परिभाषा से यह पता चलता है कि हम केवल उन बिंदुओं के संबंध में निरंतरता के बारे में बात कर सकते हैं जिन पर f(x) परिभाषित है (किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करते समय, ऐसी कोई शर्त निर्धारित नहीं की गई थी)। निरंतर कार्यों के लिए
, यानी, ऑपरेशन एफ और लिम परिवर्तनीय हैं। तदनुसार, किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की दो परिभाषाओं में निरंतरता की दो परिभाषाएँ दी जा सकती हैं - "अनुक्रमों की भाषा में" और "असमानताओं की भाषा में" (ε-δ की भाषा में)। यह सुझाव दिया जाता है कि आप इसे स्वयं करें. व्यावहारिक उपयोग के लिए, कभी-कभी वेतन वृद्धि की भाषा में निरंतरता को परिभाषित करना अधिक सुविधाजनक होता है।
मान Δx=x-x 0 को तर्क की वृद्धि कहा जाता है, और Δy=f(x)-f(x 0) बिंदु x 0 से बिंदु x पर जाने पर फ़ंक्शन की वृद्धि है।
परिभाषा। मान लीजिए f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है। एक फ़ंक्शन f(x) को एक बिंदु x 0 पर निरंतर कहा जाता है यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अत्यंत छोटी वृद्धि फ़ंक्शन की एक अत्यंत छोटी वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात, Δx→0 के लिए Δy→0।
उदाहरण 1।
साबित करें कि फ़ंक्शन y=sinx x के किसी भी मान के लिए निरंतर है।
समाधान।
माना x 0 एक मनमाना बिंदु है। इसे Δx की वृद्धि देने पर, हमें बिंदु x=x 0 +Δx प्राप्त होता है। तब 
. हम पाते हैं 
.
परिभाषा।
फ़ंक्शन y=f(x) को दाएं (बाएं) पर बिंदु x 0 पर निरंतर कहा जाता है
.
एक आंतरिक बिंदु पर निरंतर कार्य दाएँ और बाएँ दोनों निरंतर होगा। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि कोई फलन बाएँ और दाएँ किसी बिंदु पर सतत है, तो वह उस बिंदु पर सतत होगा। हालाँकि, कोई फ़ंक्शन केवल एक तरफ ही निरंतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, के लिए 
, 
, f(1)=1, इसलिए, यह फ़ंक्शन केवल बाईं ओर निरंतर है (इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, ऊपर पैराग्राफ 5.7.2 देखें)।
परिभाषा।
कोई फलन किसी अंतराल पर सतत कहलाता है यदि वह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सतत हो।
विशेष रूप से, यदि अंतराल एक खंड है, तो इसके सिरों पर एक तरफा निरंतरता निहित होती है।
सतत कार्यों के गुण
1. सभी प्रारंभिक कार्य अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं।2. यदि एक निश्चित अंतराल पर दिए गए f(x) और φ(x) इस अंतराल के बिंदु x 0 पर निरंतर हैं, तो फलन इस बिंदु पर भी निरंतर होंगे।
3. यदि y=f(x) X से बिंदु x 0 पर निरंतर है, और z=φ(y) Y से संबंधित बिंदु y 0 =f(x 0) पर निरंतर है, तो जटिल कार्य z=φ(f(x)) बिंदु x 0 पर निरंतर होगा।
फ़ंक्शन ब्रेक और उनका वर्गीकरण
बिंदु x 0 पर फलन f(x) की निरंतरता का संकेत समानता है, जिसका तात्पर्य तीन स्थितियों की उपस्थिति से है:1) f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है;
2)
;
3) .
यदि इनमें से कम से कम एक आवश्यकता का उल्लंघन किया जाता है, तो x 0 को फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, विराम बिंदु वह बिंदु है जिस पर यह फ़ंक्शन निरंतर नहीं होता है। ब्रेक पॉइंट की परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन के ब्रेक पॉइंट हैं:
ए) फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित बिंदु जिस पर एफ (एक्स) निरंतरता की संपत्ति खो देता है,
बी) वे बिंदु जो f(x) की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, जो फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के दो अंतरालों के आसन्न बिंदु हैं।
उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए, बिंदु x=0 एक ब्रेक पॉइंट है, क्योंकि इस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, और फ़ंक्शन
बिंदु x=1 पर एक असंततता है, जो f(x) की परिभाषा के क्षेत्र के दो अंतरालों (-∞,1) और (1,∞) के निकट है और मौजूद नहीं है। ब्रेक प्वाइंट के लिए निम्नलिखित वर्गीकरण अपनाया जाता है।
1) यदि बिंदु x 0 पर परिमित हैं 
और 
, परंतु f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), तो x 0 कहलाता है पहली तरह का असंततता बिंदु
, और कहा जाता है फ़ंक्शन जंप
.
उदाहरण 2.
फ़ंक्शन पर विचार करें 
फ़ंक्शन को केवल बिंदु x=2 पर तोड़ा जा सकता है (अन्य बिंदुओं पर यह किसी भी बहुपद की तरह निरंतर है)। 
हम ढूंढ लेंगे 
, 
. चूँकि एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित हैं, लेकिन एक-दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो बिंदु x=2 पर फ़ंक्शन में पहली तरह की असंततता होती है। नोटिस जो 
, इसलिए इस बिंदु पर फ़ंक्शन दाईं ओर निरंतर है (चित्र 2)।
2) दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु
वे बिंदु कहलाते हैं जिन पर कम से कम एक तरफा सीमा ∞ के बराबर है या मौजूद नहीं है।
उदाहरण 3.
फ़ंक्शन y=2 1/ x x=0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए निरंतर है। आइए एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें: 
, 
, इसलिए x=0 दूसरी तरह का एक असंततता बिंदु है (चित्र 3)।
3)बिंदु x=x 0 कहलाता है हटाने योग्य ब्रेक पॉइंट
, यदि f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
हम इस अंतर को इस अर्थ में "खत्म" कर देंगे कि यह सेटिंग द्वारा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को बदलने (पुनर्परिभाषित या फिर से परिभाषित) करने के लिए पर्याप्त है, और फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर हो जाएगा। 
उदाहरण 4.
ह ज्ञात है कि 
, और यह सीमा उस तरीके पर निर्भर नहीं करती जिस तरह x शून्य की ओर जाता है। लेकिन बिंदु x=0 पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। यदि हम f(0)=1 सेट करके फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करते हैं, तो यह इस बिंदु पर निरंतर हो जाता है (अन्य बिंदुओं पर यह निरंतर फ़ंक्शन synx और x के भागफल के रूप में निरंतर होता है)। 
उदाहरण 5.
किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की जांच करें 
.
समाधान।
फ़ंक्शन y=x 3 और y=2x संकेतित अंतरालों सहित, हर जगह परिभाषित और निरंतर हैं। आइए अंतराल x=0 के जंक्शन बिंदु की जांच करें: 
, 
, . हमें वह प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु x=0 पर फलन सतत है।
परिभाषा।
एक फ़ंक्शन जो पहली तरह के या हटाने योग्य असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या को छोड़कर एक अंतराल पर निरंतर होता है, इस अंतराल पर टुकड़े-टुकड़े निरंतर कहा जाता है।
असंतत कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1।
फ़ंक्शन बिंदु x=2 को छोड़कर (-∞,+∞) पर परिभाषित और निरंतर है। आइए ब्रेक का प्रकार निर्धारित करें। क्योंकि 
और 
, तो बिंदु x=2 पर दूसरे प्रकार का असंततता है (चित्र 6)। 
उदाहरण 2.
फ़ंक्शन x=0 को छोड़कर सभी x के लिए परिभाषित और निरंतर है, जहां हर शून्य है। आइए बिंदु x=0 पर एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें: एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और भिन्न हैं, इसलिए, x=0 पहली तरह का एक असंततता बिंदु है (चित्र 7)।
उदाहरण 3.
निर्धारित करें कि फ़ंक्शन में किन बिंदुओं पर और किस प्रकार की असंततताएं हैं 
यह फ़ंक्शन [-2,2] पर परिभाषित है। चूँकि x 2 और 1/x क्रमशः अंतराल [-2,0] और में निरंतर हैं, असंततता केवल अंतराल के जंक्शन पर, यानी बिंदु x=0 पर हो सकती है। चूँकि, x=0 दूसरी तरह का असंततता बिंदु है।
उदाहरण 4.
क्या फ़ंक्शन अंतराल को ख़त्म करना संभव है:
ए) 
बिंदु x=2 पर;
बी) 
बिंदु x=2 पर;
वी) 
बिंदु x=1 पर?
