Այս հոդվածը. «Երկրորդ ուշագրավ սահմանը» նվիրված է ձևի անորոշությունների սահմաններում բացահայտմանը.
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ և $ ^\infty $:
Բացի այդ, նման անորոշությունները կարելի է բացահայտել՝ օգտագործելով լոգարիթմային էքսպոնենցիալ հզորության գործառույթ, բայց սա լուծման այլ մեթոդ է, որը կանդրադառնա մեկ այլ հոդվածում։
Բանաձև և հետևանքներ
Բանաձևերկրորդ ուշագրավ սահմանաչափը գրված է հետևյալ կերպ. $$
Բանաձևից բխում է հետեւանքները, որոնք շատ հարմար են սահմաններով օրինակներ լուծելու համար՝ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( որտեղ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \մինչև 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Հարկ է նշել, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը միշտ չէ, որ կարող է կիրառվել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի նկատմամբ, այլ միայն այն դեպքերում, երբ բազան հակված է միասնության: Դա անելու համար նախ մտովի հաշվարկեք բազայի սահմանը, այնուհետև եզրակացություններ արեք։ Այս ամենը կքննարկվի օրինակ լուծումներով:
Լուծումների օրինակներ
Դիտարկենք լուծումների օրինակներ՝ օգտագործելով ուղղակի բանաձևը և դրա հետևանքները: Մենք նաև կվերլուծենք այն դեպքերը, երբ բանաձևը պետք չէ։ Բավական է գրել միայն պատրաստի պատասխանը։
| Օրինակ 1 |
| Գտեք սահմանաչափը $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Լուծում |
|
Եկեք անսահմանությունը փոխարինենք սահմանի մեջ և նայենք անորոշությանը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Եկեք գտնենք բազայի սահմանը՝ $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Մենք մեկին հավասար հիմք ենք ստացել, ինչը նշանակում է, որ արդեն կարող ենք կիրառել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Դա անելու համար եկեք հարմարեցնենք ֆունկցիայի հիմքը բանաձևին՝ հանելով և ավելացնելով մեկը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ մեծ(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Դիտարկենք երկրորդ հետևությունը և գրենք պատասխանը. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Եթե դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում։ Դուք կկարողանաք դիտել հաշվարկի առաջընթացը և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ստանալ ձեր գնահատականը ձեր ուսուցչից: |
| Պատասխանել |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Օրինակ 4 |
| Լուծեք սահմանաչափը $ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Լուծում |
|
Մենք գտնում ենք բազայի սահմանը և տեսնում ենք, որ $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, ինչը նշանակում է, որ կարող ենք կիրառել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Ստանդարտ պլանի համաձայն աստիճանի հիմքից մենք գումարում և հանում ենք մեկը. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Կոտորակը հարմարեցնում ենք 2-րդ նոտայի բանաձևին։ սահման: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Հիմա եկեք կարգավորենք աստիճանը։ Հզորությունը պետք է պարունակի $ \frac(3x^2-2)(6) $ հիմքի հայտարարին հավասար կոտորակ։ Դա անելու համար բազմապատկեք և բաժանեք աստիճանը դրա վրա և շարունակեք լուծել. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $-ի հզորության սահմանաչափը հավասար է՝ $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $: Հետևաբար, շարունակելով լուծումը, ունենք. |
| Պատասխանել |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Եկեք քննենք այն դեպքերը, երբ խնդիրը նման է երկրորդ ուշագրավ սահմանին, բայց կարող է լուծվել առանց դրա:
«Երկրորդ ուշագրավ սահմանը. լուծումների օրինակներ» հոդվածում վերլուծվել են բանաձևը, դրա հետևանքները և տրվել այս թեմայով խնդիրների ընդհանուր տեսակները:
Այս առցանց մաթեմատիկական հաշվիչը կօգնի ձեզ, եթե դրա կարիքը ունեք հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը. Ծրագիր լուծման սահմաններըոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այն տանում է մանրամասն լուծում՝ բացատրություններով, այսինքն. ցուցադրում է սահմանաչափի հաշվարկման գործընթացը:
Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար միջնակարգ դպրոցներնախապատրաստման մեջ թեստերև քննություններ՝ միասնական պետական քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, որպեսզի ծնողները վերահսկեն մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է դաստիարակ վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել հնարավորինս արագ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկայի՞ն, թե՞ հանրահաշիվին։ Այս դեպքում կարող եք նաև օգտվել մեր ծրագրերից՝ մանրամասն լուծումներով։
Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ վերապատրաստումը ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի համար, մինչդեռ բարձրանում է կրթության մակարդակը խնդիրների լուծման ոլորտում:
Մուտքագրեք ֆունկցիայի արտահայտությունՀաշվարկել սահմանաչափը
Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։
Որպեսզի լուծումը հայտնվի, դուք պետք է միացնեք JavaScript-ը:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:
Որովհետեւ Խնդիրը լուծելու պատրաստ շատ մարդիկ կան, ձեր հարցումը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյանից լուծումը կհայտնվի ստորև։
Խնդրում ենք սպասել վրկ...
