वितरण का नियम. वितरण बहुभुज

पेज 2

ग्राफ़िक रूप से वितरण कानून पृथक मूल्यतथाकथित वितरण बहुभुज के रूप में दिया गया है।  

वितरण श्रृंखला का आलेखीय निरूपण (चित्र 5 देखें) वितरण बहुभुज कहलाता है।  

वितरण कानून का वर्णन करने के लिए असंतत अनियमित परिवर्तनशील वस्तुअक्सर एक पंक्ति (तालिका) और एक वितरण बहुभुज का उपयोग किया जाता है।  

इसे दर्शाने के लिए, बिंदु (Y Pi) (x - i Pa) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बनाए गए हैं और रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं। वितरण बहुभुज एक यादृच्छिक चर के वितरण की प्रकृति का अनुमानित दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।  

स्पष्टता के लिए, एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को ग्राफिक रूप से भी चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए बिंदु (x/, p) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बनाए जाते हैं, और फिर रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है।  

एम (एक्सएन; पीएन) (एचपी - - संभावित मान Xt pi - संगत संभावनाएँ) और उन्हें सीधे खंडों से जोड़ें। परिणामी आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है।  

अंकों के योग के संभाव्यता वितरण पर विचार करें पासा. नीचे दिए गए आंकड़े एक, दो और तीन हड्डियों के मामले के लिए वितरण बहुभुज दिखाते हैं।  

इस मामले में, एक यादृच्छिक चर के वितरण बहुभुज के बजाय, एक वितरण घनत्व फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है, जिसे अंतर वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है और अंतर वितरण कानून का प्रतिनिधित्व करता है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर x (x Xr) के वितरण घनत्व को अंतराल (x, x - Ax) में गिरने वाले मान x की संभावना के अनुपात की सीमा के रूप में समझा जाता है, जब Al; शून्य हो जाता है. विभेदक फ़ंक्शन के अलावा, अभिन्न वितरण फ़ंक्शन, जिसे अक्सर वितरण फ़ंक्शन या अभिन्न वितरण कानून कहा जाता है, का उपयोग यादृच्छिक चर के वितरण को चिह्नित करने के लिए किया जाता है।  

इस निर्माण के साथ, अंतराल में गिरने की सापेक्ष आवृत्तियां संबंधित हिस्टोग्राम बार के क्षेत्रों के बराबर होंगी, जैसे संभावनाएं संबंधित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्रों के बराबर होती हैं, यदि अनुमानित सैद्धांतिक वितरण प्रयोग से अच्छी तरह सहमत होता है पर्याप्त रूप से बड़े n और अंतरालों के सफल विकल्प (YJ-I, y) के साथ। कभी-कभी, तुलना की स्पष्टता के लिए, हिस्टोग्राम बार के ऊपरी आधारों के मध्य बिंदुओं को क्रमिक रूप से जोड़कर एक वितरण बहुभुज का निर्माण किया जाता है।  

m को 0 से i तक अलग-अलग मान देने से प्रायिकताएँ PQ, P RF - Pn प्राप्त होती हैं, जिन्हें ग्राफ़ पर अंकित किया जाता है। दिया गया पी; z11, एक संभाव्यता वितरण बहुभुज का निर्माण करें।  

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून इसके संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच कोई पत्राचार है। कानून को सारणीबद्ध (वितरण श्रृंखला), ग्राफिक रूप से (वितरण बहुभुज, आदि) और विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।  

वितरण वक्र ढूँढना, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर के वितरण को स्थापित करना, एक ऐसी घटना का अधिक गहराई से अध्ययन करना संभव बनाता है जो किसी दिए गए विशिष्ट वितरण श्रृंखला द्वारा पूरी तरह से व्यक्त नहीं किया गया है। पाए गए समतल वितरण वक्र और आंशिक जनसंख्या से निर्मित वितरण बहुभुज दोनों को चित्रित करके, शोधकर्ता स्पष्ट रूप से देख सकता है विशेषताएँअध्ययन की जा रही घटना में अंतर्निहित। इसके लिए धन्यवाद, सांख्यिकीय विश्लेषण शोधकर्ता का ध्यान घटना में कुछ प्राकृतिक परिवर्तन से देखे गए डेटा के विचलन पर केंद्रित करता है, और शोधकर्ता को इन विचलन के कारणों का पता लगाने के कार्य का सामना करना पड़ता है।  