समाधान।
उदाहरण a) के संबंध में हम तुरंत कह सकते हैं कि बिंदु x=2 पर असंततता f(x) को समाप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस बिंदु पर अनंत एकतरफा सीमाएं हैं (उदाहरण 1 देखें)।
बी) फ़ंक्शन g(x) की हालांकि बिंदु x=2 पर एक तरफा सीमाएं सीमित हैं
(
,
),
लेकिन वे मेल नहीं खाते, इसलिए अंतर को भी ख़त्म नहीं किया जा सकता।
सी) असंततता बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन φ(x) की समान एकतरफ़ा परिमित सीमाएँ हैं:। इसलिए, फ़ंक्शन को x=1 पर f(1)=2 के बजाय f(1)=1 डालकर फिर से परिभाषित करके अंतर को समाप्त किया जा सकता है।
उदाहरण 5. दिखाएँ कि डिरिचलेट फ़ंक्शन
संख्यात्मक अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर असंतत।
समाधान। मान लीजिए x 0 (-∞,+∞) से कोई बिंदु है। इसके किसी भी पड़ोस में तर्कसंगत और अतार्किक दोनों बिंदु हैं। इसका मतलब यह है कि x 0 के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन का मान 0 और 1 के बराबर होगा। इस मामले में, बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की कोई सीमा न तो बाईं ओर और न ही दाईं ओर हो सकती है, जिसका अर्थ है कि डिरिचलेट फ़ंक्शन में वास्तविक अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर दूसरे प्रकार की असंततताएं हैं।
उदाहरण 6. फ़ंक्शन ब्रेकप्वाइंट ढूंढें
और उनके प्रकार का निर्धारण करें।
समाधान। जिन बिंदुओं के टूटने का संदेह है वे बिंदु x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3 हैं।
बिंदु x 1 =2 पर f(x) में दूसरे प्रकार का असंततता है, चूँकि
.
बिंदु x 2 =5 निरंतरता का एक बिंदु है, क्योंकि इस बिंदु पर और इसके आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन का मान दूसरी पंक्ति द्वारा निर्धारित होता है, न कि पहली पंक्ति द्वारा:।
आइए बिंदु की जाँच करें x 3 =3: ,
, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि x=3 पहली तरह का एक असंततता बिंदु है। के लिए स्वतंत्र निर्णय.
निरंतरता के लिए कार्यों की जांच करें और असंततता बिंदुओं के प्रकार का निर्धारण करें:
1) 
; उत्तर: x=-1 - हटाने योग्य असंततता का बिंदु;
2) 
; उत्तर: बिंदु x=8 पर दूसरे प्रकार की असातत्यता;
3) 
; उत्तर: x=1 पर पहली तरह की असंततता;
4) 
उत्तर: बिंदु x 1 =-5 पर एक हटाने योग्य अंतर है, x 2 =1 पर दूसरे प्रकार का अंतर है और बिंदु x 3 =0 पर पहली तरह का अंतर है।
5) संख्या ए को कैसे चुना जाना चाहिए ताकि फ़ंक्शन 
x=0 पर सतत होगा?
उत्तर: ए=2.
6) क्या फ़ंक्शन के लिए संख्या ए चुनना संभव है 
x=2 पर सतत होगा?
उत्तर: नहीं.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता. फलन y = f(x ) को अनप्री- कहा जाता है
बिंदु x 0 पर झटकेदार यदि:
1) यह फ़ंक्शन बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया हैएक्स 0 ;
2) एक सीमा है लिमएफ(एक्स);
→ x 0
3) यह सीमा मूल्य के बराबरबिंदु x 0 पर कार्य करता है, अर्थात। लसीका (x )= f (x 0 ) . |
||
x→x0 |
||
अंतिम स्थिति लिम स्थिति के बराबर है | y = 0, जहां x = x − x 0 – कब |
|
एक्स→ 0 | ||
तर्क का घूर्णन, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) - संगत फ़ंक्शन की वृद्धि |
|
तर्क को बढ़ाना | एक्स, यानी समारोह | f(x) x 0 पर सतत है |
यदि और केवल यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है।
एक तरफ़ा निरंतरता.फलन y = f (x) को सतत कहा जाता है
बाईं ओर बिंदुx 0 पर यदि इसे किसी अर्ध-अंतराल पर परिभाषित किया गया है(a ;x 0 ]
और लिम एफ (एक्स)= एफ (एक्स 0).
x→ x0 − 0
एक फ़ंक्शन y = f (x) को बिंदु x 0 पर सही निरंतर कहा जाता है यदि यह op- है
एक निश्चित अर्ध-अंतराल [x 0 ;a ) और limf (x )= f (x 0 ) पर वितरित किया जाता है।
x→ x0 + 0
फलन y = f(x) | बिंदु x 0 पर निरंतर | तब और केवल जब वह |
||||||
निरंतर | ||||||||
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0). | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→x0 | ||||||
किसी सेट पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता. फलन y = f (x) कहलाता है
सेट पर लगातार X यदि यह इस समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर सतत है। इसके अलावा, यदि किसी फ़ंक्शन को संख्या रेखा के एक निश्चित अंतराल के अंत में परिभाषित किया गया है, तो इस बिंदु पर निरंतरता को दाएं या बाएं पर निरंतरता के रूप में समझा जाता है। विशेष रूप से, फलन y = f (x) को गैर- कहा जाता है
खंड पर असंतत [ए; बी] अगर वह
1) अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर(ए;बी) ;
2) एक बिंदु पर निरंतर सही हैए;
3) एक बिंदु पर निरंतर छोड़ दिया जाता हैबी।
फ़ंक्शन ब्रेक पॉइंट.फ़ंक्शन y = f (x) की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित बिंदु x 0 या इस डोमेन का सीमा बिंदु कहा जाता है
इस फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट, यदि उस बिंदु पर iff(x) सतत नहीं है।
असंततता बिंदुओं को पहले और दूसरे प्रकार के असंततता बिंदुओं में विभाजित किया गया है:
1) यदि परिमित सीमाएँ हैं lim f (x )= f (x 0 − 0) और
x→ x0 − 0
f (x)= f (x 0 + 0), और सभी तीन संख्याएँ f (x 0 − 0), f (x 0 + 0) नहीं हैं। | f (x 0 ) बराबर हैं |
||
x→ x0 + 0 | |||
आपस में, फिर x 0 | प्रथम प्रकार का असंततता बिंदु कहलाता है। | ||
विशेष रूप से, यदि बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ हैं | के बीच बराबर |
||
अपने आप को, लेकिन | इस बिंदु पर फ़ंक्शन मान के बराबर नहीं हैं: |
||
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , तो x 0 को हटाने योग्य असंततता बिंदु कहा जाता है।
इस स्थिति में, f (x 0 )= A सेट करके, आप फ़ंक्शन को बिंदु x 0 पर संशोधित कर सकते हैं
ताकि यह निरंतर बने रहे ( निरंतरता द्वारा फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करें). अंतर f (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) कहलाता है किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का कूदनाएक्स 0 .
हटाने योग्य असंततता बिंदु पर फ़ंक्शन जंप शून्य है।
2) असंततता बिंदु जो पहली तरह के असंततता बिंदु नहीं हैं, कहलाते हैं दूसरे प्रकार के ब्रेकप्वाइंट. दूसरे प्रकार के असंततता के बिंदुओं पर, कम से कम एक तरफा सीमा f (x 0 - 0) और f (x 0 + 0) मौजूद नहीं है या अनंत है।
एक बिंदु पर निरंतर कार्यों के गुण।
एफ(एक्स) | और g (x) बिंदु x 0 पर सतत हैं, तो फलन |
||
एफ(एक्स)±जी(एक्स), | f(x)g(x) और | एफ(एक्स) | (जहाँ g (x)≠ 0) भी बिंदु x पर सतत हैं। |
जी(एक्स) | |||
2) यदि फ़ंक्शन u (x) बिंदु x 0 पर निरंतर है, और फ़ंक्शन f (u) निरंतर है
बिंदु u 0 = u (x 0) पर, तो सम्मिश्र फलन f (u (x)) बिंदु x 0 पर सतत है।
3) सभी बुनियादी प्राथमिक कार्य (c, x a, a x, loga x, synx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) प्रत्येक में निरंतर हैं
उनकी परिभाषा के डोमेन के बिंदु तक।
गुणों 1)-3) से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी प्रारंभिक कार्य (अंकगणितीय संक्रियाओं और संरचना संक्रियाओं की एक सीमित संख्या का उपयोग करके बुनियादी प्राथमिक कार्यों से प्राप्त कार्य) भी परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होते हैं।
एक अंतराल पर निरंतर चलने वाले कार्यों के गुण।
1) (मध्यवर्ती मान प्रमेय) मान लीजिए कि फलन f(x) को परिभाषित किया गया है
खंड [ए;बी] पर चालू और निरंतर है। फिर संलग्न किसी भी संख्या C के लिए
संख्याओं f (a) और f (b), (f (a) के बीच< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (बोल्ज़ानो-कॉची प्रमेय
खंड [ए;बी] पर असंतत है और इसके सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है।
फिर कम से कम एक बिंदु x 0 [ a ; b ] ऐसा है कि f (x 0 )= 0।
3) (प्रथम वीयरस्ट्रैस का प्रमेय) मान लीजिए कि फ़ंक्शन f (x) परिभाषित है और
खंड पर फटा हुआ [ए;बी]। फिर यह फ़ंक्शन इसी सेगमेंट तक सीमित है.