Եթե դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.
Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.
Մի փոքր տեսություն.
Ֆունկցիայի սահմանը x->x 0-ում
Թող f(x) ֆունկցիան սահմանվի X բազմության վրա և թող կետը \(x_0 \X-ում\) կամ \(x_0 \ոչ X-ում) կետը:
Եկեք X-ից վերցնենք x 0-ից տարբեր կետերի հաջորդականություն.
x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
համընկնում է x*. Այս հաջորդականության կետերում ֆունկցիայի արժեքները նույնպես թվային հաջորդականություն են կազմում
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
և կարելի է բարձրացնել դրա սահմանի գոյության հարցը։
Սահմանում. A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 (կամ x -> x 0) կետում, եթե x արգումենտի արժեքների որևէ հաջորդականության համար (1) տարբերվում է x 0-ից: զուգակցվելով x 0-ին, արժեքների ֆունկցիայի համապատասխան հաջորդականությունը (2) համընկնում է A թվին:
$$ \lim_(x\-ից x_0)( f(x)) = A $$
f(x) ֆունկցիան x 0 կետում կարող է ունենալ միայն մեկ սահման: Սա բխում է այն փաստից, որ հաջորդականությունը
(f(x n)) ունի միայն մեկ սահման:
Կա ֆունկցիայի սահմանի մեկ այլ սահմանում.
Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 կետում, եթե \(\varepsilon > 0\) ցանկացած թվի համար կա \(\delta > 0\) այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար (x \in X, \; x \neq x_0 \), բավարարելով անհավասարությունը \(|x-x_0| Օգտագործելով տրամաբանական նշաններ, այս սահմանումը կարելի է գրել այսպես.
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Նկատի ունեցեք, որ անհավասարությունները \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Առաջին սահմանումը հիմնված է թվային հաջորդականության սահմանի հասկացության վրա, ուստի այն հաճախ կոչվում է սահմանում «հաջորդականությունների լեզվով»: Երկրորդ սահմանումը կոչվում է սահմանում «լեզվով»: \(\varepsilon - \delta \)»։
Ֆունկցիայի սահմանի այս երկու սահմանումները համարժեք են, և դուք կարող եք օգտագործել դրանցից որևէ մեկը՝ կախված նրանից, թե որն է ավելի հարմար որոշակի խնդիր լուծելու համար:
Նկատենք, որ «հաջորդականությունների լեզվով» ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կոչվում է նաև ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Հայնեի, իսկ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը «լեզուում \(\varepsilon - \դելտա \)» կոչվում է նաև ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Քոշիի։
Ֆունկցիայի սահմանը x->x 0 - և x->x 0 +-ում
Հետևյալում մենք կօգտագործենք ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների հասկացությունները, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ.
Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե (1) x 0-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար, որի x n տարրերը մեծ են (փոքր) x 0-ից, համապատասխան հաջորդականությունը (2) համընկնում է Ա.
Խորհրդանշականորեն գրված է այսպես.
$$ \lim_(x \ից x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \մինչև x_0-) f(x) = A \աջ) $$
Մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների համարժեք սահմանում «\(\varepsilon - \delta \)» լեզվով.
Սահմանում A թիվը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե ցանկացած \(\varepsilon > 0\) համար կա \(\delta > 0\) այնպիսին, որ բոլոր x-ի համար: բավարարելով անհավասարությունները \(x_0 Խորհրդանշական մուտքեր.
