किरण से रोशन करने पर हमें एक छवि मिलती है - दीवार पर या स्क्रीन पर एक छाया। ध्यान दें कि विभिन्न कोणों से अलग-अलग छवियां प्राप्त होती हैं, लेकिन कुछ पैटर्न अभी भी मौजूद हैं:

एक खंड का प्रक्षेपण एक खंड होगा.

बेशक, यदि खंड प्रक्षेपण विमान के लंबवत है, तो इसे एक बिंदु पर प्रदर्शित किया जाएगा।

में एक वृत्त का प्रक्षेपण सामान्य मामलाएक दीर्घवृत्त बन जाता है।

एक आयत का प्रक्षेपण एक समांतर चतुर्भुज है।

एक समतल पर घन का प्रक्षेपण इस प्रकार दिखता है:

यहां आगे और पीछे के फलक प्रक्षेपण तल के समानांतर हैं

आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं:

हम जो भी कोण चुनें, ड्राइंग में समानांतर खंडों के प्रक्षेपण भी समानांतर खंड होंगे. यह समानांतर प्रक्षेपण के सिद्धांतों में से एक है।

पिरामिड के प्रक्षेपण चित्रण,

सिलेंडर:

आइए एक बार फिर समानांतर प्रक्षेपण के मूल सिद्धांत को दोहराएं। हम एक प्रक्षेपण विमान का चयन करते हैं और वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाएं खींचते हैं। ये रेखाएँ प्रक्षेपण तल को किसी भी कोण पर काटती हैं। यदि यह कोण 90° है, तो हम बात कर रहे हैं आयताकार प्रक्षेपण. आयताकार प्रक्षेपण का उपयोग करके, प्रौद्योगिकी में वॉल्यूमेट्रिक भागों के चित्र बनाए जाते हैं। इस मामले में हम टॉप व्यू, फ्रंट व्यू और साइड व्यू के बारे में बात कर रहे हैं।

बहुभुज ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण प्रमेय का विस्तृत प्रमाण

यदि एक फ्लैट का प्रक्षेपण है एन -एक समतल पर जाएं, तो बहुभुजों के तलों के बीच का कोण कहां है और। दूसरे शब्दों में, एक समतल बहुभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र प्रक्षेपित बहुभुज के क्षेत्रफल और प्रक्षेपण तल तथा प्रक्षेपित बहुभुज के तल के बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

सबूत। मैं अवस्था। आइए पहले एक त्रिभुज के लिए उपपत्ति निकालें। आइए 5 मामलों पर विचार करें।

1 मामला. प्रक्षेपण तल में लेटें .

आइए क्रमशः समतल पर बिंदुओं के प्रक्षेपण हों। हमारे मामले में. चलिए मान लेते हैं. मान लीजिए ऊँचाई है, तो तीन लंबों के प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि - ऊँचाई (- झुके हुए का प्रक्षेपण, - इसका आधार और सीधी रेखा झुके हुए आधार से होकर गुजरती है, और)।

आइए विचार करें. यह आयताकार है. कोसाइन की परिभाषा के अनुसार:

दूसरी ओर, चूंकि और, परिभाषा के अनुसार, समतलों के आधे तलों और सीमा सीधी रेखा के साथ बने डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, और इसलिए, इसका माप भी बीच के कोण का माप है त्रिभुज के प्रक्षेपण के तल और स्वयं त्रिभुज, अर्थात्।

आइए क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें:

ध्यान दें कि सूत्र तब भी सत्य रहता है। इस मामले में

केस 2. केवल प्रक्षेपण तल में स्थित है और प्रक्षेपण तल के समानांतर है .

आइए क्रमशः समतल पर बिंदुओं के प्रक्षेपण हों। हमारे मामले में.

