असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम। ज्यामितीय वितरण

व्याख्यान 8

असतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण।द्विपद वितरण। पॉसों वितरण। ज्यामितीय वितरण. जनरेटिंग फ़ंक्शन.

6. संभाव्यता वितरण
असतत यादृच्छिक चर

द्विपद वितरण

इसका उत्पादन होने दीजिए एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना एयह प्रकट हो भी सकता है और नहीं भी. संभावना पीकिसी घटना का घटित होना एसभी परीक्षणों में स्थिर है और परीक्षण दर परीक्षण नहीं बदलता है। घटना की घटनाओं की संख्या को एक यादृच्छिक चर X के रूप में मानें एइन परीक्षणों में. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ए
चिकना कएक बार हर एनपरीक्षण, जैसा कि ज्ञात है, वर्णित हैं बर्नौली का सूत्र

बर्नौली के सूत्र द्वारा परिभाषित संभाव्यता वितरण को कहा जाता है द्विपद .

इस नियम को "द्विपद" कहा जाता है क्योंकि दाहिनी ओर को न्यूटन के द्विपद के विस्तार में एक सामान्य पद माना जा सकता है

आइए द्विपद नियम को एक तालिका के रूप में लिखें

आइए इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें।

.

आइए हम समानता लिखें, जो न्यूटन की द्विआधारी है

.

और इसे पी के संबंध में अलग करें। परिणाम हमें मिलता है

.

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें पी:

.

ध्यान में रख कर पी+क्यू=1, हमारे पास है

(6.2)

इसलिए, n स्वतंत्र परीक्षणों में घटनाओं के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रत्येक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभाव्यता p द्वारा परीक्षणों की संख्या n के उत्पाद के बराबर है.

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें

इसके लिए हम ढूंढेंगे

.

आइए सबसे पहले न्यूटन के द्विपद सूत्र के संबंध में दो बार अंतर करें पी:

और समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें पी 2:

इस तरह,

तो, द्विपद वितरण का प्रसरण है

. (6.3)

ये परिणाम विशुद्ध गुणात्मक तर्क से भी प्राप्त किये जा सकते हैं। सभी परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की कुल संख्या एक्स व्यक्तिगत परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या का योग है। इसलिए, यदि एक्स 1 पहले परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या है, एक्स 2 - दूसरे में, आदि, तो सभी परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की कुल संख्या एक्स = एक्स 1 + एक्स 2 के बराबर है +…+एक्स एन. गणितीय अपेक्षा की संपत्ति के अनुसार:

समानता के दाईं ओर प्रत्येक पद एक परीक्षण में घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा है, जो घटना की संभावना के बराबर है। इस प्रकार,

फैलाव संपत्ति के अनुसार:

चूँकि, और एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, जो केवल दो मान ले सकती है, अर्थात संभाव्यता के साथ 1 2 पीऔर 0 2 प्रायिकता के साथ क्यू, वह । इस प्रकार, परिणाम स्वरूप हमें प्राप्त होता है

प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों की अवधारणा का उपयोग करके, हम विषमता और कर्टोसिस के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

. (6.4)

द्विपद वितरण के बहुभुज का रूप निम्नलिखित है (चित्र 6.1 देखें)। संभाव्यता पी एन(क) पहले बढ़ने के साथ बढ़ता है क, अपने उच्चतम मूल्य पर पहुंचता है और फिर घटने लगता है। मामले को छोड़कर द्विपद वितरण विषम है पी=0.5. ध्यान दें कि बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ एनद्विपद वितरण सामान्य के बहुत करीब है। (इस प्रस्ताव का तर्क मोइवरे-लाप्लास के स्थानीय प्रमेय से संबंधित है।)

किसी घटना के घटित होने की संख्या m 0 कहलाती है सबसे अधिक संभावना, यदि परीक्षणों की इस श्रृंखला में दी गई संख्या में किसी घटना के घटित होने की संभावना सबसे बड़ी है (वितरण बहुभुज में अधिकतम). द्विपद वितरण के लिए

. (6.5)

टिप्पणी। इस असमानता को द्विपद संभावनाओं के आवर्ती सूत्र का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है:

(6.6)

उदाहरण 6.1.इस उद्यम में प्रीमियम उत्पादों की हिस्सेदारी 31% है। 75 उत्पादों के यादृच्छिक रूप से चयनित बैच में गणितीय अपेक्षा और भिन्नता, साथ ही प्रीमियम उत्पादों की सबसे संभावित संख्या क्या है?

समाधान। क्योंकि पी=0,31, क्यू=0,69, एन=75, फिर

एम[ एक्स] = एन.पी.= 75×0.31 = 23.25; डी[ एक्स] = एनपीक्यू= 75×0.31×0.69 = 16.04.

सबसे संभावित संख्या ज्ञात करने के लिए एम 0, आइए दोहरी असमानता पैदा करें

यह इस प्रकार है कि एम 0 = 23.

पॉसों वितरण

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, द्विपद वितरण तब सामान्य हो जाता है एन®¥. हालाँकि, ऐसा नहीं होता है यदि, वृद्धि के साथ एनमात्राओं में से एक पीया क्यूशून्य हो जाता है. इस मामले में, एसिम्प्टोटिक पॉइसन फॉर्मूला लागू होता है, यानी। पर एन®¥, पी®0

, (6.7)

जहां एल = एन.पी.. यह सूत्र निर्धारित करता है पॉइसन वितरण कानून , जिसका स्वतंत्र अर्थ है, न कि केवल द्विपद वितरण के एक विशेष मामले के रूप में। द्विपद वितरण के विपरीत, यहाँ यादृच्छिक चर है कअनंत संख्या में मान ले सकते हैं: क=0,1,2,…

पॉइसन का नियम समय की समान अवधि में घटित होने वाली घटनाओं k की संख्या का वर्णन करता है, बशर्ते कि घटनाएँ एक स्थिर औसत तीव्रता के साथ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से घटित हों, जो कि पैरामीटर l द्वारा विशेषता है। पॉइसन वितरण बहुभुज चित्र में दिखाया गया है। 6.2. ध्यान दें कि बड़ी एल दौड़ के लिए
पॉइसन का वितरण सामान्य हो गया है। इसलिए, पॉइसन वितरण का उपयोग, एक नियम के रूप में, उन मामलों में किया जाता है जहां एल एकता के क्रम का है, और परीक्षणों की संख्या एनबड़ी होनी चाहिए, और घटना घटित होने की संभावना पीप्रत्येक परीक्षण में छोटा है. इस संबंध में प्राय: पॉइसन का नियम भी कहा जाता है दुर्लभ घटनाओं के वितरण का नियम.

उन स्थितियों के उदाहरण जिनमें पॉइसन वितरण होता है, वे वितरण हैं: 1) प्रति इकाई आयतन में कुछ रोगाणुओं की संख्या; 2) प्रति इकाई समय में गर्म कैथोड से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या; 3) एक निश्चित अवधि में रेडियोधर्मी स्रोत द्वारा उत्सर्जित ए-कणों की संख्या; 4) दिन के एक निश्चित समय पर टेलीफोन एक्सचेंज पर आने वाली कॉलों की संख्या, आदि।

आइए पॉइसन के नियम को एक तालिका के रूप में लिखें

आइए जाँचें कि सभी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:

आइए इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें। डीएसवी के लिए गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

ध्यान दें कि अंतिम योग में, योग से शुरू होता है क=1, क्योंकि के अनुरूप योग का पहला पद क=0, शून्य के बराबर.

प्रसरण ज्ञात करने के लिए, हम पहले यादृच्छिक के वर्ग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करते हैं:

इस प्रकार, पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता मेल खाती है और इस वितरण के पैरामीटर के बराबर है

. (6.8)

यह पॉइसन वितरण की विशिष्ट विशेषता है। इस प्रकार, यदि, प्रायोगिक आंकड़ों के आधार पर, यह पाया गया कि गणितीय अपेक्षा और एक निश्चित मूल्य का विचरण एक दूसरे के करीब हैं, तो यह मानने का कारण है कि यह यादृच्छिक चर पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है।

प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों की अवधारणा का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि पॉइसन वितरण के लिए तिरछापन गुणांक और कर्टोसिस बराबर हैं:

. (6.9)

चूँकि पैरामीटर l हमेशा सकारात्मक होता है, पॉइसन वितरण में हमेशा सकारात्मक तिरछापन और कर्टोसिस होता है।

आइए अब दिखाते हैं कि पॉइसन के सूत्र को घटनाओं के सबसे सरल प्रवाह का गणितीय मॉडल माना जा सकता है।

घटनाओं का प्रवाहयादृच्छिक समय पर होने वाली घटनाओं के अनुक्रम को कॉल करें। धारा को कहा जाता है सबसे आसान, यदि इसमें गुण हैं stationarity, कोई दुष्प्रभाव नहींऔर सर्वसाधारण.

प्रवाह तीव्रता एल प्रति इकाई समय में होने वाली घटनाओं की औसत संख्या है।

यदि प्रवाह तीव्रता स्थिरांक l ज्ञात है, तो घटना की संभावना है कसमय के साथ सरलतम प्रवाह की घटनाएँ टीपॉइसन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (6.10)

यह सूत्र सरलतम प्रवाह के सभी गुणों को दर्शाता है। इसके अलावा, किसी भी सरलतम प्रवाह का वर्णन पॉइसन सूत्र द्वारा किया जाता है, इसलिए सबसे सरल प्रवाह को अक्सर कहा जाता है प्वासों.

स्थिरता संपत्ति ककिसी भी समयावधि में होने वाली घटनाएँ केवल संख्या पर निर्भर करती हैं कऔर अवधि पर टीसमय की अवधि और इसकी गिनती की शुरुआत पर निर्भर नहीं है. दूसरे शब्दों में, यदि प्रवाह में स्थिरता का गुण है, तो घटित होने की संभावना कसमय की अवधि में घटनाएँ टीएक फ़ंक्शन है जो केवल पर निर्भर करता है कऔर से टी.

सरलतम प्रवाह के मामले में, यह पॉइसन के सूत्र (6.10) से निम्नानुसार है कि संभाव्यता कके दौरान की घटनाएँ टीकिसी दी गई तीव्रता पर, केवल दो तर्कों का एक कार्य है: कऔर टी, जो स्थिरता की संपत्ति की विशेषता है।

कोई परिणाम गुण नहींवह घटना की संभावना है ककिसी भी समयावधि में घटनाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि प्रश्नाधीन अवधि की शुरुआत से पहले के समय में घटनाएँ प्रकट हुईं या नहीं। दूसरे शब्दों में, प्रवाह का इतिहास निकट भविष्य में होने वाली घटनाओं की संभावनाओं को प्रभावित नहीं करता है।

सरलतम प्रवाह के मामले में, पॉइसन फॉर्मूला (6.10) विचाराधीन समय अवधि की शुरुआत से पहले घटनाओं की घटना के बारे में जानकारी का उपयोग नहीं करता है, जो बाद के प्रभावों की अनुपस्थिति की संपत्ति को दर्शाता है।

सामान्यता संपत्तियह है कि कम समय में दो या दो से अधिक घटनाओं का घटित होना व्यावहारिक रूप से असंभव है। दूसरे शब्दों में, कम समय में एक से अधिक घटनाओं के घटित होने की संभावना केवल एक घटना के घटित होने की संभावना की तुलना में नगण्य है।

आइए हम दिखाते हैं कि पॉइसन फॉर्मूला (6.10) सामान्यता की संपत्ति को दर्शाता है। लाना क=0 और क=1, हम क्रमशः, किसी घटना के घटित न होने की संभावनाएँ और एक घटना के घटित होने की संभावनाएँ पाते हैं:

अतः एक से अधिक घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता है

मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक परिवर्तनों के बाद हम प्राप्त करते हैं

.

की तुलना पी टी(1) और पी टी(क>1), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि छोटे मूल्यों के लिए टीएक से अधिक घटनाओं के घटित होने की संभावना एक घटना के घटित होने की संभावना की तुलना में नगण्य है, जो सामान्यता की संपत्ति की विशेषता है।

उदाहरण 6.2.रदरफोर्ड और गीगर के अवलोकन में, 7.5 की समयावधि में एक रेडियोधर्मी पदार्थ सेकंडऔसतन 3.87 ए-कण उत्सर्जित हुए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1 सेकंडयह पदार्थ कम से कम एक कण उत्सर्जित करेगा।

समाधान। जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, एक निश्चित अवधि में रेडियोधर्मी स्रोत द्वारा उत्सर्जित ए-कणों की संख्या का वितरण पॉइसन सूत्र द्वारा वर्णित है, अर्थात। घटनाओं का सबसे सरल प्रवाह बनाता है। 1 के लिए ए-कणों के उत्सर्जन की तीव्रता के बाद से सेकंडके बराबर होती है

,

तब पॉइसन सूत्र (6.10) रूप लेता है

इस प्रकार, संभावना है कि टी=1 सेकंडपदार्थ कम से कम एक कण उत्सर्जित करेगा बराबर होगा