Երկրորդ ուշագրավ սահմանի բանաձևն է lim x → ∞ 1 + 1 x x = e: Գրելու մեկ այլ ձև ունի հետևյալ տեսքը՝ lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Երբ մենք խոսում ենք երկրորդ ուշագրավ սահմանի մասին, մենք պետք է գործ ունենանք 1 ∞ ձևի անորոշության հետ, այսինքն. միասնությունը անսահման աստիճանի.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Դիտարկենք խնդիրներ, որոնցում օգտակար կլինի երկրորդ ուշագրավ սահմանաչափը հաշվարկելու ունակությունը։
Օրինակ 1
Գտեք սահմանը lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4:
Լուծում
Եկեք փոխարինենք պահանջվող բանաձևը և կատարենք հաշվարկները։
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Մեր պատասխանը պարզվեց, որ մեկն է անսահմանության ուժին: Լուծման մեթոդը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք անորոշության աղյուսակը: Ընտրենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը և կատարենք փոփոխականների փոփոխություն։
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Եթե x → ∞, ապա t → - ∞:
Տեսնենք, թե ինչ ստացանք փոխարինումից հետո.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Պատասխան. lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2:
Օրինակ 2
Հաշվեք սահմանային սահմանը x → ∞ x - 1 x + 1 x:
Լուծում
Փոխարինենք անսահմանությունը և ստանանք հետևյալը.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Պատասխանում կրկին ստացանք նույնը, ինչ նախորդ խնդրի մեջ, հետևաբար, կարող ենք կրկին օգտագործել երկրորդ ուշագրավ սահմանը։ Հաջորդը, մենք պետք է ընտրենք ամբողջ մասը իշխանության գործառույթի հիմքում.
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Դրանից հետո սահմանը ստանում է հետևյալ ձևը.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Փոխարինեք փոփոխականները: Ենթադրենք, որ t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; եթե x → ∞, ապա t → ∞:
Դրանից հետո մենք գրում ենք այն, ինչ ստացել ենք սկզբնական սահմանում.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Այս փոխակերպումն իրականացնելու համար մենք օգտագործեցինք սահմանների և հզորությունների հիմնական հատկությունները:
Պատասխան. lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2:
Օրինակ 3
Հաշվեք սահմանաչափը x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5:
Լուծում
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Դրանից հետո մենք պետք է փոխակերպենք ֆունկցիան երկրորդ մեծ սահմանը կիրառելու համար։ Մենք ստացանք հետևյալը.
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Քանի որ հիմա կոտորակի համարիչում և հայտարարում ունենք նույն ցուցանիշները (հավասար է վեցի), կոտորակի սահմանն անվերջության վրա հավասար կլինի այս գործակիցների հարաբերակցությանը բարձր հզորությունների դեպքում:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Փոխարինելով t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 մենք ստանում ենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը: Նշանակում է ինչ.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Պատասխան. lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3:
եզրակացություններ
Անորոշություն 1 ∞, այսինքն. Անսահման հզորության միասնությունը ուժ-օրենք անորոշություն է, հետևաբար, այն կարելի է բացահայտել՝ օգտագործելով էքսպոնենցիալ ուժային ֆունկցիաների սահմանները գտնելու կանոնները:
Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter
Այս թեմայում մենք կվերլուծենք այն բանաձևերը, որոնք կարելի է ձեռք բերել՝ օգտագործելով երկրորդ ուշագրավ սահմանը (տեղակայված է անմիջապես երկրորդ նշանակալի սահմանին նվիրված թեմա): Թույլ տվեք հիշել երկրորդ ուշագրավ սահմանաչափի երկու ձևակերպումներ, որոնք անհրաժեշտ կլինեն այս բաժնում՝ $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ և $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\աջ)^\frac(1)(x)=e$:
Սովորաբար ես բանաձևեր եմ ներկայացնում առանց ապացույցների, բայց այս էջի համար, կարծում եմ, բացառություն կանեմ: Բանն այն է, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանի հետևանքների ապացույցը պարունակում է որոշ տեխնիկա, որոնք օգտակար են խնդիրներն ուղղակիորեն լուծելու համար։ Դե, ընդհանուր առմամբ, խորհուրդ է տրվում իմանալ, թե ինչպես է ապացուցված այս կամ այն բանաձևը։ Սա մեզ թույլ է տալիս ավելի լավ հասկանալ այն ներքին կառուցվածքը, ինչպես նաև կիրառելիության սահմանները։ Բայց քանի որ ապացույցները կարող են չհետաքրքրել բոլոր ընթերցողներին, ես դրանք կթաքցնեմ յուրաքանչյուր հետևանքից հետո տեղադրված նշումների տակ։
Եզրակացություն թիվ 1
\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\վերջ (հավասարում)Եզրակացության թիվ 1 ապացույց՝ ցույց/թաքցնել
