बिंदु अनुमान और उसके गुण। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान

एस एक्स =(1.11)

हम आगे एक अवलोकन योग्य यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के लिए एक महत्वपूर्ण समस्या पर विचार करेंगे। चलो कुछ नमूना है (हम इसे निरूपित करेंगे)। एस) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. उपलब्ध नमूने से अनुमान लगाना आवश्यक है अज्ञात मान एमएक्सऔर ।

विभिन्न मापदंडों के अनुमान का सिद्धांत व्याप्त है गणितीय सांख्यिकीमहत्वपूर्ण स्थान. इसलिए, आइए पहले विचार करें सामान्य कार्य. मान लीजिए कि कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाना आवश्यक है एनमूने द्वारा एस. ऐसा प्रत्येक मूल्यांकन ए*कुछ कार्य है ए*=ए*(एस)नमूना मूल्यों से. नमूना मान यादृच्छिक हैं, इसलिए अनुमान स्वयं ए*एक यादृच्छिक चर है. अनेकों का निर्माण संभव है अलग-अलग अनुमान(अर्थात् कार्य) ए*, लेकिन साथ ही एक अर्थ में "अच्छा" या "सर्वश्रेष्ठ" होना भी वांछनीय है। निम्नलिखित तीन प्राकृतिक आवश्यकताएँ आमतौर पर मूल्यांकन पर लगाई जाती हैं।

1. विस्थापित.मूल्यांकन की गणितीय अपेक्षा ए*पैरामीटर के सटीक मान के बराबर होना चाहिए: एम = ए. दूसरे शब्दों में, मूल्यांकन ए*व्यवस्थित त्रुटि नहीं होनी चाहिए.

2. धन.नमूना आकार में अनंत वृद्धि के साथ, अनुमान ए*एक सटीक मान पर अभिसरण होना चाहिए, अर्थात, जैसे-जैसे अवलोकनों की संख्या बढ़ती है, अनुमान त्रुटि शून्य हो जाती है।

3. दक्षता.श्रेणी ए*इसे कुशल कहा जाता है यदि यह निष्पक्ष हो और इसमें त्रुटि भिन्नता सबसे कम हो। इस मामले में, अनुमानों का प्रसार न्यूनतम है ए*सटीक मान के सापेक्ष और अनुमान एक निश्चित अर्थ में "सबसे सटीक" है।

दुर्भाग्य से, ऐसा मूल्यांकन बनाना हमेशा संभव नहीं होता जो सभी तीन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा करता हो।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, अनुमान का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

= , (1.12)

अर्थात्, नमूने का अंकगणितीय माध्य। यदि यादृच्छिक चर एक्सपरिमित है एमएक्सऔर एस एक्स, तो अनुमान (1.12) पक्षपातपूर्ण और सुसंगत नहीं है। यह अनुमान प्रभावी है, उदाहरण के लिए, यदि एक्सइसका सामान्य वितरण है (चित्र 1.4, परिशिष्ट 1)। अन्य वितरणों के लिए यह प्रभावी नहीं हो सकता है. उदाहरण के लिए, समान वितरण के मामले में (चित्र 1.1, परिशिष्ट 1), एक निष्पक्ष, सुसंगत अनुमान होगा

(1.13)

साथ ही, सामान्य वितरण के लिए अनुमान (1.13) न तो सुसंगत होगा और न ही प्रभावी होगा, और नमूना आकार बढ़ने के साथ और भी खराब हो जाएगा।

इस प्रकार, प्रत्येक प्रकार के वितरण के लिए एक यादृच्छिक चर होता है एक्सआपको गणितीय अपेक्षा के अपने अनुमान का उपयोग करना चाहिए। हालाँकि, हमारी स्थिति में, वितरण का प्रकार केवल अस्थायी तौर पर ही जाना जा सकता है। इसलिए, हम अनुमान (1.12) का उपयोग करेंगे, जो काफी सरल है और सबसे अधिक है महत्वपूर्ण गुणनिष्पक्षता और निरंतरता.

समूहीकृत नमूने के लिए गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

= , (1.14)

जो पिछले वाले से प्राप्त किया जा सकता है, अगर हम हर चीज़ पर विचार करें एम मैंनमूना मान शामिल हैं मैं-वें अंतराल प्रतिनिधि के बराबर z मैंयह अंतराल. यह अनुमान स्वाभाविक रूप से अधिक मोटा है, लेकिन इसमें काफी कम गणना की आवश्यकता होती है, खासकर बड़े नमूना आकार के साथ।

विचरण का अनुमान लगाने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला अनुमान है:

= , (1.15)

यह अनुमान पक्षपातपूर्ण नहीं है और किसी भी यादृच्छिक चर के लिए मान्य है एक्स, जिसमें चौथे क्रम तक सीमित क्षण शामिल हैं।

समूहीकृत नमूने के मामले में, उपयोग किया गया अनुमान है:

= (1.16)

अनुमान (1.14) और (1.16), एक नियम के रूप में, पक्षपाती और अस्थिर हैं, क्योंकि उनकी गणितीय अपेक्षाएँ और वे सीमाएँ जिनसे वे अभिसरण करते हैं, भिन्न हैं एमएक्सऔर इसमें शामिल सभी नमूना मूल्यों के प्रतिस्थापन के कारण मैं-वें अंतराल, प्रति अंतराल प्रतिनिधि z मैं.

ध्यान दें कि बड़े के लिए एन,गुणक एन/(एन - 1)अभिव्यक्ति (1.15) और (1.16) में एकता के करीब है, इसलिए इसे छोड़ा जा सकता है।

अंतराल अनुमान.

होने देना सही मूल्यकुछ पैरामीटर के बराबर है एऔर इसका अनुमान पाया गया जैसा)नमूने द्वारा एस. मूल्यांकन ए*संख्यात्मक अक्ष पर एक बिंदु से मेल खाता है (चित्र 1.5), इसलिए यह अनुमान कहा जाता है बिंदु. पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए सभी अनुमान बिंदु अनुमान हैं। लगभग हमेशा, संयोगवश

ए* ¹ ए, और हम केवल यही आशा कर सकते हैं कि बात ए*कहीं आस-पास है ए. लेकिन कितना करीब? किसी भी अन्य बिंदु अनुमान में वही खामी होगी - परिणाम की विश्वसनीयता के माप की कमी।

चित्र.1.5. बिंदु पैरामीटर अनुमान.

इस संबंध में और अधिक विशिष्ट हैं अंतराल अनुमान. अंतराल स्कोर एक अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है मैं बी = (ए, बी), जिसमें किसी दी गई संभावना के साथ अनुमानित पैरामीटर का सटीक मान पाया जाता है बी. मध्यान्तर आईबीबुलाया विश्वास अंतराल, और संभावना बीबुलाया आत्मविश्वास की संभावना और माना जा सकता है मूल्यांकन की विश्वसनीयता.

विश्वास अंतराल उपलब्ध नमूने पर आधारित है एस, यह इस अर्थ में यादृच्छिक है कि इसकी सीमाएँ यादृच्छिक हैं जैसा)और बी(एस), जिसकी गणना हम एक (यादृच्छिक) नमूने से करेंगे। इसीलिए बीऐसी संभावना है कि यादृच्छिक अंतराल आईबीएक गैर-यादृच्छिक बिंदु को कवर करेगा ए. चित्र में. 1.6. मध्यान्तर आईबीमुद्दे को कवर किया ए, ए आईबी*- नहीं। इसलिए ऐसा कहना पूरी तरह से सही नहीं है ए "गिरता है" अंतराल में।

यदि आत्मविश्वास की संभावना बीबड़ा (उदाहरण के लिए, बी = 0.999), तो लगभग हमेशा सटीक मान एनिर्मित अंतराल के भीतर है.

चित्र.1.6. पैरामीटर का विश्वास अंतराल एविभिन्न नमूनों के लिए.

आइए निर्माण विधि पर विचार करें विश्वास अंतरालएक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए एक्स,पर आधारित केंद्रीय सीमा प्रमेय.

चलो यादृच्छिक चर एक्सएक अज्ञात गणितीय अपेक्षा है एमएक्सऔर ज्ञात विचरण. फिर, केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर, अंकगणितीय माध्य है:

= , (1.17)

परिणाम एन स्वतंत्र परीक्षणमात्रा एक्सएक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण बड़े पैमाने पर होता है एन, के करीब सामान्य वितरणऔसत के साथ एमएक्सऔर मानक विचलन. इसलिए यादृच्छिक चर

(1.18)

एक संभाव्यता वितरण है जिस पर विचार किया जा सकता है मानक सामान्यवितरण घनत्व के साथ जे(टी), जिसका ग्राफ चित्र 1.7 (साथ ही चित्र 1.4, परिशिष्ट 1) में दिखाया गया है।

चित्र.1.7. एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व वितरण टी.

विश्वास की संभावना दी जाए बीऔर टी बी -समीकरण को संतुष्ट करने वाली संख्या

बी = Ф 0 (टी बी) – Ф 0 (-टी बी) = 2 Ф 0 (टी बी),(1.19)

कहाँ - लाप्लास फ़ंक्शन. फिर अंतराल में गिरने की संभावना (-टी बी, टी बी)चित्र 1.7 में छायांकित के बराबर होगा। क्षेत्र, और, अभिव्यक्ति के आधार पर (1.19), के बराबर है बी. इस तरह

बी = पी(-टी बी< < t b) = P( - टी.बी< m x < + टी बी ) =

= पी( - टी.बी< m x < + टी बी ) .(1.20)

इस प्रकार, विश्वास अंतराल के रूप में हम अंतराल ले सकते हैं

मैं बी = ( – टी बी ; + टीबी ) , (1.21)

चूँकि अभिव्यक्ति (1.20) का अर्थ अज्ञात सटीक मान है एमएक्समें है आईबीकिसी निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ बी. निर्माण के लिए आईबीनिर्दिष्ट के अनुसार आवश्यक है बीखोजो टी बीसमीकरण (1.19) से. आइए कुछ मूल्य दें टी बीभविष्य में जरूरत है :

टी 0.9 = 1.645; टी 0.95 = 1.96; टी 0.99 = 2.58; टी 0.999 = 3.3.

व्यंजक (1.21) निकालते समय यह मान लिया गया कि मानक विचलन का सटीक मान ज्ञात है एस एक्स. हालाँकि, यह हमेशा ज्ञात नहीं होता है। इसलिए आइए हम उसके अनुमान (1.15) का उपयोग करें और प्राप्त करें:

मैं बी = ( – टी बी ; +टीबी). (1.22)

तदनुसार, समूहीकृत नमूने से प्राप्त अनुमान और विश्वास अंतराल के लिए निम्नलिखित सूत्र देते हैं:

मैं बी = ( – टी बी ; +टीबी). (1.23)

व्याख्यान का उद्देश्य: एक अज्ञात वितरण पैरामीटर का अनुमान लगाने की अवधारणा का परिचय देना और ऐसे अनुमानों का वर्गीकरण देना; गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बिंदु और अंतराल अनुमान प्राप्त करें।

व्यवहार में, ज्यादातर मामलों में, यादृच्छिक चर का वितरण कानून अज्ञात है, और अवलोकनों के परिणामों के अनुसार
संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षा, फैलाव या अन्य क्षण) या अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाना आवश्यक है , जो वितरण कानून (वितरण घनत्व) निर्धारित करता है
यादृच्छिक चर का अध्ययन किया जा रहा है। इस प्रकार, एक घातीय वितरण या पॉइसन वितरण के लिए, एक पैरामीटर का अनुमान लगाना पर्याप्त है, लेकिन सामान्य वितरण के लिए, दो मापदंडों का अनुमान लगाया जाना चाहिए - गणितीय अपेक्षा और विचरण।

आकलन के प्रकार

यादृच्छिक मूल्य
संभाव्यता घनत्व है
, कहाँ – अज्ञात वितरण पैरामीटर. प्रयोग के परिणामस्वरूप, इस यादृच्छिक चर के मान प्राप्त हुए:
. मूल्यांकन करने का अनिवार्य रूप से मतलब है कि एक यादृच्छिक चर का नमूना मान एक निश्चित पैरामीटर मान के साथ जुड़ा होना चाहिए , यानी अवलोकन परिणामों का कुछ फ़ंक्शन बनाएं
, जिसका मूल्य अनुमान के रूप में लिया जाता है पैरामीटर . अनुक्रमणिका किए गए प्रयोगों की संख्या को इंगित करता है।

कोई भी फ़ंक्शन जो अवलोकनों के परिणामों पर निर्भर करता है, कहलाता है आंकड़े. चूँकि प्रेक्षणों के परिणाम यादृच्छिक चर होते हैं, सांख्यिकी भी एक यादृच्छिक चर होगी। इसलिए, मूल्यांकन
अज्ञात पैरामीटर इसे एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जाना चाहिए, और इसके मूल्य की गणना मात्रा में प्रयोगात्मक डेटा से की जानी चाहिए , - इस यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों में से एक के रूप में।

वितरण मापदंडों के अनुमान (यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं) को बिंदु और अंतराल में विभाजित किया गया है। बिंदु लागतपैरामीटर एक संख्या द्वारा निर्धारित , और इसकी सटीकता अनुमान के भिन्नता द्वारा विशेषता है। अंतराल अनुमानवह स्कोर कहलाता है जो दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होता है, और - अनुमानित पैरामीटर को कवर करने वाले अंतराल के अंत किसी निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ।

बिंदु अनुमानों का वर्गीकरण

किसी अज्ञात पैरामीटर के बिंदु अनुमान के लिए
सटीकता की दृष्टि से सर्वोत्तम, यह सुसंगत, निष्पक्ष और कुशल होना चाहिए।

धनवानमूल्यांकन कहा जाता है
पैरामीटर , यदि यह अनुमानित पैरामीटर में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात।

. (8.8)

चेबीशेव की असमानता के आधार पर यह दिखाया जा सकता है पर्याप्त स्थितिसंबंध की पूर्ति (8.8) समानता है

.

