अनुसंधान कौशल को सामान्य और विशिष्ट में विभाजित किया जा सकता है। सामान्य अनुसंधान कौशल, जिसका निर्माण और विकास मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में होता है, में शामिल हैं: एक पैरामीटर के साथ दिए गए समीकरण के पीछे समीकरणों के विभिन्न वर्गों को देखने की क्षमता, जो संख्या और प्रकार की सामान्य उपस्थिति की विशेषता है। जड़ें; विश्लेषणात्मक और ग्राफिक-विश्लेषणात्मक तरीकों में महारत हासिल करने की क्षमता....
ग्रेड 7-9 में छात्रों के अनुसंधान कौशल विकसित करने के साधन के रूप में एक पैरामीटर के साथ समीकरण और असमानताएं (निबंध, कोर्सवर्क, डिप्लोमा, परीक्षण)
स्नातक काम
पीविषय के बारे में: अनुसंधान बनाने के साधन के रूप में एक पैरामीटर के साथ समीकरण और असमानताएं कक्षा 7-9 के छात्रों का कौशल
समस्या स्थितियों के बाहर रचनात्मक सोच क्षमताओं का विकास असंभव है, इसलिए सीखने में गैर-मानक कार्यों का विशेष महत्व है। इनमें पैरामीटर वाले कार्य भी शामिल हैं। इन समस्याओं की गणितीय सामग्री कार्यक्रम के दायरे से आगे नहीं जाती है, हालांकि, उन्हें हल करना, एक नियम के रूप में, छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है।
60 के दशक में स्कूली गणित शिक्षा के सुधार से पहले, स्कूली पाठ्यक्रम और पाठ्यपुस्तकों में विशेष खंड होते थे: रैखिक और द्विघात समीकरणों का अध्ययन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन। जहां कार्य किसी भी स्थिति या पैरामीटर के आधार पर समीकरणों, असमानताओं और प्रणालियों का अध्ययन करना था।
कार्यक्रम में वर्तमान में समीकरणों या असमानताओं में अध्ययन या मापदंडों के विशिष्ट संदर्भ शामिल नहीं हैं। लेकिन वे वास्तव में गणित के प्रभावी साधनों में से एक हैं जो कार्यक्रम द्वारा निर्धारित बौद्धिक व्यक्तित्व के निर्माण की समस्या को हल करने में मदद करते हैं। इस विरोधाभास को खत्म करने के लिए "समीकरण और मापदंडों के साथ असमानताएं" विषय पर एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम बनाना आवश्यक हो गया। यही इस कार्य की प्रासंगिकता को निर्धारित करता है।
मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएं वास्तविक शोध कार्य के लिए उत्कृष्ट सामग्री हैं, लेकिन स्कूल के पाठ्यक्रम में मापदंडों के साथ समस्याओं को एक अलग विषय के रूप में शामिल नहीं किया गया है।
स्कूली गणित पाठ्यक्रम में अधिकांश समस्याओं को हल करने का उद्देश्य स्कूली बच्चों में वर्तमान कार्यक्रमों के अनुसार नियमों और कार्रवाई के एल्गोरिदम की महारत और बुनियादी अनुसंधान करने की क्षमता जैसे गुणों को विकसित करना है।
विज्ञान में अनुसंधान का अर्थ किसी वस्तु की घटना, विकास और परिवर्तन के पैटर्न की पहचान करने के लिए उसका अध्ययन करना है। अनुसंधान प्रक्रिया में, संचित अनुभव, मौजूदा ज्ञान, साथ ही वस्तुओं के अध्ययन के तरीकों और विधियों का उपयोग किया जाता है। शोध का परिणाम नए ज्ञान का अधिग्रहण होना चाहिए। शैक्षिक अनुसंधान की प्रक्रिया में, गणितीय वस्तुओं के अध्ययन में छात्र द्वारा संचित ज्ञान और अनुभव को संश्लेषित किया जाता है।
जब पैरामीट्रिक समीकरणों और असमानताओं पर लागू किया जाता है, तो निम्नलिखित शोध कौशल को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:
1) किसी दिए गए पैरामीट्रिक समीकरण के लिए समीकरणों के एक विशेष वर्ग से संबंधित शर्तों को एक पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त करने की क्षमता;
2) समीकरण के प्रकार को निर्धारित करने और मापदंडों के आधार पर गुणांक के प्रकार को इंगित करने की क्षमता;
3) पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त करने की क्षमता, पैरामीट्रिक समीकरण के समाधान की उपस्थिति की शर्तें;
4) जड़ों (समाधान) की उपस्थिति के मामले में, एक विशेष संख्या में जड़ों (समाधान) की उपस्थिति के लिए शर्तों को व्यक्त करने में सक्षम होना;
5) पैरामीटरों के माध्यम से पैरामीट्रिक समीकरणों (असमानताओं के समाधान) की जड़ों को व्यक्त करने की क्षमता।
मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं की विकासात्मक प्रकृति छात्रों की कई प्रकार की मानसिक गतिविधियों को लागू करने की उनकी क्षमता से निर्धारित होती है:
कुछ सोच एल्गोरिदम का विकास, जड़ों की उपस्थिति और संख्या निर्धारित करने की क्षमता (एक समीकरण, प्रणाली में);
समीकरणों के परिवारों को हल करना जो इसका परिणाम हैं;
एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना;
किसी समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र ढूँढना;
हल करते समय बड़ी मात्रा में सूत्रों की पुनरावृत्ति;
उचित समाधान विधियों का ज्ञान;
मौखिक और ग्राफिक तर्क का व्यापक उपयोग;
छात्रों की ग्राफिक संस्कृति का विकास;
उपरोक्त सभी हमें स्कूली गणित पाठ्यक्रम में मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करने की आवश्यकता के बारे में बात करने की अनुमति देते हैं।
वर्तमान में, मापदंडों के साथ समस्याओं के वर्ग पर अभी तक स्पष्ट रूप से व्यवस्थित रूप से काम नहीं किया गया है। वैकल्पिक पाठ्यक्रम के विषय "द्विघात समीकरण और एक पैरामीटर के साथ असमानताएं" को चुनने की प्रासंगिकता स्कूल गणित पाठ्यक्रम में "द्विघात त्रिपद और उसके गुणों" विषय के महत्व से और साथ ही, इसकी कमी से निर्धारित होती है। एक पैरामीटर युक्त द्विघात त्रिपद के अध्ययन से संबंधित समस्याओं पर विचार करने का समय।
अपने काम में, हम यह दिखाना चाहते हैं कि पैरामीटर समस्याएं अध्ययन की जा रही मुख्य सामग्री में एक कठिन जोड़ नहीं होनी चाहिए, जिसमें केवल सक्षम बच्चे ही महारत हासिल कर सकते हैं, लेकिन सामान्य शिक्षा स्कूल में इसका उपयोग किया जा सकता है और किया जाना चाहिए, जो नए तरीकों से सीखने को समृद्ध करेगा। और विचार और छात्रों को उनकी सोच विकसित करने में मदद करते हैं।
कार्य का उद्देश्य ग्रेड 7-9 के लिए बीजगणित पाठ्यक्रम में मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं के स्थान का अध्ययन करना, एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम "एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण और असमानताएं" और इसके कार्यान्वयन के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें विकसित करना है।
अध्ययन का उद्देश्य माध्यमिक विद्यालय की कक्षा 7-9 में गणित पढ़ाने की प्रक्रिया है।
शोध का विषय एक माध्यमिक विद्यालय में मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने की सामग्री, रूप, तरीके और साधन है, जो एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम "एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण और असमानताएं" के विकास को सुनिश्चित करता है।
शोध परिकल्पना यह है कि यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम गणित अनुभाग "समीकरण और पैरामीटर्स के साथ असमानताएं" की सामग्री का अधिक गहन अध्ययन प्रदान करने में मदद करेगा, स्कूल स्नातकों और विश्वविद्यालय आवेदकों की तैयारी के लिए गणित में आवश्यकताओं में विसंगतियों को खत्म करेगा, और छात्रों की मानसिक गतिविधि के विकास के अवसरों का विस्तार करें, यदि इसके अध्ययन की प्रक्रिया में निम्नलिखित का उपयोग किया जाएगा:
· शैक्षिक साहित्य के साथ स्कूली बच्चों के काम का उपयोग करके एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए ग्राफिकल तकनीकों पर विचार;
· स्कूली बच्चों के आत्म-नियंत्रण और आपसी नियंत्रण का उपयोग करके, एक पैरामीटर वाले द्विघात त्रिपद के अध्ययन पर समस्याओं को हल करना;
· "एक वर्ग त्रिपद की जड़ों का संकेत", "भुज अक्ष के सापेक्ष एक परवलय का स्थान" विषयों पर सामग्री को सारांशित करने के लिए तालिकाएँ;
· सीखने के परिणामों और संचयी बिंदु प्रणाली का आकलन करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग;
· पाठ्यक्रम के सभी विषयों का अध्ययन करना, छात्र को स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करने का तरीका खोजने का अवसर देता है।
अध्ययन के उद्देश्य, वस्तु, विषय और परिकल्पना के अनुसार, निम्नलिखित शोध उद्देश्य सामने रखे गए हैं:
· ग्रेड 7-9 में मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं के अध्ययन के लिए सामान्य प्रावधानों पर विचार करें;
· बीजगणित में एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम "एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण और असमानताएं" और इसके कार्यान्वयन के लिए एक पद्धति विकसित करें।
अध्ययन के दौरान निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया गया:
· साहित्य विश्लेषण;
· वैकल्पिक पाठ्यक्रम विकसित करने में अनुभव का विश्लेषण।
अध्याय 1। मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक विशेषताएं पढ़ना विषय « बीजगणित 7−9 के दौरान मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएँ"। कक्षा
§ 1. उम्र से संबंधित, शारीरिक और मनोवैज्ञानिक विशेषताएंग्रेड 7-9 में स्कूली बच्चों के लिए लाभ
मध्य विद्यालय की आयु (किशोरावस्था) को पूरे जीव के तेजी से विकास और विकास की विशेषता है। लंबाई में शरीर की गहन वृद्धि होती है (लड़कों में प्रति वर्ष 6-10 सेंटीमीटर और लड़कियों में 6-8 सेंटीमीटर तक की वृद्धि होती है)। कंकाल का अस्थिकरण जारी रहता है, हड्डियाँ लोच और कठोरता प्राप्त कर लेती हैं और मांसपेशियों की ताकत बढ़ जाती है। हालाँकि, आंतरिक अंगों का विकास असमान रूप से होता है, रक्त वाहिकाओं की वृद्धि हृदय की वृद्धि से पीछे रह जाती है, जिससे इसकी गतिविधि की लय में व्यवधान हो सकता है और हृदय गति बढ़ सकती है। इस उम्र में फुफ्फुसीय तंत्र विकसित होता है, श्वास तेज हो जाती है। मस्तिष्क का आयतन एक वयस्क मानव मस्तिष्क के बराबर होता है। वृत्ति और भावनाओं पर सेरेब्रल कॉर्टेक्स का नियंत्रण बेहतर होता है। हालाँकि, उत्तेजना प्रक्रियाएँ अभी भी निषेध प्रक्रियाओं पर हावी हैं। साहचर्य तंतुओं की बढ़ी हुई गतिविधि शुरू हो जाती है।
इस उम्र में यौवन होता है। अंतःस्रावी ग्रंथियों, विशेषकर यौन ग्रंथियों की सक्रियता बढ़ जाती है। द्वितीयक यौन लक्षण प्रकट होते हैं। किशोरों के शरीर में नाटकीय परिवर्तनों के कारण अधिक थकान प्रदर्शित होती है। एक किशोर की धारणा एक छोटे स्कूली बच्चे की तुलना में अधिक केंद्रित, व्यवस्थित और योजनाबद्ध होती है। प्रेक्षित वस्तु के प्रति किशोर का दृष्टिकोण निर्णायक महत्व रखता है। ध्यान स्वैच्छिक, चयनात्मक है। एक किशोर लंबे समय तक दिलचस्प सामग्री पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। अवधारणाओं को याद रखना, सीधे तौर पर जानकारी की समझ, विश्लेषण और व्यवस्थितकरण से संबंधित है, सामने आता है। किशोरावस्था की विशेषता आलोचनात्मक सोच होती है। इस उम्र के छात्रों को प्रदान की गई जानकारी पर अधिक मांग की विशेषता होती है। अमूर्त सोच की क्षमता में सुधार होता है। किशोरों में भावनाओं की अभिव्यक्ति अक्सर काफी हिंसक होती है। क्रोध विशेष रूप से प्रबल होता है। इस उम्र में हठ, स्वार्थ, अपने आप में सिमटना, भावनाओं की गंभीरता और दूसरों के साथ संघर्ष की काफी विशेषता होती है। इन अभिव्यक्तियों ने शिक्षकों और मनोवैज्ञानिकों को किशोरावस्था के संकट के बारे में बात करने की अनुमति दी। पहचान के निर्माण के लिए एक व्यक्ति को दूसरों के साथ अपने संबंधों, अन्य लोगों के बीच अपने स्थान पर पुनर्विचार करने की आवश्यकता होती है। किशोरावस्था के दौरान व्यक्तित्व का गहन नैतिक एवं सामाजिक निर्माण होता है। नैतिक आदर्शों एवं नैतिक विश्वासों के निर्माण की प्रक्रिया चल रही है। उनके पास अक्सर एक अस्थिर, विरोधाभासी चरित्र होता है।
किशोरों का वयस्कों के साथ संचार छोटे स्कूली बच्चों के संचार से काफी भिन्न होता है। किशोर अक्सर वयस्कों को मुक्त संचार के लिए संभावित भागीदार नहीं मानते हैं; वे वयस्कों को अपने जीवन के लिए संगठन और समर्थन के स्रोत के रूप में देखते हैं, और वयस्कों के संगठनात्मक कार्य को किशोरों द्वारा अक्सर केवल प्रतिबंधात्मक और विनियमन के रूप में माना जाता है।
शिक्षकों से पूछे जाने वाले प्रश्नों की संख्या कम कर दी गई है। पूछे गए प्रश्न, सबसे पहले, किशोरों की जीवन गतिविधियों के संगठन और सामग्री से संबंधित हैं, जहां वे वयस्कों से प्रासंगिक जानकारी और निर्देशों के बिना नहीं कर सकते। नैतिक मुद्दों की संख्या कम हो गई है। पिछले युग की तुलना में, सामाजिक मानदंडों के वाहक और जटिल जीवन समस्याओं को सुलझाने में संभावित सहायक के रूप में शिक्षक का अधिकार काफी कम हो गया है।
§ 2. शैक्षिक गतिविधियों की आयु विशेषताएँ
एक किशोर के लिए शिक्षण मुख्य गतिविधि है। एक किशोर की शैक्षिक गतिविधि की अपनी कठिनाइयाँ और विरोधाभास हैं, लेकिन ऐसे फायदे भी हैं जिन पर एक शिक्षक भरोसा कर सकता है और उसे भरोसा करना चाहिए। एक किशोर का सबसे बड़ा लाभ उसकी सभी प्रकार की शैक्षिक गतिविधियों के लिए तत्परता है, जो उसे अपनी नज़र में एक वयस्क बनाती है। वह कक्षा में पाठों के आयोजन के स्वतंत्र रूपों, जटिल शैक्षिक सामग्री और स्कूल के बाहर अपनी संज्ञानात्मक गतिविधि को स्वतंत्र रूप से बनाने के अवसर से आकर्षित होता है। हालाँकि, किशोर को यह नहीं पता कि इस तत्परता को कैसे महसूस किया जाए, क्योंकि वह नहीं जानता कि शैक्षिक गतिविधि के नए रूपों को कैसे आगे बढ़ाया जाए।
एक किशोर किसी नए शैक्षणिक विषय पर भावनात्मक रूप से प्रतिक्रिया करता है, और कुछ के लिए यह प्रतिक्रिया बहुत जल्दी गायब हो जाती है। अक्सर सीखने और स्कूल में उनकी सामान्य रुचि भी कम हो जाती है। जैसा कि मनोवैज्ञानिक शोध से पता चलता है, मुख्य कारण छात्रों में सीखने के कौशल के विकास की कमी है, जो उम्र की वर्तमान आवश्यकता - आत्म-पुष्टि की आवश्यकता को पूरा करना संभव नहीं बनाता है।
सीखने की प्रभावशीलता बढ़ाने का एक तरीका सीखने के उद्देश्यों का उद्देश्यपूर्ण गठन है। इसका सीधा संबंध आयु की प्रचलित आवश्यकताओं की संतुष्टि से है। इनमें से एक आवश्यकता संज्ञानात्मक है। जब वह संतुष्ट हो जाता है, तो उसमें स्थिर संज्ञानात्मक रुचियाँ विकसित हो जाती हैं, जो शैक्षणिक विषयों के प्रति उसके सकारात्मक दृष्टिकोण को निर्धारित करती हैं। किशोर अपने ज्ञान का विस्तार करने, उसे समृद्ध करने, अध्ययन की जा रही घटनाओं के सार में प्रवेश करने और कारण-और-प्रभाव संबंध स्थापित करने के अवसर से बहुत आकर्षित होते हैं। वे अनुसंधान गतिविधियों से अत्यधिक भावनात्मक संतुष्टि का अनुभव करते हैं। संज्ञानात्मक आवश्यकताओं और संज्ञानात्मक रुचियों को संतुष्ट करने में विफलता न केवल ऊब और उदासीनता की स्थिति का कारण बनती है, बल्कि कभी-कभी "अरुचिकर विषयों" के प्रति तीव्र नकारात्मक रवैया भी पैदा करती है। इस मामले में, ज्ञान प्राप्त करने की सामग्री और प्रक्रिया, तरीके और तकनीक दोनों समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।
किशोरों की रुचियाँ उनकी संज्ञानात्मक गतिविधि की दिशा में भिन्न होती हैं। कुछ छात्र वर्णनात्मक सामग्री पसंद करते हैं, वे व्यक्तिगत तथ्यों से आकर्षित होते हैं, अन्य अध्ययन की जा रही घटनाओं के सार को समझने का प्रयास करते हैं, उन्हें सिद्धांत के दृष्टिकोण से समझाते हैं, अन्य व्यावहारिक गतिविधियों में ज्ञान का उपयोग करने में अधिक सक्रिय होते हैं, अन्य - रचनात्मक के लिए , अनुसंधान गतिविधियाँ। 15]
सीखने के प्रति किशोरों के सकारात्मक दृष्टिकोण के लिए संज्ञानात्मक रुचियों के साथ-साथ ज्ञान के महत्व की समझ भी आवश्यक है। उनके लिए ज्ञान के महत्वपूर्ण महत्व और सबसे बढ़कर, व्यक्तिगत विकास के लिए इसके महत्व को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है। एक किशोर को कई शैक्षणिक विषय पसंद आते हैं क्योंकि वे एक व्यापक रूप से विकसित व्यक्ति के रूप में उसकी जरूरतों को पूरा करते हैं। विश्वास और रुचियाँ, एक साथ विलीन होकर, किशोरों में एक बढ़ा हुआ भावनात्मक स्वर पैदा करते हैं और सीखने के प्रति उनके सक्रिय दृष्टिकोण को निर्धारित करते हैं।
यदि कोई किशोर ज्ञान के महत्वपूर्ण महत्व को नहीं देखता है, तो वह मौजूदा शैक्षणिक विषयों के प्रति नकारात्मक विश्वास और नकारात्मक दृष्टिकोण विकसित कर सकता है। जब किशोरों में सीखने के प्रति नकारात्मक रवैया होता है तो उनकी जागरूकता और कुछ शैक्षणिक विषयों में महारत हासिल करने में विफलता का अनुभव महत्वपूर्ण होता है। असफलता का डर, हार का डर कभी-कभी किशोरों को स्कूल न जाने या कक्षा छोड़ने के संभावित कारणों की तलाश में ले जाता है। एक किशोर की भावनात्मक भलाई काफी हद तक वयस्कों द्वारा उसकी शैक्षिक गतिविधियों के मूल्यांकन पर निर्भर करती है। अक्सर एक किशोर के लिए मूल्यांकन का अर्थ शैक्षिक प्रक्रिया में सफलता प्राप्त करने की इच्छा होती है और इस प्रकार उनकी क्षमताओं और क्षमताओं में विश्वास हासिल होता है। यह उम्र की ऐसी प्रबल आवश्यकता के कारण है, जैसे एक व्यक्ति के रूप में स्वयं को, अपनी शक्तियों और कमजोरियों को समझने और उनका मूल्यांकन करने की आवश्यकता। शोध से पता चलता है कि किशोरावस्था के दौरान आत्म-सम्मान एक प्रमुख भूमिका निभाता है। एक किशोर की भावनात्मक भलाई के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है कि मूल्यांकन और आत्म-सम्मान मेल खाए। अन्यथा कभी आंतरिक तो कभी बाह्य संघर्ष उत्पन्न हो जाता है।
मध्य कक्षा में, छात्र विज्ञान की बुनियादी बातों का अध्ययन करना और उनमें महारत हासिल करना शुरू करते हैं। विद्यार्थियों को बड़ी मात्रा में ज्ञान हासिल करना होगा। जिस सामग्री में महारत हासिल की जानी है, उसके लिए एक ओर पहले की तुलना में उच्च स्तर की शैक्षिक, संज्ञानात्मक और मानसिक गतिविधि की आवश्यकता होती है, और दूसरी ओर, उनका लक्ष्य विकास होता है। छात्रों को वैज्ञानिक अवधारणाओं और शब्दों की प्रणाली में महारत हासिल करनी चाहिए, इसलिए नए शैक्षणिक विषय ज्ञान प्राप्त करने के तरीकों पर नई मांग रखते हैं और इसका उद्देश्य उच्च-स्तरीय बुद्धि - सैद्धांतिक, औपचारिक, चिंतनशील सोच विकसित करना है। इस प्रकार की सोच किशोरावस्था के लिए विशिष्ट है, लेकिन यह कम उम्र के किशोरों में विकसित होने लगती है।
एक किशोर की सोच के विकास में जो नया है वह बौद्धिक कार्यों के प्रति उसके दृष्टिकोण में निहित है, जिनके लिए प्रारंभिक मानसिक समाधान की आवश्यकता होती है। बौद्धिक समस्याओं को हल करने में परिकल्पनाओं के साथ काम करने की क्षमता वास्तविकता का विश्लेषण करने में एक किशोर का सबसे महत्वपूर्ण अधिग्रहण है। अनुमानात्मक सोच वैज्ञानिक तर्क का एक विशिष्ट उपकरण है, इसीलिए इसे चिंतनशील सोच कहा जाता है। हालाँकि स्कूल में वैज्ञानिक अवधारणाओं को आत्मसात करने से स्कूली बच्चों में सैद्धांतिक सोच के निर्माण के लिए कई वस्तुनिष्ठ परिस्थितियाँ बनती हैं, हालाँकि, यह हर किसी में नहीं बनती है: अलग-अलग छात्रों में इसके वास्तविक गठन के अलग-अलग स्तर और गुणवत्ता हो सकती है।
सैद्धांतिक सोच न केवल स्कूली ज्ञान में महारत हासिल करके बनाई जा सकती है। वाणी नियंत्रित और प्रबंधनीय हो जाती है, और कुछ व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण स्थितियों में, किशोर विशेष रूप से सुंदर और सही ढंग से बोलने का प्रयास करते हैं। इस प्रक्रिया में और वैज्ञानिक अवधारणाओं को आत्मसात करने के परिणामस्वरूप, सोच की नई सामग्री, बौद्धिक गतिविधि के नए रूप बनते हैं। सैद्धांतिक ज्ञान की अपर्याप्त आत्मसात का एक महत्वपूर्ण संकेतक एक किशोर की उन समस्याओं को हल करने में असमर्थता है जिनके लिए इस ज्ञान के उपयोग की आवश्यकता होती है।
सामग्री की सामग्री, उसकी मौलिकता और आंतरिक तर्क के विश्लेषण द्वारा केंद्रीय स्थान पर कब्जा करना शुरू हो जाता है। कुछ किशोरों में सीखने के तरीकों को चुनने में लचीलेपन की विशेषता होती है, अन्य एक विधि को पसंद करते हैं, और कुछ किसी भी सामग्री को व्यवस्थित और तार्किक रूप से संसाधित करने का प्रयास करते हैं। सामग्री को तार्किक रूप से संसाधित करने की क्षमता अक्सर किशोरों में अनायास विकसित हो जाती है। न केवल शैक्षणिक प्रदर्शन, ज्ञान की गहराई और ताकत, बल्कि किशोर की बुद्धि और क्षमताओं के आगे विकास की संभावना भी इस पर निर्भर करती है।
§ 3. शैक्षिक गतिविधियों का संगठनग्रेड 7-9 में स्कूली बच्चों की विशेषताएं
किशोरों की शैक्षिक गतिविधियों को व्यवस्थित करना सबसे महत्वपूर्ण एवं जटिल कार्य है। एक मिडिल स्कूल का छात्र शिक्षक या माता-पिता के तर्कों को समझने और उचित तर्कों से सहमत होने में काफी सक्षम है। हालाँकि, इस उम्र की सोच की ख़ासियत के कारण, एक किशोर अब तैयार, पूर्ण रूप में जानकारी संप्रेषित करने की प्रक्रिया से संतुष्ट नहीं होगा। वह यह सुनिश्चित करने के लिए उनकी विश्वसनीयता की जांच करना चाहेगा कि उसके निर्णय सही हैं। शिक्षकों, माता-पिता और दोस्तों के साथ विवाद इस युग की एक विशेषता है। उनकी महत्वपूर्ण भूमिका यह है कि वे आपको किसी विषय पर राय का आदान-प्रदान करने, आपके विचारों और आम तौर पर स्वीकृत विचारों की सच्चाई की जांच करने और खुद को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। विशेष रूप से, शिक्षण में समस्या-आधारित कार्यों की शुरूआत का बहुत प्रभाव पड़ता है। शिक्षण के इस दृष्टिकोण की नींव 20वीं सदी के 60 और 70 के दशक में घरेलू शिक्षकों द्वारा विकसित की गई थी। समस्या-आधारित दृष्टिकोण में सभी कार्यों का आधार विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान की कमी के बारे में जागरूकता और विरोधाभासों का समाधान है। आधुनिक परिस्थितियों में इस दृष्टिकोण को आधुनिक विज्ञान की उपलब्धियों के स्तर और छात्रों के समाजीकरण के कार्यों के संदर्भ में लागू किया जाना चाहिए।
स्वतंत्र सोच को प्रोत्साहित करना, छात्र को अपना दृष्टिकोण व्यक्त करना, तुलना करने की क्षमता, सामान्य और विशिष्ट विशेषताओं को ढूंढना, मुख्य बात को उजागर करना, कारण-और-प्रभाव संबंध स्थापित करना और निष्कर्ष निकालना महत्वपूर्ण है।
एक किशोर के लिए, दिलचस्प और आकर्षक जानकारी जो उसकी कल्पना को उत्तेजित करती है और उसे सोचने पर मजबूर करती है, बहुत महत्वपूर्ण होगी। समय-समय पर गतिविधियों के प्रकार बदलने से एक अच्छा प्रभाव प्राप्त होता है - न केवल कक्षा में, बल्कि होमवर्क तैयार करते समय भी। विभिन्न प्रकार के कार्य ध्यान बढ़ाने का एक बहुत प्रभावी साधन और सामान्य शारीरिक थकान को रोकने का एक महत्वपूर्ण तरीका बन सकते हैं, जो शैक्षिक भार और यौवन के दौरान शरीर के आमूल-चूल पुनर्गठन की सामान्य प्रक्रिया दोनों से जुड़ा है। 20]
स्कूली पाठ्यक्रम के प्रासंगिक अनुभागों का अध्ययन करने से पहले, छात्रों के पास अक्सर पहले से ही कुछ रोजमर्रा के विचार और अवधारणाएं होती हैं जो उन्हें रोजमर्रा के अभ्यास में काफी अच्छी तरह से नेविगेट करने की अनुमति देती हैं। यह परिस्थिति, ऐसे मामलों में जहां उनका ध्यान व्यावहारिक जीवन के साथ अर्जित ज्ञान के संबंध पर विशेष रूप से आकर्षित नहीं होता है, कई छात्रों को नए ज्ञान को प्राप्त करने और आत्मसात करने की आवश्यकता से वंचित कर देता है, क्योंकि बाद वाले का उनके लिए कोई व्यावहारिक अर्थ नहीं है।
किशोरों के नैतिक आदर्श और नैतिक विश्वास कई कारकों के प्रभाव में बनते हैं, विशेष रूप से, सीखने की शैक्षिक क्षमता को मजबूत करना। जटिल जीवन समस्याओं को हल करने में, किशोरों की चेतना को प्रभावित करने के अप्रत्यक्ष तरीकों पर अधिक ध्यान दिया जाना चाहिए: एक तैयार नैतिक सत्य प्रस्तुत नहीं करना, बल्कि उसकी ओर ले जाना, और स्पष्ट निर्णय व्यक्त नहीं करना जिसे किशोर शत्रुता के साथ समझ सकते हैं।
§ 4. गणितीय शिक्षा की सामग्री और छात्रों की तैयारी के स्तर के लिए बुनियादी आवश्यकताओं की प्रणाली में शैक्षिक अनुसंधान
मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएं वास्तविक शोध कार्य के लिए उत्कृष्ट सामग्री हैं। लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में मापदंडों से जुड़ी समस्याओं को एक अलग विषय के रूप में शामिल नहीं किया गया है।
आइए हम मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए सीखने से संबंधित मुद्दों की पहचान करने के दृष्टिकोण से रूसी स्कूलों के शैक्षिक मानक के विभिन्न वर्गों का विश्लेषण करें।
कार्यक्रम सामग्री का अध्ययन करने से प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को "रैखिक और द्विघात में कम किए जा सकने वाले मापदंडों के साथ एक समस्या की प्रारंभिक समझ प्राप्त करने" की अनुमति मिलती है और यह सीखते हैं कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ कैसे बनाएं और समन्वय विमान में इन ग्राफ़ों के स्थान का पता लगाएं। सूत्र में शामिल मापदंडों के मान।
"फ़ंक्शन" पंक्ति में "पैरामीटर" शब्द का उल्लेख नहीं है, लेकिन यह कहा गया है कि छात्रों के पास "फ़ंक्शन के ज्ञान को व्यवस्थित करने और विकसित करने का अवसर है; ग्राफिक संस्कृति विकसित करें, ग्राफ़ को धाराप्रवाह "पढ़ना" सीखें, ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के गुणों को प्रतिबिंबित करें।
लेखकों के ऐसे समूहों द्वारा बीजगणित पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकों का विश्लेषण करने के बाद: अलीमोव श. ए. एट अल., मकारिचेव यू. एन. एट अल., मोर्दकोविच ए. जी. एट अल., हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि इन पाठ्यपुस्तकों में मापदंडों के साथ समस्याएं हैं थोड़ा ध्यान दिया गया. 7वीं कक्षा की पाठ्यपुस्तकों में एक रैखिक समीकरण के मूलों की संख्या के प्रश्न का अध्ययन करने, एक रैखिक फलन y = kh और y = kh + b के मानों के आधार पर ग्राफ के स्थान की निर्भरता का अध्ययन करने के कई उदाहरण हैं। के. ग्रेड 8-9 के लिए पाठ्यपुस्तकों में, "अतिरिक्त पाठ्यचर्या कार्य के लिए समस्याएं" या "दोहराव अभ्यास" जैसे अनुभागों में, मापदंडों के साथ द्विघात और द्विघात समीकरणों में जड़ों के अध्ययन के लिए 2-3 कार्य दिए गए हैं, एक के ग्राफ का स्थान मापदंडों के मूल्यों के आधार पर द्विघात कार्य।
गहन अध्ययन वाले स्कूलों और कक्षाओं के लिए गणित कार्यक्रम में, व्याख्यात्मक नोट में कहा गया है, "अनुभाग "छात्रों की गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताएँ" ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की अनुमानित मात्रा निर्धारित करता है, जिसमें स्कूली बच्चों को महारत हासिल करनी चाहिए। इस दायरे में, निश्चित रूप से, वे ज्ञान, योग्यताएं और कौशल शामिल हैं, जिनका सभी छात्रों द्वारा अनिवार्य अधिग्रहण सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम की आवश्यकताओं द्वारा प्रदान किया जाता है; हालाँकि, उनके गठन की एक अलग, उच्च गुणवत्ता प्रस्तावित है। छात्रों को जटिलता के आवश्यक स्तर से अधिक उच्च स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने की क्षमता हासिल करनी चाहिए, उनके द्वारा अध्ययन किए गए सैद्धांतिक सिद्धांतों को सटीक और सक्षम रूप से तैयार करना चाहिए और समस्याओं को हल करते समय अपना तर्क प्रस्तुत करना चाहिए..."
आइए गणित के उन्नत अध्ययन वाले छात्रों के लिए कुछ पाठ्यपुस्तकों का विश्लेषण करें।
ऐसी समस्याओं का निरूपण और उनके समाधान स्कूली पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर नहीं जाते हैं, लेकिन छात्रों को जिन कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है, उन्हें समझाया जाता है, सबसे पहले, एक पैरामीटर की उपस्थिति से, और दूसरे, समाधान और उत्तरों की शाखा द्वारा। हालाँकि, मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने का अभ्यास स्वतंत्र तार्किक सोच की क्षमता को विकसित करने और मजबूत करने और गणितीय संस्कृति को समृद्ध करने के लिए उपयोगी है।
स्कूल में सामान्य शिक्षा कक्षाओं में, एक नियम के रूप में, ऐसे कार्यों पर नगण्य ध्यान दिया जाता है। चूँकि मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना, शायद, प्रारंभिक गणित के पाठ्यक्रम का सबसे कठिन खंड है, इसलिए स्कूली बच्चों के बड़े पैमाने पर मापदंडों के साथ ऐसी समस्याओं को हल करना सिखाना शायद ही उचित है, लेकिन मजबूत छात्र जो इसमें रुचि, योग्यता और क्षमता दिखाते हैं। गणित, जो स्वतंत्र रूप से कार्य करने का प्रयास करते हैं, उन्हें सिखाया जाना चाहिए। ऐसी समस्याओं को हल करना निश्चित रूप से आवश्यक है। इसलिए, स्कूल गणित पाठ्यक्रम की कार्यात्मक, संख्यात्मक, ज्यामितीय, समीकरणों की रेखा और समान परिवर्तनों की रेखा जैसी पारंपरिक सामग्री-पद्धति संबंधी रेखाओं के साथ, मापदंडों की रेखा को भी एक निश्चित स्थान लेना चाहिए। सामग्री की सामग्री और "मापदंडों के साथ समस्याएं" विषय पर छात्रों के लिए आवश्यकताएं, निश्चित रूप से, संपूर्ण कक्षा और प्रत्येक व्यक्ति की गणितीय तैयारी के स्तर द्वारा निर्धारित की जानी चाहिए।
शिक्षक को उन स्कूली बच्चों की जरूरतों और अनुरोधों को पूरा करने में मदद करनी चाहिए जो विषय में रुचि, योग्यता और क्षमता दिखाते हैं। छात्रों के हित के मुद्दों पर परामर्श, क्लब, अतिरिक्त कक्षाएं और ऐच्छिक आयोजित किए जा सकते हैं। यह पैरामीटर के साथ समस्याओं के मुद्दे पर पूरी तरह से लागू होता है।
§ 5. स्कूली बच्चों की संज्ञानात्मक गतिविधि की संरचना में शैक्षिक अनुसंधान
फिलहाल, एक ऐसे छात्र को तैयार करने का मुद्दा है जो शिक्षक की आवश्यकताओं से परे, स्वतंत्र रूप से कार्य करने का प्रयास करता है, जो अपने हितों और सक्रिय अनुसंधान के दायरे को उसे दी जाने वाली शैक्षिक सामग्री तक सीमित नहीं करता है, जो जानता है कि कैसे प्रस्तुत करना और तर्कपूर्ण तरीके से काम करना है। किसी विशेष समस्या के समाधान का बचाव करना, जो विचाराधीन परिणाम को निर्दिष्ट करना या इसके विपरीत, सामान्यीकरण करना, कारण-और-प्रभाव संबंधों की पहचान करना आदि जानता है। इस संबंध में, अध्ययन जो स्कूल में गणितीय रचनात्मकता के मनोविज्ञान के मूल सिद्धांतों का विश्लेषण करते हैं -उम्र के बच्चे, छात्रों की मानसिक गतिविधि की प्रक्रिया को प्रबंधित करने, स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने, ज्ञान को लागू करने, उसे फिर से भरने और व्यवस्थित करने के लिए अपने कौशल को बनाने और विकसित करने की समस्या की जांच करते हैं, स्कूली बच्चों की संज्ञानात्मक गतिविधि की गतिविधि को बढ़ाने की समस्या (एल.एस. वायगोत्स्की, पी. हां. क्रुतेत्स्की, एन.ए. मेनचिंस्काया, एस.एल. रुबिनस्टीन, एल.एम. फ्रीडमैन, आदि)।
शिक्षण की अनुसंधान पद्धति में दो अनुसंधान विधियाँ शामिल हैं: शैक्षिक और वैज्ञानिक।
स्कूली गणित पाठ्यक्रम की समस्याओं के एक महत्वपूर्ण हिस्से को हल करने का तात्पर्य यह है कि छात्रों ने वर्तमान कार्यक्रमों के अनुसार नियमों और कार्यों के एल्गोरिदम में महारत हासिल करने और बुनियादी शोध करने की क्षमता जैसे गुण विकसित किए हैं। विज्ञान में अनुसंधान का अर्थ किसी वस्तु के घटित होने और परिवर्तन के विकास के पैटर्न की पहचान करने के लिए उसका अध्ययन करना है। अनुसंधान प्रक्रिया में, संचित पिछले अनुभव, मौजूदा ज्ञान, साथ ही वस्तुओं के अध्ययन के तरीकों और तरीकों (तकनीकों) का उपयोग किया जाता है। अनुसंधान का परिणाम नए वैज्ञानिक ज्ञान का अधिग्रहण होना चाहिए।
माध्यमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने की प्रक्रिया के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है: शैक्षिक अनुसंधान के मुख्य घटकों में एक शोध समस्या का निर्माण, इसके लक्ष्यों के बारे में जागरूकता, विचाराधीन मुद्दे पर उपलब्ध जानकारी का प्रारंभिक विश्लेषण शामिल है। अनुसंधान समस्या के करीब समस्याओं को हल करने के लिए शर्तें और तरीके, प्रारंभिक परिकल्पनाओं का प्रस्ताव और निर्माण, अध्ययन के दौरान प्राप्त परिणामों का विश्लेषण और सामान्यीकरण, प्राप्त तथ्यों के आधार पर प्रारंभिक परिकल्पना का सत्यापन, नए परिणामों, पैटर्न, गुणों का अंतिम सूत्रीकरण , मौजूदा ज्ञान की प्रणाली में उत्पन्न समस्या के समाधान के स्थान का निर्धारण। शैक्षिक अनुसंधान की वस्तुओं में मुख्य स्थान स्कूली गणित पाठ्यक्रम की उन अवधारणाओं और संबंधों का है, जिनके अध्ययन की प्रक्रिया में उनके परिवर्तन और परिवर्तन के पैटर्न, उनके कार्यान्वयन की शर्तें, विशिष्टता आदि का पता चलता है।
इस तरह के शोध कौशल के निर्माण में गंभीर संभावनाएं जैसे उद्देश्यपूर्ण रूप से निरीक्षण करने, तुलना करने, आगे रखने, साबित करने या किसी परिकल्पना को अस्वीकार करने की क्षमता, सामान्यीकरण करने की क्षमता आदि, एक ज्यामिति पाठ्यक्रम में मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताओं के निर्माण के कार्य हैं। एक बीजगणित पाठ्यक्रम, तथाकथित गतिशील समस्याएं, जिन्हें हल करने की प्रक्रिया में छात्र मानसिक गतिविधि की बुनियादी तकनीकों में महारत हासिल करते हैं: विश्लेषण, संश्लेषण (संश्लेषण के माध्यम से विश्लेषण, विश्लेषण के माध्यम से संश्लेषण), सामान्यीकरण, विशिष्टता, आदि, उद्देश्यपूर्ण रूप से बदलती वस्तुओं का निरीक्षण करते हैं , विचाराधीन वस्तुओं के गुणों के संबंध में एक परिकल्पना को सामने रखता है और तैयार करता है, आगे रखी गई परिकल्पना का परीक्षण करता है, पहले अर्जित ज्ञान की प्रणाली में सीखे गए परिणाम का स्थान, उसका व्यावहारिक महत्व निर्धारित करता है। शिक्षक द्वारा शैक्षिक अनुसंधान का संगठन निर्णायक महत्व रखता है। मानसिक गतिविधि के शिक्षण के तरीके, अनुसंधान के तत्वों को पूरा करने की क्षमता - ये लक्ष्य लगातार शिक्षक का ध्यान आकर्षित करते हैं, जिससे उन्हें विचाराधीन समस्या को हल करने से संबंधित कई पद्धतिगत प्रश्नों के उत्तर खोजने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।
कार्यक्रम के कई मुद्दों का अध्ययन किसी विशेष समस्या के विचार से जुड़ी अधिक समग्र और संपूर्ण तस्वीर बनाने के उत्कृष्ट अवसर प्रदान करता है।
शैक्षिक अनुसंधान की प्रक्रिया में, गणितीय वस्तुओं के अध्ययन में छात्र द्वारा संचित ज्ञान और अनुभव को संश्लेषित किया जाता है। एक छात्र के शैक्षिक अनुसंधान को व्यवस्थित करने में निर्णायक महत्व उसका ध्यान आकर्षित करना है (पहले अनैच्छिक, और फिर स्वैच्छिक), अवलोकन के लिए स्थितियां बनाना: गहरी जागरूकता सुनिश्चित करना, काम के प्रति छात्र का आवश्यक दृष्टिकोण, अध्ययन की वस्तु ("https:/ /साइट", 9).
स्कूली गणित शिक्षण में, शैक्षिक अनुसंधान के दो निकट से संबंधित स्तर हैं: अनुभवजन्य और सैद्धांतिक। पहले की विशेषता व्यक्तिगत तथ्यों का अवलोकन, उनका वर्गीकरण और उनके बीच एक तार्किक संबंध की स्थापना है, जिसे अनुभव द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। शैक्षिक अनुसंधान का सैद्धांतिक स्तर इस मायने में भिन्न है कि परिणामस्वरूप छात्र सामान्य गणितीय कानून बनाता है, जिसके आधार पर न केवल नए तथ्य, बल्कि अनुभवजन्य स्तर पर प्राप्त तथ्यों की भी अधिक गहराई से व्याख्या की जाती है।
शैक्षिक अनुसंधान करने के लिए छात्र को विशिष्ट विधियों, केवल गणित के लिए विशेषता, और सामान्य दोनों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है; विभिन्न स्कूल विषयों की वस्तुओं और घटनाओं के अध्ययन में विश्लेषण, संश्लेषण, प्रेरण, निगमन आदि का उपयोग किया जाता है।
शिक्षक द्वारा शैक्षिक अनुसंधान का संगठन निर्णायक महत्व रखता है। माध्यमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने की प्रक्रिया के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है: शैक्षिक अनुसंधान के मुख्य घटकों में एक शोध समस्या का निर्माण, इसके लक्ष्यों के बारे में जागरूकता, विचाराधीन मुद्दे पर उपलब्ध जानकारी का प्रारंभिक विश्लेषण शामिल है। अनुसंधान समस्या के करीब समस्याओं को हल करने के लिए शर्तें और तरीके, प्रारंभिक परिकल्पना का प्रस्ताव और निर्माण, अध्ययन के दौरान प्राप्त परिणामों का विश्लेषण और सामान्यीकरण, प्राप्त तथ्यों के आधार पर प्रारंभिक परिकल्पना का सत्यापन, नए परिणामों, पैटर्न का अंतिम सूत्रीकरण, गुण, मौजूदा ज्ञान की प्रणाली में उत्पन्न समस्या के समाधान के स्थान का निर्धारण। शैक्षिक अनुसंधान की वस्तुओं में मुख्य स्थान स्कूली गणित पाठ्यक्रम की उन अवधारणाओं और संबंधों का है, जिनके अध्ययन की प्रक्रिया में उनके परिवर्तन और परिवर्तन के पैटर्न, उनके कार्यान्वयन की शर्तें, विशिष्टता आदि का पता चलता है।
शैक्षिक अनुसंधान के लिए उपयुक्त बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए कार्यों के अध्ययन से संबंधित सामग्री है। उदाहरण के तौर पर, एक रैखिक फलन पर विचार करें।
असाइनमेंट: सम और विषम के लिए एक रैखिक फलन की जाँच करें। संकेत: निम्नलिखित मामलों पर विचार करें:
2) ए = 0 और बी? 0;
3)ए? 0 और बी = 0;
4)ए? 0 और बी? 0.
शोध के परिणामस्वरूप, संबंधित पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त परिणाम को दर्शाते हुए तालिका भरें।
समाधान के परिणामस्वरूप, छात्रों को निम्नलिखित तालिका प्राप्त होनी चाहिए:
सम और विषम | ||
विषम | न तो सम और न ही विषम |
इसकी समरूपता भरने की शुद्धता में संतुष्टि और आत्मविश्वास की भावना पैदा करती है।
मानसिक गतिविधि के तरीकों का निर्माण स्कूली बच्चों के समग्र विकास और उनमें शैक्षिक अनुसंधान (सामान्य रूप से या टुकड़ों में) करने के कौशल पैदा करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
शैक्षिक अनुसंधान का परिणाम विचाराधीन वस्तु (संबंध) के गुणों और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों के बारे में व्यक्तिपरक रूप से नया ज्ञान है। ये गुण हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम में शामिल हो भी सकते हैं और नहीं भी। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि किसी छात्र की गतिविधि के परिणाम की नवीनता गतिविधि को पूरा करने के तरीके की खोज की प्रकृति, गतिविधि की विधि और ज्ञान प्रणाली में प्राप्त परिणाम के स्थान दोनों से निर्धारित होती है। उस छात्र का.
शैक्षिक अनुसंधान का उपयोग करके गणित पढ़ाने की विधि को अनुसंधान कहा जाता है, भले ही शैक्षिक अनुसंधान योजना पूर्ण रूप से लागू की गई हो या टुकड़ों में।
शैक्षिक अनुसंधान के प्रत्येक चरण को लागू करते समय, प्रदर्शन और रचनात्मक गतिविधि दोनों के तत्व आवश्यक रूप से मौजूद होते हैं। यह किसी छात्र द्वारा स्वतंत्र रूप से कोई विशेष अध्ययन करने के मामले में सबसे स्पष्ट रूप से देखा जाता है। इसके अलावा, शैक्षिक अनुसंधान के दौरान, कुछ चरणों को शिक्षक द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है, अन्य को छात्र द्वारा स्वयं लागू किया जा सकता है। स्वतंत्रता का स्तर कई कारकों पर निर्भर करता है, विशेष रूप से, गठन के स्तर पर, किसी विशेष वस्तु (प्रक्रिया) का निरीक्षण करने की क्षमता, एक ही विषय पर अपना ध्यान केंद्रित करने की क्षमता, कभी-कभी काफी लंबे समय तक ध्यान केंद्रित करने की क्षमता। किसी समस्या को देखना, स्पष्ट और स्पष्ट रूप से तैयार करना, उपयुक्त (कभी-कभी अप्रत्याशित) संघों को खोजने और उपयोग करने की क्षमता, आवश्यक जानकारी का चयन करने के लिए मौजूदा ज्ञान का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करने की क्षमता, आदि।
किसी छात्र की शोध गतिविधियों की सफलता पर उसकी कल्पना, अंतर्ज्ञान, प्रेरणा, क्षमता (और शायद प्रतिभा या प्रतिभा) के प्रभाव को कम करके आंकना भी असंभव है।
§ 6 . शिक्षण विधियों की प्रणाली में अनुसंधान
एक दर्जन से अधिक मौलिक अध्ययन शिक्षण विधियों के लिए समर्पित किए गए हैं, जिन पर शिक्षक और समग्र रूप से स्कूल के काम की काफी सफलता निर्भर करती है। और, इसके बावजूद, शिक्षण सिद्धांत और शैक्षणिक अभ्यास दोनों में शिक्षण विधियों की समस्या बहुत प्रासंगिक बनी हुई है। शिक्षण पद्धति की अवधारणा काफी जटिल है। यह उस प्रक्रिया की असाधारण जटिलता के कारण है जिसे इस श्रेणी में प्रतिबिंबित करने का इरादा है। कई लेखक शिक्षण पद्धति को छात्रों की शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधियों को व्यवस्थित करने का एक तरीका मानते हैं।
शब्द "विधि" ग्रीक मूल का है और रूसी में अनुवादित इसका अर्थ है अनुसंधान, विधि। "विधि - सबसे सामान्य अर्थ में - एक लक्ष्य प्राप्त करने का एक तरीका है, गतिविधि को व्यवस्थित करने का एक निश्चित तरीका है।" यह स्पष्ट है कि सीखने की प्रक्रिया में विधि कुछ शैक्षिक लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए शिक्षक और छात्रों की गतिविधियों के बीच संबंध के रूप में कार्य करती है। इस दृष्टिकोण से, प्रत्येक शिक्षण पद्धति में शिक्षक का शिक्षण कार्य (अध्ययन की जा रही सामग्री की प्रस्तुति, स्पष्टीकरण) और छात्रों की सक्रिय शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि का संगठन शामिल होता है। इस प्रकार, शिक्षण पद्धति की अवधारणा दर्शाती है:
1. शिक्षक के शिक्षण कार्य की विधियाँ तथा विद्यार्थियों के शैक्षिक कार्य की विधियाँ उनके अंतर्संबंध में।
2. विभिन्न शिक्षण लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए उनके कार्य की विशिष्टताएँ। इस प्रकार, शिक्षण विधियाँ शिक्षक और छात्रों के बीच संयुक्त गतिविधि के तरीके हैं जिनका उद्देश्य सीखने की समस्याओं को हल करना है, अर्थात उपदेशात्मक कार्य।
अर्थात्, शिक्षण विधियों को शिक्षक के शिक्षण कार्य के तरीकों और अध्ययन की जा रही सामग्री में महारत हासिल करने के उद्देश्य से विभिन्न उपदेशात्मक कार्यों को हल करने के लिए छात्रों की शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधियों के संगठन के रूप में समझा जाना चाहिए। आधुनिक उपदेशों की गंभीर समस्याओं में से एक शिक्षण विधियों को वर्गीकृत करने की समस्या है। फ़िलहाल इस मुद्दे पर कोई एक दृष्टिकोण नहीं है. इस तथ्य के कारण कि विभिन्न लेखक अलग-अलग मानदंडों के आधार पर शिक्षण विधियों को समूहों और उपसमूहों में विभाजित करते हैं, कई वर्गीकरण हैं। लेकिन 20 के दशक में सोवियत शिक्षाशास्त्र में पुराने स्कूल में पनपने वाले शैक्षिक शिक्षण और यांत्रिक रटने के तरीकों के खिलाफ संघर्ष हुआ और उन तरीकों की खोज की गई जो छात्रों द्वारा ज्ञान के सचेत, सक्रिय और रचनात्मक अधिग्रहण को सुनिश्चित करेंगे। यह उन वर्षों में था जब शिक्षक बी.वी. विविएत्स्की ने यह स्थिति विकसित की थी कि शिक्षण में केवल दो विधियाँ हो सकती हैं: अनुसंधान विधि और तैयार ज्ञान की विधि। स्वाभाविक रूप से, तैयार ज्ञान की पद्धति की आलोचना की गई। अनुसंधान पद्धति, जिसका सार इस तथ्य पर उबलता है कि छात्रों को कथित तौर पर अध्ययन की जा रही घटनाओं के अवलोकन और विश्लेषण के आधार पर सब कुछ सीखना चाहिए, स्वतंत्र रूप से आवश्यक निष्कर्षों पर पहुंचते हुए, सबसे महत्वपूर्ण शिक्षण पद्धति के रूप में मान्यता दी गई थी। कक्षा में एक ही शोध पद्धति सभी विषयों पर लागू नहीं की जा सकती है।
साथ ही, इस पद्धति का सार यह है कि शिक्षक एक समस्याग्रस्त समस्या को उप-समस्याओं में तोड़ देता है, और छात्र इसका समाधान खोजने के लिए व्यक्तिगत कदम उठाते हैं। प्रत्येक चरण में रचनात्मक गतिविधि शामिल है, लेकिन समस्या का अभी तक कोई समग्र समाधान नहीं है। अनुसंधान के दौरान, छात्र वैज्ञानिक ज्ञान के तरीकों में महारत हासिल करते हैं और अनुसंधान गतिविधियों में अनुभव विकसित करते हैं। इस पद्धति का उपयोग करके प्रशिक्षित छात्रों की गतिविधि स्वतंत्र रूप से समस्याओं को प्रस्तुत करने, उन्हें हल करने के तरीके खोजने, अनुसंधान कार्यों, शिक्षकों द्वारा उनके सामने प्रस्तुत की जाने वाली समस्याओं को प्रस्तुत करने और विकसित करने की तकनीकों में महारत हासिल करना है।
यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि मनोविज्ञान विकासात्मक मनोविज्ञान के साथ कुछ पैटर्न स्थापित करता है। इससे पहले कि आप तरीकों का उपयोग करके छात्रों के साथ काम करना शुरू करें, आपको उनके विकासात्मक मनोविज्ञान के अध्ययन के तरीकों का गहन अध्ययन करने की आवश्यकता है। इन विधियों से परिचित होना इस प्रक्रिया के आयोजकों के लिए सीधे तौर पर व्यावहारिक लाभ हो सकता है, क्योंकि ये विधियाँ न केवल किसी के अपने वैज्ञानिक अनुसंधान के लिए उपयुक्त हैं, बल्कि व्यावहारिक शैक्षिक उद्देश्यों के लिए बच्चों के गहन अध्ययन के आयोजन के लिए भी उपयुक्त हैं। प्रशिक्षण और शिक्षा के लिए एक व्यक्तिगत दृष्टिकोण छात्रों की व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं और उनके व्यक्तित्व की विशिष्टता के अच्छे ज्ञान और समझ को मानता है। नतीजतन, शिक्षक को छात्रों का अध्ययन करने की क्षमता में महारत हासिल करने की जरूरत है, ताकि एक धूसर, सजातीय छात्र समूह को नहीं, बल्कि एक सामूहिकता को देखा जा सके जिसमें हर कोई कुछ विशेष, व्यक्तिगत और अद्वितीय का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह का अध्ययन प्रत्येक शिक्षक का कार्य है, लेकिन अभी भी इसे उचित ढंग से व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।
संगठन की मुख्य विधियों में से एक अवलोकन विधि है। बेशक, मानस को सीधे तौर पर नहीं देखा जा सकता। इस पद्धति में उसके व्यवहार के अध्ययन के माध्यम से मानव मानस की व्यक्तिगत विशेषताओं का अप्रत्यक्ष ज्ञान शामिल है। अर्थात्, यहाँ छात्र की व्यक्तिगत विशेषताओं (कार्य, कार्य, भाषण, उपस्थिति, आदि), छात्र की मानसिक स्थिति (धारणा, स्मृति, सोच, कल्पना, आदि की प्रक्रिया) और द्वारा मूल्यांकन करना आवश्यक है। उनके व्यक्तित्व लक्षण, स्वभाव, चरित्र। यह सब उस छात्र के लिए आवश्यक है जिसके साथ शिक्षक कुछ कार्य करते समय शिक्षण की अनुसंधान पद्धति का उपयोग करके काम करता है।
स्कूली गणित पाठ्यक्रम की समस्याओं के एक महत्वपूर्ण हिस्से को हल करने का तात्पर्य यह है कि छात्रों ने वर्तमान कार्यक्रमों के अनुसार नियमों और कार्रवाई के एल्गोरिदम में महारत हासिल करने और बुनियादी अनुसंधान करने की क्षमता जैसे गुण विकसित किए हैं। विज्ञान में अनुसंधान का अर्थ किसी वस्तु की घटना, विकास और परिवर्तन के पैटर्न की पहचान करने के लिए उसका अध्ययन करना है। अनुसंधान प्रक्रिया में, संचित पिछले अनुभव, मौजूदा ज्ञान, साथ ही वस्तुओं के अध्ययन के तरीकों और तरीकों (तकनीकों) का उपयोग किया जाता है। शोध का परिणाम नए वैज्ञानिक ज्ञान का अधिग्रहण होना चाहिए। मानसिक गतिविधि के शिक्षण के तरीके, अनुसंधान के तत्वों को पूरा करने की क्षमता - ये लक्ष्य लगातार शिक्षक का ध्यान आकर्षित करते हैं, जिससे उन्हें विचाराधीन समस्या को हल करने से संबंधित कई पद्धतिगत प्रश्नों के उत्तर खोजने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है। कार्यक्रम के कई मुद्दों का अध्ययन किसी विशेष कार्य के विचार से जुड़ी अधिक समग्र और संपूर्ण तस्वीर बनाने के उत्कृष्ट अवसर प्रदान करता है। गणित पढ़ाने की शोध पद्धति स्वाभाविक रूप से छात्रों की गतिविधियों की प्रकृति और उनकी संज्ञानात्मक स्वतंत्रता की डिग्री के आधार पर शिक्षण विधियों के वर्गीकरण में फिट बैठती है। किसी छात्र की शोध गतिविधि को सफलतापूर्वक व्यवस्थित करने के लिए, शिक्षक को उसके व्यक्तिगत गुणों और इस प्रकार की गतिविधि की प्रक्रियात्मक विशेषताओं के साथ-साथ अध्ययन की गई पाठ्यक्रम सामग्री में छात्र की दक्षता के स्तर को समझना और ध्यान में रखना चाहिए। किसी छात्र की शोध गतिविधियों की सफलता पर उसकी कल्पना, अंतर्ज्ञान, प्रेरणा और क्षमता के प्रभाव को कम करके आंकना असंभव है।
शोध पद्धति में कार्यों के रूप भिन्न-भिन्न हो सकते हैं। ये ऐसे कार्य हो सकते हैं जिन्हें कक्षा में और घर पर तुरंत हल किया जा सकता है, या ऐसे कार्य जिनके लिए पूरे पाठ की आवश्यकता होती है। अधिकांश शोध कार्य छोटे खोज कार्य होने चाहिए जिनके लिए शोध प्रक्रिया के सभी या अधिकांश चरणों को पूरा करने की आवश्यकता होती है। उनका संपूर्ण समाधान यह सुनिश्चित करेगा कि अनुसंधान पद्धति अपने कार्यों को पूरा करे। शोध प्रक्रिया के चरण इस प्रकार हैं:
1 तथ्यों एवं घटनाओं का उद्देश्यपूर्ण अवलोकन एवं तुलना।
जांच की जाने वाली अस्पष्ट घटनाओं की पहचान।
विचाराधीन मुद्दे पर उपलब्ध जानकारी का प्रारंभिक विश्लेषण।
4. एक परिकल्पना का प्रस्ताव और सूत्रीकरण।
5. एक शोध योजना का निर्माण.