4) (2 वीयरस्ट्रैस का प्रमेय) मान लीजिए कि फ़ंक्शन f (x) परिभाषित है और
खंड पर दौड़ें | [ए;बी] . फिर यह फलन अंतराल [ a ; b ] पर पहुँच जाता है | |||||
महानतम | कम से कम | मूल्य, यानी | अस्तित्व | |||
एक्स1, एक्स2 [ए; बी] , | किसी के लिए | अंक x [ए;बी] | गोरा | असमानता |
||
एफ (एक्स 1 )≤ एफ (एक्स )≤ एफ (एक्स 2 ) .
उदाहरण 5.17. निरंतरता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, साबित करें कि फ़ंक्शन y = 3x 2 + 2x - 5 संख्या रेखा पर एक मनमाना बिंदु x 0 पर निरंतर है।
समाधान: विधि 1: मान लीजिए x 0 संख्या अक्ष पर एक मनमाना बिंदु है। आप-
हम पहले फ़ंक्शन f (x) की सीमा की गणना x → x 0 के रूप में करते हैं, कार्यों के योग और उत्पाद की सीमा पर प्रमेय लागू करते हैं:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x - 5)= 3(limx )2 + 2 limx - 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→x0 | x→x0 | x→x0 | x→x0 | ||||
फिर हम बिंदु x:f (x)= 3x 2 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं | − 5 . |
||||||
प्राप्त परिणामों की तुलना करने पर, हम देखते हैं | लिम एफ (एक्स)= एफ (एक्स 0) जिसके अनुसार |
||||||
x→x0 | |||||||
परिभाषा और इसका मतलब बिंदु x 0 पर विचाराधीन फ़ंक्शन की निरंतरता है।
विधि 2: चलो | x - बिंदुx 0 पर तर्क की वृद्धि। आइए पत्राचार खोजें |
|||
उपयुक्त | वेतन वृद्धि | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x)2. | |||
आइए अब तर्क में वृद्धि होने पर फ़ंक्शन वृद्धि की सीमा की गणना करें |
||||
करने का प्रयास | ||||
y = लिम (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) लिम | एक्स + (लिमएक्स)2 = 0. |
|||
एक्स→ 0 | एक्स→ 0 | एक्स→ 0 | एक्स→ 0 |
||
इस प्रकार, lim y = 0, जिसका अर्थ परिभाषा के अनुसार निरंतरता है
एक्स→ 0
किसी भी x 0 R के लिए कार्य करता है।
उदाहरण 5.18. फ़ंक्शन f (x) के असंततता बिंदु खोजें और उनका प्रकार निर्धारित करें। में
हटाने योग्य असंततता के मामले में, फ़ंक्शन को निरंतरता द्वारा परिभाषित करें:
1) f (x) = 1− x 2 x पर< 3;
5x जब x ≥ 3
2) एफ (एक्स)= एक्स 2 + 4 एक्स + 3;
एक्स+1
एफ(एक्स)= | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f(x)= आर्कटान | |||||
(एक्स - 5) |
|||||
समाधान: 1) इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या है
y अक्ष (−∞ ;+∞ ) . अंतराल (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) पर फलन सतत है। एक असंततता केवल बिंदु x = 3 पर संभव है, जिस पर फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक विनिर्देश बदल जाता है।
आइए संकेतित बिंदु पर फ़ंक्शन की एकतरफा सीमाएं खोजें:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
एक्स →3 −0
एफ (3+ 0)= लिम 5x = 15.
एक्स →3 +0
हम देखते हैं कि बाएँ और दाएँ सीमाएँ परिमित हैं, इसलिए x = 3 | |||||
टूटना I | एफ(एक्स). फ़ंक्शन पर जाएं | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , इसलिए बिंदु पर | एक्स = 3 | ||||
f(x) सही सतत है।
2) फलन बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है x = − 1, जिसमें यह परिभाषित नहीं है। आइए अंश का विस्तार करते हुए f (x) के लिए व्यंजक को रूपांतरित करें
कारकों में भिन्न: | एफ(एक्स)= | 4 एक्स +3 | (एक्स + 1)(एक्स + 3) | x ≠ − 1 के लिए X + 3. |
|||||
एक्स+1 | एक्स+1 |
||||||||
आइए बिंदु x = − 1 पर फ़ंक्शन की एकतरफ़ा सीमाएँ ज्ञात करें: |
|||||||||
f(x)=lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1−0 | x →−1 +0 | एक्स →−1 | |||||||
हमने पाया कि अध्ययन के तहत बिंदु पर फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ मौजूद हैं, परिमित हैं और एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए x = - 1 एक हटाने योग्य बिंदु है
सीधी रेखा y = x + 3 एक "छिद्रित" बिंदु M (- 1;2) के साथ। कार्य को स्थायी बनाने के लिए
असंतत, हमें f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 लगाना चाहिए।
इस प्रकार, बिंदु x = − 1 पर निरंतरता द्वारा f (x) को आगे परिभाषित करने के बाद, हमने परिभाषा के डोमेन (−∞ ;+∞ ) के साथ फ़ंक्शन f * (x)= x + 3 प्राप्त किया।
3) यह फ़ंक्शनसभी के लिए परिभाषित और निरंतर x अंक को छोड़कर
x = 0,x = 2, जिसमें भिन्न का हर शून्य हो जाता है।
बिंदु x = 0 पर विचार करें:
चूंकि शून्य के पर्याप्त छोटे पड़ोस में ही फ़ंक्शन होता है
नकारात्मक मानों के लिए, फिर f (− 0)= lim | = −∞ = एफ (+0) | वे। डॉट |
|||
(एक्स - 2) |
|||||
एक्स →−0 | |||||
x = 0 दूसरे प्रकार के फ़ंक्शन का एक असंततता बिंदु है | एफ(एक्स). | ||||
अब बिंदु x = 2 पर विचार करें:
फ़ंक्शन विचार के बाईं ओर नकारात्मक मान लेता है
इसलिए, बिंदु और सकारात्मक दाईं ओर हैं | एफ (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
एक्स →2 −0 | ||||||||
एफ (2+ 0)= लिम | = +∞ . पिछले मामले की तरह, बिंदुx = 2 पर | |||||||
(एक्स - 2) |
||||||||
एक्स →2 +0 | ||||||||
tion की न तो बाएँ और न ही दाएँ परिमित सीमाएँ हैं, अर्थात्। इस बिंदु पर टाइप II टूटना होता है।
एक्स = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= लिम आर्कटान | π ,f (5+ 0)= लिम आर्कटान | एक्स = 5 | ||||||||||||||||
(एक्स - 5) | (एक्स - 5) | |||||||||||||||||
एक्स →5 −0 | एक्स →5 +0 | |||||||||||||||||
का टूटना | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (चित्र 5.2 देखें)। | ||||||||||||||||
स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं
5.174. केवल परिभाषा का उपयोग करते हुए, फलन f (x) की निरंतरता को सिद्ध करें
प्रत्येक बिंदु x 0 R :
ए) एफ(एक्स) = सी= स्थिरांक; | बी) एफ (एक्स)= एक्स; | ||
सी) एफ (एक्स)= एक्स 3; | डी) एफ (एक्स)= 5एक्स 2 − 4एक्स + 1; |
||
ई) एफ (एक्स)= सिनएक्स। | |||
5.175. सिद्ध कीजिए कि फलन | एफ(एक्स) = एक्स2 | 1 जब x ≥ 0, | निरंतर चालू है |
एक्स पर 1< 0 | |||
संपूर्ण संख्या रेखा. इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। | |||
5.176. सिद्ध कीजिए कि फलन | एफ(एक्स) = एक्स2 | 1 जब x ≥ 0, | सतत नहीं है |
x पर 0< 0 | |||
बिंदु x = 0 पर, लेकिन उस बिंदु पर सही निरंतर है। फ़ंक्शन f(x) को ग्राफ़ करें।
बिंदु x = पर झटकेदार | लेकिन इस बिंदु पर बाईं ओर निरंतर है। एक ग्राफ बनाएं |
|||||||||||||
फ़ंक्शन f(x). | ||||||||||||||
5.178. ग्राफ़ फ़ंक्शन | ||||||||||||||
ए) वाई = | एक्स+1 | बी) वाई= एक्स+ | एक्स+1 | |||||||||||
एक्स+1 | एक्स+1 | |||||||||||||
इन कार्यों के विराम बिंदुओं पर कौन सी निरंतरता की शर्तें संतुष्ट हैं और कौन सी संतुष्ट नहीं हैं?
5.179. फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट निर्दिष्ट करें
पाप एक्स | x ≠ 0 के लिए | ||
x = 0 पर | |||
इस बिंदु पर निरंतरता की कौन सी शर्तें पूरी होती हैं और कौन सी नहीं?
परिभाषा फ़ंक्शन ब्रेक पॉइंट और उनके प्रकार कार्य की निरंतरता के विषय की निरंतरता हैं। निरंतरता की अवधारणा के विपरीत किसी फ़ंक्शन के ब्रेक पॉइंट के अर्थ की एक दृश्य (ग्राफ़िकल) व्याख्या भी दी गई है। आइए जानें कि किसी फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट कैसे खोजें और उनके प्रकार कैसे निर्धारित करें। और हमारा इसमें हमारी मदद करेगा वफादार दोस्त- बाएँ और दाएँ सीमाएँ, जिन्हें आम तौर पर एकतरफ़ा सीमाएँ कहा जाता है। अगर किसी को एकतरफा सीमा का डर है तो हम जल्द ही उसे दूर कर देंगे।'
ग्राफ़ पर वे बिंदु जो एक दूसरे से जुड़े हुए नहीं हैं, कहलाते हैं फ़ंक्शन ब्रेक पॉइंट . ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़, जो नीचे दिए गए चित्र में बिंदु x=2 - - पर असंततता से ग्रस्त है।
उपरोक्त का एक सामान्यीकरण निम्नलिखित परिभाषा है। यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर नहीं है, तो इस बिंदु पर इसका असंततता होता है और बिंदु को ही कहा जाता है विराम बिंदु . विघ्न पहले प्रकार के होते हैं और दूसरे प्रकार के .
निर्धारित करने के लिए ब्रेक पॉइंट के प्रकार (चरित्र)। कार्यों को आत्मविश्वास के साथ खोजने की आवश्यकता है सीमा, इसलिए संबंधित पाठ को एक नई विंडो में खोलना एक अच्छा विचार है। लेकिन ब्रेकप्वाइंट के संबंध में, हमारे पास कुछ नया और महत्वपूर्ण है - एकतरफा (बाएँ और दाएँ) सीमाएँ। सामान्यतः इन्हें (दाहिनी सीमा) और (बायाँ सीमा) लिखा जाता है। जैसा कि सामान्य तौर पर किसी सीमा के मामले में होता है, किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करने के लिए, आपको फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति में X को उस स्थान पर रखना होगा जिसकी ओर X की प्रवृत्ति होती है। लेकिन, शायद, आप पूछते हैं, दाएं और बाएं की सीमाएं कैसे भिन्न होंगी, यदि दाएं के मामले में एक्स में कुछ जोड़ा जाता है, लेकिन यह शून्य है, और बाएं के मामले में एक्स से कुछ घटाया जाता है, लेकिन यह कुछ - शून्य भी? और आप सही होंगे. अधिकतर परिस्थितियों में।
लेकिन किसी फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं की खोज करने और उनके प्रकार का निर्धारण करने के अभ्यास में, दो विशिष्ट मामले होते हैं जब दाएं और बाएं सीमाएं समान नहीं होती हैं:
- किसी फ़ंक्शन में दो या दो से अधिक अभिव्यक्तियाँ होती हैं जो संख्या रेखा के उस हिस्से पर निर्भर करती हैं जिससे x संबंधित है (ये अभिव्यक्तियाँ आमतौर पर बाद में घुंघराले कोष्ठक में लिखी जाती हैं एफ(एक्स)= );
- X की प्रवृत्ति को प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप, हमें हर में एक अंश मिलता है जिसके हर में या तो प्लस शून्य (+0) या माइनस शून्य (-0) रहता है और इसलिए ऐसे अंश का मतलब या तो प्लस इनफिनिटी या माइनस इनफिनिटी होता है, और ये हैं बिल्कुल अलग चीजें.
प्रथम प्रकार के असंततता बिंदु
पहली तरह का ब्रेक पॉइंट: किसी फ़ंक्शन में एक परिमित (अर्थात्, अनंत के बराबर नहीं) बाईं सीमा और एक परिमित दाएँ सीमा दोनों होती हैं, लेकिन फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर परिभाषित नहीं किया जाता है या बाईं और दाईं सीमाएँ अलग-अलग होती हैं (बराबर नहीं)।
पहली तरह की हटाने योग्य असंततता का बिंदु.बाएँ और दाएँ सीमाएँ समान हैं। इस मामले में, किसी बिंदु पर फ़ंक्शन को और अधिक परिभाषित करना संभव है। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, सरल शब्दों में, उन बिंदुओं का कनेक्शन प्रदान करना है जिनके बीच एक बिंदु होता है जिस पर बाएं और दाएं सीमाएं एक दूसरे के बराबर पाई जाती हैं। इस मामले में, कनेक्शन को केवल एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करना चाहिए जिस पर फ़ंक्शन का मान पाया जाना चाहिए।
उदाहरण 1।फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट और ब्रेक पॉइंट का प्रकार (चरित्र) निर्धारित करें।
दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु
दूसरे प्रकार का ब्रेक पॉइंट: वह बिंदु जिस पर कम से कम एक सीमा (बाएं या दाएं) अनंत (अनंत के बराबर) है।
उदाहरण 3.
समाधान। पर शक्ति के लिए अभिव्यक्ति से इयह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ खोजें:
सीमाओं में से एक अनंत के बराबर है, इसलिए बिंदु दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु है। ब्रेक पॉइंट वाले फ़ंक्शन का ग्राफ़ उदाहरण के नीचे है।
किसी फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट ढूंढना या तो एक स्वतंत्र कार्य या इसका हिस्सा हो सकता है पूर्ण कार्य अनुसंधान और रेखांकन .
उदाहरण 4.फ़ंक्शन का ब्रेक पॉइंट और फ़ंक्शन के लिए ब्रेक पॉइंट का प्रकार (वर्ण) निर्धारित करें
समाधान। घात 2 के व्यंजक से यह स्पष्ट है कि बिंदु पर फलन परिभाषित नहीं है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन की बाएँ और दाएँ सीमाएँ खोजें।
हटाने योग्य अंतर.
परिभाषा. डॉट एफ़ंक्शन का हटाने योग्य असंततता बिंदु कहा जाता है y=f(x), यदि फ़ंक्शन की सीमा एफ(एक्स)इस बिंदु पर मौजूद है, लेकिन बिंदु पर एसमारोह एफ(एक्स)या तो परिभाषित नहीं है या इसका कोई निजी अर्थ है एफ(ए), सीमा से भिन्न एफ(एक्स)इस समय।
उदाहरण. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
बिंदु पर है एक्स=0मरम्मत योग्य अंतराल. दरअसल, बिंदु पर इस फ़ंक्शन का सीमित मूल्य एक्स=0 1 के बराबर है। आंशिक मान 2 के बराबर है।
यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)बिंदु पर है एहटाने योग्य अंतर, तो इस अंतर को अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों को बदले बिना समाप्त किया जा सकता है ए. ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन के मान को बिंदु पर रखना पर्याप्त है एइस बिंदु पर इसके सीमा मान के बराबर। तो, ऊपर दिए गए उदाहरण में यह कहना पर्याप्त है एफ(0)=1और तब 
, अर्थात। समारोह एफ(एक्स)बिंदु पर निरंतर हो जाएगा एक्स=0.
पहली तरह का व्यवधान.