Քանի որ $x\to 0$-ում ունենք $\ln(1+x)\to 0$, ապա դիտարկվող սահմանում առկա է $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ Այս անորոշությունը բացահայտելու համար ներկայացնենք $\frac(\ln(1+x))(x)$ արտահայտությունը հետևյալ ձևով՝ $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Այժմ եկեք չափենք $\frac(1)(x)$-ը $(1+x)$ արտահայտության հզորության մեջ և կիրառենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\ձախ| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ դեպի\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Կրկին մենք ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն: Մենք հիմնվելու ենք արդեն իսկ ապացուցված բանաձեւի վրա։ Քանի որ $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, ապա $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\ձախ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Եզրակացություն թիվ 2
\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\վերջ (հավասարում)Եզրակացության թիվ 2 վկայությունը՝ ցույց տալ/թաքցնել
Քանի որ $x\to 0$-ում մենք ունենք $e^x-1\to 0$, ապա դիտարկվող սահմանում առկա է $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ Այս անորոշությունը բացահայտելու համար փոխենք փոփոխականը՝ նշանակելով $t=e^x-1$։ Քանի որ $x\մինչև 0$, ապա $t\մինչև 0$: Հաջորդը $t=e^x-1$ բանաձևից ստանում ենք՝ $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$։
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\ձախ| \frac(0)(0) \աջ|=\ձախ | \սկիզբ (հավասարեցված) & t=e^x-1;\; t\մինչև 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (հավասարեցված) \աջ|= \lim_(t\մինչև 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\մինչև 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1: $$
Կրկին մենք ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն: Մենք հիմնվելու ենք արդեն իսկ ապացուցված բանաձեւի վրա։ Քանի որ $a^x=e^(x\ln a)$, ապա.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\ձախ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Եզրակացություն թիվ 3
\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\ալֆա-1)(x)=\ալֆա \վերջ (հավասարում)Եզրակացության թիվ 3 ապացույց՝ ցույց/թաքցնել
Կրկին գործ ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ։ Քանի որ $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, մենք ստանում ենք.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \ձախ| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\ ձախ (\frac(e^(\ալֆա\ln(1+x))-1)(\ալֆա\ln(1+x))\cdot \frac(\ալֆա\ln(1+x) )(x) \աջ)=\\ =\ալֆա\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\ալֆա\ln(1+x))-1)(\ալֆա\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Օրինակ թիվ 1
Հաշվեք $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ սահմանաչափը:
Մենք ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ Այս անորոշությունը բացահայտելու համար մենք կօգտագործենք բանաձևը. Մեր սահմաններին համապատասխանելու համար այս բանաձեւըՊետք է նկատի ունենալ, որ $e$-ի հզորության և հայտարարի արտահայտությունները պետք է համընկնեն։ Այսինքն՝ հայտարարի մեջ սինուսի տեղ չկա։ Հայտարարը պետք է լինի $9x$: Բացի այդ, այս օրինակի լուծումը կօգտագործի առաջին ուշագրավ սահմանը:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \աջ|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \աջ) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\) դեպի\ 0) \ձախ(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \աջ)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5): $$
Պատասխանել$\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$:
Օրինակ թիվ 2
Հաշվեք $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ սահմանաչափը:
Մենք ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն (հիշեցնեմ, որ $\ln\cos 0=\ln 1=0$): Այս անորոշությունը բացահայտելու համար մենք կօգտագործենք բանաձևը. Նախ, եկեք հաշվի առնենք, որ $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (տե՛ս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տպագրությունը): Այժմ $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, ուստի հայտարարում պետք է ստանանք $-2\sin^2 \ արտահայտությունը: frac(x)(2)$ (մեր օրինակը բանաձևին համապատասխանելու համար): Հետագա լուծման մեջ կկիրառվի առաջին ուշագրավ սահմանը.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\ձախ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\աջ))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\աջ))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\աջ))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\աջ)^2 \աջ)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2): $$
Պատասխանել$\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$:
