बाजार स्थितियों में उपभोक्ता व्यवहार का सिद्धांत। उपभोक्ता व्यवहार के सिद्धांत के मूल सिद्धांत

स्थिति:रिश्तेदार; z-सूचकांक:2">बलों का युग्म और बलों के क्षण

बलों की जोड़ी और शरीर पर इसका प्रभाव

दो समान और समानांतर बल विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं और एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, उन्हें बलों की जोड़ी कहा जाता है। बलों की ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण चालक के हाथों द्वारा कार के स्टीयरिंग व्हील तक प्रेषित बल है। पावर कपल के पास है बडा महत्वव्यवहार में। इसीलिए पिंडों की यांत्रिक अंतःक्रिया के विशिष्ट माप के रूप में युग्म के गुणों का अलग से अध्ययन किया जाता है।

x-अक्ष और y-अक्ष पर युग्म के बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है (चित्र 19, a), इसलिए बलों के युग्म का कोई परिणाम नहीं होता है। इसके बावजूद, बलों की एक जोड़ी के प्रभाव में शरीर संतुलन में नहीं है।

किसी कठोर पिंड पर बलों की एक जोड़ी की क्रिया यह होती है कि वह इस पिंड को घुमाने की प्रवृत्ति रखती है। घूर्णन उत्पन्न करने के लिए बलों की एक जोड़ी की क्षमता जोड़ी के क्षण से निर्धारित होती है, जो बल के उत्पाद के बराबर होती है और बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी (बलों के लंबवत ली गई) होती है। आइए हम युगल के क्षण को निरूपित करें एम, और बलों के बीच सबसे कम दूरी ए,तब क्षण का निरपेक्ष मान (चित्र 19, ए):

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को एक जोड़ी का कंधा कहा जाता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि बलों की एक जोड़ी का क्षण निरपेक्ष मूल्यकिसी एक बल और उसके कंधे के गुणनफल के बराबर है।

बलों की एक जोड़ी का प्रभाव पूरी तरह से उसके क्षण से निर्धारित होता है। इसलिए, बलों की एक जोड़ी का क्षण घूर्णन की दिशा को इंगित करने वाले एक चाप के आकार के तीर द्वारा दिखाया जा सकता है। चूंकि बलों की एक जोड़ी का कोई परिणाम नहीं होता है, इसलिए इसे एक बल द्वारा संतुलित नहीं किया जा सकता है। एसआई में एक जोड़ी का क्षण न्यूटोनोमीटर (एनएम) या न्यूटोनोमीटर के गुणकों में मापा जाता है: केएनएम, एमएनएम, आदि।

यदि युगल शरीर को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है (चित्र 19, ए), तो बलों के एक जोड़े का क्षण सकारात्मक माना जाएगा, और यदि युगल शरीर को वामावर्त दिशा में घुमाता है तो नकारात्मक माना जाएगा (चित्र 19, बी)। जोड़े के क्षणों के लिए संकेतों का स्वीकृत नियम सशर्त है: कोई विपरीत नियम अपना सकता है।

व्यायाम1.

1. निर्धारित करें कि कौन सी आकृति बलों की एक जोड़ी दिखाती है:

ए. अंजीर. 20, ए. बी. अंजीर. 20, बी. बी. अंजीर. 20, सी. जी. चित्र. 20, जी.

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">2. बलों की एक जोड़ी का प्रभाव क्या निर्धारित करता है?

A. प्रति हाथ बल का गुणनफल। B. युगल क्षण और घूर्णन की दिशा।

3. बलों की एक जोड़ी को कैसे संतुलित किया जा सकता है?

A. अकेले बल द्वारा। बी. कुछ बल.

जोड़ियों की समानता

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">दो जोड़े बलों को समतुल्य माना जाता है यदि, एक जोड़े को दूसरे जोड़े के साथ बदलने के बाद, शरीर की यांत्रिक स्थिति नहीं बदलती है, अर्थात, शरीर की गति नहीं बदलती है या उसका संतुलन नहीं बदलता है परेशान नहीं.

किसी कठोर पिंड पर बलों की एक जोड़ी का प्रभाव विमान में उसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, बलों की एक जोड़ी को अपनी कार्रवाई के विमान में किसी भी स्थिति में स्थानांतरित किया जा सकता है।

आइए बलों की एक जोड़ी की एक और संपत्ति पर विचार करें, जो जोड़े को जोड़ने का आधार है।

शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना, आप बल मॉड्यूल और जोड़ी के उत्तोलन को अपनी इच्छानुसार बदल सकते हैं, जब तक कि जोड़ी का क्षण अपरिवर्तित रहता है।

आइए बलों की जोड़ी को https://pandia.ru/text/79/460/images/image007_8.gif' width='45' ऊंचाई='24'> को कंधे b से बदलें (चित्र 21, b) ताकि जोड़े का क्षण वही रहता है.

किसी दिए गए बलों के जोड़े का क्षण फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">यदि, बलों के मान और नए जोड़े के कंधे को बदलकर, हम उनके क्षणों की समानता M1 = M2 या F1a = F2b बनाए रखते हैं, तो इस तरह के प्रतिस्थापन से शरीर की स्थिति खराब नहीं होगी, इसलिए, कंधे के साथ दी गई जोड़ी के बजाय हमें समकक्ष जोड़ी EN-US style="font-size:12.0pt">b मिली।.

व्यायाम2

1. क्या किसी पिंड पर बलों की जोड़ी का प्रभाव विमान में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है?

उ. हां. बी. नहीं.

2. निम्नलिखित में से कौन सा जोड़ा समतुल्य है?

ए. ए) जोड़ी बल 100 केएन, भुजा 0.5 मीटर; बी) जोड़ी बल 20 केएन, भुजा 2.5 मीटर; ग) एक युग्म का बल 1000 kN है, भुजा 0.05 m है। तीनों युग्मों की दिशा समान है।

बी. ए) एमजी = -300 एनएम; बी) एम2 = 300 एनएम।

3. बल युग्म का आघूर्ण 100 Nm है, युग्म का कंधा 0.2 m है। युग्म के बल का मान ज्ञात कीजिए। यदि क्षण के संख्यात्मक मान को बनाए रखते हुए कंधे को दोगुना कर दिया जाए तो जोड़े की ताकतों का मान कैसे बदल जाएगा?