ज्यामितीय वितरण

मान लीजिए कि किसी दिए गए लक्ष्य पर पहली हिट और प्रायिकता तक शूटिंग की जाती है पीप्रत्येक शॉट में लक्ष्य को भेदना एक समान है और यह पिछले शॉट के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, विचाराधीन प्रयोग में, बर्नौली योजना लागू की जाती है। एक यादृच्छिक चर X के रूप में हम चलाई गई गोलियों की संख्या पर विचार करेंगे। जाहिर है, यादृच्छिक चर X के संभावित मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं: एक्स 1 =1, एक्स 2 =2, ... तो संभावना है कि इसकी आवश्यकता होगी कशॉट बराबर होंगे

. (6.11)

इस सूत्र में मान लीजिए क=1,2, ... हमें पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति मिलती है पीऔर एक गुणक क्यू:

इस कारण सूत्र (6.11) द्वारा परिभाषित वितरण कहलाता है ज्यामितिक .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके, इसे सत्यापित करना आसान है

.

आइए ज्यामितीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात करें।

डीएसवी के लिए गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

.

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें

.

इसके लिए हम ढूंढेंगे

.

इस तरह,

.

तो, ज्यामितीय वितरण की गणितीय अपेक्षा और विचरण बराबर हैं

. (6.12)

6.4.* जनरेटिंग फ़ंक्शन

डीएसवी से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स विधियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। संयुक्त विश्लेषण के सबसे विकसित सैद्धांतिक तरीकों में से एक फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि है, जो अनुप्रयोगों में सबसे शक्तिशाली तरीकों में से एक है। आइये उनके बारे में संक्षेप में जानते हैं।

यदि यादृच्छिक चर x केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान लेता है, अर्थात

,

वह जनरेटिंग फ़ंक्शन यादृच्छिक चर x के संभाव्यता वितरण को एक फ़ंक्शन कहा जाता है

, (6.13)

कहाँ जेड– वास्तविक या जटिल चर. ध्यान दें कि एकाधिक जनरेटिंग फ़ंक्शंस के बीचजे एक्स ( एक्स)और कई वितरण(पी(एक्स= क)} एक-से-एक पत्राचार होता है.

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर x है द्विपद वितरण

.

फिर, न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं

,

वे। द्विपद वितरण उत्पन्न करने वाला फलन की तरह लगता है

. (6.14)

जोड़ना। पॉइसन जनरेटिंग फ़ंक्शन

की तरह लगता है

. (6.15)

ज्यामितीय वितरण का सृजन कार्य

की तरह लगता है

. (6.16)

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग करके, डीएसवी की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं को ढूंढना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा प्रारंभिक क्षण निम्नलिखित समानताओं द्वारा जनरेटिंग फ़ंक्शन से संबंधित हैं:

, (6.17)

. (6.18)

फ़ंक्शन उत्पन्न करने की विधि अक्सर सुविधाजनक होती है क्योंकि कुछ मामलों में डीएसवी के वितरण फ़ंक्शन को निर्धारित करना बहुत मुश्किल होता है, जबकि जेनरेटिंग फ़ंक्शन को ढूंढना कभी-कभी आसान होता है। उदाहरण के लिए, बर्नौली के अनुक्रमिक स्वतंत्र परीक्षण डिज़ाइन पर विचार करें, लेकिन इसमें एक बदलाव करें। मान लीजिए किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है एपरीक्षण दर परीक्षण भिन्न होता है। इसका मतलब यह है कि बर्नौली का फॉर्मूला ऐसी योजना के लिए अनुपयुक्त हो जाता है। इस मामले में वितरण फलन खोजने का कार्य महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है। हालाँकि, इस योजना के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन को ढूंढना आसान है, और इसलिए, संबंधित संख्यात्मक विशेषताओं को ढूंढना आसान है।

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का व्यापक उपयोग इस तथ्य पर आधारित है कि यादृच्छिक चर के योगों के अध्ययन को संबंधित जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उत्पादों के अध्ययन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। तो, यदि x 1, x 2, …, x एनफिर स्वतंत्र हैं

होने देना पी के=पी(ए) - में "सफलता" की संभावना कबर्नौली सर्किट में -वां परीक्षण (क्रमशः, क्यू के=1–पी के- में "विफलता" की संभावना कवां परीक्षण)। फिर, सूत्र (6.19) के अनुसार, जनरेटिंग फ़ंक्शन का रूप होगा

. (6.20)

इस जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

.

यहाँ इस बात का ध्यान रखा गया है पी के +क्यू के=1. अब, सूत्र (6.1) का उपयोग करके, हम दूसरा प्रारंभिक क्षण ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए पहले गणना करें

और .

एक विशेष मामले में पी 1 =पी 2 =…=पी एन=पी(अर्थात द्विपद वितरण के मामले में) प्राप्त सूत्रों से यह पता चलता है कि Mx= एन.पी., डीएक्स= एनपीक्यू.

हम असतत यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे सामान्य कानूनों पर प्रकाश डाल सकते हैं:

• द्विपद वितरण कानून
• पॉइसन वितरण कानून
• ज्यामितीय वितरण कानून
• हाइपरज्यामितीय वितरण कानून

असतत यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण के लिए, उनके मूल्यों की संभावनाओं की गणना, साथ ही संख्यात्मक विशेषताओं (गणितीय अपेक्षा, विचरण, आदि) को कुछ "सूत्रों" का उपयोग करके किया जाता है। इसलिए, इस प्रकार के वितरण और उनके मूल गुणों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है।

1. द्विपद वितरण नियम.

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ द्विपद संभाव्यता वितरण कानून के अधीन है यदि यह संभावनाओं के साथ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ मान लेता है $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. वास्तव में, यादृच्छिक चर $X$ $n$ स्वतंत्र परीक्षणों में घटना $A$ की घटनाओं की संख्या है। यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और \बिंदु और n \\
\hline
p_i और P_n\left(0\right) और P_n\left(1\right) और \dots और P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(सरणी)$

ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=np$ है, विचरण $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ है।

उदाहरण . परिवार में दो बच्चे हैं। एक लड़के और एक लड़की के होने की संभावनाओं को $0.5$ के बराबर मानते हुए, यादृच्छिक चर $\xi$ के वितरण का नियम खोजें - परिवार में लड़कों की संख्या।

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $\xi $ परिवार में लड़कों की संख्या है। वे मान जो $\xi ले सकते हैं:\ 0,\ ​​​1,\ 2$. इन मानों की संभावनाओं को सूत्र $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) का उपयोग करके पाया जा सकता है )$, जहां $n =2$ स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या है, $p=0.5$ $n$ परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संभावना है। हम पाते हैं:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

फिर यादृच्छिक चर $\xi $ का वितरण कानून मान $0,\ 1,\ 2$ और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार है, अर्थात:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
\xi और 0 और 1 और 2 \\
\hline
पी(\xi) और 0.25 और 0.5 और 0.25 \\
\hline
\end(सरणी)$

वितरण कानून में संभावनाओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए, यानी $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

उम्मीद $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, भिन्नता $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, मानक विचलन $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\लगभग $0.707.

2. पॉइसन वितरण कानून।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

टिप्पणी. इस वितरण की ख़ासियत यह है कि, प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर, हम अनुमान पाते हैं $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, यदि प्राप्त अनुमान एक दूसरे के करीब हैं, तो हमारे पास है यह दावा करने का कारण कि यादृच्छिक चर पॉइसन वितरण कानून के अधीन है।

उदाहरण . पॉइसन वितरण कानून के अधीन यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: कल गैस स्टेशन द्वारा परोसी जाने वाली कारों की संख्या; विनिर्मित उत्पादों में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या।

उदाहरण . फ़ैक्टरी ने बेस को $500$ के उत्पाद भेजे। पारगमन में उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना $0.002$ है। क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर $X$ के वितरण का नियम ज्ञात करें; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ क्या है।

असतत यादृच्छिक चर $X$ को क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या होने दें। ऐसा यादृच्छिक चर पैरामीटर $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ के साथ पॉइसन वितरण कानून के अधीन है। मानों की संभावनाएं $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) के बराबर हैं}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 और 4 और 5 और 6 और ... और k \\
\hline
पी_आई एवं 0.368; और 0.368 और 0.184 और 0.061 और 0.015 और 0.003 और 0.001 और ... और (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(सरणी)$

ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर $\lambda $ के बराबर हैं, अर्थात, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ लैम्ब्डा =1$.

3. ज्यामितीय वितरण कानून.

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल प्राकृतिक मान $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) ले सकता है दाएं)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, तो वे कहते हैं कि ऐसा यादृच्छिक चर $X$ संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय कानून के अधीन है। वास्तव में, ज्यामितीय वितरण पहली सफलता तक बर्नौली परीक्षण है।

उदाहरण . ज्यामितीय वितरण वाले यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; पहली विफलता तक डिवाइस परीक्षणों की संख्या; पहला चित्त आने तक सिक्के उछालने की संख्या, आदि।

ज्यामितीय वितरण के अधीन एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता क्रमशः $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) के बराबर होती है )/पी^ $2.