संगति अनुमान की एक स्पर्शोन्मुख विशेषता है
.

निष्पक्षमूल्यांकन कहा जाता है
(व्यवस्थित त्रुटि के बिना अनुमान), जिसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर है, अर्थात।

. (8.9)

यदि समानता (8.9) संतुष्ट न हो तो अनुमान पक्षपातपूर्ण कहा जाता है। अंतर
अनुमान में पूर्वाग्रह या व्यवस्थित त्रुटि कहा जाता है। यदि समानता (8.9) केवल के लिए संतुष्ट है
, तो संबंधित अनुमान को स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले सभी अनुमानों के लिए स्थिरता लगभग अनिवार्य शर्त है (असंगत अनुमानों का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है), तो निष्पक्षता की संपत्ति केवल वांछनीय है। अक्सर उपयोग किए जाने वाले कई अनुमानों में निष्पक्ष संपत्ति नहीं होती है।

में सामान्य मामलाकुछ पैरामीटर के अनुमान की सटीकता , प्रायोगिक डेटा के आधार पर प्राप्त किया गया
, माध्य चुकता त्रुटि द्वारा विशेषता

,

जिसे फॉर्म में छोटा किया जा सकता है

,

भिन्नता कहां है,
- वर्ग अनुमान पूर्वाग्रह.

यदि अनुमान निष्पक्ष है, तो

परिमित पर माध्य वर्ग त्रुटि के आधार पर अनुमान भिन्न हो सकते हैं . स्वाभाविक रूप से, यह त्रुटि जितनी छोटी होगी, अनुमानित पैरामीटर के आसपास मूल्यांकन मान उतने ही अधिक समूहीकृत होंगे। इसलिए, यह हमेशा वांछनीय है कि अनुमान त्रुटि यथासंभव छोटी हो, यानी शर्त पूरी हो

. (8.10)

मूल्यांकन , संतोषजनक स्थिति (8.10), को न्यूनतम वर्ग त्रुटि वाला अनुमान कहा जाता है।

असरदारमूल्यांकन कहा जाता है
, जिसके लिए माध्य चुकता त्रुटि किसी अन्य अनुमान की माध्य चुकता त्रुटि से अधिक नहीं है, अर्थात।

कहाँ - कोई अन्य पैरामीटर अनुमान .

यह ज्ञात है कि एक पैरामीटर के किसी भी निष्पक्ष अनुमान का विचरण क्रैमर-राव असमानता को संतुष्ट करता है

,

कहाँ
- पैरामीटर के वास्तविक मान पर यादृच्छिक चर के प्राप्त मूल्यों का सशर्त संभाव्यता घनत्व वितरण .

इस प्रकार, निष्पक्ष अनुमान
, जिसके लिए क्रैमर-राव असमानता समानता बन जाती है, प्रभावी होगी, यानी, ऐसे अनुमान में न्यूनतम भिन्नता होती है।

अपेक्षा और विचरण का बिंदु अनुमान

यदि एक यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है
, जिसकी गणितीय अपेक्षा है और विचरण , तो ये दोनों पैरामीटर अज्ञात माने जाते हैं। इसलिए, एक यादृच्छिक चर पर
उत्पादन स्वतंत्र प्रयोग जो परिणाम देते हैं:
. अज्ञात मापदंडों के सुसंगत और निष्पक्ष अनुमान लगाना आवश्यक है और .

जैसा अनुमान है और आमतौर पर सांख्यिकीय (नमूना) माध्य और सांख्यिकीय (नमूना) विचरण क्रमशः चुना जाता है:

; (8.11)

. (8.12)

गणितीय अपेक्षा का अनुमान (8.11) बड़ी संख्या के नियम (चेबीशेव प्रमेय) के अनुसार सुसंगत है:

.

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा

.

इसलिए, अनुमान निष्पक्ष है.

गणितीय अपेक्षा अनुमान का फैलाव:

यदि यादृच्छिक चर
सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, फिर अनुमान प्रभावी भी है.

विचरण अनुमान की अपेक्षा

एक ही समय में

.

क्योंकि
, ए
, तो हमें मिलता है

. (8.13)

इस प्रकार,
- एक पक्षपातपूर्ण मूल्यांकन, हालांकि यह सुसंगत और प्रभावी है।

सूत्र (8.13) से यह निष्कर्ष निकलता है कि निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करना है
नमूना विचरण (8.12) को निम्नानुसार संशोधित किया जाना चाहिए:

जिसे अनुमान (8.12) की तुलना में "बेहतर" माना जाता है, हालाँकि बड़े पैमाने पर ये अनुमान लगभग एक दूसरे के बराबर हैं।

वितरण मापदंडों का अनुमान प्राप्त करने की विधियाँ

अक्सर व्यवहार में, यह उस भौतिक तंत्र के विश्लेषण पर आधारित होता है जो यादृच्छिक चर उत्पन्न करता है
, हम इस यादृच्छिक चर के वितरण कानून के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। हालाँकि, इस वितरण के पैरामीटर अज्ञात हैं और प्रयोगात्मक परिणामों से अनुमान लगाया जाना चाहिए, आमतौर पर एक सीमित नमूने के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
. इस समस्या को हल करने के लिए, दो विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: क्षणों की विधि और अधिकतम संभावना विधि।

क्षणों की विधि. इस विधि में सैद्धांतिक क्षणों को समान क्रम के संगत अनुभवजन्य क्षणों के साथ बराबर करना शामिल है।

अनुभवजन्य प्रारंभिक बिंदु -वां क्रम सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

और संबंधित सैद्धांतिक प्रारंभिक क्षण -वां क्रम - सूत्र:

असतत यादृच्छिक चर के लिए,

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए,

कहाँ - अनुमानित वितरण पैरामीटर।

दो अज्ञात मापदंडों वाले वितरण के मापदंडों का अनुमान प्राप्त करना और , दो समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की गई है

कहाँ और - दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षण।

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अनुमान है और अज्ञात वितरण पैरामीटर और .

पहले क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य प्रारंभिक क्षणों की बराबरी करते हुए, हम एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाकर इसे प्राप्त करते हैं
, एक मनमाना वितरण होने पर, नमूना माध्य होगा, अर्थात।
. फिर, दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षणों की बराबरी करते हुए, हम पाते हैं कि यादृच्छिक चर के विचरण का अनुमान
, जिसका मनमाना वितरण होता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इसी प्रकार, कोई भी किसी भी क्रम के सैद्धांतिक क्षणों का अनुमान पा सकता है।

क्षणों की विधि सरल है और इसमें जटिल गणनाओं की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन इस विधि द्वारा प्राप्त अनुमान अक्सर अप्रभावी होते हैं।

अधिकतम संभावना विधि. अज्ञात वितरण मापदंडों के बिंदु अनुमान की अधिकतम संभावना विधि एक या अधिक अनुमानित मापदंडों के अधिकतम कार्य को खोजने के लिए नीचे आती है।

होने देना
एक सतत यादृच्छिक चर है, जिसके परिणामस्वरूप परीक्षणों ने मान लिया
. किसी अज्ञात पैरामीटर का अनुमान प्राप्त करने के लिए ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक है , जिस पर परिणामी नमूने को लागू करने की संभावना अधिकतम होगी। क्योंकि
समान संभाव्यता घनत्व के साथ परस्पर स्वतंत्र मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं
, वह संभाव्यता समारोहतर्क फ़ंक्शन को कॉल करें :

पैरामीटर की अधिकतम संभावना अनुमान द्वारा इस मान को कहा जाता है , जिस पर संभाव्यता फलन अधिकतम तक पहुँच जाता है, अर्थात, समीकरण का एक समाधान है

,

जो स्पष्ट रूप से परीक्षण परिणामों पर निर्भर करता है
.

कार्यों के बाद से
और
समान मूल्यों पर अधिकतम तक पहुँचें
, फिर गणनाओं को सरल बनाने के लिए वे अक्सर लॉगरिदमिक संभावना फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं और संबंधित समीकरण की जड़ की तलाश करते हैं

,

जिसे कहा जाता है संभाव्यता समीकरण.

यदि आपको कई मापदंडों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है
वितरण
, तो संभावना फ़ंक्शन इन मापदंडों पर निर्भर करेगा। अनुमान खोजने के लिए
सिस्टम को हल करने के लिए वितरण पैरामीटर आवश्यक है संभाव्यता समीकरण

.

अधिकतम संभावना विधि सुसंगत और असममित रूप से कुशल अनुमान प्रदान करती है। हालाँकि, अधिकतम संभावना विधि द्वारा प्राप्त अनुमान पक्षपाती होते हैं, और, इसके अलावा, अनुमान खोजने के लिए, समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना अक्सर आवश्यक होता है।

अंतराल पैरामीटर अनुमान

बिंदु अनुमानों की सटीकता उनके विचरण द्वारा विशेषता है। हालाँकि, इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि प्राप्त अनुमान मापदंडों के वास्तविक मूल्यों के कितने करीब हैं। कई कार्यों में, आपको न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता है उपयुक्त संख्यात्मक मान, बल्कि इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का मूल्यांकन भी करना। आपको यह पता लगाना होगा कि किसी पैरामीटर को बदलने से कौन सी त्रुटियाँ हो सकती हैं इसका बिंदु अनुमान और हमें किस हद तक विश्वास के साथ यह उम्मीद करनी चाहिए कि ये त्रुटियाँ ज्ञात सीमाओं से अधिक नहीं होंगी।

ऐसे कार्य विशेष रूप से प्रासंगिक होते हैं जब प्रयोगों की संख्या कम होती है। , जब बिंदु अनुमान काफी हद तक यादृच्छिक और अनुमानित प्रतिस्थापन पर महत्वपूर्ण त्रुटियाँ हो सकती हैं।

अधिक पूर्ण और विश्वसनीय तरीकावितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने में एक बिंदु मान निर्धारित करना शामिल नहीं है, बल्कि एक अंतराल है, जो किसी दी गई संभावना के साथ, अनुमानित पैरामीटर के सही मूल्य को कवर करता है।

नतीजों के मुताबिक चलो प्रयोगों से एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त हुआ
पैरामीटर . संभावित त्रुटि का मूल्यांकन करना आवश्यक है. कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी संभावना का चयन किया गया है
(उदाहरण के लिए), जैसे कि इस संभावना वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से एक निश्चित घटना माना जा सकता है, और ऐसा मान पाया जाता है , जिसके लिए

. (8.15)

इस मामले में, प्रतिस्थापन के दौरान होने वाली त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा पर , इच्छा
, और बड़े वाले निरपेक्ष मूल्यत्रुटियाँ केवल कम संभावना के साथ दिखाई देंगी .

अभिव्यक्ति (8.15) का अर्थ है कि संभाव्यता के साथ
अज्ञात पैरामीटर मान अंतराल में पड़ता है

. (8.16)

संभावना
बुलाया आत्मविश्वास की संभावना, और अंतराल , संभाव्यता के साथ कवर करना पैरामीटर का सही मान कहा जाता है विश्वास अंतराल. ध्यान दें कि यह कहना गलत है कि पैरामीटर मान संभाव्यता के साथ विश्वास अंतराल के भीतर है . प्रयुक्त सूत्रीकरण (कवर) का अर्थ है कि यद्यपि अनुमानित पैरामीटर अज्ञात है, इसका एक स्थिर मूल्य है और इसलिए इसका कोई प्रसार नहीं है क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर नहीं है।

अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

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गणितीय अपेक्षा परिभाषा है

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता। आमतौर पर इसे यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन और निरंतर और समय लेने वाली प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह है महत्वपूर्णजोखिमों का आकलन करते समय, वित्तीय बाजारों पर व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करते समय, जुए के सिद्धांत में रणनीतियों और गेमिंग रणनीति के तरीकों के विकास में इसका उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य, एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण को संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का एक माप। एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा एक्सद्वारा चिह्नित एम(एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मानों का एक भारित औसत जो एक यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग।

गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि ऐसे निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, प्रत्येक दांव पर एक खिलाड़ी औसतन कितनी जीत हासिल कर सकता है या कितना हार सकता है। जुए की भाषा में, इसे कभी-कभी "खिलाड़ी की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "घर की बढ़त" (यदि यह खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा किया जाता है, हानि की संभावना को औसत हानि से गुणा किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गणितीय सिद्धांत

यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक इसकी गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। आइए यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव के सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मान के लिए परिभाषित फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का संयुक्त वितरण कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और, संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "गणितीय अपेक्षा" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और यह "जीत के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से आया है, जो पहली बार 17वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिस्टियान के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। ह्यूजेन्स। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन पाफ़नुटी लावोविच चेबीशेव (19वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक चर का वितरण कानून (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और संभावित विचलनउससे) पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका हैं।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका मान किसी यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभावित मान से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणितीय अपेक्षा सरल है भौतिक अर्थ: यदि आप एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखते हैं, तो कुछ बिंदुओं पर कुछ द्रव्यमान रखते हैं (के लिए)। पृथक वितरण), या इसे एक निश्चित घनत्व (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) के साथ "स्मियरिंग" करें, तो गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु रेखा के "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" का समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मान एक निश्चित संख्या है जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे लगभग अनुमानित गणनाओं में प्रतिस्थापित करता है। जब हम कहते हैं: "औसत लैंप परिचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है," हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं जो इसके स्थान का वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर, अर्थात "स्थिति विशेषताएँ"।

संभाव्यता सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं से महत्वपूर्ण भूमिकाएक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को निभाता है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मान भी कहा जाता है।

यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, संभावित मान होना X1, x2, …, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पी.एन. हमें एक्स-अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्या के साथ चिह्नित करने की आवश्यकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है क्सी, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मान की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के औसत की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करते हैं एम |एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा - पर विचार किया। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