फिर, इस अंतराल में खपत वाले महीनों की संख्या के अनुरूप, अंतराल के बीच से एब्सिस्सा (एक पैमाने पर) खींचा जाता है। इन भुजाओं के सिरे जुड़े हुए हैं और इस प्रकार एक बहुभुज, या वितरण बहुभुज प्राप्त होता है।  

वे बिंदु जो मात्रा के मूल्य के समन्वय तल पर एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के कानून का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व देते हैं - मूल्यों की संभावना, आमतौर पर सीधे खंडों से जुड़े होते हैं और परिणामी परिणाम कहलाते हैं ज्यामितीय आकृतिवितरण बहुभुज. चित्र में. तालिका 46 में 3 (साथ ही चित्र 4 और 5 में) वितरण बहुभुज दिखाए गए हैं।  

अलग एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक मान ले सकता है।

उदाहरण 1।तीन सिक्के उछालने पर राज्य-चिह्न कितनी बार प्रकट होता है। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, उनकी संभावनाएँ क्रमशः बराबर हैं:

पी(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

उदाहरण 2.पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, 4, 5; उनकी संभावनाएँ प्रत्येक तत्व की विश्वसनीयता पर निर्भर करती हैं।

असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला या वितरण फलन (अभिन्न वितरण कानून) द्वारा दिया जा सकता है।

वितरण के निकट सभी संभावित मानों का समुच्चय है एक्समैंऔर उनकी संगत संभावनाएँ आरमैं = पी(एक्स = एक्समैं), इसे एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है:

एक्स मैं				एक्स एन
पी मैं				आरपी एन

इस मामले में, संभावनाएँ आरमैंशर्त पूरी करो

आरमैं= 1 क्योंकि

संभावित मानों की संख्या कहां है एनपरिमित या अनंत हो सकता है.

वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व वितरण बहुभुज कहा जाता है . इसे बनाने के लिए, यादृच्छिक चर के संभावित मान ( एक्समैं) को x-अक्ष और संभावनाओं के साथ प्लॉट किया जाता है आरमैं- कोर्डिनेट अक्ष के साथ; अंक एमैंनिर्देशांक के साथ ( एक्समैं,आरमैं) टूटी हुई रेखाओं से जुड़े हुए हैं।

वितरण समारोह अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सफ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स), बिंदु पर जिसका मूल्य एक्सयादृच्छिक चर की प्रायिकता के बराबर है एक्सइस मान से कम होगा एक्स, वह है

एफ(एक्स) = पी(एक्स< х).

समारोह एफ(एक्स) के लिए असतत यादृच्छिक चरसूत्र द्वारा गणना की गई

एफ(एक्स) = आरमैं , (1.10.1)

जहां सभी मूल्यों का योग किया जाता है मैं, जिसके लिए एक्समैं< х.

उदाहरण 3. 100 उत्पादों वाले एक बैच से, जिनमें से 10 दोषपूर्ण हैं, उनकी गुणवत्ता की जांच करने के लिए पांच उत्पादों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। वितरणों की एक श्रृंखला का निर्माण करें यादृच्छिक संख्या एक्सनमूने में दोषपूर्ण उत्पाद शामिल हैं।

समाधान. चूंकि नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या 0 से 5 सहित कोई भी पूर्णांक हो सकती है, तो संभावित मान एक्समैंअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सबराबर हैं:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।

संभावना आर(एक्स = के) कि नमूने में बिल्कुल सही जानकारी है क(क = 0, 1, 2, 3, 4, 5) दोषपूर्ण उत्पाद, बराबर

पी (एक्स = के) = .

0.001 की सटीकता के साथ इस सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

आर 1 = पी(एक्स = 0) @ 0,583;आर 2 = पी(एक्स = 1) @ 0,340;आर 3 = पी(एक्स = 2) @ 0,070;

आर 4 = पी(एक्स = 3) @ 0,007;आर 5 = पी(एक्स= 4) @ 0;आर 6 = पी(एक्स = 5) @ 0.

जाँचने के लिए समानता का उपयोग करना आरक=1, हम सुनिश्चित करते हैं कि गणना और पूर्णांकन सही ढंग से किया गया था (तालिका देखें)।

एक्स मैं
पी मैं

उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला दी गई है एक्स :

एक्स मैं
पी मैं

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन खोजें एफ(एक्स) इस यादृच्छिक चर का और इसका निर्माण करें।

समाधान. अगर एक्सफिर £10 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0;

यदि 10<एक्सफिर £20 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 ;

यदि 20<एक्सफिर £30 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

यदि 30<एक्सफिर £40 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

यदि 40<एक्सफिर £50 एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

अगर एक्स> 50, फिर एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

उत्तर: एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्ससंभावित मूल्यों के साथ. इनमें से प्रत्येक मान संभव है, लेकिन निश्चित नहीं है, और मूल्य एक्सउनमें से प्रत्येक को कुछ संभावना के साथ स्वीकार कर सकते हैं। प्रयोग के परिणामस्वरूप, मूल्य एक्सइनमें से एक मान लेगा, यानी असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटित होगा:

आइए हम इन घटनाओं की संभावनाओं को अक्षरों द्वारा निरूपित करें आरसंबंधित सूचकांकों के साथ:

अर्थात्, विभिन्न मानों की संभाव्यता वितरण को एक वितरण तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसमें किसी दिए गए असतत यादृच्छिक चर द्वारा लिए गए सभी मानों को शीर्ष पंक्ति में दर्शाया जाता है, और संबंधित मानों की संभावनाओं को दर्शाया जाता है। नीचे की पंक्ति में दर्शाया गया है। चूँकि असंगत घटनाएँ (3.1) एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो, अर्थात्, यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों की संभावनाओं का योग एक के बराबर होता है। सतत यादृच्छिक चरों के संभाव्यता वितरण को तालिका के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता, क्योंकि ऐसे यादृच्छिक चरों के मानों की संख्या सीमित अंतराल में भी अनंत होती है। इसके अलावा, कोई विशेष मान प्राप्त करने की संभावना शून्य है। यदि हम इस वितरण को निर्दिष्ट करते हैं, तो एक यादृच्छिक चर को संभाव्य दृष्टिकोण से पूरी तरह से वर्णित किया जाएगा, अर्थात, हम इंगित करते हैं कि प्रत्येक घटना की क्या संभावना है। इससे हम यादृच्छिक चर के वितरण का तथाकथित नियम स्थापित करेंगे। यादृच्छिक चर के वितरण का नियम कोई भी संबंध है जो यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। हम एक यादृच्छिक चर के बारे में कहेंगे कि यह किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन है। आइए हम उस फॉर्म को स्थापित करें जिसमें एक असंतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट किया जा सके एक्स।इस कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है:

एक्स मैं	एक्स 1	एक्स 2	× × ×	एक्स एन
पी मैं	पी 1	पी 2	× × ×	पी एन

ऐसी तालिका को हम यादृच्छिक चर के वितरण की श्रृंखला कहेंगे एक्स।

चावल। 3.1

वितरण श्रृंखला को अधिक दृश्य रूप देने के लिए, वे अक्सर इसके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का सहारा लेते हैं: यादृच्छिक चर के संभावित मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और इन मानों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। स्पष्टता के लिए, परिणामी बिंदु सीधी रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं। ऐसी आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है (चित्र 3.1)। वितरण बहुभुज, साथ ही वितरण श्रृंखला, पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता बताती है। यह वितरण के नियम के रूपों में से एक है। कभी-कभी वितरण श्रृंखला की तथाकथित "यांत्रिक" व्याख्या सुविधाजनक होती है। आइए कल्पना करें कि एकता के बराबर एक निश्चित द्रव्यमान को भुज अक्ष के साथ वितरित किया जाता है ताकि एनद्रव्यमान क्रमशः अलग-अलग बिंदुओं पर केंद्रित होते हैं . तब वितरण श्रृंखला की व्याख्या भुज अक्ष पर स्थित कुछ द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में की जाती है।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक मात्रा है, जो प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक या दूसरा मान ले सकती है जो पहले से ज्ञात नहीं है। यादृच्छिक चर हैं असतत (अलग)और निरंतरप्रकार। असंतुलित मात्राओं के संभावित मूल्यों को पहले से सूचीबद्ध किया जा सकता है। निरंतर मात्राओं के संभावित मूल्यों को पहले से सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है और लगातार एक निश्चित अंतर को भरा जा सकता है।