उदाहरण . अंडे देने वाली जगह पर मछली की आवाजाही के रास्ते में $4$ का ताला होता है। प्रत्येक ताले से मछली के गुजरने की प्रायिकता $p=3/5$ है। यादृच्छिक चर $X$ के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें - ताले पर पहली नजरबंदी से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या। $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ खोजें।

मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ ताले पर पहली गिरफ्तारी से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय नियम के अधीन है। वे मान जो एक यादृच्छिक चर $X ले सकता है:$ 1, 2, 3, 4. इन मानों की संभावनाओं की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, जहां: $ p=2/5$ - ताले के माध्यम से मछली के फंसने की संभावना, $q=1-p=3/5$ - ताले के माध्यम से मछली के गुजरने की संभावना, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ (5))=0.4;$ से अधिक

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ (5) से अधिक)\cdot ((9)\ओवर (25))=((18)\ओवर (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\ओवर (5))\राइट))^4=((27)\ओवर (125))=0.216.$

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 1 और 2 और 3 और 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) और 0.4 और 0.24 और 0.144 और 0.216 \\
\hline
\end(सरणी)$

अपेक्षित मूल्य:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

फैलाव:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ बाएँ( 1-2,176\दाएं))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\दाएं))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\दाएं))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\लगभग 1.377.$

मानक विचलन:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\लगभग 1,173.$

4. अतिज्यामितीय वितरण नियम.

यदि $N$ ऑब्जेक्ट, जिनमें से $m$ ऑब्जेक्ट में एक दी गई संपत्ति है। $n$ वस्तुओं को बिना लौटाए यादृच्छिक रूप से पुनर्प्राप्त किया जाता है, जिनमें से $k$ वस्तुएं थीं जिनमें एक दी गई संपत्ति होती है। हाइपरज्यामितीय वितरण इस संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है कि नमूने में बिल्कुल $k$ वस्तुओं में एक दी गई संपत्ति है। मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में उन वस्तुओं की संख्या है जिनमें दी गई संपत्ति है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के मानों की संभावनाएँ:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

टिप्पणी. एक्सेल $f_x$ फ़ंक्शन विज़ार्ड का सांख्यिकीय फ़ंक्शन HYPERGEOMET आपको यह संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित संख्या में परीक्षण सफल होंगे।

$f_x\से$ सांख्यिकीय$\से$ हाइपरजीओमेट$\से$ ठीक है. एक डायलॉग बॉक्स दिखाई देगा जिसे आपको भरना होगा। कॉलम में नमूने में सफलताओं की संख्यामूल्य $k$ इंगित करें। नमूने का आकार$n$ के बराबर है। कॉलम में एक साथ_सफलताओं_की_संख्यामूल्य $m$ इंगित करें। जनसंख्या का आकार$N$ के बराबर है।

ज्यामितीय वितरण कानून के अधीन, एक असतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा और विचरण क्रमशः $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= के बराबर हैं ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

उदाहरण . बैंक का क्रेडिट विभाग उच्च वित्तीय शिक्षा वाले 5 विशेषज्ञों और उच्च कानूनी शिक्षा वाले 3 विशेषज्ञों को नियुक्त करता है। बैंक के प्रबंधन ने उनकी योग्यता में सुधार के लिए यादृच्छिक क्रम में चयन करके 3 विशेषज्ञों को भेजने का निर्णय लिया।

क) उच्च वित्तीय शिक्षा वाले उन विशेषज्ञों की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला बनाएं जिन्हें उनके कौशल में सुधार के लिए भेजा जा सकता है;

ख) इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ तीन चयनित लोगों में से उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या है। वे मान जो $X ले सकते हैं: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. यह यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मापदंडों के साथ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है: $N=8$ - जनसंख्या आकार, $m=5$ - जनसंख्या में सफलताओं की संख्या, $n=3$ - नमूना आकार, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - नमूने में सफलताओं की संख्या। फिर संभावनाओं $P\left(X=k\right)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ से अधिक। हमारे पास है:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\लगभग 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\लगभग 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\लगभग 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\लगभग 0.179.$

फिर यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 \\
\hline
p_i और 0.018 और 0.268 और 0.536 और 0.179 \\
\hline
\end(सरणी)$

आइए हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के सामान्य सूत्रों का उपयोग करके यादृच्छिक चर $X$ की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें।

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\दाएं))\ओवर (8-1))=((225)\ओवर (448))\लगभग 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\लगभग 0.7085.$

वे। असतत यादृच्छिक X के मान में एक जियोम है। वितरक पैरामीटर के साथ आरऔर हर क्यू, यदि यह 1,2,3,… मान लेता है क, ...संभावनाओं के साथ

पी(एक्स)= पीक्यू के-1 , कहां क्यू=1-आर.