परिभाषा. डॉट एयदि इस बिंदु पर कार्य होता है तो इसे पहली तरह का असंततता बिंदु कहा जाता है एफ(एक्स)इसकी दाएँ और बाएँ सीमाएँ सीमित लेकिन असमान हैं
चलिए कुछ उदाहरण देते हैं.
उदाहरण. समारोह y=sgn xबिंदु पर है एक्स=0पहली तरह का टूटना. वास्तव में, और इस प्रकार ये सीमाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।
उदाहरण. समारोह 
, बिंदु को छोड़कर हर जगह परिभाषित किया गया है एक्स=1, बिंदु पर है एक्स=1पहली तरह का टूटना. वास्तव में, ।
दूसरे प्रकार का विघ्न.
परिभाषा. डॉट एयदि इस बिंदु पर कार्य होता है तो इसे दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु कहा जाता है एफ(एक्स)इसमें कम से कम एक तरफा सीमा नहीं है या यदि कम से कम एक तरफा सीमा अनंत है।
उदाहरण. समारोह f(x)=tan xजाहिर है, प्रत्येक बिंदु पर दूसरे प्रकार का असंततता है x k =π/2+π k, k=0, ± 1, ± 2,…, क्योंकि ऐसे प्रत्येक बिंदु पर
उदाहरण. फ़ंक्शन में बिंदु पर दूसरे प्रकार का असंततता है एक्स=0, क्योंकि इस बिंदु पर इसकी न तो दाईं ओर और न ही बाईं ओर कोई सीमा है।
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता
परिभाषा. एक अंतराल पर परिभाषित कार्य और इसके प्रत्येक बिंदु पर निरंतर को इस खंड पर निरंतर कहा जाता है।
इसके अलावा, बिंदु पर निरंतरता के तहत एइसे दाईं ओर निरंतरता और एक बिंदु पर निरंतरता के रूप में समझा जाता है बी- बाईं ओर निरंतरता.
हम कहेंगे कि फ़ंक्शन y=f(x), सेट पर परिभाषित किया गया (एक्स)उस पर उसके ऊपरी (निचले) किनारे तक पहुँच जाता है 
, यदि ऐसा कोई बिंदु मौजूद है x 0 ∈(x), क्या f(x 0)=β (f(x 0)=α).
[वीयरस्ट्रैस] प्रमेय. किसी अंतराल पर निरंतर चलने वाला प्रत्येक कार्य परिबद्ध होता है और उस पर अपनी ऊपरी सीमा और निचली सीमा तक पहुंचता है।
प्रमेय [बोलजानो-कॉची]. यदि फ़ंक्शन y=f(x)खंड पर निरंतर और एफ(ए)=ए, एफ(बी)=बी, फिर किसी के लिए सी, के बीच निष्कर्ष निकाला गया एऔर बी, एक ऐसा बिंदु है ξ∈ , क्या f(ξ)=C.
दूसरे शब्दों में, एक अंतराल पर निरंतर चलने वाला कोई फ़ंक्शन, किन्हीं दो मानों को लेते हुए, उनके बीच स्थित किसी भी मान को भी ले लेता है।
परिणाम. यदि कोई फ़ंक्शन किसी खंड पर निरंतर है और अपने सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है, तो इस खंड पर कम से कम एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन गायब हो जाता है।
परिणाम. कार्य करने दो y=f(x)खंड पर निरंतर
और 
, 
. फिर फ़ंक्शन एफ(एक्स)खंड से सभी मान लेता है
और केवल ये मूल्य।
इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन के सभी मानों का सेट जो एक निश्चित खंड पर दिया गया है और निरंतर है, वह भी एक खंड है।
कार्य की निरंतरता. ब्रेकिंग पॉइंट.
बैल चलता है, डोलता है, चलते समय आहें भरता है:
- ओह, बोर्ड ख़त्म हो रहा है, अब मैं गिरने वाला हूँ!
इस पाठ में हम किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की अवधारणा, असंततता बिंदुओं के वर्गीकरण और एक सामान्य व्यावहारिक समस्या की जांच करेंगे। कार्यों की निरंतरता का अध्ययन. विषय के नाम से ही, कई लोग सहजता से अनुमान लगा लेते हैं कि किस पर चर्चा की जाएगी और सोचते हैं कि सामग्री काफी सरल है। यह सच है। लेकिन यह सरल कार्य हैं जिन्हें अक्सर उपेक्षा और उनके समाधान के लिए सतही दृष्टिकोण के लिए दंडित किया जाता है। इसलिए, मेरा सुझाव है कि आप लेख का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें और सभी सूक्ष्मताओं और तकनीकों को समझें।
आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है?बहुत ज़्यादा नहीं। पाठ को अच्छी तरह से सीखने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है किसी फ़ंक्शन की सीमा. पाठकों के साथ कम स्तरलेख को समझने के लिए तैयारी ही काफी है कार्य सीमाएँ. समाधान के उदाहरणऔर देखना ज्यामितीय अर्थमैनुअल में सीमा प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. इससे स्वयं को परिचित करना भी उचित है ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन, क्योंकि अधिकांश मामलों में अभ्यास में एक चित्र बनाना शामिल होता है। संभावनाएं हर किसी के लिए आशावादी हैं, और यहां तक कि एक पूर्ण केतली भी अगले एक या दो घंटे में अपने आप ही कार्य का सामना करने में सक्षम हो जाएगी!
कार्य की निरंतरता. ब्रेकप्वाइंट और उनका वर्गीकरण
कार्य की निरंतरता की अवधारणा
आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें जो संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है: 
या, इसे और अधिक संक्षेप में कहें तो, हमारा कार्य निरंतर (वास्तविक संख्याओं का सेट) पर है।
निरंतरता की "परोपकारी" कसौटी क्या है? जाहिर है शेड्यूल सतत कार्यकागज से पेंसिल उठाये बिना भी चित्र बनाया जा सकता है।
इस मामले में, दो सरल अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से अलग किया जाना चाहिए: किसी फ़ंक्शन का डोमेनऔर कार्य की निरंतरता. में सामान्य मामला यह वही बात नहीं है. उदाहरण के लिए: 
यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है, अर्थात सब लोग"x" का अर्थ "y" का अपना अर्थ है। विशेषकर, यदि , तो . ध्यान दें कि अन्य बिंदु विराम चिह्न वाला है, क्योंकि किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, तर्क का मान अनुरूप होना चाहिए एकमात्र वस्तुफ़ंक्शन मान. इस प्रकार, कार्यक्षेत्रहमारा कार्य: .
तथापि यह फ़ंक्शन निरंतर चालू नहीं है!यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इस समय वह पीड़ित है अंतर. यह शब्द भी काफी बोधगम्य और दृश्य है; वास्तव में, यहां पेंसिल को वैसे भी कागज से फाड़ना होगा। थोड़ी देर बाद हम ब्रेकप्वाइंट के वर्गीकरण को देखेंगे।
एक बिंदु पर और एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता
किसी विशेष गणितीय समस्या में, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता, किसी अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता, अर्ध-अंतराल, या किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता के बारे में बात कर सकते हैं। वह है, कोई "मात्र निरंतरता" नहीं है- फ़ंक्शन कहीं भी निरंतर हो सकता है। और बाकी सभी चीज़ों का मूलभूत "बिल्डिंग ब्लॉक" है कार्य की निरंतरता बिंदु पर .