एक समतल पर बलों के युग्मों का योग और संतुलन

बलों की तरह, जोड़े भी जोड़े जा सकते हैं। वह युग्म जो इन युग्मों की क्रिया को प्रतिस्थापित करता है, परिणामी युग्म कहलाता है।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई पूरी तरह से उसके क्षण और घूर्णन की दिशा से निर्धारित होती है। इसके आधार पर, जोड़ उनके आघूर्णों के बीजगणितीय योग द्वारा किया जाता है, अर्थात परिणामी युग्म का आघूर्ण घटक युग्मों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

यह एक ही तल में पड़े किसी भी जोड़े पर लागू होता है। इसलिए, एक ही विमान या समानांतर विमानों में स्थित जोड़े की शर्तों की एक मनमानी संख्या के लिए, परिणामी जोड़ी का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">जहां दक्षिणावर्त घूमने वाले जोड़ों के क्षणों को सकारात्मक माना जाता है, और वामावर्त घूमने वाले जोड़ों को नकारात्मक माना जाता है।

जोड़े के जोड़ के लिए उपरोक्त नियम के आधार पर, एक ही विमान में स्थित जोड़े की प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति स्थापित की जाती है, अर्थात्: जोड़े की प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि परिणामी जोड़ी का क्षण शून्य के बराबर हो या जोड़ियों के आघूर्णों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो:

ए0"> उदाहरण .

परिणामी जोड़ी का क्षण निर्धारित करें, जो एक ही विमान में स्थित तीन जोड़े की प्रणाली के बराबर है। पहला जोड़ा बलों F1 = F"1 = 2 kN द्वारा बनता है, इसमें एक कंधा होता हैज 1 = 1.25 मीटर और दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है; दूसरी जोड़ी बलों F2 = F"2 = 3 kN द्वारा बनाई गई है, इसका कंधा h2 = 2 m है और वामावर्त कार्य करता है; तीसरी जोड़ी बलों द्वारा बनाई गई हैएफ 3 = F"3 = 4.5 kN, इसका कंधा h3 = 1.2 मीटर है और यह दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है (चित्र 22)।

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">समाधान।

हम घटक जोड़े के क्षणों की गणना करते हैं:

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">परिणामी जोड़ी के क्षण को निर्धारित करने के लिए, हम बीजगणितीय रूप से दिए गए जोड़े के क्षणों को जोड़ते हैं

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">एक बिंदु और अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण

किसी बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण बल के मापांक और बिंदु से बल की क्रिया की रेखा पर डाले गए लंबवत की लंबाई के उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है (चित्र 23, ए)।

जब कोई पिंड बिंदु O पर स्थिर होता है, तो बल उसे इस बिंदु के चारों ओर घुमाता है। बिंदु O जिसके बारे में आघूर्ण लिया जाता है उसे आघूर्ण का केंद्र और लंब की लंबाई कहा जाता है एक्षण के केंद्र के सापेक्ष बल की भुजा कहा जाता है।

बल के क्षण फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">बल के क्षणों को न्यूटोनोमीटर (एनएम) या संबंधित गुणकों और उपगुणकों में, साथ ही जोड़े के क्षणों में मापा जाता है।

फ़ॉन्ट-आकार:12.0pt">यदि बल शरीर को दक्षिणावर्त घुमाता है (चित्र 23, ए), और नकारात्मक - वामावर्त (चित्र 23, बी) को सकारात्मक माना जाता है। जब बल की क्रिया की रेखा होती है के माध्यम से गुजरता इस बिंदु, इस बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण शून्य है, क्योंकि विचाराधीन मामले में भुजा a = 0 (चित्र 23, c)।

युगल के क्षण और बल के क्षण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है। बलों की एक जोड़ी के क्षण का संख्यात्मक मूल्य और दिशा विमान में इस जोड़ी की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। बल के क्षण का मान और दिशा (चिह्न) उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है जिसके सापेक्ष बल का क्षण निर्धारित होता है।

अनुभव से ज्ञात होता है कि न तो बल (चित्र 24), जिसकी क्रिया रेखा अक्ष को काटती हैआउंस , न ही अक्ष के समानांतर बल F2, शरीर को इस अक्ष के चारों ओर घुमाने में सक्षम होंगे, यानी वे एक पल प्रदान नहीं करते हैं।

मान लीजिए किसी बिंदु पर शरीर पर एक बल कार्य करता है (चित्र 25)। आइए एक हवाई जहाज़ बनाएंएच , अक्ष के लंबवतआउंस और बल वेक्टर की शुरुआत से गुजर रहा है..gif" width='17 ऊंचाई=24' ऊंचाई='24'> विमान में स्थितएच , और , अक्ष के समानांतरआस्ट्रेलिया.

घटक EN-US style='font-size:12.0pt''>Ozऔर इस अक्ष के सापेक्ष एक क्षण भी नहीं बनाता है। घटक EN-US" style="font-size:12.0pt">Hऔर अक्ष के बारे में एक क्षण बनाता हैआउंस या, जो बिंदु O के सापेक्ष एक ही चीज़ है। बल का क्षण बल के मापांक और लंबाई के उत्पाद द्वारा मापा जाता है एइस बल की दिशा में बिंदु O से लंबवत उतारा गया, अर्थात: फ़ॉन्ट-आकार: 12.0pt">साथ में क्षण का संकेत सामान्य नियमशरीर के घूमने की दिशा से निर्धारित होता है: प्लस (+) - जब दक्षिणावर्त घूम रहा हो, माइनस (-) - जब वामावर्त घूम रहा हो। क्षण का संकेत निर्धारित करने के लिए, पर्यवेक्षक को निश्चित रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के किनारे पर स्थित होना चाहिए। चित्र में. बल का 25 क्षण EN-US style='font-size:12.0pt''>Ozसकारात्मक है, क्योंकि अक्ष की सकारात्मक दिशा (ऊपर से) से देखने वाले पर्यवेक्षक के लिए, किसी दिए गए बल के प्रभाव में शरीर धुरी के चारों ओर दक्षिणावर्त घूमता हुआ प्रतीत होता है।

इसलिए, किसी अक्ष के चारों ओर बल के क्षण को निर्धारित करने के लिए, बल को अक्ष के लंबवत विमान पर प्रक्षेपित करना और इस विमान के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष बल के प्रक्षेपण के क्षण का पता लगाना आवश्यक है।

बलों की एक जोड़ी (या बस एक जोड़ी) दो समानांतर बलों का एक संयोजन है, परिमाण में समान, दिशा में विपरीत और शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होती है (चित्र 30)। हम बलों के एक जोड़े को प्रतीक द्वारा निरूपित करेंगे। बलों को युगल बल कहा जाता है; वह तल जिसमें बल स्थित होते हैं, युगल की क्रिया का तल कहलाता है।

किसी जोड़ी के बलों की कार्य रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को जोड़ी का कंधा कहा जाता है (चित्र में खंड AB की लंबाई h)।

तीस)। चूंकि बलों को उनकी कार्रवाई की रेखाओं के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है, इसलिए हम जोड़ी की बाहों के सिरों पर लागू होने वाली जोड़ी की ताकतों को चित्रित करेंगे।

हम उस रूप में जोड़ी के लिए एक सरल पदनाम का भी उपयोग करेंगे जिसमें बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं के पदनाम शामिल नहीं हैं।

बलों की एक जोड़ी निकायों के बीच एक विशेष प्रकार की अंतःक्रिया को दर्शाती है, जिसे एक बल द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, स्थैतिक में, बलों के साथ-साथ, उनके विशिष्ट गुणों, जोड़ नियमों और संतुलन स्थितियों के साथ बलों के जोड़े पर भी अलग से विचार किया जाता है।

प्रारंभ में, बलों की एक जोड़ी को चार वैक्टरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (चित्र 31.) - जोड़ी की ताकतों के दो वैक्टर और उनके आवेदन के बिंदुओं के दो त्रिज्या वैक्टर। आइए अंतरिक्ष में किसी बिंदु को O क्षणों के केंद्र के रूप में लें और इस केंद्र के सापेक्ष युगल बलों के क्षणों की गणना करें

फिर पिछले कथन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है: बलों की एक जोड़ी को जोड़ी के बलों के वैक्टर और एक मनमाना केंद्र ओ के सापेक्ष इन बलों के क्षणों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। अब हम प्रश्न पूछते हैं: क्या यह संभव है बलों की एक जोड़ी को एक अलग तरीके से निर्दिष्ट करने के लिए, अधिमानतः कम संख्या में परिभाषित तत्वों के साथ?

किसी जोड़े के बल सदिशों का ज्यामितीय योग हमेशा शून्य होता है, इसलिए इसका उपयोग किसी जोड़े को चिह्नित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। आइए बिंदु O के सापेक्ष युगल बलों के क्षणों के योग की गणना करें:

प्राप्त परिणाम में दो परिस्थितियाँ ध्यान आकर्षित करती हैं।

1. जबकि एक जोड़े के बल वैक्टर का योग हमेशा शून्य होता है, जोड़े के बलों के क्षणों का योग गैर-शून्य होता है।

2. युग्म के बलों के क्षणों का योग क्षणों के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है - बिंदु O की पसंद के आधार पर वैक्टर आवश्यक योग के लिए अंतिम अभिव्यक्ति से बाहर हो जाते हैं।

इस प्रकार, किसी युग्म के बलों के क्षणों का योग केवल युग्म के तत्वों पर ही निर्भर करता है - युग्म की क्रिया का तल, बलों का मापांक और युग्म का कंधा। यह इस मान को बलों की एक जोड़ी की विशेषता के रूप में उपयोग करने का सुझाव देता है। निम्नलिखित में, एक युग्म के बलों के क्षणों का योग इस युग्म का आघूर्ण कहलाएगा। चूंकि जोड़ी का क्षण क्षणों के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, यह एक मुक्त वेक्टर है - इसे कठोर शरीर के किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है जिस पर बलों की यह जोड़ी कार्य करती है।

तो, इस सवाल पर कि क्या बलों की एक जोड़ी को सरल तरीके से निर्दिष्ट करना संभव है, एक सकारात्मक उत्तर प्राप्त हुआ: बलों की एक जोड़ी को केवल एक वेक्टर - जोड़ी का क्षण निर्दिष्ट करके चित्रित किया जा सकता है। बलों की एक जोड़ी का क्षण मुक्त वेक्टर के बराबर है ज्यामितीय योगअंतरिक्ष में मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु O के सापेक्ष युगल के बलों के क्षण

यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त विचार प्रकृति में विचारोत्तेजक हैं और उचित रूप से तैयार किए गए निष्कर्ष का कोई सख्त प्रमाण नहीं हैं। हालाँकि, सांख्यिकी में ऐसे कई प्रमेय हैं जिनमें निकाले गए निष्कर्ष को सख्त औचित्य प्राप्त होता है। ये प्रमेय सैद्धांतिक यांत्रिकी पर संपूर्ण पाठ्यपुस्तकों में पाए जा सकते हैं।

जोड़ी के क्षण को निर्धारित करने में बिंदु O के चयन में मनमानी का लाभ उठाते हुए, कोई अधिक निष्कर्ष पर पहुंच सकता है सरल तरीकापल गणना. आइए हम बल के अनुप्रयोग के बिंदु -F (चित्र 31 में बिंदु B) को क्षणों के केंद्र के रूप में लें। फिर आप लिख सकते हैं

यहां यह ध्यान में रखा गया है कि चूंकि बल -F बिंदु B से होकर गुजरता है। यदि बिंदु A, जिस पर बल F लगाया जाता है, को क्षणों के केंद्र के रूप में लिया जाता है, तो बल F का क्षण शून्य हो जाता है, और हमें मिलता है

यह एक जोड़े के क्षण की गणना के लिए एक और नियम की ओर ले जाता है: बलों की एक जोड़ी का क्षण दूसरे बल के अनुप्रयोग के बिंदु के सापेक्ष जोड़ी के एक बल के क्षण के बराबर होता है।

इस प्रकार, किसी जोड़े के क्षण का निर्धारण एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण की गणना और निर्माण करने के लिए कम हो जाता है, जैसा कि पहले चर्चा की गई थी (पेज 12 देखें)।

परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं: बलों की एक जोड़ी का क्षण एक वेक्टर है जो संख्यात्मक रूप से जोड़ी की भुजा द्वारा जोड़ी की ताकतों के मापांक के उत्पाद के बराबर होता है और कार्रवाई के विमान के लंबवत निर्देशित होता है। वह युग्म जिस दिशा से युग्म का "घूर्णन" वामावर्त घटित होता हुआ दिखाई देता है (गिमलेट नियम); शरीर के किसी भी बिंदु को युग्म के क्षण के अनुप्रयोग के बिंदु के रूप में लिया जा सकता है।

एक जोड़े का बीजगणितीय क्षण जोड़े की ताकतों और जोड़े के कंधे के मापांक का उत्पाद है, जिसे प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि जोड़ा अपने विमान को वामावर्त "घुमाता है", और यदि इसके विपरीत होता है तो माइनस चिह्न के साथ लिया जाता है।

चित्र में. चित्र 32 घूर्णन अक्ष के लंबवत स्थापित त्रिज्या आर की एक डिस्क के तल में कार्यरत बलों की एक जोड़ी को दर्शाता है। युग्म की भुजा डिस्क के व्यास के बराबर होती है, युग्म के आघूर्ण का मापांक बराबर होता है

युगल का क्षण डिस्क के तल पर लंबवत निर्देशित होता है और इसे डिस्क पर किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है।

चित्र में. 33 एक समान मामला दिखाता है, लेकिन एक सपाट प्रक्षेपण में दर्शाया गया है। यहां जोड़ी की ताकतें () ड्राइंग के विमान के लंबवत निर्देशित हैं (चिह्न निर्देशित वैक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, संकेत पाठक से दूर का प्रतिनिधित्व करता है)। जोड़ी के क्षण का मापांक बराबर है, डिस्क के विमान के लंबवत है और ड्राइंग के विमान में स्थित है (अधिक सटीक रूप से, इसे ड्राइंग के विमान में स्वयं के समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है)।

युगल के क्षण के निर्माण के दो और उदाहरण चित्र में शामिल हैं। 34. चित्रित युग्मों के क्षणों के मापांक में निम्नलिखित मान हैं:

युग्मों के क्षण सदिशों में प्रक्षेपण होते हैं:

बल युग्म के गुण

1. आप बलों के परिमाण और जोड़ी के उत्तोलन को बदल सकते हैं, पल की भयावहता और जोड़ी की ताकतों के "रोटेशन" की दिशा को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

2. बलों की एक जोड़ी को इसके कार्य तल में इच्छानुसार स्थानांतरित किया जा सकता है।

3. बलों की एक जोड़ी को किसी भी विमान में अपने समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है, जो हमेशा उस शरीर से जुड़ा होता है जिस पर इसे लागू किया जाता है।

इन गुणों में सूचीबद्ध क्रियाएं जोड़ी के क्षण के परिमाण या दिशा को नहीं बदलती हैं, और इसलिए जोड़ी के समतुल्य परिवर्तन हैं।

ऊपर दिए गए उदाहरणों में, हम एक जोड़ी के दिए गए तत्वों - क्रिया के तल, बलों और जोड़ी के कंधे के आधार पर एक क्षण के निर्माण के बारे में बात कर रहे थे। आप व्युत्क्रम समस्या भी प्रस्तुत कर सकते हैं - इसके क्षण के आधार पर बलों की एक जोड़ी का निर्माण करें। मान लीजिए कि इसके क्षण M (चित्र 35, a) के आधार पर बलों की एक जोड़ी का निर्माण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम क्षण की क्रिया की रेखा के लंबवत एक विमान पी का निर्माण करते हैं (चित्र 35, बी)। यह विमान युग्म की क्रिया के विमान के रूप में काम करेगा। इस तल में हम निम्नलिखित नियम के अनुसार दो बल रखते हैं। बलों की दिशा इसलिए चुनी जाती है ताकि क्षण वेक्टर एम के अंत से बल वामावर्त दिशा में उन्मुख दिखाई दें। बलों का परिमाण और जोड़ी का उत्तोलन कोई भी हो सकता है (संपत्ति 1), लेकिन ताकि उनका उत्पाद जोड़ी के क्षण के मापांक के बराबर हो:।

गुण 3 के अनुसार, युग्म का क्रिया तल, तल P के समानान्तर कोई अन्य तल भी होगा।

भविष्य में, बल युग्मों के साथ काम करते समय, हम केवल उनके आघूर्ण सदिशों आदि को इंगित करेंगे, यदि आवश्यक हो तो ही युग्म के निर्माण का सहारा लेंगे।

दो समान और समानांतर बलों की प्रणाली, का लक्ष्य विलोमपार्टियाँ और एक ही सीधी रेखा पर नहीं पड़ा हुआ, बुलाया कुछ बल. बलों की ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण है चालक के हाथों से बल कार के स्टीयरिंग व्हील तक प्रेषित होता है।

पावर कपल के पास है बहुत बड़ाव्यवहार में अर्थ. इसीलिए गुणजोड़े विशिष्ट के रूप में पैमानेनिकायों की यांत्रिक अंतःक्रिया का अध्ययन किया जाता है अलग से.

जोड़युगल शक्ति बराबर है शून्य

पी - पी" = 0 (चावल। ए ),

अर्थात। बलों की एक जोड़ी का कोई परिणाम नहीं होता है. इसके बावजूद, शरीर कुछ शक्तियों के प्रभाव में है संतुलन में नहीं है.

कुछ बलों की कार्रवाईजैसा कि अनुभव से पता चलता है, एक ठोस शरीर पर यह झुक जाता है घुमाएँयह शरीर है.

घूर्णन उत्पन्न करने के लिए बलों की एक जोड़ी की क्षमता मात्रात्मकदृढ़ निश्चय वाला युगल क्षण, बराबर बल और न्यूनतम दूरी का गुणनफल(से लिया सीधाताकत के लिए) बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच.

आइए हम युगल के क्षण को निरूपित करें एम , और बलों के बीच सबसे कम दूरी ए , तो क्षण का निरपेक्ष मान (चित्र। ए )

एम = रा = पी "ए .

सबसे कम दूरीबलों की क्रिया रेखाओं के बीच कहा जाता है कंधाजोड़े, इसलिए हम ऐसा कह सकते हैं पलबलों के जोड़े निरपेक्ष मान में बराबर होते हैं जोड़े और उसके कंधे की ताकतों में से एक का उत्पाद।

प्रभावकुछ बलों की कार्रवाई पूरी तरहइसके द्वारा निर्धारित किया जाता है पल. इसलिए, कुछ बलों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है धनुषाकार तीर, इंगित करता है दिशाघूर्णन (आंकड़ा देखें)।

चूँकि बलों की एक जोड़ी का कोई परिणामी नहीं होता है, यह केवल बल द्वारा संतुलित नहीं किया जा सकता.

में अंतर्राष्ट्रीय व्यवस्थाइकाइयां (एसआई)बल को मापा जाता है न्यूटन, और कंधा अंदर मीटर की दूरी पर. क्रमश पलसिस्टम में जोड़े एस.आईन्यूटोनोमीटर (एनएम) या इकाइयों में मापा जाता है गुणकोंन्यूटोनोमीटर: केएन एम, एमएन एम, आदि।

हम कुछ ताकतों के क्षण पर विचार करेंगे सकारात्मक, यदि दम्पति शरीर को मोड़ने की प्रवृत्ति रखते हैं दक्षिणावर्त दिशा में(चावल। ए ) और नकारात्मक, यदि दम्पति शरीर को घुमाने की प्रवृत्ति रखते हैं वामावर्त(चावल। बी ).

क्षण युग्मों के लिए स्वीकृत चिह्न नियम सशर्त; स्वीकार किया जा सकता है विलोमनियम। समस्याओं को हल करते समय, भ्रम से बचने के लिए, आपको हमेशा ध्यान रखना चाहिए एक विशिष्ट संकेत नियम.

कुछ ताकतों के साथपरिमाण में समान, समानांतर और विभिन्न दिशाओं में निर्देशित दो बलों की एक प्रणाली है।

आइए बलों की प्रणाली पर विचार करें (आर; बी"),जोड़ी बनाना.