असतत यादृच्छिक चर का उदाहरण:

1) तीन सिक्का उछालने पर राज्य-चिह्न कितनी बार प्रकट होता है। (संभावित मान 0;1;2;3)

2) एक ही प्रयोग में हथियारों के कोट की उपस्थिति की आवृत्ति। (संभावित मान)

3) पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। (संभावित मान 0;1;2;3;4;5)

सतत यादृच्छिक चर के उदाहरण:

1) फायर किए जाने पर प्रभाव बिंदु का एब्सिस्सा (कोर्डिनेट)।

2) प्रभाव बिंदु से लक्ष्य के केंद्र तक की दूरी।

3) डिवाइस का अपटाइम (रेडियो लैंप)।

यादृच्छिक चर को बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और उनके संभावित मानों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक्स तीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या है; संभावित मान: एक्स 1 =0, एक्स 2 =1, एक्स 3 =2, एक्स 4 =3।

आइए संभावित मान X 1, X 2, ..., X n के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक मान संभव है, लेकिन निश्चित नहीं है, और मान X उनमें से प्रत्येक को कुछ संभावना के साथ ले सकता है। प्रयोग के परिणामस्वरूप, X का मान इन मानों में से एक मान लेगा, अर्थात, असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटित होगा।

आइए हम इन घटनाओं की संभावनाओं को संबंधित सूचकांकों के साथ अक्षर p द्वारा निरूपित करें:

चूँकि असंगत घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं

अर्थात्, एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों की संभावना का योग 1 के बराबर है। यह कुल संभावना किसी तरह व्यक्तिगत मूल्यों के बीच वितरित की जाती है। यदि हम इस वितरण को परिभाषित करते हैं, तो एक यादृच्छिक चर को संभाव्य दृष्टिकोण से पूरी तरह से वर्णित किया जाएगा, अर्थात, हम इंगित करते हैं कि प्रत्येक घटना की क्या संभावना है। (यह यादृच्छिक चर के वितरण का तथाकथित कानून स्थापित करेगा।)

यादृच्छिक चर के वितरण का नियमकोई ऐसा संबंध है जो किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों और संबंधित संभाव्यता के बीच संबंध स्थापित करता है। (एक यादृच्छिक चर के बारे में हम कहेंगे कि यह किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन है)

यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है।

तालिका नंबर एक।

एक्स मैं	एक्स 1	एक्स 2	…	Xn
पी मैं	पी 1	पी2	…	पी एन

इस तालिका को कहा जाता है निकट वितरणयादृच्छिक चर।

वितरण श्रृंखला को अधिक दृश्य रूप देने के लिए, वे इसके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का सहारा लेते हैं: यादृच्छिक चर के संभावित मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और इन मानों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। (स्पष्टता के लिए, परिणामी बिंदु सीधी रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं।)

चित्र 1 - वितरण बहुभुज

इस आकृति को कहा जाता है वितरण बहुभुज. वितरण बहुभुज, वितरण श्रृंखला की तरह, पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है; यह वितरण के नियम के रूपों में से एक है।

उदाहरण:

एक प्रयोग किया जाता है जिसमें घटना A प्रकट हो भी सकती है और नहीं भी। घटना A की प्रायिकता = 0.3 है। हम एक यादृच्छिक चर X पर विचार करते हैं - किसी दिए गए प्रयोग में घटना A की घटनाओं की संख्या। X मान के वितरण की एक श्रृंखला और बहुभुज का निर्माण करना आवश्यक है।

तालिका 2।

एक्स मैं
पी मैं	0,7	0,3

चित्र 2 - वितरण फ़ंक्शन

वितरण समारोहयादृच्छिक चर की एक सार्वभौमिक विशेषता है। यह सभी यादृच्छिक चरों के लिए मौजूद है: असंतत और गैर-निरंतर दोनों। वितरण फ़ंक्शन संभाव्य दृष्टिकोण से एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से चित्रित करता है, अर्थात यह वितरण कानून के रूपों में से एक है।

इस संभाव्यता वितरण को मात्रात्मक रूप से चित्रित करने के लिए, घटना X=x की संभावना का नहीं, बल्कि घटना X की संभावना का उपयोग करना सुविधाजनक है।

वितरण फलन F(x) को कभी-कभी संचयी वितरण फलन या संचयी वितरण नियम भी कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन के गुण

1. वितरण फलन F(x) इसके तर्क का एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात;

2. शून्य से अनंत पर:

3. प्लस इनफिनिटी पर:

चित्र 3 - वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़

वितरण फ़ंक्शन ग्राफ़सामान्य तौर पर, यह एक गैर-घटते फ़ंक्शन का ग्राफ़ है जिसका मान 0 से शुरू होता है और 1 तक जाता है।

यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला को जानने के बाद, यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करना संभव है।

उदाहरण:

पिछले उदाहरण की स्थितियों के लिए, यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें।

आइए वितरण फ़ंक्शन X का निर्माण करें:

चित्र 4 - वितरण फलन X

वितरण समारोहकिसी भी असंतत असतत यादृच्छिक चर में हमेशा एक असंतत चरण फ़ंक्शन होता है, जिसकी छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है और इन मूल्यों की संभावनाओं के बराबर होती है। सभी वितरण फ़ंक्शन जंप का योग 1 के बराबर है.

जैसे-जैसे यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या बढ़ती है और उनके बीच का अंतराल कम होता जाता है, छलांग की संख्या बड़ी हो जाती है, और छलांग स्वयं छोटी हो जाती है:

चित्र 5

चरणबद्ध वक्र चिकना हो जाता है:

चित्र 6

यादृच्छिक चर धीरे-धीरे एक निरंतर मूल्य तक पहुंचता है, और इसका वितरण फ़ंक्शन एक निरंतर फ़ंक्शन तक पहुंचता है। ऐसे यादृच्छिक चर भी होते हैं जिनके संभावित मान लगातार एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, लेकिन जिनके लिए वितरण फ़ंक्शन हर जगह निरंतर नहीं होता है। और कुछ बिंदुओं पर यह टूट जाता है। ऐसे यादृच्छिक चर को मिश्रित कहा जाता है।

चित्र 7

यादृच्छिक चर की अवधारणा. यादृच्छिक चर का वितरण नियम

यादृच्छिक चर (संक्षिप्त: आर.वी.) को बड़े लैटिन अक्षरों X, Y, द्वारा दर्शाया जाता है। ज़ेड,...(या छोटे ग्रीक अक्षर ξ (xi), η (eta), θ (थीटा), ψ (पीएसआई), आदि), और उनके द्वारा लिए गए मान क्रमशः छोटे अक्षरों x 1 में हैं , एक्स 2 ,…, 1 पर , दो पर , तीन बजे …

उदाहरणसाथ। वी सेवा कर सकते हैं: 1) एक्स- पासा फेंकते समय दिखाई देने वाले बिंदुओं की संख्या; 2) वाई - लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; 3) जेड- डिवाइस के परेशानी-मुक्त संचालन का समय, आदि (व्यक्ति की ऊंचाई, डॉलर विनिमय दर, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या, हवा का तापमान, खिलाड़ी की जीत, एक बिंदु का समन्वय यदि इसे यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, कंपनी का लाभ,)। ..).