वितरण को जियोम कहा जाता है, क्योंकि. सचाई पी 1, पी 2, ...एक ज्यामितीय प्रगति बनाएं, जिसका पहला सदस्य है आर, और हर है क्यू.

यदि परीक्षणों की संख्या सीमित नहीं है, अर्थात्। यदि एक यादृच्छिक चर मान 1, 2, ..., ∞ ले सकता है, तो अपेक्षा और विचरण ज्यामितीय हैं। वितरण सूत्र Mх = 1/p, Dх = q/p 2 का उपयोग करके पाया जा सकता है

उदाहरण। बंदूक लक्ष्य पर तब तक फायर करती है जब तक कि पहला प्रहार न हो जाए। प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना p = 0.6 है। एस.वी. X पहली हिट से पहले संभावित शॉट्स की संख्या है।

ए) एक वितरण श्रृंखला संकलित करें, वितरण फ़ंक्शन ढूंढें, इसका ग्राफ़ बनाएं और सभी संख्यात्मक विशेषताओं को ढूंढें। बी) यदि शूटर तीन से अधिक शॉट फायर करने का इरादा रखता है तो मामले के लिए गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

ए)यादृच्छिक चर 1, 2, 3, 4,..., ∞ मान ले सकता है
पी(1) = पी = 0.6
पी(2) = क्यूपी = 0.4 0.6 = 0.24
पी(3) = क्यू 2 पी = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
पी(के) = क्यू के-1 पी = 0.4 के-1 0.6...
वितरण सीमा:

नियंत्रण: Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (ज्यामितीय प्रगति का योग)

वितरण फलन प्रायिकता है कि r.v. X, x के विशिष्ट संख्यात्मक मान से कम मान लेगा। वितरण फ़ंक्शन मान संभावनाओं के योग से पाए जाते हैं।

यदि x ≤ 1, तो F(x) = 0

यदि 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
यदि 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
यदि 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
यदि k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

एमएक्स = 1/पी = 1/0.6 ≈ 1.667
डीх = क्यू/पी 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

बी)यादृच्छिक चर 1, 2, 3 मान ले सकता है।
पी(1) = पी = 0.6
पी(2) = क्यूपी = 0.4 0.6 = 0.24
पी(3) = क्यू 2 पी + क्यू 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
वितरण सीमा:

नियंत्रण: Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
वितरण समारोह।

यदि x ≤ 1, तो F(x) = 0
यदि 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
यदि 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
यदि x > 3, तो F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
एम(एक्स) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
डी(एक्स) = 1 2 0.6 + 2 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ(एक्स) ≈ 0.752

तिरछापन और कुर्टोसिस

विषमता नमूना वितरण का एक गुण है जो यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता को दर्शाता है। व्यवहार में, सममित वितरण दुर्लभ हैं, और विषमता की डिग्री की पहचान और मूल्यांकन करने के लिए, विषमता की अवधारणा पेश की गई है। नकारात्मक विषमता गुणांक के मामले में, बाईं ओर एक सौम्य "वंश" देखा जाता है, अन्यथा - दाईं ओर। पहले मामले में, विषमता को बाएं तरफा कहा जाता है, और दूसरे में - दाएं तरफा।

विषमता गुणांक अलगयादृच्छिक चर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
जैसे (एक्स) = (एक्स 1-मीटर एक्स) 3 पी 1 + (एक्स 2 - एम एक्स) 3 पी 2 + ... + ( एक्सएन-एम एक्स) 3 पी एन

कोएफ़. विषमता निरंतर sl.वेल. सूत्र द्वारा गणना:

अधिकता वितरण वक्र की स्थिरता का माप है। असतत यादृच्छिक चर के कर्टोसिस गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण (एक्स) = [(एक्स 1 - एम एक्स) 4 पी 1 + (एक्स 2 - एम एक्स) 4 पी 2 + ... + (एक्स एन - एम एक्स) 4 पी एन] / σ 4 - 3

निरंतर यादृच्छिक चर के कर्टोसिस गुणांक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण.

असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम अगले चर के सभी संभावित मानों की एक सूची है। एक्स जिसे यह स्वीकार कर सकता है, और संबंधित संभावनाएं। सभी मान्यताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। जाँच करें: 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1।

1. अपेक्षित मूल्य: एम(एक्स) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. फैलावअगले वेल के मानों के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है। उसके mat.ozh से 0.1) 2 0.1 = 1.09
   या डी(एक्स) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. बुध। वर्ग. बंदप्रसरण का वर्गमूल है: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. कोएफ़. विषमताजैसे(एक्स) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. कोएफ़. अधिकताइ एक्स(एक्स) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0,1) 4 ·0.1 + (2 + 0.1) 4 ·0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. वितरण फ़ंक्शन यह संभावना है कि यादृच्छिक चर X कुछ संख्यात्मक मान से कम मान लेगा एक्स: एफ(एक्स) = पी(एक्स< एक्स). वितरण फलन एक गैर-घटता हुआ फलन है। यह 0 से 1 तक की सीमा में मान लेता है।

पी(एक्स< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = पी(0) + पी(1) + पी(2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) निरंतर यादृच्छिक चर। सामान्य वितरण।

निरंतरयादृच्छिक चर कोई विशिष्ट नहीं लेता है संख्यात्मक मान, लेकिन संख्या रेखा पर कोई भी मान। सतत मामले में वितरण कानून का विवरण असतत मामले की तुलना में कहीं अधिक जटिल है।

निरंतरएक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो एक निश्चित अंतराल से कोई भी मान ले सकता है, उदाहरण के लिए, परिवहन के लिए प्रतीक्षा समय, किसी भी महीने में हवा का तापमान, नाममात्र से किसी हिस्से के वास्तविक आकार का विचलन, आदि। जिस अंतराल पर इसे सेट किया गया है वह एक या दोनों दिशाओं में अनंत हो सकता है।

असतत और सतत मामलों के लिए संभावनाओं की गणना की समस्याओं में मुख्य अंतर इस प्रकार है। एक अलग मामले मेंजैसी घटनाओं के लिए एक्स = सी(यादृच्छिक चर एक निश्चित मान लेता है) संभावना मांगी जाती है आर(साथ). लगातार मामले मेंइस प्रकार की संभावनाएँ शून्य के बराबर हैं, इसलिए, "एक यादृच्छिक चर एक निश्चित खंड से मान लेता है" प्रकार की घटनाओं की संभावनाएं रुचि की हैं, अर्थात। ए≤ एक्स≤ बी. या जैसी घटनाओं के लिए एक्स≤ साथसंभावना तलाश रहे हैं आर(एक्स≤ साथ). हमने वितरण फलन F( का एक ग्राफ प्राप्त किया एक्स≤ साथ).

इसलिए, यादृच्छिक चर की विविधता बहुत बड़ी है। उनके द्वारा स्वीकार किए जाने वाले मूल्यों की संख्या सीमित, गणनीय या बेशुमार हो सकती है; मानों को अलग-अलग स्थित किया जा सकता है या अंतरालों को पूरी तरह से भरा जा सकता है। यादृच्छिक चर के मूल्यों की संभावनाओं को निर्दिष्ट करने के लिए जो प्रकृति में बहुत भिन्न हैं, और, इसके अलावा, उन्हें उसी तरह निर्दिष्ट करने के लिए, की अवधारणा एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य.

चलो एक यादृच्छिक चर हो और एक्स- एक मनमाना वास्तविक संख्या. संभावना है कि यह इससे कम मूल्य लेगा एक्स,बुलाया संभाव्यता वितरण फ़ंक्शनअनियमित परिवर्तनशील वस्तु: एफ(एक्स)= पी(<х}.

आइए संक्षेप में बताएं कि क्या कहा गया है: अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक मात्रा है जिसका मान मामले पर निर्भर करता है और जिसके लिए संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए (जब यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट बेशुमार हो), वितरण कानून एक फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है। बहुधा यह वितरण समारोह :एफ( एक्स) = पी(एक्स<एक्स) .

फ़ंक्शन एफ( एक्स) में निम्नलिखित है गुण:

1. 0 ≤ एफ( एक्स) ≤ 1 ;

2.एफ( एक्स) घटता नहीं;

3.एफ( एक्स) लगातार छोड़ दिया;

4.एफ(- ∞ ) = 0, एफ( ∞ ) = 1.