बलों की एक जोड़ी शरीर के घूर्णन का कारण बनती है और शरीर पर इसका प्रभाव क्षण द्वारा मापा जाता है। युग्म में प्रवेश करने वाले बल संतुलित नहीं हैं, क्योंकि वे दो बिंदुओं पर लागू होते हैं (चित्र 4.1)।

शरीर पर उनकी क्रिया को एक बल (परिणाम) द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है।

बलों की एक जोड़ी का क्षण संख्यात्मक रूप से बल मापांक के उत्पाद और बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होता है (जोड़ी का कंधा).

यदि युगल शरीर को दक्षिणावर्त घुमाता है तो क्षण को सकारात्मक माना जाता है (चित्र 4.1(बी)):

एम(एफ;एफ") = फा ; एम > 0.

युग्म के बलों की क्रिया रेखाओं से गुजरने वाले तल को कहा जाता है जोड़ी की कार्रवाई का विमान.

जोड़ियों के गुण(बिना सबूत के):

1. इसकी क्रिया के तल में बलों की एक जोड़ी को स्थानांतरित किया जा सकता है।

2. जोड़ियों की तुल्यता.

दो जोड़े जिनके क्षण समान हैं (चित्र 4.2) समतुल्य हैं (शरीर पर उनका प्रभाव समान है)।

3. बलों के जोड़े का योग. बल युग्मों की प्रणाली को परिणामी युग्म द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

परिणामी युग्म का आघूर्ण प्रणाली को बनाने वाले युग्मों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के बराबर है (चित्र 4.3):

4. जोड़ियों का संतुलन.

युग्मों के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि निकाय के युग्मों के आघूर्णों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो:

काम का अंत -

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सैद्धांतिक यांत्रिकी

सैद्धांतिक यांत्रिकी.. व्याख्यान.. विषय: सांख्यिकी की बुनियादी अवधारणाएं और सिद्धांत..

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सैद्धांतिक यांत्रिकी की समस्याएं
सैद्धांतिक यांत्रिकी भौतिक ठोस पदार्थों की यांत्रिक गति और उनकी परस्पर क्रिया का विज्ञान है। यांत्रिक गति को अंतरिक्ष और समय में किसी पिंड की गति के रूप में समझा जाता है

तीसरा स्वयंसिद्ध
शरीर की यांत्रिक स्थिति को परेशान किए बिना, आप बलों की एक संतुलित प्रणाली को जोड़ या हटा सकते हैं (शून्य के बराबर बलों की प्रणाली को त्यागने का सिद्धांत) (चित्र 1.3)। पी,=पी2 पी,=पी.

दूसरे और तीसरे सिद्धांतों का परिणाम
किसी ठोस वस्तु पर लगने वाले बल को उसकी क्रिया की रेखा के अनुदिश स्थानांतरित किया जा सकता है (चित्र 1.6)।

कनेक्शन और कनेक्शन की प्रतिक्रियाएँ
स्थैतिकी के सभी नियम और प्रमेय एक मुक्त कठोर निकाय के लिए मान्य हैं। सभी शरीर मुक्त और बाध्य में विभाजित हैं। मुक्त निकाय वे निकाय हैं जिनकी गति सीमित नहीं है।

कठोर छड़ी
आरेखों में, छड़ों को एक मोटी ठोस रेखा के रूप में दर्शाया गया है (चित्र 1.9)। छड़ी कर सकते हैं

स्थिर काज
अनुलग्नक बिंदु को स्थानांतरित नहीं किया जा सकता. रॉड काज अक्ष के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। ऐसे समर्थन की प्रतिक्रिया काज अक्ष से होकर गुजरती है, लेकिन

अभिसरण बलों की समतल प्रणाली
बलों की एक प्रणाली जिसकी क्रिया रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, अभिसारी कहलाती हैं (चित्र 2.1)।

अभिसरण शक्तियों का परिणाम
दो प्रतिच्छेदी बलों का परिणाम एक समांतर चतुर्भुज या बलों के त्रिकोण (चौथा अभिगृहीत) (विज़. 2.2) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

अभिसरण बलों की एक समतल प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति
जब बलों की प्रणाली संतुलन में होती है, तो परिणाम शून्य के बराबर होना चाहिए, इसलिए, एक ज्यामितीय निर्माण में, अंतिम वेक्टर का अंत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाना चाहिए; अगर

ज्यामितीय विधि का उपयोग करके संतुलन समस्याओं को हल करना
यदि सिस्टम में तीन बल हैं तो ज्यामितीय विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। संतुलन की समस्याओं को हल करते समय शरीर को बिल्कुल ठोस (ठोस) मानें। समस्याओं के समाधान की प्रक्रिया:

समाधान
1. बन्धन छड़ों में उत्पन्न होने वाले बल उन बलों के परिमाण के बराबर होते हैं जिनके साथ छड़ें भार का समर्थन करती हैं (स्थिरता का 5 वां सिद्धांत) (चित्र 2.5 ए)। हम इसके कारण होने वाली प्रतिक्रियाओं की संभावित दिशाएँ निर्धारित करते हैं

अक्ष पर बल का प्रक्षेपण
अक्ष पर बल का प्रक्षेपण अक्ष के खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो वेक्टर की शुरुआत और अंत से अक्ष पर उतारे गए लंबवत द्वारा काटा जाता है (चित्र 3.1)।

विश्लेषणात्मक तरीके से ताकत
परिणामी का परिमाण बलों की प्रणाली के सदिशों के सदिश (ज्यामितीय) योग के बराबर है। हम परिणामी को ज्यामितीय रूप से निर्धारित करते हैं। आइए एक समन्वय प्रणाली चुनें, सभी कार्यों के अनुमान निर्धारित करें

बलों को विश्लेषणात्मक रूप में एकत्रित करना
इस तथ्य के आधार पर कि परिणाम शून्य है, हम प्राप्त करते हैं: स्थिति

एक बिंदु के बारे में बल का क्षण
एक बल जो शरीर के लगाव बिंदु से नहीं गुजरता है, वह बिंदु के सापेक्ष शरीर के घूमने का कारण बनता है, इसलिए शरीर पर ऐसे बल के प्रभाव का अनुमान एक क्षण के रूप में लगाया जाता है। बल का क्षण सापेक्ष.