योजना का कार्यान्वयन, अध्ययन की जा रही घटना के दूसरों के साथ संबंधों को स्पष्ट करना।
नए परिणामों, पैटर्न, गुणों का निरूपण, मौजूदा ज्ञान की प्रणाली में निर्दिष्ट अनुसंधान के लिए पाए गए समाधान के स्थान का निर्धारण।
जाँच करने पर समाधान मिला।
नए ज्ञान के संभावित अनुप्रयोग के बारे में व्यावहारिक निष्कर्ष।
§ 7 . सिस्टम में अनुसंधान करने की क्षमताहमारे पास विशेष ज्ञान है
कौशल विभिन्न परिस्थितियों में जटिल कार्यों को करने के लिए, यानी प्रासंगिक समस्याओं को हल करने के लिए छात्र के ज्ञान और कौशल का सचेत अनुप्रयोग है, क्योंकि प्रत्येक जटिल क्रिया का निष्पादन छात्र के लिए समस्या के समाधान के रूप में कार्य करता है।
अनुसंधान कौशल को सामान्य और विशिष्ट में विभाजित किया जा सकता है। सामान्य अनुसंधान कौशल, जिसका निर्माण और विकास मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में होता है, में शामिल हैं: एक पैरामीटर के साथ दिए गए समीकरण के पीछे समीकरणों के विभिन्न वर्गों को देखने की क्षमता, जो संख्या और प्रकार की सामान्य उपस्थिति की विशेषता है। जड़ें; विश्लेषणात्मक और ग्राफिक-विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग करने की क्षमता।
विशेष अनुसंधान कौशल में वे कौशल शामिल होते हैं जो एक विशिष्ट वर्ग की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में बनते और विकसित होते हैं।
एक पैरामीटर वाले रैखिक समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित विशेष कौशल बनते हैं:
§ विशेष पैरामीटर मानों की पहचान करने की क्षमता जिस पर किसी दिए गए रैखिक समीकरण में है:
एकल जड़;
जड़ों की अनंत संख्या;
3) कोई जड़ नहीं है;
मूल कार्य की भाषा में उत्तर की व्याख्या करने की क्षमता। विशेष अनुसंधान कौशल, जिसका गठन और विकास एक पैरामीटर युक्त रैखिक असमानताओं को हल करने की प्रक्रिया में होता है, में शामिल हैं:
§ पैरामीटर के एक फ़ंक्शन के रूप में अज्ञात और मुक्त पद के गुणांक को देखने की क्षमता;
§ विशेष पैरामीटर मानों की पहचान करने की क्षमता जिस पर किसी दी गई रैखिक असमानता का समाधान होता है:
1) अंतराल;
2) कोई समाधान नहीं है;
§ मूल कार्य की भाषा में उत्तर की व्याख्या करने की क्षमता। विशेष अनुसंधान कौशल, जिसका निर्माण और विकास एक पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में होता है, में शामिल हैं:
§ किसी पैरामीटर के विशेष मान की पहचान करने की क्षमता जिस पर अग्रणी गुणांक शून्य हो जाता है, यानी समीकरण रैखिक हो जाता है और पैरामीटर के पहचाने गए विशेष मानों के लिए परिणामी समीकरण का समाधान ढूंढने की क्षमता;
§ विवेचक के चिह्न के आधार पर किसी दिए गए द्विघात समीकरण की उपस्थिति और जड़ों की संख्या के प्रश्न को हल करने की क्षमता;
§ एक पैरामीटर के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों को व्यक्त करने की क्षमता (यदि उपलब्ध हो);
विशेष शोध कौशलों में, जिनका निर्माण और विकास भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में होता है जिसमें एक पैरामीटर होता है जिसे द्विघात तक कम किया जा सकता है, इसमें शामिल हैं:
§ एक पैरामीटर वाले भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को एक पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में कम करने की क्षमता।
विशेष अनुसंधान कौशल, जिनका निर्माण और विकास एक पैरामीटर युक्त द्विघात असमानताओं को हल करने की प्रक्रिया में होता है, में शामिल हैं:
§ किसी पैरामीटर के विशेष मान की पहचान करने की क्षमता जिस पर अग्रणी गुणांक शून्य हो जाता है, अर्थात असमानता रैखिक हो जाती है और पैरामीटर के विशेष मानों के लिए परिणामी असमानता के कई समाधान खोजने की क्षमता;
§ एक पैरामीटर के माध्यम से द्विघात असमानता के समाधान के सेट को व्यक्त करने की क्षमता।
नीचे सूचीबद्ध शैक्षिक कौशल हैं जो शिक्षण और अनुसंधान के साथ-साथ अनुसंधान कौशल में भी परिवर्तित होते हैं।
6−7 ग्रेड:
- नए ज्ञान प्राप्त करने की स्थिति में पुराने ज्ञान का शीघ्र उपयोग करें;
- मानसिक क्रियाओं के एक समूह को एक सामग्री से दूसरी सामग्री में, एक विषय से दूसरे विषय में स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित करना;
अर्जित ज्ञान को वस्तुओं के एक बड़े समूह में वितरित करें;
ज्ञान के "पतन" और "प्रकटीकरण" की प्रक्रिया को संयोजित करें;
मुख्य विचारों को उसके खंडों और हिस्सों में उजागर करके उद्देश्यपूर्ण ढंग से पाठ के विचारों को संक्षेप में प्रस्तुत करना;
जानकारी को व्यवस्थित और वर्गीकृत करना;
- समानताओं और अंतरों को उजागर करते हुए विशेषताओं की प्रणालियों पर जानकारी की तुलना करें;
- प्रतीकात्मक भाषा को लिखित और मौखिक भाषण से जोड़ने में सक्षम हो;
- भविष्य के काम के लिए तरीकों का विश्लेषण और योजना बनाना;
नए ज्ञान के घटकों को जल्दी और स्वतंत्र रूप से "कनेक्ट" करें;
पाठ के मुख्य विचारों और तथ्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करने में सक्षम हो;
- आरेखों, तालिकाओं, नोट्स आदि की सहायता से सिस्टम-निर्माण ज्ञान से विशिष्ट ज्ञान की ओर बढ़ते हुए नया ज्ञान प्राप्त करें;
लंबी सुनने की प्रक्रिया के दौरान रिकॉर्डिंग के विभिन्न रूपों का उपयोग करें;
इष्टतम समाधान चुनें;
परस्पर संबंधित तकनीकों का उपयोग करके सिद्ध या असिद्ध करना;
- विभिन्न प्रकार के विश्लेषण और संश्लेषण का उपयोग करें;
- विभिन्न दृष्टिकोणों से समस्या पर विचार करें;
- विचारों के एल्गोरिदम के रूप में निर्णय व्यक्त करें।
छात्रों की सोच के गठन या मानसिक विकास की प्रक्रियाओं में गणितीय शिक्षा को एक विशेष स्थान दिया जाना चाहिए और दिया जाना चाहिए, क्योंकि गणित शिक्षण के साधन समग्र व्यक्तित्व के कई बुनियादी घटकों और सबसे ऊपर, सोच को सबसे प्रभावी ढंग से प्रभावित करते हैं।
इस प्रकार, छात्र की सोच के विकास पर विशेष ध्यान दिया जाता है, क्योंकि यह वह है जो अन्य सभी मानसिक कार्यों से जुड़ा होता है: कल्पना, मन का लचीलापन, विचार की चौड़ाई और गहराई, आदि। आइए हम इस पर विचार करते समय ध्यान दें छात्र-केंद्रित शिक्षा के संदर्भ में सोच का विकास, किसी को यह याद रखना चाहिए कि इस तरह के विकास के कार्यान्वयन के लिए एक आवश्यक शर्त सीखने का वैयक्तिकरण है। यह वह है जो विभिन्न श्रेणियों के छात्रों की मानसिक गतिविधि की विशेषताओं को ध्यान में रखना सुनिश्चित करता है।
रचनात्मकता का मार्ग व्यक्तिगत है। साथ ही, गणित का अध्ययन करने की प्रक्रिया में सभी छात्रों को इसकी रचनात्मक प्रकृति को महसूस करना चाहिए, गणित सीखने की प्रक्रिया में रचनात्मक गतिविधि के कुछ कौशल से परिचित होना चाहिए जिनकी उन्हें अपने भविष्य के जीवन और गतिविधियों में आवश्यकता होगी। इस जटिल समस्या को हल करने के लिए, गणित शिक्षण को इस तरह से संरचित किया जाना चाहिए कि छात्र अक्सर नए संयोजनों, परिवर्तनकारी चीजों, घटनाओं, वास्तविकता की प्रक्रियाओं की तलाश करें और वस्तुओं के बीच अज्ञात कनेक्शन की तलाश करें।
गणित पढ़ाते समय छात्रों को रचनात्मक गतिविधि से परिचित कराने का एक उत्कृष्ट तरीका अपने सभी रूपों और अभिव्यक्तियों में स्वतंत्र कार्य है। इस संबंध में शिक्षाविद् पी. एल. कपित्सा का कथन बहुत मौलिक है कि स्वतंत्रता एक रचनात्मक व्यक्तित्व के सबसे बुनियादी गुणों में से एक है, क्योंकि किसी व्यक्ति में रचनात्मक क्षमताओं की खेती स्वतंत्र सोच के विकास पर आधारित है।
स्वतंत्र रचनात्मक गतिविधि के लिए छात्रों और अध्ययन समूहों की तैयारी का स्तर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देकर निर्धारित किया जा सकता है:
स्कूली बच्चे कितने प्रभावी ढंग से नोट्स, संदर्भ नोट्स का उपयोग कर सकते हैं और आरेख और विभिन्न प्रकार की तालिकाओं को पढ़ सकते हैं?
क्या छात्र जानते हैं कि शिक्षक द्वारा किसी समस्या का समाधान करते समय प्रस्तावित विचारों का वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन कैसे किया जाए और उनके आवेदन की संभावना को कैसे ध्यान में रखा जाए? 3) स्कूली बच्चे किसी समस्या को हल करने के एक तरीके से दूसरे तरीके की ओर कितनी तेजी से आगे बढ़ते हैं? 4) पाठ के दौरान छात्रों को स्वतंत्र कार्य के स्व-संगठन की ओर उन्मुख करने की प्रभावशीलता का विश्लेषण करें; 5) समस्याओं को लचीले ढंग से मॉडल करने और हल करने की छात्रों की क्षमता का पता लगाएं।
अध्याय 2. "पैरामीटर के साथ समीकरण और असमानताएं" विषय का पद्धतिगत विश्लेषण और एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम का विकास "एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण और असमानताएं"
§ 1. भूमिका और जगह पैरामीट्रिक समीकरण और असमानता गठन में अनुसंधान कौशलवें छात्र
इस तथ्य के बावजूद कि माध्यमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में मापदंडों के साथ समस्याओं का स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, यह कहना गलत होगा कि मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के मुद्दे को स्कूली गणित पाठ्यक्रम में किसी भी तरह से संबोधित नहीं किया गया है। स्कूल समीकरणों को याद करने के लिए यह पर्याप्त है: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, जिसमें a, b, c, k पैरामीटर से अधिक कुछ नहीं हैं। लेकिन स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, ऐसी अवधारणा, पैरामीटर पर ध्यान केंद्रित नहीं किया जाता है कि यह अज्ञात से कैसे भिन्न है।
अनुभव से पता चलता है कि मापदंडों के साथ समस्याएं तार्किक और तकनीकी दृष्टि से प्राथमिक गणित का सबसे जटिल खंड हैं, हालांकि औपचारिक दृष्टिकोण से ऐसी समस्याओं की गणितीय सामग्री कार्यक्रमों की सीमा से आगे नहीं जाती है। यह पैरामीटर पर विभिन्न दृष्टिकोणों के कारण होता है। एक ओर, एक पैरामीटर को एक चर के रूप में माना जा सकता है, जिसे समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय एक स्थिर मान माना जाता है; दूसरी ओर, एक पैरामीटर एक मात्रा है जिसका संख्यात्मक मान नहीं दिया गया है, लेकिन इसे ज्ञात माना जाना चाहिए, और पैरामीटर मनमाना मान ले सकता है, यानी पैरामीटर, एक निश्चित लेकिन अज्ञात संख्या होने के कारण दोहरी प्रकृति का होता है। सबसे पहले, अनुमानित ज्ञातता पैरामीटर को एक संख्या के रूप में मानने की अनुमति देती है, और दूसरी बात, स्वतंत्रता की डिग्री इसकी अज्ञातता से सीमित होती है।
मापदंडों की प्रकृति के प्रत्येक विवरण में अनिश्चितता है - समाधान के किन चरणों में पैरामीटर को स्थिर माना जा सकता है और जब यह एक चर की भूमिका निभाता है। पैरामीटर की ये सभी विरोधाभासी विशेषताएं छात्रों में उनके परिचित की शुरुआत में ही एक निश्चित मनोवैज्ञानिक बाधा पैदा कर सकती हैं।
इस संबंध में, पैरामीटर को जानने के प्रारंभिक चरण में, जितनी बार संभव हो प्राप्त परिणामों की दृश्य और चित्रमय व्याख्या का सहारा लेना बहुत उपयोगी होता है। यह न केवल छात्रों को पैरामीटर की प्राकृतिक अनिश्चितता को दूर करने की अनुमति देता है, बल्कि शिक्षक को समानांतर में, प्रोपेड्यूटिक्स के रूप में, छात्रों को समस्याओं को हल करते समय प्रमाण के ग्राफिकल तरीकों का उपयोग करने के लिए सिखाने का अवसर भी देता है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि कुछ मामलों में कम से कम योजनाबद्ध ग्राफिक चित्रण का उपयोग अनुसंधान की दिशा निर्धारित करने में मदद करता है, और कभी-कभी हमें किसी समस्या को हल करने की कुंजी तुरंत चुनने की अनुमति देता है। वास्तव में, कुछ प्रकार की समस्याओं के लिए, वास्तविक ग्राफ़ से दूर एक आदिम रेखाचित्र भी, विभिन्न प्रकार की त्रुटियों से बचना और सरल तरीके से समीकरण या असमानता का उत्तर प्राप्त करना संभव बनाता है।
गणित का अध्ययन करते समय सामान्य तौर पर गणितीय समस्याओं को हल करना स्कूली बच्चों की गतिविधियों का सबसे कठिन हिस्सा होता है और इसे इस तथ्य से समझाया जाता है कि समस्याओं को हल करने के लिए उच्चतम स्तर की बुद्धि के काफी उच्च स्तर के विकास की आवश्यकता होती है, यानी सैद्धांतिक, औपचारिक और चिंतनशील सोच, और इसी तरह की। सोच, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किशोरावस्था के दौरान अभी भी विकसित हो रही है।
राज्य बजटीय शैक्षणिक संस्थान
समारा क्षेत्र माध्यमिक सामान्य शिक्षा
स्कूल नंबर 2 के नाम पर रखा गया। वी. मस्किना रेलवे कला। Klyavlino
क्लाइवलिंस्की नगरपालिका जिला
समारा क्षेत्र
« समीकरण
और
असमानता
मापदंडों के साथ"
ट्यूटोरियल
Klyavlino
ट्यूटोरियल
"पैरामीटर के साथ समीकरण और असमानताएं"कक्षा 10-11 के छात्रों के लिए
यह मैनुअल वैकल्पिक पाठ्यक्रम "मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएं" के कार्यक्रम का एक परिशिष्ट है, जिसने एक बाहरी परीक्षा उत्तीर्ण की है (19 दिसंबर, 2008 को समारा क्षेत्र के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय की वैज्ञानिक और पद्धति विशेषज्ञ परिषद ने इसके लिए सिफारिश की थी) समारा क्षेत्र के शैक्षणिक संस्थानों में उपयोग)
लेखक
रोमाडानोवा इरीना व्लादिमीरोवाना
क्लाइवलिंस्काया माध्यमिक शैक्षणिक संस्थान में गणित के शिक्षक
स्कूल नंबर 2 के नाम पर रखा गया। वी. मस्किना, क्लाइवलिंस्की जिला, समारा क्षेत्र
सेर्बेवा इरीना अलेक्सेवना
परिचय……………………………………………………3-4
मापदंडों के साथ रैखिक समीकरण और असमानताएँ…………..4-7
द्विघात समीकरण और मापदंडों के साथ असमानताएँ…………7-9
मापदंडों के साथ भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण…………..10-11
मापदंडों के साथ तर्कहीन समीकरण और असमानताएँ……11-13
त्रिकोणमितीय समीकरण और मापदंडों के साथ असमानताएँ.14-15
मापदंडों के साथ घातीय समीकरण और असमानताएँ………16-17
लघुगणकीय समीकरण और मापदंडों के साथ असमानताएँ......16-18
एकीकृत राज्य परीक्षा उद्देश्य……………………………………………………18-20
स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य…………………………21-28
परिचय।
मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएँ।
यदि किसी समीकरण या असमानता में कुछ गुणांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान नहीं दिया गया है, बल्कि अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो उन्हें कहा जाता है पैरामीटर,और स्वयं समीकरण या असमानता पैरामीट्रिक.