इसका उत्पादन होने दीजिए एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। चलिए मान लेते हैं कि मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ क्सीकई बार दिखाई दिया। आइए मान X के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करते हैं एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या बढ़ती जा रही है एनआवृत्तियों अनुकरणीयसंगत संभावनाओं तक पहुँचेगा (संभावना में अभिसरण)। नतीजतन, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभावना में अभिसरण)। ऊपर दिए गए अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के नियम के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के अवलोकनों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। कम संख्या में प्रयोगों के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग गैर-यादृच्छिक" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों पर औसत की स्थिरता को प्रयोगात्मक रूप से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब किसी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक तराजू पर तौला जाता है, तो तौलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मूल्य प्राप्त होता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम से कम प्रतिक्रिया करता है और, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, व्यावहारिक रूप से बदलना बंद हो जाता है।

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएक यादृच्छिक चर की स्थिति - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन होता है। हालाँकि, ऐसे मामले अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, जिन यादृच्छिक चरों से हम निपटते हैं उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, गणितीय अपेक्षा होती है।

यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा - व्यवहार में, स्थिति की अन्य विशेषताओं का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका।

किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है। शब्द "अतिसंभावित मूल्य" सख्ती से कहें तो केवल असंतुलित मात्राओं पर लागू होता है; के लिए निरंतर मूल्यमोड वह मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "मल्टीमॉडल" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें अधिकतम के बजाय मध्य में न्यूनतम होता है। ऐसे वितरणों को "एंटी-मॉडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल है (यानी एक मोड है) और गणितीय अपेक्षा है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

एक अन्य स्थिति विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है।

सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य गणितीय अपेक्षा और मोड के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है - एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

अनंत गणितीय अपेक्षा वाले यादृच्छिक चर की अवधारणा को प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। एक विशिष्ट उदाहरणकुछ यादृच्छिक यात्राओं में वापसी के समय के रूप में कार्य करें।

गणितीय अपेक्षा की सहायता से अनेक संख्यात्मक एवं कार्यात्मक विशेषताएँवितरण (एक यादृच्छिक चर से संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से फैलाव, सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की एक विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका यांत्रिकी में स्थैतिक क्षण की भूमिका के समान है - द्रव्यमान वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिनकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है जो कि यह और संबंधित बिखरने वाली विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है। गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा पूरी तरह से प्रकट होता है।

एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासा फेंकने पर अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकती है)। अक्सर व्यवहार में, ऐसे मूल्य के लिए, सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य होता है? प्रत्येक जोखिम भरे लेनदेन से हमारी औसत आय (या हानि) क्या होगी?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार, नियमित रूप से भाग लेना भी)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट विजेता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। असीम रूप से बड़ी संख्या में भागीदारी के साथ, यही होता है। तीन चौथाई मामलों में हम हारेंगे, हर तीन नुकसान पर 300 रूबल का खर्च आएगा। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार घटा लागत), यानी, चार भागीदारी के लिए हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर 25 रूबल प्रति टिकट होगी।

हम फेंकते हैं पासा. यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो एक समय में हमारे पास औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम केवल अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूँकि यह औसत है, इसलिए इस बात से नाराज़ होने की कोई ज़रूरत नहीं है कि कोई भी विशिष्ट रोल 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में ऐसी संख्या वाला कोई फलक नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

आइए अभी दिए गए चित्र को देखें। बायीं ओर यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। मान X n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिखाया गया है)। इसका कोई और अर्थ नहीं हो सकता. प्रत्येक के अंतर्गत संभव अर्थइसकी प्रायिकता नीचे लिखी गयी है. दाईं ओर सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मान का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मान इसी गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होगा।

चलिए फिर से उसी प्लेइंग क्यूब पर लौटते हैं। फेंकते समय अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना स्वयं करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। परिणाम 4 और 6 थे। औसत 5 था, जो 3.5 से बहुत दूर है। उन्होंने इसे एक बार और फेंका, उन्हें 3 मिला, यानी औसतन (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... गणितीय अपेक्षा से कुछ दूर। अब एक अनोखा प्रयोग करें - घन को 1000 बार घुमाएँ! और भले ही औसत बिल्कुल 3.5 न भी हो, यह उसके करीब ही होगा।

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। प्लेट इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है:

दूसरी बात यह है कि यदि अधिक विकल्प होते तो इसे बिना किसी सूत्र के "उंगलियों पर" करना मुश्किल होता। ठीक है, मान लीजिए कि 75% हारने वाले टिकट होंगे, 20% जीतने वाले टिकट होंगे और 5% विशेष रूप से जीतने वाले होंगे।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

यह साबित करना आसान है:

स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के संकेत के रूप में निकाला जा सकता है, अर्थात:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

माना कि X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तब:

यह सिद्ध करना भी आसान है) कार्य XYस्वयं एक यादृच्छिक चर है, और यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एमतदनुसार मान XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं कई गुना बढ़ जाती हैं। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभावना घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह अनिवार्य रूप से उस स्थिति को दर्शाता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, और कुछ कम बार लेता है। उदाहरण के लिए, इस ग्राफ़ पर विचार करें:

यहाँ एक्स- वास्तविक यादृच्छिक चर, एफ(एक्स)- वितरण घनत्व. इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान मूल्य एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी. संभावनाएँ पार हो गई हैं 3 या छोटा हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक.

उदाहरण के लिए, एक समान वितरण हो:

यह सहज समझ के साथ काफी सुसंगत है। अगर हम पहुंच जाएं तो मान लीजिए वर्दी वितरणकई यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ, प्रत्येक एक खंड से |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, यहां भी लागू होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के बीच संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटनाओं की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। भिन्नता संकेतकों का अक्सर कोई स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और इनका उपयोग आगे के डेटा विश्लेषण के लिए किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता को दर्शाता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

अधिकांश महत्वपूर्ण सूचक, एक यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता की विशेषता है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से सबसे निकट और सीधे संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। औसत रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी माध्य मान के आसपास डेटा के प्रसार की सीमा को दर्शाता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। इससे पता चलता है कि विचरण विचलनों का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच का अंतर लिया जाता है, वर्ग किया जाता है, जोड़ा जाता है, और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मूल्य और औसत के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे वर्गित किया जाता है ताकि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्याएं बन जाएं और उन्हें जोड़ते समय सकारात्मक और नकारात्मक विचलनों के पारस्परिक विनाश से बचा जा सके। फिर, वर्ग विचलनों को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन. विचलनों का वर्ग किया जाता है और औसत की गणना की जाती है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर केवल तीन शब्दों में है।

हालाँकि, में शुद्ध फ़ॉर्म, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, विचरण का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। इसमें माप की कोई सामान्य इकाई भी नहीं है. सूत्र के आधार पर, यह मूल डेटा की माप की इकाई का वर्ग है।

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस बार मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। औसत मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को बड़ी संख्या में पलटेंगे। प्रत्येक फेंके गए पासे पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकती है। सभी पासे फेंकने के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य भी एक यादृच्छिक चर है, लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या - गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होता है एमएक्स. में इस मामले मेंएमएक्स = 3.5.

आपको यह मूल्य कैसे मिला? भीतर आएं एनपरीक्षण एन 1एक बार जब आपको 1 अंक मिल जाए, एन 2एक बार - 2 अंक वगैरह। फिर उन परिणामों की संख्या जिनमें एक अंक गिरा:

इसी प्रकार परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक रोल किए जाते हैं।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x संभावनाओं p1, p2, ..., के साथ x1, x2, ..., xk मान ले सकता है। पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx इसके बराबर है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। तो, औसत का अनुमान लगाने के लिए वेतनमाध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात्, ऐसा मान कि माध्यिका से कम और अधिक वेतन पाने वाले लोगों की संख्या मेल खाती हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम होगा, और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से अधिक होगा, समान हैं और 1/2 के बराबर हैं। सभी वितरणों के लिए माध्यिका विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जाती है।

मानक या मानक विचलनसांख्यिकी में, औसत मूल्य से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। s या s अक्षरों से दर्शाया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा क्लस्टर माध्य के आसपास हैं, जबकि एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे दूर स्थित है। मानक विचलनके बराबर होती है वर्गमूलमात्रा को फैलाव कहा जाता है। यह प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है जो औसत मूल्य से विचलित होता है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। किसी लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, यादृच्छिक चर के फैलाव और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- जनसंख्या की इकाइयों के बीच किसी विशेषता के मूल्य में उतार-चढ़ाव, परिवर्तनशीलता। अलग संख्यात्मक मानअध्ययन की जा रही जनसंख्या में पाई जाने वाली विशेषताओं को अर्थ के प्रकार कहा जाता है। के लिए अपर्याप्त औसत मूल्य पूर्ण विशेषताएँजनसंख्या हमें औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करने के लिए मजबूर करती है जो हमें अध्ययन की जा रही विशेषता की परिवर्तनशीलता (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करने की अनुमति देती है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भिन्नता की सीमा(आर) अध्ययन की जा रही आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। यह सूचक सबसे अधिक देता है सामान्य विचारअध्ययन की गई विशेषता की परिवर्तनशीलता के बारे में, क्योंकि यह केवल विकल्पों के सीमित मूल्यों के बीच अंतर दिखाता है। किसी विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता के दायरे को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र प्रदान करती है।

औसत रैखिक विचलनविश्लेषण की गई जनसंख्या के सभी मूल्यों के उनके औसत मूल्य से पूर्ण (मॉड्यूलो) विचलन के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा हैकिसी जुआरी द्वारा दिए गए दांव पर जीतने या हारने की औसत राशि। यह खिलाड़ी के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि यह अधिकांश गेमिंग स्थितियों के मूल्यांकन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और गेमिंग स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी इष्टतम उपकरण है।

मान लीजिए कि आप किसी मित्र के साथ सिक्के का खेल खेल रहे हैं और हर बार समान रूप से $1 का दांव लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी आए। टेल्स का मतलब है कि आप जीत गए, हेड्स का मतलब है कि आप हार गए। संभावनाएँ एक-से-एक हैं कि यह सिर पर आएगा, इसलिए आप $1 से $1 तक का दांव लगाएं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय दृष्टिकोण से, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो थ्रो के बाद नेतृत्व करेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है. प्रति घंटे की जीत वह रकम है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक सिक्के को एक घंटे में 500 बार उछाल सकते हैं, लेकिन आप जीतेंगे या हारेंगे नहीं क्योंकि... आपकी संभावनाएँ न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। अगर देखा जाए तो एक गंभीर खिलाड़ी के नजरिए से यह सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह महज़ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम पर आपके $1 के बदले $2 का दांव लगाना चाहता है। तब आपको तुरंत प्रत्येक दांव से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद हो जाती है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक शर्त जीतते हैं और दूसरी हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और आप $1 खो देंगे, दूसरे पर दांव लगाएं और आप $2 जीत जाएंगे। आप दो बार $1 का दांव लगाते हैं और $1 से आगे रहते हैं। तो आपके प्रत्येक एक-डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।

यदि एक सिक्का एक घंटे में 500 बार दिखाई देता है, तो आपकी प्रति घंटा जीत पहले से ही $250 होगी, क्योंकि... औसतन, आपने 250 बार एक डॉलर खोया और 250 बार दो डॉलर जीते। $500 घटा $250 बराबर $250, जो कुल जीत है। कृपया ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो आपके द्वारा प्रति दांव जीतने वाली औसत राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर का दांव लगाकर 250 डॉलर जीते, जो प्रति दांव 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 का दांव लगाने का फैसला किया है, वह आपको लगातार पहले दस रोल में हरा सकता है, लेकिन 2 से 1 सट्टेबाजी का लाभ होने पर, अन्य सभी चीजें बराबर होने पर, आप किसी भी $1 के दांव पर 50 सेंट अर्जित करेंगे। परिस्थितियाँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक दांव जीतते हैं या हारते हैं या कई दांव, जब तक आपके पास आराम से लागतों को कवर करने के लिए पर्याप्त नकदी है। अगर आप इसी तरह सट्टा लगाते रहेंगे तो एक लंबी अवधिसमय के साथ, आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग के करीब पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभदायक हो सकता है), जब हालात आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ न कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे हारें या नहीं। दिया गया हाथ. इसके विपरीत, यदि आप अंडरडॉग दांव (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभहीन है) लगाते हैं, जब परिस्थितियां आपके खिलाफ होती हैं, तो आप कुछ हारते हैं, भले ही आप जीतें या हार जाएं।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, और यदि संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। जब आप सबसे खराब परिणाम वाला दांव लगाते हैं, तो आपकी नकारात्मक अपेक्षा होती है, जो तब होता है जब परिस्थितियां आपके विरुद्ध होती हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सर्वोत्तम परिणाम पर दांव लगाते हैं; यदि सबसे खराब होता है, तो वे दांव लगा देते हैं। आपके पक्ष में संभावनाओं का क्या मतलब है? हो सकता है कि आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल करें। लैंडिंग हेड की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन संभावना अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में, हालात आपके पक्ष में हैं। प्रति दांव 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सर्वोत्तम परिणाम मिलेगा।

यहां गणितीय अपेक्षा का एक अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। एक मित्र एक से पाँच तक की संख्याएँ लिखता है और आपके $1 के बदले $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या का अनुमान नहीं लगा पाएंगे। क्या आपको ऐसी शर्त के लिए सहमत होना चाहिए? यहाँ क्या अपेक्षा है?

औसतन आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 है। एक प्रयास में आपके एक डॉलर खोने की संभावना है। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो औसतन आप चार बार $1 हारेंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप प्रति दांव 20 सेंट की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो जितना दांव लगाता है उससे अधिक जीतने वाला है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है, वह जोखिम ले रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अपने मौके बर्बाद कर देता है। एक दांव लगाने वाले की या तो सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षा हो सकती है, जो इस पर निर्भर करता है कि वह जीतता है या बाधाओं को बर्बाद कर देता है।

यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $10 जीतने के लिए $50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी क्योंकि औसतन, आप चार बार $10 जीतेंगे और एक बार $50 हारेंगे, जो दर्शाता है कि प्रति दांव हानि $10 होगी। लेकिन यदि आप $10 जीतने के लिए $30 का दांव लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार बार $10 जीतते हैं और एक बार $30 खोते हैं। ये उदाहरण बताते हैं कि पहला दांव ख़राब है और दूसरा अच्छा है।

गणितीय अपेक्षा किसी भी गेमिंग स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $10 जीतने के लिए $11 का दांव लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उसे प्रत्येक $10 पर 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसीनो पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो कैसीनो की सकारात्मक उम्मीद प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 होगी, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि जो कोई भी इस लाइन पर दांव लगाता है वह औसतन 50.7% हारता है और कुल समय का 49.3% जीतता है। निस्संदेह, यह न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा ही है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों को भारी मुनाफा दिलाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने कहा, "लंबी दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना का एक हजारवां हिस्सा बर्बाद हो जाएगा सबसे अमीर आदमीइस दुनिया में"।

पोकर खेलते समय अपेक्षा

पोकर का खेल गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के दृष्टिकोण से सबसे अधिक उदाहरणात्मक और उदाहरणात्मक उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य किसी विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे के भीतर माना जा सकता है। एक सफल पोकर गेम हमेशा सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ चालों को स्वीकार करना है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ यह है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, सट्टेबाजी के बाद के दौर में कौन से कार्ड आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो बताता है कि पर्याप्त बड़े नमूने के साथ, यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, निम्नलिखित पोकर में सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए अपेक्षित मूल्य की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फ़ोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, बैंक की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का आकलन करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि एक तह की हमेशा शून्य अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड को त्यागना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

अपेक्षा आपको बताती है कि आप अपने जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उनमें खेले जाने वाले सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। गेम की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, आप उम्मीद कर सकते हैं कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावनाएं" कैसीनो के पक्ष में हैं। हालाँकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे संभावनाएँ उनके पक्ष में हो जाती हैं। निवेश के लिए भी यही बात लागू होती है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। प्रत्याशा प्रति जीत आपके लाभ का प्रतिशत है जो आपके औसत लाभ से गुणा किया जाता है, आपके नुकसान की संभावना को आपके औसत नुकसान से गुणा किया जाता है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के दृष्टिकोण से भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सर्वोत्तम नहीं हो सकता है क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लीजिए कि आपने पांच-कार्ड ड्रा पोकर में पूरा घर हासिल कर लिया। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है. आप जानते हैं कि यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो वह जवाब देगा। इसलिए, उठाना सबसे अच्छी युक्ति प्रतीत होती है। लेकिन यदि आप दांव बढ़ाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से दांव लगा देंगे। लेकिन यदि आप कॉल करते हैं, तो आपको पूरा विश्वास है कि आपके पीछे के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप अपना दांव बढ़ाते हैं तो आपको एक यूनिट मिलती है, और जब आप कॉल करते हैं तो आपको दो यूनिट मिलती हैं। इस प्रकार, कॉल करने से आपको उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति होगी।

गणितीय अपेक्षा यह भी अंदाजा दे सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक हैं और कौन सी अधिक लाभदायक हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक निश्चित हैंड से खेलते हैं और आपको लगता है कि आपका नुकसान औसतन 75 सेंट का होगा, जिसमें एंटी भी शामिल है, तो आपको उस हैंड से खेलना चाहिए क्योंकि जब कीमत 1 डॉलर हो तो यह फोल्ड करने से बेहतर है।

एक और महत्वपूर्ण कारणगणितीय अपेक्षा के सार को समझने के लिए यह है कि यह आपको शांति की भावना देता है चाहे आप शर्त जीतें या नहीं: यदि आपने अच्छा दांव लगाया है या समय पर मोड़ा है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि अर्जित की है या बचाई है। कमजोर खिलाड़ी बचाव नहीं कर पाता। यदि आप इस बात से परेशान हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी ने एक मजबूत हाथ खींचा है तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। इन सबके साथ, सट्टेबाजी न खेलकर आप जो पैसा बचाते हैं, वह रात या महीने के लिए आपकी जीत में जोड़ दिया जाता है।

बस याद रखें कि यदि आपने अपना हाथ बदल दिया, तो आपके प्रतिद्वंद्वी ने आपको बुलाया होगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक सिद्धांत लेख में देखेंगे, यह आपके फायदों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुश होना चाहिए. आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं क्योंकि आप जानते हैं कि आपकी स्थिति में अन्य खिलाड़ियों ने बहुत अधिक खोया होगा।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का गेम उदाहरण में चर्चा की गई है, प्रति घंटा लाभ अनुपात गणितीय अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणापेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण। जब आप पोकर खेलने जाएं तो आपको मानसिक रूप से अनुमान लगाना चाहिए कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणित का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप ड्रॉ लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $10 का दांव लगाते हैं और फिर दो कार्डों का व्यापार करते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, आप यह समझ सकते हैं कि हर बार जब वे $10 का दांव लगाते हैं, तो वे लगभग $2 हार जाते हैं। उनमें से प्रत्येक प्रति घंटे आठ बार ऐसा करता है, जिसका अर्थ है कि उन तीनों को प्रति घंटे लगभग $48 का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और उनमें से आपको) को $48 विभाजित करना होगा, प्रत्येक को $12 प्रति घंटे का लाभ होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा संभावना एक घंटे में तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोई गई धनराशि में आपके हिस्से के बराबर है।

लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत व्यक्तिगत हाथों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होती है। आप जितने अधिक हाथों से सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतना अधिक आप जीतेंगे, और इसके विपरीत, जितने अधिक हाथों से आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतनी अधिक आप हारेंगे। परिणामस्वरूप, आपको ऐसा खेल चुनना चाहिए जो आपकी सकारात्मक प्रत्याशा को अधिकतम कर सके या आपकी नकारात्मक प्रत्याशा को नकार सके ताकि आप अपनी प्रति घंटा जीत को अधिकतम कर सकें।

गेमिंग रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप कार्ड गिनना जानते हैं, तो आपको कैसीनो पर लाभ हो सकता है, जब तक कि वे नोटिस न करें और आपको बाहर न फेंक दें। कैसीनो नशे में धुत खिलाड़ियों को पसंद करते हैं और कार्ड गिनने वाले खिलाड़ियों को बर्दाश्त नहीं करते हैं। इसका फायदा आपको समय पर जीत हासिल करने में मदद करेगा। बड़ी संख्याहारने से कई गुना. अच्छा प्रबंधनअपेक्षित मूल्य गणना का उपयोग करते समय पूंजी आपको अपने लाभ से अधिक लाभ निकालने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकती है। लाभ के बिना, आपके लिए पैसा दान में देना बेहतर है। स्टॉक एक्सचेंज पर गेम में, गेम सिस्टम द्वारा लाभ दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। किसी भी प्रकार का धन प्रबंधन खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचा सकता।