बलों के समानांतर स्थानांतरण पर पॉइंसॉट का प्रमेय
एक बल को उसकी क्रिया की रेखा के समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है, इस मामले में, बल के मापांक के उत्पाद और जिस दूरी पर बल स्थानांतरित होता है, उसके बराबर क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी जोड़ना आवश्यक है।

वितरित बल
बलों की एक मनमानी प्रणाली की कार्रवाई की रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, इसलिए, शरीर की स्थिति का आकलन करने के लिए, ऐसी प्रणाली को सरल बनाया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, सिस्टम की सभी ताकतों को मनमाने ढंग से एक में स्थानांतरित कर दिया जाता है

संदर्भ बिंदु का प्रभाव
संदर्भ बिंदु मनमाने ढंग से चुना जाता है। जब संदर्भ बिंदु की स्थिति बदलती है, तो मुख्य वेक्टर का मान नहीं बदलेगा। कमी बिंदु को स्थानांतरित करने पर मुख्य क्षण का परिमाण बदल जाएगा,

समतल बल प्रणाली
1. संतुलन पर, सिस्टम का मुख्य वेक्टर शून्य है। मुख्य वेक्टर का विश्लेषणात्मक निर्धारण निष्कर्ष की ओर ले जाता है:

भार के प्रकार
आवेदन की विधि के अनुसार, भार को संकेंद्रित और वितरित में विभाजित किया जाता है। यदि वास्तविक भार स्थानांतरण नगण्य रूप से छोटे क्षेत्र (एक बिंदु पर) पर होता है, तो भार को संकेंद्रित कहा जाता है

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण
अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण, अक्ष के लंबवत समतल पर बल के प्रक्षेपण के क्षण के बराबर होता है, जो समतल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष होता है (चित्र 7.1 ए)। राँभना

अंतरिक्ष में वेक्टर
अंतरिक्ष में, बल वेक्टर को तीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपित किया जाता है। वेक्टर के प्रक्षेपण एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के किनारों का निर्माण करते हैं, बल वेक्टर विकर्ण के साथ मेल खाता है (चित्र 7.2)

बलों की स्थानिक अभिसरण प्रणाली
बलों की एक स्थानिक अभिसरण प्रणाली उन बलों की एक प्रणाली है जो एक ही तल में नहीं होती हैं, जिनकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। स्थानिक प्रणाली का परिणाम

बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली को केंद्र O पर लाना
बलों की एक स्थानिक प्रणाली दी गई है (चित्र 7.5ए)। आइए इसे केंद्र O पर लाएं। बलों को समानांतर में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, और बलों के जोड़े की एक प्रणाली बनती है। इनमें से प्रत्येक जोड़े का आघूर्ण बराबर है

सजातीय सपाट पिंडों का गुरुत्वाकर्षण केंद्र
(सपाट आंकड़े) अक्सर विभिन्न के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करना आवश्यक होता है सपाट शरीरऔर जटिल आकार की ज्यामितीय सपाट आकृतियाँ। सपाट पिंडों के लिए हम लिख सकते हैं: V =

समतल आकृतियों के गुरुत्व केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात करना
टिप्पणी। एक सममित आकृति का गुरुत्व केंद्र समरूपता के अक्ष पर होता है। छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र ऊंचाई के मध्य में होता है। सरल के गुरुत्वाकर्षण के केन्द्रों की स्थिति ज्यामितीय आकारकर सकना

एक बिंदु की गतिकी
स्थान, समय, प्रक्षेप पथ, पथ, गति और त्वरण का अंदाज़ा रखें। किसी बिंदु की गति (प्राकृतिक और समन्वय) को निर्दिष्ट करने का तरीका जानें। पदनाम जानिए

तय की गई दूरी
पथ को यात्रा की दिशा में प्रक्षेप पथ के साथ मापा जाता है। पदनाम - एस, माप की इकाइयाँ - मीटर। किसी बिंदु की गति का समीकरण: समीकरण परिभाषित करना

यात्रा की गति
वेक्टर मात्रा में विशेषता इस पलप्रक्षेप पथ पर गति की गति और दिशा को गति कहा जाता है। वेग किसी भी क्षण की ओर निर्देशित एक वेक्टर है

बिंदु त्वरण
एक वेक्टर मात्रा जो परिमाण और दिशा में गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, एक बिंदु का त्वरण कहलाती है। बिंदु M1 से आगे बढ़ने पर बिंदु की गति

एकसमान आंदोलन
एकसमान गति एक स्थिर गति पर गति है: v = स्थिरांक। सीधीरेखीय एकसमान गति के लिए (चित्र 10.1 ए)

समान रूप से वैकल्पिक गति
समान रूप से परिवर्तनशील गति निरंतर स्पर्शरेखा त्वरण के साथ गति है: at = स्थिरांक। सीधीरेखीय एकसमान गति के लिए

आगे बढ़ना
ट्रांसलेशनल एक कठोर पिंड की गति है जिसमें गति के दौरान शरीर पर कोई भी सीधी रेखा अपनी प्रारंभिक स्थिति के समानांतर रहती है (चित्र 11.1, 11.2)। पर

घूर्णी गति
घूर्णी गति के दौरान, शरीर के सभी बिंदु एक सामान्य निश्चित अक्ष के चारों ओर वृत्त का वर्णन करते हैं। वह स्थिर अक्ष जिसके चारों ओर पिंड के सभी बिंदु घूमते हैं, घूर्णन अक्ष कहलाती है।

घूर्णी गति के विशेष मामले
एकसमान घूर्णन ( कोणीय वेगस्थिरांक): ω =स्थिरांक में एकसमान घूर्णन का समीकरण (नियम)। इस मामले मेंइसका रूप है:

घूमते हुए पिंड के बिंदुओं का वेग और त्वरण
पिंड बिंदु O के चारों ओर घूमता है। आइए हम बिंदु A की गति के मापदंडों को निर्धारित करें, जो घूर्णन अक्ष से RA की दूरी पर स्थित है (चित्र 11.6, 11.7)। पथ

समाधान
1. धारा 1 - असमान त्वरित गति, ω = φ'; ε = ω' 2. धारा 2 - गति स्थिर है - एक समान गति, . ω = स्थिरांक 3.

बुनियादी परिभाषाएँ
एक जटिल आंदोलन एक ऐसा आंदोलन है जिसे कई सरल लोगों में विभाजित किया जा सकता है। सरल आंदोलनों को अनुवादात्मक और घूर्णी माना जाता है। बिंदुओं की जटिल गति पर विचार करना

किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति
किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर, या समतल गति को इस प्रकार कहा जाता है कि पिंड के सभी बिंदु विचाराधीन संदर्भ प्रणाली में किसी निश्चित बिंदु के समानांतर चलते हैं

अनुवादात्मक और घूर्णी
समतल-समानांतर गति को दो गतियों में विघटित किया जाता है: एक निश्चित ध्रुव के साथ अनुवादात्मक और इस ध्रुव के सापेक्ष घूर्णी। निर्धारण के लिए अपघटन का उपयोग किया जाता है

स्पीड सेंटर
शरीर पर किसी भी बिंदु की गति वेगों के तात्कालिक केंद्र का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है। इस मामले में, जटिल गति को विभिन्न केंद्रों के चारों ओर घूमने की श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है। काम

गतिकी के अभिगृहीत
गतिकी के नियम अनेक प्रयोगों और अवलोकनों के परिणामों को सामान्यीकृत करते हैं। गतिकी के नियम, जिन्हें आमतौर पर स्वयंसिद्ध माना जाता है, न्यूटन द्वारा तैयार किए गए थे, लेकिन पहला और चौथा नियम भी थे

घर्षण की अवधारणा. घर्षण के प्रकार
घर्षण वह प्रतिरोध है जो तब होता है जब एक खुरदरा पिंड दूसरे की सतह पर चलता है। जब पिंड फिसलते हैं, तो फिसलने वाला घर्षण होता है, और जब वे लुढ़कते हैं, तो लुढ़कने वाला घर्षण होता है। प्रकृति का सहारा

रोलिंग घर्षण
रोलिंग प्रतिरोध मिट्टी और पहिये के पारस्परिक विरूपण से जुड़ा होता है और फिसलने वाले घर्षण से काफी कम होता है। आमतौर पर मिट्टी को पहिये की तुलना में नरम माना जाता है, फिर मिट्टी मुख्य रूप से विकृत होती है, और

निःशुल्क और गैर-मुक्त अंक
एक भौतिक बिंदु जिसकी अंतरिक्ष में गति किसी भी कनेक्शन द्वारा सीमित नहीं है, मुक्त कहलाता है। समस्याओं को गतिशीलता के मूल नियम का उपयोग करके हल किया जाता है। फिर सामग्री

जड़ता बल
जड़ता किसी की स्थिति को अपरिवर्तित बनाए रखने की क्षमता है; यह सभी भौतिक निकायों की आंतरिक संपत्ति है। जड़त्व बल वह बल है जो पिंडों के त्वरण या ब्रेकिंग के दौरान उत्पन्न होता है

समाधान
सक्रिय बल: प्रेरक शक्ति, घर्षण बल, गुरुत्वाकर्षण बल। समर्थन आर में प्रतिक्रिया। हम त्वरण से विपरीत दिशा में जड़त्वीय बल लागू करते हैं। डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत के अनुसार, मंच पर कार्य करने वाली शक्तियों की प्रणाली

परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य
बलों की एक प्रणाली के प्रभाव में, द्रव्यमान m वाला एक बिंदु स्थिति M1 से स्थिति M 2 तक चला जाता है (चित्र 15.7)। बलों की एक प्रणाली के प्रभाव में आंदोलन के मामले में, उपयोग करें

शक्ति
कार्य के प्रदर्शन और गति को दर्शाने के लिए शक्ति की अवधारणा पेश की गई। शक्ति - समय की प्रति इकाई किया गया कार्य:

घूमने वाली शक्ति
चावल। 16.2 पिंड बिंदु M1 से बिंदु M2 तक त्रिज्या के चाप के अनुदिश गति करता है M1M2 = φr बल का कार्य

क्षमता
प्रत्येक मशीन और तंत्र, काम करते समय, हानिकारक प्रतिरोधों को दूर करने के लिए अपनी ऊर्जा का कुछ हिस्सा खर्च करता है। इस प्रकार मशीन (तंत्र) उपयोगी कार्य के अतिरिक्त अतिरिक्त कार्य भी करती है।

संवेग परिवर्तन प्रमेय
किसी भौतिक बिंदु का संवेग उस बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति mv के गुणनफल के बराबर एक वेक्टर मात्रा है। संवेग का वेक्टर मेल खाता है

गतिज ऊर्जा के परिवर्तन पर प्रमेय
ऊर्जा किसी शरीर की यांत्रिक कार्य करने की क्षमता है। यांत्रिक ऊर्जा के दो रूप हैं: स्थितिज ऊर्जा, या स्थितिगत ऊर्जा, और गतिज ऊर्जा।

भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की गतिशीलता के मूल सिद्धांत
अंतःक्रिया बलों द्वारा जुड़े भौतिक बिंदुओं के समूह को यांत्रिक प्रणाली कहा जाता है। यांत्रिकी में किसी भी भौतिक शरीर को यांत्रिक माना जाता है

घूमते हुए पिंड की गतिशीलता के लिए बुनियादी समीकरण
मान लीजिए कि एक कठोर पिंड, बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत, ओज़ अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग से घूमता है

वोल्टेज
अनुभाग विधि आपको अनुभाग में आंतरिक बल कारक का मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देती है, लेकिन वितरण कानून स्थापित करना संभव नहीं बनाती है आंतरिक बलअनुभाग द्वारा. एन की ताकत का आकलन करने के लिए

आंतरिक बल कारक, तनाव। आरेखों का निर्माण
क्रॉस सेक्शन में अनुदैर्ध्य बलों और सामान्य तनाव का अंदाजा लगाएं। अनुदैर्ध्य बलों और सामान्य तनावों के आरेख बनाने के नियम, वितरण नियम को जानें

अनुदैर्ध्य बल
आइए हम अपनी धुरी पर बाहरी बलों से भरी हुई किरण पर विचार करें। बीम दीवार में लगा हुआ है ("फिक्सिंग") (चित्र 20.2ए)। हम बीम को लोडिंग क्षेत्रों में विभाजित करते हैं। के साथ क्षेत्र लोड हो रहा है

समतल खंडों की ज्यामितीय विशेषताएँ
के बारे में एक विचार है भौतिक बोधऔर मुख्य केंद्रीय अक्षों और मुख्य के बारे में जड़ता के अक्षीय, केन्द्रापसारक और ध्रुवीय क्षणों को निर्धारित करने की प्रक्रिया केंद्रीय क्षणजड़ता.

अनुभागीय क्षेत्र का स्थिर क्षण
आइए एक मनमाने खंड पर विचार करें (चित्र 25.1)। यदि हम अनुभाग को अनंत छोटे क्षेत्रों डीए में विभाजित करते हैं और प्रत्येक क्षेत्र को समन्वय अक्ष की दूरी से गुणा करते हैं और परिणामी को एकीकृत करते हैं

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण
किसी खंड की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण दोनों निर्देशांकों पर लिए गए प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों का योग है:

जड़ता के अक्षीय क्षण
एक ही तल में स्थित एक निश्चित यार्ड के सापेक्ष एक खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण को उनकी दूरी के वर्ग द्वारा संपूर्ण क्षेत्र पर लिए गए प्राथमिक क्षेत्रों के उत्पादों का योग कहा जाता है।

अनुभाग की जड़ता का ध्रुवीय क्षण
एक निश्चित बिंदु (ध्रुव) के सापेक्ष एक खंड की जड़ता का ध्रुवीय क्षण इस बिंदु तक उनकी दूरी के वर्ग द्वारा संपूर्ण क्षेत्र पर लिए गए प्रारंभिक क्षेत्रों के उत्पादों का योग है:

सरलतम वर्गों की जड़ता के क्षण
एक आयत की जड़ता के अक्षीय क्षण (चित्र 25.2) की सीधे कल्पना करें

किसी वृत्त का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
एक वृत्त के लिए, पहले जड़ता के ध्रुवीय क्षण की गणना करें, फिर अक्षीय की। आइए एक वृत्त की कल्पना अनंत पतले छल्लों के संग्रह के रूप में करें (चित्र 25.3)।

मरोड़ विकृति
एक गोल बीम का मरोड़ तब होता है जब इसे लंबवत विमानों में क्षणों के साथ बलों के जोड़े के साथ लोड किया जाता है लम्बवत धुरी. इस मामले में, बीम के जनरेटर मुड़े हुए हैं और एक कोण γ के माध्यम से घुमाए गए हैं,

मरोड़ के लिए परिकल्पनाएँ
1. समतल खंडों की परिकल्पना पूरी हो गई है: बीम का क्रॉस सेक्शन, समतल और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत, विरूपण के बाद समतल और अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत रहता है।

मरोड़ के दौरान आंतरिक बल कारक
मरोड़ एक लोडिंग है जिसमें बीम के क्रॉस सेक्शन में केवल एक आंतरिक बल कारक - टॉर्क दिखाई देता है। बाह्य भार भी दो हैं

टॉर्क आरेख
टॉर्क क्षण बीम की धुरी के साथ भिन्न हो सकते हैं। अनुभागों के साथ क्षणों के मूल्यों को निर्धारित करने के बाद, हम बीम की धुरी के साथ टॉर्क का एक ग्राफ बनाते हैं।

मरोड़ वाला तनाव
हम बीम की सतह पर अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ रेखाओं का एक ग्रिड बनाते हैं और चित्र के बाद सतह पर बने पैटर्न पर विचार करते हैं। 27.1ए विरूपण (चित्र 27.1ए)। जल्दी से आना

अधिकतम मरोड़ वाला तनाव
तनाव निर्धारित करने के सूत्र और मरोड़ के दौरान स्पर्शरेखा तनाव के वितरण के आरेख से, यह स्पष्ट है कि अधिकतम तनाव सतह पर होता है। आइए अधिकतम वोल्टेज निर्धारित करें

शक्ति गणना के प्रकार
ताकत की गणना दो प्रकार की होती है: 1. डिज़ाइन गणना - खतरनाक खंड में बीम (शाफ्ट) का व्यास निर्धारित किया जाता है:

कठोरता की गणना
कठोरता की गणना करते समय, विरूपण निर्धारित किया जाता है और अनुमेय के साथ तुलना की जाती है। आइए एक क्षण t के साथ बलों की बाहरी जोड़ी की कार्रवाई के तहत एक गोल बीम के विरूपण पर विचार करें (चित्र 27.4)।

बुनियादी परिभाषाएँ
झुकना एक प्रकार की लोडिंग है जिसमें एक आंतरिक बल कारक - एक झुकने वाला क्षण - बीम के क्रॉस सेक्शन में दिखाई देता है। बीम पर काम चल रहा है

झुकने के दौरान आंतरिक बल कारक
उदाहरण 1. एक किरण पर विचार करें जिस पर m और क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा कार्य किया जाता है बाहरी बलएफ (चित्र 29.3ए)। आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने के लिए, हम विधि का उपयोग करते हैं

झुकने वाले क्षण
किसी अनुभाग में एक अनुप्रस्थ बल सकारात्मक माना जाता है यदि वह इसे घुमाने की प्रवृत्ति रखता है

प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के लिए विभेदक निर्भरताएँ
झुकने वाले क्षण, कतरनी बल और एकसमान तीव्रता के बीच अंतर संबंधों का उपयोग करके कतरनी बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेखों का निर्माण बहुत सरल किया जाता है।

अनुभाग विधि का उपयोग करके परिणामी अभिव्यक्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है
विचाराधीन अनुभाग में अनुप्रस्थ बल, विचाराधीन अनुभाग तक बीम पर कार्य करने वाले सभी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है: Q = ΣFi चूँकि हम बात कर रहे हैं

वोल्टेज
आइए दाहिनी ओर दबी हुई और संकेंद्रित बल F से भरी हुई बीम के झुकने पर विचार करें (चित्र 33.1)।

एक बिंदु पर तनाव की स्थिति
एक बिंदु पर तनावग्रस्त स्थिति को सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव की विशेषता होती है जो इस बिंदु से गुजरने वाले सभी क्षेत्रों (खंडों) पर उत्पन्न होता है। आमतौर पर यह उदाहरण के लिए निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है

एक जटिल विकृत अवस्था की अवधारणा
विभिन्न दिशाओं में और एक बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न विमानों में होने वाली विकृतियों का सेट इस बिंदु पर विकृत स्थिति निर्धारित करता है। जटिल विकृति

मरोड़ के साथ झुकने के लिए एक गोल बीम की गणना
झुकने और मरोड़ (चित्र 34.3) की क्रिया के तहत एक गोल बीम की गणना के मामले में, सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव को ध्यान में रखना आवश्यक है, क्योंकि दोनों मामलों में अधिकतम तनाव मान उत्पन्न होते हैं

स्थिर एवं अस्थिर संतुलन की अवधारणा
अपेक्षाकृत छोटी और भारी छड़ें संपीड़न के लिए डिज़ाइन की गई हैं, क्योंकि वे विनाश या अवशिष्ट विकृतियों के परिणामस्वरूप विफल हो जाते हैं। एक छोटे की लंबी छड़ें क्रॉस सेक्शनदिन के नीचे

स्थिरता गणना
स्थिरता की गणना में अनुमेय संपीड़न बल और, इसकी तुलना में, अभिनय बल का निर्धारण करना शामिल है:

यूलर के सूत्र का उपयोग करके गणना
क्रांतिक बल को निर्धारित करने की समस्या को 1744 में एल. यूलर द्वारा गणितीय रूप से हल किया गया था। दोनों तरफ से जुड़ी एक छड़ के लिए (चित्र 36.2), यूलर के सूत्र का रूप है

गंभीर तनाव
क्रिटिकल स्ट्रेस, क्रिटिकल बल के अनुरूप संपीड़ित तनाव है। संपीड़न बल से तनाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यूलर के सूत्र की प्रयोज्यता की सीमाएँ
यूलर का सूत्र केवल लोचदार विरूपण की सीमा के भीतर ही मान्य है। इस प्रकार, क्रांतिक तनाव सामग्री की लोचदार सीमा से कम होना चाहिए। पिछला