आइए बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचें। हमारे मामले में, सीधी रेखा प्रक्षेपण तल को काटती है, जिसका अर्थ है, लेम्मा द्वारा, सीधी रेखा प्रक्षेपण तल को भी काटती है। इसे बिंदु पर होने दें, तब बिंदु एक ही विमान में स्थित होते हैं, और चूंकि यह प्रक्षेपण विमान के समानांतर होता है, तो रेखा और विमान के समानांतरता के संकेत के परिणामस्वरूप यह उसका अनुसरण करता है। अत: यह एक समांतर चतुर्भुज है। आइए विचार करें और. वे तीन तरफ बराबर हैं (उभयनिष्ठ पक्ष समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों की तरह है)। ध्यान दें कि चतुर्भुज एक आयत है और (पैर और कर्ण के साथ) बराबर है, इसलिए, तीन तरफ बराबर है। इसीलिए।

लागू मामले 1 के लिए: , यानी...

केस 3. केवल प्रक्षेपण तल में स्थित है और प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं है .

मान लीजिए कि बिंदु प्रक्षेपण तल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ध्यान दें कि और. 1 मामले में: i. इस प्रकार हमें वह प्राप्त होता है

केस 4 शीर्ष प्रक्षेपण तल में नहीं होते हैं . आइए लंबों को देखें। आइए हम इन लंबों में से सबसे छोटे को लें। इसे लंबवत होने दें. यह पता चल सकता है कि यह या तो केवल या केवल है। फिर हम इसे वैसे भी ले लेंगे।

आइए हम एक खंड पर एक बिंदु से एक बिंदु अलग रखें, ताकि, और एक खंड पर एक बिंदु से, एक बिंदु, ताकि। यह निर्माण इसलिए संभव है क्योंकि यह लंबों में सबसे छोटा है। ध्यान दें कि यह निर्माण द्वारा और का एक प्रक्षेपण है। आइए हम इसे सिद्ध करें और समान हैं।

एक चतुर्भुज पर विचार करें. शर्त के अनुसार - एक विमान के लंबवत, इसलिए, प्रमेय के अनुसार, इसलिए। चूँकि निर्माण से, एक समांतर चतुर्भुज की विशेषताओं के आधार पर (समानांतर और समान विपरीत भुजाओं द्वारा) हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक समांतर चतुर्भुज है। मतलब, । इसी प्रकार यह भी सिद्ध है कि, . इसलिए, और तीन तरफ से बराबर हैं। इसीलिए। ध्यान दें कि और, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के रूप में, इसलिए, समतलों की समांतरता के आधार पर,। चूँकि ये तल समानांतर हैं, ये प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

पिछले मामले लागू होते हैं:.

केस 5 प्रक्षेपण तल भुजाओं को काटता है . आइए सीधी रेखाओं को देखें। वे प्रक्षेपण तल के लंबवत हैं, इसलिए प्रमेय के अनुसार वे समानांतर हैं। बिंदुओं पर मूल के साथ कोड-दिशात्मक किरणों पर, हम क्रमशः समान खंडों को प्लॉट करेंगे, ताकि कोने प्रक्षेपण विमान के बाहर हों। ध्यान दें कि यह निर्माण द्वारा और का एक प्रक्षेपण है। आइए हम दिखाएँ कि यह बराबर है।

चूँकि और, निर्माण द्वारा, तब। इसलिए, समांतर चतुर्भुज मानदंड के अनुसार (दो बराबर और समानांतर भुजाएँ), एक समांतर चतुर्भुज है. यह इसी प्रकार सिद्ध होता है कि तथा समांतर चतुर्भुज हैं। लेकिन फिर, और (विपरीत भुजाओं के रूप में), इसलिए तीन तरफ बराबर हैं। मतलब, ।

इसके अलावा, और इसलिए, विमानों की समानता पर आधारित है। चूँकि ये तल समानांतर हैं, ये प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

लागू मामले 4 के लिए:.

द्वितीय अवस्था। आइए शीर्ष से खींचे गए विकर्णों का उपयोग करके एक समतल बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करें: फिर, त्रिभुजों के पिछले मामलों के अनुसार:।

क्यू.ई.डी.

ज्यामिति
10वीं कक्षा के लिए पाठ योजना

पाठ 56

विषय। बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र

पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का अध्ययन करना, समस्याओं को हल करने के लिए सीखे गए प्रमेय को लागू करने में छात्रों के कौशल को विकसित करना।

उपकरण: स्टीरियोमेट्रिक सेट, क्यूब मॉडल।

पाठ प्रगति

I. होमवर्क की जाँच करना

1. दो छात्र बोर्ड पर समस्या संख्या 42, 45 का समाधान प्रस्तुत करते हैं।

2. सामने से पूछताछ.