मापदंडों के साथ किसी समीकरण या असमानता को हल करने के लिए आपको यह करना होगा:
चुनना विशेष अर्थ- यह उस पैरामीटर का मान है जिसमें या जिसके माध्यम से गुजरने पर समीकरण या असमानता का समाधान बदल जाता है।
परिभाषित करना वैध मान- ये उस पैरामीटर के मान हैं जिस पर समीकरण या असमानता समझ में आती है।
किसी समीकरण या असमानता को मापदंडों के साथ हल करने का अर्थ है:
1) निर्धारित करें कि किस पैरामीटर मान पर समाधान मौजूद हैं;
2) पैरामीटर मानों की प्रत्येक स्वीकार्य प्रणाली के लिए, समाधानों का संगत सेट ढूंढें।
आप निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके एक पैरामीटर के साथ एक समीकरण को हल कर सकते हैं: विश्लेषणात्मक या ग्राफिकल।
विश्लेषणात्मक विधि इसमें कई मामलों पर विचार करके एक समीकरण का अध्ययन करने का कार्य शामिल है, जिनमें से किसी को भी छोड़ा नहीं जा सकता है।
विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रत्येक प्रकार के मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने में स्थिति का विस्तृत विश्लेषण और लगातार अनुसंधान शामिल होता है, जिसके दौरान आवश्यकता उत्पन्न होती है "सावधानीपूर्वक संभालना"पैरामीटर के साथ.
ग्राफ़िकल विधि इसमें समीकरण का एक ग्राफ बनाना शामिल है, जिससे कोई यह निर्धारित कर सकता है कि पैरामीटर में परिवर्तन क्रमशः समीकरण के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। ग्राफ़ कभी-कभी आपको समस्या को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करने की अनुमति देता है। ग्राफ़िकल समाधान विधि विशेष रूप से प्रभावी होती है जब आपको यह स्थापित करने की आवश्यकता होती है कि पैरामीटर के आधार पर समीकरण की कितनी जड़ें हैं और इसे स्पष्ट रूप से देखने का निस्संदेह लाभ है।
§ 1. रैखिक समीकरण और असमानताएँ।
रेखीय समीकरण ए एक्स = बी , सामान्य रूप में लिखा गया, पैरामीटर के साथ एक समीकरण के रूप में माना जा सकता है, जहां एक्स - अज्ञात , ए , बी - विकल्प. इस समीकरण के लिए, पैरामीटर का विशेष या नियंत्रण मान वह है जिस पर अज्ञात का गुणांक शून्य हो जाता है।
किसी पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरण को हल करते समय, उन मामलों पर विचार किया जाता है जब पैरामीटर उसके विशेष मान के बराबर होता है और उससे भिन्न होता है।
विशेष पैरामीटर मान ए मूल्य है ए = 0.
बी = 0 एक विशेष पैरामीटर मान है बी .
पर बी ¹ 0 समीकरण का कोई हल नहीं है.
पर बी = 0 समीकरण इस प्रकार बनेगा: 0x = 0. इस समीकरण का हल कोई भी वास्तविक संख्या है।
स्वरूप की असमानताएँ आह > बी और कुल्हाड़ी < बी (ए ≠ 0)रैखिक असमानताएँ कहलाती हैं। असमानता के समाधान का सेट आह >बी- मध्यान्तर
(; +
),
अगर ए
> 0
, और (-;)
, अगर ए< 0
. इसी तरह असमानता के लिए भी
ओह<
बी
समाधानों का सेट - अंतराल(-;),
अगर ए
> 0,
और (; +),
अगर ए< 0.
उदाहरण 1। प्रश्न हल करें कुल्हाड़ी = 5
समाधान: यह एक रैखिक समीकरण है.
अगर ए = 0, फिर समीकरण 0 × एक्स = 5कोई समाधान नहीं है.
अगर ए¹ 0, एक्स =- समीकरण का समाधान.
उत्तर: पर ए¹ 0, एक्स=
a = 0 के लिए कोई समाधान नहीं है।
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें कुल्हाड़ी - 6 = 2ए - 3x.
समाधान:यह एक रेखीय समीकरण है, कुल्हाड़ी - 6 = 2ए - 3एक्स (1)
कुल्हाड़ी + 3एक्स = 2ए +6
समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखना (ए+3)एक्स = 2(ए+3), दो मामलों पर विचार करें:
ए= -3और ए¹ -3.
अगर ए= -3, फिर कोई वास्तविक संख्या एक्ससमीकरण (1) का मूल है। अगर ए¹ -3 , समीकरण (1) का एक ही मूल है एक्स = 2.
उत्तर:पर ए = -3, एक्स 
आर
;
पर ए
¹
-3, एक्स = 2.
उदाहरण 3. किस पैरामीटर मान पर एसमीकरण की जड़ों के बीच
2एएच - 4ख -ए 2 + 4ए – 4 = 0और भी जड़ें हैं 1 ?
समाधान: आइए समीकरण हल करें 2एएच - 4ख -ए 2 + 4ए – 4 = 0- रेखीय समीकरण
2(ए - 2) एक्स = ए 2 - 4ए +4
2(ए - 2) एक्स = (ए - 2) 2
पर ए = 2समीकरण को हल करना 0x = 0 1 से बड़ी संख्या सहित कोई भी संख्या होगी।
पर ए¹
2 एक्स = 
.
शर्त से एक्स > 1, वह है >1, और >4.
उत्तर:पर ए (2) यू (4;∞).
उदाहरण 4 . प्रत्येक पैरामीटर मान के लिए एसमीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए आह=8.
समाधान। कुल्हाड़ी = 8- रेखीय समीकरण।
य = ए– क्षैतिज रेखाओं का परिवार;
य = - ग्राफ़ एक अतिपरवलय है. आइए इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं।
उत्तर: यदि ए =0, तो समीकरण का कोई हल नहीं है। अगर ए ≠ 0, तो समीकरण का एक हल है।
उदाहरण 5 . ग्राफ़ का उपयोग करके, पता लगाएं कि समीकरण की कितनी जड़ें हैं:
|x| = आह - 1.
y=| एक्स | ,
य = आह - 1- ग्राफ़ एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (0;-1).
आइए इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं।
उत्तर: कब |ए|>1- एक जड़
पर | ए|≤1 – समीकरण की कोई जड़ नहीं है.
उदाहरण 6 . असमानता का समाधान करें कुल्हाड़ी + 4 > 2x + ए 2
समाधान
:
कुल्हाड़ी + 4 > 2x + ए
2
(ए - 2) एक्स >ए
2
– 4. आइए तीन मामलों पर विचार करें।
उत्तर। एक्स > ए + 2पर ए > 2; एक्स<а + 2, पर ए< 2; पर ए=2कोई समाधान नहीं हैं.
§ 2. द्विघात समीकरण और असमानताएँ
द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है ओह ² + बी एक्स + सी = 0 , कहाँ ए≠ 0,
ए, बी , साथ - विकल्प.
किसी पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, आप निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके मानक समाधान विधियों का उपयोग कर सकते हैं:
1
)
द्विघात समीकरण का विभेदक:
डी
=
बी
² - 4
एसी
,
(
²-
एसी)
2)
द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र:एक्स
1
=
, एक्स
2
=
,
(एक्स
1,2 =
)
द्विघात असमानताएँ कहलाती हैं
ए एक्स 2 + बी एक्स + सी > 0,ए एक्स 2 + बी एक्स + सी< 0, (1), (2)
ए एक्स 2 + बी एक्स + सी ≥ 0,ए एक्स 2 + बी एक्स + सी ≤ 0,(3), (4)
असमानता (3) के समाधान का सेट असमानता (1) के समाधान के सेट और समीकरण को मिलाकर प्राप्त किया जाता है , ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.असमानता के समाधान का सेट (4) इसी तरह पाया जा सकता है।
यदि द्विघात त्रिपद का विभेदक
ए
एक्स
2
+
बी
एक्स + सी
शून्य से कम है, तो a > 0 के लिए त्रिपद सभी x के लिए धनात्मक है आर.
यदि एक द्विघात त्रिपद की जड़ें (x) हैं 1
< х
2
), तो a > 0 के लिए यह सेट पर सकारात्मक है(-;
एक्स 2 )
(एक्स 2;
+)
और अंतराल पर नकारात्मक
(एक्स 1; एक्स 2 ). यदि एक< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; एक्स 2 ) और सभी x के लिए नकारात्मक (-;
एक्स 1 )(एक्स 2;
+).
उदाहरण 1। प्रश्न हल करें ax² - 2 (a - 1)x - 4 = 0.
यह एक द्विघात समीकरण है
समाधान: विशेष अर्थ ए = 0.
पर ए = 0हमें एक रैखिक समीकरण मिलता है 2x – 4 = 0. इसकी एक ही जड़ होती है एक्स = 2.
पर ए ≠ 0.आइए विवेचक को खोजें।
डी = (a-1)² + 4a = (a+1)²
अगर ए = -1,वह डी = 0 - एक जड़.
आइए प्रतिस्थापित करके मूल ज्ञात करें ए = -1.
-x² + 4x – 4= 0,वह है x² -4x + 4 = 0,हम उसे ढूंढते हैं एक्स=2.
अगर ए ≠ - 1, वह डी
>0
. मूल सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:एक्स= 
;
एक्स 1 =2, एक्स 2 = -.
उत्तर:पर a=0 और a= -1समीकरण का एक मूल है एक्स = 2;पर ए ≠ 0 और
ए ≠ - 1 समीकरण के दो मूल हैंएक्स 1 =2, एक्स 2 =-.
उदाहरण 2. इस समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए x²-2x-8-a=0पैरामीटर मानों के आधार पर एक।
समाधान। आइए इस समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें x²-2x-8=a
य = x²-2x-8- ग्राफ एक परवलय है;
य =ए- क्षैतिज रेखाओं का एक परिवार।
आइए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं।
उत्तर: कब ए<-9 , समीकरण का कोई समाधान नहीं है; जब a=-9, समीकरण का एक हल होता है; पर ए>-9, समीकरण के दो समाधान हैं।
उदाहरण 3. किस पर एअसमानता (ए - 3) एक्स 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x के सभी मानों के लिए धारण करता है?
समाधान।एक द्विघात त्रिपद x यदि के सभी मानों के लिए धनात्मक है
a-3 > 0 और डी<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
जहां से यह उसका अनुसरण करता हैए
> 6
.
उत्तर।ए > 6
§ 3. पैरामीटर के साथ भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण,
रैखिक में कम करने योग्य
भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया सामान्य योजना के अनुसार की जाती है: समीकरण के दोनों पक्षों को उसके बाएँ और दाएँ पक्षों के सामान्य हर से गुणा करके भिन्न को एक पूर्णांक से बदल दिया जाता है। जिसके बाद बाहरी मूलों को छोड़कर, यानी वे संख्याएँ जो हर को शून्य में बदल देती हैं, पूरा समीकरण हल हो जाता है।
पैरामीटर वाले समीकरणों के मामले में, यह समस्या अधिक जटिल है। यहां, बाहरी जड़ों को "खत्म" करने के लिए, उस पैरामीटर का मान ढूंढना आवश्यक है जो सामान्य विभाजक को शून्य में बदल देता है, यानी पैरामीटर के लिए संबंधित समीकरणों को हल करने के लिए।
उदाहरण 1।
प्रश्न हल करें 
= 0
समाधान: डी.जेड: एक्स +2 ≠ 0, एक्स ≠ -2
एक्स - ए = 0, एक्स = ए.
उत्तर:पर a ≠ - 2, x=a
पर ए = -2कोई जड़ें नहीं हैं.
उदाहरण 2
.
प्रश्न हल करें 
- 
= 
(1)
यह एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है
समाधान:अर्थ ए = 0विशेष है. पर ए = 0समीकरण का कोई मतलब नहीं है और इसलिए इसकी कोई जड़ें नहीं हैं। अगर ए ≠ 0,तब परिवर्तनों के बाद समीकरण यह रूप लेगा: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- द्विघात समीकरण।
आइए विवेचक को खोजें 
= (1 - ए)² - (ए² - 2ए - 3)= 4,
समीकरण की जड़ें खोजेंएक्स
1
= ए + 1, एक्स
2
= ए - 3.
समीकरण (1) से समीकरण (2) की ओर बढ़ने पर, समीकरण (1) की परिभाषा का क्षेत्र विस्तारित हो गया, जिससे बाहरी जड़ों की उपस्थिति हो सकती है। इसलिए सत्यापन जरूरी है.
इंतिहान।आइए पाए गए मानों को बाहर करें एक्सजिनमें
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0।
अगर एक्स 1 +1=0, वह है (ए+1) + 1= 0, वह ए=-2.इस प्रकार,
पर ए=-2 , एक्स 1 -
अगर एक्स 1 +2=0, वह है (ए+1)+2=0,वह ए = - 3. इस प्रकार, जब ए = - 3, एक्स 1 - समीकरण का बाह्य मूल. (1).
अगर एक्स 2 +1=0, वह है (ए - 3) + 1= 0, वह ए = 2. इस प्रकार, जब ए = 2 एक्स 2 - समीकरण का बाह्य मूल (1).
अगर एक्स 2 +2=0, वह है ( ए - 3) + 2 = 0,वह ए=1. इस प्रकार, जब ए = 1,
एक्स 2 - समीकरण का बाह्य मूल (1)।
इसके अनुरूप जब ए = - 3हम पाते हैं एक्स = - 3 – 3 = -6;
पर ए = - 2 एक्स = -2 – 3= - 5;
पर ए = 1 एक्स =1 + 1= 2;
पर ए = 2 एक्स = 2+1 = 3.
आप उत्तर लिख सकते हैं.
उत्तर: 1) यदि ए= -3,वह एक्स= -6; 2) यदि ए=-2, वह एक्स= -5; 3) यदि ए= 0, तो कोई जड़ें नहीं हैं ; 4) यदि ए= 1, वह एक्स=2; 5) यदि ए=2, वह एक्स=3; 6) यदि a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, फिर x 1 = ए + 1, एक्स 2 = ए-3.
§4. अपरिमेय समीकरण और असमानताएँ
वे समीकरण एवं असमानताएँ जिनमें चर मूल चिन्ह के नीचे समाहित होता है, कहलाते हैं तर्कहीन.
अपरिमेय समीकरणों को हल करने से समीकरण के दोनों पक्षों को घातांकित करके या एक चर को प्रतिस्थापित करके एक अपरिमेय से तर्कसंगत समीकरण की ओर बढ़ना आता है। जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक समान घात तक बढ़ाया जाता है, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, इस पद्धति का उपयोग करते समय, आपको पैरामीटर मानों में परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए, पाए गए सभी मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचना चाहिए।
रूप का समीकरण 
=g (x) सिस्टम के समतुल्य है 
असमानता f (x) ≥ 0 समीकरण f (x) = g 2 (x) से अनुसरण करती है।
अपरिमेय असमानताओं को हल करते समय, हम निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करेंगे:
≤ जी(एक्स) 
≥g(x) 
उदाहरण 1।
प्रश्न हल करें 
= एक्स + 1 (3)
यह एक अपरिमेय समीकरण है
समाधान:
अंकगणितीय मूल की परिभाषा के अनुसार, समीकरण (3) प्रणाली के समतुल्य है 
.
पर ए = 2सिस्टम के पहले समीकरण का रूप है 0 एक्स = 5यानी इसका कोई समाधान नहीं है.
पर a≠ 2 x= 
.
आइए जानें किन मूल्यों परए
मूल्य मिलाएक्स
असमानता को संतुष्ट करता हैएक्स ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
कहाँ एक ≤या ए > 2.
उत्तर:पर a≤, a > 2 x= ,
पर < а ≤ 2
समीकरण का कोई हल नहीं है.
उदाहरण 2.
प्रश्न हल करें 
= ए
(परिशिष्ट 4)
समाधान। य
=
य = ए- क्षैतिज रेखाओं का एक परिवार।
आइए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं।
उत्तर: पर ए<0 – कोई समाधान नहीं हैं;
पर ए≥ 0 - एक हल।
उदाहरण 3
. आइए असमानता का समाधान करें(ए+1) 
<1.
समाधान।ओ.डी.जेड. एक्स ≤ 2. अगर ए+1 ≤0, तो असमानता सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए मान्य है एक्स. अगर ए+1>0, वह
(ए+1) <1.<
कहाँ एक्स (2- 
2
उत्तर।
एक्स (- ;2एक पर (-;-1,
एक्स (2- 2
पर ए
(-1;+).
§ 5. त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएँ।
यहां सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के सूत्र दिए गए हैं:
सिन्क्स = ए एक्स= (-1)एन आर्कसिन ए+πएन, एन जेड, 
≤1, (1)
क्योंकि x = ए x = ±arccos a + 2 πn, n जेड, ≤1.
(2)
अगर
>1, तो समीकरण (1) और (2) का कोई हल नहीं है।
टैन एक्स = ए एक्स= आर्कटैन ए + πएन, एन ज़ेड,ए आर
सीटीजी एक्स = ए एक्स = आर्कसीटीजी ए + πएन, एन ज़ेड,ए आर
प्रत्येक मानक असमानता के लिए हम समाधानों का सेट दर्शाते हैं:
1.
पाप x > ए आर्क्सिन ए + 2 πn
जेड,
पर ए
<-1,
एक्स आर
;
पर ए
≥ 1,
कोई समाधान नहीं हैं.
2. . पाप एक्स< a π - आर्क्सिन ए + 2 πnZ,
a≤-1 के लिए, कोई समाधान नहीं हैं; एक > 1 के लिए,एक्स आर
3.
ओल
एक्स
>
ए
-
आर्ककोस
ए
+ 2
πn
<
एक्स
<
आर्ककोस
ए
+ 2
πn
,
एन
जेड
,
पर ए<-1,
एक्स आर
; पर ए
≥ 1
, कोई समाधान नहीं हैं.
4. क्योंकि x आर्ककोस ए+ 2 πnZ,
पर a≤-1
, कोई समाधान नहीं; परए
> 1,
एक्स
आर
5. टैन एक्स > ए, आर्कटैन ए + πnZ
6.टीजी एक्स< a, -π/2 + πn Z
उदाहरण 1। खोजो ए, जिसके लिए इस समीकरण का एक समाधान है:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें
साथओएस 2 एक्स + (2 ए -4) cosx +(ए – 5)(ए+1) =0,इसे द्विघात के रूप में हल करने पर, हम पाते हैं cosx = 5-एऔर cosx = -ए-1.
समीकरण cosx
= 5-
ए
समाधान उपलब्ध कराए गए हैं -1≤ 5-ए
≤1
4≤
ए≤ 6, और समीकरण। cosx
= -
एक-1
बशर्ते -1≤ -1-ए
≤ 1
-2 ≤
ए
≤0.