सकारात्मक अपेक्षा को शून्य से अधिक मान के रूप में परिभाषित किया गया है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मॉड्यूल जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो प्रतीक्षा ब्रेक-ईवन है। आप केवल तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा और उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान से खेलना विनाश की ओर ले जाता है।

गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग

वित्तीय बाजारों में विनिमय व्यापार करते समय गणितीय अपेक्षा काफी व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग ट्रेडिंग की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि यह मूल्य जितना अधिक होगा, अध्ययन किए जा रहे व्यापार को सफल मानने के उतने ही अधिक कारण होंगे। बेशक, किसी व्यापारी के काम का विश्लेषण अकेले इस पैरामीटर का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, परिकलित मूल्य, काम की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवादों में ऐसी रणनीतियाँ शामिल हैं जो "बाहर बैठना" लाभहीन व्यापार का उपयोग करती हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए उसके काम में कोई घाटा नहीं होगा। इस मामले में, केवल गणितीय अपेक्षा द्वारा निर्देशित होना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाज़ार व्यापार में, किसी भी व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या किसी व्यापारी की पिछली ट्रेडिंग के सांख्यिकीय डेटा के आधार पर उसकी आय की भविष्यवाणी करते समय गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

धन प्रबंधन के संबंध में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक उम्मीदों के साथ व्यापार करते समय, ऐसी कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन परिस्थितियों में शेयर बाजार में खेलना जारी रखते हैं, तो चाहे आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह सिद्धांत न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या व्यापारों के लिए सत्य है, बल्कि यह समान अवसरों वाले खेलों के लिए भी सत्य है। इसलिए, आपके पास लंबी अवधि में लाभ कमाने का एकमात्र मौका तभी है जब आप सकारात्मक अपेक्षित मूल्य के साथ व्यापार करते हैं।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; मायने यह रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद वाला खेल ढूंढना चाहिए।

यदि आपके पास वह गेम नहीं है, तो दुनिया का सारा धन प्रबंधन आपको नहीं बचा पाएगा। दूसरी ओर, यदि आपकी कोई सकारात्मक अपेक्षा है, तो आप उचित धन प्रबंधन के माध्यम से इसे तेजी से वृद्धि समारोह में बदल सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एकल अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक ऐसी प्रणाली है जो प्रति ट्रेड (कमीशन और स्लिपेज के बाद) प्रति अनुबंध 10 डॉलर जीतती है, तो आप इसे उस प्रणाली की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं, जो प्रति ट्रेड औसतन $1,000 (कमीशन और स्लिपेज की कटौती के बाद) जीतती है।

महत्वपूर्ण बात यह नहीं है कि सिस्टम कितना लाभदायक था, बल्कि यह है कि सिस्टम भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाने के लिए कितना निश्चित कहा जा सकता है। इसलिए, एक व्यापारी के लिए सबसे महत्वपूर्ण तैयारी यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाएगा।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य पाने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़ा गया प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाया गया प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किया गया प्रत्येक छोटा परिवर्तन स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आपको एक काफी आदिम और निर्माण करने की आवश्यकता है सरल प्रणाली, जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार छोटे लाभ उत्पन्न करेगा। फिर, आपके लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक वह लाभदायक है। ट्रेडिंग से आप जो पैसा कमाते हैं, वह इसके माध्यम से कमाया जाएगा प्रभावी प्रबंधनधन।

एक ट्रेडिंग सिस्टम बस एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक अपेक्षित मूल्य देता है ताकि आप धन प्रबंधन का उपयोग कर सकें। ऐसी प्रणालियाँ जो केवल एक या कुछ बाज़ारों में काम करती हैं (कम से कम न्यूनतम मुनाफ़ा दिखाती हैं), या अलग-अलग बाज़ारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर रखती हैं, वे संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगी। अधिकांश तकनीकी रूप से उन्मुख व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे अनुकूलन पर बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं अलग नियमऔर ट्रेडिंग सिस्टम मापदंडों के मूल्य। इससे बिल्कुल विपरीत परिणाम मिलते हैं. ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफ़े को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की खोज करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह पद्धति कितनी तार्किक है और क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। सही तरीकेधन प्रबंधन, किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे की व्यापारिक पद्धति पर भी लागू किया जाए, तो बाकी काम खुद ही कर लेगा।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए तीन चीजों को सबसे ज्यादा हल करने की जरूरत होती है महत्वपूर्ण कार्य: . यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक हो; अपना ट्रेडिंग सिस्टम स्थापित करें ताकि आपको जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों से स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहां, हम कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षा बहुत मददगार हो सकती है। यह शब्द संभाव्यता सिद्धांत में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसकी सहायता से आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है, यदि आप विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

किसी व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों और उनके घटित होने की संभावना के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी लेनदेन का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए इस प्रणाली का उपयोग करके व्यापार की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन $1,708 प्राप्त होंगे। चूँकि परिणामी दक्षता रेटिंग शून्य से अधिक है, ऐसी प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति लेनदेन लाभ की राशि को % के रूप में सापेक्ष मूल्य के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

– प्रति 1 लेनदेन आय का प्रतिशत - 5%;

– सफल ट्रेडिंग संचालन का प्रतिशत - 62%;

– प्रति 1 लेनदेन हानि का प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत व्यापार 1.96% लाएगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है जो लाभहीन व्यापारों की प्रबलता के बावजूद लाभ दे सकारात्मक परिणाम, चूँकि इसका MO>0 है।

हालाँकि, अकेले इंतज़ार करना पर्याप्त नहीं है। यदि सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। मान लीजिए कि प्रत्येक ऑपरेशन से औसतन केवल 0.5 डॉलर का उत्पादन होता है, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम में प्रति वर्ष 1000 ऑपरेशन शामिल हों? अपेक्षाकृत कम समय में यह बहुत महत्वपूर्ण राशि होगी। इससे तार्किक रूप से यह पता चलता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग प्रणाली की एक और विशिष्ट विशेषता पर विचार किया जा सकता है लघु अवधिपदों पर आसीन.

स्रोत और लिंक

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पोकर-विकी.ru - पोकर का निःशुल्क विश्वकोश

sernam.ru - विज्ञान पुस्तकालयचयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशन

reshim.su - वेबसाइट हम परीक्षण पाठ्यक्रम संबंधी समस्याओं का समाधान करेंगे

unfx.ru - यूएनएफएक्स पर विदेशी मुद्रा: प्रशिक्षण, व्यापार संकेत, विश्वास प्रबंधन

slovopedia.com - बड़ा विश्वकोश शब्दकोशस्लोवोपेडिया

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