लिखित गणितीय विश्लेषण"डेल्टा" और "एप्सिलॉन" पड़ोस का उपयोग करके एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता की परिभाषा देता है, लेकिन व्यवहार में एक और परिभाषा उपयोग में है, जिस पर हम बारीकी से ध्यान देंगे।
पहले याद कर लेते हैं एकतरफ़ा सीमाजो पहले पाठ में ही हमारे जीवन में फूट पड़े फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे में. रोजमर्रा की स्थिति पर विचार करें: 
यदि हम अक्ष से बिंदु तक पहुंचते हैं बाएं(लाल तीर), फिर "गेम" के संबंधित मान अक्ष के साथ बिंदु (क्रिमसन तीर) तक जाएंगे। गणितीय रूप से इस तथ्य को प्रयोग करके निश्चित किया जाता है बाएँ हाथ की सीमा:
प्रविष्टि पर ध्यान दें (पढ़ें "x बाईं ओर ka की ओर जाता है")। "एडिटिव" "माइनस जीरो" का प्रतीक है , अनिवार्य रूप से इसका मतलब है कि हम बाईं ओर से संख्या के करीब पहुंच रहे हैं।
इसी तरह, यदि आप बिंदु "का" पर पहुंचते हैं दायी ओर(नीला तीर), फिर "गेम" समान मूल्य पर आएंगे, लेकिन हरे तीर के साथ, और दाहिने हाथ की सीमानिम्नानुसार स्वरूपित किया जाएगा:
"एडिटिव" का प्रतीक है , और प्रविष्टि में लिखा है: "x दाईं ओर ka की ओर प्रवृत्त होता है।"
यदि एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और समान हैं(जैसा कि हमारे मामले में): 
, तो हम कहेंगे कि एक सामान्य सीमा है। यह सरल है, सामान्य सीमा हमारी "सामान्य" है किसी फ़ंक्शन की सीमा, एक परिमित संख्या के बराबर।
ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन (पंचर) पर परिभाषित नहीं है काला बिंदूग्राफ शाखा पर), तो उपरोक्त गणना मान्य रहती है। जैसा कि पहले ही कई बार उल्लेख किया जा चुका है, विशेष रूप से लेख में अतिसूक्ष्म कार्यों पर, भाव का अर्थ है कि "x" असीम रूप से करीबजबकि, बिंदु तक पहुंचता है कोई फर्क नहीं पड़ता, चाहे फ़ंक्शन स्वयं किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित हो या नहीं। अच्छा उदाहरणजब फ़ंक्शन का विश्लेषण किया जाएगा तो यह अगले पैराग्राफ में दिखाई देगा।
परिभाषा: एक फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर होता है यदि किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा उस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है:।
परिभाषा विस्तृत है निम्नलिखित शर्तें:
1) फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित किया जाना चाहिए, अर्थात मान मौजूद होना चाहिए।
2)कार्य की एक सामान्य सीमा होनी चाहिए। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसका तात्पर्य एकतरफा सीमाओं के अस्तित्व और समानता से है: 
.
3) किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होनी चाहिए:।
यदि उल्लंघन किया गया कम से कम एकतीन स्थितियों में से, तब फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतरता की संपत्ति खो देता है।
एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरतासरलतापूर्वक और बहुत सरलता से तैयार किया गया है: एक फ़ंक्शन अंतराल पर निरंतर होता है यदि यह दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है।
विशेष रूप से, कई फ़ंक्शन अनंत अंतराल पर, यानी वास्तविक संख्याओं के सेट पर निरंतर होते हैं। यह एक रैखिक फलन, बहुपद, घातांक, ज्या, कोज्या आदि है। और सामान्य तौर पर, कोई भी प्राथमिक कार्यइस पर निरंतर परिभाषा का क्षेत्रउदाहरण के लिए, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन अंतराल पर निरंतर होता है। मैं आशा करता हूं कि इस पलआपको इस बात का बहुत अच्छा अंदाज़ा है कि मुख्य फ़ंक्शंस के ग्राफ़ कैसे दिखते हैं। अधिक विस्तार में जानकारीउनकी निरंतरता का अंदाज़ा लगाया जा सकता है दयालू व्यक्तिफिचटेनगोल्ट्स उपनाम से।
एक खंड और आधे-अंतराल पर एक फ़ंक्शन की निरंतरता के साथ, सब कुछ भी मुश्किल नहीं है, लेकिन कक्षा में इस बारे में बात करना अधिक उपयुक्त है किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करने के बारे में, लेकिन अभी इसके बारे में चिंता न करें।
ब्रेक प्वाइंट का वर्गीकरण
कार्यों का आकर्षक जीवन सभी प्रकार के विशेष बिंदुओं से समृद्ध है, और विराम बिंदु उनकी जीवनी के पन्नों में से केवल एक हैं।
टिप्पणी : बस किसी मामले में, मैं एक प्रारंभिक बिंदु पर ध्यान केंद्रित करूंगा: ब्रेकिंग पॉइंट हमेशा होता है सिंगल पॉइंट- कोई "एक पंक्ति में कई ब्रेक पॉइंट" नहीं हैं, अर्थात, "ब्रेक अंतराल" जैसी कोई चीज़ नहीं है।
ये बिंदु बदले में दो भागों में विभाजित हैं बड़े समूह: पहली तरह का टूटनाऔर दूसरे प्रकार का टूटना. प्रत्येक प्रकार का अंतराल अपना-अपना होता है विशेषताएँजिसे हम अभी देखेंगे:
प्रथम प्रकार का असंततता बिंदु
यदि किसी बिंदु पर निरंतरता की स्थिति का उल्लंघन होता है और एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित , तो इसे कहा जाता है पहली तरह का असंततता बिंदु.
आइए सबसे आशावादी मामले से शुरुआत करें। पाठ के मूल विचार के अनुसार, मैं "में" सिद्धांत बताना चाहता था सामान्य रूप से देखें”, लेकिन सामग्री की वास्तविकता प्रदर्शित करने के लिए, मैंने विशिष्ट पात्रों वाले विकल्प पर फैसला किया।
यह दुखद है, अनन्त ज्वाला की पृष्ठभूमि में नवविवाहित जोड़े की तस्वीर की तरह, लेकिन निम्नलिखित शॉट आम तौर पर स्वीकार किया जाता है। आइए चित्र में फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्रित करें: 
यह फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर होता है। और वास्तव में, हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता। हालाँकि, सीमा के अर्थ के अनुसार, हम कर सकते हैं असीम रूप से करीबबाएँ और दाएँ दोनों ओर से "शून्य" तक पहुँचें, अर्थात, एकतरफा सीमाएँ मौजूद हैं और, जाहिर है, मेल खाती हैं: 
(निरंतरता की शर्त संख्या 2 संतुष्ट है)।
लेकिन फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए, निरंतरता की शर्त संख्या 1 का उल्लंघन होता है, और फ़ंक्शन इस बिंदु पर असंततता से ग्रस्त होता है।
इस प्रकार का ब्रेक (मौजूदा के साथ)। सामान्य सीमा) कहा जाता है मरम्मत योग्य अंतराल. हटाने योग्य क्यों? क्योंकि फ़ंक्शन कर सकता है फिर से परिभाषितब्रेकिंग पॉइंट पर: 
क्या यह अजीब लग रहा है? शायद। लेकिन ऐसा फ़ंक्शन नोटेशन किसी भी चीज़ का खंडन नहीं करता है! अब अंतर ख़त्म हो गया है और हर कोई खुश है: 
आइए एक औपचारिक जाँच करें:
2) 
– एक सामान्य सीमा है;
3)
इस प्रकार, सभी तीन शर्तें पूरी हो जाती हैं, और एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की परिभाषा के अनुसार फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर होता है।
हालाँकि, उदाहरण के लिए, मटन से नफरत करने वाले फ़ंक्शन को खराब तरीके से परिभाषित कर सकते हैं 
:
यह दिलचस्प है कि पहली दो निरंतरता शर्तें यहां संतुष्ट हैं:
1)-फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है;
2) 
- एक सामान्य सीमा है.
लेकिन तीसरी सीमा पार नहीं की गई है: यानी, बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा सम नहीकिसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन का मान।
इस प्रकार, एक बिंदु पर कार्य में असंततता आ जाती है।
दूसरा, दुखद मामला कहा जाता है पहली तरह का टूटना एक छलांग के साथ. और दुःख एकतरफ़ा सीमाओं से उत्पन्न होता है परिमित और भिन्न. पाठ के दूसरे चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है। ऐसा गैप आमतौर पर तब होता है जब टुकड़ों में परिभाषित कार्य, जिनका उल्लेख लेख में पहले ही किया जा चुका है ग्राफ़ परिवर्तनों के बारे में.
टुकड़ेवार कार्य पर विचार करें 
और हम इसकी ड्राइंग पूरी करेंगे. ग्राफ़ कैसे बनाएं? बहुत सरल। आधे अंतराल पर हम एक परवलय का एक टुकड़ा खींचते हैं ( हरा रंग), अंतराल पर - एक सीधी रेखा खंड (लाल) और आधे अंतराल पर - एक सीधी रेखा ( नीला रंग).
इसके अलावा, असमानता के कारण, मूल्य निर्धारित किया जाता है द्विघात फंक्शन(हरा बिंदु), और असमानता के कारण, मान निर्धारित किया जाता है रैखिक प्रकार्य(नीला बिंदु): 
सबसे कठिन मामले में, आपको ग्राफ़ के प्रत्येक टुकड़े के बिंदु-दर-बिंदु निर्माण का सहारा लेना चाहिए (पहला देखें)। कार्यों के ग्राफ़ के बारे में पाठ).
अब हमें सिर्फ मुद्दे में दिलचस्पी होगी. आइए निरंतरता के लिए इसकी जांच करें:
2) आइए एकतरफ़ा सीमा की गणना करें।
बाईं ओर हमारे पास एक लाल रेखा खंड है, इसलिए बाईं ओर की सीमा है: 
दाईं ओर नीली सीधी रेखा है, और दाईं ओर की सीमा: 
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त हुआ परिमित संख्या, वे और सम नही. चूँकि एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और भिन्न: 
, तो हमारा कार्य सहन करता है एक छलांग के साथ पहली तरह की असंततता.
यह तर्कसंगत है कि अंतर को समाप्त नहीं किया जा सकता है - फ़ंक्शन को वास्तव में आगे परिभाषित नहीं किया जा सकता है और पिछले उदाहरण की तरह "एक साथ चिपकाया" नहीं जा सकता है।
दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु
आमतौर पर, टूटने के अन्य सभी मामलों को चतुराई से इस श्रेणी में वर्गीकृत किया जाता है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि व्यवहार में, 99% समस्याओं में आपका सामना होगा अंतहीन अंतराल- जब बाएं हाथ से या दाएं हाथ से, और अधिक बार, दोनों सीमाएं अनंत होती हैं।
और, निःसंदेह, सबसे स्पष्ट चित्र बिंदु शून्य पर अतिपरवलय है। यहाँ दोनों एकतरफ़ा सीमाएँ अनंत हैं: 
इसलिए, फ़ंक्शन को बिंदु पर दूसरे प्रकार की असंततता का सामना करना पड़ता है।
मैं अपने लेखों को यथासंभव विविध सामग्री से भरने का प्रयास करता हूं, तो आइए एक ऐसे फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें जो अभी तक सामने नहीं आया है: 
मानक योजना के अनुसार:
1) इस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य पर चला जाता है।
निःसंदेह, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर असंततता से ग्रस्त है, लेकिन असंततता की प्रकृति को वर्गीकृत करना अच्छा होगा, जो अक्सर स्थिति के लिए आवश्यक होता है। इसके लिए:
मैं आपको याद दिला दूं कि रिकॉर्डिंग से हमारा मतलब है बहुत छोता एक ऋणात्मक संख्या
, और प्रविष्टि के अंतर्गत - अतिसूक्ष्म धनात्मक संख्या.
एकतरफ़ा सीमाएँ अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन को बिंदु पर दूसरे प्रकार की असंततता का सामना करना पड़ता है। y-अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटग्राफ़ के लिए.
दोनों एकतरफ़ा सीमाओं का अस्तित्व में होना असामान्य नहीं है, लेकिन उनमें से केवल एक ही अनंत है, उदाहरण के लिए: 
यह फ़ंक्शन का ग्राफ़ है.
हम निरंतरता के लिए बिंदु की जांच करते हैं:
1) इस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है।
2) आइए एकतरफ़ा सीमा की गणना करें: 
हम व्याख्यान के अंतिम दो उदाहरणों में ऐसी एकतरफा सीमाओं की गणना करने की विधि के बारे में बात करेंगे, हालाँकि कई पाठक पहले ही सब कुछ देख और अनुमान लगा चुके हैं।
बाएं हाथ की सीमा परिमित है और शून्य के बराबर है (हम "बिंदु पर ही नहीं जाते"), लेकिन दाएं हाथ की सीमा अनंत है और ग्राफ़ की नारंगी शाखा इसके असीम रूप से करीब पहुंचती है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट, समीकरण (काली बिंदीदार रेखा) द्वारा दिया गया है।
अतः कार्य प्रभावित होता है दूसरे प्रकार की असंततताबिंदु पर.
जहां तक पहली तरह की असंततता का सवाल है, फ़ंक्शन को असंततता बिंदु पर ही परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन के लिए 
निर्देशांक के मूल में एक काला बोल्ड बिंदु लगाने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। दाईं ओर हाइपरबोला की एक शाखा है, और दाईं ओर की सीमा अनंत है। मुझे लगता है कि लगभग हर किसी को इस बात का अंदाज़ा है कि यह ग्राफ़ कैसा दिखता है।
हर कोई किस चीज़ का इंतज़ार कर रहा था:
निरंतरता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें?
किसी बिंदु पर निरंतरता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन पहले से स्थापित नियमित योजना के अनुसार किया जाता है, जिसमें निरंतरता की तीन स्थितियों की जाँच होती है:
उदाहरण 1
फ़ंक्शन का अन्वेषण करें 
समाधान:
1) दायरे के भीतर एकमात्र बिंदु वह है जहां फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है।
2) आइए एकतरफ़ा सीमा की गणना करें: 
एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और समान हैं।
इस प्रकार, इस बिंदु पर फ़ंक्शन एक हटाने योग्य असंतोष से ग्रस्त है।
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है?
मैं सरलीकरण करना चाहूंगा 
, और ऐसा लगता है जैसे एक साधारण परवलय प्राप्त होता है। लेकिनमूल फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए निम्नलिखित खंड की आवश्यकता है:
आइए चित्र बनाएं: 
उत्तर: फ़ंक्शन उस बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है जिस पर यह हटाने योग्य असंततता से ग्रस्त है।
फ़ंक्शन को आगे अच्छे या बुरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन स्थिति के अनुसार इसकी आवश्यकता नहीं है।
आप कहते हैं कि यह एक दूरगामी उदाहरण है? बिल्कुल नहीं। व्यवहार में ऐसा दर्जनों बार हो चुका है. साइट के लगभग सभी कार्य वास्तविक स्वतंत्र कार्य और परीक्षणों से आते हैं।
आइए अपने पसंदीदा मॉड्यूल से छुटकारा पाएं:
उदाहरण 2
फ़ंक्शन का अन्वेषण करें 
निरंतरता के लिए. फ़ंक्शन असंततताओं की प्रकृति निर्धारित करें, यदि वे मौजूद हैं। ड्राइंग निष्पादित करें.
समाधान: किसी कारण से, छात्र डरते हैं और मॉड्यूल के साथ फ़ंक्शन पसंद नहीं करते हैं, हालांकि उनमें कुछ भी जटिल नहीं है। ऐसी बातों पर हम पहले ही पाठ में थोड़ा विचार कर चुके हैं। ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन. चूंकि मॉड्यूल गैर-नकारात्मक है, इसलिए इसे निम्नानुसार विस्तारित किया गया है: 
, जहां "अल्फा" कुछ अभिव्यक्ति है। में इस मामले में, और हमारा कार्य टुकड़ों में लिखा जाना चाहिए: 
लेकिन दोनों टुकड़ों के अंशों को कम किया जाना चाहिए। पिछले उदाहरण की तरह, कटौती बिना परिणामों के नहीं होगी। मूल फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है क्योंकि हर शून्य पर चला जाता है। इसलिए, सिस्टम को अतिरिक्त रूप से शर्त निर्दिष्ट करनी चाहिए, और पहली असमानता को सख्त बनाना चाहिए: 
अब बहुत के बारे में उपयोगी स्वागतसमाधान: ड्राफ्ट पर कार्य को अंतिम रूप देने से पहले, एक ड्राइंग बनाना फायदेमंद होता है (चाहे यह शर्तों के अनुसार आवश्यक हो या नहीं)। यह, सबसे पहले, निरंतरता के बिंदुओं और असंततता के बिंदुओं को तुरंत देखने में मदद करेगा, और दूसरी बात, यह आपको एकतरफा सीमाएं खोजने पर त्रुटियों से 100% बचाएगा।
चलो ड्राइंग बनाते हैं. हमारी गणना के अनुसार, बिंदु के बाईं ओर एक परवलय (नीला रंग) का एक टुकड़ा खींचना आवश्यक है, और दाईं ओर - एक परवलय (लाल रंग) का एक टुकड़ा, जबकि फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं किया गया है स्वयं बिंदु: 
यदि संदेह है, तो कुछ x मान लें और उन्हें फ़ंक्शन में प्लग करें 
(याद रखें कि मॉड्यूल संभावित ऋण चिह्न को नष्ट कर देता है) और ग्राफ़ की जाँच करें।
आइए विश्लेषणात्मक रूप से निरंतरता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें:
1) फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि यह इस पर निरंतर नहीं है।
2) आइए असंततता की प्रकृति स्थापित करें; ऐसा करने के लिए, हम एक तरफा सीमा की गणना करते हैं: 
एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बिंदु पर छलांग के साथ पहली तरह की असंततता से ग्रस्त है। फिर से ध्यान दें कि सीमाएँ खोजते समय, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ब्रेक पॉइंट पर फ़ंक्शन परिभाषित है या नहीं।
अब जो कुछ बचा है वह ड्राइंग को ड्राफ्ट से स्थानांतरित करना है (इसे ऐसे बनाया गया था जैसे कि शोध की मदद से ;-)) और कार्य पूरा करें:
उत्तर: फ़ंक्शन उस बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर होता है जिस पर छलांग के साथ यह पहली तरह की असंततता से ग्रस्त होता है।
कभी-कभी उन्हें असंततता छलांग के अतिरिक्त संकेत की आवश्यकता होती है। इसकी गणना सरलता से की जाती है - दाईं सीमा से आपको बाईं सीमा को घटाना होगा: यानी, ब्रेक पॉइंट पर हमारा फ़ंक्शन 2 यूनिट नीचे कूद गया (जैसा कि ऋण चिह्न हमें बताता है)।
उदाहरण 3
फ़ंक्शन का अन्वेषण करें 
निरंतरता के लिए. फ़ंक्शन असंततताओं की प्रकृति निर्धारित करें, यदि वे मौजूद हैं। एक चित्र बनाओ.
यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, पाठ के अंत में एक नमूना समाधान।
आइए कार्य के सबसे लोकप्रिय और व्यापक संस्करण पर चलते हैं, जब फ़ंक्शन में तीन भाग होते हैं:
उदाहरण 4
निरंतरता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करें और फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं 
.
समाधान: यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सभी तीन भाग संबंधित अंतराल पर निरंतर हैं, इसलिए टुकड़ों के बीच "जंक्शन" के केवल दो बिंदुओं की जांच करना बाकी है। सबसे पहले, आइए एक ड्राफ्ट ड्राइंग बनाएं; मैंने लेख के पहले भाग में निर्माण तकनीक पर पर्याप्त विस्तार से टिप्पणी की है। केवल एक चीज यह है कि हमें अपने एकवचन बिंदुओं का सावधानीपूर्वक पालन करने की आवश्यकता है: असमानता के कारण, मान सीधी रेखा (हरा बिंदु) से संबंधित है, और असमानता के कारण, मान परवलय (लाल बिंदु) से संबंधित है: 
खैर, सिद्धांत रूप में, सब कुछ स्पष्ट है =) जो कुछ बचा है वह निर्णय को औपचारिक बनाना है। दो "जुड़ने" बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए, हम मानक रूप से 3 निरंतरता शर्तों की जांच करते हैं:
मैं)हम निरंतरता के लिए बिंदु की जांच करते हैं
1) 
एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बिंदु पर छलांग के साथ पहली तरह की असंततता से ग्रस्त है।
आइए दाएं और बाएं सीमा के बीच अंतर के रूप में असंततता छलांग की गणना करें:
यानी, ग्राफ़ एक इकाई तक ऊपर चला गया।
द्वितीय)हम निरंतरता के लिए बिंदु की जांच करते हैं
1) 
- फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है।
2) एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें: 
- एकतरफ़ा सीमाएँ परिमित और समान हैं, जिसका अर्थ है कि एक सामान्य सीमा है।
3) 
- किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है।
अंतिम चरण में, हम ड्राइंग को अंतिम संस्करण में स्थानांतरित करते हैं, जिसके बाद हम अंतिम राग डालते हैं:
उत्तर: फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, उस बिंदु को छोड़कर जिस पर यह एक छलांग के साथ पहली तरह की असंततता से ग्रस्त है।
उदाहरण 5
निरंतरता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करें और उसका ग्राफ़ बनाएं 
.
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है, संक्षिप्त समाधानऔर पाठ के अंत में कार्य का एक अनुमानित नमूना।
आपको यह आभास हो सकता है कि एक बिंदु पर कार्य निरंतर होना चाहिए, और दूसरे बिंदु पर असंततता होनी चाहिए। व्यवहार में, हमेशा ऐसा नहीं होता है। शेष उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें - इनमें कई दिलचस्प और महत्वपूर्ण विशेषताएं होंगी:
उदाहरण 6
एक फ़ंक्शन दिया गया 
. बिंदुओं पर निरंतरता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। एक ग्राफ बनाएं.
समाधान: और फिर से तुरंत ड्राफ्ट पर ड्राइंग निष्पादित करें: 
इस ग्राफ़ की ख़ासियत यह है कि टुकड़ा-वार फ़ंक्शन एब्सिस्सा अक्ष के समीकरण द्वारा दिया गया है। यह क्षेत्र यहाँ खींचा गया है हरा, और एक नोटबुक में इसे आमतौर पर एक साधारण पेंसिल से बोल्ड में हाइलाइट किया जाता है। और, निश्चित रूप से, हमारे मेढ़ों के बारे में मत भूलिए: मान स्पर्शरेखा शाखा (लाल बिंदु) से संबंधित है, और मान सीधी रेखा से संबंधित है।
ड्राइंग से सब कुछ स्पष्ट है - फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा के साथ निरंतर है, जो कुछ बचा है वह समाधान को औपचारिक बनाना है, जिसे 3-4 समान उदाहरणों के बाद वस्तुतः पूर्ण स्वचालन में लाया जाता है:
मैं)हम निरंतरता के लिए बिंदु की जांच करते हैं
1)-फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है।
2) आइए एकतरफ़ा सीमा की गणना करें: 
, जिसका अर्थ है कि एक सामान्य सीमा है।
बस किसी मामले में, मैं आपको एक तुच्छ तथ्य याद दिला दूं: एक स्थिरांक की सीमा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है। इस मामले में, शून्य की सीमा स्वयं शून्य (बाएं हाथ की सीमा) के बराबर है।
3) 
- किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है।
इस प्रकार, किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की परिभाषा के अनुसार एक फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर होता है।
द्वितीय)हम निरंतरता के लिए बिंदु की जांच करते हैं
1)-फ़ंक्शन को किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है।
2) एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें: 
और यहाँ - एक की सीमा इकाई के बराबर ही है।
- एक सामान्य सीमा है.
3) 
- किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है।
इस प्रकार, किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की परिभाषा के अनुसार एक फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर होता है।
हमेशा की तरह, शोध के बाद हम अपनी ड्राइंग को अंतिम संस्करण में स्थानांतरित करते हैं।
उत्तर: फ़ंक्शन बिंदुओं पर निरंतर है।
कृपया ध्यान दें कि इस स्थिति में हमसे निरंतरता के लिए संपूर्ण फ़ंक्शन का अध्ययन करने के बारे में कुछ नहीं पूछा गया था, और इसे तैयार करने के लिए इसे अच्छा गणितीय रूप माना जाता है सटीक और स्पष्टपूछे गए प्रश्न का उत्तर. वैसे, यदि शर्त के लिए आपको ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता नहीं है, तो आपके पास है हर अधिकारइसे न बनाएं (हालाँकि शिक्षक आपको इसे बाद में करने के लिए बाध्य कर सकता है)।
इसे स्वयं हल करने के लिए एक छोटा गणितीय "टंग ट्विस्टर":
उदाहरण 7
एक फ़ंक्शन दिया गया 
. बिंदुओं पर निरंतरता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। ब्रेकप्वाइंट, यदि कोई हो, वर्गीकृत करें। ड्राइंग निष्पादित करें.
सभी "शब्दों" को सही ढंग से "उच्चारण" करने का प्रयास करें =) और ग्राफ को अधिक सटीक, सटीकता से बनाएं, यह हर जगह अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा;-)
जैसा कि आपको याद है, मैंने ड्राइंग को ड्राफ्ट के रूप में तुरंत पूरा करने की सिफारिश की थी, लेकिन समय-समय पर आपके सामने ऐसे उदाहरण आते हैं जहां आप तुरंत यह पता नहीं लगा पाते हैं कि ग्राफ़ कैसा दिखता है। इसलिए, कुछ मामलों में, पहले एक तरफा सीमाएं ढूंढना फायदेमंद होता है और उसके बाद ही अध्ययन के आधार पर शाखाओं का चित्रण करना फायदेमंद होता है। अंतिम दो उदाहरणों में हम कुछ एकतरफ़ा सीमाओं की गणना करने की तकनीक भी सीखेंगे:
उदाहरण 8
निरंतरता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें और इसका योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाएं।
समाधान: खराब बिंदु स्पष्ट हैं: (घातक के हर को शून्य तक कम कर देता है) और (संपूर्ण भिन्न के हर को शून्य तक कम कर देता है)। यह स्पष्ट नहीं है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है, जिसका अर्थ है कि पहले कुछ शोध करना बेहतर है।