यादृच्छिक चर XΏ डब्ल्यू

एक्स(डब्ल्यू), यानी एक्स= एक्स(डब्ल्यू), डब्ल्यूО Ώ (या एक्स = एफ(डब्ल्यू)) (31)

उदाहरण 1। प्रयोग में एक सिक्के को 2 बार उछालना शामिल है। PES पर Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), जहां w 1 = जीजी, डब्ल्यू 2 = जीआर, डब्ल्यू 3 = आरजी, डब्ल्यू 4 = आरआर, आप पी पर विचार कर सकते हैं। वी एक्स- हथियारों के कोट की उपस्थिति की संख्या। एस.वी. एक्सप्राथमिक घटना w i का एक फलन है : एक्स(डब्ल्यू 1 ) = 2, एक्स(डब्ल्यू 2 ) = 1, एक्स(डब्ल्यू 3 ) = 1, एक्स(डब्ल्यू 4 )= 0; एक्स- डी.एस. वी मान x 1 के साथ = 0, एक्स 2 =1 , एक्स 3 = 2.

एक्स(डब्ल्यू) एस Р(А) = Р(Х< एक्स)।

एक्स- डी.एस. वी.,

एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ,…,एक्स एन ,…

पी मैं ,कहाँ मैं = 1,2,3, ...,एन,… .

वितरण का नियमडी.एस. वी पी मैं =पी(एक्स=एक्स मैं}, मैं=1,2,3,... ,एन,...,

साथ। वी एक्सएक्स मैं। :

एक्स	एक्स 1	एक्स 2	….	एक्स एन	…
पी	पी 1	पी2	….	पी एन	…

घटनाओं के बाद से (एक्स = x 1 ), (एक्स = x 2 ),…, (एक्स =एक्स एन ), यानी .

(एक्स 1 , पी 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) कहलाते हैं बहुभुज(या बहुभुज) वितरण(चित्र 17 देखें)।

यादृच्छिक मूल्य एक्स असतत है,यदि संख्याओं x 1 का कोई परिमित या गणनीय समुच्चय है , एक्स 2 , ..., x n ऐसा कि पी(एक्स =एक्स मैं ) = पी मैं > 0 (मैं = 1,2,...) पी 1 + पी2 + पी 3 +…= 1 (32)

मात्राडी.एस. वी X, संभावनाओं के साथ x i का मान लेते हुए p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, और d.s. वी Y, प्रायिकताओं p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m के साथ y j का मान लेने को d.s कहा जाता है। वी Z = X + Y, मान z ij = x i + y j को संभावनाओं के साथ p ij = P( X = x i,Y = y j) लेते हुए, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए मैंऔर जे. यदि कुछ योग x i + y j मेल खाते हैं, तो संबंधित संभावनाएं जोड़ी जाती हैं।

अंतर सेडी.एस. वी X, संभावनाओं के साथ x i का मान लेते हुए p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, और d.s. वी Y, प्रायिकता p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m के साथ y j का मान लेने को d.s कहा जाता है। वी Z = X - Y, मान लेते हुए z ij = x i – y j संभावनाओं के साथ p ij = P (X = x i ,Y = y j ), सभी निर्दिष्ट मानों के लिए मैंऔर जे. यदि कुछ अंतर x i – y j मेल खाते हैं, तो संबंधित संभावनाएं जोड़ी जाती हैं।

कामडी.एस. वी X, संभावनाओं के साथ x i का मान लेते हुए p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, और d.s. वी Y, प्रायिकता p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m के साथ y j का मान लेने को d.s कहा जाता है। वी Z = X × Y, मान z ij = x i × y j को संभावनाओं के साथ p ij = P( X = x i,Y = y j) लेते हुए, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए मैंऔर जे. यदि कुछ उत्पाद x i × y j मेल खाते हैं, तो संबंधित संभावनाएं जोड़ी जाती हैं।

डी.एस. वी сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X और Y घटनाएँ (X = x i) = A i और (Y = y j) = B j किसी भी i= 1,2,...,n के लिए स्वतंत्र हैं; जे = एल,2,...,एम, यानी।

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

उदाहरण 2.कलश में 8 गेंदें हैं, जिनमें से 5 सफेद हैं, बाकी काली हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। नमूने में सफेद गेंदों की संख्या के वितरण का नियम ज्ञात कीजिए।