उत्तर।
ए
-2; 0 4; 6
उदाहरण 2.
किस पर बीवहां ऐसी असमानता है 
+
बी> 0 सभी x ≠ के लिए मान्य हैπn
,
एन
जेड
.
समाधान।चलो रखो ए= 0. असमानता b >0 के लिए है। आइए अब दिखाते हैं कि कोई भी b ≤0 समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करता है। वास्तव में, x = लगाना पर्याप्त है π /2, अगर ए <0, и х = - π /2 पर ए ≥0.
उत्तर।बी>0
§ 6. घातीय समीकरण और असमानताएँ
1. समीकरण एच(एक्स)
एफ ( एक्स )
=
एच(एक्स)
जी ( एक्स) पर एच(एक्स) > 0 दो प्रणालियों के संग्रह के बराबर है 
और 
2. विशेष स्थिति में (h (x)= ए ) समीकरण एएफ(एक्स) = एजी(एक्स) पर ए> 0, दो प्रणालियों के संग्रह के बराबर है
और 
3. समीकरण एएफ(एक्स) = बी , कहाँ ए > 0, ए ≠1, बी>0, समीकरण के बराबर
एफ (एक्स) = लॉग ए बी। हो रहा ए=1 को अलग से माना जाता है।
सरलतम चरघातांकीय असमानताओं का समाधान शक्ति गुण पर आधारित है। स्वरूप की असमानताएफ(ए
एक्स ) > 0 परिवर्तनीय परिवर्तन का उपयोग करते हुएटी=
ए
एक्स असमानताओं की प्रणाली को हल करने में कमी आती है 
और फिर संबंधित सरल घातीय असमानताओं को हल करने के लिए।
एक गैर-सख्त असमानता को हल करते समय, सख्त असमानता के समाधान के सेट में संबंधित समीकरण की जड़ों को जोड़ना आवश्यक है। जैसा कि अभिव्यक्ति वाले सभी उदाहरणों में समीकरणों को हल करने में होता है एएफ (एक्स), हम मानते हैं ए> 0. मामला ए= 1 को अलग से माना जाता है।
उदाहरण 1
.
किस पर एसमीकरण 8 एक्स = 
केवल सकारात्मक जड़ें हैं?
समाधान।
एक से बड़े आधार वाले घातांकीय फलन के गुण से, हमारे पास x>0 है 8
एक्स >1 >1
>0, कहाँ सेए
(1,5;4).
उत्तर।
ए
(1,5;4).
उदाहरण 2. असमानता का समाधान करें ए 2 ∙2 एक्स > ए
समाधान. आइए तीन मामलों पर विचार करें:
1.
ए< 0
. चूँकि असमानता का बायाँ पक्ष सकारात्मक है और दायाँ पक्ष नकारात्मक है, असमानता किसी भी x के लिए मान्य है आर.
2. ए=0. कोई समाधान नहीं हैं.
3.
ए
> 0
.
ए
2
∙2
एक्स
>ए
2
एक्स
>
एक्स > -लॉग 2
ए
उत्तर।
एक्स आरपर ए
> 0; इसका कोई समाधान नहीं है
ए
=0; एक्स (-
लकड़ी का लट्ठा 2
ए; +) परए> 0
.
§ 7. लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ
आइए हम हल करने में प्रयुक्त कुछ तुल्यताएँ प्रस्तुत करें लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ।
1. समीकरण लॉग एफ (एक्स) जी (एक्स) = लॉग एफ (एक्स) एच (एक्स) सिस्टम के बराबर है
विशेषकर, यदि ए >0, ए≠1, फिर
लकड़ी का लट्ठा ए
g(x)=लॉग ए
एच(एक्स) 
2.
समीकरण लकड़ी का लट्ठा ए
जी(एक्स)=बी जी(एक्स)=ए
बी (
ए
>0,
एक ≠
1, जी(x) >0).
3. असमानता लकड़ी का लट्ठा एफ ( एक्स )
जी (एक्स) ≤
लकड़ी का लट्ठा एफ ( एक्स )
एच(एक्स) दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है: 
और 
यदि एक, b संख्याएँ हैं, a >0, a ≠1, फिर
लकड़ी का लट्ठा ए
एफ(एक्स) ≤ बी 
लकड़ी का लट्ठा ए
एफ(एक्स)>बी 
उदाहरण 1।
प्रश्न हल करें 
समाधान. आइए ODZ खोजें: x > 0, x ≠ ए 4 , ए > 0, ए≠ 1. समीकरण को रूपांतरित करें
लकड़ी का लट्ठा 
एक्स – 2 = 4 – लकड़ी का लट्ठा ए
एक्स लकड़ी का लट्ठा एक्स + लकड़ी का लट्ठा ए
एक्स– 6 = 0, कहाँ से लकड़ी का लट्ठा ए
एक्स = - 3
एक्स = ए-3 और लकड़ी का लट्ठा ए
एक्स = 2
एक्स = ए 2. शर्त एक्स = ए
4
ए
– 3
=
ए 4 या ए
2
=
ए
4
ODZ पर प्रदर्शन नहीं किया जाता है.
उत्तर:एक्स = ए-3, एक्स = ए 2 बजे ए
(0; 1) 
(1; ).
उदाहरण 2 . सबसे बड़ा मूल्य ज्ञात करें ए, जिसके लिए समीकरण
2
लकड़ी का लट्ठा 
-
+
ए
= 0 का समाधान है.
समाधान।
हम प्रतिस्थापन करेंगे =
टीऔर हमें द्विघात समीकरण 2 मिलता हैटी 2
–
टी +
ए
= 0. हल करने पर हम पाते हैंडी = 1-8
ए
. चलो गौर करते हैं डी≥0, 1-8
ए
≥0 
ए
≤.
पर ए = द्विघात समीकरण का एक मूल होता हैटी= >0.
उत्तर। ए =
उदाहरण 3 . असमानता का समाधान करेंलकड़ी का लट्ठा(एक्स 2 – 2 एक्स + ए ) > - 3
समाधान।
आइए असमानताओं की व्यवस्था को हल करें 
वर्ग त्रिपदों के मूल x 1,2
= 1 ± 
उनका 3,4
= 1 ± 
.
महत्वपूर्ण पैरामीटर मान: ए= 1 और ए= 9.
मान लीजिए कि X 1 और X 2 पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के समुच्चय हैं
एक्स 1 
एक्स 2
= एक्स - मूल असमानता का समाधान।
0 पर<
ए
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), परए> 1 एक्स 1 = (-;+).
0 पर<
ए
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), परए≥9 X 2 - कोई समाधान नहीं।
आइए तीन मामलों पर विचार करें:
1. 0<
ए
≤1 एक्स = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
ए
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. ए≥ 9 एक्स - कोई समाधान नहीं।
एकीकृत राज्य परीक्षा उद्देश्य
उच्च स्तर C1, C2
उदाहरण 1। सभी मान खोजें आर, जिसके लिए समीकरण
आर ∙ सीटीजी 2x+2sinx+ पी= 3 में कम से कम एक जड़ है।
समाधान।आइये समीकरण बदलते हैं
आर ∙ (
- 1) + 2सिंक्स + पी= 3, सिनएक्स =टी, टी 
,टी 
0.
-
पी+2t+ पी
= 3,
+ 2 टी = 3, 3 -2टी = , 3t 2 – 2t 3 = पी
.
होने देना एफ(य) = 3
टी 2
– 2
टी 3
. आइए फ़ंक्शन मानों का सेट ढूंढेंएफ(एक्स) पर 
. पर /
= 6
टी – 6
टी 2
, 6
टी - 6
टी 2
= 0,
टी 1
=0,
टी 2
= 1.
एफ(-1) = 5,
एफ(1) = 1.
पर टी ,
इ(एफ) =
,
पर टी ,
इ(एफ) =
, तभी टी ,
इ(एफ) =
.
समीकरण 3 के लिएटी 2
– 2
टी 3
=
पी
(इसलिए दिए गए) में कम से कम एक जड़ आवश्यक और पर्याप्त थीपी
इ(एफ), वह है पी
.
उत्तर।
.
उदाहरण 2.
किस पैरामीटर मान परएसमीकरण लकड़ी का लट्ठा 
(4
एक्स 2
– 4
ए
+
ए
2
+7) = 2 का मूल एक ही है?
समाधान।आइए समीकरण को इसके समतुल्य में बदलें:
4एक्स 2 – 4 ए + ए 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
ध्यान दें कि यदि एक निश्चित संख्या x परिणामी समीकरण का मूल है, तो संख्या - x भी इस समीकरण का मूल है। शर्त के अनुसार, यह संभव नहीं है, इसलिए एकमात्र मूल संख्या 0 है।
हम ढूंढ लेंगे ए.
4∙ 0 2 - 4ए + ए 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
ए 2 - 4ए +7 = 4, ए 2 - 4ए +3 = 0, ए 1 = 1, ए 2 = 3.
इंतिहान।
1)
ए
1
= 1. तब समीकरण इस प्रकार दिखता है:लकड़ी का लट्ठा (4
एक्स 2
+4)=2. आइए इसे सुलझाएं
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 ही एकमात्र मूल है।
2)
ए
2
= 3. समीकरण इस प्रकार दिखता है:लकड़ी का लट्ठा (4
एक्स 2
+4) =2 x = 0 ही एकमात्र मूल है।
उत्तर। 1; 3
उच्च स्तर C4, C5
उदाहरण 3. सभी मान खोजें आर,जिसके लिए समीकरण
एक्स 2 – ( आर+ 3)x + 1= 0 के पूर्णांक मूल हैं और ये मूल असमानता का समाधान हैं: x 3 - 7 आरएक्स 2 + 2एक्स 2 – 14 आरएक्स - 3एक्स +21 आर ≤ 0.
समाधान।
चलो एक्स 1,
एक्स 2
– समीकरण x के पूर्णांक मूल 2
– (आर
+ 3)x + 1= 0. फिर, विएटा के सूत्र के अनुसार, समानताएं x 1
+ एक्स 2
=
आर
+ 3, एक्स 1
∙ एक्स 2
= 1. दो पूर्णांकों का गुणनफल x 1
, एक्स 2
केवल दो स्थितियों में एक के बराबर हो सकता है: x 1
= एक्स 2
= 1 या x 1
= एक्स 2
= - 1. यदि x 1
= एक्स 2
= 1, फिरआर
+ 3 = 1+1 = 2आर
= - 1; यदि एक्स 1
= एक्स 2
= - 1, फिरआर
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 आर
= - 5. आइए जाँच करें कि समीकरण की जड़ें x हैं या नहीं 2
– (आर
इस असमानता के समाधान द्वारा वर्णित मामलों में + 3)x + 1 = 0। अवसर के लिएआर
= - 1, एक्स 1
= एक्स 2
= 1 हमारे पास है
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – सत्य; अवसर के लिए आर= - 5, x 1 = x 2 = - 1 हमारे पास (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – सही। अत: समस्या की शर्तें ही संतुष्ट होती हैं आर=-1 और आर = - 5.
उत्तर।आर 1 =-1 और आर 2 = - 5.
उदाहरण 4. पैरामीटर के सभी सकारात्मक मान ज्ञात करें ए, जिसके लिए संख्या 1 फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है
पर
= (ए 
-
ए 
).
कक्षा: 11
लक्ष्य:
शैक्षिक:
- एक पैरामीटर के साथ समीकरण को हल करने के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित और सामान्यीकृत करना;
- ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी तकनीक दिखाएँ।
विकासात्मक: एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तकनीकों के अध्ययन का विस्तार और गहनता करें।
शैक्षिक: किसी पैरामीटर की समस्या में पैरामीटर के चयनित मान पर उत्तर की निर्भरता का महत्व दिखाएं।
प्रयुक्त शिक्षण विधियाँ - उनका अनुप्रयोग.
- व्याख्यात्मक और उदाहरणात्मक.
- सामान्यीकरण, उपमाएँ और तुलनाएँ।
- यूडीई - प्रमुख कार्यों का निर्माण, एक विमान पर छवियों का सादृश्य।
- एकीकृत - बीजगणित मानचित्रण और ज्यामितीय व्याख्याएँ, स्लाइड।
सामान्य शैक्षिक कौशल का निर्माण:
- अध्ययन के तहत वस्तुओं की आवश्यक विशेषताओं की पहचान;
- व्यावहारिक कौशल का विकास;
- दर्शकों के साथ काम करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ: संवाद मोड में काम करना;
- पाठ के मनोवैज्ञानिक पहलू;
- एक आरामदायक कामकाजी माहौल बनाना;
- सक्रिय संवाद को प्रोत्साहित करना.
कक्षाओं के दौरान
परिचय. शिक्षक का प्रारंभिक भाषण.
समीकरण यूएसई प्रवेश परीक्षा विकल्पों का एक सामान्य हिस्सा बन गए हैं।
एक पैरामीटर वाले समीकरण गंभीर तार्किक कठिनाइयों का कारण बनते हैं।
ऐसा प्रत्येक समीकरण मूलतः समीकरणों के परिवार का एक संक्षिप्त संस्करण है। यह स्पष्ट है कि अनंत परिवार के प्रत्येक समीकरण को लिखना असंभव है, लेकिन फिर भी, उनमें से प्रत्येक को हल करना होगा। इसलिए, अवधारणाओं की प्रणाली पर विचार करने और मापदंडों (रैखिक, तर्कसंगत, आदि) के साथ समीकरणों को हल करने के तरीकों की खोज करने की आवश्यकता है।
मान लीजिए कि समीकरण F(x;a) = 0 दिया गया है। यदि हम पैरामीटर को कुछ निश्चित मान देते हैं, तो इस समीकरण को एक चर के साथ "साधारण" समीकरण माना जा सकता है।
आइए कार्य निर्धारित करें: पता लगाएं कि चयनित पैरामीटर मान के साथ स्थिति क्या हो सकती है?
छात्रों के साथ संवाद मोड में काम करना।
आइए मुख्य समस्याओं पर प्रकाश डालें:
- मापदंडों के साथ समीकरणों की बुनियादी अवधारणाओं को स्थापित करें।
- स्कूली गणित पाठ्यक्रम में प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के लिए, मापदंडों के साथ संबंधित समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य विधि स्थापित करें - एक और दो मापदंडों दोनों के लिए समान।
- समीकरणों के अध्ययन के लिए कार्यों के उदाहरणों पर विचार करें।
- समीकरणों के मूलों की संख्या का निर्धारण क्या है?
- दो समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल ज्ञात करना - इसका सार क्या है?
- ज्यामितीय व्याख्याएँ.
मैंचरण - पहली समस्या का समाधान.
छात्रों के साथ अंतःक्रियात्मक रूप से कार्य करना.
बुनियादी अवधारणाओं को स्थापित करने के लिए आप स्वयं से क्या प्रश्न पूछेंगे?
|
स्लाइड और सारांश दिखाई देते हैं
प्रकार II की समस्याओं में, उन सभी पैरामीटर मानों को ढूंढना आवश्यक है जिन पर कुछ निर्दिष्ट शर्तें पूरी होती हैं। |
उदाहरण के लिए।
1) समीकरण a (a – 1) = a – 1 को हल करें।
समाधान. हमारे सामने एक रैखिक समीकरण है जो a के सभी अनुमेय मानों को समझ में आता है। हम इसे "हमेशा की तरह" हल करेंगे: हम समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के गुणांक से विभाजित करते हैं। लेकिन क्या विभाजन हमेशा संभव है?
आप शून्य से भाग नहीं दे सकते. हमें उस मामले पर अलग से विचार करना होगा जब अज्ञात का गुणांक ओ के बराबर हो। हम पाते हैं:
उत्तर: 1) यदि a 0, a 1, तो x = ;
2) यदि a = 1, तो x कोई संख्या है;
3) यदि a = 0, तो कोई मूल नहीं हैं।
2) समीकरण (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0 को हल करें।
समाधान. आइए दो मामलों पर विचार करें:
विवेचक पर विचार करें: डी = (2ए - 1) 2 – (ए – 1)(4ए + 3) = - 3ए + 4.
यदि a, तो x 1.2 = 
.
उत्तर: 1) यदि ए > , तो कोई जड़ें नहीं हैं;
2) यदि a = 1, तो x = - 3.5;
3) यदि a और a1, तो x 1.2 = 
.
द्वितीयचरण - दूसरी समस्या का समाधान.
आइए सामान्य समाधान मॉडल का उपयोग करके आंशिक समीकरणों को वर्गीकृत करने के तरीके पर विचार करें।
एक स्लाइड दिखाई देती है.
उदाहरण के लिए। एक तर्कसंगत समीकरण में 
फ़ंक्शन f 1 (a) = उन पैरामीटर मानों के लिए एक सामान्य समाधान है जिनके लिए 
. क्योंकि
A f1 = ) पर समीकरण का सामान्य समाधान।
फ़ंक्शन f 2 (a) = सेट A f2 = पर समीकरण का एक सामान्य समाधान है।
आइए हम निम्नलिखित रूप में सामान्य समाधानों का एक मॉडल बनाएं
मॉडल पर हम सभी प्रकार के आंशिक समीकरणों पर प्रकाश डालते हैं: 
; 
; 
.
तो, मापदंडों के साथ समीकरणों की बुनियादी अवधारणाओं को उदाहरणों का उपयोग करके माना जाता है: अनुमेय मूल्यों की सीमा; कार्यक्षेत्र; सामान्य समाधान; मापदंडों के मूल्यों को नियंत्रित करें; आंशिक समीकरणों के प्रकार.
प्रस्तुत मापदंडों के आधार पर, हम किसी भी समीकरण F(a;x) = 0 को पैरामीटर a के साथ हल करने के लिए एक सामान्य योजना को परिभाषित करते हैं (दो मापदंडों के मामले में योजना समान है):
- पैरामीटर के अनुमेय मानों की सीमा और परिभाषा का दायरा स्थापित किया गया है;
- पैरामीटर के नियंत्रण मान निर्धारित किए जाते हैं, अनुमेय पैरामीटर मानों के क्षेत्र को आंशिक समीकरणों की समानता के क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है;
- पैरामीटर के नियंत्रण मूल्यों के लिए, संबंधित आंशिक समीकरणों का अलग से अध्ययन किया जाता है;
- समीकरण F(a;x) = 0 के सामान्य समाधान x = f 1 (a), ..., f k (a) पैरामीटर मानों के संबंधित सेट A f1, ......, A fk पर पाए जाते हैं ;
- सामान्य समाधान और नियंत्रण पैरामीटर मानों का एक मॉडल निम्नलिखित रूप में (स्लाइड पर) संकलित किया गया है;
- मॉडल समान समाधान (एकरूपता के क्षेत्र) के साथ पैरामीटर मानों के अंतराल की पहचान करता है;
- पैरामीटर के नियंत्रण मूल्यों और एकरूपता के चयनित क्षेत्रों के लिए, सभी प्रकार के विशेष समाधानों की विशेषताओं को दर्ज किया जाता है।
चरण III - समीकरणों के अध्ययन के लिए कार्यों के उदाहरण।
आइए टाइप 2 पैरामीटर वाली समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।
द्विघात समीकरण के मूलों के स्थान से जुड़ी समस्याएं विशेष रूप से आम हैं। उन्हें हल करते समय ग्राफिक चित्रण अच्छा काम करते हैं। समतल द्वारा दिए गए बिंदुओं के सापेक्ष जड़ों का स्थान संबंधित परवलय की शाखाओं की दिशा, शीर्ष के निर्देशांक, साथ ही दिए गए बिंदुओं पर मानों द्वारा निर्धारित किया जाता है।
उदाहरण के लिए।
1) पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 के दो मूल हैं, जिनमें से एक 1 से बड़ा है और अन्य 1 से कम?