1) प्रतिच्छेद करने वाले दो तलों के बीच के कोण को परिभाषित करें।

2) इनके बीच का कोण क्या है:

ए) समानांतर विमान;

बी) लंबवत विमान?

3) दो तलों के बीच का कोण किस सीमा के भीतर बदल सकता है?

4) क्या यह सत्य है कि एक समतल जो समान्तर तलों को प्रतिच्छेद करता है, उन्हें समान कोण पर प्रतिच्छेद करता है?

5) क्या यह सच है कि एक तल जो लंबवत तलों को काटता है, उन्हें समान कोणों पर काटता है?

3. समस्या संख्या 42, 45 के समाधान की शुद्धता की जाँच करना, जिसे छात्रों ने बोर्ड पर फिर से बनाया।

द्वितीय. नई सामग्री की धारणा और जागरूकता

छात्रों के लिए असाइनमेंट

1. सिद्ध करें कि एक त्रिभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र, जिसकी एक भुजा प्रक्षेपण तल में है, उसके क्षेत्रफल के गुणनफल और बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल के बीच के कोण की कोज्या के बराबर है।

2. उस स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध करें जब एक जाली त्रिभुज वह होता है जिसकी एक भुजा प्रक्षेपण तल के समानांतर होती है।

3. उस स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध करें जब एक जाली त्रिभुज वह होता है जिसकी कोई भी भुजा प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं होती है।

4. किसी भी बहुभुज के लिए प्रमेय सिद्ध करें।

समस्या को सुलझाना

1. एक बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका क्षेत्रफल 50 सेमी2 है, और बहुभुज के तल और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण 60° है।

2. यदि इस बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल 50 सेमी2 है, और बहुभुज के तल और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण 45° है, तो बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

3. बहुभुज का क्षेत्रफल 64 सेमी2 है, और लंबकोणीय प्रक्षेपण का क्षेत्रफल 32 सेमी2 है। बहुभुज के तलों और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. या हो सकता है कि किसी बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल इस बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर हो?

5. एक घन का किनारा बराबर होता है। इस आधार से 30° के कोण पर आधार के शीर्ष से गुजरने वाले और सभी पार्श्व किनारों को प्रतिच्छेद करने वाले विमान द्वारा घन का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र ज्ञात करें। (उत्तर। )

6. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 48 (1,3) (पृष्ठ 58)।

7. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 49 (2) (पृष्ठ 58)।

8. आयत की भुजाएँ 20 और 25 सेमी हैं। समतल पर इसका प्रक्षेपण इसके समान है। प्रक्षेपण का परिमाप ज्ञात कीजिए। (उत्तर: 72 सेमी या 90 सेमी.)

तृतीय. गृहकार्य

§4, अनुच्छेद 34; सुरक्षा प्रश्ननंबर 17; समस्या क्रमांक 48 (2), 49 (1) (पृ. 58)।

चतुर्थ. पाठ का सारांश

कक्षा के लिए प्रश्न

1) बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर एक प्रमेय बताएं।

2) क्या बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल बहुभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो सकता है?

3) समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण AB से होकर, त्रिभुज के तल से 45° के कोण पर एक समतल α और समतल α पर एक लंबवत CO खींचा जाता है। AC = 3 सेमी, BC = 4 सेमी बताएं कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है और कौन सा गलत है:

ए) समतल एबीसी और α के बीच का कोण कोण एसएमओ के बराबर है, जहां बिंदु एच त्रिभुज एबीसी की ऊंचाई सीएम का आधार है;

बी) सीओ = 2.4 सेमी;

ग) त्रिभुज AOC, समतल α पर त्रिभुज ABC का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है;

d) त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल 3 सेमी2 है।

(उत्तर: ए) सही; बी) ग़लत; ग) ग़लत; घ) सही।)