समाधान. मान लीजिए f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. चूँकि a 2 + a + 1 >0, तो द्विघात फलन f(x) के लिए समस्या की स्थिति केवल शर्त f (x) के तहत पूरा किया जा सकता है< 1.
असमानता f(1) = a 2 + 4a - 7 को हल करना< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
उत्तर: -2 - < а < - 2 + .
2) किस पैरामीटर मान परएम समीकरण की जड़ें (एम - 1)x 2 - 2एमएक्स +एम + 3 = 0 सकारात्मक?
समाधान. मान लीजिए f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 तो:
1) यदि m = 1, तो -2x + 4 = 0, x = 2 - मूल धनात्मक है;
2) यदि एम 1, तो आकृति का उपयोग करके आप निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं: 
आइए 2 मामलों पर विचार करें:
1) यदि 1.5 मीटर > 0, तो अंतिम प्रणाली की असमानताओं 2 और 3 से हमें वह एम > 1 प्राप्त होता है, अर्थात। अंततः 1.5 मीटर > 1;
2) यदि एम< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 हमें वह एम-1 मिलता है< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
उत्तर: एम (-; -3)
चतुर्थचरण - समीकरण की जड़ों की संख्या स्थापित करने के कार्य पर विचार करें।
उदाहरण 1। पैरामीटर के किन मानों पर, और समीकरण 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 का कोई मूल नहीं है।
समाधान।मान लीजिए y = cosх, तो मूल समीकरण 2y 2 - (2 a + 9)y + 9a = 0 का रूप लेगा, जिसके मूल y 1 = a, y 2 = 4.5 हैं। समीकरण cosх = 4.5 का कोई मूल नहीं है, और समीकरण cosх = a का कोई मूल नहीं है यदि > 1 है।
उत्तर: (- ; -1) (1; ).
उदाहरण 2.
पैरामीटर ए के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण 
कोई जड़ नहीं है.
समाधान. यह समीकरण प्रणाली के समतुल्य है: 
.
दो मामलों में समीकरण का कोई हल नहीं है: a = और
उदाहरण 3
. पैरामीटर के किन मानों पर समीकरण बनता है 
एक ही समाधान है?
समाधान. समीकरण का समाधान केवल तभी अद्वितीय हो सकता है जब x = 0. यदि x = 0, तो a 2 -1 = 0, और a = 1.
आइए 2 मामलों पर विचार करें:
1) यदि a = 1, तो x 2 - = 0 - तीन जड़ें;
2). यदि a = -1 है, तो x 2 + = 0, x = 0 ही एकमात्र मूल है।
उदाहरण 4. पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण के 2 मूल हैं?
समाधान।यह समीकरण प्रणाली के समतुल्य है: . आइए जानें कि द्विघात समीकरण x 2 – x – a = 0 के 2 गैर-नकारात्मक मूल कब हैं।
परिणामी समीकरण की दो जड़ें हैं यदि 1+ 4a > 0; यदि वे गैर-नकारात्मक हैं
0 > ए > - .
उत्तर: (- ; 0] .
कई मामलों में, किसी समीकरण की जड़ों की संख्या स्थापित करते समय, समरूपता मायने रखती है।
वीचरण - दो समीकरणों का सामान्य मूल ज्ञात करना।
उदाहरण 1। पैरामीटर a के किस मान पर समीकरण x 2 + 3x + 7a -21 =0 और x 2 +6x +5a -6 =0 का एक समान मूल है?
समाधान।आइए परिणामी सिस्टम से पैरामीटर a को बाहर करें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -5 से गुणा करें, दूसरे को 7 से गुणा करें और परिणाम जोड़ें। हमें मिलता है: 2x 2 + 27x +63 = 0, जिसके मूल x 1 = -3, x 2 = -10.5 हैं। आइए समीकरणों में से किसी एक में मूलों को प्रतिस्थापित करें और पैरामीटर a का मान ज्ञात करें।
उत्तर: 3 और - 8.25.
उदाहरण 2. पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण x 2 – ax + 2 = 0 और 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 समतुल्य हैं?
समाधान. जैसा कि आप जानते हैं, समीकरण समतुल्य होते हैं यदि उनकी कई जड़ें मेल खाती हों। आइए 2 मामलों पर विचार करें।
1) समीकरणों का कोई मूल नहीं है (मूलों का समूह खाली है)। तब उनके विभेदक नकारात्मक हैं:
असमानताओं की व्यवस्था का कोई समाधान नहीं है।
2) समीकरणों की जड़ें समान हैं। तब 
नतीजतन, इन समीकरणों के सामान्य मूल तभी हो सकते हैं जब a = 3 या a = हो।
इसे स्वयं जांचें!
छठीचरण - ज्यामितीय व्याख्याएँ।
मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने से ग्राफ़ का उपयोग करना बहुत आसान हो सकता है।
उदाहरण 1
. पैरामीटर a के आधार पर समीकरण को हल करें: 
.
समाधान। यह स्पष्ट है कि 0 के लिए:
क्या सभी जड़ें उपयुक्त हैं? यह जानने के लिए, आइए फ़ंक्शन a = को प्लॉट करें।
जड़ों की संख्या चित्र में देखी जा सकती है:
- यदि एक< 0, то корней нет;
- यदि a = 0 और a > 0, तो 2 मूल हैं।
आइए इन जड़ों को खोजें।
जब a = 0 हमें x 2 - 2x - 3 = 0 और x 1 = -1, x 2 = 3 मिलता है; a > 4 के लिए ये समीकरण x 2 - 2x - 3 - a = 0 के मूल हैं।
यदि 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
यदि a = 4 – तीन जड़ें:
उत्तर: 1) यदि ए< 0, то корней нет;
2) यदि a = 0, तो x 1 = -1, x 2 = 3;
3) यदि 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) यदि ए = 4, तो एक्स 1 = 1; x 2.3 = 1;
5) यदि a >4, तो x 1,2 = 1.
उदाहरण 2 . a के किन मानों के लिए समीकरण के दो से अधिक मूल हैं?
समाधान. यदि हम मूल समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें 6 = 6 मिलता है, जिसका अर्थ है कि x = 0 किसी भी a के समीकरण का एक समाधान है।
मान लीजिए अब x 0 है, तो हम लिख सकते हैं 
. आइए व्यंजकों 2x + 3 और 2x – 3 के चिह्न ज्ञात करें।
आइए मॉड्यूल का विस्तार करें: a = 
(1)
x0a समतल में हम बिंदुओं (x;a) का एक समूह बनाएंगे, जिसके निर्देशांक संबंध (1) को संतुष्ट करते हैं।
यदि a = 0 है, तो समीकरण के अंतराल पर अनंत संख्या में समाधान हैं; a के अन्य मानों के लिए, समीकरण के समाधानों की संख्या दो से अधिक नहीं है।
उत्तर: ए = 0.
परीक्षण नियंत्रण
1 विकल्प |
विकल्प 2 |
1) समीकरण हल करें: 0 x = ए जवाब |
1) समीकरण हल करें: a x = a। जवाब: a) a ≠ 0 के लिए, x = 1, a = 0 के लिए, x R बी) a = 0, x R के लिए, a ≠ 0 के लिए कोई मूल नहीं हैं ग) a = 0 के लिए कोई मूल नहीं हैं, a ≠ x = के लिए |
2) समीकरण हल करें: (в - 2) x = 5 + в. उत्तर: |
2) समीकरण (बी + 1) एक्स = 3 - बी को हल करें. उत्तर: ए) β = 2 के लिए कोई जड़ें नहीं हैं; β ≠2 के लिए, x = ; बी) β = -2 के लिए कोई मूल नहीं हैं, β ≠-2 x = के लिए ग) β = -1 के लिए कोई मूल नहीं हैं, ≠ - 1 के लिए |
3) पैरामीटर c के किन मानों के लिए समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं? सी (सी + 1) एक्स = सी 2 – 1. उत्तर: ए) सी = -1, एक्स आर, के साथ; |
वैकल्पिक पाठ्यक्रम पाठ
इस टॉपिक पर: "मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना"
(सामान्यीकरण और दोहराव का पाठ)
लक्ष्य: 1. मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों के बारे में छात्रों के ज्ञान को दोहराएँ और सामान्यीकृत करें; विशिष्ट कार्यों को हल करते समय ज्ञान को लागू करने की क्षमता को समेकित करना; 2. तार्किक सोच विकसित करें; 3. ध्यान और सटीकता विकसित करें।
शिक्षण योजना: I. संगठनात्मक क्षण______________________________2 मिनट।
द्वितीय. बुनियादी ज्ञान अद्यतन करना:
- दोहराव___________________________________3 मिनट।
- मौखिक कार्य__________________________________3 मिनट।
- कार्ड के साथ कार्य करना (1 और 2 के दौरान)
तृतीय. अभ्यास का समाधान___________________________________22 मिनट।
आईवाई. परीक्षण निष्पादन______________________________8 मिनट।
Y. सारांश, गृहकार्य निर्धारित करना__2 मिनट।
कक्षाओं के दौरान:
मैं। आयोजन का समय.
अध्यापक: - हैलो दोस्तों। आप सभी को देखकर अच्छा लगा, हम अपना पाठ शुरू कर रहे हैं। आज पाठ में हमारा लक्ष्य इस विषय का अध्ययन करते समय पिछले पाठों में अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को दोहराना और अभ्यास करना है।
द्वितीय . बुनियादी ज्ञान अद्यतन करना:
1) पुनरावृत्ति.
टीचर:- तो चलिए दोहराते हैं।
पैरामीटर वाले रैखिक समीकरण को क्या कहते हैं?
ऐसे समीकरणों को हल करते समय हमने किन मामलों पर विचार किया?
पैरामीटरों सहित रैखिक समीकरणों के उदाहरण दीजिए।
पैरामीटरों के साथ रैखिक असमानताओं के उदाहरण दीजिए।
2) मौखिक कार्य.
कार्य: इस समीकरण को रैखिक रूप में लाएँ।
डेस्क पर:
ए) 3ए एक्स – 1 =2 एक्स;
बी) 2+5 एक्स = 5ए एक्स;
सी) 2 एक्स - 4 = ए एक्स + 1.
3) कार्ड का उपयोग करके कार्य करें।
तृतीय . व्यायाम का समाधान.
अभ्यास 1। पैरामीटर के साथ समीकरण हल करेंएक।
3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.
कार्य बोर्ड और नोटबुक में पूरा किया जाता है।
कार्य 2. किस कीमत पर a, सीधी रेखा y = 7ax + 9, गुजरती है
टी. ए(-3;2) ?
यह कार्य बोर्ड में एक छात्र द्वारा स्वतंत्र रूप से पूरा किया जाता है। बाकी काम नोटबुक में करें, फिर बोर्ड से जांचें।
व्यायाम शिक्षा एक मिनट रुकिए।
कार्य 3. किस कीमत पर a, समीकरण 3(ax – a) = x – 1 है
असीमित अनेक समाधान?
छात्रों को इस कार्य को अपनी नोटबुक में स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए कहा जाता है। फिर उत्तर जांचें.
कार्य 4. किस पैरामीटर मान परए , समीकरण की जड़ों का योग
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 1 के बराबर?
मौके से ही कमेंट करके काम पूरा कर दिया जाता है.
कार्य 5. पैरामीटर के साथ असमानता को हल करेंआर :
р(5х – 2)
यह कार्य बोर्ड और नोटबुक में पूरा किया जाता है।
आईवाई. परीक्षण निष्पादित करना.
छात्रों को कार्यों के साथ अलग-अलग शीट दी जाती हैं:
1) समीकरण है6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7रैखिक?
ए) हाँ; बी) नहीं; ग) को रैखिक में घटाया जा सकता है
2) समीकरण (2ax + 1)a = 5a – 1 एक रेखीय समीकरण के रूप में घटाया गया
ए) नहीं; बी) हाँ;
3) पैरामीटर के किस मान परऔर सीधी रेखा y = ax – 3 गुजरती है
टी. ए(-2;9) ?
ए) ए = 1/6; बी) ए = 1/2; ग) ए = -6; घ) ए = 6.
4) किस समीकरण पर 2ax + 1 = x क्या जड़ -1 के बराबर है?
ए) ए = -1; बी) ए = 0; ग) ए = 1; घ) ए = 1/2.
5) यदि द्विघात समीकरण ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 पर निर्भर करता है
ए) में मान ; बी) ए के मूल्य; ग) मान -v/a;
घ) कोई समाधान नहीं है।
परीक्षण के उत्तर:वी; ए; वी; वी; बी।
YII. पाठ का सारांश. होमवर्क सेट करना.
अध्यापक: - आज पाठ में हमने पिछले पाठों में प्राप्त ज्ञान को दोहराया और समेकित किया, विभिन्न कार्यों को करते समय आवश्यक कौशल का अभ्यास किया। मुझे लगता है कि आपने अच्छा काम किया, अच्छा किया।
पाठ के लिए निर्दिष्ट ग्रेड के अलावा, आप पाठ में कई अन्य छात्रों के काम का मूल्यांकन कर सकते हैं।
अध्यापक : - अपना होमवर्क लिखें:
डेस्क पर:
असमानता का समाधान करें: x² - 2ax + 4 > 0.
पाठ ख़त्म हो गया.
व्लादिमीर क्षेत्र का शिक्षा विभाग
सुडोगोडस्की जिले का शिक्षा विभाग
नगर शिक्षण संस्थान
"मोशोक माध्यमिक विद्यालय"
«
समाधान समीकरण और असमानता साथ पैरामीटर»
द्वारा विकसित: गैवरिलोवा जी.वी.
गणित शिक्षक
नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान "मोशोकस्काया औसत"
समावेशी स्कूल"
वर्ष 2009
मापदंडों के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना
व्याख्यात्मक नोट
पैरामीटर की अवधारणा एक गणितीय अवधारणा है जिसका उपयोग अक्सर स्कूली गणित और संबंधित विषयों में किया जाता है।
7वीं कक्षा - एक रैखिक फलन और एक चर वाले रैखिक समीकरण का अध्ययन करते समय।
8वीं कक्षा - द्विघात समीकरणों का अध्ययन करते समय।
स्कूली गणित पाठ्यक्रम का सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम मापदंडों के साथ समस्याओं का समाधान प्रदान नहीं करता है, और विश्वविद्यालयों की प्रवेश परीक्षाओं और गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में मापदंडों के साथ समस्याएं होती हैं, जिनका समाधान छात्रों के लिए बड़ी कठिनाई का कारण बनता है। मापदंडों के साथ नैदानिक और पूर्वानुमानित मूल्य होते हैं, जो आपको स्कूल गणित पाठ्यक्रम के मुख्य वर्गों, तार्किक सोच के स्तर, प्रारंभिक शोध कौशल के ज्ञान का परीक्षण करने की अनुमति देता है।
पाठ्यक्रम का मुख्य उद्देश्य छात्रों को मापदंडों वाली समस्याओं को हल करने के सामान्य तरीकों से परिचित कराना है, छात्रों को इस तरह से तैयार करना है कि वे प्रतिस्पर्धी परीक्षा के माहौल में मापदंडों वाली समस्याओं का सफलतापूर्वक सामना कर सकें।
किसी समीकरण को हल करें, समाधानों की संख्या निर्धारित करें, समीकरण की जांच करें, सकारात्मक जड़ें ढूंढें, साबित करें कि असमानता का कोई समाधान नहीं है, आदि - ये सभी पैरामीट्रिक उदाहरणों के विकल्प हैं। इसलिए, उदाहरणों को हल करने के लिए सार्वभौमिक निर्देश देना असंभव है; यह पाठ्यक्रम समाधान के साथ विभिन्न उदाहरणों की जांच करता है। पाठ्यक्रम सामग्री निम्नलिखित योजना के अनुसार प्रस्तुत की गई है: पृष्ठभूमि की जानकारी, समाधान के साथ उदाहरण, स्वतंत्र कार्य के लिए उदाहरण, सामग्री में महारत हासिल करने की सफलता का निर्धारण करने के लिए उदाहरण।
मापदंडों के साथ कार्यों को हल करना अनुसंधान कौशल और बौद्धिक विकास के निर्माण में योगदान देता है।
पाठ्यक्रम के उद्देश्य:
रैखिक और द्विघात समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ग्रेड 7 और 8 में छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान को व्यवस्थित करें;
उनकी गणितीय क्षमताओं को पहचानें और विकसित करें;
रैखिक समीकरणों और पैरामीटर युक्त असमानताओं को हल करने की समग्र समझ बनाएं;
द्विघात समीकरणों और पैरामीटर युक्त असमानताओं को हल करने की समग्र समझ बनाएं;
गणित में ज्ञान को गहरा करना, विषय में छात्रों की स्थायी रुचि का निर्माण करना;
उच्च गणितीय संस्कृति की आवश्यकता वाली व्यावसायिक गतिविधियों के लिए तैयारी प्रदान करें।
शैक्षिक और विषयगत योजना
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№ पी/पी
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विषय |
मात्रा घंटे
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गतिविधियाँ |
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1. |
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कार्यशाला |
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2. |
एक पैरामीटर के साथ कार्यों के बारे में प्रारंभिक जानकारी. |
सेमिनार |
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3. |
पैरामीटर युक्त रैखिक समीकरणों को हल करना। |
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4. |
पैरामीटर युक्त रैखिक असमानताओं को हल करना। |
अनुसंधान कार्य; कौशल प्रशिक्षण; स्वतंत्र काम। |
|
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5. |
द्विघातीय समीकरण। विएटा का प्रमेय. |
3 |
अनुसंधान कार्य; कौशल प्रशिक्षण; स्वतंत्र काम। |
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6. |
पाठ्यक्रम का सफलतापूर्वक समापन |
1 |
अंतिम परीक्षण |
विषय 1.रैखिक समीकरणों और असमानताओं, द्विघात समीकरणों और असमानताओं को हल करना, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करना।
विषय 2. एक पैरामीटर के साथ कार्यों के बारे में प्रारंभिक जानकारी।
एक पैरामीटर की अवधारणा. "पैरामीटर के साथ किसी समस्या को हल करना" का क्या मतलब है? पैरामीटर के साथ बुनियादी प्रकार की समस्याएं. किसी पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने की बुनियादी विधियाँ।
एक पैरामीटर के साथ रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण।
विषय 4. पैरामीटर युक्त रैखिक असमानताओं को हल करना।
एक पैरामीटर के साथ रैखिक असमानताओं को हल करने के उदाहरण।
विषय 5. द्विघात समीकरण. विएटा का प्रमेय.
एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण।
वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लिए उपदेशात्मक सामग्री
"समीकरणों को हल करना और
पैरामीटर के साथ असमानताएं"
विषय 1.इस विषय के लिए उदाहरण.
विषय 2.ऐसे उदाहरण जहां छात्रों को पहले से ही मापदंडों का सामना करना पड़ा है:
प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन: y = kx (x और y चर हैं; k एक पैरामीटर है, k ≠ 0);
व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन: y = k / x (x और y चर हैं, k एक पैरामीटर है, k ≠ 0)
रैखिक फ़ंक्शन: y = kh + b (x और y चर हैं; k और b पैरामीटर हैं);
रैखिक समीकरण: ax + b = 0 (x एक चर है; a और b पैरामीटर हैं);
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 (x एक चर है; a, b और c पैरामीटर हैं,
पैरामीटर क्या है?
यदि किसी समीकरण या असमानता में कुछ गुणांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मानों द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है, बल्कि अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, तो उन्हें पैरामीटर कहा जाता है, और समीकरण या असमानता पैरामीट्रिक है।
पैरामीटर्स को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के पहले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ए, बी, सी, ... या ए 1, ए 2, ए 3, ..., और अज्ञात को लैटिन वर्णमाला के अंतिम अक्षरों x, y, द्वारा दर्शाया जाता है। z, ... ये पदनाम अनिवार्य नहीं हैं, लेकिन यदि शर्त में यह इंगित नहीं किया गया है कि कौन से अक्षर पैरामीटर हैं और कौन से अज्ञात हैं -
mi, तो निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण (4x – ax)a = 6x – 10 को हल करें। यहाँ x अज्ञात है और a पैरामीटर है।
"पैरामीटर के साथ किसी समस्या को हल करना" का क्या मतलब है?
किसी पैरामीटर के साथ किसी समस्या को हल करने का मतलब है, पैरामीटर a के प्रत्येक मान के लिए, वह मान x ढूंढें जो इस समस्या को संतुष्ट करता है, यानी। यह समस्या के प्रश्न पर निर्भर करता है।
किसी समीकरण या असमानता को मापदंडों के साथ हल करने का अर्थ है:
निर्धारित करें कि किस पैरामीटर मान पर समाधान मौजूद हैं;
पैरामीटर मानों की प्रत्येक स्वीकार्य प्रणाली के लिए, समाधानों का संगत सेट ढूंढें।
किसी पैरामीटर के साथ मुख्य प्रकार की समस्याएं क्या हैं?
श्रेणी 1।समीकरण, असमानताएँ जिन्हें या तो किसी पैरामीटर मान के लिए या पूर्व निर्धारित सेट से संबंधित पैरामीटर मानों के लिए हल किया जाना चाहिए। "मापदंडों के साथ समस्याएँ" विषय पर महारत हासिल करते समय इस प्रकार का कार्य बुनियादी है।
टाइप 2.समीकरण, असमानताएँ जिनके लिए पैरामीटर के मान के आधार पर समाधानों की संख्या निर्धारित करना आवश्यक है।
प्रकार 3.समीकरण, असमानताएं जिनके लिए उन सभी पैरामीटर मानों को ढूंढना आवश्यक है जिनके लिए निर्दिष्ट समीकरणों और असमानताओं में समाधानों की एक निश्चित संख्या होती है (विशेष रूप से, उनके पास अनंत संख्या में समाधान नहीं होते हैं)। टाइप 3 की समस्याएँ कुछ अर्थों में टाइप 2 की समस्याओं के विपरीत होती हैं।
टाइप 4.समीकरण, असमानताएँ जिनके लिए, पैरामीटर के आवश्यक मानों के लिए, समाधानों का सेट परिभाषा के क्षेत्र में निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता है।
उदाहरण के लिए, पैरामीटर मान ढूंढें जिस पर:
1) किसी दिए गए अंतराल से चर के किसी भी मान के लिए समीकरण संतुष्ट है;
2) पहले समीकरण के समाधानों का सेट दूसरे समीकरण के समाधानों के सेट का एक उपसमुच्चय है, आदि।
किसी पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने की बुनियादी विधियाँ।
विधि 1. (विश्लेषणात्मक) यह विधि तथाकथित प्रत्यक्ष समाधान है, जो बिना किसी पैरामीटर के समस्याओं में उत्तर खोजने के मानक तरीकों को दोहराती है।
विधि 2. (ग्राफ़िकल) कार्य के आधार पर, निर्देशांक तल (x; y) या निर्देशांक तल (x; a) में ग्राफ़ पर विचार किया जाता है।
विधि 3. (एक पैरामीटर के संबंध में निर्णय) इस पद्धति का उपयोग करके हल करते समय, चर x और a को बराबर माना जाता है, और वह चर चुना जाता है जिसके संबंध में विश्लेषणात्मक समाधान को सरल माना जाता है। प्राकृतिक सरलीकरण के बाद, हम चर x और a के मूल अर्थ पर लौटते हैं और समाधान पूरा करते हैं।
टिप्पणी। मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने में एक आवश्यक कदम उत्तर लिखना है। यह विशेष रूप से उन उदाहरणों पर लागू होता है जहां पैरामीटर मानों के आधार पर समाधान "शाखा" प्रतीत होता है। ऐसे मामलों में, प्रतिक्रिया लिखना पहले प्राप्त परिणामों का एक संग्रह है। और यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि उत्तर में समाधान के सभी चरणों को प्रतिबिंबित करना न भूलें।
आइए उदाहरण देखें. 2.1. -ए और 5ए की तुलना करें।
समाधान। तीन मामलों पर विचार करना आवश्यक है: यदि 5ए;
यदि a = 0, तो –a = 5a;
यदि a > 0, तो –a
उत्तर। जब एक 5ए; a = 0 पर, -a = 5a; ए > 0 के लिए, -ए
समीकरण ax = 1 को हल करें.
यदि a ≠ 0, तो x = 1/a.
उत्तर। a = 0 के लिए कोई समाधान नहीं हैं; a ≠ 0 के लिए, x = 1 / a.
और - 7सी से तुलना करें।
समीकरण cx = 10 को हल करें
विषय 3.
रेखीय समीकरण
प्रपत्र के समीकरण
जहां a, b वास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित हैं, और x एक अज्ञात है, जिसे x के संबंध में एक रैखिक समीकरण कहा जाता है।
रैखिक समीकरण (1) का अध्ययन करने की योजना।
1.यदि a ≠ 0 है, तो b कोई वास्तविक संख्या है। समीकरण का एक अद्वितीय समाधान x = b/a है।
2. यदि a=0, b=0, तो समीकरण 0 ∙ x = 0 का रूप लेगा, समीकरण का समाधान सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।
3. यदि a=0, b ≠ 0, तो समीकरण 0 ∙ x = b का कोई हल नहीं है।
टिप्पणी। यदि रैखिक समीकरण प्रपत्र (1) में प्रस्तुत नहीं किया गया है, तो आपको पहले इसे प्रपत्र (1) में लाना होगा और उसके बाद ही अध्ययन करना होगा।
उदाहरण। 3.1 समीकरण (a -3)x = b+2a को हल करें
समीकरण (1) के रूप में लिखा गया है।
समाधान: यदि a≠ 3, तो समीकरण का एक समाधान है x = b+2a/ a-3 किसी भी b के लिए।
इसका मतलब यह है कि a का एकमात्र मान जिस पर समीकरण का कोई समाधान नहीं हो सकता है a = 3 है। इस स्थिति में, समीकरण (a -3)x = b+2a का रूप लेता है
0 ∙ x = b+6. (2)
यदि β≠ - 6, तो समीकरण (2) का कोई हल नहीं है।
यदि β = - 6, तो कोई भी x (2) का एक हल है।
नतीजतन, β = - 6 पैरामीटर β का एकमात्र मान है जिसके लिए समीकरण (1) में किसी भी a के लिए एक समाधान है (x=2 a ≠3 के लिए और x a=3 के लिए वास्तविक संख्याओं के सेट से संबंधित है)।
उत्तर: बी = -6.
3.2. समीकरण 3(x-2a) = 4(1-x) को हल करें।
3.3. समीकरण 3/kx-12=1/3x-k को हल करें
3.4. समीकरण (a 2 -1)x = a 2 – a -2 को हल करें
3.5. समीकरण x 2 + (2a +4)x +8a+1=0 को हल करें
स्वतंत्र काम।
विकल्प 1. समीकरणों को हल करें: ए) इनपुट + 2 = - 1;
बी) (ए - 1)एक्स = ए - 2;
सी) (ए 2 - 1)एक्स - ए 2 + 2ए - 1 = 0।
विकल्प 2. समीकरणों को हल करें: a) – 8 = in + 1;
बी) (ए + 1)एक्स = ए - 1;
सी) (9ए 2 - 4)एक्स - 9ए 2 + 12ए - 4 = 0।
विषय 4.
पैरामीटर के साथ रैखिक असमानताएँ
असमानता
आह > अंदर, आह
जहां ए, बी मापदंडों के आधार पर अभिव्यक्ति हैं, और एक्स अज्ञात है,मापदंडों के साथ रैखिक असमानताएँ कहलाती हैं।
मापदंडों के साथ असमानता को हल करने का अर्थ है सभी पैरामीटर मानों के लिए असमानता के समाधान का एक सेट ढूंढना।
असमानता को हल करने की योजना एएक्स > सी.
यदि a > 0, तो x > b/a.
यदि एक
यदि a = 0, तो असमानता 0 ∙ x > b का रूप ले लेगी। β ≥ 0 के लिए असमानता का कोई समाधान नहीं है; पर
उदाहरण। 4.1. असमानता a(3x-1)>3x – 2 को हल करें।
समाधान: a(3x-1)>3x – 2, जिसका अर्थ है 3x(a-1)>a-2.
आइए तीन मामलों पर विचार करें।
a=1, समाधान 0 ∙ x > -1 कोई वास्तविक संख्या है।
a>1, 3x(a-1)>a-2, जिसका अर्थ है x>a-2/3 (a-1)।
और a-2 का अर्थ है x
2ax +5 > a+10x .
(ए + 1)एक्स – 3ए + 1 ≤ 0.
एक्स 2 + कुल्हाड़ी +1 > 0.
स्वतंत्र काम।
विकल्प 1।असमानताओं को हल करें: ए) ( ए– 1)एक्स ≤ ए 2 – 1;
बी) 3x-ए > आह - 2.
विकल्प 2।असमानताओं को हल करें: a) (a – 1)x – 2ए +3 ≥ 0;
बी) अख-2वी
विषय 5.
पैरामीटर युक्त द्विघात समीकरण. विएटा का प्रमेय.
रूप का समीकरण
ax 2 +in + c = 0, (1)
जहां ए, बी, सी पैरामीटर के आधार पर अभिव्यक्तियां हैं, ए ≠ 0, एक्स एक अज्ञात है, जिसे पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण कहा जाता है।
द्विघात समीकरण (1) का अध्ययन करने की योजना।
यदि a = 0, तो हमारे पास रैखिक समीकरण inx + c = 0 है।
यदि a ≠ 0 और समीकरण का विवेचक D = 2 – 4ac है
यदि a ≠ 0 और D = 0 है, तो समीकरण का एक अद्वितीय समाधान x = - B / 2a है या, जैसा कि वे भी कहते हैं, संपाती मूल x 1 = x 2 = - B / 2a है।
यदि a ≠ 0 और D > 0, तो समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं एक्स 1.2 = (- वी ± √डी) / 2ए
उदाहरण। 5.1. पैरामीटर a के सभी मानों के लिए, समीकरण को हल करें
(ए - 1)एक्स 2 - 2एएक्स + ए + 2 = 0।
समाधान। 1. ए - 1 = 0, यानी a = 1. तब समीकरण -2x + 3 = 0, x = 3/2 का रूप लेगा।
2. a ≠ 1. आइए समीकरण D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8 का विवेचक ज्ञात करें।
निम्नलिखित मामले संभव हैं: ए) डी 8, ए > 2। समीकरण में नहीं है
बी) डी = 0, यानी -4ए + 8 = 0, 4ए = 8, ए = 2। समीकरण में एक है
मूल x = ए / (ए – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
सी) डी > 0, यानी -4ए + 8 > 0.4ए
मूल x 1.2 = (2ए ± √ -4ए + 8) / 2(ए – 1) = (ए ± √ 2 – ए) / (ए – 1)
उत्तर। जब a = 1 x = 3/2;
जब a =2 x = 2;
a > 2 के लिए कोई जड़ें नहीं हैं;
सभी पैरामीटर मानों के लिए, समीकरण हल करें:
कुल्हाड़ी 2 + 3 कुल्हाड़ी - ए - 2 = 0;
कुल्हाड़ी 2 +6एक्स – 6 = 0;
2 में - (+1 में)x +1 = 0;
(बी + 1)एक्स 2 – 2एक्स + 1 – बी = 0.
स्वतंत्र काम।
विकल्प 1. समीकरण ax 2 - (a+3)x + 3 = 0 को हल करें।
विकल्प 2. समीकरण a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0 को हल करें।
कार्य.
. पैरामीटर ए के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए द्विघात समीकरण है
समाधान। शर्त के अनुसार यह समीकरण द्विघात है, जिसका अर्थ है
ए - 1 ≠ 0, यानी a ≠ 1. आइए विभेदक ज्ञात करें D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4ए 2 + 4ए + 1 – 4ए 2 + ए + 3) = 4(5ए + 4)।
हमारे पास है: 1) a ≠ 1 और D > 0 के लिए, यानी। 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 समीकरण में दो हैं
विभिन्न जड़ें.
2) ≠ 1 और D के लिए
3) a ≠ 1 और D = 0 के लिए, यानी। a = - 4 / 5 समीकरण का एक मूल है।
उत्तर। यदि a > - 4/5 और a ≠ 1, तो समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं;
यदि a = - 4/5, तो समीकरण का एक मूल है।
.पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 का एक अद्वितीय समाधान है?
.पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 का कोई समाधान नहीं है?
.पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 के दो अलग-अलग मूल हैं?
स्वतंत्र काम।
विकल्प 1।सभी पैरामीटर मान खोजें ए, जिसके लिए द्विघात समीकरण (2 ए – 1)एक्स 2 +2एक्स– 1 = 0 के दो अलग-अलग मूल हैं; कोई जड़ नहीं है; एक जड़ है.
विकल्प 2।. पैरामीटर a के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए द्विघात समीकरण (1 – ए)एक्स 2 +4एक्स– 3 = 0 के दो अलग-अलग मूल हैं; कोई जड़ नहीं है; एक जड़ है.
विएटा का प्रमेय.
निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों से जुड़ी कई समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
विएटा का प्रमेय.यदि x 1, x 2 द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0, a≠0 के मूल हैं, तो x 1 + x 2 = - B/a और x 1 ∙ x 2 = C/a।
प्रमेय 1.वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c की जड़ें वास्तविक होने और समान चिह्न होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक और पर्याप्त है: D = in 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = सी/ए > 0.
इस स्थिति में, यदि x 1 + x 2 = - B /a > 0 है तो दोनों मूल धनात्मक होंगे, और यदि x 1 + x 2 = - B /a हो तो दोनों मूल ऋणात्मक होंगे
प्रमेय 2.वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c की जड़ें वास्तविक और दोनों गैर-ऋणात्मक या दोनों गैर-धनात्मक होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक और पर्याप्त है: D = in 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
इस मामले में, दोनों मूल गैर-नकारात्मक होंगे यदि x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, और दोनों मूल गैर-धनात्मक होंगे यदि x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0।
प्रमेय 3.द्विघात त्रिपद ax 2 + bx + c की जड़ों के वास्तविक होने और अलग-अलग चिह्न होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक और पर्याप्त है: x 1 ∙ x 2 = C /aइस मामले में, शर्त D = b 2 - 4ac > 0 स्वतः संतुष्ट हो जाता है।
टिप्पणी।ये प्रमेय समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूलों के चिह्नों के अध्ययन से संबंधित समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
उपयोगी समानताएँ: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(ए - 1)x 2 - 2ax + a +1 = 0 के: a) दो सकारात्मक मूल हैं; बी) दो नकारात्मक जड़ें; ग) विभिन्न संकेतों की जड़ें?
समाधान। समीकरण द्विघात है, जिसका अर्थ है ≠ 1। विएटा के प्रमेय से हमारे पास है
एक्स 1 + एक्स 2 = 2ए / (ए – 1), एक्स 1 एक्स 2 = (ए + 1) / (ए – 1)।
आइए विवेचक D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4 की गणना करें।
a) प्रमेय 1 के अनुसार, समीकरण के मूल सकारात्मक हैं यदि
डी ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, अर्थात। (ए + 1) / (ए – 1) > 0, 2ए / (ए – 1) > 0.
अत: ए є (-1; 0)।
बी) प्रमेय 1 के अनुसार, समीकरण के मूल नकारात्मक हैं यदि
डी ≥ 0, एक्स 1 एक्स 2 > 0, एक्स 1 + एक्स 2 0, 2ए / (ए - 1)
अत: ए є (0; 1).
ग) प्रमेय 3 के अनुसार, यदि x 1 x 2 है तो समीकरण के विभिन्न चिह्नों के मूल हैं
(ए+1)/(ए-1) उत्तर. ए) є (-1; 0) के लिए समीकरण की जड़ें सकारात्मक हैं;
बी) є (0; 1) के लिए समीकरण की जड़ें नकारात्मक हैं;
ग) є (-1; 1) के लिए समीकरण में विभिन्न चिह्नों की जड़ें हैं।
5.11.
पैरामीटर a के किन मानों पर द्विघात समीकरण है
(ए - 1)एक्स 2 - 2(ए +1)एक्स + ए +3 = 0 के: ए) दो सकारात्मक मूल; बी) दो नकारात्मक जड़ें; ग) विभिन्न संकेतों की जड़ें?
5. 12. समीकरण 3x 2 - (b + 1)x - 3b 2 +0 को हल किए बिना, x 1 -1 + x 2 -1 खोजें, जहां x 1, x 2 समीकरण के मूल हैं।
5.13. पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 के मूल हैं जिनके वर्गों का योग 4 है।
परीक्षा।
विकल्प 1. 1. समीकरण (a 2 + 4a)x = 2a + 8 को हल करें।
2. असमानता (in + 1)x ≥ (2 - 1 में) को हल करें।
3. पैरामीटर के किन मानों पर समीकरण बनता है
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 के: a) दो सकारात्मक मूल हैं; बी) दो नकारात्मक जड़ें; ग) विभिन्न संकेतों की जड़ें?
विकल्प 2. 1. समीकरण (a 2 – 2a)x = 3a को हल करें।
2. असमानता (a + 2)x ≤ a 2 – 4 को हल करें।
3. समीकरण में पैरामीटर के किन मानों पर
x 2 - (2b - 1)x + b 2 - t - 2 = 0 के: a) दो सकारात्मक मूल हैं; बी) दो नकारात्मक जड़ें; ग) विभिन्न संकेतों की जड़ें?
साहित्य।
वी.वी. मोचलोव, वी.वी. सिल्वेस्ट्रोव। मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएँ। अध्याय: सीएचएसयू पब्लिशिंग हाउस, 2004. - 175 पी।
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